. , , ,

,,,

: —

Ðåôåðàò ïî ñòåðåîìåòðèè

Ó÷åíèêà 11  êëàññà

Àëåêñååíêî Íèêîëàÿ

Òåìà :

Äâèæåíèå.

Ñïàñèáî çà âíèìàíèå !

29.10.1995 ã.

Øêîëà # 1278, êë. 11 Â.


Äâèæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ôèãóð.

Ïðè ñîçäàíèè ðåôåðàòà áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå êíèãè:

1. Ãåîìåòðèÿ äëÿ 9-10 êëàññîâ. À.Ä.Àëåêñàíäðîâ, À.Ë.Âåðíåð, Â.È.Ðûæèê.

2. Ãåîìåòðèÿ. Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ, Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð.

3. Ìàòåìàòèêà. Â.À.Ãóñåâ, À.Ã.Ìîðäêîâè÷.

Âñå ðèñóíêè íàõîäÿòñÿ íà îòäåëüíîì ëèñòå, ïðèëîæåííîì ê ðåôåðàòó. Ðåøåíèÿ çàäà÷ òàêæå íà îòäåëüíîì ëèñòå. Äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ òåîðåì, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì, ÿ òàêæå ïðèâîæó íà îòäåëüíûõ ëèñòêàõ. Â ðåôåðàòå - òîëüêî îïðåäåëåíèÿ è êëàññèôèêàöèÿ.

Äâèæåíèåì â ãåîìåòðèè íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèå. Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü, ÷òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîä ñëîâîì îòîáðàæåíèå.

1. Îòîáðàæåíèÿ, îáðàçû, êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé.

Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó èç M åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà èç N.

Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îòîáðàæåíèå ôèãóð â ïðîñòðàíñòâå. Íèêàêèå äðóãèå îòîáðàæåíèÿ íå ðàññìàòðèâàþòñÿ, è ïîòîìó ñëîâî îòîáðàæåíèå îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâèå òî÷êàì òî÷åê.

Î òî÷êå X, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè f òî÷êå X, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òî÷êè X, è ïèøóò X = f(X). Ìíîæåñòâî òî÷åê X, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì ôèãóðû M, ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ôèãóðû M è îáîçíà÷àåòñÿ M = f(M).

Åñëè îáðàçîì M ÿâëÿåòñÿ âñÿ ôèãóðà N, ò.å. f(M) = N, òî ãîâîðÿò îá îòîáðàæåíèè ôèãóðû M íà ôèãóðó N.

Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, åñëè ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáðàçû êàæäûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê ðàçëè÷íû.

Ïóñòü ó íàñ åñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M íà N. Òîãäà êàæäàÿ òî÷êà X ìíîæåñòâà N ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òîëüêî îäíîé (åäèíñòâåííîé) òî÷êè X ìíîæåñòâà M. Ïîýòîìó êàæäîé òî÷êå X Ì N ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òó åäèíñòâåííóþ òî÷êó X Ì M, îáðàçîì êîòîðîé ïðè îòîáðàæåíèè f ÿâëÿåòñÿ òî÷êà X. Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà N íà ìíîæåñòâî M, îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì äëÿ îòîáðàæåíèÿ f è îáîçíà÷àåòñÿ f. Åñëè îòîáðàæåíèå f èìååò îáðàòíîå, òî îíî íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì.

Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ j íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A, ÷òî

j(A) = A.

Èç äàííûõ îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f òàêæå îáðàòèìî è (f ) = f. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèÿ f è f íàçûâàþòñÿ òàêæå âçàèìíî îáðàòíûìè.

Ïóñòü çàäàíû äâà îòîáðàæåíèÿ: îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N è îòîáðàæåíèå g ìíîæåñòâà N â ìíîæåñòâî P. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè f òî÷êà

X Ì N ïåðåøëà â òî÷êó X = f(X) Ì N, à çàòåì X ïðè îòîáðàæåíèè g ïåðåøëà â òî÷êó X Ì P, òî òåì ñàìûì â ðåçóëüòàòå X ïåðåøëà â X (ðèñ.1).

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå h ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî P. Îòîáðàæåíèå h íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ f ñ ïîñëåäóþùèì îòîáðàæåíèåì g.

Åñëè äàííîå îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî, ïðèìåíÿÿ åãî, à ïîòîì îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f , âåðíåì, î÷åâèäíî, âñå òî÷êè â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òàêîå, êîòîðîå êàæäîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿåò ýòó æå òî÷êó.

2. Îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ.

Äâèæåíèåì (èëè ïåðåìåùåíèåì) ôèãóðû íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûì äâóì åå òî÷êàì A è B ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè A è B, ÷òî |AB| = |AB|. (ðèñ.2).

Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ.

Ôèãóðà F íàçûâàåòñÿ ðàâíîé ôèãóðå F, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç F äâèæåíèåì.

3. Îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ.

Ñâîéñòâî 1 (ñîõðàíåíèå ïðÿìîëèíåéíîñòè).

Ïðè äâèæåíèè òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè, ïåðåõîäèò â òî÷êó, ëåæàùóþ ìåæäó îáðàçàìè äâóõ äðóãèõ òî÷åê (ñîõðàíÿåòñÿ ïîðÿäîê èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïëàíèìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî òðè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B, ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè - òî÷êàìè A è C, ò.å. êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

|AB| + |BC| = |AC|.

Ïðè äâèæåíèè ðàññòîÿíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ, à çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ òî÷åê A, B, C:

|AB| + |BC| = |AC|.

Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè A, B, C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è èìåííî òî÷êà B ëåæèò ìåæäó A è C.

Èç äàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóþò òàêæå åùå íåñêîëüêî ñâîéñòâ:

Ñâîéñòâî 2. Îáðàçîì îòðåçêà ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.

Ñâîéñòâî 3. Îáðàçîì ïðÿìîé ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à îáðàçîì ëó÷à - ëó÷.

Ñâîéñòâî 4. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ðàâíûé åìó òðåóãîëüíèê, îáðàçîì ïëîñêîñòè - ïëîñêîñòü, ïðè÷åì ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè îòîáðàæàþòñÿ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, îáðàçîì ïîëóïëîñêîñòè - ïîëóïëîñêîñòü.

Ñâîéñòâî 5. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òåòðàýäðà ÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð, îáðàçîì ïðîñòðàíñòâà - âñå ïðîñòðàíñòâî, îáðàçîì ïîëóïðîñòðàíñòâà - ïîëóïðîñòðàíñòâî.

Ñâîéñòâî 6. Ïðè äâèæåíèè óãëû ñîõðàíÿþòñÿ, ò.å. âñÿêèé óãîë îòîáðàæàåòñÿ íà óãîë òîãî æå âèäà è òîé æå âåëè÷èíû. Àíàëîãè÷íîå âåðíî è äëÿ äâóãðàííûõ óãëîâ.

Ñíà÷àëà ÿ ðàññìîòðþ âñå îñíîâíûå âèäû äâèæåíèé, à çàòåì ñâåäó èõ â åäèíóþ ñèñòåìó.

4. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

Îïðåäåëåíèå. Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, èëè, êîðî÷å, ïåðåíîñîì ôèãóðû, íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå åå òî÷êè ñìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ (ðèñ.3), ò.å. ïðè ïåðåíîñå êàæäûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû ñîïîñòàâëÿþòñÿ òàêèå òî÷êè X è Y, ÷òî

XX = YY.

Îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðåíîñà: Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è íàïðàâëåíèÿ, ò.å.

XY = XY.

Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ åñòü äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå, åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

Èç ýòèõ óòâåðæäåíèé òàêæå âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê. Íàïðèìåð, åñëè óêàçàíî, â êàêóþ òî÷êó A ïåðåõîäèò

äàííàÿ òî÷êà A, òî ýòîò ïåðåíîñ çàäàí âåêòîðîì AA, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè

ñìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð, ò.å. XX = AA äëÿ âñåõ òî÷åê Õ.

5. Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè A, A, O ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è OX = OX. Òî÷êà Î ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìà ñåáå (îòíîñèòåëüíî Î).

Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå è îáðàòíî.

Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, ôèãóðà ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íà ñàìà ñåáå îòíîñèòåëüíî íåêîåé òî÷êè Î. Òîãäà ýòà òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè ôèãóðû, à ôèãóðà - öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé.

Îïðåäåëåíèå 2. Öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé ôèãóðû îòíîñèòåëüíî Î íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ýòîé ôèãóðû, êîòîðîå ñîïîñòàâëÿåò êàæäîé åå òî÷êå òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî Î.

Îñíîâíîå ñâîéñòâî : Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, à íàïðàâëåíèå èçìåíÿåò íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû F ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè X è Y, ÷òî

XY = -XY.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î òî÷êè X è Y îòîáðàçèëèñü íà X è Y. Òîãäà, êàê ÿñíî èç îïðåäåëåíèÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè (ðèñ.4),

OX = -OX, OY = -OY.

Âìåñòå ñ òåì

XY = OY - OX, XY = OY - OX.

Ïîýòîìó èìååì:

XY = -OY + OX = -XY.

Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, åñòü öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.

Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñóùåñòâóþùèõ òî÷åê: åñëè òî÷êà À îòîáðàæàåòñÿ íà À, òî öåíòð ñèììåòðèè - ýòî ñåðåäèíà îòðåçêà AA.

6. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ (îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè).

Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, åñëè îòðåçîê AA ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòîé ïëîñêîñòè è äåëèòñÿ åþ ïîïîëàì. Ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìîé ñåáå îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ.5).

Äâå ôèãóðû F è F íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, åñëè îíè ñîñòîÿò èç òî÷åê, ïîïàðíî ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè, ò.å. åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå.

Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ïåðåâîäèò ôèãóðó â ñåáÿ, òî ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, à ïëîñêîñòü a - ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè.

Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå ôèãóðû, ïðè êîòîðîì êàæäîé åå òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ îòðàæåíèåì ôèãóðû â ýòîé ïëîñêîñòè (èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé).

Òåîðåìà 1. Îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 1.

Òåîðåìà 2. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè íåêîòîðîé ïëîñêîñòè íåïîäâèæíû, ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì â ýòîé ïëîñêîñòè èëè òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.

Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè: ïëîñêîñòü ñèììåòðèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ýòè òî÷êè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó.

7. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé.

Äëÿ áîëåå ÷åòêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé ñëåäóåò âñïîìíèòü ïîâîðîò íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè. Ïîâîðîòîì íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûé ëó÷, èñõîäÿùèé èç äàííîé òî÷êè, ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ.6). Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïîâîðîòó â ïðîñòðàíñòâå.

Îïðåäåëåíèå. Ïîâîðîòîì ôèãóðû âîêðóã ïðÿìîé a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì â êàæäîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïðÿìîé a, ïðîèñõîäèò ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé a íà îäèí è òîò æå óãîë j â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ. 7). Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ îñüþ ïîâîðîòà, à óãîë j - óãëîì ïîâîðîòà.

Îòñþäà âèäèì, ÷òî ïîâîðîò âñåãäà çàäàåòñÿ îñüþ, óãëîì è íàïðàâëåíèåì ïîâîðîòà.

Òåîðåìà 1. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.

Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 2.

Òåîðåìà 2. Åñëè äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà èìååò ìíîæåñòâîì ñâîèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ïðÿìóþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã ýòîé ïðÿìîé.

7.1. Ôèãóðû âðàùåíèÿ.

Ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ôèãóðîé âðàùåíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðÿìàÿ, ëþáîé ïîâîðîò âîêðóã êîòîðîé ñîâìåùàåò ôèãóðó ñàìó ñ ñîáîé, äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæàåò åå ñàìó íà ñåáÿ. Òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ îñüþ âðàùåíèÿ ôèãóðû. Ïðîñòåéøèå òåëà âðàùåíèÿ : øàð, ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð, ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ.

7.2. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ.

×àñòíûì ñëó÷àåì ïîâîðîòà âîêðóã ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîò íà 180. Ïðè ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé a íà 180 êàæäàÿ òî÷êà A ïåðåõîäèò â òàêóþ òî÷êó A, ÷òî ïðÿìàÿ a ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó AA è ïåðåñåêàåò åãî â ñåðåäèíå. Ïðî òàêèå òî÷êè A è A ãîâîðÿò, ÷òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè a. Ïîýòîìó ïîâîðîò íà 180 âîêðóã ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé â ïðîñòðàíñòâå.

8.1. Íåïîäâèæíûå òî÷êè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.

Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî åãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Çäåñü ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ ëèøü ñëåäóþùèå ïÿòü ñëó÷àåâ:

1.      Ó äâèæåíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåò (íåòîæäåñòâåííûé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ).

2.      Äâèæåíèå èìååò ëèøü îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó (öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).

3.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé (ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé).

4.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).

5.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ âñåì ïðîñòðàíñòâîì (òîæäåñòâåííîå äâèæåíèå).

Äàííàÿ êëàññèôèêàöèÿ î÷åíü óäîáíà, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò âñå âèäû äâèæåíèÿ êàê åäèíóþ ñèñòåìó.

8.2. Îñíîâíûå òåîðåìû î çàäàíèè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå äàíû äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà ABC è ABC. Òîãäà ñóùåñòâóþò äâà è òîëüêî äâà òàêèõ äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ïåðåâîäÿò A â A, B â B, C â C. Êàæäîå èç ýòèõ äâèæåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî ñ ïîìîùüþ êîìïîçèöèè åãî ñ îòðàæåíèåì â ïëîñêîñòè ABC.

Òåîðåìà 2. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå çàäàíû äâà ðàâíûõ òåòðàýäðà ABCD è ABCD. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà j, òàêîå, ÷òî j (A) = A, j (B) = B, j (C) = C, j (D) = D.

9. Äâà ðîäà äâèæåíèé.

Ñëåäóåò òàêæå çíàòü, ÷òî âñå äâèæåíèÿ ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà äâà ðîäà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íåïðåðûâíû îíè èëè íåò. Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ ñóùíîñòè ýòîãî ðàçäåëåíèÿ ââåäó ïîíÿòèå áàçèñà è åãî îðèåíòàöèè.

9.1. Áàçèñû è èõ îðèåíòàöèÿ.

Áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ òðîéêà âåêòîðîâ, íåïàðàëëåëüíûõ îäíîâðåìåííî íèêàêîé ïëîñêîñòè.

Òðîéêà áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè ýòè âåêòîðû, îòëîæåííûå îò îäíîé òî÷êè, ðàñïîëàãàþòñÿ òàê, êàê ðàñïîëîæåíû ñîîòâåòñòâåííî áîëüøîé, óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîé (ëåâîé) ðóêè.

Åñëè èìåþòñÿ äâå ïðàâûå (ëåâûå) òðîéêè âåêòîðîâ, ãîâîðÿò, ÷òî ýòè òðîéêè îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Åñëè îäíà òðîéêà ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé, à âòîðàÿ - ëåâîé, òî îíè îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî.

9.2. Äâà ðîäà äâèæåíèÿ.

Äâèæåíèÿ ïåðâîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íåêîåé ôèãóðû. Îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.

Äâèæåíèÿ âòîðîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå èçìåíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Îíè íå ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.

Ïðèìåðàìè äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ ïåðåíîñ è ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé, à äâèæåíèÿìè âòîðîãî ðîäà - öåíòðàëüíàÿ è çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèè.

Êîìïîçèöèåé ëþáîãî ÷èñëà äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå ïåðâîãî ðîäà.

Êîìïîçèöèÿ ÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé âòîðîãî ðîäà åñòü äâèæåíèå 1 ðîäà, à êîìïîçèöèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé 2 ðîäà - äâèæåíèå 2 ðîäà.

10. Íåêîòîðûå ðàñïðîñòðàíåííûå êîìïîçèöèè.

Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå êîìáèíàöèè äâèæåíèé, èñïîëüçóåìûå äîñòàòî÷íî ÷àñòî, íî íå óäåëÿÿ èì îñîáîãî âíèìàíèÿ.

10.1. Êîìïîçèöèè îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

Òåîðåìà 1. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ èëè ÷åòûðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî âèäà åñòü ëèáî îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè, ëèáî ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè òðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.

Îòñþäà ìû ìîæåì îáúÿñíèòü óæå èçâåñòíûå íàì äâèæåíèÿ òàê:

         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.

         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé.

         Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî äàííîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé 3 îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ëþáûõ 3 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõñÿ â ýòîé òî÷êå.

10.2. Âèíòîâûå äâèæåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå. Âèíòîâûì äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ïîâîðîòà. Ïðåäñòàâëåíèå î òàêîì äâèæåíèè äàåò ââèí÷èâàþùèéñÿ èëè âûâèí÷èâàþùèéñÿ âèíò.

Òåîðåìà 2. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà - âèíòîâîå äâèæåíèå (â ÷àñòíîñòè ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé èëè ïåðåíîñ).

10.3. Çåðêàëüíûé ïîâîðîò.

Îïðåäåëåíèå. Çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì âîêðóã îñè a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà âîêðóã îñè a íà óãîë j è îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ïîâîðîòà.

Òåîðåìà 3. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, èìåþùåå íåïîäâèæíóþ òî÷êó, ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì, êîòîðûé, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò áûòü öåíòðàëüíîé èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé.

10.4. Ñêîëüçÿùèå îòðàæåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå. Ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â íåêîåé ïëîñêîñòè è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé ýòîé ïëîñêîñòè.

Òåîðåìà 4. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, íå èìåþùåå íåïîäâèæíûõ òî÷åê, åñòü ñêîëüçÿùåå îòðàæåíèå.

Òåîðåìà Øàëÿ. Äâèæåíèå ïëîñêîñòè ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïîâîðîòîì, ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.

Äâèæåíèå ïëîñêîñòè âòîðîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì.

Ïðèìå÷àíèå: Ê ðåôåðàòó ïðèëàãàþòñÿ 7 ðèñóíêîâ, 2 ïèñüìåííûõ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì è ðåøåíèÿ çàäà÷.

ÑÏÀÑÈÁÎ ÇÀ ÂÍÈÌÀÍÈÅ !

Ðåôåðàò ñîñòàâëåí è íàïå÷àòàí Íèêîëàåì Àëåêñååíêî â ðåäàêòîðå Word for Windows 6.0.

Ðåôåðàò ïî ñòåðåîìåòðèè Ó÷åíèêà 11  êëàñ

 

 

 

! , , , .
. , :