Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»сследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме ƒиплома

√осударственный комитет –оссийской ‘едерации по высшему образованию

—аратовский ордена “рудового  расного «намени государственный университет им. Ќ.√.„ернышевского

†††††††††††  афедра математического анализа

»——Ћ≈ƒќ¬јЌ»≈ Ќј»Ћ”„Ў»’ ѕ–»ЅЋ»∆≈Ќ»… Ќ≈ѕ–≈–џ¬Ќџ’ ѕ≈–»ќƒ»„≈— »’ ‘”Ќ ÷»… “–»√ќЌќћ≈“–»„≈— »ћ» ѕќЋ»Ќќћјћ»

ƒ»ѕЋќћЌјя –јЅќ“ј

студентки 524 группы механико-математического факультета

„уркиной Ћюбови ¬асильевны

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† Ќаучный руководитель

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† к.ф.-м.н, доцент

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† “имофеев ¬. √.

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† «аведующий кафедрой

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† доктор ф.-м.н., профессор

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ѕрохоров ƒ.¬.

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††

г.—аратов-1996 г.
ќглавление.

Ќаименование

—тр.

¬ведение

3

І1. Ќекоторые вспомогательные определени€

7

І2. ѕростейшие свойства модулей нерперывности

20

І3. ќбобщение теоремы ƒжексона

24

І4. ќбобщение неравенства —.Ќ.Ѕернштейна

27

І5. ƒифференциальные† свойства† тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию

30

І6. ќбобщение† обратных† теорем† —. Ќ. Ѕернштейна 膆†††† Ў. ¬алле-ѕуссена

34

І7. ќсновна€ теорема

44

І8. –ешение задач

47

Ћитература

50


¬ведение

ƒипломна€ работа посв€щена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. ¬ ней даютс€ необходимые и достаточные услови€ дл€ того, чтобы наилучшие приближени€ имели заданный (степенной) пор€док убывани€.

ƒипломна€ работа носит реферативный характер и состоит из У¬ведени€Ф и восьми параграфов.

¬ насто€щей работе мы рассматриваем следующие задачи:

1.F(u) (-1 £ u £ +1) еЄ наилучшие приближени€ En [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный пор€док j (n-1 )?

2.f (x) еЄ наилучшее приближение En[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный пор€док j (n-1 )?

ѕодстановка† u=cos(x)† сводит† задачу 1† к† задаче 2.† ƒостаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.

ћы ограничимс€ случаем, когда j(d) Î N a , дл€ некоторого a , где j(d) - функци€ сравнени€ р-го пор€дка и дл€ 0< d

—.Ќ.Ѕернштейн, ƒ.ƒжексон и Ў.¬алле-ѕуссен получили зависимости между оценками сверху дл€ En[f] и дифференциальными свойствами f. Ќекоторые дополнени€ к их теоремам доказаны ј.«игмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками En[f] снизу. ¬первые задачами типа 1 занималс€ —.Ќ.Ѕернштейн. ј именно, им получено ассимптотическое равенство:

где m - некоторое число.

Ќаша основна€ теорема формулируетс€ следующим образом:

ѕусть j Î N a. ƒл€ того чтобы

необходимо, чтобы дл€ любого натурального k>a, и достаточно, чтобы дл€ некоторого натурального k>a

где

»зложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.

¬ І1 даЄтс€ р€д вспомогательных определений, которые понадоб€тс€ в дальнейшей работе.

¬ І2 вывод€тс€ основные свойства модулей непрерывности высших пор€дков. ѕочти все эти свойства используютс€ в дальнейшем тексте.

І3 посв€щен обобщению теоремы ƒжексона.  ак известно, ƒжексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то

“аким образом, теорема ƒжексона дает оценку сверху дл€ наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.

¬ 1947 г. по€вилась работа —.Ќ.Ѕернштейна [1]. ќдна из теорем этой работы содержит в качестве следстви€ такое предложение: пусть

“огда

¬ І3 доказываем:

†††††††††††† (*)

¬ І4 формулируетс€ доказанное в работе —.Ѕ.—течкина [2] обобщение известного неравенства —.Ќ.Ѕернштейна [3], [4] дл€ производных от тригонометрического полинома. ћы приводим затем р€д следствий из нашего неравенства (*). ќни играют существенную роль при доказательстве теорем† І5.

¬† І5 рассматриваетс€ следующа€ задача. ѕусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f.  ак св€заны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?

≈сли tn , образуетс€ из f† посредством регул€рного метода суммировани€ р€дов ‘урье, то ответ тривиален: дл€ того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы †равномерно относительно n. (fÎHk[w], если

ќказываетс€, что этот результат сохран€етс€ и дл€ полиномов наилучшего приближени€: дл€ того, чтобы †равномерно относительно n.

ќтметим еще один результат параграфа: дл€ того чтобы

І6 посв€щЄн Уобратным теоремамФ теории приближени€.

»звестно предложение: пусть

“огда, если a не целое, r=[a], b=a-r, то f имеет нерперывную производную

—лучай целого a рассмотрен «игмундом. ¬ этом случае

Ќетрудно показать, что эти два предложени€ эквивалентны следующему: пусть 0

“огда

¬ работе [3] —.Ќ.Ѕернштейн доказал также эквивалентность условий †и

ћы переносим эти теоремы на услови€ вида

где j Î N a.

 роме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

дл€ того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение услови€

¬ конце параграфа даютс€ уточнени€ теорем ¬алле-ѕуссена.

¬ І7 доказываетс€ основна€ теорема. ћы даЄм здесь же оценку En[f] снизу, если

»менно, тогда

—лучай a=0 установлен —.Ќ.Ѕернштейном [3].

¬ І8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.


І1. Ќекоторые вспомогательные определени€.

¬ работе рассматриваютс€ непрерывные функции f с периодом 2p и их приближение тригонометрическими полиномами. „ерез tn(x) обозначаетс€ тригонометрический полином пор€дка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x,f)-тригонометрический полином, наименее уклон€ющийс€ от f среди всех tn(x). ћы полагаем †и пишем

¬ведЄм р€д определений.

ќпределение 1. ѕри каждом фиксированном †классом Ћипшица пор€дка a называетс€ множество всех непрерывных функци€ f, модуль непрерывности каждой из которых удовлетвор€ет условию

где —8-кака€-нибудь положительна€ посто€нна€, котора€ не зависит от d и котора€, вообще говор€, €вл€етс€ различной дл€ разных функций. Ётот класс обозначаетс€ Ha или Lip a.

ќпределение 2. ќбозначим при фиксированном натуральном r через W(r)L класс функций f, котора€ имеет абсолютно непрерывные производные до (r-1) пор€дка и у которой r-€ производна€ принадлежит классу L.

ќпределение† 3. ƒл€ непрерывной на [a,b] функции f (x) назовЄм модулем непрерывности первого пор€дка или же просто модулем непрерывности функцию w(d)=w(f;d), определЄнную на [0, b-a] при помощи следующего равенства:

††††††††††††††††††††††† (1.1)

или, что то же самое,

††††††††††††††††††††††† (1.1Т)

—войства модул€ непрерывности:

1)  w(0)=0;

2)  w(d) †есть функци€, монотонно возрастающа€;

3)  w(d) есть функци€ непрерывна€;

4)  w(d) †есть функци€ полуаддитивна€ в том смысле, что дл€ любых †и †

†††††††††††††††††††††††††††† (1.2)

ƒоказательство. —войство 1) вытекает из определени€ модул€ непрерывности.

—войство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходитс€ рассматривать sup на более широком множестве значений h. —войство 4) следует из того, что если мы число †представим в виде h=h1+h2, †и

»з неравенства (1.2) вытекает, что если †то †т.е.

†††††††††††††††††††††††† (1.3)

“еперь докажем свойство 3). “ак как функци€ f (x) равномерно непрерывна на [a,b], то †при †и, следовательно, дл€ любых d, †

††† пр膆

а это и означает, что функци€ w(d) непрерывна.

ќпределение 4. ѕусть функци€ f (x) определена на сегменте [a,b]. “огда дл€ любого натурального k и любых †и h>0 таких, что †k-й разностью функции f в точке x с шагом h называетс€ величина

††††††††††††††††††††† (1.4)

а при †и h>0 таких, что †k-й симметричной разностью - величина

††††† (1.4Т)

Ћемма 1. ѕри любых натуральных j и k справедливо равенство

††††††††††††††††††††††††††† (1.5)

ƒоказательство. ƒействительно, так как при любом натуральном k

то

Ћемма доказана.

Ћемма 2. ѕри любых натуральных k и n верна формула:

††††††††† (1.6)

ƒоказательство. ¬оспользуемс€ индукцией по k. ѕри k=1 тождество (1.6) провер€етс€ непосредственно:

ѕредполага€ его справедливость при k-1 (k³2), получим

Ћемма доказана.

ќпределение 5. ≈сли измерима€ периода (b-a) функци€ f(x)ÎLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции f(x)), то под еЄ интегральным модулем гладкости пор€дка k³1 понимают функцию

Ћемма 3. ≈сли †то справедливо

†††††††††††††† (1.7)

ƒоказательство. ¬ самом деле,

и так далее. Ћемма доказана.

ќпределение 6. ≈сли функци€ f(x) †ограничена на [a,b], то под еЄ модулем гладкости пор€дка k³1 понимают функцию

заданную дл€ неотрицательных значений †и в случае, когда k=1, представл€ющую собой модуль непрерывности.

—войства модулей гладкости:

1) 

2)  †есть функци€, монотонно возрастающа€;

3)  †есть функци€ непрерывна€;

4)  n имеет место ( точное) неравенство

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.8)

а при любом

†††††††††††††††††††††††† (1.8Т)

5) ≈сли функци€ f(x) имеет всюду на [a,b] непрерывные производные† до (r-1)-го пор€дка, и при этом (r-1)-€ производна€

††††††††††††††††††††††††††††††† (1.9)

ƒоказательство. 1) —войство 1) немедленно вытекает из того, что

2) —войство 2) доказываетс€ точно так же, как и дл€ случа€ обычного модул€ непрерывности.

3) ѕредполага€ дл€ определЄнности, что d>dТ, получим

Ётим непрерывность функции wk(d) доказана.

4) »спользу€ равенство лемму 2 І1, имеем

wk(t) и неравенства (1.8).

5) »спользу€ равенства лемму 1 и лемму 3 І1, получим

ќпределение 7. ѕусть k-натуральное число. Ѕудем говорить, что функци€ †есть модуль непрерывности k-го пор€дка функции f, если

где f k-го пор€дка с шагом h:

—реди модулей непрерывности всех пор€дков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. —лучай k=1 €вл€етс€ классическим; вместо †мы будем писать просто †и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию †мы будем называть модулем гладкости.

ќпределение 8. «ададим натуральное число k. Ѕудем говорить, что функци€ †k-го пор€дка, если она удовлетвор€ет следующим услови€м:

1)  †определена дл€

2)  †не убывает,

3) 

4) 

f º 0, то †есть функци€ сравнени€ k-го пор€дка (см. Ћемму 5 І2).

ќпределение 9. «афиксируем натуральное число k и функцию сравнени€ k-го пор€дка f принадлежит к классу —10>0 така€, что

¬место †будем писать просто Hka.

≈сли дл€ последовательности функций {fn} (n=1,2,...)

где —10 не зависит от n, то будем писать: †равномерно относительно n.

ѕон€тие классов †€вл€етс€ естественным обобщением классов Ћипшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.

ќпределение 10. «афиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=-[- a]). Ѕудем говорить, что функци€ †принадлежит к классу

1) есть функци€ сравнени€ p-го пор€дка и

2) удовлетвор€ет условию: существует константа —11>0 така€, что дл€

”словие 2) €вл€етс€ небольшим ослаблением услови€ Ђ†не убываетї. ‘ункции класса Na будут играть основную роль во всЄм дальнейшем изложении.

ќпределение 11. Ѕудем говорить, что функци€ †имеет пор€док † —12 и —13 такие, что дл€ всех t, дл€ которых определены функции †и

ѕри выполнении этих условий будем писать

ќпределение 12. ядром ƒирихле n-го пор€дка называетс€ функци€

†††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.10)

Ёто €дро €вл€етс€ тригонометрическим полиномом пор€дка n и при этом

†††††††††††††††††††††† (1.10Т)

ќпределение 13. ядром ‘ейера n-го пор€дка называетс€ функци€

††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.11)

ядро ‘ейера Fn(t) €вл€етс€ средним арифметическим первых n €дер ƒирихле, и значит, €вл€етс€† тригонометрическим† полиномом† пор€дка (n-1). “ак что имеют место равенства

†††††††††††††††††††††† (1.11Т)

††††††† (1.11ТТ)

где Dk(t)-€дра ƒирихле.

ќпределение 14. ядром ƒжексона n-го пор€дка называетс€ функци€

†††††††††††††††† (1.12)

—войства €дер ƒжексона.

а) ѕри каждом n €дро Jn(t) €вл€етс€ чЄтным неотрицательным тригонометрическим полиномом пор€дка 2n-2 вида

где jk=jk(n) - некоторые числа

б)

в)

г)

ƒоказательство.

а) ”читыва€, что дл€ €дер Fn(t) ‘ейера имеют место равенства

†получим

где jk(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в† частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Ётим свойство а) доказано.

б) Ёто равенство следует из равенства, полученного дл€ j0.

в) “ак как †при любом †и †при †(**), то

г) —овершенно аналогично случаю в) получим

„то и требовалось доказать.

ќпределение 15. ядром типа ƒжексона пор€дка n называетс€ функци€

†††††††††††† ††††††††††††††††(1.13)

n=1,2,3,...,k-натуральное, где

†††††††††††††††††††††††††† (1.13Т)

ядра типа ƒжексона обладают следующими свойствами:

а)

б) ѕри фиксированном натуральном k и произвольном n €дро Jn,k(t)

€вл€етс€ чЄтным неотрицательным тригонометрическим полиномом пор€дка k(n-1)

в) n2k-1, т.е. существуют посто€нные —14>0 и —15>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет

г) ѕри любом s>0 имеет место неравенство

д) ѕри любом натуральном

ƒоказательство свойств €дер типа ƒжексона.

а) Ёто свойство вытекает из равенств определени€

б) Ёто свойство следует из 1-го неравенства определени€ и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11СТ) будет

†††††††††††††††† (1.14)

где †- некоторые целые числа.

в) ”читыва€ неравенства (**), будем иметь

— другой стороны

†(1.15С)

г) Ёто неравенство вытекает из первого равенства определени€ и неравенства (1.15С)

д) ƒействительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15С) и (**)

††††††††††† (1.16)

где A-const, а с другой стороны, учитыва€ соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sint£t, при всех t³0 (***), имеем

††††††††††††††† (1.16С)

A1-const. Ќеравенства (1.16) и (1.16С) равносильны условию, что и требовалось доказать.


І2. ѕростейшие свойства модулей нерперывности.

Ётот параграф носит вспомогательный характер. «десь устанавливаетс€ несколько простейших свойств модул€ нерперывности высших пор€дков. ¬се рассматриваемые здесь функции f1, f2, ... - непрерывны.

Ћ≈ћћј 1. ƒл€ любого натурального k †и любого d³0

††††††††††††††††††† (2.1)

ƒоказательство: по определению,

Ћемма доказана.

Ћ≈ћћј 2. ѕусть f и l -натуральные числа, l

†††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.2)

и

††††††††††††††††††††††††††† (2.3)

ƒоказательство: ѕоложим

“огда дл€ 0£l

откуда

ќтсюда при l=0 вытекает, что

а при 0

ѕолага€ в (2.3) l=1, находим, что

»з этого неравенства видно, что дл€ любого натурального k

†††††††††††††††††††††††† (2.4)

Ћ≈ћћј 3. ƒл€ любого натурального k модуль непрерывности k-го пор€дка †€вл€етс€ непрерывной функцией от d.

ƒоказательство: ѕусть †»меем

ќтсюда

и

“аким образом

и так как †при

Ћ≈ћћј 4. ѕусть k и p-натуральные числа. “огда дл€ любого d³0

††††††††††††††††††††††††††††† (2.5)

ƒоказательство: »ндукци€ по k даЄт формулу

ќтсюда

и

Ћемма доказана.

Ћ≈ћћј 5. ѕусть k-натуральное число, d>0, h>0. “огда

†††††††††††††††††††††††††† (2.6)

≈сли кроме того 0

†††††††††††††††††††††††††† (2.7)

ƒоказательство: ƒокажем сперва неравенство (2.6). –ассмотрим случай дл€ h£d. ЌайдЄм натуральное число p из условий

†††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.8)

“огда h-1, и так как h, то принима€ во внимание (2.5) и (2.8), получим

–ассмотрим случай дл€ h

††††††††††††††††††††††††††††††† (2.9)

“огда h

и неравенство (2.6) доказано. Ќеравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+h£2h дл€ 0

fº0 и любого натурального k

††††††††††††††††††††††††††††††† (2.10)

Ћемма доказана.

Ћ≈ћћј 6. ѕусть f имеет r-ю производную f(r). “огда

†††††††††††††††††††††††††††† (2.11)

и дл€ любого натурального k

††††††††††††††††††††† (2.12)

ƒоказательство: ќба неравенства непосредственно вытекают из формулы

k=0, то мы получаем формулу (2.11). Ћемма доказана.


І3. ќбобщение теоремы ƒжексона.

«десь будет получено небольшое усиление теоремы ƒжексона о наилучших приближени€х периодических функций тригонометрическими полиномами.

Ћемма 7. ѕусть дано натуральное число k. —уществует последовательность €дер{Kn(t)}(n=0,1,...), где Kn(t) есть тригонометрический полином пор€дка не выше n, удовлетвор€юща€ услови€м:

††††††††††††††††† †††††††††††(3.1)

††††††††††††††††††††††† (3.2)

†††† (3.3)

Ёту лемму можно считать известной.  ак показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемус€ ƒжексоном, в качестве €дер Kn(t) можно вз€ть €дра ƒжексона достаточно высокой степени, то есть положить

где k0-целое, не зависит от n, †натуральное p определ€етс€ из неравенства

а bp выбираютс€ так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).

Ћемма 8. ≈сли последовательность €дер {Kn(t)} удовлетвор€ет всем услови€м предыдущей леммы, то

††††††††††††† (3.4)

ƒоказательство. »меем, пользу€сь (3.2) и (3.3)

Ћемма доказана.

“еорема 1. ѕусть k-натуральное число. “огда

†††††††††††††††††††† (3.5)

ƒоказательство. ѕусть последовательность €дер {Kn(t)} (n=1,1,2,...) удовлетвор€ет всем услови€м леммы 7. ѕоложим

ќчевидно, †есть тригонометрический полином пор€дка не выше† n-1. ќценим †»меем

ѕоэтому

†† (3.6)

ќценим последний интеграл. ѕолага€ в неравенстве (2.6)

ќтсюда и из (3.4) следует:

ѕодставл€€ эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. “еорема доказана.

—ледствие 1.1. ѕусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. “огда

†††††††††††† (3.7)

¬ самом деле, согласно (2.12)

и применение теоремы 1 даЄт (3.7).


І4. ќбобщение неравенства —.Ќ.Ѕернштейна.

¬ этом параграфе формулируетс€ одно обобщение неравенства —.Ќ.Ѕернштейна дл€ производных от тригонометрического полинома.

“еорема 2. ѕусть k

†††††††††††††††††††††† (4.1)

и неравенство обращаетс€ в неравенство в том и только в том случае, если

ƒоказательство этого неравенства опубликовано в работе —.Ѕ.—течкина [2].

ќтметим несколько следствий из этого неравенства.

—ледствие 2.1. (неравенство —.Ќ.Ѕернштейна):

††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.2)

ѕолага€ в (4.1)

(это неравенство доказано —.ћ.Ќикольским [5]) но по лемме 2 І2,

откуда и следует (4.2).

ƒва последних неравенства одновременно обращаютс€ в равенство только в случае, если

—ледствие 2.2. ѕусть

††††††††††††††††††††††††††††† (4.3)

ѕервое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки

†††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.4)

“аким образом, дл€ †средний член в (4.3) заключен между двум€ пределами, завис€щими только от q.

—ледствие 2.3. ѕусть

††††††††††††††††††††††† (4.5)

¬ частности,

††††††††††††††††††††††††††††† (4.6)

—ледствие 2.4. ѕусть †“огда

††††††††††††††††††††††††† (4.7)

¬ частности, дл€ †имеем

††††††††††††††††††††††††††††† (4.8)

¬ самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

и остаетс€ воспользоватьс€ неравенством (4.5).

—ледствие 2.5. ѕусть †“огда

†††††††††††† (4.9)

¬тора€ половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а перва€ непосредственно вытекает из (2.7).


І5. ƒифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.

¬ этом параграфе устанавливаетс€, что если тригонометрический полином tn(x) близок к заданной функции f, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f.

“еорема 3. «афиксируем натуральные числа k и n и пусть

†††††††††††††††††††††††††††††††† (5.1)

“огда дл€ любого

††††††††††††††††††††† (5.2)

†††††††††††††† (5.3)

†††††††††††††††††† (5.4)

и

††††††††††††††††††† (5.5)

ѕредварительные замечани€. Ќеравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее дл€ больших d, а (5.3)-дл€ малых. ≈сли

ƒоказательство. ƒокажем (5.2). ѕользу€сь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

ƒокажем (5.5). ѕоложим в (5.2)

после чего (4.5) даЄт (5.5).

(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).

ќстаЄтс€ доказать (5.4). ѕусть сперва

–ассмотрим, наконец, случай

ѕодставл€€ эту оценку в (5.3), получаем (5.4) дл€

“аким образом, теорема полностью доказана.

—ледствие 3.1. ѕусть дл€ некоторого натурального k и любого натурального n

†††††††††††††††††††††††††††††† (5.6)

“огда дл€ любого d>0

†††††††††††††††††††††††††††† (5.7)

равномерно относительно n.

—ледствие 3.2. ѕусть дл€ некоторого натурального k и любого натурального n

“огда

†††††††††††††††††† (5.8)

“еорема 4. ƒл€ того, чтобы

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (5.9)

равномерно относительно n.

Ёто вытекает из теоремы 1, следстви€ 3.1 и того замечани€ что если выполнено условие (5.9), то

“еорема 5. ƒл€ того, чтобы

†††††††††††††††††††††††††††††††††††† (5.10)

Ёто доказываетс€ аналогично теореме 4, только вместо следстви€ 3.1 нужно воспользоватьс€ следствием 3.2.

Ќеравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части €вно завис€т от константы —20. “аким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома tn рассматривать последовательность полиномов {tn} (n=1,2,...), то —20 †окажетс€, вообще говор€, независ€щей от n и теорема 3 даЄт оценки, не равномерные относительно n. ѕокажем как избавитьс€ от этого неудобства.

“еорема 6. ѕусть дл€ некоторого натурального k

†††††††††††††††††††††††††††††††† (5.11)

и

†††††††††††††††††††††† (5.12)

“огда дл€ любого d>0

†††††††††††††††††††††††††††††† (5.13)

равномерно относительно n.

ƒоказательство. ѕусть сперва

и на основании (5.11)

†††† (5.14)

–ассмотрим случай

»з этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

Ќо так как, по условию,

ќтсюда

ќкончательно,

и теорема доказана.

¬ следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничени€ (5.11) теоремы 6.


І6.† ќбобщение† обратных† теорем† —. Ќ. Ѕернштейна и

Ў. ¬алле-ѕуссена.

¬ этом параграфе обобщаютс€ и уточн€ютс€ так называемые Уобратные теоремыФ теории приближени€. –ечь идЄт об оценке дифференциальных свойств функции f, если известны свойства последовательности еЄ наилучших приближений {En}.

Ћемма 9. «ададим натуральное число k, и пусть

††††††††††††††††††††††††††††† (6.1)

и

††††††††††††††††††††††††††††† (6.2)

“огда

†††††††††††††††† (6.3)

ƒоказательство. »меем, согласно (2.1),

Ќо из (2.10) и (6.2) получаем

а из (2.2) и (6.1)

ѕоэтому

лева€ часть этого неравенства не зависит от n, а поэтому

и лемма доказана.

ƒл€ получени€ хороших оценок †обычно достаточно вз€ть †может оказатьс€ предпочтительнее.

“еорема 7. ѕусть k-натуральное число, функци€ †не убывает и

†††††††††††††††††††††† (6.4)

ƒл€ того чтобы

††††††††††††††††††††† (6.5)

ƒоказательство. Ќеобходимость услови€ (6.5) вытекает из следстви€ 3.2. ”становим его достаточность, дл€ чего воспользуемс€ леммой 9. ѕолучаем:

ѕоложим здесь †будем иметь †и

и теорема доказана.

ќтметим два следстви€ из этой теоремы.

—ледствие 7.1. ѕусть k-натуральное число, функци€ †не убывает и

†††††††††††††††††††††††† (6.6)

ƒл€ того чтобы

†††††††††††††††††††††††† (6.7)

—ледствие 7.2. ѕусть k-натуральное число и †≈сли

и

†††††††††††††††††††††††††† (6.8)

то

равномерно относительно n.

Ёто вытекает из теорем 7 и 6.

“еорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить †условие (6.5) становитс€ излишним. —уть дела в том, что при этих ограничени€х (6.4) влечЄт (6.5).

Ћемма 10. ѕусть

†††††††††††††††††††††††††††† (6.9)

где k

†††††††††††††††††††† (6.10)

ƒоказательство. «афиксируем натуральное число n, определим натуральное p из условий

и построим последовательность номеров †положив

ƒл€ оценки †представим †в таком виде:

“ак как

††††††††††††††††††††††††††††††† (6.11)

ќценим Ul(k). »меем дл€ l=1,2,...,p

откуда

Ќо †есть тригонометрический полином пор€дка не выше nl. ѕоэтому по неравенству —.Ќ. Ѕернштейна,

†††††††††††††††††††††††††† (6.12)

«аметим теперь, что, в силу определени€ последовательности {nl},

†и †дл€

ѕоэтому, пользу€сь ещЄ монотонностью последовательности {Fn}2 находим, что дл€

†† (6.13)

ѕри помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

и лемма доказана.

“еорема 8. ƒл€ любого натурального k и любого

†††††††††††† (6.14)

ƒоказательство. »меем

ќтсюда, по лемме 10,

¬оспользуемс€ теперь леммой 9. ѕолучаем:

≈сли

ѕоэтому дл€

и теорема доказана.

ћы обращаемс€ теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничени€х на {En} условие (6.4) влечЄт

“еорема 9. «ададим натуральное число k; пусть †и

††††††††††††††††††††††††††† (6.15)

ƒоказательство. Ќеобходимость услови€ (6.15) вытекает из теоремы 1. ƒокажем его достаточность. —огласно теореме 8, дл€

ѕоложим здесь †и заметим, что тогда †дл€ †и, в силу услови€

ѕоэтому дл€

и теорема доказана.

—ледствие 9.1. ѕусть †и †классы †эквивалентны.

—ледствие 9.2. ѕусть †и

то дл€ любого фиксированного натурального

равномерно относительно n.

–ассмотрим теперь следующий вопрос. как св€заны приближени€ функции f с приближени€ми и дифференциальными свойствами еЄ производных f (r)?

“еорема 10. «ададим натуральное число r, и пусть

††††††††††††††††††††††††† (6.16)

где

††††††††††††††††††† (6.17)

“огда f имеет непрерывную производную f(r) и

†††† (6.18)

—.Ќ.Ѕернштейн [3] доказал такую теорему: если р€д †сходитс€, то функци€ f имеет непрерывную производную f (r). –ассмотрение этого доказательства —.Ќ.Ѕернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены услови€ (6.16) и (6.17). “огда функци€ f имеет непрерывную производную f(r) и †равномерно относительно x. ¬ ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.

ƒоказательство. †при †равномерно относительно x. ќтсюда следует, что если {nk} (k=0,1,2,...) есть возрастающа€ последовательность номеров, то

«афиксируем натуральное число n и положим

“огда будем иметь

†††††††††††††††††††††††††††††† (6.19)

где

ƒокажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.

†††††††††††††††††††††††††† (6.20)

ƒл€ этого достаточно установить, что р€д справа равномерно сходитс€. ѕрежде всего, оценим

откуда

ќценим теперь

ѕользу€сь этой оценкой, получаем:

Ќо

ѕоэтому

†††† (6.21)

»так, доказана сходимость р€да

и теорема доказана.

¬ некоторых случа€х оценка (6.18) может быть упрощена. ѕусть, например,

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (6.22)

“огда

ѕоэтому при выполнении услови€ (6.22) вместо (6.18) можно написать

—ледствие 10.1. ѕусть r-натуральное число и сходитс€ р€д

“огда

††††††† (6.23)

“еорема 11. ѕусть r-натуральное число и дл€ функции f сходитс€ р€д

“огда дл€ любого натурального k и любого

††††† (6.24)

ƒоказательство. »меем

ќтсюда, по лемме 10,

ƒалее, согласно теореме 10,

¬оспользуемс€ теперь леммой 9. ѕолучаем

«аметим, что

“аким образом, если

и теорема доказана.


І7. ќсновна€ теорема.

ќбратимс€ теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные услови€ того, чтобы

где

Ќасколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже дл€ случа€

Ћемма 11. ѕусть †и дл€ некоторого натурального

†††††††††††††††††††††††††††††††††††† (7.1)

“огда существует така€ константа с>0, что

†††††††††††††† ††††††††††††††(7.2)

ƒоказательство. —огласно (7.1), найдутс€ две такие константы —60>0 и C61>0, что

††††††††††††††††††† (7.3)

ѕоследнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство

††††††††††††† (7.4)

¬ силу (2.1) и (2.2), имеем

ќтсюда

ѕользу€сь (7.3) и (7.4), находим, далее

††††††††††††††††††† (7.5)

¬спомним теперь, что

ѕодставл€€ эту оценку в (7.5), получаем

†††††††††††† (7.6)

ћы можем без ограничени€ общности считать, что здесь

“огда получим окончательно

и лемма доказана.

ќсновна€ теорема. ѕусть

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (7.7)

необходимо, чтобы дл€ всех натуральных

††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (7.8)

ƒоказательство. ѕусть имеет место (7.7), т.е. найдутс€ две положительные константы —67 и —68, дл€ которых

†††††††††††††††††† (7.9)

“огда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), дл€ любого k имеем

т.е.

ќтсюда, в силу

и если †и

ƒалее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы —72 такой, что дл€ любого

Ётим заканчиваетс€ доказательство необходимости услови€ (7.8).

ѕусть имеет место (7.8):

†††††††††††††††††† (7.10)

с —73>0. “огда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),

а по лемме 11,

где —77>0.

“аким образом, установлена достаточность услови€ (7.8), и основна€ теорема полностью доказана.

ѕриведЄм в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки †сверху и снизу имеют разные пор€дки.

“еорема 12. ѕусть †и

††††††††††††††††††††††† (7.11)

“огда

†††††††††††††††††††††††† (7.12)

ƒоказательство. »меем, как при доказательстве леммы 11,

ѕоложим здесь

“огда получим, что

“еорема доказана.


І8. –ешение задач.

ѕример 1. ѕусть †“огда при каждом †

ѕример 2. ѕусть график функции f(x) имеет вид, изображЄнный на рис.8.1. “огда график функции †показан на рис.8.2.

†††††††††††††††† –ис. 8.1.†††††††††††††††††††††††††††††††††† –ис. 8.2.

ѕример 3. ѕусть при

и пусть †- периодическое продолжение функции †на всю ось.

–ис. 8.3.

“огда если функцию †рассматривать на сегменте †длины †так, что (рис. 8.3)

то (рис. 8.4)

т.е. модуль непрерывности функции †в точке †не достигает своего наибольшего значени€ и, следовательно, отличаетс€ от модул€ непрерывности этой функции на всей оси.

ѕример 4. ѕри †функци€

€вл€етс€ модулем непрерывности.

ѕример 5. ѕри †функци€

€вл€етс€ модулем непрерывности.

ѕример 6. ѕри †имеем †так что при всех †будет


Ћитература.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10.

11.

12.

√осударственный комитет –оссийской ‘едерации по высшему образованию —аратовский ордена “рудового  расного «намени государственный университет им. Ќ.√.„ернышевского †††††††††††  афедра математического анализа »——Ћ≈ƒќ¬јЌ»≈ Ќј»Ћ”„Ў»’

 

 

 

¬нимание! ѕредставленный ƒиплом находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалс€, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальный ƒиплом по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

ѕохожие работы:

–азработка метода формировани€ маршрутных матриц однородной замкнутой экспонециальной сети массового обслуживани€
—интез и анализ пространственных конструкций сложной формы
ћатематическое моделирование прыжка с трамплина
јдаптивное параметрическое оценивание квадратно-корневыми информационными алгоритмами
—тохастическа€ диффузионна€ модель гетерогенных попул€ций
»зучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных зан€ти€х по математике
ћодернизаци€ электронной подписи Ёль-√амал€
»спользование дифференциальных уравнений в частных производных дл€ моделировани€ реальных процессов
ѕостроение графика функции различными методами (самосто€тельна€ работа учащихс€)
Ќекоторые “еоремы Ўтурма

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru