База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла — Программирование, Базы данных

Посмотреть видео по теме Реферата

Министерство науки, высшей школы и технической

политики Российской Федерации.

Новосибирский Государственный

Технический Университет.

Реферат по исследованию операций на тему

«Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла».

Вариант №2.

Факультет: АВТ.

Кафедра: АСУ.

Группа: АС-513.

Студент: Бойко Константин Анатольевич.

Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич.

Дата: 19 октября 1997 года.

Новосибирск



Введение.

Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики. Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Djf(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на  -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj+1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два.

Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

             Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.

            Начальный этап.

Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1. Положить y1 = x1, k = j = 1 и перейти к основному этапу.

           

Основной этап.

Шаг 1. Если çêf(yj) çê< e, то остановиться; в противном случае положить dj = - Djf(yj) и взять в качестве lj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Положить yj+1 = yj + ljdj. Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.

            Шаг 2. Построить Dj+1 следующим образом :

                                          (1)

            где

                                    pj = ljdj,                                                                                   (2)

                                    qj = f(yj+1) - f(yj).                                                             (3)

Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

            Рассмотрим следующую задачу :

            минимизировать    (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2)2.

Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

k

xk

f(xk)

j

yj

f(yj)

f(yj)

çêf(yj) çê

D

dj

lj

yj+1

1

(0.00, 3.00)

(52.00)

1

2

(0.00, 3.00)

(52.00)

(2.70, 1.51)

(0.34)

(-44.00, 24.00)

(0.73, 1.28)

50.12

1.47

(44.00, -24.00)

(-0.67, -1.31)

0.062

0.22

(2.70, 1.51)

(2.55, 1.22)

2

(2.55, 1.22)

(0.1036)

1

2

(2.55, 1.22)

(0.1036)

(2.45, 1.27)

(0.0490)

(0.89, -0.44)

(0.18, 0.36)

0.99

0.40

(-0.89, 0.44)

(-0.28, -0.25)

0.11

0.64

(2.45, 1.27)

(2.27, 1.11)

3

(2.27, 1.11)

(0.008)

1

2

(2.27, 1.11)

(0.008)

(2.25, 1.13)

(0.004)

(0.18, -0.20)

(0.04, 0.04)

0.27

0.06

(-0.18, 0.20)

(-0.05, -0.03)

0.10

2.64

(2.25, 1.13)

(2.12, 1.05)

4

(2.12, 1.05)

(0.0005)

1

2

(2.12, 1.05)

(0.0005)

(2.115, 1.058)

(0.0002)

(0.05, -0.08)

(0.004, 0.004)

0.09

0.006

(-0.05, 0.08)

0.10

(2.115, 1.058)

На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде
–Djf(yj), где D1 ­­– единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При
k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T, q1 = (44.73, -22,72)T. На второй итерации
p1 = (-0.1, 0.05)T, q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации
p1 = (-0.02, 0.02)T, q1 = (-0.14, 0.24)T. Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке
y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма çêf(y2) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла.

Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится :

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Еn, точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}.

Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xTy| - абсолютное значение скалярного произведения xTy. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xTy| £ ||x|| ||y||.

Лемма 1.

           

Пусть y1 Î Еn, а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + ljdj, где dj = –Djf(yj), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для
j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj) ¹ 0 для
j = 1, ..., n, то матрицы D1, ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1, ..., dn – направления спуска.

            Доказательство.

 Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того,
f(y1)Td1 = –f(y1)TD1f(y1) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En, тогда из (1) имеем

                                                                  (4)

Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj1/2, такая, что Dj = Dj1/2Dj1/2. Пусть
a = Dj1/2x и b = Dj1/2qj. Тогда xTDjx = aTa, qjTDjqj = bTb и xTDjqj = aTb. Подставляя эти выражения в (4), получаем :

                                                     (5)

            По неравенству Шварца имеем (aTa)(bTb) ³ (aTb)2. Таким образом, чтобы доказать, что xTDj+1x ³ 0, достаточно показать, что pjTqj  > 0 и bTb > 0. Из (2) и (3) следует, что

pjTqj = ljdjT[j+1) – j)].                                                                       (6)

            По предположениюf(yj) ¹ 0, и Dj положительно определена, так что
j)TDjj) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj  > 0. Тогда из (6) следует, что pjTqj > 0. Кроме того, qj  ¹ 0, и , следовательно, bTb= qjTDjqj  > 0.

            Покажем теперь, что xTDj+1x > 0. Предположим, что xTDj+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (aTa)(bTb) = (aTb)2 и pjTx = 0. Прежде всего заметим, что
(aTa)(bTb) = (aTb)2 только при a = lb, т.е. Dj1/2x = lDj1/2qj. Таким образом, x =  lqj. Так как x ¹ 0, то l ¹ 0. Далее, 0 = pjTx = l pjTqj противоречит тому, что pjTqj > 0 и l ¹ 0. Следовательно, xTDj+1x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена.

            Поскольку f(yj+1) ¹ 0 и Dj+1 положительно определена, имеем
f(yj+1)Tdj+1 = –f(yj+1)T Dj+1f(yj+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска.

Лемма доказана.  

Квадратичный случай.

          В дальнейшем нам понадобиться :

Теорема 2. Пусть f(x) = cTx + 1 xTHx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1, …, dn и произвольную точку x1. Пусть lk для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации
f(xk + ldk) при l Î Е1 и xk+1 = xk +  ldk. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения :

1.  k+1)Tdj = 0, j = 1, …, k;

2.  1)Tdk = k)Tdk;

3.  xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии
x - x1 Î L(d1, …, dk), где L(d1, …, dk) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1, …, dk, то есть  В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn.

            Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1, …, dn, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.

Теорема 3. Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cTx + 1 xTHx при условии x Î En. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1. В частности, пусть lj, j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj) при l ³ 0 и yj+1 = yj + ljdj, где dj = -Djf(yj), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj) ¹ 0 для всех j, то направления
d1, …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1. Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения :

1.  d1, …, dj линейно независимы.

2.  djTHdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j.

3.  Dj+1Hpk, или, что эквивалентно, Dj+1Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lkdk.

            Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hpk = H(lkdk) = H(yk+1 - yk) = k+1) –k) = qk.                     (7)

            В частности, Hp1 = q1. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

            т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

            Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 diTj+1) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1Hdi, i £ j. Таким образом, для i £ j имеем

0 = diTj+1) = diTHDj+1j+1) = –diTHdj+1.

            Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

            Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

            Полагая k  £  j+1, имеем

                          (8)

            Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2Hpj+1 = pj+1. Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

pj+1THpk = lklj+1dj+1THdk = 0.                                                            (9)

            По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

 .                      (10)

            Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

                       

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

            Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что j+1, получаем, что  положительно определена, так что H положительно определена, то  и, следовательно, d1, …, dj линейно независимы по предположению индукции, то  для i = 1, …, j. Таким образом, d1, …, dj+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1, …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

            Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда  для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1, …, dn, то D имеет обратную, то  является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.                     


Список литературы.

1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.

2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. Реферат по исследованию операций на тему «Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла». Вариант №2. Факу

 

 

 

Внимание! Представленный Реферат находится в открытом доступе в сети Интернет, и уже неоднократно сдавался, возможно, даже в твоем учебном заведении.
Советуем не рисковать. Узнай, сколько стоит абсолютно уникальный Реферат по твоей теме:

Новости образования и науки

Заказать уникальную работу

Похожие работы:

Метод деформируемого многогранника
Защита информации от несанкционированного доступа методом криптопреобразования ГОСТ
Концепция создания и функционирования в России автоматизированной базы правовой информации
Речевые технологии
Система автоматизированного проектирования
УЧПУ
Задача про транспортную систему. Подбор вариантов проезда с учетом кол-ва пересадок, длительности, видов транспорта (самолет, авто, поезд, водн.)
Тест по истории
Программа контроля знаний студентов по дисциплине ЭРМ и РК в процессе учебы
LL (k) (-грамматики)

Свои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru