. , , ,

,,,

, —

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò ïî âûñøåé øêîëå

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Èíñòèòóò Ýëåêòðîíèêè è Ìàòåìàòèêè

(Òåõíè÷åñêèé Óíèâåðñèòåò)

ÐÅÔÅÐÀÒ ÍÀ ÒÅÌÓ

ÐÀÇÂÈÒÈÅ È ÂÇÀÈÌÍÎÅ ÂËÈßÍÈÅ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ, ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
È
ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

Êàôåäðà êóëüòîðîëîãèè.

Ñòóäåíò: Ôåðåíåö Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷

Ãðóïïà: ÀÏ-41

Ïðåïîäàâàòåëü: Òåðåõîâ Àíàòîëèé Ñåðãååâè÷

Ìîñêâà, 1995


ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Âîïðîñ î âçàèìîñâÿçè ìàòåìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà âïåðâûå áûë çàäàí äîâîëüíî äàâíî. Àðèñòîòåëü, Áýêîí, Ëåîíàðäî äà Âèí÷è - ìíîãèå âåëèêèå óìû ÷åëîâå÷åñòâà çàíèìàëèñü ýòèì âîïðîñîì è äîñòèãàëè âûäàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ. Ýòî íå óäèâèòåëüíî: âåäü îñíîâó âçàèìîäåéñòâèÿ ôèëîñîôèè ñ êàêîé-ëèáî èç íàóê ñîñòàâëÿåò ïîòðåáíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ àïïàðàòà ôèëîñîôèè äëÿ ïðîâåäåíèÿ èññëåäîâàíèé â äàííîé îáëàñòè; ìàòåìàòèêà æå, íåñîìíåííî, áîëåå âñåãî ñðåäè òî÷íûõ íàóê ïîääàåòñÿ ôèëîñîôñêîìó àíàëèçó (â ñèëó ñâîåé àáñòðàêòíîñòè). Íàðÿäó ñ ýòèì ïðîãðåññèðóþùàÿ ìàòåìàòèçàöèÿ íàóêè îêàçûâàåò àêòèâíîå âîçäåéñòâèå íà ôèëîñîôñêîå ìûøëåíèå. Èñêóññòâî æå, âî âñå âðåìåíà ñëóæèâøåå ÷åëîâå÷åñòâó êàê ïóòü íðàâñòâåííîãî, ýìîöèîíàëüíîãî ìèðîîùóùåíèÿ è ìèðîïîíèìàíèÿ, êîíå÷íî æå, îêàçûâàëî è ïðîäîëæàåò îêàçûâàòü íà ðàçâèòèå íàó÷íîé ìûñëè ñàìîå íåïîñðåäñòâåííîå âëèÿíèå. Âñïîìíèì, ê ïðèìåðó, òîãî æå âåëèêîãî õóäîæíèêà è ó÷åíîãî - Ëåîíàðäî äà Âèí÷è.

Ñîâìåñòíûé ïóòü ìàòåìàòèêè è ôèëîñîôèè íà÷àëñÿ â Äðåâíåé Ãðåöèè îêîëî VI âåêà äî í.ý. Íå ñòåñíåííîå ðàìêàìè äåñïîòèçìà, ãðå÷åñêîå îáùåñòâî òîé ïîðû áûëî ïîäîáíî ïèòàòåëüíîìó ðàñòâîðó, íà êîòîðîì âûðîñëî ìíîãîå, ÷òî äîøëî äî íàñ â ñèëüíî èçìåíåííîì âðåìåíåì âèäå, îäíàêî ñîõðàíèâ îñíîâíóþ, çàëîæåííóþ ãðåêàìè èäåþ: òåàòð, ïîýçèÿ, äðàìàòóðãèÿ, ìàòåìàòèêà, ôèëîñîôèÿ.

 ýòîé ðàáîòå ÿ ïîïûòàëñÿ ïðîñëåäèòü çà ïðîöåññîì ôîðìèðîâàíèÿ, ðàçâèòèÿ è âçàèìíîãî âëèÿíèÿ ìàòåìàòèêè, ôèëîñîôèè è èñêóññòâà â èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà, à òàêæå ïðèâåñòè ðàçëè÷íûå òî÷êè çðåíèÿ íà äâèæóùèå ñèëû è ðåçóëüòàòû ýòîãî ïðîöåññà.  òî æå âðåìÿ, íå ïûòàÿñü îáúÿòü íåîáúÿòíîå, ìíå ïîêàçàëîñü èíòåðåñíûì ðàññìîòðåòü ëèøü êîðíè è âåðøèíû: çàðîæäåíèå åñòåñòâåííî-ôèëîñîâñêîãî ìûøëåíèÿ â Äðåâíåé Ãðåöèè è ýñòåòè÷åñêèå è îáùåôèëîñîâñêèå âîïðîñû, âîçíèêàþùèå íà ïåðåäíåì êðàå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè - òåîðèè ôðàêòàëîâ è ôðàêòàëüíîé ãåîìåòðèè.


×ÀÑÒÜ ÏÅÐÂÀß..

ÈÑÒÎÊÈ

Ãëàâà 1

ÇÀÐÎÆÄÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Èçâåñòíî, ÷òî ãðå÷åñêàÿ öèâèëèçàöèÿ íà íà÷àëüíîì ýòàïå ñâîåãî ðàçâèòèÿ îòòàëêèâàëîñü îò öèâèëèçàöèè äðåâíåãî Âîñòîêà. Êàêîâî æå áûëî ìàòåìàòè÷åñêîå íàñëåäñòâî, ïîëó÷åííîå ãðåêàìè?

Èç äîøåäøèõ äî íàñ ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêóìåíòîâ ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â Äðåâíåì Åãèïòå áûëè ñèëüíî îòðàñëè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷. Ïàïèðóñ Ðàéíäà (îê. 2000 ã. äî í.ý.) íà÷èíàëñÿ ñ îáåùàíèÿ íàó÷èòü ñîâåðøåííîìó è îñíîâàòåëüíîìó èññëåäîâàíèþ âñåõ âåùåé, ïîíèìàíèþ èõ ñóùíîñòåé, ïîçíàíèþ âñåõ òàéí. Ôàêòè÷åñêè èçëàãàåòñÿ èñêóññòâî âû÷èñëåíèÿ ñ öåëûìè ÷èñëàìè è äðîáÿìè, â êîòîðîå ïîñâÿùàëèñü ãîñóäàðñòâåííûå ÷èíîâíèêè äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåòü ðåøàòü øèðîêèé êðóã ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, òàêèõ, êàê ðàñïðåäåëåíèå çàðàáîòíîé ïëàòû ìåæäó èçâåñòíûì ÷èñëîì ðàáî÷èõ, âû÷èñëåíèå êîëè÷åñòâà çåðíà äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ òàêîãî-òî êîëè÷åñòâà õëåáà, âû÷èñëåíèå ïîâåðõíîñòåé è îáúåìîâ è ò.ä. Äàëüøå óðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè è ïðîñòåéøèõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé åãèïòÿíå, ïî-âèäèìîìó, íå ïîøëè. Âñå ñîäåðæàíèå èçâåñòíîé íàì åãèïåòñêîé ìàòåìàòèêè óáåäèòåëüíî ñâèäåòåëüñòâóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ åãèïòÿí ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ êîíêðåòíûõ ïîòðåáíîñòåé ìàòåðèàëüíîãî ïðîèçâîäñòâà è íå ìîãëè ñêîëüêî-íèáóäü ñåðüåçíî áûòü ñâÿçàííûìè ñ ôèëîñîôèåé.

Ìàòåìàòèêà Âàâèëîíà, êàê è åãèïåòñêàÿ, áûëà âûçâàíà ê æèçíè ïîòðåáíîñòÿìè ïðîèçâîäñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè, ïîñêîëüêó ðåøàëèñü çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ íóæäàìè îðîøåíèÿ, ñòðîèòåëüñòâà, õîçÿéñòâåííîãî ó÷åòà, îòíîøåíèÿìè ñîáñòâåííîñòè, èñ÷èñëåíèåì âðåìåíè. Ñîõðàíèâøèåñÿ äîêóìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî, îñíîâûâàÿñü íà 60-ðè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, âàâèëîíÿíå ìîãëè âûïîëíÿòü ÷åòûðå àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèÿ, èìåëèñü òàáëèöû êâàäðàòíûõ êîðíåé, êóáîâ è êóáè÷åñêèõ êîðíåé, ñóìì êâàäðàòîâ è êóáîâ, ñòåïåíåé äàííîãî ÷èñëà, áûëè èçâåñòíû ïðàâèëà ñóììèðîâàíèÿ ïðîãðåññèé. Çàìå÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â îáëàñòè ÷èñëîâîé àëãåáðû. Õîòÿ âàâèëîíÿíå è íå çíàëè àëãåáðàè÷åñêîé ñèìâîëèêè, íî ðåøåíèå çàäà÷ ïðîâîäèëîñü ïî ïëàíó, çàäà÷è ñâîäèëèñü ê åäèíîìó íîðìàëüíîìó âèäó è çàòåì ðåøàëèñü ïî îáùèì ïðàâèëàì, ïðè÷åì èñòîëêîâàíèå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ íå ñâÿçûâàëîñü ñ êîíêðåòíîé ïðèðîäîé èñõîäíûõ äàííûõ. Âñòðå÷àëèñü çàäà÷è, ñâîäÿùèåñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé òðåòüåé ñòåïåíè è îñîáûõ âèäîâ óðàâíåíèé ÷åòâåðòîé, ïÿòîé è øåñòîé ñòåïåíè.

Åñëè æå ñðàâíèâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè Åãèïòà è Âàâèëîíà ïî ñïîñîáó ìûøëåíèÿ, òî íåòðóäíî áóäåò óñòàíîâèòü èõ îáùíîñòü ïî òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì, êàê àâòîðèòàðíîñòü, íåêðèòè÷íîñòü, ñëåäîâàíèå çà òðàäèöèåé, êðàéíå ìåäëåííàÿ ýâîëþöèÿ çíàíèé. Ýòè æå ÷åðòû îáíàðóæèâàþòñÿ è â ôèëîñîôèè, ìèôîëîãèè, ðåëèãèè Âîñòîêà. Êàê ïèñàë ïî ýòîìó ïîâîäó Ý.Êîëüìàí, â ýòîì ìåñòå, ãäå âîëÿ äåñïîòà ñ÷èòàëàñü çàêîíîì, íå áûëî ìåñòà äëÿ ìûøëåíèÿ, äîèñêèâàþùåãîñÿ äî ïðè÷èí è îáîñíîâàíèé ÿâëåíèé, íè òåì áîëåå äëÿ ñâîáîäíîãî îáñóæäåíèÿ.

Àíàëèç äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè è ôèëîñîôèè ñëåäóåò íà÷àòü ñ ìèëåòñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé øêîëû, çàëîæèâøåé îñíîâû ìàòåìàòèêè êàê äîêàçàòåëüíîé íàóêè.

Ãëàâà 2

ÌÈËÅÒÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ìèëåòñêàÿ øêîëà - îäíà èç ïåðâûõ äðåâíåãðå÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ øêîë, îêàçàâøàÿ ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ôèëîñîôñêèõ ïðåäñòàâëåíèé òîãî âðåìåíè. Îíà ñóùåñòâîâàëà â Èîíèè â êîíöå V - IV ââ. äî í.ý.; îñíîâíûìè äåÿòåëÿìè åå ÿâëÿëèñü Ôàëåñ (îê. 624-547 ãã. äî í.ý.), Àíàêñèìàíäð (îê. 610-546 ãã. äî í.ý.) è Àíàêñèìåí (îê. 585-525 ãã. äî í.ý.). Ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ìèëåòñêîé øêîëû îñíîâíûå îòëè÷èÿ ãðå÷åñêîé íàóêè îò äîãðå÷åñêîé è ïðîàíàëèçèðóåì èõ.

Åñëè ñîïîñòàâèòü èñõîäíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ ãðåêîâ ñ äîñòèæåíèÿìè åãèïòÿí è âàâèëîíÿí, òî âðÿä ëè ìîæíî ñîìíåâàòüñÿ â òîì, ÷òî òàêèå ýëåìåíòàðíûå ïîëîæåíèÿ, êàê ðàâåíñòâî óãëîâ ó îñíîâàíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îòêðûòèå êîòîðîãî ïðèïèñûâàþò Ôàëåñó Ìèëåòñêîìó, íå áûëè èçâåñòíû äðåâíåé ìàòåìàòèêå. Òåì íå ìåíåå, ãðå÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà óæå â èñõîäíîì ñâîåì ïóíêòå èìåëà êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.

Åå ñâîåîáðàçèå çàêëþ÷àåòñÿ ïðåæäå âñåãî â ïîïûòêå ñèñòåìàòè÷åñêè èñïîëüçîâàòü èäåþ äîêàçàòåëüñòâà. Ôàëåñ ñòðåìèòñÿ äîêàçàòü òî, ÷òî ýìïèðè÷åñêè áûëî ïîëó÷åíî è áåç äîëæíîãî îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçîâàëîñü â åãèïåòñêîé è âàâèëîíñêîé ìàòåìàòèêå. Âîçìîæíî, â ïåðèîä íàèáîëåå èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ äóõîâíîé æèçíè Âàâèëîíà è Åãèïòà, â ïåðèîä ôîðìèðîâàíèÿ îñíîâ èõ çíàíèé èçëîæåíèå òåõ èëè èíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ñîïðîâîæäàëîñü îáîñíîâàíèåì â òîé èëè èíîé ôîðìå. Îäíàêî, êàê ïèøåò Âàí äåð Âàðäåí, âî âðåìåíà Ôàëåñà åãèïåòñêàÿ è âàâèëîíñêàÿ ìàòåìàòèêà äàâíî óæå áûëè ìåðòâûìè çíàíèÿìè. Ìîæíî áûëî ïîêàçàòü Ôàëåñó, êàê íàäî âû÷èñëÿòü, íî óæå íåèçâåñòåí áûë õîä ðàññóæäåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå ýòèõ ïðàâèë.

Ãðåêè ââîäÿò ïðîöåññ îáîñíîâàíèÿ êàê íåîáõîäèìûé êîìïîíåíò ìàòåìàòè÷åñêîé äåéñòâèòåëüíîñòè, äîêàçàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé èõ ìàòåìàòèêè. Òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà ðàííåé ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê â ãåîìåòðèè, òàê è â àðèôìåòèêå ïåðâîíà÷àëüíî ÿâëÿëàñü ïðîñòàÿ ïîïûòêà ïðèäàíèÿ íàãëÿäíîñòè. Êîíêðåòíûìè ðàçíîâèäíîñòÿìè òàêîãî äîêàçàòåëüñòâà â àðèôìåòèêå áûëî äîêàçàòåëüñòâî ïðè ïîìîùè êàìåøêîâ, â ãåîìåòðèè - ïóòåì íàëîæåíèÿ. Íî ñàì ôàêò íàëè÷èÿ äîêàçàòåëüñòâà ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ âîñïðèíèìàþòñÿ íå äîãìàòè÷åñêè, à â ïðîöåññå ðàçìûøëåíèÿ. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáíàðóæèâàåò êðèòè÷åñêèé ñêëàä óìà, óâåðåííîñòü (ìîæåò áûòü, íå âñåãäà îñîçíàííóþ), ÷òî ðàçìûøëåíèåì ìîæíî óñòàíîâèòü ïðàâèëüíîñòü èëè ëîæíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëîæåíèÿ, óâåðåííîñòü â ñèëå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ãðåêè â òå÷åíèè îäíîãî-äâóõ ñòîëåòèÿ ñóìåëè îâëàäåòü ìàòåìàòè÷åñêèì íàñëåäèåì ïðåäøåñòâåííèêîâ, íàêîïëåííîãî â òå÷åíèè òûñÿ÷åëåòèé, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá èíòåíñèâíîñòè, äèíàìèçìå èõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ. Êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå èññëåäîâàíèé Ôàëåñà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé îò äîãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè ïðîÿâëÿåòñÿ íå ñòîëüêî â êîíêðåòíîì ñîäåðæàíèè èññëåäîâàííîé çàâèñèìîñòè, ñêîëüêî â íîâîì ñïîñîáå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ. Èñõîäíûé ìàòåðèàë ãðåêè âçÿëè ó ïðåäøåñòâåííèêîâ, íî ñïîñîá óñâîåíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëà áûë íîâûé. Îòëè÷èòåëüíûìè îñîáåííîñòÿìè èõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëèçì, êðèòèöèçì, äèíàìèçì.

Ýòè æå ÷åðòû õàðàêòåðíû è äëÿ ôèëîñîôñêèõ èññëåäîâàíèé ìèëåòñêîé øêîëû. Ôèëîñîôñêàÿ êîíöåïöèÿ è ñîâîêóïíîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ôîðìèðóåòñÿ ïîñðåäñòâîì îäíîðîäíîãî ïî ñâîèì îáùèì õàðàêòåðèñòèêàì ìûñëèòåëüíîãî ïðîöåññà, êà÷åñòâåííî îòëè÷íîãî îò ìûøëåíèÿ ïðåäøåñòâóþùåé ýïîõè. Êàê æå ñôîðìèðîâàëñÿ ýòîò íîâûé ñïîñîá âîñïðèÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè? Îòêóäà áåðåò ñâîå íà÷àëî ñòðåìëåíèå ê íàó÷íîìó çíàíèþ?

Ðÿä èññëåäîâàòåëåé îáúÿâëÿåò îòìå÷åííûå âûøå õàðàêòåðèñòèêè ìûñëèòåëüíîãî ïðîöåññà âðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè ãðå÷åñêîãî äóõà. Îäíàêî ýòà ññûëêà íè÷åãî íå îáúÿñíÿåò, òàê êàê íåïîíÿòíî, ïî÷åìó òîò æå ãðå÷åñêèé äóõ ïî ïðîøåñòâèè ýïîõè ýëëèíèçìà òåðÿåò ñâîè êà÷åñòâà. Ìîæíî ïîïðîáîâàòü ïîèñêàòü ïðè÷èíû òàêîãî ìèðîïîíèìàíèÿ â ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðå.

Èîíèÿ, ãäå ïðîõîäèëà äåÿòåëüíîñòü ìèëåòñêîé øêîëû, áûëà äîñòàòî÷íî ðàçâèòîé â ýêîíîìè÷åñêîì îòíîøåíèè îáëàñòüþ. Ïîýòîìó èìåííî îíà ïðåæäå ïðî÷èõ âñòóïèëà íà ïóòü íèçâåðæåíèÿ ïåðâîáûòíî-îáùèííîãî ñòðîÿ è ôîðìèðîâàíèÿ ðàáîâëàäåëü÷åñêèõ îòíîøåíèé.  VIII-VI ââ. äî í.ý. çåìëÿ âñå áîëüøå ñîñðåäîòà÷èâàëàñü â ðóêàõ êðóïíîé ðîäîâîé çíàòè. Ðàçâèòèå ðåìåñëåííîãî ïðîèçâîäñòâà è òîðãîâëè åùå â áîëüøåé ìåðå óñêîðÿëî ïðîöåññ ñîöèàëüíî-èìóùåñòâåííîãî ðàññëîåíèÿ. Îòíîøåíèÿ ìåæäó àðèñòîêðàòèåé è äåìîñîì ñòàíîâÿòñÿ íàïðÿæåííûìè; ñî âðåìåíåì ýòà íàïðÿæåííîñòü ïåðåðàñòàåò â îòêðûòóþ áîðüáó çà âëàñòü. Êàëåéäîñêîï ñîáûòèé âî âíóòðåííåé æèçíè, íå ìåíåå èçìåí÷èâàÿ âíåøíÿÿ îáñòàíîâêà ôîðìèðóþò äèíàìèçì, æèâîñòü îáùåñòâåííîé ìûñëè.

Íàïðÿæåííîñòü â ïîëèòè÷åñêîé è ýêîíîìè÷åñêîé ñôåðàõ ïðèâîäèò ê ñòîëêíîâåíèÿì â îáëàñòè ðåëèãèè, ïîñêîëüêó äåìîñ , åùå íå ñîìíåâàÿñü â òîì, ÷òî ðåëèãèîçíûå è ñâåòñêèå óñòàíîâëåíèÿ âå÷íû, òàê êàê äàíû áîãàìè, òðåáóåò, ÷òîáû îíè áûëè çàïèñàíû è ñòàëè îáùåäîñòóïíûìè, èáî ïðàâèòåëè èñêàæàþò áîæåñòâåííóþ âîëþ è òîëêóþò åå ïî-ñâîåìó. Îäíàêî íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå ðåëèãèîçíûõ è ìèôîëîãè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé (ïîïûòêà òàêîãî èçëîæåíèÿ áûëà äàíà Ãåñèîäîì) íå ìîãëî íå íàíåñòè ñåðüåçíîãî óäàðà ðåëèãèè. Ïðè ïðîâåðêå ðåëèãèîçíûõ èçìûøëåíèé ëîãèêîé ïåðâûå, íåñîìíåííî, ïîêàçàëèñü áû êîíãëîìåðàòîì íåëåïîñòåé.

Òàêèì îáðàçîì, ìàòåðèàëèñòè÷åñêîå ìèðîâîççðåíèå Ôàëåñà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé íå ÿâëÿåòñÿ êàêèì-òî çàãàäî÷íûì, íå îò ìèðà ñåãî ïîðîæäåíèåì ãðå÷åñêîãî äóõà. Îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòîì âïîëíå îïðåäåëåííûõ ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ óñëîâèé è âûðàæàåò èíòåðåñû èñòîðè÷åñêè-êîíêðåòíûõ ñîöèàëüíûõ ñèë, ïðåæäå âñåãî òîðãîâî-ðåìåñëåííûõ ñëîåâ îáùåñòâà - ïèøåò Î.È.Êåäðîâñêèé.

Íà îñíîâàíèè âñåãî âûøåïåðå÷èñëåííîãî åùå íåëüçÿ ñ áîëüøîé óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî èìåííî âîçäåéñòâèå ìèðîâîççðåíèÿ ÿâèëîñü ðåøàþùèì ôàêòîðîì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà; íå èñêëþ÷åíî âåäü, ÷òî ýòî ïðîèçîøëî â ñèëó äðóãèõ ïðè÷èí: ïîòðåáíîñòåé ïðîèçâîäñòâà, çàïðîñîâ ýëåìåíòîâ åñòåñòâîçíàíèÿ, ñóáúåêòèâíûõ ïîáóæäåíèé èññëåäîâàòåëåé. Îäíàêî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ïðè÷èí íå èçìåíèëà ïðèíöèïèàëüíî ñâîåãî õàðàêòåðà ïî ñðàâíåíèþ ñ äîãðå÷åñêîé ýïîõîé íåïîñðåäñòâåííî íå ïðèâîäèò ê ïðåâðàùåíèþ ìàòåìàòèêè â äîêàçàòåëüíóþ íàóêó. Íàïðèìåð, äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ïîòðåáíîñòåé òåõíèêè áûëî âïîëíå äîñòàòî÷íî ïðàêòè÷åñêîé íàóêè äðåâíåãî Âîñòîêà, â ñïðàâåäëèâîñòè ïîëîæåíèé êîòîðîé ìîæíî áûëî óáåäèòüñÿ ýìïèðè÷åñêè. Ñàì ïðîöåññ âûÿâëåíèÿ ýòèõ ïîëîæåíèé ïîêàçàë, ÷òî îíè äàþò äîñòàòî÷íóþ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ íóæä òî÷íîñòü.

Ìîæíî ñ÷èòàòü îäíèì èç ïîáóäèòåëüíûõ ìîòèâîâ âîçíèêíîâåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòü îñìûñëåíèÿ è îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðåäøåñòâåííèêîâ. Îäíàêî è ýòîìó ôàêòîðó íå ïðèíàäëåæèò ðåøàþùàÿ ðîëü, òàê êàê, íàïðèìåð, ñóùåñòâóþò òåîðèè, âîñïðèíèìàåìûå íàìè êàê î÷åâèäíûå, íî ïîëó÷èâøèå ñòðîãîå îáîñíîâàíèå â àíòè÷íîé ìàòåìàòèêå (íàïðèìåð, òåîðèÿ äåëèìîñòè íà 2).

Ïîÿâëåíèå ïîòðåáíîñòè äîêàçàòåëüñòâà â ãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêå ïîëó÷àåò óäîâëåòâîðèòåëüíîå îáúÿñíåíèå, åñëè ó÷åñòü âçàèìîäåéñòâèå ìèðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè.  ýòîì îòíîøåíèè ãðåêè ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîèõ ïðåäøåñòâåííèêîâ.  èõ ôèëîñîôñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ïðîÿâëÿþòñÿ âåðà â ñèëó ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà, êðèòè÷åñêîå îòíîøåíèå ê äîñòèæåíèÿì ïðåäøåñòâåííèêîâ, äèíàìèçì ìûøëåíèÿ. Ó ãðåêîâ âëèÿíèå ìèðîâîççðåíèÿ ïðåâðàòèëîñü èç ñäåðæèâàþùåãî ôàêòîðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ â ñòèìóëèðóþùèé, â äåéñòâåííóþ ñèëó ïðîãðåññà ìàòåìàòèêè.

 òîì, ÷òî îáîñíîâàíèå ïðèíÿëî èìåííî ôîðìó äîêàçàòåëüñòâà, à íå îñòàíîâèëîñü íà ýìïèðè÷åñêîé ïðîâåðêå, ðåøàþùèì ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëåíèå íîâîé, ìèðîâîççðåí÷åñêîé ôóíêöèè íàóêè. Ôàëåñ è åãî ïîñëåäîâàòåëè âîñïðèíèìàþò ìàòåìàòè÷åñêèå äîñòèæåíèÿ ïðåäøåñòâåííèêîâ ïðåæäå âñåãî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ òåõíè÷åñêèõ ïîòðåáíîñòåé, íî íàóêà äëÿ íèõ - íå÷òî áîëüøåå, ÷åì àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Îòäåëüíûå, íàèáîëåå àáñòðàêòíûå ýëåìåíòû ìàòåìàòèêè âïëåòàþòñÿ â íàòóðôèëîñîôñêóþ ñèñòåìó è çäåñü âûïîëíÿþò ðîëü àíòèïîäà ìèôîëîãè÷åñêèì è ðåëèãèîçíûì âåðîâàíèÿì. Ýìïèðè÷åñêàÿ ïîäòâåðæäàåìîñòü äëÿ ýëåìåíòîâ ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû áûëà íåäîñòàòî÷íîé â ñèëó îáùíîñòè èõ õàðàêòåðà è ñêóäíîñòè ïîäòâåðæäàþùèõ èõ ôàêòîâ. Ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ æå ê òîìó âðåìåíè äîñòèãëè òàêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ, ÷òî ìåæäó îòäåëüíûìè ïîëîæåíèÿìè ìîæíî áûëî óñòàíîâèòü ëîãè÷åñêèå ñâÿçè. Òàêàÿ ôîðìà îáîñíîâàíèé îêàçàëàñü îáúåêòèâíî ïðèåìëåìîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé.

Ãëàâà 3

ÏÈÔÀÃÎÐÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Íà îñíîâàíèè äàííîãî âûøå èññëåäîâàíèÿ ìèëåòñêîé øêîëû ìîæíî ëèøü óáåäèòüñÿ â àêòèâíîì âëèÿíèè ìèðîâîççðåíèÿ íà ïðîöåññ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ òîëüêî ïðè ðàäèêàëüíîì èçìåíåíèè ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ óñëîâèé æèçíè îáùåñòâà. Îäíàêî îñòàþòñÿ îòêðûòûìè âîïðîñû î òîì, âëèÿåò ëè èçìåíåíèå ôèëîñîôñêîé îñíîâû æèçíè îáùåñòâà íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè, çàâèñèò ëè ìàòåìàòè÷åñêîå ïîçíàíèå îò èçìåíåíèÿ èäåîëîãè÷åñêîé íàïðàâëåííîñòè ìèðîâîççðåíèÿ, èìååò ëè ìåñòî îáðàòíîå âîçäåéñòâèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé íà ôèëîñîôñêèå èäåè. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû, îáðàòèâøèñü ê äåÿòåëüíîñòè ïèôàãîðåéñêîé øêîëû.

Ïèôàãîðåèçì êàê íàïðàâëåíèå äóõîâíîé æèçíè ñóùåñòâîâàë íà ïðîòÿæåíèè âñåé èñòîðèè Äðåâíåé Ãðåöèè, íà÷èíàÿ ñ VI âåêà äî í. ý. è ïðîøåë â ñâîåì ðàçâèòèè ðÿä ýòàïîâ. Âîïðîñ î èõ âðåìåííîé äëèòåëüíîñòè ñëîæåí è äî ñèõ ïîð íå ðåøåí îäíîçíà÷íî. Îñíîâîïîëîæíèêîì øêîëû áûë Ïèôàãîð Ñàìîññêèé (îê. 580-500 äî í.ý.). Íè îäíà ñòðîêà, íàïèñàííàÿ Ïèôàãîðîì, íå ñîõðàíèëàñü; âîîáùå íåèçâåñòíî, ïðèáåãàë ëè îí ê ïèñüìåííîé ïåðåäà÷å ñâîèõ ìûñëåé. ×òî áûëî ñäåëàíî ñàìèì Ïèôàãîðîì, à ÷òî åãî ó÷åíèêàìè, óñòàíîâèòü î÷åíü òðóäíî. Ñâèäåòåëüñòâà î íåì äðåâíåãðå÷åñêèõ àâòîðîâ ïðîòèâîðå÷èâû; â êàêîé-òî ìåðå ðàçëè÷íûå îöåíêè åãî äåÿòåëüíîñòè îòðàæàþò ìíîãîîáðàçèå åãî ó÷åíèÿ.

 ïèôàãîðåèçìå âûäåëÿþò äâå ñîñòàâëÿþùèå: ïðàêòè÷åñêóþ (ïèôàãîðåéñêèé îáðàç æèçíè) è òåîðåòè÷åñêóþ (îïðåäåëåííàÿ ñîâîêóïíîñòü ó÷åíèé).  ðåëèãèîçíîì ó÷åíèè ïèôàãîðåéöåâ íàèáîëåå âàæíîé ñ÷èòàëàñü îáðÿäîâàÿ ñòîðîíà, çàòåì èìåëîñü â âèäó ñîçäàòü îïðåäåëåííîå äóøåâíîå ñîñòîÿíèå è ëèøü ïîòîì ïî çíà÷èìîñòè øëè âåðîâàíèÿ, â òðàêòîâêå êîòîðûõ äîïóñêàëèñü ðàçíûå âàðèàíòû. Ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðåëèãèîçíûìè òå÷åíèÿìè ó ïèôàãîðåéöåâ áûëè ñïåöèôè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå è ñóäüáå äóøè. Äóøà - ñóùåñòâî áîæåñòâåííîå, îíà çàêëþ÷åíà â òåëî â íàêàçàíèå çà ïðåãðåøåíèÿ. âûñøàÿ öåëü æèçíè - îñâîáîäèòü äóøó èç òåëåñíîé òåìíèöû, íå äîïóñòèòü â äðóãîå òåëî, êîòîðîå ÿêîáû ñîâåðøàåòñÿ ïîñëå ñìåðòè. Ïóòåì äëÿ äîñòèæåíèÿ ýòîé öåëè ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå îïðåäåëåííîãî ìîðàëüíîãî êîäåêñà, ïèôàãîðåéñêèé îáðàç æèçíè.  ìíîãî÷èñëåííîé ñèñòåìå ïðåäïèñàíèé, ðåãëàìåíòèðîâàâøèõ ïî÷òè êàæäûé øàã æèçíè, âèäíîå ìåñòî îòâîäèëîñü çàíÿòèÿì ìóçûêîé è íàó÷íûìè èññëåäîâàíèÿìè.

Òåîðåòè÷åñêàÿ ñòîðîíà ïèôàãîðåèçìà òåñíî ñâÿçàíà ñ ïðàêòè÷åñêîé.  òåîðåòè÷åñêèõ èçûñêàíèÿõ ïèôàãîðåéöû âèäåëè ëó÷øåå ñðåäñòâî îñâîáîæäåíèÿ äóøè èç êðóãà ðîæäåíèé, à èõ ðåçóëüòàòû ñòðåìèëèñü èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàöèîíàëüíîãî îáîñíîâàíèÿ ïðåäïîëàãàåìîé äîêòðèíû. Âåðîÿòíî, â äåÿòåëüíîñòè Ïèôàãîðà è åãî áëèæàéøèõ ó÷åíèêîâ íàó÷íûå ïîëîæåíèÿ áûëè ïåðåìåøàíû ñ ìèñòèêîé, ðåëèãèîçíûìè è ìèôîëîãè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè. Âñÿ ýòà ìóäðîñòü èçëàãàëàñü â êà÷åñòâå èçðå÷åíèé îðàêóëà, êîòîðûì ïðèäàâàëñÿ ñêðûòûé ñìûñë áîæåñòâåííîãî îòêðîâåíèÿ.

Îñíîâíûìè îáúåêòàìè íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ ó ïèôàãîðåéöåâ áûëè ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, â ïåðâóþ î÷åðåäü ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà (âñïîìíèì çíàìåíèòîå ×èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé). Âèäíîå ìåñòî îòâîäèëîñü èçó÷åíèþ ñâÿçåé ìåæäó ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè ÷èñëàìè.  îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ çíàíèé âíèìàíèå àêöåíòèðóåòñÿ íà íàèáîëåå àáñòðàêòíûõ çàâèñèìîñòÿõ. Ïèôàãîðåéöàìè áûëà ïîñòðîåíà çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïëàíèìåòðèè ïðÿìîóãîëüíûõ ôèãóð; âûñøèì äîñòèæåíèåì â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà, ÷àñòíûå ñëó÷àè êîòîðîé çà 1200 ëåò äî ýòîãî ïðèâîäÿòñÿ â êëèíîïèñíûõ òåêñòàõ âàâèëîíÿí. Ãðåêè äîêàçûâàþò åå îáùèì îáðàçîì. Íåêîòîðûå èñòî÷íèêè ïðèïèñûâàþò ïèôàãîðåéöàì äàæå òàêèå âûäàþùèåñÿ ðåçóëüòàòû, êàê ïîñòðîåíèå ïÿòè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.

×èñëà ó ïèôàãîðåéöåâ âûñòóïàþò îñíîâîïîëàãàþùèìè óíèâåðñàëüíûìè îáúåêòàìè, ê êîòîðûì ïðåäïîëàãàëîñü ñâåñòè íå òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ, íî è âñå ìíîãîîáðàçèå äåéñòâèòåëüíîñòè. Ôèçè÷åñêèå, ýòè÷åñêèå, ñîöèàëüíûå è ðåëèãèîçíûå ïîíÿòèÿ ïîëó÷èëè ìàòåìàòè÷åñêóþ îêðàñêó. Íàóêå î ÷èñëàõ è äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòàõ îòâîäèòñÿ îñíîâîïîëàãàþùåå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ, òî åñòü ôàêòè÷åñêè ìàòåìàòèêà îáúÿâëÿåòñÿ ôèëîñîôèåé. Êàê ïèñàë Àðèñòîòåëü, ...ó ÷èñåë îíè óñìàòðèâàëè, êàçàëîñü áû, ìíîãî ñõîäíûõ ÷åðò ñ òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò è ïðîèñõîäèò, - áîëüøå, ÷åì ó îãíÿ, çåìëè è âîäû... Ó íèõ, ïî-âèäèìîìó, ÷èñëî ïðèíèìàåòñÿ çà íà÷àëî è â êà÷åñòâå ìàòåðèè äëÿ âåùåé, è â êà÷åñòâå âûðàæåíèÿ äëÿ èõ ñîñòîÿíèé è ñâîéñòâ... Íàïðèìåð, òàêîå-òî ñâîéñòâî ÷èñåë åñòü ñïðàâåäëèâîñòü, à òàêîå-òî - äóøà è óì, äðóãîå - óäà÷à, è ìîæíî ñêàçàòü - â êàæäîì èç îñòàëüíûõ ñëó÷àåâ òî÷íî òàêæå.

Åñëè ñðàâíèâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ðàííåé ïèôàãîðåéñêîé è ìèëåòñêîé øêîë, òî ìîæíî âûÿâèòü ðÿä ñóùåñòâåííûõ ðàçëè÷èé. Òàê, ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ðàññìàòðèâàëèñü ïèôàãîðåéöàìè êàê ïåðâîñóùíîñòü ìèðà, òî åñòü ðàäèêàëüíî èçìåíèëîñü ñàìî ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Êðîìå òîãî, ìàòåìàòèêà ïðåâðàùåíà ïèôàãîðåéöàìè â ñîñòàâëÿþùóþ ðåëèãèè, â ñðåäñòâî î÷èùåíèÿ äóøè, äîñòèæåíèÿ áåññìåðòèÿ. È íàêîíåö, ïèôàãîðåéöû îãðàíè÷èâàþò îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ íàèáîëåå àáñòðàêòíûìè òèïàìè ýëåìåíòîâ è ñîçíàòåëüíî èãíîðèðóþò ïðèëîæåíèÿ ìàòåìàòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ïðîèçâîäñòâåííûõ çàäà÷. Íî ÷åì æå îáóñëîâëåíû òàêèå ãëîáàëüíûå ðàñõîæäåíèÿ â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ó øêîë, ñóùåñòâîâàâøèõ ïðàêòè÷åñêè â îäíî è òî æå âðåìÿ è ÷åðïàâøèõ ñâîþ ìóäðîñòü, ïî-âèäèìîìó, èç îäíîãî è òîãî æå èñòî÷íèêà - êóëüòóðû Âîñòîêà? Âïðî÷åì, Ïèôàãîð, ñêîðåå âñåãî, ïîëüçîâàëñÿ äîñòèæåíèÿìè ìèëåòñêîé øêîëû, òàê êàê ó íåãî, êàê è ó Ôàëåñà, îáíàðóæèâàþòñÿ îñíîâíûå ïðèçíàêè óìñòâåííîé äåÿòåëüíîñòè, îòëè÷àþùèåñÿ îò äîãðå÷åñêîé ýïîõè; îäíàêî ìàòåìàòè÷åñêàÿ äåÿòåëüíîñòü ýòèõ øêîë íîñèëà ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé õàðàêòåð.

Àðèñòîòåëü áûë îäíèì èç ïåðâûõ, êòî ïîïûòàëñÿ îáúÿñíèòü ïðè÷èíû ïîÿâëåíèÿ ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè. Îí âèäåë èõ â ïðåäåëàõ ñàìîé ìàòåìàòèêè: Òàê íàçûâàåìûå ïèôàãîðåéöû, çàíÿâøèñü ìàòåìàòè÷åñêèìè íàóêàìè, âïåðâûå äâèíóëè èõ âïåðåä è, âîñïèòàâøèñü íà íèõ, ñòàëè ñ÷èòàòü èõ íà÷àëàìè âñåõ âåùåé. Ïîäîáíà òî÷êà çðåíèÿ íå ëèøåíà îñíîâàíèÿ õîòÿ áû â ñèëó ïðèìåíèìîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé äëÿ âûðàæåíèÿ îòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ÿâëåíèÿìè. Íà ýòîì îñíîâàíèè ìîæíî, íåïðàâîìåðíî ðàñøèðèâ äàííûé ìîìåíò ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ïðèéòè ê óòâåðæäåíèþ î âûðàçèìîñòè âñåãî ñóùåãî ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé, à åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëîâûå îòíîøåíèÿ óíèâåðñàëüíûìè, òî ÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé. Êðîìå òîãî, êî âðåìåíè äåÿòåëüíîñòè ïèôàãîðåéöåâ ìàòåìàòèêà ïðîøëà äëèííûé ïóòü èñòîðè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ; ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ åå îñíîâíûõ ïîëîæåíèé òåðÿëñÿ âî ìðàêå âåêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿëîñü èñêóøåíèå ïðåíåáðå÷ü èì è îáúÿâèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû ÷åì-òî ïåðâè÷íûì ïî îòíîøåíèþ ê ñóùåñòâóþùåìó ìèðó. Èìåííî òàê è ïîñòóïèëè ïèôàãîðåéöû.

 ñîâåòñêîé ôèëîñîôñêîé íàóêå ïðîáëåìà ïîÿâëåíèÿ ïèôàãîðåéñêîé êîíöåïöèè ìàòåìàòèêè ðàññìàòðèâàëàñü, åñòåñòâåííî, ñ ïîçèöèé ìàðêñèñòñêî-ëåíèíñêîé ôèëîñîôèè. Òàê, Î.È.Êåäðîâñêèé ïèøåò: ...Âûðàáîòàííàÿ èì (Ïèôàãîðîì) êîíöåïöèÿ îáúåêòèâíî îêàçàëàñü èäåîëîãèåé âïîëíå îïðåäåëåííûõ ñîöèàëüíûõ ñëîåâ îáùåñòâà. Ýòî áûëè ...ïðåäñòàâèòåëè àðèñòîêðàòèè, òåñíèìûå äåìîñîì... Äëÿ íèõ õàðàêòåðíî ñòðåìëåíèå óéòè îò òÿãîò çåìíîé æèçíè, îáðàùåíèå ê ðåëèãèè è ìèñòèêå. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ, êàê è ïåðâàÿ, íå ëèøåíà ñìûñëà; èñòèíà æå, âåðîÿòíî, íàõîäèòñÿ ãäå-òî ïîñåðåäèíå. Îäíàêî, íà ìîé âçãëÿä, êðàõ ïèôàãîðåéñêîãî ó÷åíèÿ ñëåäóåò ñâÿçûâàòü â ïåðâóþ î÷åðåäü íå ñ âûðîæäåíèåì àðèñòîêðàòèè êàê êëàññà, à ñ ïîïûòêîé ïèôàãîðåéöåâ èçâðàòèòü ñàìó ïðèðîäó ïðîöåññà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ëèøèâ ìàòåìàòèêó òàêèõ âàæíûõ èñòî÷íèêîâ ïðîãðåññà, êàê ïðèëîæåíèÿ ê ïðîèçâîäñòâó, îòêðûòîå îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé, êîëëåêòèâíîå òâîð÷åñòâî, óäåðæàòü ïðîãðåññ ìàòåìàòèêè â ðàìêàõ ðàôèíèðîâàííîãî ó÷åíèÿ äëÿ ïîñâÿùåííûõ. Êñòàòè, ñàìè ïèôàãîðåéöû ïîäîðâàëè ñâîé îñíîâîïîëàãàþùèé ïðèíöèï ÷èñëî åñòü ñóùíîñòü âñåõ âåùåé, îòêðûâ, ÷òî îòíîøåíèå äèàãîíàëè è ñòîðîíû êâàäðàòà íå âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì öåëûõ ÷èñåë.

Òàêèì îáðàçîì, óæå â èñõîäíîì ïóíêòå ñâîåãî ðàçâèòèÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà áûëà ïîäâåðæåíà âëèÿíèþ áîðüáû äâóõ òèïîâ ìèðîâîççðåíèÿ - ìàòåðèàëèñòè÷åñêîãî è ðåëèãèîçíî-èäåàëèñòè÷åñêîãî. Ìû æå óáåäèëèñü, ÷òî íàðÿäó ñ âëèÿíèåì ìèðîâîççðåíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ èìååò ìåñòî è îáðàòíîå âîçäåéñòâèå.


Ãëàâà 4

ÝËÅÉÑÊÀß ØÊÎËÀ

Ýëåéñêàÿ øêîëà äîâîëüíî èíòåðåñíà äëÿ èññëåäîâàíèÿ, òàê êàê ýòî îäíà èç äðåâíåéøèõ øêîë, â òðóäàõ êîòîðîé ìàòåìàòèêà è ôèëîñîôèÿ äîñòàòî÷íî òåñíî è ðàçíîñòîðîííå âçàèìîäåéñòâóþò. Îñíîâíûìè ïðåäñòàâèòåëÿìè ýëåéñêîé øêîëû ñ÷èòàþò Ïàðìåíèäà (êîíåö VI - V â. äî í.ý.) è Çåíîíà (ïåðâàÿ ïîëîâèíà V â. äî í.ý.).

Ôèëîñîôèÿ Ïàðìåíèäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: âñåâîçìîæíûå ñèñòåìû ìèðîïîíèìàíèÿ áàçèðóþòñÿ íà îäíîé èç òðåõ ïîñûëîê: 1)Åñòü òîëüêî áûòèå, íåáûòèÿ íåò; 2)Ñóùåñòâóåò íå òîëüêî áûòèå, íî è íåáûòèå; 3)Áûòèå è íåáûòèå òîæäåñòâåííû. Èñòèííîé Ïàðìåíèä ïðèçíàåò òîëüêî ïåðâóþ ïîñûëêó. Ñîãëàñíî åìó, áûòèå åäèíî, íåäåëèìî, íåèçìåíÿåìî, âíåâðåìåííî, çàêîí÷åíî â ñåáå, òîëüêî îíî èñòèííî ñóùåå; ìíîæåñòâåííîñòü, èçìåí÷èâîñòü, ïðåðûâíîñòü, òåêó÷åñòü - âñå ýòî óäåë ìíèìîãî.

Ñ çàùèòîé ó÷åíèÿ Ïàðìåíèäà îò âîçðàæåíèé âûñòóïèë åãî ó÷åíèê Çåíîí. Äðåâíèå ïðèïèñûâàëè åìó ñîðîê äîêàçàòåëüñòâ äëÿ çàùèòû ó÷åíèÿ î åäèíñòâå ñóùåãî (ïðîòèâ ìíîæåñòâåííîñòè âåùåé) è ïÿòü äîêàçàòåëüñòâ åãî íåïîäâèæíîñòè (ïðîòèâ äâèæåíèÿ). Èç íèõ äî íàñ äîøëî âñåãî äåâÿòü. Íàèáîëüøåé èçâåñòíîñòüþ âî âñå âðåìåíà ïîëüçîâàëèñü çåíîíîâû äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ äâèæåíèÿ; íàïðèìåð, äâèæåíèÿ íå ñóùåñòâóåò íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ïåðåìåùàþùååñÿ òåëî äîëæíî ïðåæäå äîéòè äî ïîëîâèíû, ÷åì äî êîíöà, à ÷òîáû äîéòè äî ïîëîâèíû, íóæíî ïðîéòè ïîëîâèíó ýòîé ïîëîâèíû è ò.ä..

Àðãóìåíòû Çåíîíà ïðèâîäÿò ê ïàðàäîêñàëüíûì, ñ òî÷êè çðåíèÿ çäðàâîãî ñìûñëà, âûâîäàì, íî èõ íåëüçÿ áûëî ïðîñòî îòáðîñèòü êàê íåñîñòîÿòåëüíûå, ïîñêîëüêó è ïî ôîðìå, è ïî ñîäåðæàíèþ óäîâëåòâîðÿëè ìàòåìàòè÷åñêèì ñòàíäàðòàì òîé ïîðû. Ðàçëîæèâ àïîðèè Çåíîíà íà ñîñòàâíûå ÷àñòè è äâèãàÿñü îò çàêëþ÷åíèé ê ïîñûëêàì, ìîæíî ðåêîíñòðóèðîâàòü èñõîäíûå ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå îí âçÿë çà îñíîâó ñâîåé êîíöåïöèè. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â êîíöåïöèè ýëåàòîâ, êàê è â äîçåíîíîâñêîé íàóêå ôóíäàìåíòàëüíûå ôèëîñîôñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñóùåñòâåííî îïèðàëèñü íà ìàòåìàòè÷åñêèå ïðèíöèïû. Âèäíîå ìåñòî ñðåäè íèõ çàíèìàëè ñëåäóþùèå àêñèîìû:

1. Ñóììà áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ëþáûõ, õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî ìàëûõ, íî ïðîòÿæåííûõ âåëè÷èí äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé;

2. Ñóììà ëþáîãî, õîòÿ áû è áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà íåïðîòÿæåííûõ âåëè÷èí âñåãäà ðàâíà íóëþ è íèêîãäà íå ìîæåò ñòàòü íåêîòîðîé çàðàíåå çàäàííîé ïðîòÿæåííîé âåëè÷èíîé.

Èìåííî â ñèëó òåñíîé âçàèìîñâÿçè îáùèõ ôèëîñîôñêèõ ïðåäñòàâëåíèé ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïîëîæåíèÿìè óäàð, íàíåñåííûé Çåíîíîì ïî ôèëîñîôñêèì âîççðåíèÿì, ñóùåñòâåííî çàòðîíóë ñèñòåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé. Öåëûé ðÿä âàæíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ñ÷èòàâøèõñÿ äî ýòîãî íåñîìíåííî èñòèííûìè, â ñâåòå çåíîíîâñêèõ ïîñòðîåíèé âûãëÿäåëè êàê ïðîòèâîðå÷èâûå. Ðàññóæäåíèÿ Çåíîíà ïðèâåëè ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåîñìûñëèòü òàêèå âàæíûå ìåòîäîëîãè÷åñêèå âîïðîñû, êàê ïðèðîäà áåñêîíå÷íîñòè, ñîîòíîøåíèå ìåæäó íåïðåðûâíûì è ïðåðûâíûì è ò.ï. Îíè îáðàòèëè âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ íà íåïðî÷íîñòü ôóíäàìåíòà èõ íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè è òàêèì îáðàçîì îêàçàëè ñòèìóëèðóþùåå âîçäåéñòâèå íà ïðîãðåññ ýòîé íàóêè.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå è íà îáðàòíóþ ñâÿçü - íà ðîëü ìàòåìàòèêè â ôîðìèðîâàíèè ýëåéñêîé ôèëîñîôèè. Òàê, óñòàíîâëåíî, ÷òî àïîðèè Çåíîíà ñâÿçàíû ñ íàõîæäåíèåì ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Íà ýòîì îñíîâàíèè ñîâåòñêèé èñòîðèê ìàòåìàòèêè Ý. Êîëüìàí ñäåëàë ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èìåííî íà ìàòåìàòè÷åñêèé ïî÷âå ñóììèðîâàíèÿ òàêèõ ïðîãðåññèé è âûðîñëè ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå àïîðèè Çåíîíà. Îäíàêî òàêîå ïðåäïîëîæåíèå, ïî-âèäèìîìó, ëèøåíî äîñòàòî÷íûõ îñíîâàíèé, òàê êàê îíî ñëèøêîì æåñòêî ñâÿçûâàåò ó÷åíèå Çåíîíà ñ ìàòåìàòèêîé ïðè òîì, ÷òî èìåþùèå èñòîðè÷åñêèå äàííûå íå äàþò îñíîâàíèÿ óòâåðæäàòü, ÷òî Çåíîí âîîáùå áûë ìàòåìàòèêîì.

Îãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîñëåäóþùåãî ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè èìåëî ïîâûøåíèå óðîâíÿ àáñòðàêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ÷òî ïðîèçîøëî â áîëüøîé ñòåïåíè áëàãîäàðÿ äåÿòåëüíîñòè ýëåàòîâ. Êîíêðåòíîé ôîðìîé ïðîÿâëåíèÿ ýòîãî ïðîöåññà áûëî âîçíèêíîâåíèå êîñâåííîãî äîêàçàòåëüñòâà (îò ïðîòèâíîãî), õàðàêòåðíîé ÷åðòîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî íå ñàìîãî óòâåðæäåíèÿ, à àáñóðäíîñòè îáðàòíîãî åìó. Òàêèì îáðàçîì áûë ñäåëàí øàã ê ñòàíîâëåíèþ ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé íàóêè, ñîçäàíû íåêîòîðûå ïðåäïîñûëêè äëÿ åå àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ.

Èòàê, ôèëîñîôñêèå ðàññóæäåíèÿ ýëåàòîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÿâèëèñü ìîùíûì òîë÷êîì äëÿ ïðèíöèïèàëüíî íîâîé ïîñòàíîâêè âàæíåéøèõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ âîïðîñîâ ìàòåìàòèêè, à ñ äðóãîé - ïîñëóæèëè èñòî÷íèêîì âîçíèêíîâåíèÿ êà÷åñòâåííî íîâîé ôîðìû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Ãëàâà 5

ÄÅÌÎÊÐÈÒ

Àðãóìåíòû Çåíîíà âñêðûëè âíóòðåííèå ïðîòèâîðå÷èÿ, êîòîðûå èìåëè ìåñòî â ñëîæèâøèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ. Òåì ñàìûì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòèêè áûë ïîñòàâëåí ïîä ñîìíåíèå. Êàêèìè æå ïóòÿìè ðàçðåøàëèñü ïðîòèâîðå÷èÿ, âûÿâëåííûå Çåíîíîì ?

Ïðîñòåéøèì âûõîäîì èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ áàë îòêàç îò àáñòðàêöèé â ïîëüçó òîãî, ÷òî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ îùóùåíèé. Òàêóþ ïîçèöèþ çàíÿë ñîôèñò Ïðîòàãîð. Îí ñ÷èòàë, ÷òî ìû íå ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñåáå íè÷åãî ïðÿìîãî èëè êðóãëîãî â òîì ñìûñëå, êàê ïðåäñòàâëÿåò ýòè òåðìèíû ãåîìåòðèÿ; â ñàìîì äåëå, êðóã êàñàåòñÿ ïðÿìîé íå â îäíîé òî÷êå. Òàêèì îáðàçîì, èç ìàòåìàòèêè ñëåäóåò óáðàòü êàê èððåàëüíûå: ïðåäñòàâëåíèÿ î áåñêîíå÷íîì ÷èñëå âåùåé, òàê êàê íèêòî íå ìîæåò ñ÷èòàòü äî áåñêîíå÷íîñòè; áåñêîíå÷íóþ äåëèìîñòü, ïîñêîëüêó îíà íåîñóùåñòâèìà ïðàêòè÷åñêè è ò.ä. Òàêèì ïóòåì ìàòåìàòèêó ìîæíî ñäåëàòü íåóÿçâèìîé äëÿ ðàññóæäåíèé Çåíîíà, íî ïðè ýòîì ïðàêòè÷åñêè óïðàçäíÿåòñÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà. Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå áûëî ïîñòðîèòü ñèñòåìó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîëîæåíèé ìàòåìàòèêè, â êîòîðîé áû âûÿâëåííûå Çåíîíîì ïðîòèâîðå÷èÿ íå èìåëè áû ìåñòà. Ýòó çàäà÷ó ðåøèë Äåìîêðèò, ðàçðàáîòàâ êîíöåïöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà.

Äåìîêðèò áàë, ïî ìíåíèþ Ìàðêñà, ïåðâûì ýíöèêëîïåäè÷åñêèì óìîì ñðåäè ãðåêîâ. Äèîãåí Ëàåðöèé (III â. í.ý.) íàçûâàåò 7Î åãî ñî÷èíåíèé, â êîòîðûõ áûëè îñâåùåíû âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ìàòåìàòèêè, êîñìîëîãèè, ôèçèêè, áèîëîãèè, îáùåñòâåííîé æèçíè, ïñèõîëîãèè, ýòèêè, ïåäàãîãèêè, ôèëîëîãèè, èñêóññòâà, òåõíèêè è äðóãèå. Àðèñòîòåëü ïèñàë î íåì: Âîîáùå, êðîìå ïîâåðõíîñòíûõ èçûñêàíèé, íèêòî íè÷åãî íå óñòàíîâèë, èñêëþ÷àÿ Äåìîêðèòà. ×òî æå êàñàåòñÿ åãî, òî ïîëó÷àåòñÿ òàêîå âïå÷àòëåíèå, ÷òî îí ïðåäóñìîòðåë âñå, äà è â ìåòîäå âû÷èñëåíèé îí âûãîäíî îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ.

Ââîäíîé ÷àñòüþ íàó÷íîé ñèñòåìû Äåìîêðèòà áûëà êàíîíèêà, â êîòîðîé ôîðìóëèðîâàëèñü è îáîñíîâûâàëèñü ïðèíöèïû àòîìèñòè÷åñêîé ôèëîñîôèè. Çàòåì ñëåäîâàëà ôèçèêà, êàê íàóêà î ðàçëè÷íûõ ïðîÿâëåíèÿõ áûòèÿ, è ýòèêà. Êàíîíèêà âõîäèëà â ôèçèêó â êà÷åñòâå èñõîäíîãî ðàçäåëà, ýòèêà æå ñòðîèëàñü êàê ïîðîæäåíèå ôèçèêè.  ôèëîñîôèè Äåìîêðèòà ïðåæäå âñåãî óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàçëè÷èå ìåæäó ïîäëèííî ñóùèì è òåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî â îáùåì ìíåíèè. Ïîäëèííî ñóùèìè ñ÷èòàëèñü ëèøü àòîìû è ïóñòîòà. Êàê ïîäëèííî ñóùåå, ïóñòîòà (íåáûòèå) åñòü òàêàÿ æå ðåàëüíîñòü, êàê àòîìû (áûòèå). Âåëèêàÿ ïóñòîòà áåçãðàíè÷íà è çàêëþ÷àåò â ñåáå âñå ñóùåñòâóþùåå, â íåé íåò íè âåðõà, íè íèçà, íè êðàÿ, íè öåíòðà, îíà äåëàåò ïðåðûâíîé ìàòåðèþ è âîçìîæíûì åå äâèæåíèå. Áûòèå îáðàçóþò áåñ÷èñëåííûå ìåëü÷àéøèå êà÷åñòâåííî îäíîðîäíûå ïåðâîòåëüöà, ðàçëè÷àþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé ïî âíåøíèì ôîðìàì, ðàçìåðó, ïîëîæåíèþ è ïîðÿäêó, îíè äàëåå íåäåëèìû âñëåäñòâèå àáñîëþòíîé òâåðäîñòè è îòñóòñòâèÿ â íèõ ïóñòîòû è ïî âåëè÷èíå íåäåëèìû. Àòîìàì ñàìèì ïî ñåáå ñâîéñòâåííî íåïðåñòàííîå äâèæåíèå, ðàçíîîáðàçèå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ðàçíîîáðàçèåì ôîðì àòîìîâ. Äâèæåíèå àòîìîâ âå÷íî è â êîíå÷íîì èòîãå ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé âñåõ èçìåíåíèé â ìèðå.

Çàäà÷à íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ, ñîãëàñíî Äåìîêðèòó, ÷òîáû íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ ñâåñòè ê îáëàñòè èñòèííîãî ñóùåãî è äàòü èì îáúÿñíåíèå èñõîäÿ èç îáùèõ ïðèíöèïîâ àòîìèñòèêè. Ýòî ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïîñðåäñòâîì ñîâìåñòíîé äåÿòåëüíîñòè îùóùåíèé è ðàçóìà. Ãíîñåîëîãè÷åñêóþ ïîçèöèþ Äåìîêðèòà Ìàðêñ ñôîðìóëèðîâàë ñëåäóþùèì îáðàçîì: Äåìîêðèò íå òîëüêî íå óäàëÿëñÿ îò ìèðà, à, íàîáîðîò, áûë ýìïèðè÷åñêèì åñòåñòâîèñïûòàòåëåì. Ñîäåðæàíèå èñõîäíûõ ôèëîñîôñêèõ ïðèíöèïîâ è ãíîñåîëîãè÷åñêèå óñòàíîâêè îïðåäåëèëè îñíîâíûå ÷åðòû íàó÷íîãî ìåòîäà Äåìîêðèòà:

à)  ïîçíàíèè èñõîäèòü îò åäèíè÷íîãî;

á) Ëþáûå ïðåäìåò è ÿâëåíèå ðàçëîæèìû äî ïðîñòåéøèõ ýëåìåíòîâ (àíàëèç) è îáúÿñíèìû èñõîäÿ èç íèõ (ñèíòåç);

â) Ðàçëè÷àòü ñóùåñòâîâàíèå ïî èñòèíå è ñîãëàñíî ìíåíèþ;

ã) ßâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè - ýòî îòäåëüíûå ôðàãìåíòû óïîðÿäî÷åííîãî êîñìîñà, êîòîðûé âîçíèê è ôóíêöèîíèðóåò â ðåçóëüòàòå äåéñòâèé ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîé ïðè÷èííîñòè.

Ìàòåìàòèêà ïî ïðàâó äîëæíà ñ÷èòàòüñÿ ó Äåìîêðèòà ïåðâûì ðàçäåëîì ñîáñòâåííî ôèçèêè è ñëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííî çà êàíîíèêîé.  ñàìîì äåëå, àòîìû êà÷åñòâåííî îäíîðîäíû è èõ ïåðâè÷íûå ñâîéñòâà èìåþò êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð. Îäíàêî áûëî áû íåïðàâèëüíî òðàêòîâàòü ó÷åíèå Äåìîêðèòà êàê ðàçíîâèäíîñòü ïèôàãîðåèçìà, ïîñêîëüêó Äåìîêðèò õîòÿ è ñîõðàíÿåò èäåþ ãîñïîäñòâà â ìèðå ìàòåìàòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè, íî âûñòóïàåò ñ êðèòèêîé àïðèîðíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ïèôàãîðåéöåâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷èñëî äîëæíî âûñòóïàòü íå çàêîíîäàòåëåì ïðèðîäû, à èçâëåêàòüñÿ èç íåå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàêîíîìåðíîñòü âûÿâëÿåòñÿ Äåìîêðèòîì èç ÿâëåíèé äåéñòâèòåëüíîñòè, è â ýòîì ñìûñëå îí ïðåäâîñõèùàåò èäåè ìàòåìàòè÷åñêîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Èñõîäíûå íà÷àëà ìàòåðèàëüíîãî áûòèÿ âûñòóïàþò ó Äåìîêðèòà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû, è â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìàòåìàòèêå îòâîäèòñÿ âèäíîå ìåñòî â ñèñòåìå ìèðîâîççðåíèÿ êàê íàóêå î ïåðâè÷íûõ ñâîéñòâàõ âåùåé. Îäíàêî âêëþ÷åíèå ìàòåìàòèêè â îñíîâàíèå ìèðîâîççðåí÷åñêîé ñèñòåìû ïîòðåáîâàëî åå ïåðåñòðîéêè, ïðèâåäåíèÿ ìàòåìàòèêè â ñîîòâåòñòâèå ñ èñõîäíûìè ôèëîñîôñêèìè ïîëîæåíèÿìè, ñ ëîãèêîé, ãíîñåîëîãèåé, ìåòîäîëîãèåé íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ. Ñîçäàííàÿ òàêèì îáðàçîì êîíöåïöèÿ ìàòåìàòèêè, íàçûâàåìàÿ êîíöåïöèåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà, îêàçàëàñü ñóùåñòâåííî îòëè÷íîé îò ïðåäûäóùèõ.

Ó Äåìîêðèòà âñå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû (òåëà, ïëîñêîñòè, ëèíèè, òî÷êè) âûñòóïàþò â îïðåäåëåííûõ ìàòåðèàëüíûõ îáðàçàõ. Èäåàëüíûå ïëîñêîñòè, ëèíèè, òî÷êè â åãî ó÷åíèè îòñóòñòâóþò. Îñíîâíîé ïðîöåäóðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ òåë íà òîí÷àéøèå ëèñòèêè (ïëîñêîñòè), ïëîñêîñòåé - íà òîí÷àéøèå íèòêè (ëèíèè), ëèíèé - íà ìåëü÷àéøèå çåðíûøêè (àòîìû). Êàæäûé àòîì èìååò ìàëóþ, íî íåíóëåâóþ âåëè÷èíó è äàëåå íåäåëèì. Òåïåðü äëèíà ëèíèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ñîäåðæàùèõñÿ â íåé íåäåëèìûõ ÷àñòèö. Àíàëîãè÷íî ðåøàåòñÿ âîïðîñ î âçàèìîñâÿçè ëèíèé íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòåé â òåëå. ×èñëî àòîìîâ â êîíå÷íîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà íå áåñêîíå÷íî, õîòÿ è íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî íåäîñòóïíî ÷óâñòâàì. Èòàê, ãëàâíûì îòëè÷èåì ó÷åíèÿ Äåìîêðèòà îò ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèå èì áåñêîíå÷íîé äåëèìîñòè. Òàêèì îáðàçîì îí ðåøàåò ïðîáëåìó ïðàâîìåðíîñòè òåîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ìàòåìàòèêè, íå ñâîäÿ èõ ê ÷óâñòâåííî âîñïðèíèìàåìûì îáðàçàì, êàê ýòî äåëàë Ïðîòàãîð. Òàê, íà ðàññóæäåíèÿ Ïðîòàãîðà î êàñàíèè îêðóæíîñòè è ïðÿìîé Äåìîêðèò ìîã áû îòâåòèòü, ÷òî ÷óâñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ îòïðàâíûì êðèòåðèåì Ïðîòàãîðà, ïîêàçûâàþò åìó, ÷òî ÷åì òî÷íåå ÷åðòåæ, òåì ìåíüøå ó÷àñòîê êàñàíèÿ; â äåéñòâèòåëüíîñòè æå ýòîò ó÷àñòîê íàñòîëüêî ìàë, ÷òî íå ïîääàåòñÿ ÷óâñòâåííîìó àíàëèçó, à îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè èñòèííîãî ïîçíàíèÿ.

Ðóêîâîäñòâóÿñü ïîëîæåíèÿìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àòîìèçìà, Äåìîêðèò ïðîâîäèò ðÿä êîíêðåòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è äîñòèãàåò âûäàþùèõñÿ ðåçóëüòàòîâ (íàïðèìåð, òåîðèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ïåðñïåêòèâû è ïðîåêöèè). Êðîìå òîãî, îí ñûãðàë, ïî ñâèäåòåëüñòâó Àðõèìåäà, íåìàëîâàæíóþ ðîëü â äîêàçàòåëüñòâå Ýâäîêñîì òåîðåì îá îáúåìå êîíóñà è ïèðàìèäû. Íåëüçÿ ñ óâåðåííîñòüþ ñêàçàòü, ïîëüçîâàëñÿ ëè îí ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìåòîäàìè àíàëèçà áåñêîíå÷íî ìàëûõ. À.Î.Ìàêîâåëüñêèé ïèøåò: Äåìîêðèò âñòóïèë íà ïóòü, ïî êîòîðîìó äàëüøå ïîøëè Àðõèìåä è Êàâàëüåðè. Îäíàêî, ïîäîéäÿ âïëîòíóþ ê ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî, Äåìîêðèò íå ñäåëàë ïîñëåäíåãî ðåøèòåëüíîãî øàãà. Îí íå äîïóñêàåò áåçãðàíè÷íîãî óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ñëàãàåìûõ, îáðàçóþùèõ â ñâîåé ñóììå äàííûé îáúåì. Îí ïðèíèìàåò ëèøü ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîå, íå ïîääàþùååñÿ èñ÷èñëåíèþ âñëåäñòâèå ñâîåé îãðîìíîñòè ÷èñëî ýòèõ ñëàãàåìûõ.

Âûäàþùèìñÿ äîñòèæåíèåì Äåìîêðèòà â ìàòåìàòèêå ÿâèëàñü òàêæå åãî èäåÿ î ïîñòðîåíèè òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè êàê ñèñòåìû.  çàðîäûøåâîé ôîðìå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èäåþ àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ çàòåì áûëà ðàçâèòà â ìåòîäîëîãè÷åñêîì ïëàíå Ïëàòîíîì è ïîëó÷èëà ëîãè÷åñêè ðàçâåðíóòîå ïîëîæåíèå ó Àðèñòîòåëÿ.

Ãëàâà 6

ÏËÀÒÎÍÎÂÑÊÈÉ ÈÄÅÀËÈÇÌ

Ñî÷èíåíèÿ Ïëàòîíà (427-347 ãã. äî í.ý.) - óíèêàëüíîå ÿâëåíèå â îòíîøåíèè âûäåëåíèÿ ôèëîñîôñêîé êîíöåïöèè. Ýòî âûñîêîõóäîæåñòâåííîå, çàõâàòûâàþùåå îïèñàíèå ñàìîãî ïðîöåññà ñòàíîâëåíèÿ êîíöåïöèè, ñ ñîìíåíèÿìè è íåóâåðåííîñòüþ, ïîä÷àñ ñ áåçðåçóëüòàòíûìè ïîïûòêàìè ðàçðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà, ñ âîçâðàòîì ê èñõîäíîìó ïóíêòó, ìíîãî÷èñëåííûìè ïîâòîðåíèÿìè è ò.ï. Âûäåëèòü â òâîð÷åñòâå Ïëàòîíà êàêîé-ëèáî àñïåêò è ñèñòåìàòè÷åñêè èçëîæèòü åãî äîâîëüíî ñëîæíî, òàê êàê ïðèõîäèòñÿ ðåêîíñòðóèðîâàòü ìûñëè Ïëàòîíà èç îòäåëüíûõ âûñêàçûâàíèé, êîòîðûå íàñòîëüêî äèíàìè÷íû, ÷òî â ïðîöåññå ýâîëþöèè ìûñëè ïîðîé ïðåâðàùàþòñÿ â ñâîþ ïðîòèâîïîëîæíîñòü.

Ïëàòîí íåîäíîêðàòíî âûñêàçûâàë ñâîå îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå è îíà âñåãäà îöåíèâàëàñü èì î÷åíü âûñîêî: áåç ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé ÷åëîâåê ñ ëþáûìè ïðèðîäíûìè ñâîéñòâàìè íå ñòàíåò áëàæåííûì, â ñâîåì èäåàëüíîì ãîñóäàðñòâå îí ïðåäïîëàãàë óòâåðäèòü çàêîíîì è óáåäèòü òåõ, êîòîðûå íàìåðåâàþòñÿ çàíÿòü â ãîðîäå âûñîêèå äîëæíîñòè, ÷òîáû îíè óïðàæíÿëèñü â íàóêå ñ÷èñëåíèÿ. Ñèñòåìàòè÷åñêîå øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà èìååò ìåñòî ó Ïëàòîíà, íà÷èíàÿ ñ äèàëîãà Ìåíîí, ãäå Ïëàòîí ïîäâîäèò ê îñíîâíîìó âûâîäó ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà. Èìåííî âûâîä ýòîãî äèàëîãà î òîì, ÷òî ïîçíàíèå åñòü ïðèïîìèíàíèå, ñòàë îñíîâîïîëàãàþùèì ïðèíöèïîì ïëàòîíîâñêîé ãíîñåîëîãèè.

Çíà÷èòåëüíî â áîëüøåé ìåðå, ÷åì â ãíîñåîëîãèè, âëèÿíèå ìàòåìàòèêè îáíàðóæèâàåòñÿ â îíòîëîãèè Ïëàòîíà. Ïðîáëåìà ñòðîåíèÿ ìàòåðèàëüíîé äåéñòâèòåëüíîñòè ó Ïëàòîíà ïîëó÷èëà òàêóþ òðàêòîâêó: ìèð âåùåé, âîñïðèíèìàåìûé ïîñðåäñòâîì ÷óâñòâ, íå åñòü ìèð èñòèííî ñóùåñòâóþùåãî; âåùè íåïðåðûâíî âîçíèêàþò è ïîãèáàþò. Èñòèííûì áûòèåì îáëàäàåò ìèð èäåé, êîòîðûå áåñòåëåñíû, íå÷óâñòâåííû è âûñòóïàþò ïî îòíîøåíèþ ê âåùàì êàê èõ ïðè÷èíû è îáðàçû, ïî êîòîðûì ýòè âåùè ñîçäàþòñÿ. Äàëåå, ïîìèìî ÷óâñòâåííûõ ïðåäìåòîâ è èäåé îí óñòàíàâëèâàåò ìàòåìàòè÷åñêèå èñòèíû, êîòîðûå îò ÷óâñòâåííûõ ïðåäìåòîâ îòëè÷àþòñÿ òåì, ÷òî âå÷íû è íåïîäâèæíû, à îò èäåé - òåì, ÷òî íåêîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêèå èñòèíû ñõîäíà äðóã ñ äðóãîì, èäåÿ æå âñÿêèé ðàç òîëüêî îäíà. Ó Ïëàòîíà â êà÷åñòâå ìàòåðèè íà÷àëàìè ÿâëÿþòñÿ áîëüøîå è ìàëîå, à â êà÷åñòâå ñóùíîñòè - åäèíîå, èáî èäåè (îíè æå ÷èñëà) ïîëó÷àþòñÿ èç áîëüøîãî è ìàëîãî ÷åðåç ïðèîáùåíèå èõ ê åäèíñòâó. ×óâñòâåííî âîñïðèíèìàåìûé ìèð, ñîãëàñíî Ïëàòîíó, ñîçäàí Áîãîì. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ êîñìîñà îïèñàí â äèàëîãå Òèìåé. Îçíàêîìèâøèñü ñ ýòèì îïèñàíèåì, íóæíî ïðèçíàòü, ÷òî Ñîçäàòåëü áûë õîðîøî çíàêîì ñ ìàòåìàòèêîé è íà ìíîãèõ ýòàïàõ òâîðåíèÿ ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàë ìàòåìàòè÷åñêèå ïîëîæåíèÿ, à ïîðîé è âûïîëíÿë òî÷íûå âû÷èñëåíèÿ.

Ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îòíîøåíèé Ïëàòîí ïûòàëñÿ îõàðàêòåðèçîâàòü è íåêîòîðûå ÿâëåíèÿ îáùåñòâåííîé æèçíè, ïðèìåðîì ÷åãî ìîæåò ñëóæèòü òðàêòîâêà ñîöèàëüíîãî îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâî â äèàëîãå Ãîðãèé è â Çàêîíàõ. Ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî Ïëàòîí ñóùåñòâåííî îïèðàëñÿ íà ìàòåìàòèêó ïðè ðàçðàáîòêå îñíîâíûõ ðàçäåëîâ ñâîåé ôèëîñîôèè: â êîíöåïöèè ïîçíàíèå - ïðèïîìèíàíèå, ó÷åíèè î ñóùíîñòè ìàòåðèàëüíîãî áûòèÿ, îá óñòðîéñòâå êîñìîñà, â òðàêòîâêå ñîöèàëüíûõ ÿâëåíèé è ò.ä. Ìàòåìàòèêà ñûãðàëà çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â êîíñòðóêòèâíîì îôîðìëåíèè åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû. Òàê â ÷åì æå çàêëþ÷àëàñü åãî êîíöåïöèÿ ìàòåìàòèêè?

Ñîãëàñíî Ïëàòîíó, ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè (àðèôìåòèêà, ãåîìåòðèÿ, àñòðîíîìèÿ è ãàðìîíèÿ) äàðîâàíû ÷åëîâåêó áîãàìè, êîòîðûå ïðîèçâåëè ÷èñëî, äàëè èäåþ âðåìåíè è âîçáóäèëè ïîòðåáíîñòü èññëåäîâàíèÿ âñåëåííîé. Èçíà÷àëüíîå íàçíà÷åíèå ìàòåìàòèêè â òîì, ÷òîáû î÷èùàëñÿ è îæèâëÿëñÿ òîò îðãàí äóøè ÷åëîâåêà, ðàññòðîåííûé è îñëåïëåííûé èíûìè äåëàìè, êîòîðûé âàæíåå, ÷åì òûñÿ÷à ãëàç, ïîòîìó ÷òî èì îäíèì ñîçåðöàåòñÿ èñòèíà. Òîëüêî íèêòî íå ïîëüçóåòñÿ åþ (ìàòåìàòèêîé) ïðàâèëüíî, êàê íàóêîþ, âëåêóùåé íåïðåìåííî ê ñóùåìó. Íåïðàâèëüíîñòü ìàòåìàòèêè Ïëàòîí âèäåë ïðåæäå âñåãî â åå ïðèìåíèìîñòè äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òîáû îí âîîáùå îòðèöàë ïðàêòè÷åñêóþ ïðèìåíèìîñòü ìàòåìàòèêè. Òàê, ÷àñòü ãåîìåòðèè íóæíà äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ ëàãåðåé, ïðè âñåõ ïîñòðîåíèÿõ êàê âî âðåìÿ ñàìèõ ñðàæåíèé, òàê è âî âðåìÿ ïîõîäîâ. Íî, ïî ìíåíèþ Ïëàòîíà, äëÿ òàêèõ âåùåé ...äîñòàòî÷íà ìàëàÿ ÷àñòü ãåîìåòðè÷åñêèõ è àðèôìåòè÷åñêèõ âûêëàäîê, ÷àñòü æå èõ áîëüøàÿ, ïðîñòèðàþùàÿñÿ äàëåå, äîëæíà ...ñïîñîáñòâîâàòü ëåã÷àéøåìó óñâîåíèþ èäåè áëàãà. Ïëàòîí îòðèöàòåëüíî îòçûâàëñÿ î òåõ ïîïûòêàõ èñïîëüçîâàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûå èìåëè ìåñòî â íàóêå òîãî âðåìåíè. Åãî íåóäîâëåòâîðåííîñòü âûçûâàëî òàêæå ïðèíÿòîå ñîâðåìåííèêàìè ïîíèìàíèå ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Ðàññìàòðèâàÿ èäåè ñâîåé íàóêè êàê îòðàæåíèå ðåàëüíûõ ñâÿçåé äåéñòâèòåëüíîñòè, ìàòåìàòèêè â ñâîèõ èññëåäîâàíèÿõ íàðÿäó ñ àáñòðàêòíûìè ëîãè÷åñêèìè ðàññóæäåíèÿìè øèðîêî èñïîëüçîâàëè ÷óâñòâåííûå îáðàçû, ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ. Ïëàòîí âñÿ÷åñêè ñòàðàåòñÿ óáåäèòü, ÷òî îáúåêòû ìàòåìàòèêè ñóùåñòâóþò îáîñîáëåííî îò ðåàëüíîãî ìèðà, ïîýòîìó ïðè èõ èññëåäîâàíèè íåïðàâîìåðíî ïðèáåãàòü ê ÷óâñòâåííîé îöåíêå.

Òàêèì îáðàçîì, â èñòîðè÷åñêè ñëîæèâøåéñÿ ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé Ïëàòîí âûäåëÿåò òîëüêî óìîçðèòåëüíóþ, äåäóêòèâíî ïîñòðîåííóþ êîìïîíåíòó è çàêðåïëÿåò çà íåé ïðàâî íàçûâàòüñÿ ìàòåìàòèêîé. Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè ìèñòèôèöèðóåòñÿ, òåîðåòè÷åñêèå ðàçäåëû ðåçêî ïðîòèâîïîñòàâëÿþòñÿ âû÷èñëèòåëüíîìó àïïàðàòó, äî ïðåäåëà ñóæàåòñÿ îáëàñòü ïðèëîæåíèÿ.  òàêîì èñêàæåííîì âèäå íåêîòîðûå ðåàëüíûå ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ è ïîñëóæèëè îäíèì èç îñíîâàíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû îáúåêòèâíîãî èäåàëèçìà Ïëàòîíà. Âåäü ñàìà ïî ñåáå ìàòåìàòèêà ê èäåàëèçìó âîîáùå íå âåäåò, è â öåëÿõ ïîñòðîåíèÿ èäåàëèñòè÷åñêèõ ñèñòåì åå ïðèõîäèòñÿ ñóùåñòâåííî äåôîðìèðîâàòü.

Âîïðîñ î âëèÿíèè, îêàçàííîì Ïëàòîíîì íà ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè, äîâîëüíî òðóäåí. Äëèòåëüíîå âðåìÿ ãîñïîäñòâîâàëî óáåæäåíèå, ÷òî âêëàä Ïëàòîíà â ìàòåìàòèêó áûë çíà÷èòåëåí. Îäíàêî áîëåå ãëóáîêèé àíàëèç ïðèâåë ê èçìåíåíèþ ýòîé îöåíêè. Òàê, Î.Íåéãåáàóýð ïèøåò: Åãî ñîáñòâåííûé ïðÿìîé âêëàä â ìàòåìàòè÷åñêèå çíàíèÿ, î÷åâèäíî, áûë ðàâåí íóëþ... Èñêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð ïðèìåðîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, ïðèâîäèìûõ Ïëàòîíîì è Àðèñòîòåëåì, íå ïîäòâåðæäàåò ãèïîòåçû î òîì, ÷òî Ýâäîêñ èëè Òåýòåò ÷åìó-ëèáî íàó÷èëèñü ó Ïëàòîíà... Åãî ñîâåò àñòðîíîìàì çàìåíèòü íàáëþäåíèÿ ñïåêóëÿöèåé ìîã áû ðàçðóøèòü îäèí èç íàèáîëåå çíà÷èòåëüíûõ âêëàäîâ ãðåêîâ â òî÷íûå íàóêè. Òàêàÿ àðãóìåíòàöèÿ âïîëíå óáåäèòåëüíà; ìîæíî òàêæå ñîãëàñèòüñÿ è ñ òåì, ÷òî èäåàëèñòè÷åñêàÿ ôèëîñîôèÿ Ïëàòîíà â öåëîì ñûãðàëà îòðèöàòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè. Îäíàêî íå ñëåäóåò çàáûâàòü î ñëîæíîì õàðàêòåðå ýòîãî âîçäåéñòâèÿ.

Ïëàòîíó ïðèíàäëåæèò ðàçðàáîòêà íåêîòîðûõ âàæíûõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ: àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ìàòåìàòèêè, èññëåäîâàíèå îòíîøåíèé ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè è äèàëåêòèêîé, àíàëèç îñíîâíûõ ôîðì ìàòåìàòè÷åñêîãî çíàíèÿ. Òàê, ïðîöåññ äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìî ñâÿçûâàåò íàáîð äîêàçàííûõ ïîëîæåíèé â ñèñòåìó, â îñíîâå êîòîðîé ëåæàò íåêîòîðûå íåäîêàçóåìûå ïîëîæåíèÿ. Òîò ôàêò, ÷òî íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ñóòü ïðåäïîëîæåíèÿ, ìîæåò âûçâàòü ñîìíåíèå â èñòèííîñòè âñåõ ïîñëåäóþùèõ ïîñòðîåíèé. Ïëàòîí ñ÷èòàë òàêîå ñîìíåíèå íåîáîñíîâàííûì. Ñîãëàñíî åãî îáúÿñíåíèþ, õîòÿ ñàìè ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, ïîëüçóÿñü ïðåäïîëîæåíèÿìè, îñòàâëÿþò èõ â íåïîäâèæíîñòè è íå ìîãóò äàòü äëÿ íèõ îñíîâàíèÿ, ïðåäïîëîæåíèÿ íàõîäÿò îñíîâàíèÿ ïîñðåäñòâîì äèàëåêòèêè. Ïëàòîí âûñêàçàë è ðÿä äðóãèõ ïîëîæåíèé, îêàçàâøèõñÿ ïëîäîòâîðíûìè äëÿ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè. Òàê, â äèàëîãå Ïèð âûäâèãàåòñÿ ïîíÿòèå ïðåäåëà; èäåÿ âûñòóïàåò çäåñü êàê ïðåäåë ñòàíîâëåíèÿ âåùè.

Êðèòèêà, êîòîðîé ïîäâåðãàëèñü ìåòîäîëîãèÿ è ìèðîâîççðåí÷åñêàÿ ñèñòåìà Ïëàòîíà ñî ñòîðîíû ìàòåìàòèêîâ, ïðè âñåé ñâîåé âàæíîñòè íå çàòðàãèâàëà ñàìè îñíîâû èäåàëèñòè÷åñêîé êîíöåïöèè. Äëÿ çàìåíû ðàçðàáîòàííîé Ïëàòîíîì ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòèêè áîëåå ïðîäóêòèâíîé ñèñòåìîé íóæíî áûëî ïîäâåðãíóòü êðèòè÷åñêîìó ðàçáîðó åãî ó÷åíèå îá èäåÿõ, îñíîâíûå ðàçäåëû åãî ôèëîñîôèè è êàê ñëåäñòâèå ýòîãî - åãî âîççðåíèå íà ìàòåìàòèêó. Ýòà ìèññèÿ âûïàëà íà äîëþ ó÷åíèêà Ïëàòîíà - Àðèñòîòåëÿ.


Ãëàâà 7

ÑÈÑÒÅÌÀ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÀÐÈÑÒÎÒÅËß

Ê.Ìàðêñ íàçâàë Àðèñòîòåëÿ (384-322 ãã. äî í.ý.) âåëè÷àéøèì ôèëîñîôîì äðåâíîñòè. Îñíîâíûå âîïðîñû ôèëîñîôèè, ëîãèêè, ïñèõîëîãèè, åñòåñòâîçíàíèÿ, òåõíèêè, ïîëèòèêè, ýòèêè è ýñòåòèêè, ïîñòàâëåííûå â íàóêå Äðåâíåé Ãðåöèè, ïîëó÷èëè ó Àðèñòîòåëÿ ïîëíîå è âñåñòîðîííåå îñâåùåíèå.  ìàòåìàòèêå îí, ïî-âèäèìîìó, íå ïðîâîäèë êîíêðåòíûõ èññëåäîâàíèé, îäíàêî âàæíåéøèå ñòîðîíû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ áûëè ïîäâåðãíóòû èì ãëóáîêîìó ôèëîñîôñêîìó àíàëèçó, ïîñëóæèâøåìó ìåòîäîëîãè÷åñêîé îñíîâîé äåÿòåëüíîñòè ìíîãèõ ïîêîëåíèé ìàòåìàòèêîâ.

Êî âðåìåíè Àðèñòîòåëÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà ïðîøëà çíà÷èòåëüíûé ïóòü è äîñòèãëà âûñîêîãî óðîâíÿ ðàçâèòèÿ. Ïðîäîëæàÿ òðàäèöèþ ôèëîñîôñêîãî àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, Àðèñòîòåëü ïîñòàâèë âîïðîñ î íåîáõîäèìîñòè óïîðÿäî÷èâàíèÿ ñàìîãî çíàíèÿ î ñïîñîáàõ óñâîåíèÿ íàóêè, î öåëåíàïðàâëåííîé ðàçðàáîòêå èñêóññòâà âåäåíèÿ ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, âêëþ÷àþùåãî äâà îñíîâíûõ ðàçäåëà: îáðàçîâàííîñòü è íàó÷íîå çíàíèå äåëà. Ñðåäè èçâåñòíûõ ñî÷èíåíèé Àðèñòîòåëÿ íåò ñïåöèàëüíî ïîñâÿùåííûõ èçëîæåíèþ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì ìàòåìàòèêè. Íî ïî îòäåëüíûì âûñêàçûâàíèÿì, ïî èñïîëüçîâàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà â êà÷åñòâå èëëþñòðàöèé îáùèõ ìåòîäîëîãè÷åñêèõ ïîëîæåíèé ìîæíî ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàêîâ áûë åãî èäåàë ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé.

Èñõîäíûì ýòàïîì ïîçíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, ÿâëÿåòñÿ îáó÷åíèå, êîòîðîå îñíîâàíî íà (íåêîòîðîì) óæå ðàíåå èìåþùåìñÿ çíàíèè... Êàê ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè, òàê è êàæäîå èç ïðî÷èõ èñêóññòâ ïðèîáðåòàåòñÿ (èìåííî) òàêèì ñïîñîáîì. Äëÿ îòäåëåíèÿ çíàíèÿ îò íåçíàíèÿ Àðèñòîòåëü ïðåäëàãàåò ïðîàíàëèçèðîâàòü âñå òå ìíåíèÿ, êîòîðûå ïî-ñâîåìó âûñêàçûâàëè â ýòîé îáëàñòè íåêîòîðûå ìûñëèòåëè è îáäóìàòü âîçíèêøèå ïðè ýòîì çàòðóäíåíèÿ. Àíàëèç ñëåäóåò ïðîâîäèòü ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ ÷åòûðåõ âîïðîñîâ: ÷òî (âåùü) åñòü, ïî÷åìó (îíà) åñòü, åñòü ëè (îíà) è ÷òî (îíà) åñòü.

Îñíîâíûì ïðèíöèïîì, îïðåäåëÿþùèì âñþ ñòðóêòóðó íàó÷íîãî çíàíèÿ äåëà, ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ñâåäåíèÿ âñåãî ê íà÷àëàì è âîñïðîèçâåäåíèÿ âñåãî èç íà÷àë. Óíèâåðñàëüíûì ïðîöåññîì ïðîèçâîäñòâà çíàíèé èç íà÷àë, ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ, âûñòóïàåò äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâîì æå ÿ íàçûâàþ ñèëëîãèçì, - ïèøåò îí, - êîòîðûé äàåò çíàíèÿ. Èçëîæåíèþ òåîðèè äîêàçàòåëüíîãî çíàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîñâÿùåí Îðãàíîí Àðèñòîòåëÿ. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ýòîé òåîðèè ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü â ðàçäåëû, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàñêðûâàåò îäíó èç òðåõ îñíîâíûõ ñòîðîí ìàòåìàòèêè êàê äîêàçûâàþùåé íàóêè: òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ, òî, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ è òî, íà îñíîâàíèè ÷åãî äîêàçûâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, Àðèñòîòåëü äèôôåðåíöèðîâàííî ïîäõîäèë ê îáúåêòó, ïðåäìåòó è ñðåäñòâàì äîêàçàòåëüñòâà.

Ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçíàâàëîñü çàäîëãî äî Àðèñòîòåëÿ, îäíàêî ïèôàãîðåéöû, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàëè, ÷òî îíè íàõîäÿòñÿ â ÷óâñòâåííûõ âåùàõ, ïëàòîíèêè æå, íàîáîðîò, ñ÷èòàëè èõ ñóùåñòâóþùèìè îòäåëüíî. Ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ:

1.  ÷óâñòâåííûõ âåùàõ ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû íå ñóùåñòâóþò, òàê êàê íàõîäèòüñÿ â òîì æå ñàìîì ìåñòå äâà òåëà íå â ñîñòîÿíèè;

2. Íåâîçìîæíî è òî, ÷òîáû òàêèå ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàëè îáîñîáëåííî.

Àðèñòîòåëü ñ÷èòàë ïðåäìåòîì ìàòåìàòèêè êîëè÷åñòâåííóþ îïðåäåëåííîñòü è íåïðåðûâíîñòü.  åãî òðàêòîâêå êîëè÷åñòâîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà ñîñòàâíûå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ...ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îäíèì, äàííûì íàëèöî. Òî èëè äðóãîå êîëè÷åñòâî åñòü ìíîæåñòâî, åñëè åãî ìîæíî ñ÷åñòü, ýòî âåëè÷èíà, åñëè åãî ìîæíî èçìåðèòü. Ìíîæåñòâîì ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî â âîçìîæíîñòè (ïîòåíöèàëüíî) äåëèòñÿ íà ÷àñòè íå íåïðåðûâíûå, âåëè÷èíîþ òî, ÷òî äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåïðåðûâíûå. Ïðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè, Àðèñòîòåëü ðàññìàòðèâàåò ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîãî, òàê êàê îíî îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè êîëè÷åñòâà è ïðîÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî â íåïðåðûâíîì. ×òî áåñêîíå÷íîå ñóùåñòâóåò, óâåðåííîñòü â ýòîì âîçíèêàåò ó èññëåäîâàòåëåé èç ïÿòè îñíîâàíèé: èç âðåìåíè (èáî îíî áåñêîíå÷íî); èç ðàçäåëåíèÿ âåëè÷èí..; äàëåå, òîëüêî òàêèì îáðàçîì íå èññÿêíóò âîçíèêíîâåíèå è óíè÷òîæåíèå, åñëè áóäåò áåñêîíå÷íîå, îòêóäà áåðåòñÿ âîçíèêàþùåå.

Äàëåå, èç òîãî, ÷òî êîíå÷íîå âñåãäà ãðàíè÷èò ñ ÷åì-íèáóäü, òàê êàê íåîáõîäèìî, ÷òîáû îäíî âñåãäà ãðàíè÷èëî ñ äðóãèì. Íî áîëüøå âñåãî -...íà òîì îñíîâàíèè, ÷òî ìûøëåíèå íå îñòàíàâëèâàåòñÿ: è ÷èñëî êàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì, è ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû. Ñóùåñòâóåò ëè áåñêîíå÷íîå êàê îòäåëüíàÿ ñóùíîñòü èëè îíî ÿâëÿåòñÿ àêöèäåíöèåé âåëè÷èíû èëè ìíîæåñòâà? Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò âòîðîé âàðèàíò, òàê êàê åñëè áåñêîíå÷íîå íå åñòü íè âåëè÷èíà, íè ìíîæåñòâî, à ñàìî ÿâëÿåòñÿ ñóùíîñòüþ..., òî îíî áóäåò íåäåëèìî, òàê êàê äåëèìîå áóäåò èëè âåëè÷èíîé, èëè ìíîæåñòâîì. Åñëè æå îíî íå äåëèìî, îíî íå áåñêîíå÷íî â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî äî êîíöà. Íåâîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî áåñêîíå÷íîãî êàê íåäåëèìîãî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò - îòâëå÷åíèå îò ôèçè÷åñêîãî òåëà, à àêòóàëüíî íåäåëèìîå áåñêîíå÷íîå òåëî íå ñóùåñòâóåò. ×èñëî êàê ÷òî-òî îòäåëüíîå è â òî æå âðåìÿ áåñêîíå÷íîå íå ñóùåñòâóåò, âåäü ...åñëè âîçìîæíî ïåðåñ÷èòàòü ñ÷èñëèìîå, òî áóäåò âîçìîæíîñòü ïðîéòè äî êîíöà è áåñêîíå÷íîå. Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íîñòü çäåñü â ïîòåíöèè ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî æå - íåò.

Îïèðàÿñü íà èçëîæåííîå âûøå ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî, Àðèñòîòåëü îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîñòü è ïðåðûâíîñòü. Òàê, íåïðåðûâíîå åñòü ñàìî ïî ñåáå íå÷òî ñìåæíîå. Ñìåæíîå åñòü òî, ÷òî, ñëåäóÿ çà äðóãèì, êàñàåòñÿ åãî. ×èñëî êàê òèïè÷íî ïðåðûâíîå (äèñêðåòíîå) îáðàçîâàíèå ôîðìèðóåòñÿ ñîåäèíåíèåì äèñêðåòíûõ, äàëåå íåäåëèìûõ ýëåìåíòîâ - åäèíèö. Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà; ïðè ýòîì ñîåäèíåíèå òî÷åê íå ìîæåò îáðàçîâàòü ëèíèþ, òàê êàê òî÷êàì, èç êîòîðûõ áûëî áû ñîñòàâëåíî íåïðåðûâíîå, íåîáõîäèìî èëè áûòü íåïðåðûâíûìè, èëè êàñàòüñÿ äðóã äðóãà. Íî íåïðåðûâíûìè îíè íå áóäóò: âåäü êðàÿ òî÷åê íå îáðàçóþò ÷åãî-íèáóäü åäèíîãî, òàê êàê ó íåäåëèìîãî íåò íè êðàÿ, íè äðóãîé ÷àñòè. Òî÷êè íå ìîãóò è êàñàòüñÿ äðóã äðóãà, ïîñêîëüêó êàñàþòñÿ âñå ïðåäìåòû èëè êàê öåëîå öåëîãî, èëè ñâîèìè ÷àñòÿìè, èëè êàê öåëîå ÷àñòè. Íî òàê êàê íåäåëèìîå íå èìååò ÷àñòåé, èì íåîáõîäèìî êàñàòüñÿ öåëèêîì, íî êàñàþùååñÿ öåëèêîì íå îáðàçóåò íåïðåðûâíîãî.

Íåâîçìîæíîñòü ñîñòàâëåíèÿ íåïðåðûâíîãî èç íåäåëèìûõ è íåáõîäèìîñòü åãî äåëåíèÿ íà âñåãäà äåëèìûå ÷àñòè, óñòàíîâëåííûå äëÿ âåëè÷èíû, Àðèñòîòåëü ðàñïðîñòðàíÿåò íà äâèæåíèå, ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, îáîñíîâûâàÿ (íàïðèìåð, â Ôèçèêå) ïðàâîìåðíîñòü ýòîãî øàãà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îí ïðèõîäèò ê âûâîäó, ÷òî ïðèçíàíèå íåäåëèìûõ âåëè÷èí ïðîòèâîðå÷èò îñíîâíûì ñâîéñòâàì äâèæåíèÿ. Âûäåëåíèå íåïðåðûâíîãî è ïðåðûâíîãî êàê ðàçíûõ ðîäîâ áûòèÿ ïîñëóæèëî îñíîâîé äëÿ ðàçìåæåâàíèÿ â ëîãèêî-ãíîñåîëîãè÷åñêîé îáëàñòè, äëÿ ðåçêîãî îòìåæåâàíèÿ àðèôìåòèêè îò ãåîìåòðèè.

Íà÷àëàìè... â êàæäîì ðîäå ÿ íàçûâàþ òî, îòíîñèòåëüíî ÷åãî íå ìîæåò áûòü äîêàçàíî, ÷òî îíî åñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, òî, ÷òî îáîçíà÷àåò ïåðâè÷íîå è èç íåãî âûòåêàþùåå, ïðèíèìàåòñÿ. Ñóùåñòâîâàíèå íà÷àë íåîáõîäèìî ïðèíÿòü, äðóãîå - ñëåäóåò äîêàçàòü. Íàïðèìåð, ÷òî òàêîå åäèíèöà èëè ÷òî òàêîå ïðÿìîå èëè ÷òî òàêîå òðåóãîëüíèê (ñëåäóåò ïðèíÿòü); ÷òî åäèíèöà è âåëè÷èíà ñóùåñòâóåò, òàêæå ñëåäóåò ïðèíÿòü, äðóãîå - äîêàçàòü.  âîïðîñå î ïîÿâëåíèè ó ëþäåé ñïîñîáíîñòè ïîçíàíèÿ íà÷àë Àðèñòîòåëü íå ñîãëàøàåòñÿ ñ òî÷êîé çðåíèÿ Ïëàòîíà î âðîæäåííîñòè òàêèõ ñïîñîáíîñòåé, íî è íå äîïóñêàåò âîçìîæíîñòè ïðèîáðåòåíèÿ èõ; çäåñü îí ïðåäëàãàåò ñëåäóþùåå ðåøåíèå: íåîáõîäèìî îáëàäàòü íåêîòîðîé âîçìîæíîñòüþ, îäíàêî íå òàêîé, êîòîðàÿ ïðåâîñõîäèëà áû ýòè ñïîñîáíîñòè â îòíîøåíèè òî÷íîñòè. Íî òàêàÿ âîçìîæíîñòü, î÷åâèäíî, ïðèñóùà âñåì æèâûì ñóùåñòâàì; â ñàìîì äåëå, îíè îáëàäàþò ïðèðîæäåííîé ñïîñîáíîñòüþ ðàçáèðàòüñÿ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ÷óâñòâåííûì âîñïðèÿòèåì. Ôîðìèðîâàíèå íà÷àë èäåò îò ïðåäøåñòâóþùåãî è áîëåå èçâåñòíîãî äëÿ íàñ, òî åñòü îò òîãî, ÷òî áëèæå ê ÷óâñòâåííîìó âîñïðèÿòèþ ê ïðåäøåñòâóþùåìó è áîëåå èçâåñòíîìó áåçóñëîâíî (òàêèì ÿâëÿåòñÿ îáùåå). Àðèñòîòåëü äàåò ðàçâåðíóòóþ êëàññèôèêàöèþ íà÷àë, èñõîäÿ èç ðàçíûõ ïðèçíàêîâ.

Âî-ïåðâûõ, îí âûäåëÿåò íà÷àëà, èç êîòîðûõ (÷òî-ëèáî) äîêàçûâàåòñÿ, è òàêèå, î êîòîðûõ (äîêàçûâàåòñÿ). Ïåðâûå ñóòü îáùèå (âñåì íà÷àëà), âòîðûå - ñâîéñòâåííûå (ëèøü äàííîé íàóêå), íàïðèìåð, ÷èñëî, âåëè÷èíà.  ñèñòåìå íà÷àë îáùèå çàíèìàþò âåäóùåå ìåñòî, íî èõ íåäîñòàòî÷íî, òàê êàê ñðåäè îáùèõ íà÷àë íå ìîæåò áûòü òàêèõ, èç êîòîðûõ ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü âñå. Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ñðåäè íà÷àë äîëæíû áûòü îäíè ñâîéñòâåííû êàæäîé íàóêå â îòäåëüíîñòè, äðóãèå - îáùèå âñåì. Âî-âòîðûõ, íà÷àëà äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî îíè ðàñêðûâàþò: ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòà èëè íàëè÷èå ó íåãî íåêîòîðûõ ñâîéñòâ. Â-òðåòüèõ, êîìïëåêñ íà÷àë äîêàçûâàþùåé íàóêè äåëèòñÿ íà àêñèîìû, ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîñòóëàòû, èñõîäíûå îïðåäåëåíèÿ.

Âûáîð íà÷àë ó Àðèñòîòåëÿ âûñòóïàåò îïðåäåëÿþùèì ìîìåíòîì ïîñòðîåíèÿ äîêàçûâàþùåé íàóêè; èìåííî íà÷àëà õàðàêòåðèçóþò íàóêó êàê äàííóþ, âûäåëÿþò åå èç ðÿäà äðóãèõ íàóê. Òî, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ, ìîæíî òðàêòîâàòü î÷åíü øèðîêî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ýëåìåíòàðíûé äîêàçûâàþùèé ñèëëîãèçì è åãî çàêëþ÷åíèÿ. Èç ýòèõ ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåññîâ ñòðîèòñÿ çäàíèå äîêàçûâàþùåé íàóêè â âèäå îòäåëüíî âçÿòîé òåîðèè. Èç íèõ æå ñîçäàåòñÿ è íàóêà êàê ñèñòåìà òåîðèé. Îäíàêî íå âñÿêèé íàáîð äîêàçàòåëüñòâ îáðàçóåò òåîðèþ. Äëÿ ýòîãî îí äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì, îõâàòûâàþùèì êàê ñîäåðæàíèå äîêàçûâàåìûõ ïðåäëîæåíèé, òàê è ñâÿçè ìåæäó íèìè.  ïðåäåëàõ æå íàó÷íîé òåîðèè íåîáõîäèìî èìååò ìåñòî ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ îïðåäåëåíèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïåðâè÷íûìè, íî ñëóæàò äëÿ ðàñêðûòèÿ ïðåäìåòà òåîðèè.

Õîòÿ âîïðîñû ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ è íå áûëè èçëîæåíû Àðèñòîòåëåì â êàêîé-òî îòäåëüíîé ðàáîòå, íî ïî ñîäåðæàíèþ â ñîâîêóïíîñòè îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  îñíîâå ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè Àðèñòîòåëÿ ëåæèò ïîíèìàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çíàíèé êàê îòðàæåíèÿ îáúåêòèâíîãî ìèðà. Ýòà óñòàíîâêà ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â áîðüáå Àðèñòîòåëÿ ñ ïëàòîíîâûì èäåàëèçìîì; âåäü åñëè â ÿâëåíèÿõ ÷óâñòâåííîãî ìèðà íå íàõîäèòñÿ âîâñå ìàòåìàòè÷åñêîå, òî êàêèì îáðàçîì âîçìîæíî, ÷òî ê íèì ïðèëàãàþòñÿ åãî ñâîéñòâà? - ïèñàë îí. Ðàçóìååòñÿ, ìàòåðèàëèçì Àðèñòîòåëÿ áûë íåïîñëåäîâàòåëüíûì, â öåëîì åãî âîççðåíèÿ â áîëüøåé ñòåïåíè ñîîòâåòñòâîâàëè ïîòðåáíîñòÿì ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîçíàíèÿ, ñåì âçãëÿäû Ïëàòîíà.  ñâîþ î÷åðåäü ìàòåìàòèêà áûëà äëÿ Àðèñòîòåëÿ îäíèì èç èñòî÷íèêîâ ôîðìèðîâàíèÿ ðÿäà ðàçäåëîâ åãî ôèëîñîôñêîé ñèñòåìû.


×ÀÑÒÜ ÂÒÎÐÀß.

ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÀß ÃÀÐÌÎÍÈß ÏÎÄÎÁÈß

Ãëàâà 1

ÁÅÑÑÈËÈÅ ÏÐßÌÎÉ

 êà÷åñòâå ââåäåíèÿ êî âòîðîé ÷àñòè ìíå áû õîòåëîñü ïðèâåñòè ñëîâà Ôðèäåíñðàéõà Õóíäåðòâàññåðà, îäíîãî èç òåõ çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñèëàìè êîòîðûõ ñîâðåìåííàÿ íàóêà ñòàíîâèòñÿ âñå áëèæå ê èñêóññòâó, à èñêóññòâî ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü àðñåíàë ñðåäñòâ, ïðåäîñòàâëÿåìûõ ñåãîäíÿøíåé íàóêîé äëÿ âûðàæåíèÿ èäåé è õóäîæåñòâåííûõ çàìûñëîâ:

 1953 ãîäó ÿ ïîíÿë, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ âåäåò ÷åëîâå÷åñòâî ê óïàäêó. Òèðàíèÿ ïðÿìîé ñòàëà àáñîëþòíîé. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ - ýòî íå÷òî òðóñëèâîå, ïðî÷åð÷åííîå ïî ëèíåéêå, áåç ýìîöèé è ðàçìûøëåíèé; ýòî ëèíèÿ, íå ñóùåñòâóþùàÿ â ïðèðîäå. È íà ýòîì íàñêâîçü ïðîãíèâøåì ôóíäàìåíòå ïîñòðîåíà íàøà îáðå÷åííàÿ öèâèëèçàöèÿ. Åñëè äàæå è âîçíèêàåò ãäå-òî ìûñëü, ÷òî ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàïðÿìèê âåäåò ê ãèáåëè, åå êóðñó âñå ðàâíî ïðîäîëæàþò ñëåäîâàòü äàëüøå... Ëþáîé äèçàéí, îñíîâàííûé íà ïðÿìîé ëèíèè, áóäåò ìåðòâîðîæäåííûì. Ñåãîäíÿ ìû ÿâëÿåìñÿ ñâèäåòåëÿìè òðèóìôà ðàöèîíàëèñòè÷åñêèõ çíàíèé è îäíîâðåìåííî îáíàðóæèâàåì, ÷òî îêàçàëèñü â ïóñòîòå. Ýñòåòè÷åñêèé âàêóóì, ïóñòûíÿ îäíîîáðàçèÿ, ïðåñòóïíîå áåñïëîäèå, óòðàòà ñîçèäàòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé.

Ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ äàæå òâîð÷åñòâî. Ìû ñòàëè áåññèëüíûìè. Ìû áîëüøå íå ñïîñîáíû òâîðèòü.  ýòîì íàøå íåâåæåñòâî.

Ôðàêòàëû âîêðóã íàñ ïîâñþäó, è â î÷åðòàíèÿõ ãîð, è â èçâèëèñòîé ëèíèè ìîðñêîãî áåðåãà. Íåêîòîðûå èç ôðàêòàëîâ íåïðåðûâíî ìåíÿþòñÿ, ïîäîáíî äâèæóùèìñÿ îáëàêàì èëè ìåðöàþùåìó ïëàìåíè, â òî âðåìÿ êàê äðóãèå, ïîäîáíî äåðåâüÿì èëè íàøèì ñîñóäèñòûì ñèñòåìàì, ñîõðàíÿþò ñòðóêòóðó, ïðèîáðåòåííóþ â ïðîöåññå ýâîëþöèè. ×åëîâåêó, íå ñâÿçàííîìó ñ íàóêîé, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííûì òî, ÷òî òàêèå ïðèâû÷íûå âñåì âåùè ñ íåäàâíèõ ïîð îêàçàëèñü â ôîêóñå èíòåíñèâíûõ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Íî ïðèâû÷íîñòü êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî ó÷åíûå ìîãóò ïðàâèëüíî åãî îáúÿñíèòü. Ðåáåíêó òîæå ïðèâû÷íû è åãî ãîëóáàÿ êîëûáåëü, è ãîëóáîå íåáî çàäîëãî äî òîãî, êàê îí îñîçíàåò, ÷òî ãîëóáîé öâåò åñòü îáùåå êà÷åñòâî ñîâñåì ðàçíûõ âåùåé.  åãî ïîçíàâàòåëüíîì ðàçâèòèè íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà îí óæå ñìîæåò âîñïðèíÿòü ïîíÿòèå öâåòà; îí ñëûøèò, ÷òî íåáî ÿâëÿåòñÿ ãîëóáûì è âäðóã îòêðûâàåò, ÷òî è íåêîòîðûå äðóãèå âåùè òîæå ÿâëÿþòñÿ ãîëóáûìè.

Ðàçâèòèå íàøåãî íàó÷íîãî ïîíèìàíèÿ ìèðà ïðîèñõîäèò ïî òàêîé æå ñõåìå. Äà, ìíîãèå ôðàêòàëû íàì çíàêîìû, íî äî ñàìîãî ïîñëåäíåãî âðåìåíè â íàøåì íàó÷íîì ïðåäñòàâëåíèè î ìèðå èì íå íàõîäèëîñü ìåñòà. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå âîñõîäèò åùå ê Ãàëèëåî Ãàëèëåþ, ÷üå ìàñòåðñòâî âëàäåíèÿ àáñòðàêöèåé, âñòóïàþùåé â ïðîòèâîðå÷èå ñ èíòóèöèåé, äàåò ïðèìåð ñîâðåìåííîãî íàó÷íîãî ðàññóæäåíèÿ. Åãî êðåäî, ñôîðìóëèðîâàííîå èì ñàìèì â 1623 ãîäó, ãëàñèò:

Âñÿ íàóêà çàïèñàíà à ýòîé âåëèêîé êíèãå - ÿ èìåþ â âèäó Âñåëåííóþ, - êîòîðàÿ âñåãäà îòêðûòà äëÿ íàñ, íî êîòîðóþ íåëüçÿ ïîíÿòü, íå íàó÷èâøèñü ïîíèìàòü ÿçûê, íà êîòîðîì îíà íàïèñàíà. À íàïèñàíà îíà íà ÿçûêå ìàòåìàòèêè, è åå áóêâàìè ÿâëÿþòñÿ òðåóãîëüíèêè, îêðóæíîñòè è äðóãèå ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû, áåç êîòîðûõ ÷åëîâåêó íåâîçìîæíî ðàçîáðàòü íè îäíîãî åå ñëîâà; áåç íèõ îí ïîäîáåí áëóæäàþùåìó âî òüìå. Ïîíàäîáèëîñü ïî÷òè 350 ëåò, ÷òîáû âûéòè çà ðàìêè ãàëèëååâñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ - äî òåõ ïîð, ïîêà Áåíóà Ìàíäåëüáðîò íå ðàçðàáîòàë ïîíÿòèå ôðàêòàëà. Áðîñàÿ âçãëÿä â ïðîøëîå, îí ðàçìûøëÿë â 1984 ãîäó:

Ïî÷åìó ãåîìåòðèþ ÷àñòî íàçûâàþò õîëîäíîé è ñóõîé? Îäíà èç ïðè÷èí çàêëþ÷àåòñÿ â åå íåñïîñîáíîñòè îïèñàòü ôîðìó îáëàêà, ãîðû, äåðåâà èëè áåðåãà ìîðÿ. Îáëàêà - ýòî íå ñôåðû, ãîðû - ýòî íå êîíóñû, ëèíèè áåðåãà - ýòî íå îêðóæíîñòè, è êîðà íå ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, è ìîëíèÿ íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ïðÿìîé... Ïðèðîäà äåìîíñòðèðóåò íàì íå ïðîñòî áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü, à ñîâñåì äðóãîé óðîâåíü ñëîæíîñòè. ×èñëî ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ äëèí â ñòðóêòóðàõ âñåãäà áåñêîíå÷íî.

Ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ôðàêòàëà âûäåëÿåò îáúåêòû, îáëàäàþùèå ñòðóêòóðàìè ðàçëè÷íûõ ìàñøòàáîâ, êàê áîëüøèõ, òàê è ìàëûõ, è, òàêèì îáðàçîì, îòðàæàåò èåðàðõè÷åñêèé ïðèíöèï îðãàíèçàöèè.  îñíîâå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîäåðæèòñÿ îäíà âàæíàÿ èäåàëèçàöèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè: ôðàêòàëüíûå îáúåêòû ñàìîïîäîáíû, ò. å. èõ âèä íå ïðåòåðïåâàåò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïðè ðàçãëÿäûâàíèè èõ ÷åðåç ìèêðîñêîï ñ ëþáûì óâåëè÷åíèåì. Õîòÿ ýòà èäåàëèçàöèÿ è ìîæåò îêàçàòüñÿ ñëèøêîì áîëüøèì óïðîùåíèåì äåéñòâèòåëüíîñòè, îíà íà ïîðÿäîê óâåëè÷èâàåò ãëóáèíó íàøåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðèðîäû. Èññëåäîâàíèÿ Ìàíäåëüáðîòà ïîëó÷èëè øèðîêóþ èçâåñòíîñòü ïîñëå îòêðûòèÿ èì â 1980 ãîäó ìíîæåñòâà, íîñÿùåãî òåïåðü åãî èìÿ. Îí îáíàðóæèë ïðèíöèï, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íåñêîëüêî íåîæèäàííûì ïóòåì îáðàçóåòñÿ öåëûé ìèð ñàìîïîäîáíûõ ñòðóêòóð.

Ýòà ïðè÷óäëèâàÿ ôîðìà (ñì. ðèñ.1) ìîæåò îêàçàòüñÿ îäíèì èç êëþ÷åâûõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé íîâîé íàòóðàëüíîé ìàòåìàòèêè, òàê æå, êàê ïðÿìàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè.

Âîçìîæíî, íàèáîëåå óáåäèòåëüíûé àðãóìåíò â ïîëüçó èçó÷åíèÿ ôðàêòàëîâ - ýòî èõ áðîñàþùàÿñÿ â ãëàçà êðàñîòà.

Ãëàâà 2

ÌÛØËÅÍÈÅ Â ÎÁÐÀÇÀÕ

Ðàññìàòðèâàåìûå çäåñü ïðîöåññû âîçíèêàþò â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Âñå îíè èìåþò îäíî îáøåå - ýòî êîíêóðåíöèþ íåñêîëüêèõ öåíòðîâ çà äîìèíèðîâàíèå íà ïëîñêîñòè. Ïðîñòûå ãðàíèöû ìåæäó òåððèòîðèÿìè â ðåçóëüòàòå òàêîãî ñîïåðíè÷åñòâà âîçíèêàþò ðåäêî. ×àøå èìååò ìåñòî íåñêîí÷àåìîå ôèëèãðàííîå ïåðåïëåòåíèå è íåïðåêðàùàþùàÿñÿ áîðüáà äàæå çà ñàìûå ìàëûå ó÷àñòêè.

Èìåííî â ýòîé ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò îäíîé ôîðìû ñóùåñòâîâàíèÿ ê äðóãîé: îò ïîðÿäêà ê áåñïîðÿäêó, îò íàìàãíè÷åííîãî ñîñòîÿíèÿ ê íåíàìàãíè÷åííîìó â çàâèñèìîñòè îò èíòåðïðåòàöèè òåõ ñóùíîñòåé, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ãðàíèöå. Ïîãðàíè÷íûå îáëàñòè â áîëüøåé èëè ìåíüøåé ìåðå çàìûñëîâàòî çàâèñÿò îò óñëîâèé, õàðàêòåðèçóþùèõ èçó÷àåìûé ïðîöåññ. Ïîðîé âîçíèêàåò òðåòèé êîíêóðåíò, êîòîðûé ïîëüçóåòñÿ ðàçíîãëàñèÿìè äâóõ äðóãèõ è íàñàæäàåò ñâîþ îáëàñòü âëèÿíèÿ. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî îäèí öåíòð çàõâàòèò âñþ ïëîñêîñòü, íî è åãî âëàñòü èìååò ãðàíèöû â âèäå èçîëèðîâàííûõ òî÷åê, êîòîðûå íåïîäâëàñòíû åãî ïðèòÿæåíèþ. Ýòî, òàê ñêàçàòü, äèññèäåíòû, íå æåëàþùèå ïðèíàäëåæàòü.


Ðèñóíêè ïðåäñòàâëÿþò ïðîöåññû, ÿâëÿþùèåñÿ, êîíå÷íî, âåñüìà óïðîøåííîé èäåàëèçàöèåé äåéñòâèòåëüíîñòè. Îíè ïðåóâåëè÷èâàþò íåêîòîðûå ñâîéñòâà, ÷òîáû ñäåëàòü èõ áîëåå ÿñíûìè. Íàïðèìåð, íåò íè îäíîé ðåàëüíîé ñòðóêòóðû, êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è êîòîðàÿ âûãëÿäåëà áû ïðè ýòîì íåèçìåííîé. Òåì íå ìåíåå ïðèíöèï ñàìîïîäîáèÿ â ïðèáëèæåííîì âèäå èìååòñÿ â ïðèðîäå: â ëèíèÿõ áåðåãîâ ìîðåé è ðåê, â î÷åðòàíèÿõ îáëàêîâ è äåðåâüåâ, â òóðáóëåíòíîì ïîòîêå æèäêîñòè è â èåðàðõè÷åñêîé îðãàíèçàöèè æèâûõ ñèñòåì. À îòêðûë íàì ãëàçà íà ýòó ôðàêòàëüíóþ ãåîìåòðèþ ïðèðîäû Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîò. Íà ñàìîì äåëå ïðîöåññû, ïîðîæäàþùèå òàêèå ñòðóêòóðû, äîâîëüíî äàâíî èçó÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Ýòî îáû÷íûå ïðîöåññû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, â êîòîðûõ îäíà è òà æå îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà, êîãäà ðåçóëüòàò îäíîé èòåðàöèè ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì äëÿ ñëåäóþùåé:

C

è

è

Åäèíñòâåííîå, ÷òî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ - íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ðåçóëüòàòîì è íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ò. å. äèíàìè÷åñêèé çàêîí äîëæåí áûòü áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ïðîñòàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü íà òî, ÷òî ïðàâèëîçàâèñèò îò ïàðàìåòðà c, âëèÿíèå êîòîðîãî áóäåò îáñóæäàòüñÿ íèæå.

Åñëè íà÷àòü èòåðàöèîííûé ïðîöåññ óêàçàííîãî âèäà ñ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ åãî ðåçóëüòàòîì áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñòå÷åíèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ïåðèîäà âðåìåíè è áóäåò ñîñòàâëÿòü ïðåäìåò íàøåãî èíòåðåñà. Áóäåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòüñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ Õ, ñòðåìÿñü ê ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ? Ïðèäåò ëè îíà ê íåêîòîðîìó öèêëó çíà÷åíèé, êîòîðûå áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ âíîâü è âíîâü? Èëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñå âðåìÿ âåäåò ñåáÿ áåñïîðÿäî÷íî, õîòÿ è îïðåäåëåíà äèíàìè÷åñêèì çàêîíîì è êîíêðåòíûì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, íî òåì íå ìåíåå íåïðåäñêàçóåìà?

Ïðîöåññû óêàçàííîãî âèäà îáíàðóæèâàþòñÿ â ëþáîé òî÷íîé íàóêå. Òàê, îïèñàíèå ÿâëåíèé ïðèðîäû ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå ââåëè îêîëî 300 ëåò íàçàä Èñààê Íüþòîí è Ãîòòôðèä Â. Ëåéáíèö, îñíîâàíî íà ïðèíöèïå îáðàòíîé ñâÿçè. Äèíàìè÷åñêèé çàêîí îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ÷åðåç èõ çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò. Äâèæåíèå ÷àñòèöû ïîíèìàåòñÿ êàê ðåàëèçàöèÿ ýòîãî çàêîíà. Íåñóùåñòâåííî, áóäåò ëè ïðîöåññ äèñêðåòíûì, ò. å. îñóùåñòâëÿåìûì ïî øàãàì, ëèáî íåïðåðûâíûì. Ôèçèêàì íðàâèòñÿ ìûñëèòü â òåðìèíàõ èíôèíèòåçèìàëüíûõ åäèíèö âðåìåíè: Natura non facit saltus (Ïðèðîäà íå äåëàåò ñêà÷êîâ). Áèîëîãè, íàïðîòèâ, ÷àñòî ïðåäïî÷èòàþò ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèÿ îò ãîäà ê ãîäó èëè îò ïîêîëåíèÿ ê ïîêîëåíèþ. Î÷åâèäíî, äîïóñòèìû îáå òî÷êè çðåíèÿ, à âûáîð ïîäõîäÿùåãî îïèñàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè.

Ãëàâà 3

ÑÖÅÍÀÐÈÉ ÏÐÎÍÈÊÍÎÂÅÍÈß Â ÕÀÎÑ

Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ðîñò íåêîòîðîé ïîïóëÿöèè çà íåñêîëüêî ëåò îáû÷íî îïèñûâàþò ïðè ïîìîùè êîýôôèöèåíòà ïðèðîñòà, ò. å. îòíîøåíèÿ åæåãîäíîãî ïðèðîñòà ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè ê åå îáùåé ÷èñëåííîñòè. Åñëè ýòà âåëè÷èíà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé â òå÷åíèå âñåãî ïåðèîäà âðåìåíè, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàêîí ðîñòà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, à ñàì ðîñò íàçûâàþò ýêñïîíåíöèàëüíûì. Íàïðèìåð, ïðè êîýôôèöèåíòå ïðèðîñòà â 5% ïîïóëÿöèÿ óäâàèâàåò ñâîþ ÷èñëåííîñòü êàæäûå 14 ëåò. Çàêîíû òàêîãî òèïà, îäíàêî, ïðèìåíèìû òîëüêî íà îãðàíè÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Äëÿ ðîñòà âñåãäà ñóùåñòâóþò ïðåäåëû.

Îäíèì èç ïåðâûõ îáðàòèë íà ýòî âíèìàíèå Ï. Ô. Ôåðõþëüñò, ñôîðìóëèðîâàâ â 1845 ãîäó çàêîí, ñîäåðæàùèé îãðàíè÷åíèå íà ðîñò. Îí îáúÿñíèë ýòî òåì, ÷òî ëþáàÿ ýêîëîãè÷åñêàÿ íèøà ìîæåò îáåñïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ïîïóëÿöèè òîëüêî îïðåäåëåííîãî ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà Õ è ÷òî êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà äîëæåí ñíèæàòüñÿ, êîãäà ðàçìåðû ïîïóëÿöèè ïðèáëèæàþòñÿ ê Õ. Òàêèì îáðàçîì, îí ïðèøåë ê íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü ïåðåìåííûé êîýôôèöèåíò ïðèðîñòà.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîöåññ ñòàíîâèëñÿ íåëèíåéíûì, ÷òî êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëî åãî äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå.

Ïðîøëî áîëåå ñòà ëåò, ïðåæäå ÷åì áûëè îñîçíàíû âñå âûòåêàþùèå èç ýòîãî ïðîáëåìû. Ïðè ìàëûõ êîýôôèöèåíòàõ ïðèðîñòà, î÷åâèäíî, íè÷åãî îñîáåííîãî íå ïðîèçîéäåò: ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè áóäåò ïðîñòî ðåãóëèðîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû äîñòè÷ü îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Õ, óâåëè÷èâàÿñü êîãäà îíà ìåíüøå åãî, è óìåíüøàÿñü, êîãäà áîëüøå. Îäíàêî, êàê òîëüêî êîýôôèöèåíò ïðåâûñèò 200%, íàñ îæèäàþò ñþðïðèçû.

Ñóùåñòâóþò ëè â ïðèðîäå òàêèå áîëüøèå êîýôôèöèåíòû ïðèðîñòà? Êîíå÷íî, ÷åëîâå÷åñêàÿ ïîïóëÿöèÿ òàê áûñòðî íå ðàñòåò, íî äëÿ îïðåäåëåííûõ âèäîâ íàñåêîìûõ òàêîé êîýôôèöèåíò íå ÿâëÿåòñÿ íåîáû÷íûì. Âàæíî òî, ÷òî â ïîñëåäíèå 20 ëåò çàêîí Ôåðõþëüñòà íàøåë ïðèìåíåíèå äëÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîãî êðóãà ÿâëåíèé, ÷åì ïðåäñòàâëÿë ñåáå ñàì Ôåðõþëüñò.

Ýäâàðä Í. Ëîðåíö, ìåòåîðîëîã èç Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà, îáíàðóæèë â 1963 ãîäó, ÷òî èìåííî ýòîò çàêîí îïèñûâàåò íåêîòîðûå ñâîéñòâà òóðáóëåíòíîãî ïîòîêà, â ÷àñòíîñòè êîãäà êîýôôèöèåíò âåëèê. Çàòåì òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïî ëàçåðíîé ôèçèêå, ãèäðîäèíàìèêå è êèíîòèêå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ïðîäåìîíñòðèðîâàëè ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð ýòîãî çàêîíà, è ïðåäñêàçàííûå èì ñöåíàðèè áûëè îáíàðóæåíû â ýêñïåðèìåíòàõ.

Íî êàê æå âåäåò ñåáÿ ïðîöåññ Ôåðõþëüñòà, êîãäà êîýôôèöèåíò ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì? Ïîäðîáíûé àíàëèç î÷åíü ñëîæåí.

Óïîìÿíåì òîëüêî íàèáîëåå âàæíûå ðåçóëüòàòû. Êîãäà ïàðàìåòðû ðîñòà ïðåâûñÿò 200%, ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì äîñòèæåíèå îïòèìàëüíîé ÷èñëåííîñòè X. Êîãäà ïîïóëÿöèÿ ìàëà, ýíåðãè÷íûé ðîñò íåèçìåííî ïðèâîäèò ê ïðåâûøåíèþ îïòèìàëüíîãî ðàçìåðà, ÷òî âûçûâàåò îòâåòíóþ ðåàêöèþ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîïóëÿöèÿ óìåíüøàåòñÿ äî ðàçìåðîâ, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ X. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå êîëåáàíèÿ ìåæäó äâóìÿ ðàçìåðàìè, áîëüøèì è ìåíüøèì.

Êîãäà ïàðàìåòð ðîñòà ïðåâûñèò 245%, ïðîèñõîäèò äàëüíåéøåå óñëîæíåíèå ïîâåäåíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñíà÷àëà ìåæäó 4, çàòåì 8, çàòåì 16 ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè è òàê äàëåå, äî òåõ ïîð ïîêà äëÿ ïàðàìåòðîâ, áîëüøèõ 257%, íå âîçíèêàåò õàîñ.

×òî ìû ïîíèìàåì ïîä õàîñîì? Ïîïðîñòó ãîâîðÿ, ñèñòåìà âûõîäèò èç ïîä êîíòðîëÿ. Íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà ïðåäñêàçàòü åå ïîâåäåíèå íà äëèòåëüíîå âðåìÿ. Áåñïîðÿäî÷íûå ñêà÷êè ââåðõ è âíèç óïîðíî ïðîäîëæàþòñÿ è íèêîãäà íå ïðåâðàòÿòñÿ â óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. ×òîáû ïîíÿòü óäèâëåíèå, êîòîðîå èñïûòàë Ëîðåíö ïðè ýòîì îòêðûòèè, íàïîìíèì, ÷òî íèêàêîé íåîïðåäåëåííîñòè íå ïðåäïîëàãàåòñÿ. Ïðîöåññ ïî-ïðåæíåìó îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Ôåðõþëüñòà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì - è âñå æå åå ïîâåäåíèå íåâîçìîæíî ïðåäñêàçàòü, îñòàåòñÿ ïðåäîñòàâèòü ïðîöåññó ðàçâèâàòüñÿ ñàìîìó ïî ñåáå.

Ýòà î÷åíü òîíêàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò íåêîòîðîãî áîëåå ïîäðîáíîãî îáúÿñíåíèÿ. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåíà ñâîèì íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì, ïîäðàçóìåâàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèé ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ âåðíûì òîëüêî â ïðèíöèïå. Ëþáîå ðåàëüíîå îïèñàíèå íà÷àëüíîé âåëè÷èíû, íàïðèìåð åå ïðåäñòàâëåíèå â êîìïüþòåðå ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ñ êîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Èçó÷àåìûé ïðîöåññ ìîæíî ñðàâíèòü ñ ïîëó÷åíèåì èíôîðìàöèè: ÷åì äîëüøå ìû åãî áóäåì íàáëþäàòü, òåì ëó÷øå áóäåì çíàòü â ðåòðîñïåêòèâå òî÷íóþ âåëè÷èíó íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.

È âñå æå íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèì â äèíàìèêå Ôåðõþëüñòà ÿâëÿåòñÿ íå õàîñ êàê òàêîâîé, à ñöåíàðèé, ïî êîòîðîìó ïîðÿäîê ïðåâðàùàåòñÿ â õàîñ. Èìååò ëè ñìûñë òî÷íî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðîñòà, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò áèôóðêàöèè îò êîëåáàíèé ïåðèîäà ê êîëåáàíèÿì ïåðèîäà

Íî ïåäàíòè÷íîñòü ÷àñòî ñòîÿëà ó êîëûáåëè âàæíûõ îòêðûòèé. Èîãàíí Êåïëåð íå îòêðûë áû ýëëèïòè÷åñêîé ôîðìû îðáèò äâèæåíèÿ ïëàíåò, åñëè áû íå áûë îáåñïîêîåí íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì â 8 óãëîâûõ ìèíóò îðáèòû Ìàðñà îò ïðåäñêàçàíèé òåîðèè Ïòîëîìåÿ. Ôðèäðèõ Âèëüãåëüì Áåññåëü íå ñìîã áû îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò Ñîëíöà äî áëèæàéøèõ íåïîäâèæíûõ çâåçä, íå íàó÷èâøèñü òî÷íåéøåìó èñïîëüçîâàíèþ ÷èñåë è òàáëèö âî âðåìÿ ñâîåãî ó÷åíè÷åñòâà ó îäíîãî èç áðåìåíñêèõ òîðãîâöåâ. Íàó÷íàÿ ðàáîòà âñåãäà çàâèñèò îò ñàìîãî ñêðóïóëåçíîãî âíèìàíèÿ ê äåòàëÿì äàæå òîãäà, êîãäà ñòàíîâèòñÿ ÿñíîé êà÷åñòâåííàÿ ñòîðîíà. À êàê èçâåñòíî âñåì, êîìó ïðèõîäèëîñü èñêàòü îøèáêè â êàêîé-ëèáî ïðîãðàììå, äëÿ ýòîãî íåò ëó÷øåãî èíñòðóìåíòà, ÷åì êîìïüþòåð.

Ïðè òî÷íîì àíàëèçå òî÷åê áèôóðêàöèè â ïðîöåññå Ôåðõþëüñòà îáíàðóæèâàåòñÿ çàêîíîìåðíîñòü, èìåþùàÿ èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå â ìèðå íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé. Çàêîíîìåðíîñòü êàñàåòñÿ äëèí èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ïåðèîäîì. Ýòè èíòåðâàëû ñîêðàùàþòñÿ ïðè êàæäîì óäâîåíèè ïåðèîäà, ïðè÷åì ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþùèé ñîêðàùåíèå, ïðèáëèæàåòñÿ ê óíèâåðñàëüíîìó çíà÷åíèþ

êîãäà ïåðèîä ðàñòåò.

Ýòî ÷èñëî, ïåðâûå äåñÿòè÷íûå çíàêè êîòîðîãî áûëè âïåðâûå îïóáëèêîâàíû Ãðîññìàííîì è Òîìý â 1977 ãîäó, ïîÿâëÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà âî ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññàõ. Îíî ÿâëÿåòñÿ òàêîé æå õàðàêòåðèñòèêîé äëÿ ñöåíàðèåâ óäâîåíèÿ ïåðèîäîâ, êàê ÷èñëî äëÿ îòíîøåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó. Ýòî ÷èñëî íàçûâàþò òåïåðü ÷èñëîì Ôåéãåíáàóìà. Ìèò÷åë Ôåéãåíáàóì ïðîäåëàë âû÷èñëåíèÿ íà ñâîåì êàëüêóëÿòîðå â Ëîñ Àëàìîñå äëÿ öåëîãî ðÿäà ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ è ïîëó÷èë â êàæäîì ñëó÷àå îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü. Îí îòêðûë óíèâåðñàëüíîñòü ýòîãî ÷èñëà.

Ýòî îòêðûòèå âûçâàëî íåâåðîÿòíóþ àêòèâíîñòü ó÷åíûõ âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè. Áûëî ïîñòàâëåíî îãðîìíîå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòîâ, ïîêàçàâøèõ, ÷òî ñöåíàðèé óäâîåíèÿ ïåðèîäà äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ ñèñòåìàõ. Ýòî è íà÷àëî òóðáóëåíòíîñòè â ïîòîêå æèäêîñòè, è íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ â õèìè÷åñêèõ èëè ýëåêòðè÷åñêèõ ñåòÿõ, è äàæå ïåðåõîä íîðìàëüíîãî ðèòìà ñåðäöà â óãðîæàþùóþ æèçíè ôèáðèëëÿöèþ. È ìû ïðîñòî íå â ñîñòîÿíèè ïåðå÷èñëèòü âñå ãðóïïû â ÑØÀ, Ôðàíöèè, ÔÐà èëè ãäå-ëèáî åùå, ïðîäåìîíñòðèðîâàâøèå, ÷òî ñóùåñòâåííûå àñïåêòû äèíàìèêè ñëîæíûõ ñèñòåì ìîæíî ñâåñòè ê ïîâåäåíèþ, ïðèìåð êîòîðîãî äàåò óðàâíåíèå Ôåðõþëüñòà.

Íà òåîðèþ ýòî îêàçàëî íå ìåíåå ñèëüíîå âîçäåéñòâèå. Ìàòåìàòèêè âñå åùå ïûòàþòñÿ äî êîíöà ïîíÿòü ýòó íåîæèäàííóþ óíèâåðñàëüíîñòü. Íî, ïî-âèäèìîìó, áîëåå âàæíî, ÷òî îíà ïîðîäèëà íàäåæäó íà òî, ÷òî íåëèíåéíûå ÿâëåíèÿ íå ëåæàò çà ïðåäåëàìè ñèñòåìàòèçàöèè è íàó÷íîé êëàññèôèêàöèè.

Îäíèì èç ïåðâûõ, êòî îñîçíàë âàæíîñòü èçó÷åíèÿ ïðîöåññà Ôåðõþëüñòà, áûë áèîëîã Ðîáåðò Ì. Ìýé. Åùå â 1976 ãîäó îí ïèñàë:

Ïîýòîìó ÿ íàñòîÿòåëüíî ñîâåòóþ, ÷òîáû ëþäè çíàêîìèëèñü, ñêàæåì (ñ óðàâíåíèåì Ôåðõþëüñòà), íà ðàííåì ýòàïå ñâîåãî îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî èçó÷àòü ôåíîìåíîëîãè÷åñêè, èòåðèðóÿ åãî íà êàëüêóëÿòîðå èëè äàæå âðó÷íóþ. Åãî èçó÷åíèå äàæå íå òðåáóåò âñåãî ìíîæåñòâà ñëîæíûõ ïîíÿòèé, êàêèå èñïîëüçóþòñÿ â ýëåìåíòàðíîì àíàëèçå. Òàêîå èçó÷åíèå î÷åíü îáîãàùàëî áû èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ó÷àùåãîñÿ î íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ.

Äëÿ âñåõ íàñ áûëî áû ëó÷øå, åñëè áû íå òîëüêî â íàó÷íîé ðàáîòå, íî è â ïîâñåäíåâíîé ïîëèòè÷åñêîé è ýêîíîìè÷åñêîé æèçíè êàê ìîæíî áîëüøå ëþäåé ïîíÿëî, ÷òî ïðîñòûå íåëèíåéíûå ñèñòåìû íå âñåãäà îáëàäàþò ïðîñòûìè äèíàìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.

Ãëàâà 4

ÏÎÃÐÀÍÈ×ÍÛÅ ÑÒÛ×ÊÈ:
ÕÀÎÑ, ÂÎÇÍÈÊÀÞÙÈÉ ÈÇ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ

Äëÿ ïîíèìàíèÿ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé áèôóðêàöèîííûé ñöåíàðèé ïðèîáðåòàåò ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå. Àíàëèç ïðîöåññà Ôåðõþëüñòà ïðåâðàòèë èäåþ äåòåðìèíèðîâàííîãî õàîñà â âàæíûé ïðåäìåò îáñóæäåíèÿ è âûÿâèë íåêîòîðûå óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Óíèâåðñàëüíîñòü ñëåäóåò èñòîëêîâûâàòü ïðàâèëüíî. Êîíå÷íî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïóòè ê õàîñó; íà ñàìîì äåëå áûëè îòêðûòû è äðóãèå ñöåíàðèè ñòîëü æå îáùåãî õàðàêòåðà. Ïîíÿòèå óíèâåðñàëüíîñòè îò÷àñòè îòðàæàåò òåíäåíöèþ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ èñïîëüçîâàòü ñëîâà, çâó÷àùèå ìíîãîçíà÷èòåëüíî.

Íà ñàìîì äåëå îíî îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì, è ýòî áîëåå èëè ìåíåå óäèâèòåëüíàÿ íàõîäêà ñðåäè âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåì.

Êðàéíå æåëàòåëüíî óñòàíîâèòü ïðèíöèïû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èíäèâèäóàëüíûìè ñöåíàðèÿìè. Áåíóà Á. Ìàíäåëüáðîòó ýòî óäàëîñü ñäåëàòü â 1980 ãîäó, êîãäà îí îáíàðóæèë ìíîæåñòâî, íîñÿùåå òåïåðü åãî èìÿ. Ýòî íå ïðîñòî ïðè÷óäëèâàÿ ôèãóðà, êîòîðàÿ êîìó-òî êàæåòñÿ ïðåêðàñíîé, à êîìó-òî áåçîáðàçíîé; ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà âîïëîùàåò â ñåáå áîëåå îáùèé, ÷åì óíèâåðñàëüíîñòü Ôåéãåíáàóìà, ïðèíöèï ïåðåõîäà îò ïîðÿäêà ê õàîñó. Çäåñü, êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò â ìàòåìàòèêå, îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü ýñòåòè÷åñêîé ïðèâëåêàòåëüíîñòè ñ ôóíäàìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì.

Èäåÿ, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàíäåëüáðîòîì, ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû âìåñòî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàññìîòðåòü êîìïëåêñíûå è íàáëþäàòü ïðîöåññ íå çíàêîìîìó ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, íå ñëîæíî ïîíÿòü ñóòü ýòîãî ïðîöåññà: äîñòàòî÷íî ëèøü ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ïðàâèëî óêàçûâàåò, êóäà äîëæíà ïåðåìåñòèòüñÿ òî÷êà â ïëîñêîñòè, à íå íà ïðÿìîé. Êîíêðåòíûé âèä ïðàâèëà íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ïîñêîëüêó, êàê ìû óâèäèì, ðàçëè÷íûå ïðàâèëà ìîãóò ïîðîæäàòü òî æå ñàìîå ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà. Áîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðåõîä îò ïîðÿäêà ê õàîñó îïèñûâàåòñÿ ñ áîëåå îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.  öåíòðå âíèìàíèÿ îêàçàëàñü ïðèðîäà ãðàíèö ìåæäó ðàçëè÷íûìè îáëàñòÿìè. Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå öåíòðû - àòòðàêòîðû - êîòîðûå âåäóò áîðüáó çà âëèÿíèå íà ïëîñêîñòè; ëþáàÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà ëèáî â òå÷åíèå ïðîöåññà ïðèõîäèò ê òîìó èëè äðóãîìó öåíòðó, ëèáî ëåæèò íà ãðàíèöå è íå ìîæåò ïðèíÿòü îïðåäåëåííîå ðåøåíèå. Ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà èçìåíÿþòñÿ è îáëàñòè, ïðèíàäëåæàùèå àòòðàêòîðàì, à âìåñòå ñ íèìè è ãðàíèöû. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ãðàíèöà ïðåâðàòèòñÿ â ïûëü, è òàêîé ðàñïàä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ñöåíàðèåâ.

Ïðîöåññ Ìàíäåëüáðîòà ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðîöåññó Ôåðõþëüñòà. Ôîðìóëà òàêàÿ æå ïðîñòàÿ:

Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî è ò. ä. Ýòî ïîä ñèëó êàæäîìó. Íî íèêòî íå îæèäàë, ÷òî â òàêîì èòåðèðîâàíèè ìîæåò ñêðûâàòüñÿ ñòîëüêî çàãàäî÷íîé êðàñîòû.

Ãëàâà 5

ÍÀÓÊÀ È / ÈËÈ ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ?

Çà ãîäû ïîïûòîê ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû çàèíòåðåñîâàííîé îáùåñòâåííîñòè ó÷åíûå ïîíÿëè, ÷òî õóäîæåñòâåííàÿ äåÿòåëüíîñòü òîæå ìîæåò ïðèíåñòè íàó÷íûå ïëîäû. Èëè âñå êëÿòâåííûå çàâåðåíèÿ ìàòåìàòèêîâ è ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ îá ýñòåòè÷åñêîé êîìïîíåíòå èõ íàóêè ýòî ëèøü ñëîâà? Àìåðèêàíñêèå ìàòåìàòèêè Ôèëèïï Äæ. Äýâèñ è Ðþáåí Õåðø ïèñàëè:

Ñëåïîòà ê ýñòåòèêå ìàòåìàòèêè ðàñïðîñòðàíåíà øèðîêî è èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòèêà ñ÷èòàåòñÿ ñóõîé, êàê ïûëü, âîëíóþùåé, êàê òåëåôîííàÿ êíèãà, äàëåêîé îò æèçíè, êàê çàêîíîóëîæåíèå Øîòëàíäèè XV â. Íàîáîðîò, ïîíèìàíèå ýñòåòèêè ìàòåìàòèêè çàñòàâëÿåò ïðåäìåò æèòü ïðåêðàñíîé æèçíüþ è ãîðåòü, êàê, ïî-âèäèìîìó, íèêàêîå äðóãîå òâîðåíèå ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà.

Ìîæåò ëè ýòà ýñòåòèêà ïðîÿâèòüñÿ èíà÷å ÷åì â ñàìîì ïîèñêå ìàòåìàòè÷åñêîãî è åñòåñòâåííî-íàó÷íîãî çíàíèÿ?

Ìíîãèå îòçûâû âûñòàâêè ôðàêòàëüíûõ êàðòèí óáåäèëè ìíîãèõ èõ àâòîðîâ ó÷åíûõ â òîì, ÷òî ñáëèæåíèå èñêóññòâà è íàóêè ìîãëî áû ïðèíåñòè îãðîìíóþ ïîëüçó. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñáëèæåíèÿ íå ñëåäóåò ïîíèìàòü, êàê ñëåïîå óâëå÷åíèå âñåì íîâûì è íåîáû÷íûì, à ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü âïîëíå ðåàëèñòè÷åñêè â ôîðìàõ íîâûõ ñðåäñòâ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, ïðåæäå âñåãî êîìïüþòåðà. Êîìïüþòåð áîëüøå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòüþ èñêëþ÷èòåëüíî íàóêè è òåõíèêè; ïîäðàñòàåò ìîëîäîå ïîêîëåíèå êîìïüþòåðíûõ àêðîáàòîâ, êîòîðûå îáÿçàòåëüíî áóäóò ðàçâèâàòü ñâîè õóäîæåñòâåííûå àìáèöèè. Ïîêà íå ÿñíî, êóäà çàâåäåò òàêîå ðàçâèòèå, è íå ÿñíî, ìîæåò áûòü, êàê ðàç â ñìûñëå êîìïëåêñíîé äèíàìèêè: âïîëíå îïðåäåëåííîå è äåòåðìèíèðîâàííîå, íî íåïðåäñêàçóåìîå, áóðëÿùåå â ñâîåé ïîâîðîòíîé òî÷êå, ïîäîáíî Ôàóñòó âî âðåìÿ îìîëîæåíèÿ â êîëäîâñêîì ëîãîâå:

Ãîòîâèòü âûòÿæêó èç òðàâ -

Òðóä íåïîìåðíîãî òåðïåíüÿ.

Íåîáõîäèì ñïîêîéíûé íðàâ,

×òîá âûæäàòü ìíîãî ëåò áðîæåíüÿ.

Òóò ê ìåñòó êðîïîòëèâûé äàð,

Ïðåäìåò ïî-æåíñêè ùåïåòèëåí.

Õîòü ÷åðò ó÷èë âàðèòü îòâàð,

Íî ñàì ñâàðèòü åãî áåññèëåí.

È. Â. Ãåòå

(Ïåðåâîä Á. Ë. Ïàñòåðíàêà)

Ãëàâà 6

ÏÐÅËÎÌËÅÍÈÅ ÍÀÓÊÈ Â ÈÑÊÓÑÑÒÂÅ

Èçâåñòíûé íåìåöêèé ôàíòàñò è ïóáëèöèñò Ãåðáåðò Ôðàíêå ïèñàë, ÷òî èñêóññòâîâåäû ãðÿäóùèõ ñòîëåòèé, îãëÿíóâøèñü íà íàøå âðåìÿ, ïðèäóò ê âûâîäàì, âåñüìà îòëè÷íûì îò òåõ, ê êîòîðûì ïðèõîäÿò íàøè ñîâðåìåííèêè. Ïî÷èòàåìûå íûíå õóäîæíèêè è ñêóëüïòîðû áóäóò ñêîðåå âñåãî ïî÷òè çàáûòû, çàòî ïîÿâëåíèå ýëåêòðîííûõ ñðåäñòâ áóäåò ïðîâîçãëàøåíî íàèáîëåå çíà÷èòåëüíîé ïåðåìåíîé â èñòîðèè èñêóññòâà. Ïåðâûå ïîïûòêè, âíà÷àëå ðîáêèå è íåóâåðåííûå, äîñòè÷ü öåëè, êîòîðàÿ êàê èçâåñòíî ñòîèò ïåðåä èñêóññòâîì - æèâîïèñíîé âûðàçèòåëüíîñòè è òî÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà - íî ñ ïîìîùüþ íîâûõ ñðåäñòâ, óâåí÷àþòñÿ â êîíöå êîíöîâ çàñëóæåííûì óñïåõîì.

Ïðè ýòîì Ôðàíêå óòâåðæäàåò, ÷òî òîãäà, â ïðîøëîì (ò. å. ñåé÷àñ!), âïåðâûå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü òðåõìåðíûå èçîáðàæåíèÿ ôàíòàñòè÷åñêèõ ïåéçàæåé è äðóãèå àíàëîãè÷íûå êàðòèíû ñ ôîòîãðàôè÷åñêîé òî÷íîñòüþ. À âìåñòå ñ êàðòèíàìè ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü íå ëîâèòü îòäåëüíûå ìãíîâåíèÿ, à îõâàòûâàòü äåéñòâèòåëüíîñòü â äâèæåíèè è èçìåíåíèÿõ. Ýòî, âîçìîæíî, âàæíåéøèé àñïåêò íîâîé ïåðåìåíû: âðåìÿ íà ýòèõ êàðòèíàõ íå çàôèêñèðîâàíî è ëåãêî ìîæíî ïîñòðîèòü ïëîñêèå èëè òðåõìåðíûå (â ïåðñïåêòèâå) äâèæóùèåñÿ èçîáðàæåíèÿ äàæå ñ òåõ òî÷åê çðåíèÿ, êîòîðûå íåäîñòóïíû ÷åëîâå÷åñêîìó ãëàçó èëè êàìåðå.

Ñåãîäíÿ, âïðî÷åì, õóäîæíèêè, èñïîëüçóþùèå êîìïüþòåð, îòîäâèíóòû íà ïåðèôåðèþ ñöåíû èñêóññòâà. ×àñòè÷íî ýòî ñâÿçàíî ñ ôîðìàëüíûìè êðèòåðèÿìè, ÷àñòè÷íî - ñ íåîäîáðåíèåì, âûçâàííûì êîíêðåòíûìè êîììåð÷åñêèìè èíòåðåñàìè.

Ãëàâà 7

ÂÅÊ ÍÀÃËßÄÍÎÑÒÈ

Êîìïüþòåð - ýòî óñòðîéñòâî äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ, à òåðìèí äàííûå (èíôîðìàöèÿ), êàçàëîñü áû, îçíà÷àåò ÷èñëà, à íå ðèñóíêè. Îäíàêî ðèñóíêè - ýòî â ñóùíîñòè äðóãîé ñïîñîá îïèñàòü ðåàëüíûå ñîáûòèÿ - ôàêòû.

Êðîìå òîãî, ðèñóíêè ìîæíî çàêîäèðîâàòü ÷èñëàìè, à çàòåì îáðàáîòàòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Ãðàôè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, áóäåì äàëåå íàçûâàòü äëÿ êðàòêîñòè êîìïüþòåðíîé ãðàôèêîé. Çíà÷åíèå ýòîãî (êîãäà-òî ïîáî÷íîãî) ñïîñîáà èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ ÷ðåçâû÷àéíî âîçðîñëî â ïîñëåäíåå âðåìÿ.

Êîíå÷íî æå, âíà÷àëå íèêòî íå äóìàë ðàçâèâàòü êîìïüþòåðíóþ ãðàôèêó êàê èñêóññòâî; îíà âîçíèêëà â ðåçóëüòàòå ÷èñòî ïðàêòè÷åñêèõ íàó÷íûõ, òåõíîëîãè÷åñêèõ è êîììåð÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ðèñóíêè çíà÷èòåëüíî óäîáíåå äëÿ âîñïðèÿòèÿ, ÷åì äëèííûå ïåðå÷íè ÷èñåë, ïðèâåëî ê òîìó, ÷òî âî âñåõ ýòèõ îáëàñòÿõ ÷èñëà ïîñòåïåííî âûòåñíÿëèñü ãèñòîãðàììàìè, êðèâîëèíåéíûìè ãðàôèêàìè è ò. ï.

Ýòîò ïðîöåññ è ïðèâåë ê ïîÿâëåíèþ è ðàçâèòèþ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè. Ïåðâûì, íî ñîâåðøåííî íåïîäõîäÿùèì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè áûë ïðèíòåð, êîòîðûé òåì íå ìåíåå äîêàçàë ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ íàãëÿäíûõ èçîáðàæåíèé ñòîëü óáåäèòåëüíî, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ðèñóþùèå ïðèáîðû, íàçâàííûå ãðàôîïîñòðîèòåëÿìè, ïîÿâèëèñü êàê íå÷òî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùååñÿ.  ãðàôîïîñòðîèòåëÿõ èñïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ïåðà ñ ñåðâîêîíòðîëåì (ñëåäÿùèì êîíòðîëåì), ðèñóþùåãî íà ïëîñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Îíè ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü ñ ïîìîùüþ ìàøèíû ÷åðòåæè, òî÷íîñòü êîòîðûõ âïîëíå äîñòàòî÷íà äëÿ öåëåé, ñêàæåì àðõèòåêòóðû, êàðòîãðàôèè è ò. ï. Íî ñëåäóåò îòìåòèòü è îäèí íåäîñòàòîê - êðàéíå ìåäëåííóþ ðàáîòó ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ýëåêòðîííûõ ïðîöåññîâ â êîìïüþòåðå. Òàê, äëÿ òîãî ÷òîáû èçîáðàçèòü êîíôèãóðàöèè, ðàññ÷èòàííûå êîìïüþòåðîì çà äîëè ñåêóíäû, òðåáóþòñÿ ìèíóòû, à èíîãäà äàæå ÷àñû.

Ïåðâûé ñåðüåçíûé ïðîðûâ â êîìïüþòåðíîé ãðàôèêå ñâÿçàí ñ ñîçäàíèåì ýëåêòðîííîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ - äèñïëåÿ, íà êîòîðîì âèçóàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ âîçíèêàåò òåì æå ñïîñîáîì è ñ òîé æå ñêîðîñòüþ, ÷òî è â ýëåêòðîííîëó÷åâîé òðóáêå òåëåâèçîðà. Ïîÿâèëîñü, òàêèì îáðàçîì, ñðåäñòâî ïîñòðîåíèÿ ãðàôè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, äîñòàòî÷íî áûñòðîå, ÷òîáû ïîñïåâàòü çà êîìïüþòåðîì. Êðîìå òîãî, ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ñîçäàâàòü äâèæóùèåñÿ è äàæå âçàèìîäåéñòâóþùèå èçîáðàæåíèÿ.

Íîâûå ñïîñîáû îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé áûëè ðàçâèòû íà îñíîâå áîëåå ñòàðûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ðèñóíêîâ è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, îñíîâîé êîòîðûõ â ñâîþ î÷åðåäü ïîñëóæèëè ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå â ôîòîãðàôèè. Ýòè ñïîñîáû ïîçâîëÿþò çíà÷èòåëüíî ëåã÷å îöåíèâàòü îáðàçû, âîçíèêàþùèå â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè, òåõíîëîãèè è ìåäèöèíû, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî áëàãîäàðÿ èì.

Íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèñòû èñïîëüçîâàëè ýñòåòè÷åñêèå âîçìîæíîñòè ãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ. Áîëüøèíñòâî èç íèõ ñòàðàëèñü íå óïîòðåáëÿòü ñëîâî èñêóññòâî â îòíîøåíèè ñâîèõ ðàáîò, óõîäÿ òåì ñàìûì îò êîíôëèêòà ñ äåÿòåëÿìè èñêóññòâà. Ëèøü íåêîòîðûå ðåøàëèñü ìóæåñòâåííî ïðîòèâîñòîÿòü êðèòèêàì, ñ÷èòàÿ êîìïüþòåðû íîâûì ñðåäñòâîì ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé èçîáðàçèòåëüíîãî èñêóññòâà. Ñâîé ìåòîä îíè íàçâàëè êîìïüþòåðíîå èñêóññòâî, ÷òî âûçâàëî ìíîæåñòâî îæåñòî÷åííûõ äèñêóññèé î âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ (õîòÿ áû â ïðèíöèïå) ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà ñ ïîìîùüþ ìàøèíû. Ïðè ýòîì ïðèâîäèëàñü ìàññà òåîðåòè÷åñêèõ àðãóìåíòîâ ïðîòèâ ýòîé èäåè. Ê ñ÷àñòüþ, ýòè äèñêóññèè ìàëî âëèÿëè íà ïðåäñòàâèòåëåé íîâîãî íàïðàâëåíèÿ, è îíè ïðîäîëæàëè ñâîþ ðàáîòó, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà òåîðåòè÷åñêèå âîçðàæåíèÿ. È íà ñåãîäíÿ óæå ñîáðàíà âïå÷àòëÿþùàÿ êîëëåêöèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, îòðàæàþùàÿ òåõíè÷åñêèé ïðîãðåññ - îò ïðîñòîãî ãðàôîïîñòðîèòåëÿ äî ãðàôè÷åñêèõ äèñïëååâ ñ âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ.

Ãëàâà 8

ÐÈÑÓÍÎÊ ÊÀÊ ÑÐÅÄÑÒÂÎ ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Íåêîòîðûå ñïåöèàëèñòû ñîìíåâàþòñÿ â òîì, ÷òî âîçìîæåí ïåðåâîä ñ ÿçûêà ñëîâ íà ÿçûê ðèñóíêîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî êà÷åñòâî âèçóàëüíîé èíôîðìàöèè íèæå ÷åì êà÷åñòâî ñëîâåñíîé. Ýòà ïîçèöèÿ íåëîãè÷íà, íàïðîòèâ, ïîñëîâèöà: Ëó÷øå îäèí ðàç óâèäåòü, ÷åì ñòî ðàç óñëûøàòü ïîäêðåïëåíà àðãóìåíòàìè èç îáëàñòè ïñèõîëîãèè âîñïðèÿòèÿ.

Âèçóàëüíûå ñèñòåìû ìîãóò íå òîëüêî îïåðèðîâàòü ñ èíôîðìàöèîííûì ïîòîêîì ïðèáëèçèòåëüíî â 10 ðàç áîëåå èíòåíñèâíûì, ÷åì âñå îñòàëüíûå ñåíñîðíûå ñèñòåìû âìåñòå âçÿòûå, íî è îáðàáàòûâàòü èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ èìååò äâóìåðíóþ è äàæå (â èçâåñòíîé ñòåïåíè) òðåõìåðíóþ ñòðóêòóðó. Çàìåíà ñëîâ ðèñóíêàìè - ýòî ïåðåõîä íå òîëüêî ê íîâîé ñèñòåìå êîäèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, íî è ê íîâûì ìåòîäàì îïèñàíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà.

Èñïîëüçóÿ êàê ñðåäñòâî îáùåíèÿ ÿçûê, ò. å. ëèíåéíûìè óïîðÿäî÷åííûå ïî âðåìåíè â âèäå ðÿäà ñòðóêòóðû, ìû àâòîìàòè÷åñêè îòäàåì ïðåäïî÷òåíèå ïðèíöèïàì ëèíåéíîãî óïîðÿäî÷èâàíèÿ. Ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü ïîíÿòèÿ ïðè÷èííîñòè èëè èñòîðè÷åñêîãî ïðîöåññà.  òî æå âðåìÿ ÿçûê èçîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü è äðóãèå î÷åíü âàæíûå âèäû âçàèìîñâÿçè ÿâëåíèé, íàïðèìåð ïåòëåâèäíûå ïðîöåññû, âçàèìîäåéñòâèÿ, ñåòè êîììóíèêàöèé è ò. ï. Âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî íàøà íåñïîñîáíîñòü ìûñëèòü êàòåãîðèÿìè ñåòåé â íåìàëîé ñòåïåíè ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ìû ïðèâÿçàíû ê îïèñàòåëüíîé ñèñòåìå ÿçûêà ñëîâ.

Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óòâåðæäåíèÿ ìíîãèõ ïðîòèâíèêîâ èñïîëüçîâàíèÿ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ ñîâñåì íå îáÿçàíû áûòü ñïðàâåäëèâûìè. Íî åñëè îíè ñ÷èòàþò, ÷òî ðèñóíêè îñòàâëÿþò ãîðàçäî ìåíüøå ìåñòà äëÿ ôàíòàçèè, ÷åì íàïèñàííûé òåêñò, òî èõ ìîæíî îïðîâåðãíóòü. Äàæå êîìèêñû òðåáóþò òâîð÷åñêîãî äîîñìûñëåíèÿ ÷èòàòåëÿìè (ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî íåêîòîðûå ðîäèòåëè íå ïîíèìàþò èõ ;). Ðèñóíêè äåéñòâèòåëüíî ôèêñèðóþò îäèí èç âèäîâ èíôîðìàöèè áîëåå æåñòêî, ÷åì ñëîâà, íî îñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî ïðîáåëîâ, êîòîðûå äîëæåí çàïîëíèòü ñàì çðèòåëü.  êîìèêñàõ, íàïðèìåð, ëîãèêà ñþæåòà, ñîöèàëüíûå îòíîøåíèÿ äåéñòâóþùèõ ëèö, ýìîöèîíàëüíûé ôîí - âñå ýòî âîñïîëíÿåòñÿ ôàíòàçèåé çðèòåëÿ. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è â îòíîøåíèè äðóãèõ èçîáðàçèòåëüíûõ ñðåäñòâ: ôèëüìîâ, òåëåâèçîðà, âèäåî è äð.

Ê ñîæàëåíèþ, â äèñêóññèÿõ, êàñàþùèõñÿ íîâûõ êîìïüþòåðíûõ ðèñóíêîâ, ñëèøêîì çàìåòíîå ìåñòî çàíÿëè áàíàëüíûå êîììåð÷åñêèå èíòåðåñû. Îñíîâíàÿ æå ïðîáëåìà, áîëåå âàæíàÿ ñåãîäíÿ, ÷åì êîãäà-ëèáî ðàíüøå, íå óïîìèíàëàñü â ýòèõ äèñêóññèÿõ, à èìåííî, êàê ïðèäàòü äîñòóïíóþ äëÿ ïîíèìàíèÿ ôîðìó âñåì ñëîæíûì âçàèìîñâÿçÿì íàøåãî ñîâðåìåííîãî ìèðà, êàê ñäåëàòü èõ îïèñàíèå ïîíÿòíûì è îäíîâðåìåííî èñ÷åðïûâàþùèì. ×åì ñëîæíåå ñèòóàöèÿ, òåì áîëåå ïîäõîäÿùèì ñòàíîâèòñÿ íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå.

Îäíà èç îñíîâíûõ âîçìîæíîñòåé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, è, â ÷àñòíîñòè, âçàèìîäåéñòâóþùèõ èçîáðàæåíèé îòêðûâàåòñÿ â íàóêå è îáðàçîâàíèè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èçîáðàæåíèÿ, ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì, ïîçâîëÿþò äàòü ñàìîå óäèâèòåëüíîå è îäíîâðåìåííî ñàìîå ïîëíîå èç âñåõ èçâåñòíûõ îïèñàíèå îãðîìíîãî ìíîæåñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë. Ïðè ýòîì åùå ðàç ïîäòâåðæäàåòñÿ èäåÿ, ÷òî êîäèðîâàíèå èíôîðìàöèè â äâóìåðíîé è (â íåêîòîðîì ñìûñëå) òðåõìåðíîé ôîðìàõ ïîçâîëÿåò óâèäåòü âçàèìîñâÿçè, êîòîðûå äàæå ïðåäñòàâèòü ñåáå áûëî íåâîçìîæíî, ãëÿäÿ íà îòäåëüíûå ôîðìóëû. Ïîìèìî ýòîãî êîìïüþòåð äàåò âîçìîæíîñòü ýêñïåðèìåíòèðîâàòü; ìàòåìàòèê ìîæåò, íàïðèìåð, èññëåäîâàòü âëèÿíèå ïàðàìåòðà íà ðåøåíèå çàäà÷è, êîíòðîëèðîâàòü ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèé èëè íàõîäèòü ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ áåñêîíå÷íûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ; ôèçèê, ñêàæåì, ìîæåò èññëåäîâàòü, êàê âëèÿþò ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷, à õèìèê - ïðîàíàëèçèðîâàòü ïðîñòðàíñòâåííûå ñòðóêòóðû àãðåãàòîâ ìîëåêóë.

Ãëàâà 9

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ËÈ ÝÒÎ?

Êàêèì æå îáðàçîì äîñòèãàþòñÿ ýòà äîñòóïíîñòü äëÿ ïîíèìàíèÿ è ÿñíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ? Ïóòåâîäíóþ íèòü äàþò ïñèõîëîãèÿ è ýñòåòèêà òåîðèè èíôîðìàöèè. Ñâîé âêëàä â äîñòèæåíèå ýòîé öåëè âíîñÿò è ãàðìîíè÷åñêîå ðàçìåùåíèå, è áàëàíñ, è ñèììåòðèÿ - âñå ïðèíöèïû óïîðÿäî÷èâàíèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå â òåîðèè èíôîðìàöèè.

ßñíî, ÷òî ýòè ïîíÿòèÿ ïðèìåíèìû è ê âèçóàëüíî íàáëþäàåìûì ÿâëåíèÿì, ïîñêîëüêó çäåñü èñïîëüçóþòñÿ òå æå ïðèíöèïû îáðàçíîãî ìûøëåíèÿ, ÷òî è ïðè ðàñïîçíàâàíèÿ, àíàëèçå è îïèñàíèè ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ ÷åëîâå÷åñêèì ìîçãîì. Êðîìå òîãî, èìåííî ñ ýòèìè ôîðìàëüíûìè ïîíÿòèÿìè ìû ñâÿçûâàåì êëàññè÷åñêèé èäåàë êðàñîòû. Åñëè ïðîèçâîëüíûé íàáîð äàííûõ ïðåäñòàâèòü, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà â îïòèìàëüíîì äëÿ âèçóàëüíîãî âîñïðèÿòèÿ âèäå, òî ìû îäíîâðåìåííî ïðèáëèçèìñÿ è ê õàðàêòåðèñòèêå Ïðåêðàñíîãî.

Îäíàêî èçó÷åíèå ñîâðåìåííîãî èñêóññòâà ïîêàçàëî, ÷òî îäíîãî ëèøü ñîîòâåòñòâèÿ êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ êðàñîòû íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Íàðÿäó ñ ýòèì äîëæíî áûòü íå÷òî âûçûâàþùåå èíòåðåñ, òðåáóþùåå ñîïðè÷àñòíîñòè è çàñòàâëÿþùåå äóìàòü.

Èç ïñèõîëîãèè òåîðèè èíôîðìàöèè èçâåñòíî, ÷òî ïîäîáíûå ñòèìóëû âîçíèêàþò â îñíîâíîì áëàãîäàðÿ íîâèçíå, ò. å. òîãäà, êîãäà ïåðåä íàøèìè ãëàçàìè ïðåäñòàåò íå÷òî, êàê íàì êàæåòñÿ, íîâîå, ÷åãî ìû ðàíüøå íå âñòðå÷àëè.

Ïðîèçâîäèìîå ýñòåòè÷åñêîå âïå÷àòëåíèå è âûçûâàåìîå íîâèçíîé óäèâëåíèå - âîò ÷òî ðîäíèò ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà ñ èçîáðàæåíèÿìè, ñîçäàâàåìûìè íàóêîé. Íàïðèìåð, íàó÷íàÿ ôîòîãðàôèÿ - ýòî îòíþäü íå ïðÿìîå îòðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîñòè, à ñêîðåå ðåçóëüòàò ñëîæíûõ îïòè÷åñêèõ èëè äàæå ýëåêòðîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé, öåëü êîòîðûõ ñîçäàòü íàèáîëåå óçíàâàåìûé è çàïîìèíàþùèéñÿ çðèòåëüíûé îáðàç. Èñïîëüçóÿ êðàñèòåëè èëè ïîëÿðèçàöèîííûå ôèëüòðû â ìèêðîñêîïèè, ìû ïîëó÷àåì íå÷òî, íè÷åãî îáùåãî íå èìåþùåå ñ ðåàëüíîé îêðàñêîé îáúåêòà. Ýòè ñðåäñòâà ñëóæàò òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü íåêîòîðûå îáëàñòè áîëåå ðàçëè÷èìûìè.

Êîíå÷íî æå, îáúåêòû èññëåäîâàíèÿ, íàïðèìåð êðèñòàëëè÷åñêèå ñòðóêòóðû, è ñàìè ïî ñåáå ñîäåðæàò âñå íåîáõîäèìîå äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ èõ õàðàêòåðíûõ ÷åðò. Íî ëèøü ïðåîáðàçîâàíèå ñ ïîìîùüþ ñðåäñòâ ìèêðîñêîïèè ïîçâîëÿåò ñîçäàòü èçîáðàæåíèÿ, ñòîëü ïîðàçèòåëüíî ïîõîæèå íà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Ïðèðîäíûå ôîðìû êàê èñêóññòâî ýòà êîíöåïöèÿ Ýðíñòà Õåêêåëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûðàæåíèå ïîðàçèòåëüíîé âçàèìîñâÿçè ìåæäó, êàçàëîñü áû, ñîâåðøåííî ðàçíûìè îáëàñòÿìè çðèòåëüíîãî îïûòà. Âèäèìî, íàñòîÿùåå ýñòåòè÷åñêîå óäîâîëüñòâèå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïóòåøåñòâóÿ, ñêàæåì, ïî ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà ñ ïîìîùüþ ìèêðîñêîïà.  ïîëå çðåíèÿ ïîïàäàþò âñå íîâûå îáëàñòè, íàïîìèíàþùèå êàêèå-òî ëàíäøàôòû, è âñåãäà ìîæíî åùå áîëüøå óâåëè÷èòü èçîáðàæåíèå, ÷òîáû èññëåäîâàòü áîëåå ãëóáîêèå ïëàñòû ñòðóêòóðíûõ âîçìîæíîñòåé.

Âî ìíîãèõ ôðàêòàëüíûõ êàðòèíàõ - ïåéçàæàõ îáíàðóæèâàåòñÿ óäèâèòåëüíîå ñõîäñòâî ñ êàðòèíàìè, íàáëþäàåìûìè ïîä ìèêðîñêîïîì. Ãðóïïà èññëåäîâàòåëåé, çàíèìàþùàÿñÿ èõ ñîçäàíèåì, íîñèò íàçâàíèå Êîìïëåêñíàÿ äèíàìèêà, ÷òî îòðàæàåò íàó÷íóþ ñòîðîíó åå äåÿòåëüíîñòè, íî, è ýòî î÷åíü âàæíî, ñâîè ãðàôè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ îíè íàçâàëè íîâûì, ñîçäàííûì èìè òåðìèíîì ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß. Ýòî ñèíòåòè÷åñêîå íàçâàíèå âûðàæàåò îäíîâðåìåííî è àíàëîãè÷íûé îïûò, íàêîïëåííûé âíà÷àëå áèîëîãàìè è êðàñòàëëîãðàôàìè, èñïîëüçóþùèìè ìèêðîñêîïû, è âïîñëåäñòâèè ó÷åíûìè, ðàáîòàþùèìè â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ åñòåñòâåííûõ íàóê - îò ôèçèêè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ïî àñòðîíîìèè.

Íî ìåæäó ìàòåìàòèêîé è åñòåñòâåííûìè íàóêàìè åñòü ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå. Âñåãäà ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ó÷åíûé ôîòîãðàôèðóåò ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèå â ïðèðîäå ñòðóêòóðû è âûäàåò, â êàêîì-òî ñìûñëå, êîïèè ïðèðîäíûõ îáúåêòîâ çà ïðîèçâåäåíèÿ èñêóññòâà. Íî òàêîå îáâèíåíèå íåâîçìîæíî ïðåäúÿâèòü ìàòåìàòèêó. Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà ìîæåò âíåøíå è íàïîìèíàåò èñïîëüçîâàíèå ìèêðîñêîïà, íî òî, ÷òî ìû ñ åãî ïîìîùüþ ïîëó÷àåì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ÷èñòîì âèäå ïðîäóêò ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà è íå îáÿçàòåëüíî èìååò àíàëîãè â ïðèðîäå. Ïîýòîìó êàðòèíû, êîòîðûå óäàëîñü ïîëó÷èòü ãðóïïå Êîìïëåêñíàÿ äèíàìèêà - ýòî âîâñå íå èñêëþ÷èòåëüíî óäà÷íûé çðèòåëüíûé îáðàç ïðèðîäû, íàïðîòèâ, èõ îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ïðèäóìàíî àâòîðàìè. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòè ðèñóíêè ïîðàæàþò ïîäëèííîé íîâèçíîé è îáîçíà÷àþò ïðîáëåìû, íàïðèìåð êîìïëåêñíîñòü, èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîäîòâîðíûì è ïîëåçíûì. Ìîæíî, êîíå÷íî, ãîâîðèòü, ÷òî òåìû êîìïüþòåðíûõ ðèñóíêîâ íåîáû÷íû äëÿ èñêóññòâà, ÷òî îíè èíòåðåñóþò òîëüêî ó÷åíûõ è òåõíîëîãîâ è, ñòàëî áûòü, ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èñêóññòâî ëèøü â ðàìêàõ íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ñóáêóëüòóðû. Íî â ýòîì îáâèíåíèè íà÷èñòî èãíîðèðóåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðîáëåìàòèêó êîìïëåêñíûõ ñèñòåì ìîæíî îáíàðóæèòü â ñàìîé îñíîâå áèîëîãè÷åñêîé æèçíè è ñîöèàëüíûõ ñèñòåì, â ïðîèñõîæäåíèè Âñåëåííîé è äàæå â ôèëîñîôèè. Òî åñòü â ñàìîì äåëå èñêóññòâî, åñëè ñëåäîâàòü îáû÷íûì îïðåäåëåíèÿì. È åñëè åãî è ìîæíî ñ÷èòàòü íåíàñòîÿùèì, òî ëèøü ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî îíî ñîçäàâàëîñü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà.

Ãëàâà 10

ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÈÑÊÓÑÑÒÂÀ

Èñêóññòâî ïðåäïîëàãàåò îáùåíèå ìåæäó õóäîæíèêîì è çðèòåëÿìè.  èäåàëüíîì ñëó÷àå - ýòî çàìêíóòûé öèêë: õóäîæíèê ïðåäñòàâëÿåò çðèòåëÿì ñâîþ ðàáîòó, âûçûâàåò èõ ðåàêöèþ è èñïîëüçóåò åå êàê îáðàòíóþ ñâÿçü, ó÷èòûâàÿ, ñ öåëüþ áûòü ëó÷øå ïîíÿòûì, îòêëèê çðèòåëåé â ñâîåé äàëüíåéøåé ðàáîòå.

Åñòü ëè ïðåïÿòñòâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèþ êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè è êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà? Ïîêà ýòî áûëè ëèøü ðèñóíêè, ñîçäàííûå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, ãëàâíîé ïðîáëåìîé áûëè ñîìíåíèÿ ñïåöèàëèñòîâ, èñòîðèêîâ èñêóññòâà, èñêóññòâîâåäîâ è, áîëåå âñåãî, âëàäåëüöåâ ãàëåðåé. Ïðîáëåìà çàêëþ÷àëàñü â òîì, ÷òî êîìïüþòåð ìîæåò ñîçäàòü ëþáîå ÷èñëî îäèíàêîâî ñîâåðøåííûõ îðèãèíàëîâ, ÷òî ìîæåò íàíåñòè óùåðá áèçíåñó, ñâÿçàííîìó ñ èñêóññòâîì. Çàòåì áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî íåêîòîðûå èç ïåðâûõ ðàáîò, ñîçäàííûõ êîìïüþòåðîì, â ïîëíîé ìåðå óíèêàëüíû è íåâîñïðîèçâîäèìû. È èõ äåéñòâèòåëüíî ñòîèëî êîëëåêöèîíèðîâàòü.

Ñåé÷àñ ñèòóàöèÿ ñëîæíåå. Ñâÿçàíî ýòî ñ òåì, ÷òî èçîáðàæåíèÿ ñîçäàþòñÿ íå ãðàôîïîñòðîèòåëåì, à íà ýêðàíå äèñïëåÿ. Ñ ýêðàíà îíè äîëæíû áûòü ïåðåïèñàíû è çàôèêñèðîâàíû, ñêàæåì, ñ ïîìîùüþ íåèñêàæàþùåé, êîíòðîëèðóåìîé êîìïüþòåðîì, ôîòîãðàôèè. Íî çäåñü ñðàçó æå âñïëûâàþò ñòàðûå îãîâîðêè, è âíîâü âîçíèêàåò äèñêóññèÿ î òîì, ìîæåò ëè ôîòîãðàôèÿ áûòü ïðîèçâåäåíèåì èñêóññòâà.

Åñòü è äðóãèå ñïîñîáû ïåðåíîñà èçîáðàæåíèé ñ ýêðàíà äèñïëåÿ íà áóìàãó â íåèñêàæåííîì âèäå, â ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ ñòðóéíûõ è ëàçåðíûõ ïðèíòåðîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ ïîäîáíàÿ òåõíèêà åùå íåäàâíî áûëà äîñòóïíà ëèøü íåìíîãèì èññëåäîâàòåëÿì, è ïîýòîìó áîëüøèíñòâî íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, äàæå òåõ, â êîòîðûõ ïîëó÷åíû òðåõìåðíûå îáðàçû ñ ïåðñïåêòèâîé, îñòàåòñÿ íà ñëàéäàõ èëè ôîòîáóìàãå. Ñàìûå áîëüøèå ñëîæíîñòè âîçíèêàþò ñ äâèæóùèìèñÿ èçîáðàæåíèÿìè, êîòîðûå íåëüçÿ âûñòàâèòü â ãàëåðåÿõ è êîòîðûìè òðóäíî çàèíòåðåñîâàòü òåõ, êòî òîðãóåò ïðîèçâåäåíèÿìè òðàäèöèîííîãî èñêóññòâà. ×òîáû ñäåëàòü ýòè ïðîèçâåäåíèÿ äîñòóïíûìè äëÿ ïóáëèêè, íóæíî èñïîëüçîâàòü àáñîëþòíî íîâûå ñðåäñòâà, íàïðèìåð òå îðãàíèçàöèè, êîòîðûå èìåþò äåëî ñ òåëåâèçèîííûìè èçîáðàæåíèÿìè òèïà áèáëèîòåê âèäåîêàññåò èëè òåëåñòàíöèé. Íåïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò: òî ëè ïðîñòî ñëèøêîì ìàë ñïðîñ íà ñîçäàííûå êîìïüþòåðîì äâèæóùèåñÿ îáðàçû, òî ëè âñåìó âèíîé ìåäëèòåëüíîñòü ñðåäñòâ ìàññîâîé èíôîðìàöèè, íåæåëàíèå ïåðåêëþ÷èòüñÿ íà íîâûé ïóòü?

Êàêèì æå ñïîñîáîì ìîæåò êîìïüþòåðíûé õóäîæíèê ïðåäñòàâèòü ñâîè ðàáîòû øèðîêîé ïóáëèêå? Ïðîñòåéøèé ìåòîä, êàê ìíå êàæåòñÿ, ñëåäîâàòü òðàäèöèÿì ãàëåðåé è âûñòàâëÿòü âíà÷àëå ïåðåíåñåííûå íà áóìàãó ñòàòè÷åñêèå èçîáðàæåíèÿ. À êîãäà ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áóäóò ïðèçíàíû, îòêðîþòñÿ íîâûå âîçìîæíîñòè è äëÿ äâèæóùèõñÿ èçîáðàæåíèé. Âïðî÷åì, â ïîñëåäíåå âðåìÿ, â ñâÿçè ñ âíåçàïíûì âçðûâíûì ðîñòîì ðàñïðîñòðàíåííîñòè ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ, ïîÿâëÿþòñÿ âîçìîæíîñòè ïåðåäà÷è ïîäîáíûõ ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà â âèäå ñïåöèàëüíûõ ôàéëîâ. Áîëåå òîãî, òàêèå ôàéëû ìîãóò ñîäåðæàòü íå îáÿçàòåëüíî ãðàôè÷åñêóþ èíôîðìàöèþ, íî ïðîñòî íàáîð êîýôôèöèåíòîâ äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ êàðòèíû ïî èçâåñòíîìó àëãîðèòìó.

Ãëàâà 11

ÈÑÊÓÑÑÒÂÎ È ÒÅÕÍÎËÎÃÈß ÑÅÃÎÄÍß

Ðàçóìíàÿ ñòðàòåãèÿ áèçíåñà è ïðåâîñõîäíîå êà÷åñòâî ïðîäóêöèè íå ïîìîãóò, åñëè ïóáëèêà ýòó ïðîäóêöèþ îòâåðãàåò. Îäíîé èç ïðè÷èí, ïî êîòîðûì êîìïüþòåðíîå èñêóññòâî îòâåðãàåòñÿ, ìîæåò ñëóæèòü òî, ÷òî îíî ñîçäàíî ñ ïîìîùüþ òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíûõ óñòðîéñòâ, êîòîðûå ñàìè ïîïàëè íûí÷å ïîä ñèëüíûé ïåðåêðåñòíûé îãîíü. Âûñòóïëåíèå â çàùèòó òåõíîëîãèè (ñ öåëüþ óçàêîíèòü åå êàê òâîð÷åñêèé ìåòîä) íàòàëêèâàåòñÿ íà íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ âîïðîñà: Íå ñëåäóåò ëè îãðàäèòü èñêóññòâî îò âìåøàòåëüñòâà ìàøèí â ñîâðåìåííîì ìèðå, òåì áîëåå, ÷òî è ñàì ïî ñåáå òåõíîëîãè÷åñêèé ïðîöåññ âûçûâàåò îïðåäåëåííûå ñîìíåíèÿ? Îòâåò ïðîñò. Òåõíîëîãèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ êîìïüþòåðíîãî èñêóññòâà, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò èñïîëüçóåìûõ â ýíåðãåòèêå è ïðîìûøëåííîñòè, êîòîðûå â îñíîâíîì è îêàçàëèñü ïîä îãíåì êðèòèêè. Êîìïüþòåð - ýòî ïðîäóêò èíôîðìàöèîííîé òåõíîëîãèè, ïîòðåáëÿþùèé ìèíèìóì ýíåðãèè è ìàòåðèàëüíûõ ðåñóðñîâ. È íåò ïðè÷èí îãðàíè÷èâàòü ïðèìåíåíèå ñèñòåì îáðàáîòêè äàííûõ ëèøü íàóêîé, òåõíîëîãèåé, áèçíåñîì è óïðàâëåíèåì, èñêëþ÷àÿ ñôåðó èñêóññòâà.

Âîïðîñ î çàìåíå òðàäèöèîííûõ ìåòîäîâ òâîð÷åñòâà õóäîæíèêà ýëåêòðîíèêîé èëè ìàøèíàìè íå ñòîèò. Íàïðîòèâ, èìååò ñìûñë èñïîëüçîâàòü âñå âîçìîæíûå ñðåäñòâà, ÷òîáû ðàñøèðèòü âîçìîæíîñòè äëÿ ñàìîâûðàæåíèÿ õóäîæíèêà. Èñêóññòâî êàæäîé ýïîõè ïîëüçîâàëîñü ñîâðåìåííûìè ñðåäñòâàìè, ÷òîáû ïðèäàòü ôîðìó òîìó íîâîìó, ÷òî ïîÿâëÿëîñü â õóäîæåñòâåííîì òâîð÷åñòâå. Ïðè ýòîì íèêîãäà íå ðóêîâîäñòâîâàëèñü òîëüêî òåõíè÷åñêèìè èëè ïðàêòè÷åñêèìè öåëÿìè, ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàëè è ñïîñîáû îáùåíèÿ ëþäåé äðóã ñ äðóãîì. Ïî÷åìó æå íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð - ýòî óíèâåðñàëüíîå ñðåäñòâî îáùåíèÿ è ïîëó÷åíèÿ èíôîðìàöèè, êîòîðîå çàâîåâûâàåò äàæå íàøè ñîáñòâåííûå äîìà - â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà äëÿ ñîçäàíèÿ ïðîèçâåäåíèé èñêóññòâà?


ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ

1. Èíôîðìàöèîííûå êàíàëû ñåðâåðîâ 279.0 è 200.25 â ñèñòåìå 5020.

2. Õ.-Î. Ïàéòãåí, Ï.Õ.Ðèõòåð. Êðàñîòà ôðàêòàëîâ. Îáðàçû êîìïëåêñíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. ÌÈÐ, 1993 ã.:

3. Ãåðáåðò Â. Ôðàíêå. Ïðåëîìëåíèå íàóêè â èñêóññòâå.

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò ïî âûñøåé øêî

 

 

 

! , , , .
. , :