МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

 

2

Содержание

 Введение                                                                                                         3

2.   Нахождение асимптоты                                                                                 4

   2.1 Геометрический смысл асимптоты                                                               5

   2.2 Общий метод нахождения асимптоты                                                          6

   3.   Виды                                                                                                                 8

    3.1 Горизонтальная асимптота                                                                            8

   3.2 Вертикальная асимптота                                                                                9

   3.3 Наклонная асимптота                                                                                   10                           

         Использованная литература                                                                        12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождение асимптоты

  Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.                         

                                                                                          x- 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, 

                                      2                         2

получим y = x - 4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ® - ¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2.1 Геометрический смысл асимптоты

 

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

                             (рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х ® + ¥

       х ® + ¥                                                                                                 

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

 

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда

lim  = k.

                                                        х ® + ¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

                                    х ® + ¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

                                                 х ® + ¥        

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

                                                                                             х ® + ¥         

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

                                              х ® + ¥

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                                 х ® + ¥                 х ® + ¥          

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                  х ® + ¥                 х ® + ¥          

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

7

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

 

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

                                                               (рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

 

                             (рис.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

3.2 Вертикальная асимптота

                        

                                (рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

                                   х ® ¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

3.3 Наклонная асимптота

 

                        (рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина  

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции  выглядит так (рис.6)

                                 (рис.6)

12

 

Использованная литература

 

1.   Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2.   Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3.   Лекции по математике

 

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВАРЕФЕРАТпо дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)Выполнила: студентка 1 курса Экономического факультета (вечернее отделение) Козлова

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу