. , , ,

,,,

,

. . , . , .

. R AND , , . , .

: (true) (false). :

.

22=4.

, ( ).

, .

5.1. , .

5.1.

Ø NOT
Ú OR
Ù AND
Þ
Û

5.1. - , :

true false - ;

{true, false} - ( boolean);

- , (Ø) - ;

p q - , (pÚq), (pÙq), (pÞq), (pÛq) - .

, , 3 4 5.1. . , , , . .

. , 1 2, , .

5.1.

p,q r - boolean.

- :

1. p 6. (pÚq)
2. q 7. (pÙq)
3. false 8. (pÞq)
4. (Ø) 9. (pÚ(rÙq))
5. true 10. (pÞ(qÙ(rÛp))

, 1,2,3,4,5 - , 1,2,3 5.1. 9,10 - 2 4. 9, 10 - 2 4 .

:

(pÞ(qÙ(rÛp))

rÞp - 4. s1.

(qÙs1) - 4. s2 .

(pÞs2) - 4.

5.2. .

(pq)

(pq) Ø

1 , .

2 , -, , (pq) - ; -, , sØ , - s p - , 4- 5.1.

. . , (Ø) Ø, (pÚq) - pÚq. , . , pÚqÙr ((pÚ)qÙr), (pÚ(qÙr)). , , , . Ø - , Ù, Ú, Þ Û . , pÚqÙr (pÚ(qÙr)).

5.1.1. .

. , , , , ? . , , , , ( ).

, , -. , , . .

, , Ø :

.

, .

.

.

, . , pÙq, p q :

10 £ x £100

.

.

, .

: 10 100. , .

. : , . : .

.

Ú , . : , , . , , , , , .

Ú, - . Ú.

pÞq , , q - , - .

, .

p, , q,

pÞq

, .

, . , :

, .

, .

p , s - ,

s Þ p,

, , .

p Þ s

.. , - .

, p q - .

,

1+1=2 , -

pÞq

, , 1+1=2 - . , - - , .

pÛq , . , - , b, c, a2+b2=c2 , - .

p - a2+b2=c2, q - - ,

pÛq,

.. pÞq qÞ p .

.

1 .

5.2. p1. pn - boolean, . .

pÚq . { p, q }. true, false , 4- :

(T,T), (T,F), (F,T), (F,F).

( true, F false). pÚq . , , . pÚq ( 5.2.).

5.2.

pÚq

p q pÚq
T T T
T F T
F T T
F F F

, Ú. p - , q - , p q - .

5.3. .

5.3.

) - , ) - ,

) - , ) - .

a) ) ) )
p Ø pq pÙq pq pÞq pq pÛq
T F

TT

TF

T

F

TT

TF

T

F

TT

TF

T

F

F T

FT

FF

F

F

FT

FF

T

T

FT

FF

F

T

p=F , q=T. ,

, , . , p=F, .. , .

. ,

(pÚq) Þ Øp

(pÚq), s, Øp, r, , , s Þ r. 5.4. .

5.4.

(pÚq) Þ Øp.

p q s = pÚq r =Øp s Þ r
T T T F F
T F T F F
F T T T T
F F F T T

, 2 . - , . , pÚq , p=T, q, - T. 5.5. .

5.5.

(pÙq) Þ(rÚ(pÞS)),

.

p q r s (pÙq) Þ (rÚ (pÞs))
F - - - F T - -
- F - - F T - -
T T T - T T T -
T T F T T T T T
T T F F T F F F

, 24=16 . , 5.

.

, , .

5.2. - , - . - , - F, .

, - , . , pÚØp - . pÚØp ( 5.6.)

5.6.

pÚØp

p Øp pÚØp
T F T
F T T

, . .

.

, , , , , . , , , . , , , , . , Pascal.

.

(pÚq)Ù(pÚØq).

5.7.

5.7.

(pÚq)Ù(pÚØq)

p q (pÚq)Ù(pÚØq)
T T T
T F T
F T F
F F F

, p. , , (pÚq)Ù(pÚØq) p, , , p.

, . , , , .

5.3. , .

, , . , - . , , .

5.1. p q - ( pºq) , pÛq - .

:

pºq. p q . , , p=, q=Ҡ , p=F, q=F. , pÛq ( Û, FÛF), .. pÛq - .

pÛq -. p=, q , p=F, q F.

, . , p q . , pºq.

( .)

, , .

.

, 5.8.

5.8.

I. II.
1. pÙq º qÙp 1. pÙ(qÙr) º (pÙq)Ùr
2. pÚq º qÚp 2. pÚ(qÚr) º (pÚq)Úr
III. IV.
1. pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr) 1. Ø(pÚq) º ØpÙØq
2. pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr) 2. Ø(pÙq) º ØpÚØq
V. VI.
1. pÞq º ØpÚq 1. pÛq º (pÞq)Ù(qÞp)
VII. C VIII.
1. Ø(Øp) º p 1. p º p
IX. X.
1. pÚØp º 1. pÙØp º F
XI. XII.
1. pÚp º p 1. pÙp º p
2. pÚÒ º 2. pÙÒ º p
3. pÚF º p 3. pÙF º F
4. pÚ(pÙq) º p 4. pÙ(pÚq) º p

. , , , 5.8., .

. , , , . . , .. pÙ(qÙr) º (pÙq)Ùr , pÙqÙr. , . Þ , Ø, Ú, Ù. , , . , 5.9. . .

5.9.

p q pÞq ØpÚ q
T T T T
T F F F
F T T T
F T T T

, . , , - . , , Ú Ù.

.

(pÚØq)ÙrÙ(ØpÚq)

(pÚØq)Ù(ØpÚq)Ùr I.1

(ØqÚp)Ù(ØpÚq)Ùr I.2

(qÞp)Ù(pÞq)Ùr V.1

(pÛq)Ùr VI.1

(pÚØq)ÙrÙ(ØpÚq) º (pÛq)Ùr

,

pÚ(ØqÞp)ÚØq

pÚ(Ø(ØqÚp)ÚØq V.1

pÚ(qÚp)ÚØq VII.1

pÚ(qÚp)ÚØq I.2

(pÚp)Ú(qÚØq) II.2

pÚ(qÚØq) XI.1

pÚT IX.1

T XI.2

, ,

pÚ(ØqÞp)ÚØq º Ҡ - .

((pÞq)Þp)Þp

(Ø(pÞq)Úp)Þp V.1

(Ø(ØpÚq)Úp)Þp V.1

((Ø(Øp)ÙØq)Úp)Þp IV.1

((pÙØq)Úp)Þp VII.1

(pÚ(pÙØq))Þp I.2

pÞp XI.4

ØpÚp V.1

pÚØp I.2

T IX.1

((pÞq)Þp)Þp - .

5.2.3. : .

, .. . , . , .

, , , . , .

, , , . , : . , . , , , . 5.10.

5.10.

I. Þ II. Û
[p] pÞq

III.

Þ

p

IV. Û
1.

(Modus ponens)

1.

2.

Øq

(Modus tollens)

2.

V. Ø VI. Ø
1.

[p]

1.

2.

p

VII. Ù VIII. Ú
1.

p

1.

2.

IX. Ù X. Ú

1.

2.

1.

[p] [q]

r

, . , , . , , [ ]. . .

[p]

p

I

, - . . , . I, .

, . . , .

, , . , VIII. p q, - .

, ( ) .

5.2.4. .

.

[p] -

[q] -

- 1.

- I, 2, 3

- I, 1, 4

p q I. .

dus onens. , . - , , , .

-

- IX. , 1

r - IX. , 1

𠠠 - III. dus onens, 2, 3

pq - IX. , 1

q - III. dus onens. 4, 5

- I. , 1, 6

dus Tollens.

-

pq - IX. , 1

Øq - IX. , 1

Øp - III.2. Modus Tollens, 2, 3

- I. , 1, 4

Ø Ø .

-

pq - IX. , 1

Øq - IX. , 1

[p] -

q - III. dus Ðonens, 4, 2

Øq - 3

F - VI. , 5, 6

Øp - V. Ø 4, 7

- I. Ø 1, 8

.

V. Ø - . . .

Q :

2, 3, 4 - .

, ØQ - , . 2, 3, 4 - . , , , 4+9=16 , 4+9 ¹ 16. , VI.1 Ø , F. F ØQ, V, Ø(ØQ). , VII 5.8., Q.

-

- V.1, 1

- IV.1

Øq - IX.2. , 3

- IX.1. , 3

- IX.1. , 5

p - IX.2. , 6

q - III.1. dus onens, 6, 7

F - V.1 Ø , 4, 8

- V. Ø , 1, 9

.

, , , . . . , . . ?

:

p= ;

q= C ;

s= ;

h= ;

u= .

:

uÞ(pÚq)

pÞs

ØsÞØq

hÞØs

u

1, 5 . Modus ponens 젠 pÚq

젠 [q]

3, 7 . Modus Tollens 젠 s

7, 8 Þ젠 qÞs

4, 10 . Modus Tollens Øh

, .

http://www.ergeal.ru/

. .

 

 

 

! , , , .
. , :