курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС
Москва 2001 – 2004 год
Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.
Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn =zn (1) на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :
(x - a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)
Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.
Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости (x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an
(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
= xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn) =0
(3)
Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:
xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)
Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0
Разделив все члены уравнения на xn-1, получим выражение для искомого x
x=2na+P(a,n)/xn-1 , где P(a,n)/xn-1 ³0 (5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P(1,n)/xn-1 (6)
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .
Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству yn + xn =zn
Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
| n | x | y=x-1 | z=x+1 | xn | yn | xn+ yn | zn | D% |
| 2 | 4 | 3 | 5 | 16 | 9 | 25 | 25 | - |
| 3 | 6,055 | 5,055 | 7,055 | 221 | 129 | 350 | 350 | - |
| 4 | 8,125 | 7,125 | 9,125 | 4350 | 2540 | 6890 | 6890 | - |
| 5 | 10,200 | 9,200 | 11,200 | 107000 | 66000 | 173000 | 175000 | 1,25 |
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.
Если уравнение yn + xn =zn с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/хn-1=2cn3/ x2 + 2cn5 / x4 +2cn7 / x6... ( 1 + 1 )/xn-1
В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.
Первый член разложения, из-за малости x2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя xn-1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
Известно, что уравнение второй степени y2 + x2 =z2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)3 +(x-a)3 +x3 =(x+ b)3 , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43 +53 =63 .
Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.
Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.
Это подтверждается следующими математическими
выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов
относительно cosC,
где C –угол между
сторонами а и b
сosC= (a2+ b2 -c2)/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:
а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, где x=2n+P(1,n)/xn-1
После выполнения операций преобразования получим:
cosCn= 0,5-1,5/ xn-1 (7)
По полученной формуле проведены расчеты
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | ∞ |
| x-1 | 3 | 5.054 | 7.125 | 9.200 | 19.0.. | ∞ |
| cosC | 0 | 0.202 | 0.289 | 0.337 | 0.421 | 0.5 |
| Co | 90 | 78 | 73 | 70 | 65 | 60 |
Из которых следует :
искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90о при n=2 до 60о при n→∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.
В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.
Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y2 + x2 =z2
Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.
В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.
Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z02= x2 +y2 –2xycosc. Требуется доказать, что Z0 является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2xycosc, что в свою очередь делает нецелым Z02 и извлеченный из него квадратный корень Z0.
В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z02= x2 +y2 –2xycosc всегда меньше соответствующего Zп2= x2 +y2 прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z02 находится внутри числового отрезка Zп2=x2 +y2.
Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z02 будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.
Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 и т.д.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.
Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z1 не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z1/Dx2
Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z02 всегда меньше zп2 или соответствующего Dx2 в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z02 в числовой отрезок Dx2 и убедиться, что извлеченный корень из числа z02 является нецелым числом.
Рассмотрим доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z02 =102 +92-2*10*9*0,337=120,34.
В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.
Проверка: 105 +95 =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z02 может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по трем известным сторонам треугольника.
Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числа zk =xk+yk является нецелым числом.
P.S. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).
Принятие a=1 обусловлено получением максимальных
, (*) при
которых для всех a <1 нет
решений уравнений Ферма в целых числах, а zn
наиболее близок к 2xn.
Принятие b=1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем:
откуда b£x(nÖ2-1). Подставляя вместо х его близкое целое значение 2n, получим формулу b£ 2n(nÖ2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 450 сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.
Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….
Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо (x*a)n +(y*a)n =(z*a)n.
В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P(a,n)/xn-1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a.
В иррациональности добавки P(1,n)/xn-1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.
Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xn и yn могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:
вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n
квадрант I - для положительных x и y
квадрант III- для отрицательных x и y
в квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа xn - yn или yn - xn, рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.
Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.
Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yn + xn =zn . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.
Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.
Освоение космоса
Расчет площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования
Численный расчет дифференциальных уравнений
Парниковый эффект, особенности допотопного климата
Проективная геометрия
Метеориты
Построение кубического сплайна функции
История математики: Классическая Греция
Происхождение вселенной
Метод контурных токов, метод узловых потенциалов
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.