База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

Модель распределения — Математика

Курсовая работа по статистике

Работу выполнил ст. гр. ЭР-6-4 Шалыгин Д.А.

Московский государственный технологический университет «Станкин»

Кафедра «Производственный менеджмент»

Москва 2001

Раздел 1. Исследование модели распределения

1. Формирование выборочной совокупности

Обычно бывает затруднительно исследовать генеральную совокупность. Тогда проводят исследование выборочной совокупности, и его результаты распространяют на генеральную совокупность.

Наиболее часто для формирования выборочной совокупности применяют бесповторную случайную выборку. Случайный отбор организуют с помощью жребия, таблицы случайных чисел или программы, генерирующей квазислучайную последовательность чисел. Для этого единицы генеральной совокупности нумеруют. Данные, соответствующие выпавшим, номерам попадают в выборку. При этом повторяющиеся номера пропускаем.         

Покажем применение таблицы случайных чисел. В табл. 1 приложения приведено пятьсот четырехзначных случайных чисел.

Рассмотрим пример получения выборки. Генеральная совокупность содержит значения восьми количественных экономических показателей для 100 предприятий. Она представлена в табл.2 приложения.

Наиболее проработанной в статистике является парная корреляция. Положим,  нужно  установить  корреляционную  связь  между двумя показателями. В нашем случае мы изучаем связь между годовой балансовой прибылью (показатель 5) и электровооруженностью на одного работающего (показатель №7), выбираем в табл.1 приложения четырёхзначное число из 7-го столбца, 5-ой строки; т.к. сумма номеров показателей чётна, то из него берём правую половину; далее выбираем 30 неповторяющихся чисел. Затем из табл.2 приложения выбираем в соответствующих номерах строк 30 пар значений изучаемых показателей, в соответствии с этими данными получаем табл.1.1

Таблица 1.1

№ строки 5 7
5 40,2 35,6
12 35,4 32,9
13 31,4 30,5
18 42,8 37,7
22 36,6 33,7
26 37,8 34,3
27 44,5 38,4
30 42,7 37,2
31 32,8 31,3
32 32,5 30,7
36 32,7 31,4
38 38,9 35,3
40 33,2 31,6
41 36,2 33,7
43 33,3 31,4
45 36,2 33,5
46 38,4 34,6
49 38,8 35,1
52 35,7 33,2
54 33,7 32
57 36,3 33,6
60 40,3 36,1
65 35,8 32,8
68 33,7 31,9
69 41,6 36,3
71 38,8 35
76 34,9 32,6
80 39,4 35,8
86 37,1 33,5
91 35,9 32,6
99 4 42,2

2. Построение интервального ряда распределения

Этот и последующие этапы работы в этом разделе выполняем для каждого изучаемого признака в отдельности.


Принимая во внимание, что выборочная совокупность содержит n значений, величину равных интервалов выбираем по формуле Г.А. Стерджесса:

где К = 1+3,322gn- число интервалов; при n=30 К=5. xmax и xmin - минимальное и максимальное значения признака.

Определяем границы интервалов. Для первого интервала левая граница равна xmin, а правая – xmin +i и, для второго, соответственно - xmin +i и xmin +2i и т.д.

Строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам и гистограмму. Для определенности считаем, что значение признака, лежащее на границе двух интервалов, попадает в правый интервал.

Для показателя x:

Определяем границы интервалов и строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам:

Границы интервалов Число предприятий
31,4 34,02 8
34,02 36,64 9
36,64 39,26 6
39,26 41,88 4
41,88 44,5 3

Строим гистограмму:

                  

Для показателя y:

Определяем границы интервалов и строим таблицу частоты распределения значений признака по интервалам:

Границы интервалов Число предприятий
30,5 32,08 8
32,08 33,66 8
33,66 35,24 6
35,24 36,82 5
36,82 38,4 3

Строим гистограмму:

                                 

3. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону распределения

Для проверки соответствия эмпирического распределения случайной величины нормальному закону распределения в нашем случае (при n<30) можно использовать критерии Шапиро-Уилкса (W) и Колмогорова (D). В нашем случае мы используем критерий Колмогорова.


Сначала определим среднюю величину  и среднее квадратическое отключение от нее, считая выборку малой:

Для признака x:

Для признака y:

Вычисляем ошибку определения средней по выборочной совокупности (ошибку выборки):


где n - численность выборки; N= 100 - численность генеральной совокупности; t - коэффициент доверия; при доверительной вероятности 95,45% t=2.

Для признака x:

Для признака y:

Генеральная средняя располагается в следующих границах:

                                               

Определяем эти границы:

           

Ранжируем значения величин x и y по возрастанию (табл.1.2.):

                          x1£ x2 < …£ xn-1£ xn

Таблица 1.2.

X Y
1 2
31,4 30,5
32,5 30,7
32,7 31,4
32,8 31,3
33,2 31,6
33,3 31,4
33,7 32
33,7 31,9
34,9 32,6
35,4 32,9
35,7 33,2
35,8 32,8
35,9 32,6
36,2 33,7
36,2 33,5
36,3 33,6
36,6 33,7
37,1 33,5
37,8 34,3
38,4 34,6
38,8 35,1
38,8 35
38,9 35,3
39,4 35,8
40,2 35,6
40,3 36,1
41,6 36,3
42,7 37,2
42,8 37,7
44,5 38,4


Перейдем к нормированным значениям аргумента (табл.1.3):

Таблица 1.3.

t(x) F(tx) t(y) F(ty)
1 2 3 4 5
t1 -1,6 0,0548 -1,6 0,0548
t2 -1,3 0,0968 -1,5 0,0668
t3 -1,2 0,1151 -1,2 0,1151
t4 -1,2 0,1151 -1,1 0,1357
t5 -1,1 0,1357 -1,1 0,1357
t6 -1,1 0,1357 -1,1 0,1357
t7 -0,9 0,1841 -0,9 0,1841
t8 -0,9 0,1841 -0,9 0,1841
t9 -0,6 0,2743 -0,6 0,2743
t10 -0,4 0,3446 -0,6 0,2743
t11 -0,4 0,3446 -0,5 0,3085
t12 -0,3 0,3821 -0,4 0,3446
t13 -0,3 0,3821 -0,3 0,3821
t14 -0,2 0,4207 -0,1 0,4602
t15 -0,2 0,4207 -0,1 0,4602
t16 -0,2 0,4207 -0,1 0,4602
t17 -0,1 0,4602 -0,1 0,4602
t18 0,1 0,5398 -0,1 0,4602
t19 0,3 0,6179 0,2 0,5793
t20 0,4 0,6554 0,4 0,6554
t21 0,6 0,7257 0,6 0,7257
t22 0,6 0,7257 0,6 0,7257
t23 0,6 0,7257 0,7 0,7580
t24 0,7 0,7580 0,9 0,8159
t25 1,0 0,8413 0,9 0,8159
t26 1,0 0,8413 1,1 0,8643
t27 1,4 0,9192 1,2 0,8846
t28 1,7 0,9554 1,6 0,9452
t29 1,7 0,9554 1,8 0,9641
t30 2,2 0,9861 2,2 0,9861

Принимаем значения эмпирической функции распределения в точке t равным следующему значению (табл.1.4):

где i= 1, 2,...,n. При t< t1 F*(t)=0, а при t>tn F*(t)=l.

Таблица 1.4.

F*(ti)
1 2
1 0,016667
2 0,05
3 0,083333
4 0,116667
5 0,15
6 0,183333
7 0,216667
8 0,25
9 0,283333
10 0,316667
11 0,35
12 0,383333
13 0,416667
14 0,45
15 0,483333
16 0,516667
17 0,55
18 0,583333
19 0,616667
20 0,65
21 0,683333
22 0,716667
23 0,75
24 0,783333
25 0,816667
26 0,85
27 0,883333
28 0,916667
29 0,95
30 0,983333

Определим   максимальное   значение   модуля   разности   между эмпирической функцией распределения F*(t) и теоретической функцией для нормального закона распределения F(t) (значения F(t) представлены в табл.3.2):

и определяем величину:                                                           

Для признака x:

Для признака y:

Затем по таблице определяем в зависимости от l вероятность Р(l), того что за счёт чисто случайных причин расхождение между F*(t) и F(t) будет не больше, чем фактически наблюдаемое.

При сравнительно больших Р(l) теоретический закон распределения можно считать совместимым с опытными данными.

Раздел 2. Исследование взаимосвязи двух количественных признаков

1. Оценка тесноты корреляционной связи

Из логических соображений выдвинем предположение, что признак (названный нами y) зависит от второго исследуемого признака x.

Используя проведенное в первом разделе разбиение значений x на интервалы, построим аналитическую таблицу:

Аналитическая таблица исследования зависимости признака y от признака x

Группы предприятий по признаку x Число предприятий в j-ой группе mj Признак y
Суммарное значение в группе Среднее значение признака yi в j-ой группе на одно предприятие
31,4 – 34,02 8 250,8 31,3500
34,02 – 36,64 9 298,6 33,1778
36,64 – 39,26 6 207,8 34,6333
39,26 – 41,88 4 143,8 35,9500
41,88 – 44,5 3 113,3 37,7667

Далее рассчитываем общую дисперсию:

где  - среднее значение признака для всей выборки, и межгрупповую дисперсию:

где  - среднее значение признака в j-й группе; mj- численность j-й группы; k - число групп.


Для оценки тесноты связи между признаками y и x рассчитываем корреляционное отношение:

Оценку тесноты связи признаков y и x проводим по шкале Чеддока:

-если 0,3<h£0,5, то теснота связи заметная;

-если 0,5<h£0,7, то теснота связи умеренная;

-если 0,7<h£0,9, то теснота связи высокая;

-если 0,9<h£0,9(9), то теснота связи весьма высокая.

2. Определение формы связи двух признаков

Примерное представление о виде зависимости y от x даёт линия, проведённая через точки, соответствующие групповым средним и полученные на основе аналитической таблицы следующим образом: среднему значению признака  в j-ой группе ставится в соответствие не середина интервала группирования по признаку x, а среднее значение , полученное из соответствующих интервалу значений признака x. Можно воспользоваться следующим приемом: построим все точки, соответствующие парам (хi;уi), в декартовой системе координат и провести линию через середины скоплений точек (График № 1).

Затем по справочнику плоских кривых и виду линии подбираем соответствующее уравнение регрессии. Однако не следует брать слишком сложное уравнение. В нашем случае берём линейную функцию:

Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а и b. В нашем случае система уравнений имеет вид:

Решая эту систему уравнений относительно b, получим:

Решая первое уравнение относительно а, получим:

                                    

                                                                           

                             Т.о.:          


Линейный коэффициент корреляции равен:

где sx и sy - средние квадратические отклонения признаков x и y.

                                                                                   


Рассчитаем общую дисперсию:

и остаточную дисперсию:

где yx(хi) - значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значения xi; yi- значение величины y в исходной таблице, соответствующее значению xi.


Определим индекс корреляции:

Индекс корреляции принимает значения 0£ i £1.

                                                                                         

Т.к. i близок к единице, то связь между признаками хорошо описана выбранным   уравнением   регрессии.   Для   линейной   зависимости дополнительным условием для такого заключения является близость значений r и i.                                                            


Можно выбрать несколько видов уравнения регрессии. Наилучшим из них будет то уравнение, которому соответствует меньшая средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии:

где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

                                                                                          

Принимая во внимание то, что мы имеем дело с малой выборкой, необходимо оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии, а также индекса корреляции i и линейного коэффициента корреляции r. Значимость линейного коэффициента корреляции r оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Фактическое значение критерия Стьюдента равно:

   

                            

                                                                      

Критическое (предельное) значение критерия Стьюдента tk, берем из табл.4 приложения, задаваясь уровнем значимости a=5,0 и имея число степеней свободы равное:


k=n-2

Если tr>tk, то величину линейного коэффициента корреляции считаем значимой и можем использовать в расчетах.


Значимость коэффициентов уравнения регрессии а и b также оцениваем с помощью критерия Стьюдента. Расчетные значения критерия Стьюдента равны:

Учитывая, что число степеней свободы также равно k=n-2, сравнение фактических значений критерия Стьюдента ведем с уже найденным критическим значением tk.

Если ta>tk, tb>tk, то соответствующий коэффициент уравнения регрессии значим, и мы можем им пользоваться. Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое значение критерия Фишера равно:


где m - число коэффициентов в уравнении регрессии.

Табличное значение критерия Фишера Fk; определяется по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k1=m-l; k2=n-m.

Если Fi>Fk, то величину индекса корреляции считаем значимой и можем ее использовать в расчетах.

Если коэффициенты а и b, а также линейный коэффициент корреляции r и индекс корреляции i значимы, то все наши расчеты и выводы, опирающиеся на эти величины, правомерны и мы можем использовать полученное уравнение  регрессии для прогноза. Ошибка прогноза будет зависеть, в частности, от остаточной дисперсии s2e.

Раздел 3. Изучение динамических рядов

1. Изучение сезонных явлений

Исследуем сезонные процессы в наших двух динамических рядах. При изучении сезонных явлений из уровней динамического ряда целесообразно вычесть значения, получаемые по уравнению тренда, которые отражают основную тенденцию развития.

При изучении периодических процессов в качестве аналитической модели используем ряд Фурье:

где k=1; j=1.

Для нахождения коэффициентов a0, aj, bj применяем метод наименьших квадратов.

Получаем:

Для признака x:                                                         Для признака y:

Обычно для расчётов используют ежемесячные данные за один год или несколько лет. В этом случае интервал между двумя соседними месяцами принимают равным:

                                                                     

Построив модель сезонных колебаний, положим для уточнённого изучения основной тенденции a0 =0. Исключим сезонные колебания из уровней динамического ряда (табл.3.1.1).

Таблица 3.1.1

xt yt
2661,669 3613,236
2875,587 3822,011
2963,355 3982,202
3123,42 4283,029
3220,836 4428,087
3326,98 4610,676
3286,852 4566,172
3263,324 4538,486
3116,237 4319,251
3036,962 4198,99
2900,234 3993,958
2894,491 3990,848
2874,626 3974,423
2997,766 4181,021
3084,173 4339,299
3262,659 4638,991
3338,698 4783,995
3444,038 4907,625
3403,894 4924,979
3381,141 4899,469
3315,414 4682,148
3157,719 4563,026
3022,368 4358,052
3017,432 4353,904
2997,586 4365,623

2. Определение основной тенденции развития

Для выявления основной тенденции развития применяют аналитическое выравнивание. В результате выравнивания получают зависимость изучаемого показателя от времени, т.е. трендовую модель. Используем линейную трендовую модель:

                                                                          

Наиболее тщательно  выбирают модель для целей экстраполяции значений показателя. Значение х и у выбираем из табл.6 приложения.

Коэффициенты уравнения определяем методом наименьших квадратов. В нашем случае система уравнений относительно коэффициентов a0 и a1 имеет вид:


и коэффициенты a0 и a1 равны:

Для признака x:

Для признака y:

  

3. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов

Продолжаем рассмотрение двух выбранных нами рядов динамики. При исследовании тесноты связи между их уровнями на первое место выступает анализ смысла связи между рядами и установление факторного и результативного признаков. Без такого анализа значение коэффициента корреляции может выражать только случайное сопутствие в изменении уровней двух рядов.

Применение  традиционных  приемов  изучения  корреляции к динамическим рядам сопряжено со следующими особенностями:

1. В социально-экономических рядах динамики имеет место тенденция, вызванная действием постоянных факторов: последующие уровни рядов динамики зависят от последующих, т.е. имеется автокорреляция и авторегрессия. Это говорит о  том, что нарушена одна из предпосылок применения теории корреляции - независимость отдельных наблюдений друг от друга. Если автокорреляцией при этом пренебречь, то полученная зависимость будет отражать взаимосвязь, которой в действительности не существует, или искажать реально существующую взаимосвязь.

2. Второй особенностью изучения корреляции динамических рядов является наличие временного лага, т.е. сдвига по времени изменения уровней одного ряда по отношению к изменению уровней другого ряда. Если сдвинуть уровни одного ряда относительно другого и убрать временной лаг, то получим верную оценку тесноты корреляционной связи уровней двух динамических рядов.                                                         

3. Третьей особенностью является изменение тесноты корреляционной связи уровней динамических рядов со временем.

Вначале устраняем временной лаг, значение которого определяем графически или подбором; с расчетом коэффициента корреляции.

Затем приступаем к исследованию взаимосвязи уровней. Существует четыре направления изучения корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов:               

- коррелирование уровней;

- коррелированно разностей;

- коррелирование остатков (отклонений от трендов);

- коррелирование с учетом фактора времени.

3.1. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования уровней

Нам следует построить уравнение авторегрессии для каждого из изучаемых динамических рядов, проверив наличие временного лага:

где L – величина временного лага (L=1).

Для динамического ряда xi:

Для динамического ряда yi:

Т.к. полученные коэффициенты корреляции больше табличного, то переходим к следующему методу.

3.2. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования разностей

По первоначальным динамическим рядам xi, yi с количеством членов n строим новые динамические ряды ui, wi с количеством членов n-1(табл.3.2.1), где:

Таблица 3.2.1

ui wi
640 224
336 -164
164 -276
-144 -530
-316 -410
-530 -396
-450 -44
-396 104
-84 456
104 470
416 590
470 336
550 224
336 -164
184 -276
-164 -530
-316 -470
-530 -336
-450 -44
-316 104
-164 456
104 470
416 590
470 366

Далее считаем автокорреляцию для динамических рядов u и w:

Для динамического ряда ui:

Для динамического ряда wi:

 

Т.к. полученные коэффициенты корреляции больше табличного, то переходим к следующему методу.

3.3.Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования остатков (отклонений от трендов)

В данном случае зависимость ищется в виде eyi=f(exi), где:

Значения  и  представлены в табл.3.3.1:

Таблица 3.3.1


3642,182105

 5521,14579
4045,276912 5549,19234
4270,521342 5237,823029
4251,468517 4673,817411
3987,065165 4011,580844
3541,933559 3431,813196
3029,073401 3093,139015
2579,614001 3089,646833
2307,713526 3425,703505
2280,001083 4014,785285
2497,741411 4702,638546
2896,496334 5308,570463
3363,373599 5673,816955
3767,245937 5704,040732
3993,851263 5394,583544
3976,378415 4831,713105
3713,351191 4169,53091
3269,023502 3588,722272
2756,179857 3248,190391
2305,945146 3242,52107
2032,68507 3576,663941
2003,392677 4164,607546
2219,755627 4852,402924
2617,70444 5459,372744
3084,562645 5826,4751

Для признака xi:

Для признака yi:

Т.к. полученные коэффициенты корреляции опять больше табличного, то переходим к следующему методу.

3.4. Изучение корреляционной зависимости между уровнями двух динамических рядов методом коррелирования с учётом фактора времени

Для более удобного расчёта изменяем масштаб времени, т.е. Dt =1. Простейшее уравнение регрессии имеет вид:

Тогда система уравнений, полученная методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

Необходимо отметить, что в этом методе коэффициент автокорреляции не исследуется.

Решение системы уравнений методом Гаусса, все необходимые данные в табл.3.4.1:

Таблица 3.4.1

t x2 xt yx t2 yt

1 2 3 4 5 6 7
1 8410000 2900 14111400 1 4866 710092,7896
2 12531600 7080 18018600 4 10180 534945,7467
3 15023376 11628 19093176 9 14778 144386,4657
4 16321600 16160 18786000 16 18600 0,047492264
5 15178816 19480 16051520 25 20600 234012,5049
6 12816400 21480 13281800 36 22260 583789,6833
7 9302500 21350 10107700 49 23198 858020,2697
8 6760000 20800 8502000 64 26160 601299,3152
9 4857616 19836 7436296 81 30366 252847,3424
10 4494400 21200 8119600 100 38300 899,2211526
11 4946176 24464 9563200 121 47300 133539,1856
12 6969600 31680 12909600 144 58680 531592,5221
13 9672100 40430 16252860 169 67938 660179,6832
14 13395600 51240 19947000 196 76300 555049,3853
15 15968016 59940 21122856 225 79290 154919,9389
16 17472400 66880 20941800 256 80160 16,86990836
17 16128256 68272 17991680 289 76160 221023,9832
18 13690000 66600 14837000 324 72180 656820,769
19 10048900 60230 11646580 361 69806 832979,8976
20 7398400 54400 9873600 400 72600 580367,2874
21 5779216 50484 8976536 441 78414 278922,6984
22 5017600 49280 9385600 484 92180 267,9934274
23 5494336 53912 10923040 529 107180 143676,3624
24 7617600 66240 14490000 576 126000 551633,6354
25 10432900 80750 18139680 625 140400 732960,1726
Сумма 325 255727408 986716 350509124 5525 1453896 9954243,77

 

Далее определяем индекс корреляции:

где yx(xi) – значение величины y, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него значений xi и ti; yi – значения y из исходной таблицы.

Значимость индекса корреляции определяем с помощью критерия Фишера, фактическое значение критерия Фишера равно:

Табличное значение критерия Фишера определяем по табл.5 приложения, задаваясь уравнением значимости a и числом степеней свободы k1=m-1; k2=n-m.

Если                      то величину индекса корреляции считаем значимой.

Определим коэффициент детерминации:

Следовательно, величина y зависит от величин x и t на 98,01%. Остальные 1,99% - это зависимость величины y от неучтённых величин.

Подводя итог необходимо отметить, что в исследовании методом коррелирования динамических рядов, с учётом фактора времени была определена весьма высокая теснота связи, равная 0,9900; величина коэффициента детерминации равная 0,9801 говорит о том, что величина y зависит от величин x и t, включённых в уравнение, на 98,01%, все остальные 1,99% - это зависимость величины y от неучтённых величин.



Курсовая работа по статистике Работу выполнил ст. гр. ЭР-6-4 Шалыгин Д.А. Московский государственный технологический университет «Станкин» Кафедра «Производственный менеджмент» Москва 2001 Раздел 1. Исследование модели распределения 1.

 

 

 

Внимание! Представленная Курсовая работа находится в открытом доступе в сети Интернет, и уже неоднократно сдавалась, возможно, даже в твоем учебном заведении.
Советуем не рисковать. Узнай, сколько стоит абсолютно уникальная Курсовая работа по твоей теме:

Новости образования и науки

Заказать уникальную работу

Свои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru