курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Предел.
Число А наз-ся
пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно
малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет
выполн-ся нер-во |Xn-A| Число А явл-ся
пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное
число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в
Е-окрестность (.)А. Св-ва
послед-ти, имеющей предел: 1.если
послед-ть имеет предел, то он единственный. Док-во: предп,
что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда
|a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1
"n>N1 |a-Xn| 2.теорема о
сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥) Док-во: 1. из
того, что $ lim Xn=a (n®¥) =>
n>N2 |Xn-a| Функция y=f(x)
наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит
число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти,
будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то
f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти. Бесконечно
малая величина. Величина Xn
наз-ся бесконечно малой при n®¥, если
lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0,
|Xn| Свойства б.м.
величин: 1.Сумма б.м.
величин есть величина б.м. Док-во: из Xn –
б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn| из Yn–б.м.=>" E/2 $N2,
n>N2 |Yn| 2.Произведение
ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м. Док-во:Xn –
огр. величина => $ K, |Xn| £ K, Yn – б.м. =>
" E/K $N0 n>N0
|Yn| |Xn*Yn|=|Xn||Yn| 3.Достаточный
признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn
имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде
суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) =>
Xn=a+Yn, Yn – б.м. Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) =>
"E $N0 n>N0 |Xn-a| Xn-a=Yn – б.м. =>
Xn=a+Yn. Справедливо и
обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn –
б.м.), то lim Xn=a (n®¥). Бесконечно большая
величина Xn – бесконечно
большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0,
|Xn|>M => M Свойства б.б.
величин: 1.Произведение
б.б. величин есть величина б.б. из Xn – б.б.
=>"M $N1, n>N1
|Xn|>M из Yn – б.б.
=> "M $ N2, n>N2
|Yn|>M N0=max(N1,
N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M Lim XnYn=¥ (n®¥). 2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ =>
M=1/E $N0,
n>N0 |Xn|>M =>n>N0. |Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥). 3.Сумма б.б
величины и ограниченной есть б.б. величина. Основные
теоремы о пределах: lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥) Док-во: lim Xn=a =>
Xn=a+an; lim
Yn=b => Yn=b+bn; Xn ± Yn =
(a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn)
=> lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥). limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥). lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim
Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b. Док-во: Xn/Yn – a/b =
(a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥). Пределы ф-ии
непрерывного аргумента. Число А наз-ся
пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0
сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет
выпол |x-x0| Lim x®x0 f(x)=A
Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при
x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0| Lim f(x)=¥ (x®x0). Число А наз-ся
пределом y=f(x) x®¥, если
для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A| I замечательный
предел. Рассмотрим
окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х. Sтреуг
МОА< Sсект МОА SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX. SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х. SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX. SinX 1 Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0)
=>lim (sinX)/x=1. Следствия: 1. limx®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX= =lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1; 2.limx®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}= =limt®0t/sint=1;
3. limx®0 (sin ax)/bx = lim
(aSin ax)/(ax)b= =a/b limax®0(sin ax)/ax=a/b. II
замечательный предел. limn®¥(1+1/n)n=? Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+...
+(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn. (1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn=
=2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n
< 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n
<3. 2£(1+1/n)n<3
=> $ limn®¥(1+1/n)n=e. Следствия: 1.limx®+¥(1+1/x)x=e.
Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1
³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x³(1+1/(n+1))x (1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n
limn®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,· limn®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e
=> $limx®+¥(1+1/x)x=e. Непрерывность. -фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0) Условия: 1. f(x) – опред
ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x); 4. limx®x0±f(x)=f(x0). Если Х0
т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род Если Х0
– 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран. Если Х0
т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род. Св-ва
непрерывности в точке: 1.Если фун f1(x)
и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x),
а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть
непрерывная фун в точке х0. Док-во (суммы):
По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании
св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]= =limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0).
Итак сумма есть непрерывная фун.· 2.Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а
фун y=f(z) непрерывна в соот-й
точке z0=j(х0),
то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0. Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят,
что фун непреывна на этом интервале. Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах
интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке
(а,в). Непрерывности
на заданном промежутке Ф-ия наз-ся
непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка. Свойства(small): 1. достиг наиб
и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые
значения м Св-ва
непрерывности на заданном промежутке(full): 1.Еслифун
y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в]
найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в
этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз
наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2,
что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x2)£ f(x),
то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x). 2.Пусть фун
y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения
разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с,
в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в. 3.Пусть фун
y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка
фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное
м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m. Производная. 1.Пусть y=f(x),
xÎX, x0; x0+Dx ÎX =>
Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0),
Dy/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx. Если $ limDx®0Dy/Dx, то этот
предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. · Если f(x)
имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его
фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x). 2. Геометр смысл производ. Производная фун
f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x)
в точке М (х0;f(x0)). Если т-ка М
будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат. y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0. L: y-f(x0)=f(x0)(x-x0) Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f(x0). 3. Основ
теоремы о производных. 1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x).
Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv).
Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limDx®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x). 2. y=uv, y|=u|v+uv|.
Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx, y|=
limDx®0Dy/Dx= limDx®0Duv/Dx + limDx®0Dvu/Dx + limDx®0DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|. 3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2.
Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv) Dy/Dx... 4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln
a, y|=yln a y|=axln a. Неявно задан
фун и нахождение ее производ. Говорят, что
соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0} Правило
нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то
тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/} Формула
Лейбница. y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n) Дифференцирование
ф-ии в точке. Ф-ия y=f(x)
наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если Dy=ADx+O(Dx), где А не
зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости,
чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения. Теорема: y=f(x)
дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную
производную A=f(x0). Необход усл-ие
дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx) f(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A
=> Dy=f(x0)Dx+O(Dx)
=> limDx®0Dy=0
=> f(x) – непрерывна. Достат усл-ие
дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f(x0)
– число, f(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f(x0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f(x0)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть
приращения, линейная относит DХ. Приближ знач
ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0)
=>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f(x0)dx,
dx=Dx. Непрерывность. -фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0) Условия: 1. f(x) – опред
ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x); 4. limx®x0±f(x)=f(x0). Если Х0
т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род Если Х0
– 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран. Если Х0
т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род. Св-ва непрерывности
в точке: 1.Если фун f1(x)
и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x),
а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть
непрерывная фун в точке х0. Док-во (суммы):
По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании
св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]= =limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0).
Итак сумма есть непрерывная фун.· 2.Всякая
непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а
фун y=f(z) непрерывна в соот-й
точке z0=j(х0),
то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0. Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят,
что фун непреывна на этом интервале. Если фун
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах
интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке
(а,в). Бесконечно малая последовательность
Последовательность
- это функция, заданная на множестве
натуральных чисел . Число называется
пределом последовательности ,
если для любого положительного числа , как бы мало
оно ни было, существует такой номер , что для всех
, c номерами справедливо
неравенство . Неравенство ,
эквивалентное неравенству , означает,
что для любого существует
такой номер , что все c
номерами , расположены
между и .
Последовательность, предел которой конечное число ,
называется сходящейся и ее
предел обозначают . Если
изобразить элементы последовательности на плоскости
точками с координатами , то
неравенства означают, что
все точки с номерами
расположены между параллельными оси абсцисс прямыми
и . 1/(2) - Производная Отношение Df/Dx, как видно
из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой
y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат. Представим себе
процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к
нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке
M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых
величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной
к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю,
когда график функции y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в
этой точке можно провести касательную к графику функции. Отношение Dy/Dx или, что то
же самое (f(x+Dx)-f(x))/Dx, можно рассматривать при заданном x как
функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx=0. Однако
её предел в этой точке может существовать. Если существует
предел отношения (f(x+Dx)–f(x))/Dx в точке Dx=0, то он называется производной функции
y=f(x) в точке x и обозначается y¢ илиf¢(x): Если для любого
числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f¢(x), то
функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a,b). Геометрический
смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Ниже приводится
таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет производную в
точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет производную в точке,
то она непрерывна в этой точке.
f(x)
f(x)
f(x)
C
0
cosx
-sinx
x
1
lnx
1/x
tgx
1/cos2x
xn
nxn-1
ax
axlna
arcsina
arccosa
1/x
-1 / x2
sinx
cosx
arctgx
1/(1+x2)
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть Dx- приращение
аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx)–f(x).
Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно
малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое
приращение функции Df.
Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения
производной следует, что f¢(x)»Df/Dx, причем
точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx.
Производная f¢(x) является приближенным коэффициентом
пропорциональности между Df
и Dx.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в
которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть
непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую
точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические
примеры приведены на рисунке.
Так функция y=êxê не имеет производной в точке x=0, хотя
является непрерывной в этой точке.
Предел.
Число А наз-ся
пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно
малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет
выполн-ся нер-во |Xn-A|N2
|Xn-и|N0.
|a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 =>
a=b.
2.теорема о
сжатой
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.