курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция.
Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).
В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
1) отделение (локализация) корня;
2) приближённое вычисление корня до заданной точности.
2. Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения - это нахождение отрезка , в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.
Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:
1) строится график функции , и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью , которые и являются корнями уравнения ;
2) если - сложная функция, то её надо представить в виде так, чтобы легко строились графики функций и . Так как , то . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения .
Пример.Графически отделить корень уравнения .
Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке , значит корень уравнения .
3. Уточнение корня.
Если искомый корень уравнения отделён, т.е. определён отрезок , на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.
Такая задача называется задачей уточнения корня.
Уточнение корня можно производить различными методами:
1) метод половинного деления (бисекции);
2) метод итераций;
3) метод хорд (секущих);
4) метод касательных (Ньютона);
5) комбинированные методы.
4. Метод половинного деления (бисекции).
Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).
Разделим отрезок пополам точкой , которая будет приближённым значением корня .
Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
В нашем случае это отрезок , где .
Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .
Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
Пример. Решить уравнение методом половинного деления с точностью до 0,001.
Решение.Известен отрезок изоляции корня и заданная точность . По уравнению составим функцию .
Найдём значения функции на концах отрезка:
, .
Проверим выполнение неравенства (1): - условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка и вычислим значение функции в полученной точке:
, .
Среди значений и выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это и . Следовательно, из отрезков и выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
, , , - заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, - заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня .
Ответ: корень уравнения с точностью до 0,001.
Этот метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:
1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );
2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).
Первое приближение корня находится по формуле: .
Для следующего приближения из отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если или , если .
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
Этот метод применяется, если уравнение имеет корень , и выполняются условия:
1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );
2) производные и сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке выбирается такое число , при котором имеет тот же знак, что и , т. е. выполняется условие . Таким образом, выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой на отрезке пересекает ось . За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: .
Второе приближение корня определяется по формуле: .
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности - до выполнения неравенства .
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
Если выполняются условия:
1) ,
2) и сохраняют знак на отрезке ,
то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
1. Вычислить значения функции и .
2. Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .
3. Найти производные и .
4. Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .
5. Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка , в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.
6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: ,
б) по методу хорд: .
7. Вычисляется первое приближение корня: .
8. Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:
и .
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором и совпадут с точностью .
Решение.
1. Вычислим значения функции на концах отрезка: , .
2. Проверим выполнение условия: - условие выполняется.
3. Найдём производные: и .
4. На отрезке производные и , т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
5. Выберем значение для метода касательных. Т.к. и , то .
6. Найдём приближения корня:
а) по методу касательных:
б) по методу хорд: .
7. Найдём первое приближение корня: .
8. Проверим выполнение условия: - условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
9. Отрезок изоляции корня имеет вид: .
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
, .
11. Проверим условие: - выполняется, значит можно продолжить применение метода.
12. Так как и на отрезке, то для метода касательных: .
13. Вычислим значение производной: .
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
, .
15. Найдём второе приближение корня: .
16. Проверим выполнение условия: - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид: .
18. Вычислим значения функции:
, .
19. Условие - выполняется.
20. Так как и на , то для метода касательных .
21. Вычислим производную: .
22. Вычислим: ,
.
23. Найдём третье приближение корня: .
24. Проверим выполнение неравенства: - условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, или - приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ: .
9. Задания для расчётных работ.
Решить уравнение методами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.
| Вариант | Вид алгебраического уравнения | Корень, который необходимо вычислить |
| 1 | единственный | |
| 2 | единственный | |
| 3 | единственный | |
| 4 | единственный | |
| 5 | единственный | |
| 6 | единственный | |
| 7 | единственный | |
| 8 | единственный | |
| 9 | положительный | |
| 10 | единственный | |
| 11 | положительный | |
| 12 | единственный | |
| 13 | больший отрицательный | |
| 14 | единственный | |
| 15 | единственный | |
| 16 | единственный | |
| 17 | единственный | |
| 18 | единственный | |
| 19 | единственный | |
| 20 | единственный | |
| 21 | единственный | |
| 22 | меньший положительный | |
| 23 | единственный | |
| 24 | меньший положительный | |
| 25 | единственный | |
| 26 | единственный | |
| 27 | единственный | |
| 28 | единственный | |
| 29 | единственный | |
| 30 | единственный | |
| 31 | меньший положительный | |
| 32 | единственный | |
| 33 | больший отрицательный | |
| 34 | единственный | |
| 35 | единственный | |
| 36 | единственный | |
| 37 | меньший положительный | |
| 38 | единственный | |
| 39 | единственный | |
| 40 | единственный |
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.