курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Общая постановка задачи управляемости.
Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый вектор.
Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров - параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.
Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением
1) - эта система решается приближенным методом.
2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мн-во замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.
3)Начальное и конечное состояние объекта.на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.
4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что
2. Основные вопросы в теории ОУ.
1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .
Существует ли ОУ.
3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.
4) Достаточные условия ОУ.
5) Единственность ОУ.
3. Постановка линейной задачи.
Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , -замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления - перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.
4. Пространство , алгебраическая сумма, произведение множества на число .
Пространство -пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств пр-ва .
Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.
Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.
Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мн-ва F отличная от f.
Операции:1) алгебраической суммойназ. мн-во C такое, что любой элемент , .
2) произведением множества на число наз. мн-во C такое, что любой элемент .
5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.
-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .
Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:
-расстояние между мн-ми A и B () явл. наименьшее положительное число r.
Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма
6. Опорные функции.
Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,
, .
, .
Пусть -некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мн-ва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость - наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что - единичный вектор, ,
. опорных
7. Свойства опорной функции.
1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .
. Это значит что ,.
2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.
.
4. ,где -матр. сопряженная с матр. .
5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мн-ва F
, .
7. Если и A=B, то опорная фун.. И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.
8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .
9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мн-ву , тогда и только тогда , когда .
10. Пусть задано множество , а , тогда . . Следствие: Пусть задано множество , , тогда и только тогда, когда .
и если , то . И наоборот: Если ,то .Следствие: Два вып. Мн-ва пересекаются тогда и только тогда, когда .
8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций.
Пусть -два метрических пространства с метриками и пусть f отображает . f непрерывна в точке , если такое что Условие Липшица: Функция f, отображающая , удовлетворяет условию Липшица с const L , если для любых двух точек , выполняется неравенство ,для опорных функций , , :
Лемма: Опорная функция удовлетворяет условию Липшеца по f с const L=.
Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма
9. Многозначные отображения.
Многозначным отображением будем называть функцию у которой аргументом является число, а значением некоторые множества
10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения.
Многозначное отображение F(t) непрерывно в точке , если для .
Лемма: Пусть непрерывное многозначное отображение , когда непрерывна по t при всяком фиксированном , более того равномерно непрерывно по t .
Если равномерно непрерывно по t , то многозначное отображение conv F(t) непрерывно.
11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности многозначного отображения.
Функция f(t) отображающая в некоторое метрическое пр-во с метрикой называется измеримой, если праобраз любого шара есть мн-во измеримое.
12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения.
F-многозначное отображение, такое что F: I, где , -замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 3: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда непрерывна на отр. I .
Опорная функция , где F, .
13. Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений.
F-многозначное отображение, такое что F: I, где , -замкнутое, ограниченное, не пустое, компактное множество.
Интегралом от многозначного отображения на отрезке I называется множество G (G) вида: . Это мн-во значений интеграла по всем однозначным ветвям отображения
F(t) .
Теорема 1: Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда G является не пустым, компактным множеством в пространстве , и выпукло.
Теорема 2 : Пусть многозначное отображение F(t) измеримо и удовлетворяет условию: , где k(t)- скалярная функция, интегрируемая по Лебегу на отрезке I и измерима, тогда опорная функция .
14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества . Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений: , , где u известное . Решение задачи Коши записывается в виде: , оно справедливо, если u- непрерывная.
Вычислим (это следует из ).
Определение: Функцию x(t) наз. абсолютно непрерывной на отр. I, если ее производная существует для почти всех t, принадлежащих I, интегрируемая по Лебегу производная и выполняется условие: .
Если имеем измеримое допустимое управление u(t), то решение системы (1) также можно определить с помощью формулы Коши, но в этом случае x(t) не будет непрерывно дифференцируема, а будет абсолютно непрерывной.
Теорема Каратеородори: Если функция u(t) интегрируемая по Лебегу на отр. I, то для любого начального значения существует и при том единое абс. непрерывное решение задачи Коши, которая задается формулой Коши.
15. Множество достижимости и его свойства.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью (2) u(t)U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Введем понятия мн-ва достижимости: -это множество все точек фазового пространства , в котором можно перейти на отр. из начального множества по решениям (1) при всех допустимых значениях управления u(t) в момент времени .
Рассмотрим свойства множества достижимости:
1) Используем формулу Коши: , -интеграл от многозначного отображения. Доказательство непосредственно подставлением в уравн (1).
2) Множество достижимости является не пустым, компактным подмножеством пр-ва . .
Доказательство следует из формулы Коши и 1-ой теоремы для интеграла многозначных отображений.
3) Если начальное множество выпукло, то множество достижимости также выпукло. Доказательство следует из формулы и теоремы о выпуклости интеграла от многозначного отображения.
4) Опорная функция множества достижимости имеет вид: , u(s)=U. Доказательство следует из формулы , свойств (3), (4) опорных функций , теоремы 2 и того факта, что .
Доказательство:
.
5) Мн-во достижимости: : Iнепрерывно зависит от аргумента . Множество достижимости имеет вид : -непрерывна по теореме 3, матрица также непрерывна по , следовательно линейное отображение непрерывная функция.
Пример: Найти мн-во достижимости для управляемого объекта, описываемого уравнением:.
, и , I.
,, , , , . , .
16. Общая задача управляемости. Теорема об управляемости.
Рассмотрим вопрос: «Оптимален ли объект?»
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
Задача управления- решение вопроса : существует хотя бы одно допустимое управление u(t) , переводящий динамический объекта из в , на отр. времени I. Это соответствует решению краевой задачи: , .
Определим таким образом.
Теорема об уравляемости.Если и выпуклы, то объект явл. управляемым на отр. I из мн-ва в , тогда и только тогда, когда для
Док-во: Очевидно, объект управляем тогда и только тогда, когда множество достижимости и пересекаются. Т.к. и
выпуклы, то для него применим следствие из 11 св-ва опорных фун-ий ().
,;
;
Bocпользуемся еще одним св-ом опрных функий: если - невырожденная матрица, то можно воспользоваться св-вом , что :
.
В силу положительной опорной фун-ии относительно аргумента , получаем, что это верно .
Теорема док-на, т.к. левая часть неравенства и есть .
17.Численное решение задачи управляемости.
Объект управляем на I=, если выполняется . Если множнство ,, таковы что аналитически невозможно получить значение опорной функции u
Вычисление матрицы и интеграл, тогда задача решается с применением ЭВМ. На ЭВМ решается для конечного числа . Для этого сфера покрывается -сетью. В двумерном пространстве -сеть определяется углом . В трехмерном пространстве -сеть определяется двумя углами. Пусть некоторая -сеть некоторой единичной сферы S, где -конечное множество. Какой бы вектор , найдется , такой что . Пусть вычислимое приближенное значение в точках -сети. , . Необходимо, чтобы - в этом случае говорим, что объект -управляем и при этом . Отсюда имеем следующее . Если , то -объект E-управляем. Если -объект не управляем. Если , то в этом случае неопределенность. Выясним вопрос о погрешности.и -погрешность для вычисления опорной функций и .- погрешность для вычисления . По условию Липшица ,
. Используем эти формулы , получим следующие погрешности: - погрешность для вычисления -предполагается, что она интегрируема по Лебегу. -это вычисление интеграла . - погрешность для вычисления . -погрешность вычисления минимума функций. , . +++++++
18. Лемма о внутренней точке.
Пусть А- квадратичная матрица размера nxn , V-произвольный вектор пр-ва, отрезок I=. Тогда , тогда и только тогда , когда векторы линейно независимы.
Под интегралом- многозначное отображения, интеграл от многозначного отображения – тоже многозначное отображения.
Доказательство : Обозначим F=. По свойствам опорной функции для того чтобы нужно, чтобы выполнялось условие , . =
==
==.Т.к. подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна, то условие , выполняется тогда и только тогда, когда на интервале I . Покажем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы были лин. независимы.
Необходимость: (доказательство от противного)
эквивалентно , -лин.независимы .Предположим, что векторы лин. зависимы. Для 3-х векторов : ; - лежат в одной плоскости, ; . Тоже самое для n- векторов: , Пришли к противоречию, необходимость доказана.
Достаточность: (от противного)
Если векторы линейно независимы, то такой, что , . Продифференцируем n-1 раз:0= .Отсюда следует: , где - невырожденная матрица, -не нулевой вектор и , а это означает, что векторы лин.зависимы .Получили противоречие. перпендикуярен .
19. Локальная управляемость. Теорема о локальной управляемости..
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U (2) u(t)U(t)- ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из
множества в за наименьшее время. (4).
Предположим, что , а мн-во -произвольные точки из окрестности .
Сделаем линейную замену:,где -функции, получим , , где ,, поэтому вместо точки можно рассматривать т.0 и будем говорить о локальной управляемости в т.0. Т.е. если объект локально управляем в т.0, то он локально управляем в любой точки .
Определение: Объект наз. локально управляем в т. =0 на отр.I , если объект явл. Управляемым на отр.I из т..
Для решения задачи применим теорему об управляемости, но для конкретной местности. Исходя из теоремы об управляемости, объект явл. управляемым из в на I , если >=0.
20. Теорема о локальной управляемости. (дает достаточное условие локальной управляемости)
Если вектор и выполняются два условия:
1), ;
2) -лин. независимы, тогда объект явл. локально управляем в точке x=0 на отр. I.
Доказательство: В силу определения локальной управляемости выполняется условие .
, получим (1) . Покажем, что , такое , что выполняется (1) и . По предположению теоремы 1) выполняется , получим . Сделаем оценку для левой части неравенства. Оценим интеграл: ,
т.к. и выполняется 2) , то 0 явл. внутренней точкой интеграла:, а это означает, что опорная функция >0, . Из свойств опорной функции следует, что опорная функция непрерывна по . Если опорная функция непрерывна, >0, и S –компактное, это означает, что , такое что , , . Т.о. оценили левую часть неравенства (1), покажем , что для правой части , которая зависит от , по этому можно найти .
Покажем , что . Оценим
, отсюда имеем .
,, а это значит , объект локально управляем в точке x=0.
21. Теорема о существовании оптимального управления.
Если объект является управляемым из множества на отр. , то существует переводящее объект из за время - оптимально управляем.
Рассмотрим -множество всех допустимых управлений, переводящих объект из . Т.к. объект является управляемым , то . Обозначим через попадания фазового вектора на множестве , т.е. . Следовательно за меньшее невозможно перейти.
Докажем, что , переводящее объект из за , при этом считается фиксированым. Т.к. , то последовательность перехода, сходящаяся к . удовлетворяет мн-во достижимости (пустое мн-во). Пусть для . Т.к. множество замкнуто и ограничено, то из можно выбрать подпоследовательность .
Пусть дано . Т.к. сходящаяся к.
Т.о. . Множество непрерывно по аргументу , т.е. начиная с какого-то номера . . Т.к. произвольная, а мн-во компактно, то . Т.к. и , то это обозначает, что (пустое мн-во) и это означает, что , переводящее объект из за . И т.к. , то - оптимальное управление. Теорема док-на.
22. Принцип максимума Понтрягина на языке опорных функций.
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время. (4).
, где -ненулевая вектор-функция. , . Если -оптимальное управление, переводящее , то .
Для нашей задачи : . удовлетворяет принципу максимума Понтрягина на , если существует не нулевая вектор -функция. , удовлетворяющая системе с нач. условием , такая что выполняется условие:
-здесь достигается максимум.
2);
3).
Теорема о необходимых условиях оптимальности. Если в линейной задаче быстродействия мн-ва выпуклы, -оптимальное управление, переводящее на отр. , а -соответствующая траектория, то пара удовлетворяет принципу максимума Понтрягина.
23. Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней).
Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , .Задано , u: I и полагается, что u(t) измеримо и - где k(t) скалярная функция интегрируемая по Лебегу на отрезке I .Функция u(t)- называется допустимым управлением, если измерима и является однозначной ветвью из многозначного отображения U u(t)U(t) - ограничения на управления . В фазовом пространстве заданы два не пустых множества , -выпуклы. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляете переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления- перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно
задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из
множества в за наименьшее время..
Пусть оптимальное управление, -соответствующая траектория, переводящая за время I . И - ненулевая функция, такая что (2).
1)(3);
2)(4);
3)(5)
Найти :
24. Достаточное условие оптимальности.
( Вначале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней»)
Для линейной задачи существует дост. условие. Для этого необходимо выполнение дополнительных условий: усиление условия трансверсальности 4) решение удовлетворяет усиленному условию трансверсальности на на отр., если для (6).
Достаточное условие: если допустимое управление, -соответствующая траектория, переводящая за время I и пара удовлетворяет принципу максимума Понтрягина (2-5) и усиленному условию трансверсальности (6), то - оптимальное управление.
Следствие из теоремы достаточного условия трансверсальности. Используем локальную управляемость: .Если некоторое допустимое управление, а - соответствующее решение (1), переводящее за время I, удовлетворяет принципу максимума Понтрягина и объект явл. локально управляемым в т.0 на любом отр., то управление - оптимально.
25. Единственность оптимального управления для линейной задачи.
( В начале написать вопрос «Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней)»)
При решении с использованием принципа максимума Понтрягина в пунктах 3,4 нарушается единственность. При выборе из условия 4 и выборе из условия (3). Пусть задана и сопряженная функция удовлетворяющая системе (2), если опорная функцияявляется дифференцируемой по в точке , т.е. в этой точке существует градиент функции и для почти всех дифференцируемая по , то соответствующая пара , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.
Следствие: Если мн-во и строго выпуклы для почти всех t , принадлежащих I, тогда для любого начального значения , соответствующая пара , удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина, является единственной.
|
1. Общая постановка задачи управляемости. 2. Основные вопросы в теории ОУ. 3. Постановка линейной задачи. 4. Пространство , алгебраическая сумма, произведение множества на число . 5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы. 6.Опорные функции. 7.Свойства опорной функции. 8. Непрерывные функции. Условия Липшица. Лемма 1,2 об условиях Липшица для опорных функций. 9. Многозначные отображения. 10. Непрерывные и равномерно непрерывные многозначные отображения. 11. Измеримые многозначные отображения. Лемма о равномерной непрерывности многозначного отображения. 12. Интеграл от многозначного отображения. Теорема о непрерывности от многозначного отображения. 13.Теоремы 1, 2 о других видах многозначных отображений. 14. Линейная задача быстродействия. Определение абс. непрерывной функции. Теорема Каратеодори. 15.Множество достижимости и его свойства. 16.Общая задача управляемости. Теорема об управляемости. 17.Численное решение задачи управляемости. 18. Лемма о внутренней точке. 19. Локальная управляемость. Теорема о локальной управляемости.. 20. Теорема о локальной управляемости. (дает достаточное условие локальной управляемости) 21. Теорема о существовании оптимального управления. 22. Принцип максимума Понтрягина на языке опорных функций. 23. Применение необходимых условий оптимальности(схема и пояснения к ней). 24. Достаточное условие оптимальности. 25. Единственность оптимального управления для линейной задачи. |
Теория устойчивости
Теория флюксий
Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений
Топологические пространства
Топология как отражение культуры и жизнедеятельности
Транспортная задача
Три знаменитые классические задачи древности
Три кризиса в развитии математики
Триангуляция
Управление структурой преподавательского состава в университете
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.