Формулы сокращенного умножения

(а ± в)² = а² ± 2ав + в²

(а ± в)³ = а³ ± 3а²в + 3ав² ± в³

а² - в² = (а + в) (а - в)

а³ + в³ =  (а + в) (а² - ав + в²)

а³ - в³ =  (а - в) (а² + ав + в²)

(а + в + с)² = а² + в² + с² +2ав +2ас +2вс

Степени.

а^м а^н = а^{м + н}

а^м : а^н = а^{м - н}

(ав)^м = а^м в^м

(а^м)^н = а^мн

(а : в)^м = а^м : в^м

а^{- м} = 1 : а^м

а^{м : н} = ^нÖ а^м

Корни.

^нÖав =^нÖа ^нÖв

^нÖа ^мÖв = ^{н м}Öа^м в^н

^нÖа : в = ^нÖа : ^нÖв

(^нÖа^м)^х = ^нÖа^{м х}

^нÖа^м = а^м/н

^мÖ^нÖа = ^мнÖа

(^нÖа)^м = ^нÖа^м

Арифметическая прогрессия.                                   

а₁, а₂, а₃, …, а _n-1, а_n                                                                                       

а _n-1  - а_n = d                                                                                                      

d – разность прогрессии                                             

а₂ = а₁+ d                                                                        

а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d                                                        

а_n = а₁ + d(n-1)                                                              

Sn = (а₁ + а_n) n  = (2а₁ + ( n-1) d) n

                2                      2                     

Sn – сумма членов арифметической                          

  прогрессии.                                                          

d – разность прогрессии.                                           

d > 0 – прогрессия возрастающая                               

d < 0 – прогрессия убывающая.                                  

                                                                                                                                                            Геометрическая прогрессия.

а₁, а₂, а₃, …, а _n-1, а_n                                                                                         

а _n+1 / а_n  = q                                                                                                 

а₂ = а₁ q

q  - знаменатель прогрессии.

а₃ = а₂ q = а₁ q²

а_n = а₁ q  ^n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = а_n q - а₁  = а₁ (qⁿ  -1 : q – 1) 

         q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q  <  1)

Sn = а₁ (1 - qⁿ)

            1 - q                                                                    

Сумма членов бесконечно убывающей

 Прогрессии

 Sn =   а₁

         1 - q                                                                                                 

Вектора.

а = М₁М₂ ={х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ –z₁}

Длина вектора

çа ç=Ö(х₂ - х₁)² +(у₂ - у₁)² + (z₂ - z₁)² 

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcos j

cos j =         х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

             Öх₁² + у₁² +z₁² Öх₂² +у₂² + z₂²

а² = çа ç²

а в = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Параллельность векторов

а ççв, то  х₁ = у₁ = z₁

                х₂   у₂     z₂

 Перпендикулярность векторов

а ^ в, то  х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Производная.

 (c u)¢  = с u¢

 u ¢ = u¢ v – u v¢

 v                 v²

(c)¢ =  0

(xⁿ )¢ =  n x^n-1

(a^x)¢  = a^x ln a

(е^х )¢ =  е^х

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ =   1

              cos² x

(ctg x)¢ = -  1

                  sin² x

(ln x)¢ = 1

              х

(1 / х)¢ = - 1

                 х²

(Öх)¢ =   1

            2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

log_ав = с    

log_а 1 = 0

log_а а = 1

log_а (m n) = log_а m + log_а n

log_а m = log_а m - log_а n

       n

log_а m ⁿ = n log_а m

log_а  ⁿ Öm  = 1 log_а m

                    n

log_ав = log_св

            log_с а

Основные тригонометрические тождества

sin²x + cos²x = 1

tg x = sin x

          cos x

ctg x = cos x

            sin x

1 + ctg² x =    1

                    sin² x

1 + tg² x =    1

                  cos² x

tg x  ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a ± b) = sina cosb ± cosa sinb

cos (a ± b) = cosa cosb ± sina sinb

tg  (a ± b) = (tga ± tgb)

                    (1 + tga tgb)

ctg (a ± b) = ctga ctgb + 1

                       ctgb ± ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a - b)

2        2

sina - sinb = 2 cos (a + b) sin (a - b)

2        2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a - b)

2        2

cosa - cosb = - 2 sin (a + b) sin (a - b)

2        2

tga ± tgb = sin (a ± b)

                   cosa cosb

ctga ± ctgb = sin (b ± a)

                       sina sinb

sin²a - sin²b = cos²b - cos²a =

               sin (a + b) sin (a - b)

cos²a - sin²b = cos²b - sin²a =

              cos (a + b) cos (a - b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ± Ö1 - cos²a

sina =       tga

           ± Ö1 + tg²a

sina =         1

           ± Ö1 + ctg²a

cosa = ± Ö1 - sin²a

cosa =        1

            ± Ö1 + tg²a

cosa =       ctga

            ± Ö1 + ctg²a

tga =       sina

          ± Ö1 - sin²a

tga = ± Ö1 - cos²a

                cosa

tga =   1

          ctga

ctga = ± Ö1 - sin²a

               sina

ctga =        cosa

            ± Ö1 - cos²a

ctga =  1

            tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a - b) - cos (a + b)

                                      2

cosa cosb = cos (a - b) + cos (a + b)

                                      2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a - b)

                                      2

tga tgb =  tga + tgb

                ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

                  tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

                     tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos²a - sin²a =

              = 1 - 2sin²a =

              = 2cos²a - 1

tg2a = 2 tga

            1 - tg²a

         =       2

            ctga - tga

tga = 2 tg (a/2)

          1 - tg² (a/2)

ctg2a = ctg²a - 1

               2 ctga

           = ctga - tga

                       2

ctga = ctg² (a/2) - 1

             2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)ⁿ arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 - a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p - a) = + sina

sin (p  + a) = - sina

sin (3p/2 - a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p - a) = - sina

sin (2p  + a) = + sina

        ----------------

cos (p/2 - a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p - a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 - a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p - a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

        -----------------

tg (p/2 - a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p - a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 - a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p - a) = -  tga

tg (2p + a) = + tga

        -------------

ctg (p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p - a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p - a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (- a) = - sina

cos (- a) = cosa

tg (- a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a² + b² = c²

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

  a    =   b   =   c

sina    sinb   sing

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d₁ d₂ sina,

d₁ и d₂ - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d₁ d₂ sina

Трапеция

S = a + b  h = ½ d₁ d₂ sina

         2

Круг

S = l r = p r²

       2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

           2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

        4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

        4S

радиус вписанной окружности:

r =     2S

     a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a² = d²/2

Ромб

S = a² sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

      D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = S_осн h

Куб

V = abc = a³

Призма

V = S_осн h = S_^сеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 S_осн h

Цилиндр

V = S_осн h = p r² h = 1/4p d² h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 S_осн h = 1/3 p r² h

Шар

V = 4/3 p r³

Площади поверхностей

Призма

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = ph = S_^сеч l

p = a + b +c

Куб

S_п = 6a²

Пирамида четырехугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = ½ P_осн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = S_осн cosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = 2p rh

S_осн = 2pr (h + r)

Конус

S_п = S_бок + S_осн

S_бок = prl

S_осн = pr (l + r)

Параллелепипед

S_п = S_бок + 2S_осн

S_бок = P_осн l

Шар

S = 4 pr²

Значения углов

a      0      p/6       p/4        p/3      p/2       p

sin    0       ½       Ö2/2     Ö3/2       1         0 

cos   1     Ö3/2     Ö2/2       ½          0       -1

tg     0      1/Ö3       1         Ö3          -         0

ctg    -       Ö3         1        1/Ö3       0          -

                     

Формулы сокращенного умножения (а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2 (а ± в)3 = а3 ± 3а2в + 3ав2 ± в3 а2 - в2 = (а + в) (а - в) а3 + в3 =  (а + в) (а2 - ав + в2) а3 - в3 =  (а - в) (а2 + ав + в2) (а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу