1. Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то А­­В, l<0, то А­ЇВ. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами.

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

l*a=l(х₁i+y₁j+z₁k)= l(х₁)i+l (y₁)j+l(z1)k

a±b=(x₁±x₂)i+(y₁±y₂)j+(z₁±z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+ z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,<=>а^в, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в - коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

5. Скалярное произведение векторов и его свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

6. Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3. тройка а,в,с-правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

8. Уравнение линии и поверхности.

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.

O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- уравнение сферы. x²+y²+z²=r²- ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- ур-е окружности

а=b=0, то x²+y²=r²

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

9. Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Для того, чтобы точка MОP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

10. Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

11. Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Чтобы точка МОпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M₀M||S

13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂

16. Взаимное расположение прямой на плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

p­­q<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0

17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) и x₁№x₂, y₁№y₂. Для составления уравнения прямой М₁М₂ запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М₁: y-y₁=k(x-x₁). Т.к. М₂лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка М₁: y-y₁=k(x-x₁) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и^.

а)

S₁{l₁,m₁} S₂{l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁, k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+ tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б) p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23. Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

24. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой Ґ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax².

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

26. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

27. Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа

Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x	1	2	3
y	4	5	8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.

29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|

limx_n=a

n®Ґ

-en-a

a-ene

б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.

30. Основные теоремы о пределах.

1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.

x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.

2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+a

y=b+b, где a и b - б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то

­сумма б.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+a, y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b)

31. 1й, 2й замечательный пределы.

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_DOACсектора_OACD_OCB

S_DOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_DOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

S_DOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina

1cosa

limCosa

a®0 a®0 существования

предела ф-ции

lim((Sina)/a)=1

a®0

2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

n®Ґ

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®Ґ a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0

32. Основные приемы нахождения пределов.

1. Подстановка: при х®х₀ и х₀Ообласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2. Сокращение: при х®Ґ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х®Ґ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1

x®Ґ

lim(1+1/n)^x=e

x®Ґ

33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.

а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A

j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а

б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n<=M.

35. Бесконечно малые величины и их св-ва:

величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®Ґ, то r®0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

36. Бесконечно большие величины и их св-ва.

б.б.в - величина для которой |X_n|®Ґ (при x_n=1/n, n®0, то x_n®Ґ)

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/Ґ=0; 1/0=Ґ)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀, то их сумма, произведение, частное (при j(х₀)№0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0, то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=j(x) непрерывна в U₀=j(x₀), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х₀.

39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.

1. n_cp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. p_cp.=Dm/Dl, p_T=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

40. Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

41. Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x`=y<sub>U</sub>`*U_x`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

42. Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x_y`=1/y<sub>x</sub>`.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. y_x`=1/x<sub>y</sub> или f`(x)=1/j`(x)

Например:

43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

45. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^j(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f⁽ⁿ⁾(x)=[f^(n-1)(x)]`

48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

1)a²=x²+y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y№x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

50.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

51. Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1№0.

52. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)№0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)№g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сО(a,b); F’(с)=0

53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)1), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁2, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)1)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

54. Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить Ґ касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+Ґ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®Ґ пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®Ґ

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®Ґ

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M₀M|=d, то |f(M)-A|

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ ® x₁

x₂⁰ ® x₂

x_n⁰ ® x_n

58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx, y)-f(x₀, y₀)

DyZ=f(y₀+Dy, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Z_x`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №1

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

 - следует, выполняется

 - тогда и только тогда

 - любой

 - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

x

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a

x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) axb

(a;b] a

Всё это числовые промежутки.

Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -

b

x

///////////////) x (-;b) или -

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)

Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-εε(а)

ε>0 а-ε а а+ε

О_ε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – О^_ε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

О^_ε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε

Правая ε поло окрестность точки а: О⁺_ε(а)={xR:ax

 ///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: О^_ε(а)={xR:a.

Левая ε поло окрестность точки а: O^-_ε(a)={xR:a-ε

(//////// x

a-ε a

Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О^-_ε(а)={xR:a-ε.

Модуль и основные неравенства.

x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0

|x|h x>h

h>0 x<-h

1.  а,b  R: |ab|a|+|b|

2.  а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

О_ε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

О_ε(-)={xR:x<-ε} ///////////)  x

ε>0 -ε 0

О_ε()={xR:x>ε} \\\\\\) _ (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε

Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х²)

Таблицей

Х	Х1	Х2	Х3	Х4
У	У1	У2	У3	У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)2)

2. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

4. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Лекция №2

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 12 сентября 2000 г.

Тема: Функции

Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1;1]

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³  x=³y

D=R

E=R

2)y=x²  x=y

D=R₊ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R_- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y

3)y=sinx

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]

Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

Определение: y=f(x), nN

a₁=f(1)

a₂=f(2)

a_n=f(n)

{a_n} – множество значений силовой последовательности nN или а_n

{а_n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

а_n=1/n

{а_n}={sin1;sin2;sinn}

а_n=sinn

а_n=(-1)ⁿ/n

{(-1)ⁿ}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что а_nВ, для любого nN

2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аb_n, для любого nN

3. Ограниченная, то есть существует А,В так что Аа_nВ, для любого nN  существует С>0 так что а_nС, для любого nN.

Монотонные последовательности

1. возрастающая a_nn₊₁,  nN

2. убывающая a_n>a_n+1,  nN

3. не возрастающая a_na_n+1,  nN

4. не убывающая a_na_n+1,  nN

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности a_n-a<ε   ε>0  N :  nN a_n-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim a_n=0

^n

Примеры: Доказать, что ln(-1)²/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)ⁿ-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|a_n|<0.01, если n101

* * *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n+

Для любого ε>0 (1-1/n²)-1<ε

-1/n²<ε  1/n²<ε  n²>1/ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая  lim a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

^n+

a_n<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)_n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

^n+

2) _n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n+

3) _n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/nε

1/nε-1

n>1/e^ε-1 N=[1/e^ε-1]+1

5. _n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое  _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое  ε>0  N₁:_n>N₁  _n<ε

_n- бесконечно малое  ε>0  N₂:_n>N₂  _n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_n1/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N  a_n_n=Cε=ε₁  lim a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

^n

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim a_n=a  a_n=a+_n

^n+

Последовательность a_n имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде a_n=a+_n

где _n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim a_n   ε>0 N:n>N  a_n-a<ε. Положим a_n-a=_n  _n<ε, n>N, то есть _n - бесконечно малая

^n+

a_n=a+_n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть a_n=a+_n, _n – бесконечно малая, то есть _n=a_n-a  ε>0 N: n>N 

_n=a_n-a<ε, то есть lim a_n-а

^n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_n+_n=a+b

^{n+ n+ n+}

Докозательство: a_n=a+_n b_n=b+_n Сложим a_n+b_n=a+b+_n+_n=a+b+_n lim a_n+b_n=a+b

^n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b  lim a_nb_n=ab

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n  a_nb_n=(a+_n)(b+_n) a_nb_n=ab+a_n+b_n+_n_n=ab+_n lim a_nb_n=ab что и

^n+

требовалось доказать.

2. Теорема о пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b0 lim a_n/b_n=a/b

^{n+ n+ n+}

Доказательство: a_n=a+_n b_n=b+_n так как b0, то N₁: n>N₁b_n0

_bn

₀^{ (////////}_b^{/////////)} x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+_n)-a(b+_n)]/b(b+_n)=a/b+_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n+

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .

а_n=(-1)ⁿ – не имеет предел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

a_n=2ⁿ

N:n>N  a_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ

N:n>N  b_n>ε

c_n=-2ⁿ

N:n>N c_n<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim a_n=+, если ε>0N:n>N  a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

^n

2)lim a_n=-, если ε>0 N:n>N  a_n<-ε

^n+

3) lim a_n=  ε>0 N:n>N  a_n>ε

^n+

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берём ε>0; хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=[log₂ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=a< aR ε>0 NN:n>N  a_n-a<ε

^n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  a_n-a<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim a_n=a<  a_n - ограниченная

^n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  a_n-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  a_n-a<1

a-1nn>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N₁=max{a₁;a₂;…a_n;1+a;a-1}

a_nc, n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim a_n=a <, то а- единственное.

^n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim a_n=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N₁:n>N₁ a_n-a<ε

^n+

N₂:n>N₂  a_n-b<ε N=max{N₁;N₂}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2n-b<(b-a)/2

a_n-a<(b-a)/2

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a

0<0 – противоречие  предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая  1/a_n – бесконечно малая

2)_т – бесконечно малая, _n0 (n>N₀) 1/_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая  lim a_n=  для достаточно больших номеров n a_n0. Зададим любое сколько

^n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N₁:n>N₁ a_n>ε, то есть a_n>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда n>N  1/a_n<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n+

2)_n – бесконечно малое lim _n=0

^n+

Дано: _n0, n>N₀ зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁ _n<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: n>N  1/_n=, то есть 1/_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim a_n=а<

^n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №5

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 25 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_nn₊₁ nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁23<…k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N  a_n-a<ε

a_nk; n_k>N то есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0  >0

x:0<x-x₀< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀  (x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<  (x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|< f(x)(x)=f(x)a(x)1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^xx_

Лекция №6

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 26 сентября 2000 г.

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

^xx_ ^xx_

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x₀)  lim ((x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^xx_ ^xx_ ^xx_

теоремы b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x₀) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 ₁>0:  xO_1(x₀)  (x)<ε

₂>0:  xO_2(x₀)  (x)<ε

Положим =min{₁;₂}

Тогда  xO_(x₀)  (x)<ε

(x)<ε

-ε<(x)<ε

-ε<(x)<ε

b-ε

-ε<(x)-b<ε

(x)-b<ε  xO_(x₀)

 ε>0  =min{₁;₂}  (x)-b<ε xO_(x₀) то есть lim ( (x))=b

^xx_

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMNсек_OMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(+)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

(////////// x

ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(-)

^xx_

(x): 0<x-x₀<

lim (f (x))=  ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε()

^xx_

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(+)f(x)O_ε(b)

^x+

 x: x>∆ f(x)-b <ε

lim (f (x))=b  ε>0 ∆>0:  xO_∆(-)f(x)O_ε(b)

^x-

 x: x<-∆ f(x)-b <ε

Односторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O⁺(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO⁺_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀0+

^xx_⁺⁰

Определение

f(x) определена в O^-(x₀)

lim (f (x))=b  ε>0 >0:  xO^-_(x₀)f(x)O_ε(b) x₀-0

^xx_^-0

Теорема Пусть f(x) определена в O(x₀) Для того чтобы существо-

вал предел  lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

^xx_ ^xx_^{+0 xx}_^-0

Пусть  lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO_(x₀)f(x)O_ε(b) f(x)O_(b) для  xO⁺_(x₀) и для  xO^-_

^xx_

 xO^-_(x₀) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

^xx_^{+0 xx}_^-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

Лекция №7

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 3 октября 2000 г.

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх₀ ()

1. (x) ~ (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=1 ^{xx0 ()}

2. (x) и (x) одинакового порядка при хх₀ () если lim (x)/(x)=с0 ^{xx0 ()}

3. (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх₀ () если lim (x)/(x)=0 ^{xx0 ()}

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх₀ ()

1) f(x) ~ g(x) при хх₀ () если lim f(x)/g(x)=1 ^{xx0 ()}

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх₀ () если limf(x)/g(x)=с ^{xx0 ()} <

В частности, если с=1, то они эквивалентны

1. f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при хх₀ () если lim f (x)/g (x)=0 ^{xx0 ()}

Примеры:

1. sin(x) – бесконечно малое

x при хх₀ – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

^x0

при х0

2. 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)^1/x =1 

^{x0 x0}

ln(1+x) ~ x, при х0

3. x² – бесконечно большие

2х²+1, при х+ – бесконечно большие

Сравним lim x²/(2x²+1) = lim x²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x+ x+}

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1. пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх₀(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх₀ (), если (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх₀ (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0 ^{x0 ()}

2. пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх₀(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх₀ (), если f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 ^{x0 ()}

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xⁿ=o(x^m), 0

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^m(x) m-n>0 x^m(x)o(x^m)

Показательные бесконечности.

а^х=о(b^х), 1+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^x(xo(b^x) (0

Логарифмическая бесконечность

ln(x)=o(x^), >0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)

lim ln(x)/x^=lim [(ln(x)/(x^/2x^/2))((/2)/(/2))]=

^{x0 x0}

lim [(ln(x)/x^/2)(2/(x^/2)]

^x0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.

lim (ln(x)/x^)=0  (lim(x))/x^=(x)  ln=x^(x)ox^,

^x0

x+

Показательная и степенная.

X^k=o(a^x),  k>0,a>1 x+ lim(x^k)/(a^x)=0

^x+

Теорема: Пусть (x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

(x) ~ ₁(x) при xx₀ ()

Тогда lim (x)/(x)=lim ₁(x)/₁(x)

^{xx0 () xx0 ()}

Доказательство:

lim(x)/(x)=lim[(x)₁(x)₁(x)]/[₁(x)₁(x)(x)]=lim((x)/(x))lim(₁(x)/(x))lim(₁(x)/₁(x))=lim ₁(x)/₁(x) что

^{x0 x0 x0 x0 x0 x0}

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

^{x0 x0}

Определение: (главного слагаемого)

₁(x)+₂(x)+…+_n(x), при xx₀ ()

Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

₁(x) – главное слагаемое, если ₂(х)=о(₁(х)),…,_n(x)=o(₁(x)) при xx₀ ()

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

₁(x)+₂(x)+…+_n(x) ~ ₁(x) , при xx₀ () если ₁(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [₁(x)+₂(x)+…+_n(x)]/₁(x)=lim[₁(x)+₁(x)(x)+…+₁(x)(x)]/₁(x)=lim[₁(x)(1+₁(x)+…+_n(x))]/₁(x)=1 ^{xx0 () xx0 () xx0 ()}

Пример:

lim (e^x+3x¹⁰⁰+ln3x)/(2^x+1000x³+10000=lim e^x/2^x=lim e^x/(e^x(x))=+

^{x+ x+ x+}

2^x=o(e^x)e^x(x)

Основные эквивалентности.

e^x-1 – бесконечно малое при х0. lim (e^x-1)/x=1, то есть e^x-1 ~ x при x0

^x0

1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x²/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x²/2]=lim [2(x/2)²]/[x²/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x²/2 при х0 и (1+x)^p-1 ~ px при х0

Лекция №8

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 10 октября 2000 г.

Тема: «Асимптотические формулы»

Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.

1) lim [sin(x)/x]=1  (по определению конечного предела sin(x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 sin(x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  sin(x)=x+ox, при х0; sin(x)~x, при х0

2) lim [ln(1+x)/x]=1  (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при

^x0

х0  ln(1+x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  ln(1+x)=x+ox, при х0; ln(1+x)~x, при х0

3) lim [(e^x-1)/x]=1  (по определению конечного предела (e^x-1)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

^x0

 (e^x-1)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  (e^x-1)=x+ox, при х0; (e^x-1)~x, при х0; e^x=1+x+o(x), при x0

4) lim [(1-cos(x)/(x²/2)]=1  (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x²/2)=1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  1-cos(x)=(x²/2)+(x)x²/2, где (х) – бесконечно малое при х0  1- cos(x)=(x²/2)+ox²; при х0; 1- cos(x)~x²/2, при х0; cos=1-x²/2+o(x²), при x0

1) lim [((1+x)^p-1)/px]=1  (по определению конечного предела ((1+x)^p-1)/px =1+(x), где (х) – бесконечно

^x0

малое при х0  (1+x)^p-1=px +(x)-p, где (х) – бесконечно малое при х0  (1+x)^p-1=px+ox, при х0; (1+x)^p-1~px, при х0;(1+x)^p=1+p(x)+o(x), при x0

Если f(x)~g(x), при хх₀ (), то lim[f(x)/g(x)]=1  f(x)/g(x)=1+(x), где (х)–бесконечно малое при хх₀ ()

^{хх0 ()}

 f(x)=g(x)+(x)g(x) f(x)=g(x)+og(x) при хх₀ ()

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

(x)=xsin(1/x), при х0

(х)=ф=х, при х0

(x)/(x)=sin(1/x)

lim[(x)/(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

^{x0 x0}

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=(х), при хх₀ ()

а⁰1 n!=123….n o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim f(x)=f(x₀): y=f(x) при хх₀ называется непрерывной в

^хх_

точке х₀ (то есть  ε>0  >0:  xO_(x₀)  f(x)O_ε(f(x₀))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)+g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀)  f(x)/g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

^хх_ ^хх_ ^хх_

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x₀), то есть  ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)<ε . Предполагается, что  выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. О_(х₀)О(х₀). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1  >0 -10)<1; xO_(x₀)O(x₀) f(x₀)-10)x, то есть В

xO_(x₀)O(x₀)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, а z=g(y) непрерывна в точки y₀=f(x₀), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x₀)) – непрерывна в точки х_0.

Доказательство: Зададим  ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у₀  б>0x: y-y₀|<б g(y)-g(x₀)<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х₀  >0 x: x-x₀< f(x)-f(x₀)<б

ε>0 >0 x:x-x₀< y-y₀<б  g(y)-g(y₀)<ε g(f(x))-g(f(x₀)) то есть lim g(f(x))=g(f(x₀))

^xx_

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x₀)=y₀ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Непрерывность некоторых функций.

1) y=c (постоянная) непрерывна в х₀ R lim c=c. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=c-c=0<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)!

2) y=x непрерывна в  x₀R, то есть lim x=x_0. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x₀)=x-x₀<ε

^xx_

 x: x-x₀< (>0)! =ε!

Следствие.

Многочлен p(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

(a_n,a_n-1…a₁,a₀ – зададим число)

n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х₀ оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:

R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х₀ в которой q(x)0

Лекция №9

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 11 октября 2000 г.

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)^p-1)/px]=1

^x0

y=(1+x)^p-1

lim [((1+x)^p-1)/px]= x0  y0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)

^x0 (1+x)^p=y+1 ^{x0 x0}

p[ln(1+x)]=ln(y+1)

lim([(1+x)^p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать  (1+x)^p-1~px при x0

^{x0 y0} (1+x)^p=1+px+o(x) при х0

2) Доказать, что lim (e^x-1)/x=1

^x0

y=e^x-1

lim (e^x-1)/x= x0  y0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать 

^x0 e^x=y+1 ^y0

x=ln(y+1)

e^x-1~x при x0

e^x=1+x+o(x) при х0

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)b. Тогда точка х₀

^xx_^{+0 xx}_^-0

точка устранимого разрыва.

1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не , x=1

б) f(x)=cb

Можно доопределить или переопределить в точке х₀, так что она станет непрерывной.

 lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc

^xx_^{+0 xx}_^-0

Может быть и определена f(x₀)=b

Или f(x₀)=d

2)Точка х₀ называется точкой разрыва 2^ого рода функции если она не является точкой разрыва 1^ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y=sin(1/x)

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

^xx_^{+0 xx}_^-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0 (f(x₀)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х₀)

Доказательство:  lim f(x)=f(x₀) ε>0  >0 x: x-x₀<  f(x)-f(x₀)|<ε.

^xx_

Пусть f(x₀)>0, выберем ε=f(x₀)  f(x)-f(x₀)0) xO_(x₀) (>0!)

-f(x₀)0)0); f(x)>0 xO_(x₀), если f(x₀)<0, то ε=-f(x₀)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда  x₀(a,b): f(x₀)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b][a₁,b₁][a₂,b₂]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a12<…n<…

bb₁b₂…b_n…>a 

{a_n}-ограниченная не убывающая  lim a_n=b f(a)<0 f(a_n)<0 n

^x+ [a_nb_n]=(b-a)/2ⁿ 0 при n

{b_n}-ограниченная не возрастающая  lim b_n= f(b)>0 f(b_n)>0 n

^x+

В силу непрерывности функции lim f(a_n)=f (lim b_n)=f()0 lim (b_n-a_n)=-= lim (b-a)/2ⁿ=0=

^{x+ x+ x+ x+}

f()0

 f()=0 x₀=

f()=f()0

Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0

Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить

Неограниченна сверху  неограниченна

б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

полуинтервал.

Непрерывна на (0;1]

2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1М

наименьшее значение 0  М

б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1М

нет наименьшего

в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

наименьшее значение 0  М

г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

x(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №10

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 17 октября 2000 г.

Тема: «Коши, производные»

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В,  х₀(a,b): f(x₀)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: A

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1¹  x₀(a,b):(x₀), то естьf(x₀)-C=0 f(x₀)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

Производная функции. ∆Х

Пусть y=f(x) определена в O(x₀)

∆x=x-x₀ – называется приращением аргумента в т х₀ Х

^Х_ ^Х

Разность значений функций.

∆y=∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀) – называется приращением функции в точки х₀. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

lim[f(x)-f(x₀)]=lim[f(x)-f(x₀)]0 lim[f(x)]=f(x₀)]

^x-x_^{0 xx}_ ^xx_

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х₀, если она определена в O(x₀) и lim ∆y=0

^{∆ x0}

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и  lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

^∆х0

точке х₀.

Обозначения:

f’(x₀), y’(x₀), dy/dx, df(x₀)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x₀) по определению = lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)lim∆y/∆xdy/dx

^{∆x0 ∆x0}

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

S

x

x₀ x

t₀ t

s(t)x(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t₀)

∆s/∆t=[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_cp. Если ∆t0

тогда v_cpv_мнг

lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t₀)]/[t-t₀]=v_мнг

^{∆t0 tt}_

Геометрический смысл производной.

y’(x₀)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х₀.

^∆х0

∆y=y(x₀+∆x)-y(x₀)

y’(x₀)=tg_кас где _кас – угол наклона в точке (х₀;y(x₀)) к оси

Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть  f’(x) и g’(x), тогда  [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х₀) и lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f’(x₀)< [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f(x₀)+(x-x₀)²

^∆xx_

[f(x)-f(x₀)]=f’(x₀)(x-x₀)+(x-x₀)(x-x₀) при хх₀

lin[f(x)-f(x₀)]=limf’(x₀)(x-x₀)+lim(x-x₀)(x-x₀)=0+0=0linf(x)=f(x₀) то есть f(x) непрерывна в точки х₀

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х₀ не следует существование функции в этой точки.

y=х

Непрерывна в точки х₀=0

limx, x0

^x+0

lim|x|= =0

lim(-x), x<0

^x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0   limy(x)=y(0)=0  функция непрерывна

^{x+0 x-0 x0}

lim∆y/∆x-не существует, действительно х+0y(x)=x

^x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

^{x+0 x+0}

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует

^{x-0 x-0 х0}

Теорема: Пусть  u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=u’v+v’u

Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=

^∆x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

^{∆x0 ∆x0}

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

^{∆x0 ∆x0}

Теорема: (о произведение частного)

Пусть  u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[u’v-v’u]/v²

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х₀.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v²(x)]

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v²=[u’v-uv’]/v² что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

^{∆x0 ∆x0}

(sinx)’=cosx

где sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(cos(x))’=-sinx

где cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos²x=[cos²x+sin²x]/cos²x=1/cos²x

(tg(x))’=1/cos²x

где tg(x)

(tg(x))’=1/cos²x

Лекция №11

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 24 октября 2000 г.

Тема: «Производные, дифференциал»

y=xⁿ

y’(x)=lim[(x+∆x)ⁿ-xⁿ]/∆x=¹=lim[xⁿ(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x0,∆x0\=lim[xⁿ(∆x/x)n]/∆x=nx^n-1

^{∆x0 ∆x0 ∆x0}

(xⁿ)’=nx^n-1

^{y=x^3}

_y’=3x^2

Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)ⁿ/∆x=lim(∆x)^n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

^{∆x0 ∆x0}

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀  f’(x₀)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и  lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀) по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀) при ∆х0  ∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х₀ y (∆x) может

^∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim (f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]  z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х₀) и дифференцируема в точке х₀. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y₀=f(x₀), причём g’(y₀)=1/f(x₀)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х₀ и из монотонности следует существование обратной функции в точке х₀ и её непрерывность lim[∆y(y₀)]/∆y= ∆y0, то ∆у0  в силу строгой

^∆у0 монотонности функции и обратной =

к ней следует ∆х0

=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x₀)/∆x]=1/f(x₀) f(x₀)0

^{∆y0 ∆y0} ∆у0, то ∆х0 и наоборот ^{∆x0 ∆x0}

y=a^x

y’(x)=lim[a^x+∆x-a^x]/∆x=lim[a^x(a^∆x-1)]/∆x=lim[a^x(e^∆xlna-1)]/∆x=/∆x0, то ∆xlna0\=lim[a^x∆xlna]/∆x=a^xlna

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

y’=a^xlna, частный случай y=e^x  (e^x)’=e^x

^{y=x^2}

_{y’=x^2 lnx}

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x0 при ∆x0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

(lnx)’=1/x

^y=lnx

_y’=1/x

y=log_ax=lnx/lna (log_ax)’=1/xlna

^y=lgx

_y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’_x=x0=1/(siny)’_y0=y=1/cosy_y0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin²y)_y=y0=1/(1-(sinarccosx)²)_x=x0=1/(1-x₀²)

(arcsinx)’=1/(1-x²)

^y=arcsinx

_{y’=1/(1-x^2)}

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’_y=y0=1/-siny_y=y0=-1/(1-cos²y)_y=y0=-1/(1-(cosarccosy)²)_x=x0=-1/(1-x₀²)

(arcosx)’=-1/(1-x²)

^y=arccosx

_{y’=--1/(1-x^2)}

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos²y= / 1+tg²y=1/cos²y \ =1/(1+x²)

(arctgy)’=1/(1+x²)

(arcctgy)’=-1/(1+x²)

^y=arctgsx

_{y’=-1/ (1+x^2)}

^y=arcctgx

_{y’=--1/ (1+x^2)}

Гиперболические функции.

chx=(e^x+e^-x)/2

shx=(e^x-e^-x)/2

chx²-shx²=1

chx²+shx²=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

chx shx

^cthx=chx/shx

^thx=shx/chx

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1

Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

(*) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

³8,001=1

х₀=8

х=8,000

f(x)=³x

f(x₀)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)_х=8=(³x)’_x=8=1/3x^-2/3_x=8=1/12

³x2+1/12(x-8), x8

³x2+0,001/12

Y_кас=2+1/12(x-8)

³x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x₀)=df(x₀)+o(x-x₀) при хх₀

∆f(x₀)df(x₀), xx₀

∆¹=∆f(x₀)df(x₀)

f(x)=10^x в точке х₀=4, если ∆х=0,001 х=40,001

10⁴∆=10⁴23

f’(x)=10^xln10; f’(4)=10⁴ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М₀ tg >0; Справа от М₀ tg <0

tg f’(x)>0 слева от М₀

tg f’(x)<0 справа от М₀

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема  x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)

_a( |_x1 |_x2 )_b

x₁,x₂(a,b) x₁2

Надо доказать: f(x₁)2)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х₁,x₂)^{Теорема}.

f(x₂)-f(x₁)=f’(c)(x₂-x₁) где c(x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)>0  f(x₂)>f(x₁)

Экстремумы функции.

Можно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)1) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)0) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)³

y’=3(x-1)²

y’(1)=0

x₀=1

xO^-_(1)f(x)<0

xO⁺_(1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х₀+∆х

0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1

c-x₀=(x-x₀)

c=x₀+(x-x₀)¹

f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀)

0<<1

∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О(х₀). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство:  х₁  О^-(х₀) на [x₁,x₀];  c₁(x₁,x₀) f(x₀)-f(x₁)=f’(c₁)(x₀-x₁)  f(x₀)>f(x₁) x₁O^-(x₀)

 х₂  О⁺(х₀) на [x₀,x₂];  c₂(x₀,x₂) f(x₂)-f(x₀)=f’(c₂)(x₂-x₀)  f(x₂)0) x₂O⁺(x₀)

f(x₀)>f(x) xO(x₀)  точка х точка максимума.

Если в точке х₀ существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x)  x₁, x_n

2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x₁)….f(x_n)

3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа¹)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда  с  (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)^II (b-a)^III0 (c₁(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где  -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-g(b)

---

F(a)=f(a)-g(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a)) =[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля⁴

с(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-g’(c)  =f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)0 в О(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их₀ если

^xx_ ^xx_ ^xx_

хх₀ то сх₀=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^xx_ ^xx_

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если  f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+ (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^xx_ ^xx_ ^xx_

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х₀), g'(x)0 и О(х₀), дифференцируемы в О(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!= nN lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+

^{x+ x+ x+ x+ x+ x+}

f(x)=lnx

x+

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x+ x+ x+}

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ многочлен (полином) вида

T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х₀ или многочленом по степеням (х-х₀)

Свойства многочлена Тейлора.

Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ f(x)=T_n(x₀); f’(x₀)=T_n’(x₀),…,f⁽ⁿ⁾(x₀)=T_n⁽ⁿ⁾(x₀)

Доказательство; (подстановкой) T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! , подставим х₀ получим T_n(x₀)=f(x₀). Продифференцируем многочлен Тейлора

T_n’(x)=f’(x₀)/1!+[f’’(x₀)2(x-x₀)]/2!+ [f’’’(x₀)3(x-x₀)²]/3!+ [fⁿ(x₀)n(x-x₀)^n-1]/n!, подставим вместо х х₀

T_n(x₀)=f(x₀)

T_n’’(x)=f’’(x₀)/1!+[f’’’(x₀)32(x-x₀)]/3!+…+ [f⁽ⁿ⁾(x₀)n(n-1)(x-x₀)^n-2]/n!

T_n’’(x)=f’’(x₀)

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀, тогда в О(х₀) f(x)=T_n(x)+o((x-x₀)ⁿ), xx₀

f(x)= f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ]/n!+0((x-x₀)ⁿ)(x-x₀)¹

lim[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(0/0)=lim [f’(x)-T_n’(x)]/n(x-x₀)^n-1=(0/0)=….=lim [f⁽ⁿ⁾(x)-T_n⁽ⁿ⁾(x)]/n!=0  функция

^xx_ ^xx_ ^xx_

[f(x)-T_n(x)]/(x-x₀)ⁿ=(х-х₀)ⁱⁱ  f(x)-T_n(x)=(x-x₀)ⁿ(x-x₀)=0((x-x₀)ⁿ) при хх₀ что и требовалось доказать.

Замечание: в случае если х₀=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x²]/2!+ [fⁿ(0)xⁿ]/n!+0xⁿ при х0

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №15

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.

Тема: Пять основных разложений

1)y=e^x, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=e^x|_x=0=1

y’’(0)=e^x|_x=0=1

y⁽ⁿ⁾(0)=e^x|_x=0=1

n=1 e^x=1+x+o(x),xx₀

2) y=sinx, x₀=0

y(0)=0

y’(0)=cos|_x=0=1

y’’(0)=-sinx|_x=0=0

y’’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|_x=0=0

если n – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k

3) y=cosx, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|_x=0=0 ^*

y’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’(0)=sinx|_x=0=0

y’’’’(0)=cosx|_x=0=1

если n=2k – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=0

4) y=ln(1+x), x₀=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|_x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)²_x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)³_x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)⁴_x=0=(-1)(-2)(-3)

y⁽ⁿ⁾=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)ⁿ_x=0=(-1)^n-1123…(n-1)=(-1)^n-1(n-1)!

5) y=(1+x)^p, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)^p-1|_x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)^p-2_x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)^p-3_x=0=p(p-1)(p-2)

y⁽ⁿ⁾=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)^p-n_x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0 np+1

(либо n

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х₀), тогда в некоторой О_ε(х₀)

^#

где с лежит между х и x_n

Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям

(x)=f(x)-T_n(x)^$

g(x)=(x-x₀)ⁿ⁺¹

(x₀)=0; ’(x₀)=0,…,⁽ⁿ⁾(x₀)=0; ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

g’(x₀)=(n+1)(x-x₀)ⁿ_x=0=0; g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(n+1)!

[a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0

Лекция №16

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 21 ноября 2000 г.

Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость.

Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х₀), тогда

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+[f’’(c)(x-x₀)²]/2 где с лежит между х и х₀

уравнение касательной

Если f’’(x)M xO(x₀)

f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х₀)

f(x)=T_n(x)+R_n(x)^ в О(х₀)

n=1

T₁(x) – линейная функция

n=2

- график парабола

f(x)-T₁(x)=f’(x₀)x-x₀

f(x)-T₂(x)=[f’’(x₀)x-x₀²]/2

T₃(x)=ax³+bx²+cx+d – график кубическая парабола

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условие выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

^{(  ) x}

x₀

f’’(x)<0 в O^-(x₀) f(x) – выпукла вверх в О^-(х₀)

f’’(x)>0 в O⁺(x₀) f(x) – выпукла вниз в О⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀, тогда точка х₀ точка максимума если f’’<0, точка х₀ точка минимума если f’’(x₀)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х₀ знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x₀) f(x)-f(x₀)>0 в О(х₀), если f’’(x₀)>0 то есть f(x)>f(x₀) в О(х₀) х₀ точка минимума, если f(x)-f(x₀)<0 в О(х₀), и если f’’(x₀)<0 то есть f(x)0) в О(х₀) х₀ точка максимума.

Замечание: Если f’(x₀)=0 и f’’(x₀)=0, то нужны дополнительные исследования.

Лекция №17

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 22 ноября 2000 г.

Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х+

функции на бесконечности.

Полное исследование функции.

1. Область определения

2. Симметрия и периодичность

3. Вертикальные асимптоты

4. Наклонные асимптоты

5. Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует

6. Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

7. Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

1. Область определения D: x№3

2. Функция не симметрична и не периодична

Ю х=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Ю y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х₁=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х₂=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)<0

в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))

Лекция №18

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Оценка скорости сходимости.

2

2) Метод касательных (метод Ньютона)

f(x)=0

1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]

2)f(a), f(b) <0

3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]

точка пересечения х₁ – это точка пересечения касательной с осью Ох

Y_кас=0, x=x₁

0=f(b)+f’(b)(x₁-b)

f’(b)b-f(b)=f’(b)x₁

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке x_n

c – лежит между х и х_n

Положим x=; f()=0

M>0:|f”(x)|M

x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]

Надо выбирать отрезок так b-a<1

|f”(x)|M

Вектор функция. Параметрическая производная.

По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции

r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом.

t	0	1	-1	2	3	Ѕ
x(t)	0	1	-1	2	3	Ѕ
y(t)	0	0	-2	-2	-6	1/4
r(t)	0	i	-i-2j	2i-2j	3j-6j	1/2i+1/4j

Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде:

Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр

x²+y²=r²

Остроида

x^2/3+y^2/3=a^2/3

Циклоида

Лекция №19

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Параметрическая производная.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (с) http://karatel.nm.ru Под множеством S будем понимать любое собрвние определенных и различных между собой объектов мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S. Для любого объекта можно установить принадлежит он множеству или нет. A={1,2,3..}, A={x|p(x)} – обозначения. Множества A и В считаются равными, если они состоят из одинаковых элементов А=В. {1,2,3}={2,1,3}={2,1,1,1,3}. 1) множество всех множеств содержащих сами себя - множество всех множеств, 2) множества, которые не содержат себя как элемент. Рассмотрим множество второго типа: A={x|xўx}. Если А себя не содержит, то это одно из таких множеств, значит оно должно содержаться в А – парадокс рассела. СООТНОШЕНИЕ МНОЖСТВ AcB, если все элементы А являются элементами множества В (А содержит В), А является подмножеством В. Если 1.АсВ, 2. А≠В, то АсВ, то А является подмножеством В {1,2}c{1,2,3}, {1}c{1,2}. Множество, не содержащее элементов называется пустым и обозначается Ш. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества AшcA. Множество всех подмножеств А называется множеством – степенью или булеаном. А{1,2,3}, B(A)={{Ш},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} – булеан. УТВЕРЖДЕНИЕ: если множество А состоит из n элементов, то булеан от А состоит из 2(c.n) элементов. Док-во: 1-входит, 0 – не входит, 0..2(c.n) и Ш, всего 2(c.n). ДЕЙСТВИЯ НАД МНОЖЕСТВАМИ Объединием AUB называется множество, все элементы которого являются элементами А или В (рис.2). AUB={x|xЄA или xЄB}. AcAUB, BcAUB. Пересечением множеств A∩B называют множество, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В. A∩B={x|xЄA и xЄB}, A∩BcA, A∩BcB (рис.3). Дополнением множества А называют множество эементов, не принадлежащих множеству А. А={x|xўA} (рис.4). Симметричная разность – A+B=(A\B)U(B\A) (рис.5). Вычитание – множество принадлежит В и не принадлежит А. B\A={x|xЄB и xўA}=B∩A(вектор). СВОЙСТВА 1) AUB=BUA - свойства коммутативности (объединения), 1') A∩B=B∩A - коммутативный перенос, 2) ассоциативность AU(BUC)=(AUB)UC, 2') A∩(B∩C)=(A∩B)∩C, 3) дистрибутивность: AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC), 3') A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) Пример: a(b+c)=ab+ac – алгебра чисел, a+bc≠(a+b)(a+c)… 4) AUШ=A, 4’)A∩U=A, 5)AUA(надчеркнутое)=U, 5’) A∩A(надчеркн)=Ш, 6) AUA=A, 6’) A∩A=A, 7) AUU=U, 7’)A∩Ш=Ш, 8) [AUB](надчеркнутое)=A(надч)UB(надч) – закон де Моргана, 8’) тоже что и прошлое, только ∩. [c+(ab)](надчерк)=c(надч)(a(надч)+b(надч)). 9) закон поглощения: AU(A∩B)=A, 9’) A∩(AUB)=A, a+ab=a(U+b)=aU=a, a(a+b)=aa+ab=a+ab, (a+b)(a+c)=aa+ac+ab+bc=a+ac+ab+bc=…=a+bc. ОТНОШЕНИЕ ФУНКЦИИ Упорядоченной парой называется совокупность, состоящая из 2х элементов х и y, расположенные в определенном порядке. 2 пары и считаются равными т. и т.т., к. х=U, y=v. Бинарным или двуместным отношением ρ называется множество упорядоченных пар, элементы пар называются координатами или компонентами отношения ρ. Єρ <=> xρy. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: обастью определения бинарного отношения ρ называют множество D(инд.ρ){x|существует y: Єρ}. Областью значения ρ называется множество: R(инд.ρ)={y|существует х, Єρ}. Примеры: 1.{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<2,1>}, D(инд.ρ)={1,2,3,2}={1,2,3}={2,3,1}, R(инд.ρ)={2,4,3,1}={1,2,3,4}. Отношение равенства на множестве действительных чисел: {|x,y – действительные и x=y}, {|x,y – целые и существует z>0: x+z=y} УПОРЯДОЧЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ x1,x2…,xn называются упорядоченные группы или пары. n-нарным отношением называется множество n-нок. Пусть даны n-множества A1,A2…An. Множество всех n-нок таких, что x1ЄA1…., xnЄAn. A1xA2x…xAn=П[сверху – i, снизу – i=1]A(инд.i); Ai=A. Обратным отношением для отношения ρ={|Єρ} называется отношение ρ(c.-1)={|Єρ}. Композицией отношений ρ1 и ρ2 называется отношение ρ=oρ1={|существует z: Єρ1 и Єρ2} СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ 1) (ρ(с.-1))(с.-1)=ρ, 2) (ρ2 o ρ1)(c.-1)=ρ1(c.-1) o ρ2(c.-1); Бинарное отношение f называется функцией, если из того, что Єf, Єf => y=z. 2 функции называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. D(инд.f)=X, R(инд.f)=Y. Говорят, что функция f осуществляет отображение множества f: XY, X(стрелка с перечеркнутым надчеркиванием)Y; n-местной функцией называют отношение f, если f: x(c.n)Y или Y=f(x1,…,xn(c.n)). ОПРЕДЕЛЕНИЕ1: функция f: XY называется инъективной, если для любого x1,x2ЄX, Y=f(x1), Y=f(x0) =>x1=x2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ2: функция f: XY называется сюръективной, если для любого yЄY существует x, f(x)=y. ОПРЕДЕЛЕНИТЕ3: функция называется биективной, если она одновременно и инъективная и сюръективная. СЛЕДСТВИЕ: говорят, что биективная функция f осуществляет однозначное отображение множества Х на множество Y. ПРИМЕРЫ: X=R (действительные R), Y=R, y=e(c.x). Монотонность функции говорит о инъективности – монотонно возрастает. y=x(c.3)-x – сюрьективная, y=x(c.3) – биективная. Композиция 2х функций – это функция gof. =gof, Єgof} => существует некоторая функция, что существует U: xfu и ugy y=g[f(x)] существует V: xfV =>U=V и Vgz =>y=z, z=g[f(x)]. УТВЕРЖДЕНИЕ: композиция 2х биективных функций – есть биективная функция. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: тождественным отображением множества Х в себя называется отображение e(инд.x): Xx, такое, что для любых xЄX существует значение функции e(инд.x)(x)=x, foe(инд.x)=f, e(с.y)of=f. УТВЕРЖДЕНИЕ: отображение f: XY имеет обратное ОТНОШЕНИЕ ЧАСТИЧНОГО ПОРЯДКА на множестве х, для которого 2 любые элементы сравнимы называется отношением линейного порядка. Любые x,yЄX либо x≤y либо y≤x. Определение: говорят, что элемент х покрывает элемент y, если x≤y и существует такое, что x≤z≤y. ДИАГРАММА ХАССЕ ПРИМЕРЫ: некое множество A={1,2,3} и его булеан B(A)={Ш,{1},{2},{3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}=X. 1,2,3 покрывают Ш. Множество Х={1,2,3,5,6,10,15,30}. y делится нацель на х. Диаграммы ХАССЕ на рисунке. Если порядок линейный, то просто линия будет. Определение: 2 частично упорядоченных множества Х,Y называются изоморфными, если существует биективная функция, φ*ХY, сохраняющая частичный порядок, т.е. для любых x,yЄX, x≤y => φ(x)≤φ(y). СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: множества А и В называются равномощными, если между АиВ существуют взаимно однозначные соответствия. 1. AB, |A|=|B|. УТВЕРЖДЕНИЕ: отношение равномощности множеств является отношением эквивалентности. Реплексивность – можно установить соответствие – сам с собой. Симметрия – хоть так, хоть эдак. СЛУЧАЙ 1: АиВ конечное множество: утверждение: множества А и В равномощны т. и т.т., к. количество элементов в А равно количеству элементов в В. Докажем: допустим 2 множества имеют одинаковые элементы, имеют одинаковые индексы соответствующих друг другу значений. Множества равномощны. Обратно: допустим множества равномощны => существуют взаимно однозначные соответствия. Мощность равна количеству элементов, для конечных множеств. СЛУЧАЙ2: бесконечное множество: N={1,2,3..}. Пример: множество всех натуральных чисел. И множество всех четных чисел: M={2,3,4..}. Теперь установим равномощность m(инд.i)=2n(инд.i). Говорят, что мощность множества А не превосходит мощность множества В. |A|≤|B|, если существует множество B1cB, что |A|=|B1|. Мощность А < мощности В, при 1) |A|≤|B|, 2. |A|≠|B|. ТЕОРЕМА: отношения |A|≤|B|, |A|<|B| являются отношениями линейного порядка. УТВЕРЖДЕНИЕ: ТЕОРЕМА КОНТОрА: пусть N={1,2..} множество всех натуральных чисел, а А=[0,1] множество всех чисел ближайших отрезку [0,1], тогда |N|≤|A| и докажем: 1) докажем |N|≤|A|, берем действительные числа a(инд.i)=(1/i), i=1,2,3.. все они лежат на отрезке [0,1] значит |N|≤|A|. 2) допустим, что |N|=|A|, то f:NA, тогда f(1)=0.a11a12a13, f(2)=0.a21a22a23,… f(n)=0.an1an2an3. Число b=0.b1b2b3, b(инд.i)={1, aij≠1; 2, aij=1.

СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО - множество равномощное множеству натуральных чисел. A={0, ±1, ±2,…}. f: AN (должно быть взаимно однозначное соответствие), a={i/2, i четное; (1-i)/2. |A|=|N|. ТЕОРЕМА О СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВАХ: 1) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Док-во: А≠Ш, т.к. оно бесконечно. Можно выбрать произвольный элемент a1, берем остаток A\a1≠Ш, выбираем a2, повторяем операцию сколько-то раз A\a1\a2≠0  a3… Получаем бесконечность и т.д., счетное множество. 2) любое бесконечное подмножество B множества А счетно. Док-во: BcA, мощность |B|≤|A|. По теореме 1 => CcBcA, |N|≤|B|≤|A|, |C|=|N|. По условию |N|≤|B|≤|A|=|N|, |B|=|N|. 3) объединением конечного или счетного семейства счетных множеств – есть счетное множество. A(инд.i) U[сверху ∞, снизу i=1] A. A1 счетно, A1={a11, a12, a13, a14…}. 1 индекс – номер множества, 2 индекс – номер элемента.Берем значит матрицу бесконечную двумерную и соединяем линиями элементы в следующем порядке B={a11, a21, a12, a13….} т.к. удалось перегруппировать, то теорема доказана. 4) мощность булеана множества больше мощности самого множества. |M|<|B(M)|. Док-во: надо доказать, что 1. |M|≤|B(M)| <=> McB(M). 2. |M|≠|B(M)|. допустим |M|=|B(M)| => существует некоторая функция f: MB(M). Рассматриваем 2 ситуации: а) xЄf(X), б) xўf(x), xЄM, f(x)ЄB(M). Остановимся на б) – рассмотрим множество P={x|xЄf(x)}, ШЄB(M) булеану. Существует х: Ш=f(x), xўШ. P – подмножество множества M => PЄB(M), существует y: P=f(y). Разберемся yЄP или yўP => yЄf(y)=P противоречие, а оттуда => yўf(y)=P противоречие => допущение неверно. 5) мощность булеана счетного множества равна мощности континиума. |B(N)|=|[0,1]|. A=[0,1] – все действительные числа 0-1, B=[0,2], |A|=|B|, y=2x. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ КОМБИНАТОРИКИ Упорядоченные выборки n из n элементов, где все элементы различны называются перестановками из n элементов Pn=n!. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m СВОЙСТВО биноминального коэффициента (С[степень, индекс]): 1) 0!=1, 2) C[0;m]=C[m;m]=1, 3) C[m-n; m]=C[n;m], C[m-n; m]=m!/(m-n)!(m-(m-n))!= =m!/(m-n)!n!=C[r;m], 4) C[n;m]=C[n;m-1] + C[n-1;m-1], C[i;n]C[i;m]= =C[m;n]C[i-m;n-m]. БИНОМ НЬЮТОНА: (x+y)(c.m)=∑[m;n=0]C[n;m] * *x(c.n)*y(c.m-n). Док-во: методом математической индукции: m=1, x+y=1x’+1y’, m-1, покажем, что соотношение верно и для m. (x+y)(c.m)=(x+y)(x+y)(c.m-1)=(x+y)∑[n=0;m-1] x(c.n)y(c.m-n-1)= =x∑[n=0;m-1]C[n;m-1] x(c.n)y(c.m-n-1)+y∑[n=0;m-1]C[n;m-n]x(c.n)y(c.m-n- -1)=…пиздец…=C[0;m]x(c.0)y(c.m)+∑[n=1;m-1]C[n;m]x(c.n)y(c.m-n). РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА n-элементов множества. Надо разбить r1,r2…,r (инд.m) элементов. n! – количество перестановок. n!/r1!…r (инд.n)! – количество вариантов подмножеств. Сочетания с повторениями: C(инд.n+r-1)(с.n). Множество всех вершин V={v1,v2…}. Ребра: X={x1,x2…}. Ребро такое может быть обозначено x1={v1,v2}. Если в графе есть петли и/или кратные ребра, то это псевдограф. Псевдограф без петель – мультиграф. Мультиграф, в котором не одно ребро не имеет кратность больше 1 называется графом. Если упорядоченная пара v1,v2, если все пары являются упорядоченными, то граф называется ориентированным (орграф). Ребра орграфов называются дугами и обозначаются круглыми скобками. Неорграф G1,G2… Орграф D1,D2… ПОНЯТИЕ СМЕЖНОСТИ, ИНЦЕНДЕНТНОСТИ x={v,w} – ребро неорграфа, тогда v,w – концы ребра. Пусть x(v,w) орграф, v – начало, w – конец. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: если вершина v является концом ребра х неорграфа (началом или концом дуги х орграфа), то v и х называется инцидентными. Вершины v,w называются смежными, если есть ребро {v,w}=x, соединяющее эти вершины. Степенью вершины v графа g – число δ(v) ребер графа G, инцедентных вершине v. Вершина графа имеет степень 0, называется изолированной, а степень 1 висячей. В неориентированном псевдографе вклад каждой петли инцидентной вершины v в степень этой вершины =2. Для орграфа: полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число δ(с.+)(v) – исход, δ(с. -)(v) – заход. В случае псевдографа вклад каждой петли смежной вершины v равен 1. n(G) – количество вершин неорграфа, m(G) – количество ребер неорграфа, n(D) для орграфа, m(D) – количество дуг орграфа. Для каждого псевдографа D выполняется следующее равенство ∑[vЄV] δ(v)=2m(G), ∑[vЄV] δ(с.+)(v)=∑[vЄV] δ(с.-)(v)=m(D). ИЗОМОРФИЗМ. ГОМЕОМОРФИЗМ. G1(V1,X1), G2(V2,X2) называются изоморфными, если существует биективное (взаимооднозначное) отображение φ:V1V2, сохраняющее смежность, т.е. если {v,w}ЄX1 <=> {φ(v),φ(w)}ЄX2. Орграфы D1(V1,X1), D2=(V2,X2) называются изоморфными, если существует отображение φ:V1V2, (v,w)ЄX1 <=> (φ(v),φ(w))ЄX2. Свойства изоморфных графов: - если G1,G2 – изоморфны и φ:V1V2 – для любого vЄV1, δ(v)=δ(φ(v)), - m(G1)=m(G2), n(G1)=n(G2). Для орграфа свойства аналогичны, для любого vЄV1, δ(с.-)(v)=δ(инд.-)(φ(v)) , δ(с.+)(v)=δ(с.+)(φ(v)), m(D1)=m(D2), n(D1)=n(D2). Примеры изоморфных графов см. на рисунке. УТВЕРЖДЕНИЕ: изоморфизм групп является отношением эквивалентности на множестве графов или орграфов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: операцией по разбиению дуги (u,v) в орграфе D(v,x) называется операция, которая состоит из удаления добавления к V вешины w. Орграф D2 называется разбиением орграфа D1 , если D2 получается из D1 путем последовательного применения интеграции дуг. Орграфы D1,D2(G1,G2) называются гомеоморфными, если существует их подразделение, которое является изоморным. Если степени всех вершин равны k, то граф называется регулярным в степени k. Граф исходящий из 1 вершины называется тривиальным. Двудольным называется граф G(V,X), такой, что он разбит V1,V2(v1Uv2=v, v1∩v2≈Ш), каждое ребро инцедентно вершине из v1 и v2.

Лекция 12. Производная функции

§ 1. Понятие производной

Определение. Если отно­ше­ние имеет предел при этот предел называ­ют производной функции при заданном значении и за­пи­сывают

. (1)

Замечание. Если при не­ко­то­ром значении , су­щест­ву­ет производная функции при этом значении, то в этой точке функция непрерывна.

Заметим, что отношение из рис. 1 численно равно .

Определение. Производная функции в точке численно равна тан­генсу угла, который составляет касательная к графику этой функции по­строенной в точке с положительным направлением с осью .

Из последнего определения ста­но­вится ясно, почему в случае убы­ва­ю­щей функции (рис. 2) про­из­вод­ная от­ри­цательна. Это объясняется тем, что , еслибудет отрицатель­ным.

На этом свойстве производной осно­ва­но исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

§ 2. Производные простейших функций

Используя определение производной и правил вычисления пределов, най­дем производные простейших функций.

1. , где – некоторая постоянная. По определению производной из (1) получаем удобную формулу

, (2)

тогда из (2) имеем , т.е. . Про­из­вод­ная постоянной величины равна 0.

2. , где – любое число. Из формулы (2) имеем

Т.е. .

3. .

Т.е. .

Остальные производные простейших функций (табл.1) приведем без вывода

Таблица 1

Производные простейших функций

Функция	Производная	Функция	Производная
С	0
,
,

§ 3. Основные правила дифференцирования

Пусть заданы две функции и , которые имеют про­из­вод­ные в точке .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Покажем это. Пусть некоторая функция у, равная имеет приращение . Тогда функции и тоже должны получить приращения и , соответственно. Новое значение будет , а для – , следовательно,

Найдем по определению (2) производной

.

2. Производная произведения равна . Покажем спра­вед­ли­вость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать приращение , то функции u и v также получат приращение, следовательно, и функция тоже изменится. Найдем .

.

По определению производной

Если необходимо вычислить производную нескольких сомножителей, например, , если все три функции имеют производные в точке , используя правило вычисления производной для двух сомножителей, получим

3. Производная частного. Рассмотрим функцию , причем, кроме су­щес­твования производных в точке для функций и необходимо по­ло­жить, что в точке отлична от нуля.

Найдем .

и тогда из определения производной имеем

.

Пример. Показать, что .

Решение. Используя производную частного

4. Производная сложной функции. Пусть дана , где . Тогда имеет место теорема, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема. Если функция имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

(3)

Пример. Найти производную функции .

Решение. .

Пример. Найти производную функции .

Решение.

Пример. Найти производную сложной функции .

Решение.

5. Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам диф­фе­рен­цирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и вычислим ее производную

. (4)

Отношение называется логарифмической производной функции . Из формулы (4) получаем

. (5)

Формула (5) дает простой способ нахождения производной функции .

Пример. Найти производную сложной функции

Решение. Для нахождения используем формулу (5). Предварительно прологарифмируем функцию

и найдем производную полученной функции

.

Теперь по формуле (5) получаем

.

Пример. Найти производную сложной функции .

Решение. В связи с тем, что указанная функция сложная, воспользуемся логарифмическим дифференцированием, для чего предварительно прологарифмируем нашу функцию

.

Найдем производную полученной функции по формуле (5).

.

6. Производная обратной функции.

Теорема. Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение

. (6)

Пользуясь этой теоремой, найдем производные обратных три­го­но­мет­ри­чес­ких функций.

1. на интервале . , тогда , от­ку­да сле­до­ва­тель­но, .

2. . . , откуда

3. . ; , откуда

4. ; ;

5. , где и являются функциями от . Для нахождения применим формулу (5). Для этого предварительно найдем функцию

и ее производную

.

По формуле (5) получаем .

Эту же формулу можно получить иначе. Представим в виде

и найдем производную этой функции

.

В заключение этой лекции приведем таблицу основных формул дифференцирования (табл.2).

Таблица 2.

Основные формулы дифференцирования

№ п/п	Функция	Производная	№ п/п	Функция	Производная
1.	C – const		11.
2.			12.
3.			13.
4.			14.
5.			15.
6.			16.
7.			17.
8.			18.
9.			19.
10

Конспект по математическому анализу

Основные понятия

Грани числовых множеств

Числовые последовательности

Непрерывная функция на промежутке

1. Осн. понятия

Мат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В.

А В={ххА и хВ} пересечение мн-в А и В.

А\ В={ххА, но хВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха<х<в} – интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)

[а,в] – замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.

(а,в] – полуинтервал.

Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.

2. Грани числовых мн-в

Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сх(хс). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.Точные грани числовых мн-вПусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х_* , то оно min мн-ва Х Пример Х=[0,1) то max[0,1) не . min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x_*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани , док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.

3. Числовые последовательности

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .

!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.

Основные способы задан. посл-ти:

а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.

б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.

Пример:

а) xn=5n x1=5, x2=10

б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3=-47

Ограниченные последовательности(ОП)

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xnM n (xnm n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству xn>А.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема “Об единственности пределов”

Теорема “Сходящаяся последовательсность ограничена”

Теорема “О сходимости монотонной последовательности”

4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.

Опр Если для любого  >0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a< 

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+n, где посл-ть {n}0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xn=a+n. Для этого просто положим n=xn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а  0 => n б/м и из равенства преобразования определяю n получаем xn=a+n.

Свойство б/м

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема “Об единственности пределов”

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”

Пусть посл-ть {xn}а  >о N:n>Nxn-a< эквивалентна а-N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn c = max {a-,a+,xn,…,xn-1}

Теорема “Об арифметических дейсьвиях”

Пусть посл-ть {xn}a,{yn}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n)(xnyn)=ab

б) предел lim(n)(xnyn)=ab

в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0

Док-во:

а)xnyn=(а+n)(b+n)=(ab)+(nn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва.

б) xnyn=(а+n)(b+n)=ab+nb+an+nn

nb – это произведение const на б/м

аn0, nn0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab

Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…

неубывающей, если x1x2…xnxn+1…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1x2…xnxn+1…

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xnsupX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xnx*  n.   >0 вып-ся нер-во  xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*- при  n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-xnx*+ при n>m эквивалентно xn-x*< при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

Экспонента или число е

Функции одной переменной

Обратные функции

6. Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е2,7128…

Док-ть сходимость посл-ти (1)

Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1).

Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 01/x2 lg(1+x2) (3). Огранич. сверху  M:1/xlg(1+x)lgM x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.

tg1=(lg(1+x1))/x1 1>2=>tg1>tg2

tg2=(lg(1+x2))/x2

Поскольку 1>2, то tg1>tg2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) x>0 => kx>

>lg(1+x) x>0

Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.

Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению.

Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n)P(1+r/m)^mn=Pe^rn

Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.

Принцип вложенных отрезков

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1][an,bn], n=1,2,…;

2) Длины отрезков 0 с ростом n, т.е. lim(n)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n)an и с2=lim(n)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n)(bn-an)= lim(n)(bn)- lim(n)(an) в силу условия 2) o= lim(n)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку n ancbn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что  другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.

Принцип вложенных отрезков

Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку свсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.

Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е.  числа c1=lim(n)an и c2=lim(n)bn.

Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n)(bn-an)= lim(n)bn lim(n)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для  n ancbn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.

7.Ф-ции одной переменной

Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.

Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.

X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xX} x1X1, y1=f(x1)

1) аналит. способ; 2)Табличный способ;

3) Графический способ;

4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е.  m,M: mf(x)M xX

mf(x) xX => огр. сн.; f(x)M, xX=> огр. св.

Обратные ф-ции

Если задано правило по которому каждому значению yY ставится в соответствие  ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).

Предел функции в точке

Свойства предела функции в точке

Односторонние пределы функции в точке:

Предел функции в точке

Предел и непрерывность функции

Предел. Односторонний предел.

Предел ф-ции в точке

y=f(x) X

опр.  {xn} X, xnx0

f(xn)A,=> f(x) в т. x0 (при , xnx0) предел = А

А=lim(xx0)f(x) или f(x)A при xx0

Т-ка x0 может  и  мн-ву Х.

Свойства предела ф-ции в точке

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(xx0)f(x)=A

lim(xx0)g(x)B=> то тогда в этой т-ке  предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

б) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB

в) lim(xx0)(f(x):g(x))=A/B

г) lim(xx0)C=C

д) lim(xx0)Cf(x)=CA

Док-во xnx0,  lim(xx0)f(x)=A по опр. f(xn)A {f(xn)}

Односторонние пределы ф-ции в т-ке:

Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)A при хх0, и x>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(xx0+0)f(x)

И также с минусами.

Признак  предела

Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.

Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)

Предел ф-ции в т-ке

Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если >0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0 должно f(x)-A<

  >0 из х-х0< должно быть

Пусть f(x)-x0<, если =, то х-х0< => f(x)-x0<

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.

Предел и непрерывность функции

Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0Х или х0Х.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для  >0  >0 такое, что для всех хХ, хх0, удовлетвор. неравенству х-х0<, выполняется неравенство f(x)-A<.

Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (xx0)C=C

Возьмем любое >0. Тогда для любого числа >0 выполняется треюуемое неравенство f(x)-C=C-C=0<, => lim(xx0)C=C

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно ВС, ВС, В/С, т.е. lim[f(x)g(x)]= BC, lim[f(x)g(x)]= BC, lim[f(x)/g(x)]= B/C

Теорема также верна если х0 явл. , , 

Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)

Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.

10. Предел. Односторонний предел.

Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А окрестность (х0):xокрестности (x0) выполняется условие f(x)окрестности.

Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.

Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)A при хх0, х>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)A

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A

Док-во

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.

б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что  просто предел. Возьмем произвольную {xn}х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.

1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};

2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};

x’nx0-o x’’nx0+o, т.к. односторонние пределы  и равны, то f(x‘n)A и f(x‘‘n)A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:

1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)A на основании связи между сходимостью последовательностей

Пределы функции на бесконечности

Два замечательных предела

Бесконечно малые фуекции и их сравнения

Непрерывные функции. Непрерывность.

11. Пределы ф-ции на бесконечности

Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.

Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x+ если  {xn} которая к + соответствующая ей последовательность {f(xn)}A в этом случае мы пишем lim(x+)f(x)=A. Совершенно аналогично с -.

Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x {f(xn)} сходится к А

Бесконечные пределы ф-ции

Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не -ют.

Р-рим на премере: lim(xo+)(1/x)

Очевидно не сущ-ет, т.к. для  {xn}+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +.

Поэтому можно записать lim(xo+)1/x=+ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0.

Аналогично с -.

Более того символы + и - употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}x0 то {f(xn)},

12. Два замечательных предела

1) lim(x0)sin/x=1

2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:

lim(n)(1+1/n)^n=e (1)

lim(n0)(1+x)^1/x=e (2)

t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3)

Док-во

1)x+ n x:n=[x] => nx 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n)

lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e

2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y+, при x-.

lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y-1))^y=e

3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к  мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5)

Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}+,

{x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи

13. Б/м ф-ции и их сравнения

Опр. Ф-ция (х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:

а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.

б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если (х)0 при хх0, а f(x) определена и ограничена ( С:(х)С)=> (х)(х)0 при хх0

Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:

1) Если отношение 2-х б/м (х)/(х)0 при хх0 то говорят что б/м  имеет более высокий порядок малости чем .

2) Если (х)/(х)A0 при хх0 (A-число), то (х) и (х) наз-ся б/м одного порядка.

3) если (х)/(х)1 , то (х) и (х) наз-ся эквивалентными б/м ((х)~(х)), при хх0.

4) Если (х)/^n(х)А0, то (х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно (х).

Аналогичные определения для случаев: хх0-, хх0+, х-, х+ и х.

14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “” - символ приращения.

Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента.

f(x) непрерывна в т-ке х0 <> y0 при х0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, x

Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+)  и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (Q0 при k0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва

Классификация точки разрыва

Непрерывные функции на промежутке

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА

15. Классификация т-ки разрыва

Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.

а) если в т-ке х0  оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но  f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.

Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.

б) если в т-ке х0  оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.

в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не  или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.

При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:

1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.

2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр.

3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:

график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.

I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огранич-ти)

Док-во использует опр-ние на языке  и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое >0 можно найти >0 f(x)-f(x0)< при х-х0< ~ f(x0)-

II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)0 то  окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0.

III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B причем AB => C(A,B)  c(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).

IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то  т-ка с(a,b).

Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.

Пусть f(d)0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой  окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.

Непр. ф-ции на пр-ке

f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)0 => f непр. на [a,b] и f(x)f(b)=0 (f(x)f(b)>0 в окр-ти х0) =>  с(a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны.

Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е.  с>0:f(x)c x(a,b).

Т-ма 2( о  экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е.  т-ка max X*:f(x*)f(x) x[a,b], т-ка min X_:f(x_)f(x) x[a,b].

Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки

Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1]  f – неогр. на (0;1] хотя и непрерывны.

Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(x(0;1))x=0, но т-ки x_(0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(x(0;1))x=1

Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.

Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.

Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при х[a,b])=M(<). InfE(f)= inff(x)=m(m>-). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е.  х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не  и сл-но f(x)0

!0 1c(M-f(x)) => f(x) M-1/c x[a,b]

Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.

Дифференцирование функций

Производные и дифференциалы высших порядков.

Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранджа Теорема Коши Правило Лопиталя

16. Дифференцирование ф-ций

Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k<0-то у убыв. при всех х, k=0 – ф-ция постоянна

Определение пр-ной

1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращения х эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. y=f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

Образуем разностное отношение y/x=f(x0)/x (1) (это разностное отношение явл. ф-цией х, т.к. х0-фиксирована, причем при х0 мы имеем дело с неопр. 0/0).

Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он ), когда х0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл., что посл-ть  к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘ (если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(x0) (f(x0+x)-f(x0))/x (2)

Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т.е. предел в правой части (2) , то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0.

2) Непрерывность и дифференцируемость

Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения f в т-ке х0 f(x0)=f(x0+x)-f(x0)= f‘(x0)x+(x)x (3), где (x)-б/м ф-ия при х0

Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при х0 f(x0)0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная  то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что  б/м ф-ция (х) такая что f(x0)/x=f‘(x0)+(x) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на x.

Примеры.

1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const x, тогда y‘=0 для х. В этом случае y/x числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.

2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1)  kN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем  т-ку х и дадим приращение х составим разностное отношение у/х=(х+х)^2-x^2/x=2х+ х => lim(x0)y/x=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.

3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае y/x=(e^x+x-e^x)/x=e^x(e^x-1)/ x. Одеако предел дробного сомножителя = 1.

4)y=f(x)=x=(x, x>0;-x,x<0). Ясна что для  х0 производная легко нах-ся, причем при y‘=1при x>0 y‘=-1 при x<0. Однако в т-ке x=0 пр-ная не . Причина с геом т-ки зрения явл. невозможность проведения бесисл. мн-во кассат. к гр-ку ф-ции. Все кассат. имеют угол от [-1,+1], а с аналит. т-ки зрения означает что прдел 2 не  при x0=0. При x>0 y/x=x/x=1=>lim(x0,x>0)y/x=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не . В данном случае  одностор. пр-ная.

Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что х0+(х0-).

Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также  и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для  пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад.

17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка.

Дифференциал выс. порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0  пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.

2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда  т-ка с(a,b), в которой f‘(c)=0.

3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).

4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда  т-ка с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).

Правило Лопиталя.

Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел  конечный или бесконечный.

Раскрытие /. Второе правило.

Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.

Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.

Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

Выпуклые и вогнутые функции

Точки перегиба

Выпуклость и вогнутость.

Бесконечно большие последовательности

Гладкая функция

Эластичность функций

Выпуклые и вогнутые ф-ции

Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (,a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 x0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как (0;) f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0;а) f‘‘(x)0 (f-выпукла), а на (a;) f‘‘(x)0 (f-вогнута).

Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:

1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная не отриц, т.е. f‘‘(x)0 (f‘‘(x)0) на (a,b)

2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)

Т-ки перегиба

Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.

Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.

Выпуклость и вогнутость.

Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.

y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)f(x0)+ f‘(x0)(x-x0)  x,x0(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.

Б/б пол-ти

Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для  пол-ного числа А  номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во xn>A

Возьмем любое число А>0. Из неравенства xn=n>A получаем n>A. Если взять NА, то  n>N вып-ся xn>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.

Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-во xn>A не имеет места  xn с нечет. номерами.

Гладкая ф-ция

Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘  и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘((x))‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп ростаприросту.

Пр-р y=e^x. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=e^x/e^x=. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.

Эластичность ф-ций

Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.

Ef(x)=xf‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением f(x0)/x и будем иметь Ef(x)x(f(x)/x)/f(x)=(f(x)/f(x))/(x/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой.

Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=PD‘/D=P(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна

Применение первой производной в исследедовани функций

Теорема Ферма Теорема Коши

Интервалы монотонности функции

Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.

Производная обратной функции

Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций

Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.

Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное.

Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки.

Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g‘(x)0, тогда  т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)

Интервалы монотонности ф-ции

Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда, когда f‘(x)0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x)<0), то строго возр. (убыв) на (a,b).

х интерв. монотонно убывает, касательная имеет тупой угол наклона f‘(x1)<0 для x2 противоположная ситуация.

Т-ма Логранджа. Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда  т. х и x+x  [a,b]  т-ка С лежащая между х и х+х такая что спаведлива ф-ла (f(x+x)-f(x))=f(c)x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С “алгоритм” выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.

Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+x=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)  (x-a)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому  т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b)  т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0  x  (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.

Т-ма Тейлора. “О приближении гладкой ф-ци к полиномам”

Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, ха. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка  такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+ f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)()/(n+1)!(x-a)^(n+1).

Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x).

g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1. По т-ме Роляя  т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 =f^(n+1)(c)

Правило Лопиталя.

Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(хх )=lim(xx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при xx0 дает 0/0. lim(xx0)f‘(x)/g‘(x)  (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(xx0)f(x)/g(x)= lim(xx0)f‘(x)/g‘(x) (5)

Док-во.

Возьмем  т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0;x] вспом ф-цию арг. t

h(t)=f(t)-Ag(t), если t[x0;x], т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0;x], поскольку lim(tx0)h(t)=lim(tx0)[f(t)-Ag(t)]=lim(tx0)-A lim(tx0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x) c:h‘‘(c)=0

Производная обратной ф-ции

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)0.

Пусть у0 – приращение независимой переменной у и х – соответствующее приращение обратной ф-ции x=(y). Напишем тождество: x/y=1:y/x (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим: lim(y0)x/y=1:lim(x0)y/x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Производная обратной ф-ции

Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.

Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)0.

Пусть у0 – приращение независимой переменной у и х – соответствующее приращение обратной ф-ции x=(y). Напишем тождество: x/y=1:y/x (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при у0 и учитывая, что при этом также х0, получим: lim(y0)x/y=1:lim(x0)y/x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Коши

Теорема Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то  m и M, такое что  mxnM,  n.

1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. 2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - 3. Делим отрезок 3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках,  единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам 1, какую-либо т-ку n1. В отрезке 2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке 3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkk.

Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда  т-ка с  (a,b) в которой ф-ция обращается в 0.

Док-во

Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)<0. Мн-во Х не пустое. Х [a,b], значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. c=supx. acb покажем a

Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена.

Док-во Предположим что ф-ция не ограничена. Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xn[a,b], такое что f(xn)>n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnkx0. По т-ме о предельном переходе к неравенству.

axnkb ax0b x0[a,b]

Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0)

f(xnk)>nk, a nkf(xnk), т.е. f(xnk) б/б посл-ть.

С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к , пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.

§1. Множество действительных чисел и его свойства.

§2. Модуль действ. числа и его свойства.

§3. Функция (отображение). Действительные функции.

Действительные переменные и их простейшие свойства.

§4. Числовые последовательности. Предел числовой

числовой последовательности. Число е.

§5. Предел функции в точке. Свойства функций,

имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.

Бесконечные пределы.

§6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства.

Необходимые и достаточные условия существования

§7. Арифметические операции над пределами.

§8. Предельный переход в неравенствах.

§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное

условия существования предела в точке.

§10. Первый замечательный предел.

§11. Второй замечательный предел и связанные с ним

пределы.

§12. Непрерывность функции в точке. Свойства функций,

непрерывных в точке.

§13 Классификация точек разрыва функции одной

переменной.

§14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

§15. Обратная функция и ее непрерывность.

§1. Определение производной. Геометрический и

механический смысл производной.

§2.Два определения дифференцируемой в точке

функции и их эквивалентность. Дифференциал

1-го порядка и его геометрический смысл.

§3. Производные основных

элементарных функций.

§4. Правила дифференцирования.

§5. Дифференцирование обратной и сложной функции.

§6. Метод логарифмического дифференцирования.

§7. Производные высших порядков. Бином Ньютона.

§8. Дифференцирование функций,

заданных параметрически.

§9. Основные теоремы дифференциального

исчисления.

§10. Условия постоянства и монотонности функций

на интервале.

§11. Экстремум функции. Необходимые и достаточные

условия экстремума.

§12. Наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке.

§13. Выпуклость и вогнутость графика функции.

Точка перегиба.

§14. Асимптоты графика функции. Полное

исследование функции и построение ее графика.

§15. Раскрытие неопределенностей.

Правила Лопиталя.

§1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

§2. Таблица основных интегралов.

§3. Интегрирование по частям в неопределенном

интеграле.

§4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

§5 Интегрирование рациональных функций.

§6 Вычисление интегралов вида:

§7. Интегрирование выражений вида

. Подстановка Эйлера.

§8 Вычисление интегралов вида

§9 Интегрирование тригонометрических функций.

§10. Определение интеграла по Риману. Ограниченность

интегрируемой функции.

§11. Верхняя и нижняя интегральные суммы и их свойства.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости

функции по Риману.

§12. Свойства неопределенного интеграла.

§13. Интеграл с переменным верхним пределом и его

свойства. Основная формула интегрального исчисления.

§14. Интегрирование по частям в определенном

интеграле.

§15. Замена переменной в определенном

интеграле.

§16. Вычисление площадей в прямоугольной

декартовой системе координат.

§17. Вычисление площадей в полярной системе

координат.

§18. Объем тела вращения.

§19. Спрямляемая кривая и ее длина. Вычисление

длины кривой.

§20. Площадь поверхности вращения.

§21. Применение определенных интегралов к решению

физических задач.

§22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

Возрастание и убывание функции:

Теорема №1: Функция, непрерывная на отрезке [а,b], где а (положительную) производную на интервале (а,b), не убывает (строго возрастает) на [а,b]. Действительно, пусть ах₁<х₂b; тогда на отрезке [x₁,x₂] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (х₁;х₂) точка с, для которой f(x₂)–f(x₁)=(x₂–x₁) (где x₁2). Если по условию f'0 на (а,b), то f'(с)0 и f(x₂)–f(x₁)0 {1}; если же f'>0 на (а,b), то f'(c)>0 и f(x₂)–f(x₁)0 {2}.

т.к. неравенства {1} и {2} имеют место, каковы бы ни были х₁, x₂, где ах₁<х₂b, то в первом случае f не убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а,b]. Теорема №2: Если функция имеет на интервале (а,b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a,b). В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство f(x)–f(x₁)=(x–x₁)f'(c), где х₁ –фиксированная точка интервала (а,b), х – произвольная его точка (она может находиться справа и слева от х₁) и с – некоторая, зависящая от х₁ и х точка, находящаяся между х₁ и х. Так как по условию f'(х)0 на (а,b), то f'(c)=0 и f(x)=f(x₁)=C для всех х(а,b). Заметим, что в приведенных теоремах ослабление на­лагаемых в них условий может привести к неверности утверждений. Определение: Будем говорить, что функция y=f(х) возрастает (убывает) в точке x₂, если существует число >0 такое, что

y/x>0((y/x)<0) при 0<|x|<. Очевидно, что если функция f(x) возрастает (убывает) на (а,b), то она возрастает (убывает) в каждой точке x(a,b). Теорема №3. Если f'(x₀)>0 (<0), то функция у=f(x) возрастает (убывает) в точке х₀. Доказательство: Так как f'(x₀)>0=lim_x0y/x, то, задав >0, можно найти такое >0, что f'(x₀)–<y/x0)+ при |х|<. Пусть f'(x₀)>0. Взяв0), получаем, что (y/x)>0 при |x|<, т.е. функция f возрастает в точке x₀. Замечания: [1] Если функция f имеет производную и не убывает на (а,b), то f'(х)0 на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке х(a,b) производная от f была отрицательной – это бы противоречило теореме №3. Если f имеет производную и строго возрастает на (а,b) и если у нас других сведений об f нет, то все равно при­дётся заключить, что f'(х)0 на (а,b), потому что строго возрастающая функция в отдельных точках (а,b) может иметь производную, равную нулю. Такой, например, яв­ляется функция х³, строго возрастающая на (–, ) и имеющая при x=0 производную, равную нулю. [2] Если функция возрастает в точке х₀, то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности точки x₀. Примером может служить функция

и F (х) возрастает в точке х=0. Однако эта функция немонотонна, так как производная F'(х)=1/2–2x sin(1/x)+cos(1/x) в любой малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицатель­ные значения. Для х_k 1/k (k=l,2,...) при k чётном она равна 3/2, а при k нечетном она равна – 1/2. Теорема №4. Если функция f(x) чётная (нечетная) и дифференцируема на [–а,а], то f(х) нечетная (чет­ная) функция. Доказательство: Так как f(x)f(–x) x[–а, а], то производные левой и правой части также совпадают: f'(х) –f'(–х), т.е. f'(x)–нечетная функ­ция. (Этот же факт можно доказать, исходя из опреде­ления производной.)

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графиков функций:

Кривая y=f(x) обращена в точке x₀ выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность x₀ такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке x₀ (т.е. в точке, имеющей абсциссу х₀) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. в точ­ке х₁ кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х₂ – кверху). Вместо слов "выпукла кверху (книзу)" употреб­ляются слова "вогнута книзу (кверху)". Говорят, что точка х₀ есть точка перегиба кривой y=f(x), если при переходе х через x₀ точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. точка х₃ – точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое >0 такое, что для всех х(х₀–,х₀) кри­вая находится с одной стороны касательной в х₀, а для всех х(х₀,х₀+) – с другой. Указанные определения вы­деляют возможные расположе­ния кривой относительно касательной к ней в доста­точно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции ось х пересекает и касается графика функции в точке x=0 и х=0 не есть точка перегиба. Теорема №1: Если функция f имеет в точке x₀ вто­рую непрерывную производную и f'(x₀)>0 (<0), то кри­вая y=f(x) обращена в x₀ выпуклостью книзу (кверху). Доказательство: Разлагаем f в окрестности х=х₀ по формуле Тейлора

f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀)+r₁(x),

r₁(x)=((x–x₀)²/2)f''(x₀+(x– x₀)) (при 0<<1). Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу x₀: Y=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀). Тогда превышение кривой f над касательной к ней в точ­ке x₀ равно f(x)–Y=r₁(x). Таким образом, остаток r₁(х) равен величине превышения кривой f над касательной к ней в точке x₀, В силу непрерывности f'' если f"(x₀)>0, то и f"(x₀+(x– x₀))>0 для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки x₀, а потому, очевидно, и r₁(х)>0 для любого отличного от x₀ значения х, принадлежащего к указанной окрестности. Значит, график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке x₀ выпуклостью книзу. Аналогично, если f''(x₀)<0, то r₁(х)<0 для любого отличного от x₀ значения х, принадлежащего к некоторой окрестности точки x₀, т.е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в x₀ выпуклостью кверху. Следствие: Если x₀ есть точка перегиба кривой y=f(x) и в ней существует вторая производная f"(x₀), то последняя необходимо равна нулю (f"( x₀)=0). Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой у=f(х) ищут их среди корней уравнения f"(x)=0. Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой. Теорема №2: Если функция f такова, что производ­ная, f'^" непрерывна в x₀, a f"(x₀)=0 и f'^"(x₀)0, то кривая у=f(х) имеет в x₀ точку перегиба. Доказательство: В этом случае f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x–x₀)+r₂(x),

r₂(x)=((x–x₀)³/3!)f'^''(x+(x–x₀)). В силу непрерывности f'^''(x₀) и того факта, что f'^"(x₀)0, следует, что f'^''(x₀+(x–x₀)) сохраняет знак в некото­рой окрестности точки х₀; он один и тот же справа и слева от точки x₀. С другой стороны, множитель (х– x₀)³ меняет знак при переходе х через x₀, а вместе с ним и величина r₂(х) (равная превышению точки кривой над касательной в x₀) меняет знак при переходе х через x₀. Это доказывает теорему. Сформулируем более общую теорему: Теорема №3: Пусть функция f обладает следующими свойствами: f''(x₀)=...=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) непрерывна в x₀ и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)0. Тогда, если n – нечетное число, то кривая у=f(х) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0 или f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, а если n –четное, то x₀ есть точка перегиба кривой. Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора f(x)=f(x₀)+(x–x₀)f'(x₀)+(((x–x₀)ⁿ⁺¹)/(n+1)!)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀+(x–x₀)). В заключение заметим, что говорят также, что кри­вая y=f(x) имеет точку перегиба в точке х, где произ­водная f равна + или–.

По определению кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами х₁, х₂(аx₁<х₂b) расположена не ниже (не выше) стягивающей её хорды (рис-ки). Замечание: Если f дифференцируема на [а,b], то приведенное определение выпуклости на отрезке эквива­лентно следующему: кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а,b). Теорема №4: Пусть функция f непрерывна на [а,b] и имеет вторую производную на (а,b). Для того чтобы кривая y=f(x) была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось неравенство f''(x)0 (f''(x)0) для всех х(а,b).

Геометрический смысл производной:

Пусть на интервале (а,b) задана непрерывная функ­ция у=f(x). Её график наз. непрерывной кривой. Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х,f(х)) (рис) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку B=(x+x,f(x+x)), где x0 (рис. 1 изобра­жён случай x>0, а на рис. 2 – случай x<0). Пря­мую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), наз. секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через . Мы считаем, что –/2<< /2. При >0 угол отсчи­тывается от оси x против часовой стрелки, а при <0 по часовой стрелке. На данных рисунках >0. На рис. 1 x=AC, y=СВ, а на рис. 2 x=–AC, y=–СВ, В обоих случаях y/x=tg.

Если x0, то y0 и точка В, двигаясь по Г, стремится к A. Если при этом угол  стремится к некоторому значению , отличному от /2 и –/2, то суще­ствует предел lim_x0y/x=lim_tg=tg [1], равный производной (конечной) от f в точке x: f'(x)=tg [2]. Обратно, если существует (конечная) производная f'(x), то =arctg f'(x). При стремлении  к  секущая S стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точку А и образующей угол  с положительным направ­лением оси х. Направленная прямая Т наз. касательной к кривой Т в её точке А. Определение: Касательной к кривой Г (y=f(x)) в её точке А=(х,f(х)) наз. направленная пря­мая Т, к которой стремится секущая S (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(x+x,f(x+x))Г, когда x>0. Мы доказали, что если непрерывная, функция у=f(х) имеет конечную производную f'(х) в точке х, то её гра­фик Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg=f'(х) (–/2<</2). Обратно, существование предела lim=(–/2<</2)

влечет за собой существование конечной производной f'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: f'(x)f'_пр(x).

Т
огда А есть угловая точка Г. В этом случае касательная к Г в A не существует, но можно говорить, что суще­ствуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:

Дифференциал функции:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х: т.е. для её прира­щения у в этой точке выполняется равенство [2]. Тогда у есть сумма двух слагаемых. Первое из них A x про­порционально x, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от х. Второе – о(х)_x0 является бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с x. Если А0, то второе сла­гаемое стремится к нулю при x0 быстрее, чем пер­вое. В связи с этим первое слагаемое A x=f'(x)x наз. главным членом приращения y. Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом dy. Итак, по определению dy=df=f'(x)x. На (рис. 47) изображен график Г функции y=f(x);

Т –касательная к Г в точке A, имеющей абсциссу х; f'(x)=tg, где  – угол, образованный касательной с осью х; dy=f'(х)x=tgx=CD, DB=y–dy=o(x)_x0. Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответствующий приращению x, есть приращение ординаты точки, ле­жащей на касательной (dy=CD). Вообще говоря, dyy, ибо y=dy+ o(x)_x0, а второй член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у=Ах+В имеет место ра­венство у=А x=dy для любого х. В частности, для у=х, dy=dx=x т.е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx=x). По­этому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так: dy=f'(x)dx, откуда f'(x)=dy/dx,

т.е. производная функции f в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х.

Это объясняет, что выражение dy/dx употребляется как символ для обозначения произ­водной. Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен x – произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx. Отметим формулы:

d(u)=dud [3]; d(u)=ud+du [4]; d(cu)=cdu (c – постоянная) [5]; d(u/)=(du–ud)/² (при 0) [6]; где предполагается, что u и  – дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х. Например, формула [6] доказывается так:

Дифференцируемость функции:

Пусть функция f имеет производную в точке х (конечную): lim_x0y/x=f'(x). Тогда y/x для достаточно малых x можно записать в виде

суммы f'(х) и некоторой функции, которую мы обозначим через (x) и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с х: y/x=f'(x)+ (x) (при (x)0, x0) и приращение f в точке х может быть записано в виде y=f'(x)x+x(x) (при (x)0, x0) или y=f'(x)x+o(x)_x0 [1]. Ведь выражение о(x)_x0 понимается как функция от x такая, что её отношение к x стремится к нулю вместе с x.

Определение: Функция f наз. дифференци­руемой в точке х, если её приращение y в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+o(x)_x0 [2],

где, А не зависит от x, но вообще зависит от х.

Теорема №2: Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х, т.е. чтобы её приращение в этой точке представлялось по формуле [2], необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда A=f'(x).

Таким образом, сказать, что f имеет производную в точке х или f дифференцируема в точке х – это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной наз. ещё дифференцированием функции. Доказательство теоремы №1: Достаточность условия доказана выше: из существования конечной про­изводной f'(х) следовала возможность представления y в виде [1], где можно положить f'(x)=A. Необходимость условия: Пусть функция f диф­ференцируема в точке x: Тогда из [2], предполагая x0, получаем y/x=A+(o(x)/x)_x0=A+o[1]_x0. Предел правой части при x0 существует и равен А: Это означает, что существует производная f'(x)=A.

Дифференцирование параметрически заданных функций:

Пусть зависимость у от х выражена через параметр t:

Э
то надо понимать в том смысле, что существует обрат­ная функция для функции x=() и можно написать явную форму зависимости у от х: y=[^–1(x)] {2}. Будем искать производную от у по х через производ­ные от х и у по t. Будем употреблять обозначения y'_x,y''_x,x'_t,...,x''_t,y''_t, где буква внизу означает, по какой пере­менной берется производная. В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка y'_x=dy/dx. Но dy=y'_tdt, dx=x'_tdt. Поэтому y'_x=y'_t/x'_t (где x'_t=0) {3}. Для производной второго порядка получаем

Подобным образом можно получить формулы для про­изводных у⁽ⁿ⁾_x по х порядка n>2 через производные от x и у по t.

Непрерывность дифференцируемой функции:

Всякая функция, имеющая производ­ную (конечную!) в точке х, непрерывна в этой точке. В самом деле, пусть предел (1) существует в точке х и конечен. Этот факт можно записать следующим образом: y/x=f'(x)+ (x) (2), где (x)0 при х0, т.е. (x) есть бесконечно малая при x0. Из (2) следует: y=f'(х)х+x(x). Переходя в этом равенстве к пределу, когда x0, получим lim_x0y=0, это показ., что f непрерывна в точке х.

1.Промежутки, окресности.Верхняя и нижняя грань числового множества.Точные грани и их свойства.

Интервалы и отрезки - это конечные числовые промежутки. Промежутки бывают следующих типов:

Интервал : строгое неравенство(a

: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-εε(а)

Числовое множество называется ограниченным сверху если все числа данного числового множества меньше некоторого числа В

Точная верхняя грань-найменьшая из всех верхних граней(sup{X}). inf{X}-точная нижняя грань

Свойства точных граней: Теорема:

M=Sup{X} необходимо и достаточно выполнение : 1)x>M=>x не принадлежит X. 2)Для любого С < M есть хотя бы 1 х из Х => C

Док-во

1Необходимость.Дано M=Sup{X} Доказать 1,2.Док-во

1.т.к.M-sup{X}=> 1 из верхних граней, то по определению для х из Х=> х<=М, а значит он не может быть >M =>x не из Х

2.Берем С для всякого х<=с, а это значит, что С есть М и при этом С<М, а значит М не есть sup{X}, что противоречит условию=>x>c

2.Достаточность.Дано:1,2.Доказать: что М=sup{X}.Док-во.

1.Из 1пункта следует, что М есть верхняя грань{X},(x>M=>х не их Х=> любое х из Х меньше М)

2.Из пункта 2 есть х>с=> с ни есть верхняя грань=> М наименьшая из всех верхних граней.

В2.Абсолютная величина и ее свойства.

Модуль числа x - это найбольшее из {+x и -x}. Так же модулем числа x называется само число x, если x>=0 и –x при x<0

Свойства

1)|x|>=0 из определения(|x|=max{x, -x})

2)-|x|<=x<=|x|

a)x=0 -0=0=0

б)x<0 x=-|x| |x|=-x -|x|=x<|x|

в)x>0 -|x|

3)если a>=0, |x|<=a -a<=x<=a

x>0 , |x|=x x(>=0)=0) => -a<=x<=a

x<0 , |x|=-x a(<0)>-x(>0) x=x>=-a

4) |x+y|<=|x|+|y|

-|x|<=x<=|x| |x|=max{x,-x}

-|y|<= y<=|y| |x|=max{x,-x}

-(|x|+|y|)(это -а)<=x+y<=(|x|+|y|)(это а) –max{x,-x}=-|x|

x>=-max{x,-x} |x-y|<=|x|+|y|

5.|x-y|>=||x|-|y||

|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y| |x-y|>=|x|-|y| |y|=|y-x+x|<=|y-x|+|x|=|x-y|+|y| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=max{|x|-|y|,|y|-|x|}

6. |x*y|=|x||y|

3.Определение функции, способы ее задания.Функции четные и нечетные

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x	1	2	3
y	4	5	8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Чётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f(-х)=f(x) при всех х.

Нечётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f (-x) = -f (x).

Монотонная функция функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)2)

2. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

4. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ((у), является обратной по отношению к данной функции у = f(x). Например, х = есть О. ф. по отношению к у = х3.

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³  x=³y

D=R

E=R

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

5.y=c где c -постоянная

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1;1]

4.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.

Число А называется пределом ф-ции f(x) при хx₀, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если 0<|x-x₀|<, то |f(x)-A|< и х!=х₀

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

Док-во

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а№ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

2. limC=C, где С- постоянная величина

Св-ва б.м.в.:

Если -б.м.в., то lim=0

Это по определению(d(x) –называется БМВ в точке х₀, если lin d(x)=0 при x->x₀)

1. Если и - бесконечно малые при , то сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при .

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при ;

Доказательство

1. В качестве выберем такое число , что

Обозначив , получаем:

.

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т.е. - бесконечно малая. 

2. - ограничена при , т.е. .

Тогда в качестве можно выбрать число . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т.е. - бесконечно малая при .

3. Докажем лемму. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно!).Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при - бесконечно малые. По доказанной лемме - ограничена. Следовательно, по свойству 2 данной теоремы - бесконечно малая.

 Cвязь предела и БМВ

Теорема Для того, чтобы f(x) имела конечный предел в х₀. Необходимо и достаточно, чтобы она была представима: f(x)= a+A(x), где A(х)- БМВ в х₀ a=Lim f(x) при x->x₀

Док-во: 1.Необходимость.есть хотябы 1 a=Lim f(x) x->0 Доказать: f(x)=a+A(x)Док-во.

Обозначим A(X)=f(x)-a и любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a|=A(x)

2.Достаточность.Есть f(x)=a+A(x) Доказать a=LimF(x) при х->x₀ Док-во

| любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a|=|A(x)|

В5.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с БМВ.

Неограниченной величиной(НВ)-g(x) неограниченна в х₀, если любое М>0 и любое D>0 есть хотябы 1 х: 0<|x-x₀||g(x)|>M

График- правая ветвь параболы.

g(x) - ,бесконечно большая в х₀, если Lim(g(x))=беск x->x₀

Всякая ББВ величина неограничена

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/=0; 1/0=)

Док-во Пусть f(x) ББВ,то , если любое E>0 и любое D>0 есть хотябы 1 х: 0<|x-x₀| f(x) >1/E=>|1/f(x)|

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

В6.Предел последовательности.Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.

Последовательность- функция целочисленного аргумента.

Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=a

n -n-a< a-n

Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n<=M.

Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.

Lim a_n=a n->беск возмем m и M любое n => m<=a_n<=M любое E>0 есть хоть 1 N любое n>N=> |a_n-a|-En-aa-En1-min из послед a_n M-max из послед a_n m=min{m₁,a-E} M=max{M₁,a+E} mn

Функция монотонно возрастающей, если из -строго монотонно возрастающей, если из - монотонно убывающей, если из -строго монотонно убывающей, если из . Докажем одну из возможных здесь теорем. Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева. Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при. По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума(1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .) отсюда следует, что существует конечный . Покажем, что . По свойствам супремума 1. 2. Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности а) б) Поэтому имеем Выбрасывая лишнее получим, что или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

В7.Предельный переход в равенствах в неравенства. Теорема о “двух милиционерах.”

Теорема.Пусть во всех точках некого мн-ва f(x)<=g(x) и при этом есть конечные пределы, тогда ax₀ получаем a<=b.

Док-во.Пусть a>b и E=(a-b)/4 есть хоть1 D₁ и любой х: |x-x₀|-D₁=>|f(x)-a| -(a-b)/4< f(x)-a<(a-b)/4 (3a+b)/4

есть хоть1 D₂ и любой х: 0<|x-x₀|1=>|g(x)-b|

Теорема о “двух милиционерах”: Пусть нам заданы 3 функции на определенном промежутке, связанные следующим образом f(x)<=g(x)<=h(x) и еще выполняется Lim f(x)=a Lim h(x)=a при x->x_{0 ,}то получаем, что Lim g(x)=a при x->x₀.

Док-во: берем E₁ и D₁ для h хоть одно E>0 любое D>0 любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a| -D

В8.Первый замечательный предел.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMNсек_OMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0 lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

В8.Первый замечательный передел

Первым замечательным пределом называется предел

        Теорема 2.14   Первый замечательный предел равен

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть  -- площадь треугольника ,  -- площадь кругового сектора , а  -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы

В9.Второй замечательный предел

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

В10.Пределы, связанные со вторым замечательным пределом.

В11.Арифиметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.

В12.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями

Определение: функция f(x) непрерывна, если: 1)она определена в х₀ и некоторой ее окресности.2.Lim f(x)=f(x) при x->x₀

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.в качестве примера y=x­­².

Арифметические опрерации: f(x)+-/*g(x) если функции непрерывны в х₀

В13.Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элеменетарных функции.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . 

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=(t). Тогда комбинация y=f((t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции (t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t) => y= e^sin(t)

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция . При возрастании x от 0 до возрастает или убывает на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции , , , , , . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .

Обратные тригонометрические функции , , , . Первые две непрерывны на , остальные - на

В14.Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквиваленты бесконечно малых. Основные примеры

Сравнение бесконечно малых

        Определение 2.16   Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и , бесконечно малые при базе . Предположим также, что при всех . Пусть существует

Если , то бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что и . Этот факт обозначается так:

Если же , то имеет больший порядок малости, чем . Это обозначается так:

Заметим, что если , то для всех из некоторого окончания базы будет выполнено неравенство . Это сразу следует из того, что

        Предложение 2.2   Если при базе бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что , то и имеет тот же порядок малости, что , то есть

(S)

Если две бесконечно малых и одного порядка малости, и две бесконечно малых и тоже одного порядка малости при базе , то две величины и также имеют один и тот же порядок малости при базе , то есть

(T)

Кроме того, бесконечно малая величина имеет тот же порядок малости, что она же сама:

(R)

        Доказательство.     Поскольку то , откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

где

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения     

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение , заданное в множестве бесконечно малых при данной базе величин , является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения , заданного в некотором множестве объектов , означает, что выполнено свойство
(R): ,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): ,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): .

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом попадают все объекты , для которых .

Поэтому все бесконечно малые при данной базе величины разбиваются на классы по отношению , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

        Пример 2.31   При базе величины и , где и , , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел постоянно и его предел равен . Например, при величины и имеют один и тот же порядок малости.

При базе величина имеет больший порядок малости, чем , при :

так как . Если степени и определены и при , то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы . Например, при величина  -- большего порядка малости, чем . При величина  -- большего порядка малости, чем , а  -- величина большего порядка малости, чем .     

        Пример 2.34   Поскольку, как мы видели в примерах выше, и , то  -- величина большего порядка малости, чем .     

        Определение 2.17   Пусть и  -- бесконечно малые при базе и

Тогда бесконечно малая называется эквивалентной бесконечно малой при базе . Это обозначается следующим образом:

Очевидно, что если величина эквивалентна величине , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом ). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение , (так же, как и отношение ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

        Предложение 2.4   Если при базе бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой , то и эквивалентна :

(S)

Если две бесконечно малых и эквивалентны, и две бесконечно малых и тоже эквивалентны при базе , то две величины и также эквивалентны при базе :

(T)

Кроме того, величина эквивалентна себе самой:

(R)

        Доказательствоповторяет доказательство предложения 2.2.    Нужно только учесть, что .     

Итак, отношение эквивалентности обладает свойствами симметричности (S), транзитивности (T) и рефлексивности (R) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением .

        Пример 2.35   Согласно первому замечательному пределу, Это означает, что

Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что Это означает, что

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

        Предложение 2.5   Пусть существует предел где и  -- бесконечно малые при базе . Пусть также и . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Для доказательства напишем такое равенство:

и заметим, что эквивалентность величин и , и означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1.     

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

        Предложение 2.6   Пусть , и существует предел

Тогда и можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть

        Предложение 2.7   Пусть , и существует предел . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые большего порядка можно отбрасывать как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Согласно предложению 2.5, достаточно доказать, что если , то . Но это следует из такой цепочки равенств:

        Пример 2.36   Вычислим предел

Для этого заметим, что, как мы проверяли выше,  -- величина большего порядка малости, чем . Аналогично проверяется, что  -- величина большего порядка малости, чем . Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то

Далее, поскольку , очевидно, эквивалентен (согласно первому замечательному пределу), а эквивалентен , то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на :

При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

        Предложение 2.8   Пусть и . Тогда:
1)
и
2) при любом (в случае, если степень определена только при , нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство .

(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку  -- не обязательно целое число.)

        Доказательство.     Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что

если известно, что

и

Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).

Второе утверждение означает, что

если известно, что

Это следует из того, что степенная функция непрерывна при любом , если . Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:

В случае степенной функции , сделав замену переменного и связанную с ней замену базы, мы получим, что

Беря , получаем, что

что и требовалось доказать.     

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) ( ). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

В15.Сохранение знака непрерывной функции.Понятие равномерной непрерывности.

Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что , то есть

Тем самым непрерывность функции на интервале или отрезке означает, что

При этом мы имеем право выбирать число в зависимости от и, главное, от точки .

Предположим теперь, что число можно выбрать общим для всех (но, конечно, зависящим от ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по .

Дадим теперь такое

        Определение 3.5   Пусть  -- некоторая функция и . Функция равномерно непрерывна на , если
    

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси . Фиксируем число и положим . Выберем теперь любые две точки и , такие что , и покажем, что тогда . Действительно,

так как, во-первых, при всех и и, во-вторых, при всех (у нас ). Таким образом. равномерная непрерывность функции доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

        Пример 3.16   Пусть функция рассматривается на интервале . Если фиксирована точка , то для заданного мы можем выбрать так, что при всех таких, что ; для нахождения нужно решить неравенство относительно (напомним, что точка фиксирована):

Из чисел и выберем минимальное:

Тогда при будет . Проанализируем, однако, зависимость от : при , приближающемся к 0, значения будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении ), что хорошо видно на следующем чертеже:

Рис.3.25.Изменение в зависимости от положения точки

При приближении точки к началу координат нам приходится по одному и тому же выбирать всё меньшие -окрестности точки , чтобы обеспечить выполнение неравенства . Выбрать общим для всех , очевидно, невозможно: при заданном какое бы фиксированное число ни было взято, мы можем поместить точку так близко от 0, что значения и будут отличаться друг от друга больше, чем на , хотя . Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале .     

        Теорема 3.10   Пусть и функция непрерывна на . Тогда равномерно непрерывна на .

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок является компактом⁹. Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С.М., Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991; Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.     

В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,

        Следствие 3.1   Любая функция , непрерывная на замкнутом отрезке , ограничена на (то есть существует такое число , что при всех ).

Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):

        Доказательство.     Фиксируем какое-либо число , например , и выберем такое, что при всех , для которых , будет . Разобьём на отрезки длины :

(мы положили ;¹⁰ длина последнего отрезка может оказаться меньше ). Выберем в качестве середину каждого из отрезков:

Тогда для каждого выполняется неравенство и, следовательно, . Это неравенство эквивалентно такому: , или . Поскольку точек конечное число (а именно, ), то мы можем взять минимальное из чисел , , и максимальное из чисел , :

Тогда для любого верно неравенство , и осталось взять . При этом для любого будет , что означает ограниченность функции на .     

Теорема кантора Если функция непрерывна на [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):

Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при xа, если lim_xаf(x)= lim_xаg(x)=0. Раскрыть эту неопредел-сть – это значит найти lim_xаf(x)/g(x), если он существует.

Теорема №1: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х=а, за исключением, быть может, самой точки a, lim_xаf(x)= lim_xаg(x)=0, g(x) и g'(x)0 в этой окрестности. Тогда, если существует lim_xаf'(x)/g'(x), то существует lim_xаf(x)/g(x) и имеет место равенство lim_xаf(x)/g(x)=lim_xаf'(x)/g'(x) {1}. Доказательство: Будем считать, что а – конеч­ное число. (В случае а= см. ниже замечание 3.) Доопределим функции f и g в точке х=а, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а,х], где х>а или х<а. На [а,х] функции f и g непре­рывны, а на (а,x) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка S такая, что (f(x)–f(a))/(g(x)–g(a))=f'()/g'() (при (а,x)) или f(x)/g(x)=f'()/g'().

Когда хa и, то и a, поэтому в силу условия теоремы имеем lim_xаf(x)/g(x)=lim_аf'()/g'() =lim_xаf'(x)/g'(x) {2}при условии, что предел в правой части равенства суще­ствует. Этим теорема доказана. Замечания: [1] Если предел справа в {1}не существует, то предел слева может существовать.

[2] Если выражение f'(x)/g'(x) представляет неопределенность вида 0/0 г и функции f'(x), g'(х) удовлет­воряют условию теоремы №1, то lim_xаf(x)/g(x)=lim_xаf'(x)/g'(x)= lim_xаf''(x)/g''(x)

П
ри этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и вто­рой и первый. Теорема №2 (/): Пусть f и g определены и дифференцируемы в окрестности точки х=a, lim_xaf(х)= lim_xag(х)=, g(x) и g'(x)0 в этой окрестности, тогда, если lim_xаf'(x)/g'(x), то lim_xаf(x)/g(x). [3] Если а=, то замена х=1/t сводит дело к а=0:

Выражаемые теоремами №1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть све­дено к вычислению предела отношения их производных, наз. правилом Лопиталя по имени математика, ко­торый сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.

На рис. 39 приведён пример такого случая. Пусть теперь производная от f в точке х бесконечна: f'(x)=lim_x0y/x=. Отметим четыре важных случая:

Левая касательная  оси х и направлена вниз. Правая касательная  оси х и направлена вверх (рис. 42). рис. 39, 40

Левая и правая касательные направлены || оси y, первая вверх, вторая вниз (рис. 43). рис. 41, 42, 43

Примчание: Обычное определение касательной к кривой Г следующее: касательная Т к кривой Г в её точке А есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая через точку А и другую точку ВГ, когда последняя, двигаясь по Г, стремится к А. В этом определении не предполагается, что S и Т –направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной оси у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где А – угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную. Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен . Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (x₀,y₀) под углом  к положительному направлению оси х (–/2 << /2), имеет вид у–у₀=m(х–х₀) (m=tg). Отсюда уравнение касательной к кривой y=f(х) в точке (x₀,у₀) имеет вид y–y₀=y'₀(x–x₀) [3]. Прямая, проходящая через точку АГ перпендикулярно к касательной к Г в этой точке, наз.

нор­малью к Г в точке A. Её уравнение, очевидно, имеет вид y–y₀=–(1/y'₀)(x–x₀) [4].

Производная обратной функции:

Пусть функция у=f(х) строго возрастает, непрерывна на интервале (а,b) и имеет конечную не равную нулю производную f'(х) в некоторой точке х(a,b). Тогда об­ратная для f функция х=f^–1(у)=g(y) также имеет производную в соответствующей точке, определяемую ра­венством g'(y)=1/f'(x) [1] или x'_y=1/y'_x [1'] Доказательство: Как нам известно, обратная функция x=g(y) строго возрастает и непрерывна на интервале (A,В), где A=inf f(x), В=sup f(x)

^{x(a,b) x(a,b)}

(По теореме о обратной непрерывной функции: Пусть функция f непрерывна и строго возрастает на (a,b) (или на [a,b), или (a,b]) и =inf f(x), =sup f(x)

^{x(a,b) x(a,b)}

Тогда образ интервала (a,b) (соответственно [a,b), (a,b]) есть интервал (,) (соответственно [,), (,]) и обратная к f функция x=g(y) однозначна, строго возрастает и непрерывна на (,) [,), (,])). Дадим рассматриваемому у приращение y0. Ему соответствует приращение x обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности f. Поэтому x/y=1/(y/x). Если теперь y0, то в силу непрерывности g(y) при­ращение x также 0; но при х0 y/xf'(x)0, =>, существует предел lim_y0x/y=1/(lim_y0y/x)=1/f'(x). Этим формула [1] доказана. Примечание: Если f'(x)0 непрерывна на (a,b), то g'(y) непрерывна на (A,B). Это следует из [1], где можно положить x=g(y): g'(y)=1/f'[g(y)] (y(A,B)). Ведь сложная функция f'[g(y)], состоящая из непрерывных функций f' и g, непрерывна.

Производная сложной функции:

Теорема №1: Если функция x=(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=(t). Придадим t приращение t0. это вызовет приращение x=(t+t)– (t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x, имеем

y=f'(x)x+(x)x (4), где (x)0 при х0. Будем считать, что (0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него x=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на t0: y/t=f'(x)(x/t)+ (x)(x/t) (5). Пусть t0. Тогда, потому что функция x(t)(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при t0. Тогда x0 и (x)0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=(x), x=() и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_=z'_yy'_xx'_

Производная функци:

Производной от функции f в точке х наз. пре­дел отношения её приращения y в этой точке к соответствующему приращению аргумента x, когда послед­нее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:

f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x (1)

Но широко употребляются и другие обозначения: у', df(x)/dx, dy/dx. При фиксированном x величина y/x есть функция x: (x)=y/x (x0). Для существования производной от f в точке х необходимо, чтобы функция f была определена в некоторой окрестности точки x, в том числе в самой точке x. Тогда функция (x) определена для достаточно малых не рав­ных нулю x, т.е. для x, удовлетворяющих неравен­ствам 0<|x|<, где  достаточно мало. Конечно, не для всякой функции f, определенной в окрестности точки x, существует предел (1). Обычно, когда говорят, что функция f имеет в точке х производ­ную f'(х), подразумевают, что она конечна, т.е. предел (1) конечный. Однако может случиться, что существует бесконечный предел (1), равный +, –, или . В этих случаях полезно говорить, что функция f имеет в точке x бесконечную производную (равную +, – или ). Если в формуле (1) предполагается, что x0, принимая только положительные значения (x>0), то соот­ветствующий предел (если он существует) наз. правой производной от f в точке х. Его можно обозначить так: f'_пр(x). Аналогично предел (1), когда x0, пробегая отрицательные значения (x<0), наз. ле­вой производной от f в х (f'_л(х)). Конечно, для вычисления f'_пр (x) (соответственно f'_л(х)) обходимо только, чтобы функция f была задана в точке х и справа от нее в некоторой её окрестности (соответственно в х и слева от х). Типичным является случай, когда f задана на отрезке [a,b] и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т.е. в точках интервала (а,b), производную, в точке же а имеет правую производную, а в точке b – левую. В таких случаях говорят, что функция f имеет производную на отрезке [а,b], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет только правую производную, а в точке b – только левую. Нетрудно видеть, что если функция f имеет правую и левую производные в точке х и они равны, то f имеет производную в х: f'_пр(x)=f'_л(x)=f'(x). Но если правая и левая производные в х существуют и не равны между собой f'_пр(x)f'_л(x), то производная в х не существует.

(для графика y/x=|x+x|–|x|/x)

(xⁿ)'=nx^n–1

(a^x)'=a^xlna

(log_ax)'=1/xln a

(sin)'=cos x

(cos)'= –sin x

(tg)'=1/cos²x

(ctg)'= –1/sin²x

(arcsin)'=1/1–x²

(arccos)'= –1/1–x²

(arctg)'=1/1+x²

(arcctg)'= –1/1+x²

(x)'=1/2x

(1/x)'= –1/x²

(e^x)'=e^x

(ln)'=1/x

(sh)'=ch x

(ch)'=sh x

(th)'=1/ch²x

(cth)'= –1/sh²x

Теорема Коши:

Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а,b), и g'(x)0 в (a,b), то существует точка (a,b) такая, что

(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))=f'()/g'() {1}. Доказательство: Отметим, что g(b)–g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка  такая, что g'()=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f'(x)–f(a)–(f(b)–f(a))/(g(b)–g(a))[g(x)–g(a)]. В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а,b], дифференцируема на (а,b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка (а,b), в которой F'(g)=0. Но

F'(x)=f'(x)–(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))g'(x), поэтому, подставляя вместо х точку , получаем утверж­дение теоремы. Замечание: В формуле {4} Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать аа,b] и (а,b) обозначают соответственно множества точек х, для которых bxa,ba. Как следствие из теоремы Коши, при g(x)=x полу­чим теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а,b) точка с, для которой выполняется равен­ство f(b)–f(a)=(b-a)f'(c) при (а<с{1}. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический .смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c) при (а<сх хорды, стягивающей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой с(а,b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис) есть график непрерывной на [а,b] функции, имеющей производную на (а,b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с(а<сa,f(a)) и (b,f(b)). Равенство {1} наз. формулой (Лагранжа) конеч­ных приращений. Промежуточное значение с удобно запи­сывать в виде c=a+(b–a), где  есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0<<1. Тогда формула Лагранжа примет видf(b)–f(a)=(b-a)f'(a+(b–a)) (0<<1). {2} Она верна, очевидно, не только для aab.

Теорема Ролля:

Если функция у=f(x) непре­рывна на [а,b], дифференцируема на (а,b) и f(a)=f(b), то существует точка (а,b), такая, что f'()=0. Доказательство: Если f постоянна на [а,b], то для всех (а,b) производная f'()=0. Будем теперь считать, что f непостоянна на [а,b]. Так как f непрерывна на [а,b], то существует точка х₁[a,b], в которой f достигает максимума на [a,b] и существует точка х₂[a,b], в кото­рой f достигает минимума на [а,b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе: max f(x)=min f(x)=f(a)=f(b)

^{х[a,b] х[a,b]}

и f была бы постоянной на [а,b]. =>, одна из точек x₁, x₂ принадлежит к интервалу (а,b). Обозна­чим её через . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'() существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х[a,b]. Поэтому по теореме Ферма (Если функция f имеет производную в точке с и достигает в этой точке локального эктремума, то f'(с)=0) f'()=0. Замечания: (1) Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала (a,b), лишь бы выполнялось соотношение lim f(x)=lim f(х)

^{xa xb}

^{x>a x}

(2) Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке (а,b) f'(х) не существует. Пример: у=|x| на [–1,1]. В теореме также нельзя заменить непрерывность на [a,b] на непрерывность на (a,b). Примером является функция

y=1, x=0

x, 0

Точка х=0 – точка разрыва.

(4) Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике y=f(x) существует точка (,f()), касательная в которой параллельна оси х

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Т
еорема №1: Если функция f имеет в окрестности точки x₀ непрерывную производную fⁿ⁺¹(х), то для любо­го х из этой окрестности найдется точка с(х₀,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

Здесь с зависит от х и n. Если точка х₀=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где (0<<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f^(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x₀–,x₀+]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|M_n (x₀–xx₀+) {2}. Здесь M_n –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

Н
еравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r_n(х) при фиксиро­ванном n в окрестности точки и для того, чтобы иссле­довать поведение r_n(х) при n. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство r_n(x)=o((x–x₀)ⁿ), xx₀ {4}, показывающее, что если r_n(х) разделить на (х–x₀)ⁿ, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при xx₀. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x₀.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x₀. Мы можем формально составить многочлен

который наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x₀. Многочлен Q_n(x) совпадает с функцией f(х) в точке x₀ но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'_n(x₀)=f'(x₀),...,Q⁽ⁿ⁾_n(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀) {2}. Положим f(x)=Q_n(x)+r_n(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функ­ции f(x); r_n(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x₀. Функция r_n(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.

Найдем выражение для r_n(х) через производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(х). В силу {2} и {3} r_n(x₀)=r'_n(x₀)=...=r⁽ⁿ⁾_n(x₀)=0. Положим (х)=(х–x₀)ⁿ⁺¹. Ясно, что (x₀)=(x₀)=...=⁽ⁿ⁾(x₀)=0. Применяя теорему Коши к функциям r_n(х) и (x), будем иметь

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные - √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-

a1b2/a2І+b2І)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)

r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.

4 ZЄ=rЄ(cos Aφ+i*sin Aφ)

5 Є√Z=Є√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)Є

Xn,n∈N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E

lim Xn = A

n→∞

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел (сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n→∞

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n→∞ n→∞ lim (Xn*Yn)=A*B

lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0

если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn

n→∞ n→∞

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N

Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn)

n→∞

Св-ва БМВ:

lim αn=0

n→∞

lim (αn±βn)=0

n→∞

lim (Xn*αn)=0; если Xn-ограничена

n→∞

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X eЄ-1 ~ a

tg X ~ X (1+x)Є ~ ax

1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.

Прим:

при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1

10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.

есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N

тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.

11 Признак Даламбера

∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l

n→∞

то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

Признак Коши

∑An – знакополож. ряд lim Є√An=q

n→∞

q<1 – сходится ; q>1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n→∞ =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент

y=kx+b – линейная ф-ия

y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х

Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=XЄ и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε

lim f(x)=B

x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15 lim f(x)=B

x→x0

Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

lim c=c

x→x0

если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

x→x0

lim (f(x)*φ(x))=b*c

x→x0

lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

x→x0

Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

x→x0 x→x0 x→x0

если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:

(Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке

16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А∈(-∞;+∞)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε | kx-b-ka+b | <ε

| k (x-f) | <ε

| k |*| x-a | <ε

| x-a | < ε/| k |=δ(ε)

y=axІ+bx+c (-∞;+∞)

17 y=BЄ (B>0)

Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-∞;+∞)

lim BЄ=1

a→0

| BЄ-1 | <ε 1) B=1

2) B>1

-ε < BЄ-1 < ε 1-ε < BЄ < ε+1

LOGb(1-ε)

min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε

| x | < δε

LOGaB

18 y=cos x (-∞; +∞)

| cos x – cos a | < ε

| 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε

2 | sin (x-a)/2 | < ε

| x-a | < ε =δ(ε)

y=sin x (-∞; +∞)

y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk

y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk

19 Первым замечательным пределом называется

lim sin x/x=1

x→x0

20 Второй замечательный предел

lim(1+1/a)Є=e

a→∞

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

lim (1+a)№’Є=e

a→0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x→x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v≠0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=-cv`/vІ c=const

24 (xЄ)`=axЄˉ№

25 (LNx)`=1/x

(eЄ)`=eЄ

Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

0, производная обратной ф-ии равна обратной величине

производной данной ф-ии

X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

(cos x)`=-sin x

(tg x)`=1/cosІx

(ctg x)`=-1/sinІx

27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(√x+5)і y`=?

y=uі, где u=√x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)І(√x+5)`=3(√x+5)І/2√x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или

максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и

вверх.

Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках

разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –

конечные числа

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть

правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда.

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*| x |Є

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R≥0 что этот ряд сходится абсолютно при | x |R; R – радиус сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится

>1 (n→∞) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Єˉ№

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…

sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄˉ№)/(2a+1)!+…

cos x=1-xІ/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿ*xІⁿ/(2n)!+…

ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)ⁿxⁿ⁺№/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.∫

∫dF(x)=F(x)+C

(∫f(x)dx)`=f(x)

∫αf(x)dx=α∫f(x)dx

∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)

∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

∫ U·dV=UV-∫VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой)

∫ xІ·sinx dx

xІ=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=-cos x

∫ = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -∫(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2∫x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

∫ = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m

Интегрирование дробей методом разложения на элементарные дроби:

1 Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2 Разложив знаменатель дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рац. дробей.

3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

37 Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ∫

1 Вычисление площадей (Н-Лейб)

Если на (А,В) f(x)>0 то S=∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)<0 то S=-∫f(x)dx

Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=∫[f(x)-g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=π∫fІ(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула Н-Лейб.

2 Метод прямоугольника

(B-A)/n=h: ∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

n-чётное

∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ∫ бывают 2-х видов:

∫-ы вида ∫(a;+∞)f(x)dx; ∫(-∞;b)f(x)dx; ∫(-∞;+∞)f(x)dx

называются несобственными ∫-и 1-го рода

Если сущ. предел (b→∞) ∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞) то интеграл сходится и наоборот.

Пусть есть числовой ряд ∑Ax=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ∫(a;∞)f(x)dx сходятся или расходятся одновременно

Если lim (x→b)f(x)=∞ или lim(x→a)f(x)=∞ то ∫f(x)dx наз. несобственным интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ∫(a; b-δ)f(x)dx

δ→0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-ва:

dy/g(y)=f(x)·dx → ∫ dy/g(y)=∫ f(x)·dx

f(x)	f`(x)	f(x)	f`(x)
c	0	xЄ	axЄˉ№
x	1	xІ	2x
√x	2√x	arccos x	-1/√1-xІ |x|<1
1/x	-1/xІ	arctg x	1/1+xІ
eⁿ	eⁿ	arcctg x	-1/1+xІ
aⁿ	aⁿln a	sh x	ch x
ln x	1/x	ch x	sh x
LOGaX	1/x·ln a	th x	1/chІx
sin x	cos x	cth x	-1/shІx
cos x	-sinx	ln(x+√(xІ+1))	1/√(1+xІ)
tg x	1/cosІx	arcsin x	1/√(1-xІ)
ctg x	-1/sinІx

f(x)	F(x)+C
0	C
1	x+C
x	xІ/2+C
xЄ	xЄ⁺№/a+1+C a≠1
1/x	ln| x |+C
1/xІ	-1/x+C
1/xі	1/2xІ+C
1/(1+xІ)	arctg x+C
1/aІ+xІ	1/a·arctg x/a+C a≠0
1/1-xІ	1/2·ln| (1+x)/(1-x) |+C
1/aІ-xІ	1/2a·ln| (a+x)/(a-x) |+C a≠0
x/xІ+a	1/2·ln| xІ+a |+C
1/√(1-xІ)	arcsin x+C
1/√(aІ-xІ)	arcsin x/a+C
eⁿ	eⁿ
aⁿ	aⁿ/ln a
ln x	x ln x –x +C
sin x	-cos x+C
cos x	sin x+C
tg x	-ln | cos x |+C
ctg x	ln | sin x |+C
1/cosІx	tg x+C
1/sinІx	-ctg x+C

1. Понятие числа (от натур. до комплексного)

2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Возведение в степень комплексного числа

5. Извлечение Є из комплексного числа

6. Последовательность и её предел

7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)

8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ

9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)

10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)

11. Признаки Даламбера и Коши

12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)

13. Прямая и обратная функция (примеры)

14. Предел ф-ии в точке

15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий

16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий

17. Непрерывность ф-ий ВЄ и LOGaX

18. Непрерывность тригонометрической ф-ии

19. 1-ый замечательный предел

20. 2-ой замечательный предел и его применение для

начисления непрерывных %

21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий

23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий

24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ

25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)

26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.

27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)

28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл

29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.

30. Понятие асимптот и их нахождение

31. Степенной ряд и область его сходимости

32. Разложение ф-ий в степенные ряды

33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов

34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)

35. Интегрирование по частям

36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби

37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница

38. Применение опр. интегралов

39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов

40. Несобственные интегралы

41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала

42. Экстремум ф-ий нескольких переменных

43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44 Понятие ДУ и методы его решения.

1.Промежутки, окресности.Верхняя и нижняя грань числового множества.Точные грани и их свойства.

Интервалы и отрезки - это конечные числовые промежутки. Промежутки бывают следующих типов:

Интервал : строгое неравенство(a

: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-εε(а)

Числовое множество называется ограниченным сверху если все числа данного числового множества меньше некоторого числа В

Точная верхняя грань-найменьшая из всех верхних граней(sup{X}). inf{X}-точная нижняя грань

Свойства точных граней: Теорема:

M=Sup{X} необходимо и достаточно выполнение : 1)x>M=>x не принадлежит X. 2)Для любого С < M есть хотя бы 1 х из Х => C

Док-во

1Необходимость.Дано M=Sup{X} Доказать 1,2.Док-во

1.т.к.M-sup{X}=> 1 из верхних граней, то по определению для х из Х=> х<=М, а значит он не может быть >M =>x не из Х

2.Берем С для всякого х<=с, а это значит, что С есть М и при этом С<М, а значит М не есть sup{X}, что противоречит условию=>x>c

2.Достаточность.Дано:1,2.Доказать: что М=sup{X}.Док-во.

1.Из 1пункта следует, что М есть верхняя грань{X},(x>M=>х не их Х=> любое х из Х меньше М)

2.Из пункта 2 есть х>с=> с ни есть верхняя грань=> М наименьшая из всех верхних граней.

В2.Абсолютная величина и ее свойства.

Модуль числа x - это найбольшее из {+x и -x}. Так же модулем числа x называется само число x, если x>=0 и –x при x<0

Свойства

1)|x|>=0 из определения(|x|=max{x, -x})

2)-|x|<=x<=|x|

a)x=0 -0=0=0

б)x<0 x=-|x| |x|=-x -|x|=x<|x|

в)x>0 -|x|

3)если a>=0, |x|<=a -a<=x<=a

x>0 , |x|=x x(>=0)=0) => -a<=x<=a

x<0 , |x|=-x a(<0)>-x(>0) x=x>=-a

4) |x+y|<=|x|+|y|

-|x|<=x<=|x| |x|=max{x,-x}

-|y|<= y<=|y| |x|=max{x,-x}

-(|x|+|y|)(это -а)<=x+y<=(|x|+|y|)(это а) –max{x,-x}=-|x|

x>=-max{x,-x} |x-y|<=|x|+|y|

5.|x-y|>=||x|-|y||

|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y| |x-y|>=|x|-|y| |y|=|y-x+x|<=|y-x|+|x|=|x-y|+|y| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=max{|x|-|y|,|y|-|x|}

6. |x*y|=|x||y|

3.Определение функции, способы ее задания.Функции четные и нечетные

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x	1	2	3
y	4	5	8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Чётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f(-х)=f(x) при всех х.

Нечётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f (-x) = -f (x).

Монотонная функция функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)2)

2. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

4. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁2f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ((у), является обратной по отношению к данной функции у = f(x). Например, х = есть О. ф. по отношению к у = х3.

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³  x=³y

D=R

E=R

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

5.y=c где c -постоянная

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1;1]

4.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.

Число А называется пределом ф-ции f(x) при хx₀, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если 0<|x-x₀|<, то |f(x)-A|< и х!=х₀

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

Док-во

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а№ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

2. limC=C, где С- постоянная величина

Св-ва б.м.в.:

Если -б.м.в., то lim=0

Это по определению(d(x) –называется БМВ в точке х₀, если lin d(x)=0 при x->x₀)

1. Если и - бесконечно малые при , то сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при .

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при ;

Доказательство

1. В качестве выберем такое число , что

Обозначив , получаем:

.

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т.е. - бесконечно малая. 

2. - ограничена при , т.е. .

Тогда в качестве можно выбрать число . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т.е. - бесконечно малая при .

3. Докажем лемму. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно!).Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при - бесконечно малые. По доказанной лемме - ограничена. Следовательно, по свойству 2 данной теоремы - бесконечно малая.

 Cвязь предела и БМВ

Теорема Для того, чтобы f(x) имела конечный предел в х₀. Необходимо и достаточно, чтобы она была представима: f(x)= a+A(x), где A(х)- БМВ в х₀ a=Lim f(x) при x->x₀

Док-во: 1.Необходимость.есть хотябы 1 a=Lim f(x) x->0 Доказать: f(x)=a+A(x)Док-во.

Обозначим A(X)=f(x)-a и любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a|=A(x)

2.Достаточность.Есть f(x)=a+A(x) Доказать a=LimF(x) при х->x₀ Док-во

| любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a|=|A(x)|

В5.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с БМВ.

Неограниченной величиной(НВ)-g(x) неограниченна в х₀, если любое М>0 и любое D>0 есть хотябы 1 х: 0<|x-x₀||g(x)|>M

График- правая ветвь параболы.

g(x) - ,бесконечно большая в х₀, если Lim(g(x))=беск x->x₀

Всякая ББВ величина неограничена

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/=0; 1/0=)

Док-во Пусть f(x) ББВ,то , если любое E>0 и любое D>0 есть хотябы 1 х: 0<|x-x₀| f(x) >1/E=>|1/f(x)|

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

В6.Предел последовательности.Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.

Последовательность- функция целочисленного аргумента.

Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа (эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<

limx_n=a

n -n-a< a-n

Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n<=M.

Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.

Lim a_n=a n->беск возмем m и M любое n => m<=a_n<=M любое E>0 есть хоть 1 N любое n>N=> |a_n-a|-En-aa-En1-min из послед a_n M-max из послед a_n m=min{m₁,a-E} M=max{M₁,a+E} mn

Функция монотонно возрастающей, если из -строго монотонно возрастающей, если из - монотонно убывающей, если из -строго монотонно убывающей, если из . Докажем одну из возможных здесь теорем. Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева. Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при. По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума(1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .) отсюда следует, что существует конечный . Покажем, что . По свойствам супремума 1. 2. Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности а) б) Поэтому имеем Выбрасывая лишнее получим, что или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

В7.Предельный переход в равенствах в неравенства. Теорема о “двух милиционерах.”

Теорема.Пусть во всех точках некого мн-ва f(x)<=g(x) и при этом есть конечные пределы, тогда ax₀ получаем a<=b.

Док-во.Пусть a>b и E=(a-b)/4 есть хоть1 D₁ и любой х: |x-x₀|-D₁=>|f(x)-a| -(a-b)/4< f(x)-a<(a-b)/4 (3a+b)/4

есть хоть1 D₂ и любой х: 0<|x-x₀|1=>|g(x)-b|

Теорема о “двух милиционерах”: Пусть нам заданы 3 функции на определенном промежутке, связанные следующим образом f(x)<=g(x)<=h(x) и еще выполняется Lim f(x)=a Lim h(x)=a при x->x_{0 ,}то получаем, что Lim g(x)=a при x->x₀.

Док-во: берем E₁ и D₁ для h хоть одно E>0 любое D>0 любое х: 0<|x-x₀| |f(x)-a| -D

В8.Первый замечательный предел.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMNсек_OMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)

sin(x)

1

lim (1-cos(1/n))=0

^n+

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

^{x0 x0}

lim (x/sin(x))=0

^x0

x>0 lim (x/sin(x))=1

^x0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x0 x0}

В8.Первый замечательный передел

Первым замечательным пределом называется предел

        Теорема 2.14   Первый замечательный предел равен

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть  -- площадь треугольника ,  -- площадь кругового сектора , а  -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы

В9.Второй замечательный предел

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] nx

[1+1/(n+1)]ⁿ(1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)](1+1/x)^x(1+1/n)ⁿ(1+1/n)  lim(1+1/x)^x=e

^x+

В10.Пределы, связанные со вторым замечательным пределом.

1. . 2. 

3. . 4. .

5. . 6.  при a>1 и m>0.

7.  при a>1 и m>0. 8.  при a>1 и m>0.

В11.Арифиметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.

В12.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями

Определение: функция f(x) непрерывна, если: 1)она определена в х₀ и некоторой ее окресности.2.Lim f(x)=f(x) при x->x₀

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.в качестве примера y=x­­².

Арифметические опрерации: f(x)+-/*g(x) если функции непрерывны в х₀

В13.Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элеменетарных функции.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . 

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=(t). Тогда комбинация y=f((t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции (t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t) => y= e^sin(t)

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция . При возрастании x от 0 до возрастает или убывает на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции , , , , , . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .

Обратные тригонометрические функции , , , . Первые две непрерывны на , остальные - на

В14.Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквиваленты бесконечно малых. Основные примеры

Сравнение бесконечно малых

        Определение 2.16   Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и , бесконечно малые при базе . Предположим также, что при всех . Пусть существует

Если , то бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что и . Этот факт обозначается так:

Если же , то имеет больший порядок малости, чем . Это обозначается так:

Заметим, что если , то для всех из некоторого окончания базы будет выполнено неравенство . Это сразу следует из того, что

        Предложение 2.2   Если при базе бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что , то и имеет тот же порядок малости, что , то есть

(S)

Если две бесконечно малых и одного порядка малости, и две бесконечно малых и тоже одного порядка малости при базе , то две величины и также имеют один и тот же порядок малости при базе , то есть

(T)

Кроме того, бесконечно малая величина имеет тот же порядок малости, что она же сама:

(R)

        Доказательство.     Поскольку то , откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

где

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения     

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение , заданное в множестве бесконечно малых при данной базе величин , является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения , заданного в некотором множестве объектов , означает, что выполнено свойство
(R): ,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): ,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): .

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом попадают все объекты , для которых .

Поэтому все бесконечно малые при данной базе величины разбиваются на классы по отношению , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

        Пример 2.31   При базе величины и , где и , , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел постоянно и его предел равен . Например, при величины и имеют один и тот же порядок малости.

При базе величина имеет больший порядок малости, чем , при :

так как . Если степени и определены и при , то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы . Например, при величина  -- большего порядка малости, чем . При величина  -- большего порядка малости, чем , а  -- величина большего порядка малости, чем .     

        Пример 2.34   Поскольку, как мы видели в примерах выше, и , то  -- величина большего порядка малости, чем .     

        Определение 2.17   Пусть и  -- бесконечно малые при базе и

Тогда бесконечно малая называется эквивалентной бесконечно малой при базе . Это обозначается следующим образом:

Очевидно, что если величина эквивалентна величине , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом ). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение , (так же, как и отношение ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

        Предложение 2.4   Если при базе бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой , то и эквивалентна :

(S)

Если две бесконечно малых и эквивалентны, и две бесконечно малых и тоже эквивалентны при базе , то две величины и также эквивалентны при базе :

(T)

Кроме того, величина эквивалентна себе самой:

(R)

        Доказательствоповторяет доказательство предложения 2.2.    Нужно только учесть, что .     

Итак, отношение эквивалентности обладает свойствами симметричности (S), транзитивности (T) и рефлексивности (R) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением .

        Пример 2.35   Согласно первому замечательному пределу, Это означает, что

Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что Это означает, что

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

        Предложение 2.5   Пусть существует предел где и  -- бесконечно малые при базе . Пусть также и . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Для доказательства напишем такое равенство:

и заметим, что эквивалентность величин и , и означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1.     

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

        Предложение 2.6   Пусть , и существует предел

Тогда и можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть

        Предложение 2.7   Пусть , и существует предел . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые большего порядка можно отбрасывать как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида величина предела от этого не изменится.

        Доказательство.     Согласно предложению 2.5, достаточно доказать, что если , то . Но это следует из такой цепочки равенств:

        Пример 2.36   Вычислим предел

Для этого заметим, что, как мы проверяли выше,  -- величина большего порядка малости, чем . Аналогично проверяется, что  -- величина большего порядка малости, чем . Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то

Далее, поскольку , очевидно, эквивалентен (согласно первому замечательному пределу), а эквивалентен , то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на :

При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

        Предложение 2.8   Пусть и . Тогда:
1)
и
2) при любом (в случае, если степень определена только при , нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство .

(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку  -- не обязательно целое число.)

        Доказательство.     Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что

если известно, что

и

Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2.9).

Второе утверждение означает, что

если известно, что

Это следует из того, что степенная функция непрерывна при любом , если . Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:

В случае степенной функции , сделав замену переменного и связанную с ней замену базы, мы получим, что

Беря , получаем, что

что и требовалось доказать.     

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) ( ). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

В15.Сохранение знака непрерывной функции.Понятие равномерной непрерывности.

Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что , то есть

Тем самым непрерывность функции на интервале или отрезке означает, что

При этом мы имеем право выбирать число в зависимости от и, главное, от точки .

Предположим теперь, что число можно выбрать общим для всех (но, конечно, зависящим от ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по .

Дадим теперь такое

        Определение 3.5   Пусть  -- некоторая функция и . Функция равномерно непрерывна на , если
    

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси . Фиксируем число и положим . Выберем теперь любые две точки и , такие что , и покажем, что тогда . Действительно,

так как, во-первых, при всех и и, во-вторых, при всех (у нас ). Таким образом. равномерная непрерывность функции доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

        Пример 3.16   Пусть функция рассматривается на интервале . Если фиксирована точка , то для заданного мы можем выбрать так, что при всех таких, что ; для нахождения нужно решить неравенство относительно (напомним, что точка фиксирована):

Из чисел и выберем минимальное:

Тогда при будет . Проанализируем, однако, зависимость от : при , приближающемся к 0, значения будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении ), что хорошо видно на следующем чертеже:

Рис.3.25.Изменение в зависимости от положения точки

При приближении точки к началу координат нам приходится по одному и тому же выбирать всё меньшие -окрестности точки , чтобы обеспечить выполнение неравенства . Выбрать общим для всех , очевидно, невозможно: при заданном какое бы фиксированное число ни было взято, мы можем поместить точку так близко от 0, что значения и будут отличаться друг от друга больше, чем на , хотя . Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале .     

        Теорема 3.10   Пусть и функция непрерывна на . Тогда равномерно непрерывна на .

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок является компактом⁹. Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С.М., Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991; Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.     

В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,

        Следствие 3.1   Любая функция , непрерывная на замкнутом отрезке , ограничена на (то есть существует такое число , что при всех ).

Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):

        Доказательство.     Фиксируем какое-либо число , например , и выберем такое, что при всех , для которых , будет . Разобьём на отрезки длины :

(мы положили ;¹⁰ длина последнего отрезка может оказаться меньше ). Выберем в качестве середину каждого из отрезков:

Тогда для каждого выполняется неравенство и, следовательно, . Это неравенство эквивалентно такому: , или . Поскольку точек конечное число (а именно, ), то мы можем взять минимальное из чисел , , и максимальное из чисел , :

Тогда для любого верно неравенство , и осталось взять . При этом для любого будет , что означает ограниченность функции на .     

Теорема кантора Если функция непрерывна на [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Равномерная непрерывность — одно из важнейших понятий математического анализа. Функция называется равномерно непрерывной на некотором множестве E, если:

Очевидно, что если функция равномерно непрерывна на E, то она непрерывна на нём, только в данном случае дельта не зависит от эпсилон. Но обратное верно далеко не всегда. Например, функция y=1/x в интервале (0, 1) не равномерно непрерывна, т. к. при любом эпсилон можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на эпсилон.Однако если функция «обычно» непрерывна на отрезке, то она и равномерно на нём непрерывна, об этом говорит теорема Кантора.

В16.Теорема Больцмана-Коши и Вейрштрасса о свойствах непрерывности на отрезке функции

Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.

Док-во

1. Поскольку посл-ть ограничена, то  m и M, такое что  mxnM,  n.

1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти.

2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. 2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - 3. Делим отрезок 3 … и т.д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках,  единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам 1, какую-либо т-ку n1. В отрезке 2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке 3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnkk.

Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда  т-ка с  (a,b) в которой ф-ция обращается в 0.

Док-во

Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)<0. Мн-во Х не пустое. Х [a,b], значит х ограничено, поэтому оно имеет точную верхнюю грань. c=supx. acb покажем a

Теорема Вейерштрасса Непрерывная ф-ция на отрезке ограничена.

Док-во Предположим что ф-ция не ограничена. Возьмем целое пол-ное n, т.к. ф-ция не ограничена, то найдется xn[a,b], такое что f(xn)>n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnkx0. По т-ме о предельном переходе к неравенству.

axnkb ax0b x0[a,b]

Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0)

f(xnk)>nk, a nkf(xnk), т.е. f(xnk) б/б посл-ть.

С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к , пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.

В17.Производная и ее свойства.

1. _cp.=S/t, =lim(S/t), где t0

2. p_cp.=m/l, p_T=lim(m/l), где l0

y=f(x+x)-f(x), y=f(x)

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)

x0 x0

Определение. Если отно­ше­ние имеет предел при этот предел называ­ют производной функции при заданном значении и за­пи­сывают

. (1)

Замечание. Если при не­ко­то­ром значении , су­щест­ву­ет производная функции при этом значении, то в этой точке функция непрерывна.

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+x)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(y/x)=lim((f(x+x)-f(x))/x)=dy/dx

x0 x0

Вычисление производной: lim(y/x)=y` x0

1) если y=x, y=x, y`=x=lim(y/x)=1.

2) если y=x², y=(x+x)²-x²=x²+2xx+x²-x²=x(2x-x),

(x²)`=lim((x(2x+x))/x)=lim(2x+x)=2x

x0 x0

Геометрический смысл производной.

KN=y, MK=x

MNK/tg2=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg₀=y`

₀

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg₀=y`, ₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х₀) и lim[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f’(x₀)< [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)=f(x₀)+(x-x₀)¹

^∆xx_

[f(x)-f(x₀)]=f’(x₀)(x-x₀)+(x-x₀)(x-x₀) при хх₀

lin[f(x)-f(x₀)]=limf’(x₀)(x-x₀)+lim(x-x₀)(x-x₀)=0+0=0linf(x)=f(x₀) то есть f(x) непрерывна в точки х₀

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х₀ не следует существование функции в этой точки.

Пусть функция f имеет производную в точке х (конечную): lim_x0y/x=f'(x). Тогда y/x для достаточно малых x можно записать в виде суммы f'(х) и некоторой функции, которую мы обозначим через (x) и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с х: y/x=f'(x)+ (x) (при (x)0, x0) и приращение f в точке х может быть записано в виде y=f'(x)x+x(x) (при (x)0, x0) или y=f'(x)x+o(x)_x0 [1]. Ведь выражение о(x)_x0 понимается как функция от x такая, что её отношение к x стремится к нулю вместе с x.

Определение: Функция f наз. дифференци­руемой в точке х, если её приращение y в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+o(x)_x0 [2],

где, А не зависит от x, но вообще зависит от х.

Теорема №2: Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х, т.е. чтобы её приращение в этой точке представлялось по формуле [2], необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда A=f'(x).

Таким образом, сказать, что f имеет производную в точке х или f дифференцируема в точке х – это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной наз. ещё дифференцированием функции. Доказательство теоремы №1: Достаточность условия доказана выше: из существования конечной про­изводной f'(х) следовала возможность представления y в виде [1], где можно положить f'(x)=A. Необходимость условия: Пусть функция f диф­ференцируема в точке x: Тогда из [2], предполагая x0, получаем y/x=A+(o(x)/x)_x0=A+o[1]_x0. Предел правой части при x0 существует и равен А: Это означает, что существует производная f'(x)=A.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Покажем это. Пусть некоторая функция у, равная имеет приращение . Тогда функции и тоже должны получить приращения и , соответственно. Новое значение будет , а для – , следовательно,

Найдем по определению (2) производной

.

2. Производная произведения равна . Покажем спра­вед­ли­вость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать приращение , то функции u и v также получат приращение, следовательно, и функция тоже изменится. Найдем .

.

По определению производной

Если необходимо вычислить производную нескольких сомножителей, например, , если все три функции имеют производные в точке , используя правило вычисления производной для двух сомножителей, получим

3. Производная частного. Рассмотрим функцию , причем, кроме су­щес­твования производных в точке для функций и необходимо по­ло­жить, что в точке отлична от нуля. Найдем . и тогда из определения производной имеем . Пример. Показать, что . Решение. Используя производную частного

18.Производная основных элементарных функций

19.Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических.

Производная обратной функции:

Пусть функция у=f(х) строго возрастает, непрерывна на интервале (а,b) и имеет конечную не равную нулю производную f'(х) в некоторой точке х(a,b). Тогда об­ратная для f функция х=f^–1(у)=g(y) также имеет производную в соответствующей точке, определяемую ра­венством g'(y)=1/f'(x) [1] или x'_y=1/y'_x [1'] Доказательство: Как нам известно, обратная функция x=g(y) строго возрастает и непрерывна на интервале (A,В), где A=inf f(x), В=sup f(x)

^{x(a,b) x(a,b)}

(По теореме о обратной непрерывной функции: Пусть функция f непрерывна и строго возрастает на (a,b) (или на [a,b), или (a,b]) и =inf f(x), =sup f(x)

^{x(a,b) x(a,b)}

Тогда образ интервала (a,b) (соответственно [a,b), (a,b]) есть интервал (,) (соответственно [,), (,]) и обратная к f функция x=g(y) однозначна, строго возрастает и непрерывна на (,) [,), (,])). Дадим рассматриваемому у приращение y0. Ему соответствует приращение x обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности f. Поэтому x/y=1/(y/x). Если теперь y0, то в силу непрерывности g(y) при­ращение x также 0; но при х0 y/xf'(x)0, =>, существует предел lim_y0x/y=1/(lim_y0y/x)=1/f'(x). Этим формула [1] доказана. Примечание: Если f'(x)0 непрерывна на (a,b), то g'(y) непрерывна на (A,B). Это следует из [1], где можно положить x=g(y): g'(y)=1/f'[g(y)] (y(A,B)). Ведь сложная функция f'[g(y)], состоящая из непрерывных функций f' и g, непрерывна.

Основные формулы:

Для сложных функций:

В20.Производная сложной функции. Логарифмическая производная. Производная функции,заданной неявно.

Теорема №1: Если функция x=(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=(t). Придадим t приращение t0. это вызовет приращение x=(t+t)– (t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x, имеем

y=f'(x)x+(x)x (4), где (x)0 при х0. Будем считать, что (0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него x=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на t0: y/t=f'(x)(x/t)+ (x)(x/t) (5). Пусть t0. Тогда, потому что функция x(t)(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при t0. Тогда x0 и (x)0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=(x), x=() и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_=z'_yy'_xx'_

Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения ;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х, .

в) заменить его выражением через х .

Пример:

§6. Метод логарифмического дифференцирования.

5. Дифференцирование неявных функций Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х. а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ; б) из полученного уравнения выразим .

Пример:.

В21.Приращение и дифференциал функции одной переменной.Условия существования диффренциала. Инвариантность форм записи дифференциала первого порядка.

Дифференциал функции:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х: т.е. для её прира­щения у в этой точке выполняется равенство [2]. Тогда у есть сумма двух слагаемых. Первое из них A x про­порционально x, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от х. Второе – о(х)_x0 является бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с x. Если А0, то второе сла­гаемое стремится к нулю при x0 быстрее, чем пер­вое. В связи с этим первое слагаемое A x=f'(x)x наз. главным членом приращения y. Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом dy. Итак, по определению dy=df=f'(x)x. На (рис. 47) изображен график Г функции y=f(x);

Т –касательная к Г в точке A, имеющей абсциссу х; f'(x)=tg, где  – угол, образованный касательной с осью х; dy=f'(х)x=tgx=CD, DB=y–dy=o(x)_x0. Таким образом, дифференциал функции у в точке х, соответствующий приращению x, есть приращение ординаты точки, ле­жащей на касательной (dy=CD). Вообще говоря, dyy, ибо y=dy+ o(x)_x0, а второй член этой суммы, вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у=Ах+В имеет место ра­венство у=А x=dy для любого х. В частности, для у=х, dy=dx=x т.е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx=x). По­этому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так: dy=f'(x)dx, откуда f'(x)=dy/dx,

т.е. производная функции f в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной х.

Это объясняет, что выражение dy/dx употребляется как символ для обозначения произ­водной. Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен x – произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx. Отметим формулы:

d(u)=dud [3]; d(u)=ud+du [4]; d(cu)=cdu (c – постоянная) [5]; d(u/)=(du–ud)/² (при 0) [6]; где предполагается, что u и  – дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х. Например, формула [6] доказывается так:

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х₀) – она называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x)¹

(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х₀:

dy=df(x₀)A∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х₀ то A=f’(x₀), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x₀); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то есть в некоторой О(х₀) справедливо равенство ∆f(x₀)=A∆x+(∆x)∆x¹; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x₀))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

^{∆x0 ∆x0}

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х₀  f’(x₀)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х₀) и  lim(∆f(x₀))/∆x=f’(x₀) по определению предела следует, что в некоторой О(х₀)

^∆x0

(∆f(x₀))/∆x=(∆х)+f’(x₀) при ∆х0  ∆f(x₀)=f’(x₀)+(∆x)∆x, так как lim(∆x)=0, то в точке х₀ y (∆x) может

^∆х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x  A=f’(x₀) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x₀)=f’(x₀)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x₀=/2 ∆x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1∆x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а z=g(y) дифференцируема в точке у₀=f(x₀), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х₀ и z’(x₀)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y₀)∆y+(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x₀)∆x+(∆x)∆x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y₀)f(x₀)∆x+g’(y₀)(∆x)∆x+[f’(x₀)+(∆x)∆x][f’(x₀)∆x+(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x₀)f’(x₀)+limg’(x₀)(∆x)+lim (f’(x₀)+(∆x)∆x)[f’(x₀)+∆x]  z’(x₀)=g’(y₀)f’(x₀) что и требовалось

^{∆x0 ∆x0 ∆x0 ∆x0}

доказать.Св-ва:
1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Инвариантность форм записи: дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент и был независимой переменной. Иначе:форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Найдем диф.сложной функции: y=f(u), u=g(x) или y=(f(g(x))). По правило диффер.сложной функции: dy/dx=f’(u)g’(x) => dy=f’(u)g’(x)dx но g’(x)dx=du поэтому dy=f’(u)du

В22.Геометрический смысл дифференциала функции одной перменной. Касательная и нормаль к плоскости.

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x₀)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y₀=f(x₀)=kx₀+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x₀)

Y=f(x₀)+f(x₀)-f’(x₀)x₀

b=f(x₀)-kx₀

Y=f(x)+f’(x₀)(x-x₀)

∆f(x₀)=f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0  в некоторой

O(x₀) f(x₀)=f’(x₀)+f’(x₀)∆x+(∆x)∆x при ∆х0

Y¹=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)^a=f’(x₀)+f’(x₀)∆x

df(x₀)=f’(x₀)∆x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x₀) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х₀;f(x₀).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х₀.

Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х₀) заменяется отрезком касательной в точке х₀.

(*) f(x)-Y=(∆x)∆x-o(∆x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀), xx₀

Y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) – уравнение касательной в точке х₀

Формула получена из определения дифференциала в точке х₀ функции

f(x)=f(x₀)+f(x₀)∆x+o∆x при ∆х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х₀.

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку М(х, у), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kх + b. Поскольку для касательной k=f ў(x), то получаем уравнение y=f ў(x)Чx + b. Параметр b  найдем из условия, что касательная проходит через точку М(х,). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: у= f ў(x)Чx + b . Отсюда  b=y– f ў(x)Чx.

Таким образом, получаем уравнение касательной  y=f ў(x)Чx +y - f ў(x)Чx или 

y = f ў(x)Ч(x – x) + f(x)

Если касательная, проходящая через точку М(х,) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение х=х.

 

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной к равенством:

= tg b = tg(90° + a) = - ctg a =  =   =.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку М(х, у), то уравнение нормали к кривой y=f(x) в данной точке М имеет вид:

y = Ч(x – x)+f(x0)

       Ясно, что если касательная параллельна оси Ох, т.е.  f ў(x)=0 и ее уравнение имеет вид       у=у, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ох. Значит, ее уравнение имеет вид х=х.

В23.Производные и дифференциалы порядка выше первого функции одной переменной. Нарушение инвариантности форм записи. Линейная замена переменной. Производные функции, заданной параметрически.

Существует f’(x)  x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x)  x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)

Диф.высших порядков не инвариантен: d² y=d(F’(u)du) Но здесь du=g’(x)dx зависит от х и поетому мы получаем d²y=d(F(u))du+F’(u)d(du) или d²y=F’’(u)(du)²+F’(u)d²u где d²u=g’’(x)(dx)²

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,тогда , или риме:

В24.Точка монотонности функции и достаточное условие их существования.Точки экстремума функции.Необходимое условие экстремума функции..

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)1), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁2, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)1)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tg>0, то f`(x)>0

если tg<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить  касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

В25 Теорема Роля и ее геометрический смысл.

Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]

Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

В26.ТеоремаЛангранжа и Коши о диф.на отрезках функциях.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то  с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где  - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b)  f(a)-f(b)=(a-b)  =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b]   c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+ 0=f’(c)+  f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a] То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая [f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x)  c(a,b) Замечание:Часто точку с можно представить в

нужном виде: с=х₀+∆х 0<(c-x₀)/(x-x₀)= <1 c-x₀=(x-x₀) c=x₀+(x-x₀)¹ f(x)-f(x₀)=f’(x₀+∆x)(x-x₀) 0<<1 ∆f(x₀)=f’(x₀+∆x)∆x

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Ролля для функции g(x)

F(x)=(f(x)-f(a)) (g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a)) –вспомогательная фун-я

Требуем:1.F(x) определена и непрерывна на всем [a;b]т.к. она линейная кобминация непрерывных.2.F(x) дифференцируема на всем промежутке т.к. коомб. 3. F(a)=0 F(b)=0

F(a)=F(b)=0 – все условия т.Ролля => внутри [a;b] есть С, где F’(C)=0 выразим это f’(x)(g(b))-g(a))-(f(b)-b(a))g’c=0

_{Справедлива, тюк. g(b)!=g(a)по Ролю}

_{В27.Правило Лопиталя.}

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)0 в О(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и 

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда  lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их₀ если

^xx_ ^xx_ ^xx_

хх₀ то сх₀=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_

Замечание(1): f(x₀)=g(x₀)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х₀ f(x) и

^xx_ ^xx_

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x₀)=g(x₀)=0

Замечание(2): Если  f’(x₀) и g’(x₀), g’(x₀)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x₀)(f’(x₀)+(x-x₀))]/ [(x-x₀)(g’(x₀)+ (x-x₀))]=f’(x₀)/g’(x₀)

^xx_ ^xx_ ^xx_

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О(х₀), g'(x)0 и О(х₀), дифференцируемы в О(х₀) и

lim f(x)=lim g(x)=;  lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_ ^xx_

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=e^x g(x)=xⁿ x

lim e^x/xⁿ= lim e^x/1!= nN lim e^x/xⁿ= lim e^x/nx^n-1₌ lim e^x/[n(n-1)x^n-2]=lim e^x/n!=+

^{x+ x+ x+ x+ x+ x+}

f(x)=lnx

x+

g(x)=xⁿ

lim lnx/xⁿ= lim (1/x)/nx^n-1= lim 1/nxⁿ=0

^{x+ x+ x+}

В28.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа.

Пусть на интервале [a, b] функция f(x) дифференцируема n раз и выполняются следующие равенства:

f(a) = f(b) = f '(a) = f ''(a)= ... = f ^(n-1)(a)=0

Тогда внутри интервала [a, b] найдется хотя бы одно значение с, при котором

f ⁽ⁿ⁾(c) = 0

   Доказательство. По теореме Ролля имеем

f '(x₀ ) = 0,

где a < x₀ < b. Тогда f '(x) на интервале [a, x₀] удовлетворяет теореме Ролля, так как, по условию, f '(a) = 0 и f '(x₀ ) = 0, а потому

f ''(x₁ ) = 0,

где a < x₁ < x₀.
   Применяя теорему Ролля последовательно к функциям f ''(x), f '''(x), ..., f ^(n-1)(x), найдем наконец:

f ⁽ⁿ⁾(с) = 0,

где a < c < x_n-1 < b . Теорема доказана.
   Выведем теперь формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
   Пусть функция f (x) дифференцируема n раз на интервале [a, b].
   Рассмотрим вспомогательную функцию

(x) = f (x) - P (x),

где

   Продифференцируем n раз функцию (x). Тогда будем иметь

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
^(n-1)(x) = f^(n-1)(x) - A_n-1 - A_n(x - a),
⁽ⁿ⁾(x) = f⁽ⁿ⁾(x) - A_n

   Потребуем, чтобы функция (x) удовлетворяла условиям обобщенной теоремы Ролля. Тогда будем иметь

     (1)
.

   Так как функция (x) удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Ролля, то найдется такое значение с (a < c < b), что

⁽ⁿ⁾(с) = f⁽ⁿ⁾(с) - A_n = 0     (2)

   Далее найдем из n первых уравнений системы (1) коэффициенты A₀ , A₁ , ..., A_n-1:

A₀ = f(a), A₁ = f'(a), A₂ = f''(a), ..., A_n-1 = f^(n-1)(a),

а из уравнения (2) коэффициент A_n: A_n = f⁽ⁿ⁾(c) и подставим их значения в последнее уравнение системы (1):

,

где 0 <  < 1
   Заменяя b на x, получим формулу Тейлора:

где 0 <  < 1
   Последнее слагаемое

называется остаточным членом в форме Лагранжа.
   При a = 0 получается так называемая формула Маклорена:

где 0 <  < 1, а остаточный член записывается в виде

В29.Условие монотонности функции на промежутке. Условие постоянства функции на промежутке и его свойства.

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a;b] и имеет конечную производную во всех точках.Для того, чтобы функ-я была постоянной достаточно чтобы производная=0 в каждой точке отрезка.

Док-во по теореме лангранжа есть хоть одно С из (x₀,x) для которого f(c)=f(x₀)+f’(c)(=0)(x-x₀) (f’(x)-f(x))/(x’-x₀)=f’(c) f(x)=f(x)

Следствие: f(x) и g(x) непрер, имеют производн и если производн совпад., то фун-и отличаются на постоянную величину.

Док-во: h(x)=f(x)-g(x) h’(x)=f’(x)-g’(x)=0 f-g=c f=g+c

В30.Достаточные признаки экстремума функции 1 переменной

Экстремумы функции.

Можно указать О(х₁) в которой все значения функции

f(x)1) b и О_1(х₁) анологично для точки х₂

f(x)>f(x₁) b и О_2(х₁). Значенгие функции в точке М₁, М₃ и М₅ –

max; M₂ и М₄ – min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х₀) и f(x)>f(x₀) в

О(х₀) или f(x)0) в этом случае точка х₀ – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)f(x₁) в О_1(х₁)

f(x)f(x₂) в О_2(х₂)

говорят, что точки х₁ и х₂ точки не строгого локального

экстремума.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х₀ и точка х₀ – точка экстремума, тогда f(x₀)=0

Доказательсто: Заметим, что х₀ точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x₀) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x₀)=f(x)-f(x₀)(x-x₀)+o(x-x₀)

f(x)-f(x₀)=(x-x₀)[f(x₀)+(x-x₀)] то при х – достаточно близких к х₀ знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x₀)0 (x-x₀) – меняет знак при переходе черех точку х₀  f’(x₀)=0

Функция u=f(Р) имеет максимум (минимум) в точке P₀(x⁰₁,...,x⁰_n), если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек Р (x₁,...,x_n)которой, отличных от точки P₀, вы­полняется неравенство f(Р₀)>f(Р) (соответственно f(Р₀)экстремумом. Необходимое условие экстремума: Если дифферен­цируемая функция f(Р) достигает экстремума в точке P₀, то в этой точке

f'_xk(P₀)=0 для всех k=1,2,...,n {1} или df(P₀,x₁,...,x_n)=0 тождественно относительно ,x₁,...,x_n. Точки, в которых выполняются условия {1} наз. стационарными точками функции u=f(Р). Таким образом, если P₀ – точка экстремума функции u=f(P), то либо P₀ – стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть P₀(x⁰₁,...,x⁰_n) – стационарная точка функции u=f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Тогда: (1) если второй дифференциал d²u(P₀(x₁,...,x_n)) как функ­ция x₁,...,x_n имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, то функция u=f(P) имеет в точке P₀ экстремум, а именно – максимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))<0 и минимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))>0; (2) если d²u(P₀(x₁,...,x_n)) является знакопеременной функ­цией x₁,...,x_n, т.е. принимает как положительные, так и отри­цательные значения то точка P₀ не является точкой экстремума функции u=f(P); (3) если d²u(P₀(x₁,...,x_n))0 или d²u(P₀(x₁,...,x_n))0, причем, существуют такие наборы значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция, u=f(P) в точке P₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y) причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Введем обозначения: A=f''_xx(x₀,y₀), B=f''_xx(x₀,y₀), C=f''_xx(x₀,y₀) D=AC–B². Тогда: [1] если D>0, то функция z=f(х,у) имеет в точке Р₀(x₀,y₀) экстремум, а именно – максимум при А<0 (С<0) и минимум при А>0 (С>0); [2] если D<0, то экстремум в точке Р₀(x₀,y₀) отсутствует; [3] если D=0, то требуется дополнительное исследование.

В31.Вогнутость, выпуклость, точки перегиба графика функции. Условиях их существования

Выпуклость и вогнутость.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условие выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

^{(  ) x}

x₀

f’’(x)<0 в O^-(x₀) f(x) – выпукла вверх в О^-(х₀)

f’’(x)>0 в O⁺(x₀) f(x) – выпукла вниз в О⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

В32.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х₀ называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х+

функции на бесконечности.

В33.Функции нескольких переменных: открытые множества, окресности, области.Пределы и непрерывность функции.

Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀М, если каждому значению как угодно малого числа (дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число >0, если |M₀M|=, то |f(M)-A|<

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰  x₁

x₂⁰  x₂

Точки экстремума и экстремумы функций:

Функция u=f(Р) имеет максимум (минимум) в точке P₀(x⁰₁,...,x⁰_n), если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек Р (x₁,...,x_n)которой, отличных от точки P₀, вы­полняется неравенство f(Р₀)>f(Р) (соответственно f(Р₀)экстремумом. Необходимое условие экстремума: Если дифферен­цируемая функция f(Р) достигает экстремума в точке P₀, то в этой точке

f'_xk(P₀)=0 для всех k=1,2,...,n {1} или df(P₀,x₁,...,x_n)=0 тождественно относительно ,x₁,...,x_n. Точки, в которых выполняются условия {1} наз. стационарными точками функции u=f(Р). Таким образом, если P₀ – точка экстремума функции u=f(P), то либо P₀ – стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть P₀(x⁰₁,...,x⁰_n) – стационарная точка функции u=f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Тогда: (1) если второй дифференциал d²u(P₀(x₁,...,x_n)) как функ­ция x₁,...,x_n имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, то функция u=f(P) имеет в точке P₀ экстремум, а именно – максимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))<0 и минимум при d²u(P₀(x₁,...,x_n))>0; (2) если d²u(P₀(x₁,...,x_n)) является знакопеременной функ­цией x₁,...,x_n, т.е. принимает как положительные, так и отри­цательные значения то точка P₀ не является точкой экстремума функции u=f(P); (3) если d²u(P₀(x₁,...,x_n))0 или d²u(P₀(x₁,...,x_n))0, причем, существуют такие наборы значений x₁,...,x_n не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция, u=f(P) в точке P₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y) причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Введем обозначения: A=f''_xx(x₀,y₀), B=f''_xx(x₀,y₀), C=f''_xx(x₀,y₀) D=AC–B². Тогда: [1] если D>0, то функция z=f(х,у) имеет в точке Р₀(x₀,y₀) экстремум, а именно – максимум при А<0 (С<0) и минимум при А>0 (С>0); [2] если D<0, то экстремум в точке Р₀(x₀,y₀) отсутствует; [3] если D=0, то требуется дополнительное исследование.

Заказывайте: рефераты - 150 р. курсовые - 700 р. дипломы - 2500 р. 1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными