курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
аналитический графический табличныйТабличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.
φ(υ)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию j (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
j (x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0 , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,…nДля определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
i¹ jВ точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .
ЗаданиеС помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом D х=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного методаCLS
DIM Y(9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N - 1
1 X(I) = X0 + H * I
READ Y(I)
PRINT Y(I); X(I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N - 1
2 S1 = S1 + X(I) ^ 2
S2 = S2 + X(I)
S3 = S3 + X(I) * Y(I)
S4 = S4 + Y(I)
NEXT I
D = S1 * N - S2 ^ 2
D1 = S3 * N - S4 * S2
D0 = S1 * S4 - S3 * S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC + A0
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
FOR X = 0 TO 50 STEP 10
Y = A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC= 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
S = (fi-yi) min ,т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия S = |fi-yi| min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой S = (fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2)Формула (1) примет вид S = ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) = 0 , SC1 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - yi ) Xi = 0 ,(3) SCM = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) XiM = 0 ,Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +...+ CMXiM = Yi , C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +...+ CMXiM+1 = Yi Xi ,(4) C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +...+ CMXi2M =Yi XiM .Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
|
(N+1) |
Xi |
Xi2 |
... |
XiM |
Yi |
|
Xi |
Xi2 |
Xi3 |
... |
XiM+1 |
Yi Xi |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
XiM |
XiM+1 |
XiM+2 |
... |
Xi2M |
Yi XiM |
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.
ЗаданиеНайти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.
Программа¦CLS
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10
¦DIM Y(9): DIM X(9)
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I = 0 TO N - 1
¦X = X0 + H * I:
¦X(I) = X
¦READ Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT I
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
¦I = 0
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
¦S2 = S2 + X(I):
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
¦S4 = S4 + Y(I)
¦I = I + 1
¦IF I <= N - 1 THEN 10
¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
¦D1 = S3 * N - S2 * S4:
¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3
¦A1 = D1 / D:
¦A0 = D0 / D
¦Y = A1 * XC + A0
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y
¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10
¦Y = A1 * X + AO
¦PRINT X, Y
¦NEXT X
¦FOR I = 1 TO N - 1
¦S = S + Y(I): NEXT I
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D
ОтветыХ Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
10 5.007687
20 10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725
Аркфункции
Асимптота
Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
Атомические разложения функций в пространстве Харди
Билеты по аналитической геометрии
Билеты по геометрии (11 класс)
Билеты по геометрии для 9 класса (2002г.)
Билеты по математике для устного экзамена и задачи по теме
Билеты по математическому анализу
Болезнь Рейно
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.