курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
СОДЕРЖАНИЕ
Задание.
Расчетно-пояснительная записка.
Аннотация.
Ведение.
Теория.
Алгоритмы.
Программы.
Инструкция пользователя.
Результаты экспериментов.
Заключение.
ЗАДАНИЕ
Выписать систему конечно-разностных уравнений.
Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала. Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.
Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:
Исключения Гаусса,
Итерационного метода Якоби,
Итерационного метода Гаусса-Зейделя.
Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.
Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.
АННОТАЦИЯ
В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения линейных систем, возникающих в краевых задачах для дифференциальных уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя. Каждый из методов был представлен в виде самостоятельной программы, которая имеет инструкцию для пользователя. Каждая программа работает по определенному управлению, причем программа Гаусса формирует матрицу сама, а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя вводится только количество точек на интервал, исходя из чего формируется столбец неизвестных членов. Начальные значения неизвестных задаются автоматически на основе результатов, полученных в ходе исследования были сделаны соответствующие выводы.
ВВЕДЕНИЕ
Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества. Благодаря универсальности, высокому быстродействию, неутомимостью в работе, простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека.
С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ, поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления, но и способность развивать и закреплять эти навыки.
ТЕОРИЯ
Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными разностями приводит к линейным уравнениям; если рассматривается краевая задача, то уравнения образуют совместную линейную систему.
Прямым методом решения линейной системы называется любой метод, который позволяет получить решение с помощью конечного числа элементарных арифметических операций: сложения, вычитания, деления и т.д. Этот метод основан на сведении матрицы, системы A к матрице простой структуры - диагональной (и тогда решение очевидно ) и треугольной - разработка эффективных методов решения таких систем. Например, если А является верхней треугольной матрицей:
;
решение отыскивается с помощью последовательных обратных подстановок. Сначала из последнего уравнения вычисляется , затем полученные значения подставляются в предыдущие уравнения и вычисляется и т.д.
; ;
или в общем виде:
, i=n, n-1, ..., 1.
Стоимость такого решения составляет сложений умножений(а также и делении, которыми можно пренебречь).
Сведение матриц А к одному из двух указанных выше видов осуществляется с помощью ее умножения на специально подобранную матрицу М, так что система преобразуется в новую систему .
Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом, чтобы матрица МА стала верхней треугольной.
Прямые методы решения СЛУ нельзя применять при очень больших, из-за нарастающих ошибок, округлениях, связанных с выполнением большого числа арифметических операций. Устранить эти трудности помогают итерационные методы. С их помощью можно получить, начиная с вектора , бесконечную последовательность векторов, сходящихся к решению системы( m- номер итерации )
.
Метод является сходящимся, если это состояние справедливо для произвольного начального вектора .
Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в виде А=М-N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно решаются системы
.
Формально решением системы является:
где - обратная матрица. Решение итерационным методом упрощается еще и потому, что на каждом шагу надо решать систему с одними и теми же матрицами. Очевидно, что матрица М должна быть легко обращаемой, а для получения желаемой точности надо выполнить определенное число итераций.
Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение соотношения:
или ,
где - вектор невязок уравнений , ии - допустимая погрешность СЛУ по неувязке или приращению вектора неизвестных на итерации.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями, например :
которые не могут быть решены аналитически. Приближение этих уравнений конечными разностями основано на дискредитации интервала [0,1] как показано на рис.1 и замене производной.
простой разностью, например :
где, 0,2=1/5=X4-X3.
Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:
В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое приводит к линейной системе для приближенных значений решения дифференциального уравнения.
Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;
Найти
y’(0); y’’(0)=1; y’’’(0)=1;
обозначим у’(0) как С.
Решение:
Решение:
Система конечно-разностных уравнений
интервал [0,2] разделим на 10 точек
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0.04
0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0.04
0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0.04
0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0.04
0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0.04
0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0.04
0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0.04
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0.04
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -2+0.04
5 точек.
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
АЛГОРИТМ ГАУССА
Назначение: Решить относительно Х.
Входные параметры: masheps R, n Z,
Вектор правых частей .
Входно - выходные параметры ,
после разложения в А сохраняются ее верхние треугольные сомножители,.
Код возврата retcode=0 при успешном решении и retcode=1 при вырождении матрицы.
Выходные параметры: .
Алгоритм
retcode=0
if n=1 then
if A[1,1]=0 then retcode=1
return
(*Гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента*)
for k=1 to n do (*найти ведущий элемент*)
Amax <= |A[k,k]|
Imax <= k
for i=k+1 to n do
if |[i,k]| > Amax then
Amax <= |A[i,k]|
Imax <= 1
(*проверка на вырожденность*)
if Amax < masheps*n then
retcode<=1
return
if Imax<> k then
Amax <= A[Imax,k]
A[Imax,k] <= A[k,k]
A[Imax,k] <= Amax
for i=k+1 to n do A[i,k] <= A[i,k]/Amax
(*перестановка и исключение по столбцам*)
for j=k+1 to n do
3.8.1. Amax<=A[Imax,j]
A[Imax,j]<=A[k,j]
A[k,j]<=Amax
if Amax<>0 then
for i=k+1 to n do
A[i,j]<=A[i,j]-A[i,k]*Amax
if retcode=0 then (*разложение успешно*)
(*решить СЛУ Ly=b и Vx=y *)
for i=2 to n do
for k=n downto 1 do
return
end.
АЛГОРИТМ ЯКОБИ
Входные параметры: - вектор начальных значений Х, после окончания решения с заданной точностью.
Код возврата: retcode=0 при успешном решении u=1, при не успешном решении превышение допустимого числа итераций.
Память: Требуется дополнительный массив для хранения невязок.
Алгоритм
retcode=1
for Iter=1 to maxiter do (*расчет вектора невязок*)
rmax=0
for i=1 to n do
(*проверка на окончание итерационного процесса*)
if
rmax
return
(*найти улучшенное решение*)
for i=1 to n do
x[i]=x[i]+r[i]/A[i,j]
АЛГОРИТМ ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ
Входные параметры:
( релаксационный коэффициент )
- точность решения,
maxiter- максимальное число итераций.
Входно- выходные параметры: - вектор начальных значений X, после окончания; решение с заданной точностью.
Алгоритм
retcode=1
for iter=1 to maxiter do
rmax=0
(*улучшить решение*)
for i=1 to n do
(*проверка на окончание итерационного процесса*)
if
rmax
retcode=0
return
program GAUS1(input,output);
type
matrix=array[1..100,1..100] of real;
vektor=array[1..100] of real;
var
a:matrix;
x,b,y:vektor;
n:integer;
ret_code:integer;
procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;var n:integer);
var
s:real;j,i:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
s:=0;
for j:=1 to (i-1) do
s:=s+a[i,j]*y[j];
y[i]:=b[i]-s;
end;
end;
procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;var n:integer);
var
s:real;i,j:integer;
begin
s:=0;
for i:=n downto 1 do
begin
s:=0;
for j:=(i+1) to n do
s:=s+a[i,j]*x[j];
x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];
end;
end;
procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;var n:integer);
var
i,j:integer;
q:real;
begin
writeln('Введите количество точек на интервал: ');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
a[i,j]:=0;
a[i,i]:=(-2);
end;
for i:=1 to (n-1) do
a[i,i+1]:=1;
for i:=2 to n do
a[i,i-1]:=1;
q:=sqr(2/n);
for i:=1 to n do
if i<>n then b[i]:=q else b[i]:=(q-2);
end;
procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;
var ret_code:integer;n:integer);
label 1;
var
eps,buf,max,c:real;
k,imax,i,j:integer;
begin
ret_code:=1;
eps:=1;
buf:=1+eps;
while buf>1.0 do
begin
eps:=eps/2;
buf:=1+eps;
end;
buf:=n*eps;
for k:=1 to (n-1) do
begin
max:=a[k,k];
imax:=k;
for i:=k to n do
if a[i,k]>max then
begin
max:=a[i,k];
imax:=i;
end;
if a[imax,k]>buf then
begin
for j:=1 to n do
begin
c:=a[imax,j];
a[imax,j]:=a[k,j];
a[k,j]:=c;
end;
c:=b[imax];
b[imax]:=b[k];
b[k]:=c;
for i:=(k+1) to n do
begin
a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];
for j:=(k+1) to n do
a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];
end;
end
else
begin
ret_code:=0;
goto 1
end;
1: end;
end;
procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);
var
i:integer;
begin
for i:=1 to n do
writeln('x',i:1,'=',x[i],' ');
end;
begin
vvod(a,b,n);
triangul(a,b,ret_code,n);
if ret_code=1 then
begin
geradlini(a,b,y,n);
ruckgang(a,y,x,n);
vivod(x,n);
end
else
writeln('Матрица вырожденна');
end.
program GAUS2(input,output);
type
matrix=array[1..100,1..100] of real;
vektor=array[1..100] of real;
var
a:matrix;
x,b,y:vektor;
n:integer;
ret_code:integer;
procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;
var n:integer);
var
s:real;j,i:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
s:=0;
for j:=1 to (i-1) do
s:=s+a[i,j]*y[j];
y[i]:=b[i]-s;
end;
end;
procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;
var n:integer);
var
s:real;i,j:integer;
begin
s:=0;
for i:=n downto 1 do
begin
s:=0;
for j:=(i+1) to n do
s:=s+a[i,j]*x[j];
x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];
end;
end;
procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;
var n:integer);
var
i,j:integer;
q:real;
begin
writeln('Введите количество точек на интервал: ');
readln(n);
q:=(-2+sqr(0.5/n)*(sqr(4*arctan(1))/4));
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
a[i,j]:=0;
a[i,i]:=(q);
end;
for i:=1 to (n-1) do
a[i,i+1]:=1;
for i:=2 to n do
a[i,i-1]:=1;
for i:=1 to n do
if i<>n then b[i]:=0 else b[i]:=(-sqr(2)/2);
end;
procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;var ret_code:integer;
n:integer);
label 1;
var
eps,buf,max,c:real;
k,imax,i,j:integer;
begin
ret_code:=1;
eps:=1;
buf:=1+eps;
while buf>1.0 do
begin
eps:=eps/2;
buf:=1+eps;
end;
buf:=n*eps;
for k:=1 to (n-1) do
begin
max:=a[k,k];
imax:=k;
for i:=k to n do
if a[i,k]>max then
begin
max:=a[i,k];
imax:=i;
end;
if a[imax,k]>buf then
begin
for j:=1 to n do
begin
c:=a[imax,j];
a[imax,j]:=a[k,j];
a[k,j]:=c;
end;
c:=b[imax];
b[imax]:=b[k];
b[k]:=c;
for i:=(k+1) to n do
begin
a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];
for j:=(k+1) to n do
a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];
end;
end
else
begin
ret_code:=0;
goto 1
end;
1: end;
end;
procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do
writeln('x',i:1,'=',x[i]);
end;
begin
vod(a,b,n);
triangul(a,b,ret_code,n);
if ret_code=1 then
begin
geradlini(a,b,y,n);
ruckgang(a,y,x,n);
vivod(x,n);
end
else
writeln('Матрица вырождена ');
end.
program jakobi1(input,output);
type
vektor=array[1..100] of real;
var
r,y:vektor;
z,ret_code,maxiter:integer;
eps:real;
procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);
begin
writeln('Введите кол-во точек на интервал');
readln(z);
writeln('Введите точность');
readln(eps);
writeln('Введите кол-во итераций');
readln(maxiter);
end;
procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);
label 1;
var
iter,i:integer;
rmax,q:real;
begin
q:=sqr(2/z);
for i:=1 to z do
y[i]:=1;
ret_code:=0;
for iter:=1 to maxiter do {c.1}
begin
rmax:=0;
for i:=1 to z do {c.2}
begin
if i=1 then
begin
r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);
if rmax
rmax:=abs(r[i]);
end;
if i=z then
begin
r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);
if rmax
rmax:=abs(r[i]);
end;
if(i<>1)and(i<>z) then
begin
r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);
if rmax
rmax:=abs(r[i]);
end;
end;{c.2}
if rmax<=eps then
goto 1
else
for i:=1 to z do
y[i]:=y[i]+r[i]/(-2);
end; {c.1}
ret_code:=1;
1:
end;
procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);
var
i:integer;
ch:char;
begin
for i:=1 to z do
writeln('y',i:1,y[i]);
end;
begin
vvod(z,maxiter,eps);
ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);
if ret_code=0 then
vivod(y,z)
else
writeln('Превышено допустимое число итераций');
end.
program jakobi2(input,output);
type
vektor=array[1..100] of real;
var
r,y:vektor;
z,ret_code,maxiter:integer;
eps:real;
procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);
begin
writeln('Введите кол-во точек на интервал');
readln(z);
writeln('Введите точность');
readln(eps);
writeln('Введите кол-во итераций');
readln(maxiter);
end;
procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);
label 1;
var
iter,i:integer;
rmax,q:real;
begin
q:=sqr(2/z);
for i:=1 to z do
y[i]:=1;
ret_code:=0;
for iter:=1 to maxiter do
begin
rmax:=0;
for i:=1 to z do
begin
if i=1 then
begin
r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);
if rmax
rmax:=abs(r[i]);
end;
if i=z then
begin
r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);
if rmax
rmax:=abs(r[i]);
end;
if(i<>1)and(i<>z) then
begin
r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);
if rmax
end;
end;
if rmax<=eps then goto 1
else
for i:=1 to z do
y[i]:=y[i]+r[i]/q;
end;
ret_code:=1;
1:end;
procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);
var
i:integer;
begin
for i:=1 to z do
writeln('y',i:1,y[i]);
end;
begin
vvod(z,maxiter,eps);
ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);
if ret_code=0 then vivod(y,z)
else
write('Превышено допустимое число итераций');
end.
program zeidel1(input,output);
type
vector=array[1..1000] of real;
var
y:vector;
z,retcode,maxiter:integer;
eps:real;
procedure wod(var z,maxiter:integer;var eps:real);
begin
writeln;
writeln('введите количество точек на интервал ');
readln(z);
writeln('введите точность ');readln(eps);
writeln('введите количество итераций ');readln(maxiter);
writeln('коофицент релаксации W,принят равный 1');
end;
procedure reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real);
label 1;
var
Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real;
begin
Q:=sqr(2/z);
for i:=1 to z do y[i]:=1;
retcode:=1;
for Iter:=1 to maxiter do
begin
Rmax:=0;
for i:=1 to z do
begin
if i=1 then
begin
R:=Q-(-2*y[1]+y[2]);
if
Rmax y[i]:=y[i]+R/(-2); end; if
i=z then begin R:=(-2+Q)-(y[z-1]-2*y[z]); if
Rmax y[i]:=y[i]+r/(-2); end; if
(I<>1) and (i<>z) then begin r:=Q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]); if
Rmax
y[i]:=y[i]+R/-2; end; end; if
Rmax<=eps then begin retcode:=0; goto
1; end; end; 1:
end; procedure
vivod(var y:vector;var z:integer); var i:integer; begin for
i:=1 to z do write('y',i:2,'=',y[i]); end; begin wod(z,maxiter,eps); reshen(y,z,retcode,maxiter,eps); if
retcode=0 then vivod(y,z) else write('число
итераций'); end.
program
zeidel2(input,output); type vector=array[1..1000]
of real; var y:vector; z,retcode,maxiter:integer; eps:real; procedure
wod(var z,maxiter:integer;var eps:real); begin writeln; writeln('введите
количество
точек на интервал
'); readln(z); writeln('введите
точность
');readln(eps); writeln('введите
количество
итераций
');readln(maxiter); writeln('коофицент
релаксации
W,принят равный
1'); end; procedure
reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real); label
1; var Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real; begin Q:=(-2+sqr(0.5/z)*sqr(4*arctan(1))/4); for
i:=1 to z do y[i]:=1; retcode:=1; for
Iter:=1 to maxiter do begin Rmax:=0; for
i:=1 to z do begin if
i=1 then begin r:=-(q*y[1]+y[z]); if
Rmax y[i]:=y[i]+R/q; end; if
i=z then begin r:=-sqrt(z)/2-(y[z-1]+q*y[z]); if
Rmax y[i]:=y[i]+r/q; end; if
(I<>1) and (i<>z) then begin r:=-(y[i-1]+q*y[i]+y[i+1]); if
Rmax
y[i]:=y[i]+R/q; end; end; if
Rmax<=eps then begin retcode:=0; goto
1; end; end; 1:
end; procedure
vivod(var y:vector;var z:integer); var i:integer; begin for
i:=1 to z do writeln
(i:1,'=',y[i],); end; begin wod(z,maxiter,eps); reshen(y,z,retcode,maxiter,eps); if
retcode=0 then vivod(y,z) else write('число
итераций'); end.
ИНСТРУКЦИЯ
ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ
Программа
Jacobi1
предназначена
для решения
уравнений
.
Jacobi2
для
решения уравнений
,методом конечных
разностей
находят значение
в точках
интервала (0.2)
максимальное
количество
точек на интервал
1000. Используется
массив для
хранения значений
вектора невязок
.
В процедуре
reshen
находится
вектор невязок
r
[ i ].
Для первого
и последнего
уравнения
системы находят
вектора невязок
различными
способами. Для
остальных
уравнений
системы вектор
невязок находится
одинаково. Сама
матрица не
формируется
, т.е. для нахождения
вектора невязок
ее не нужно,
это видно из
текста программы.
Программы
Zeidel1
и
Zeidel2,
также решают
уравнения
и
. Отличия от
Jacobi
состоит
только в том,
что отсутствует
массив для
вектора невязок.
Программы Gaus1
и
Gaus2
также
решают эти
уравнения,
только методом
Гаусса. В процедурах
vvod
задается количество
точек на интервал(max=100)
и формируются
матрицы в зависимости
от уравнения.
Процедура
triangul
разлагает
матрицу А на
две треугольные.
Процедура
geradlini-
прямой ход
метода Гаусса.
Процедура
ruckgang-
обратный ход.
Процедура
vivod-
выводит значения
.
Вычисление
уравнений с
помощью итерационного
метода Якоби
требует времени
t=0(maxiter
Z),
где Z-
количество
точек на интервал,
а maxiter-
количество
итераций.
Вычисление
уравнений с
помощью метода
Гаусса требует
времени t=0(
),
где N-
количество
точек на интервал.
Решение
с помощью метода
Гаусса требует
больше времени
чем решения
другими двумя
приведенными
способами.
СОДЕРЖАНИЕ Задание. Расчетно-пояснительная записка. Аннотация. Ведение. Теория. Алгоритмы. Программы. Инструкция пользователя. Результаты экспериментов. Заключение. ЗАДАНИЕ Выписать систему конечно-разностн
Электропривод подъемного механизма крана
Электроснабжение газовых промыслов
Электроснабжение завода
Электроснабжение механического цеха
Электроснабжение промышленных предприятий
Электрохимические преобразователи энергии
Электроэрозионная резка проволокой на установке AGIECUT 100D
Элементы управления, переключатели
Энергетика: Паровые котлы ДКВР (двухбарабанные водотрубные реконструированные)
Энергосбережение в быту
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.