1. Бэта-функции                                                  6                           

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

                                          (1.1)         

сходятся при

 =

т.e. аргумент  и  входят в  симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

                                       (1.2)

                             7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)                                                                    

Получим

                            (1.3)

при целых = m,= n,имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)  .Так как график функции

8

и в результате подстановки 

полагая в(1.1) ,откуда                                                         

                                          (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до  и применение ко второму интегралу подстановки

                                            2. Гамма-функция                                                9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G(a) =                                          (2.1)

сходящийся при  0.Положим ty,t > 0 ,имеем

G(a) =

и после замены  и t  через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

10

откуда   

                                                                                                                

                                                                                          (2.2)                                                      

заменяя в (2,1) ,на  и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

                                                               (2.3)

                                  

так как

но при целом  имеем

                              (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма функции                             11

Интеграл

 

сходится при каждом  при

В области  и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях  является и весь интеграл  так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом где  произвольно.Действительно для всех указаных значений  ходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при            функция непрерывна при  и

12

сходится равномерно на каждом сегменте  ,  . Выберем число так , чтобы  при  такое , что  и  на справедливо неравенство

 

и так как интеграл  сходится, то интеграл  сходится равномерно относительно  на  существует такое число  выполняется неравенство  и всех  получим   в силу признака сравнения следует , что интеграл  сходится равномерно относительно   на

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

   интеграл

13

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом  и справедливо равенство

          

Относительно интеграла

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при

Изучим теперь поведение

Из выражения для второй производной  для всех  возрастает. Поскольку [1,2]производная  при  и при   Монотонно убывает на    из формулы    при

14

Равенство

Положим для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция  принимает на (-1,0) отрицательные значения и при   функция

    Определив таким образом   той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением  окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что  и

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях

15

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов.                              16

Формула Стирлинга

  Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

 где m > -1,n > -1.Полагая , что

и на основании (2.2) имеем

                               (3.1)

В интеграле

   Где k > -1,n > 0,достаточно положить

17

  Интеграл

 

  Где s > 0,разложить в ряд

=

где

   Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

   Разлагая, в ряд имеем

18

                                                                                                                              

    Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности  приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

                                        (3.2)

    Непрерывна на интервале (-1, до при изменении    от      до и обращаются в 0  при u = 0.Так как

то   u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

   И так производная непрерывна и положительна во всем интервале

19

 Из предыдущего следует, что существует обратная функция,  определенная на интервале  непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,   

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

                                            (3.3)

  Формулу Стирлинга выведем из равенства

 

полагая

   Положим далее u = -1при  при  .Замечая что(см.3.2)

20

имеем

,                                                                                

полагая на конец ,

или

в пределе при

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

21

                                                     (3.4)

где  ,при                                                                                         

для достаточно больших  полагают

                                                     (3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если  целое положительное число, то  и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры  вычисления интегралов                           22

Для вычисления необходимы формулы:

Г(

Вычислить интегралы

 

                                                                                              23                                 

Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

                                                                          ДО      ЗАХИСТУ    ДОПУЩЕНИЙ

                                                                           Зав. каф.   Математичного    аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова

_________________________ 2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст..гр.. 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач

Кудря В.І.

Запоріжжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу........................... ...................................2

Реферат............................................................. ...................................4

введение............................................................ ...................................5

1.     Бета функции……………………………………………..............6

2.     Гамма функции....................................... ...................................9

3.     Производная гамма  функции ............... ..................................11

4.     Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16

5.     Примеры вычеслений............................. ..................................22

вывод................................................................ ..................................24

Список литературы……………………………………………..............25

Реферат

 Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

      В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

      Ключевые слова:

ГАММА  И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

           Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

          Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

            Бета функции представимы интегралом  Эйлера первого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Вывод

       Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965

 

 

1. Бэта-функции                                                  6                            Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:                                           (1.1)          сходятся при  = т.e. а

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу