,,,
Министерство образования РФ
Филиал СПбГМТУ
Севмашвтуз
Кафедра №2
Курсовая работа
по
дисциплине
"Специальные разделы математики"
Тема: «Устойчивость систем дифференциальных уравнений»
Студент: Новичков А. А.
Группа: 450
Преподаватель: Панова Е. В.
Содержание
TOC o "1-3" h z u Введение. PAGEREF _Toc62048426 h 3
1. Свойства систем дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc62048427 h 4
1.1. Основные определения. PAGEREF _Toc62048428 h 4
1.2. Траектории автономных систем. PAGEREF _Toc62048429 h 5
1.3. Предельные множества траекторий. PAGEREF _Toc62048430 h 6
1.4. Траектории линейных систем на плоскости. PAGEREF _Toc62048431 h 8
1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами. PAGEREF _Toc62048432 h 10
2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc62048433 h 12
2.1. Устойчивость по Ляпунову. PAGEREF _Toc62048434 h 12
2.2. Устойчивость линейных однородных систем. PAGEREF _Toc62048435 h 14
2.3. Устойчивость периодических решений. PAGEREF _Toc62048436 h 17
2.4. Классификация положений равновесия системы второго порядка. PAGEREF _Toc62048437 h 18
2.5. Автономные системы на плоскости. Предельные циклы. PAGEREF _Toc62048438 h 23
2.6. Устойчивость по первому приближению. PAGEREF _Toc62048439 h 25
2.7. Экспоненциальная устойчивость. PAGEREF _Toc62048440 h 28
3. Второй метод Ляпунова. PAGEREF _Toc62048441 h 29
3.1. Основные определения. PAGEREF _Toc62048442 h 29
3.2. Теоремы второго метода Ляпунова. PAGEREF _Toc62048443 h 30
3.3. Устойчивость по первому приближению. PAGEREF _Toc62048444 h 33
Заключение. PAGEREF _Toc62048445 h 36
Список литературы. PAGEREF _Toc62048446 h 37
Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.
Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.
Пусть — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные функции.
Определение. Совокупность уравнений
(1)
называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить
Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций
1)
2)
Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы, определенное в окрестности точки …, — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем в окрестности точки
Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.
Определение. Если — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, ), , (n+1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия).
Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:
или в матричной форме (1')
где
Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция F(t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: F(t) общее решение системы можно записать в виде — нормированная при фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде — начальное при значение решения.
Будем
рассматривать автономную систему в векторной форме: (2)
где функция f(x) определена
в
Автономные системы обладают тем свойством, что если — решение уравнения (2), то можно записать в виде
Пусть — положение равновесия, т. е. была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют — не положение равновесия, то при и покажем, что — w-периодическая функция.
Действительно, функция является решением уравнения (2) при и совпадают при всех определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все
то есть — периодическая функция с наименьшим периодом.
Траектория такого решения является замкнутой кривой. ?з приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:
1) положение равновесия;
2) замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;
3) траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.
Определение. Точка называется w-предельной точкой траектории такая, что при W всех w-предельных точек траектории называется ее w-предельным множеством. Аналогично для траектории при определяется понятие a-предельной точки как предела A-предельного множества.
Определение. Траектория называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. ( такой, что при всех ( определена. ?ными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.
Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.
Траектория называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является a-предельной и w-предельной, т. е. . Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.
Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.
1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.
2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.
3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при к некоторому циклу.
4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от j, спиралевидно приближаются к j при или при
Пример. Рассмотрим автономную систему при
Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения
откуда получаем
Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения и решения монотонно убывают от до 0, а при решения монотонно возрастают от до бесконечности. Так как и все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно w-предельным множеством для всех траекторий, у которых w-предельное множество траектории пусто. Окружность является замкнутой траекторией и одновременно a-предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.
Рассмотрим автономную линейную однородную систему (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и X = SY приведем систему (3) к виду
где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:
1) вещественны, различны и или и
Картина расположения траекторий при узел, изображена на рис. 1а.
2) вещественны и седлом, изображена на рис. 1б.
3) комплексно-сопряженные. Пусть X = SY и — линейно независимые собственные векторы, соответствующие и А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду
где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.
Введем полярные координаты
Следовательно, траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2p/b.
4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду
Решением этой системы будет функция J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы
Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел
В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.
Будем рассматривать систему вида (4)
где P(t) удовлетворяет условию P(t + w) = P(t), w>0 при всех w или w-периодическими.
Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид
где G — w-периодическая матрица, R — постоянная матрица.
Матрица В, определяемая равенством фундаментальной матрицей
Собственные числа матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа матрицы R — характеристическими показателями. ?з определения R имеем
Характеристические показатели определены с точностью до и формулы Лиувилля следует, что
Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:
Теорема. Число m является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение этого уравнения такое, что при всех t
Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода w тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.
Следствие 2. Мультипликатору соответствует так называемое антипериодическое решение периода w, т. е.
Таким образом, есть периодическое решение с периодом (p и q — целые, ), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом
Пусть — матрица из теоремы Флоке, — ее жорданова форма. По теореме Флоке (5)
где — фундаментальная матрица, — w-периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
(6)
где — w-периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы
с матрицей
где — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как
Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки порождает траекторию называется устойчивой по Ляпунову.
Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.
Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в e-окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)
Рассмотрим уравнение (1)
где и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:
и — константа, не зависящая от выбора точек и
Предположим, что уравнение (1) имеет решение
(2)
где определена в области, содержащей множество — решение (2) с начальными данными
Определение. Решение уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для
Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое, что при
Неустойчивость решения означает следующее: существуют положительное при такие, что
При исследовании вопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющим упростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену определена при всех и непрерывна по z при равномерно относительно однозначно разрешимо относительно z: определена на множестве и непрерывна по y при равномерно относительно можно преобразовать в уравнение
Лемма. При сделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда соответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение уравнения
Пусть уравнение (2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество называется областью притяжения решения
Пусть (3)
— вещественная система, — ее произвольное решение. Замена приводит (3) к виду
Лемма 1. Пусть и или — неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при тогда и только тогда, когда обладает таким свойством.
Лемма вытекает из оценки
Следствие. Пусть — нормированная при фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с
Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть ограничена на . Решение задается формулой (*)
Так как (**)
Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть фиксировано. Положим ограничена. Аналогично доказывается ограниченность
2) Достаточность. Пусть при при всех
Необходимость. Пусть для любых при при
Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы при
Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.
Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.
Определение. Полином называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.
Если полином является полиномом Гурвица, то все
Составим
Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица
Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.
Определение. Пусть называется годографом Михайлова функции
Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:
Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора при равен — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.
Критерий Михайлова. Для того чтобы полином , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора при был бы равен
Замечание. Если полином есть полином Гурвица степени монотонно поворачивается в положительном направлении на угол положительной полуоси квадрантов.
Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. (4)
где — неособая w-периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). ?з леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа постоянна. Учитывая, что — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:
Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.
Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:
Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.
?сследуем на устойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть или
Рассмотрим следующие случаи согласно пункту 1.4.
1) вещественны, различны и ( положительны (неустойчивый узел.
Если отрицательны (устойчивый узел.
2) вещественны и (седло всегда неустойчиво.
3) комплексно-сопряженные, но не чисто мнимые ( (фокус будет неустойчивым.
Если (
4) (
5) . Если
6) Один из корней равен нулю (например
7) Оба корня равны нулю. Тогда
Пример. Рассмотрим систему А имеет вид:
Найдем координаты преобразования
откуда с учетом a — произвольное, g — произвольное. Получаем преобразование
Решение системы запишется в виде
Рассмотрим теперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь три вещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. В зависимости от расположения этих корней на плоскости возможно 10 "грубых" случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд "вырожденных" (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного из корней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаи кратных корней здесь не рассматриваются.
Поведение фазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5') получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t, так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.
Устойчивость по Ляпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5), 8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6) устойчив.
Рис. 3.
Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены
светлым — начало координат.
Рис. 4. Фазовые кривые в трехмерном пространстве.
Рассмотрим автономную двумерную систему
(5)
где — область.
Предположим, что система (5) имеет замкнутую траекторию с наименьшим периодом и проведем через нее нормаль к единичной длины. Для определенности считаем, что направлен во внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что — начало координат (этого можно добиться заменой определяются единственной координатой берем расстояние от точки нормали до начала координат, если точка лежит снаружи
Рассмотрим траектории
(6)
с неизвестными t, s (r — параметр).
Лемма 3. Существует такое, что в области уравнение (6) имеет единственное решение , удовлетворяющее условиям , причем функции непрерывно дифференцируемы при .
Доказательство. Так как — решение с периодом w, то по теореме о дифференцируемости решения функция определена и непрерывно дифференцируема по t и r в некоторой окрестности точки определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки w‑периодична, то в точке и — ортогональные векторы. Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.
Следствие. Справедлива формула
Выясним геометрический смысл функций в точке из D-окрестности начала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени в точке также делает полный оборот вдоль при также делает полный оборот при D достаточно мало.
Функция называется функцией последования.
Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое является w-предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из D-окрестности кривой
Определение. Замкнутая траектория автономного уравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое является a-предельным множеством для любой траектории, проходящей через точку из D-окрестности кривой
Так как в реальной действительности время течет в положительном направлении, то на практике реализуются те периодические движения, которым соответствуют устойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.
Теорема 4. Пусть (7)
Если является устойчивым предельным циклом; если , то — неустойчивый предельный цикл.
Характер приближения соседних траекторий к при следующий: они приближаются к
Вернемся к рассмотрению уравнения (1), где получим уравнение (2), которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде
(8)
где при (9)
Теорема 5. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по и вещественные части собственных чисел матрицы отрицательны. Тогда решение уравнения (8) асимптотически устойчиво.
Теорема 6. Пусть — постоянная матрица, предельный переход в (9) выполняется равномерно по были неположительны.
Рассмотрим теперь автономное уравнение (1): (10)
где функция непрерывно дифференцируема при является положением равновесия уравнения (10). После замены уравнение (10) принимает вид непрерывно дифференцируема при и
при (11)
?з (11) и теорем 5 и 6 вытекает следующее утверждение.
Теорема 7. Если все собственные числа матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия асимптотически устойчиво; если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть, то оно неустойчиво.
Пример. Рассмотрим систему двух уравнений Координаты положений равновесия определяются из уравнений
Соответствующие матрицы имеют вид
Собственные числа определяются уравнением k четном k нечетном k четном решения асимптотически устойчивы, а при k нечетном неустойчивы.
Предположим теперь, что правая часть уравнения (1) и решение периодичны по t с одним и тем же периодом w. Тогда в уравнении (8) равномерно непрерывна на компакте выполняется равномерно по — периодическая матрица, то существует замена переменных (12)
где — периодическая с периодом w функция класса в с постоянной матрицей коэффициентов
(13)
причем функция определена и непрерывна в области вида в силу (9), ограниченности и и поскольку эквивалентно t.
Согласно лемме из п. 2.1. вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (8) эквивалентен вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (13). Так как — собственные числа матрицы — мультипликаторы линейного уравнения
Теорема 8. Если модули всех мультипликаторов периодического решения периодического уравнения (1) меньше единицы, то это решение асимптотически устойчиво. Если же модуль хоть одного из мультипликаторов больше единицы, то оно неустойчиво.
Рассмотрим смешанный случай, когда исследуется устойчивость w-периодического решения автономного уравнения (10). Дифференцируя тождество является w-периодическим решением уравнения в вариациях неустойчиво по теореме 8. В противном случае теорема 8 неприменима.
Теорема 9. (Андронова-Витта) Если мультипликаторов периодического решения уравнения (10) имеют модули, меньшие единицы, то это решение устойчиво по Ляпунову.
Замечание. Уравнение (10) автономно, поэтому наряду с решением имеются и решения не может быть асимптотически устойчивым.
Рассмотрим уравнение (10), в котором траекторию, проходящую через точку при и функция при такие, что при такие, что при справедливо неравенство
(14)
Если имеет место оценка (14), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотически устойчиво. Например, в условиях теоремы 5 нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения (8) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 5, ограничениях на нелинейность — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).
Для автономного уравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость, и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первое утверждение.
Для неавтономной системы по формуле (14) вводится аналогичное понятие экспоненциальной устойчивости, однако асимптотическая устойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы линейная система была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы и
1. вещественная, симметричная и ограниченная;
2. вещественная, симметричная и ограниченная;
3.
4. (см. п. 3.1).
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(1)
где G — область единственности и при всех
Сущность второго метода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции как функции t при замене x на произвольное решение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости и асимптотической устойчивости, где
Под функцией Ляпунова будем понимать любую непрерывную функцию такую, что при всех задан линейный оператор D, определяемый формулой
(2)
называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула
(3)
где — решение уравнения (1) с начальными данными
Определение. Функция Ляпунова t, называется определенно-положительной, если в области G при называется определенно-положительной, если существует определенно-положительная функция такая, что называется определенно-отрицательной, если — определенно-положительная функция.
Определение. Функция Ляпунова называется положительной, если в области G и отрицательной, если в G.
Таким образом, функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можно рассматривать и как положительную, и как отрицательную.
Отметим следующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательных функций: если (4)
?мпликация в (4) вытекает непосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию при при и положительное число такие, что — определенно-положительная функция. Положим компактно, поэтому по теореме анализа
Теорема 1. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова DV есть отрицательная функция. Тогда решение уравнения (1) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Пусть e — произвольная положительная постоянная, при V определенно-положительная, то l найдем такое, чтобы при
(5)
Пусть (5) не имеет места. Тогда существует такое, что является при невозрастающей функцией t. Так как T и тому, что по Ляпунову. Теорема доказана.
Следствие. Если уравнение (1) имеет в области G определенно-положительный интеграл, не зависящий от t и уничтожающийся в начале координат, то решение устойчиво по Ляпунову.
Теорема 2. Пусть существует определенно-положительная функция Ляпунова DV определенно-отрицательная при уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Условия теоремы 1 выполнены, и решение устойчиво по Ляпунову. Следовательно, существует такое, что
при (6)
?з определения асимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию при — строго убывающая функция t.
Предположим, что теорема неверна. Тогда
(7)
Отсюда, из (6) и (4) следует, что при — определенно-положительная функция. Пусть
В случае когда уравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.
Теорема 3. Пусть уравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество не содержит целиком полных траекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия асимптотически устойчиво.
Доказательство. ?спользуем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть — w-предельная точка траектории w-предельной точки и (7) следует, что являются w-предельными для траектории t, при которых определено решение t не совпадает с началом координат. Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы где удовлетворяют условию Липшица при удовлетворяет условию при и при асимптотически устойчиво.
Соответствующая система двух уравнений имеет вид
В качестве функции Ляпунова возьмем полную энергию системы
В силу условия V —определенно-положительная функция, при этом
Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M — интервал оси абсцисс при при M не содержит целых траекторий, отличных от положения равновесия
По теореме 3 решение системы асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.
Перейдем к рассмотрению неустойчивости. Пусть — функция Ляпунова. Обозначим через любую связную компоненту открытого множества с началом координат на ее границе.
Теорема 4. Пусть существует функция Ляпунова такая, что не пусто и при уравнения (1) неустойчиво.
Доказательство. Пусть с начальной точкой T (для каждого решения свой) такой, что
Пусть это неверно, т. е. существует решение неравенству принадлежит при она может покинуть область только через ту часть ее границы, где и при возрастании функция строго возрастает, пока
?так, доказано, что при и при до
что противоречит ограниченности при
Пример. Рассмотрим уравнение — удовлетворяющая условию Липшица при функция такая, что при
Рассмотрим систему
По теореме 4 решение системы неустойчиво, что и требовалось доказать.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(8)
где — заданная квадратичная форма.
Лемма 1. Если собственные числа матрицы A удовлетворяют условию
(9)
то уравнение (8) имеет единственное решение .
В следующих двух леммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова для линейного уравнения
(10)
и удовлетворяющие условиям теорем 2 и 4.
Лемма 2. Пусть все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, — определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеет единственное решение
Лемма 3. Пусть матрица A имеет собственные числа с положительными вещественными частями. Тогда можно подобрать такое, что существует единственное решение уравнения
причем если — определенно-положительная квадратичная форма, то область для квадратичной формы непуста.
Докажем теперь теоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого
(11)
где удовлетворяет условию
(12)
равномерно по
Теорема 5 (см. теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части и удовлетворяет условию (12), то решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейного уравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и для уравнения (1).
Пусть — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
По лемме 2 определенно-положительная. Определим ее производную DV в силу уравнения (1). ?з (2) и (11) имеем:
(13)
?з (12) следует, что для любого можно указать такое, что при выполняется — квадратичная форма, то DV — определенно-отрицательная функция при a выбрать по уравнения (1) асимптотически устойчиво. Теорема 5 доказана.
Теорема 6. (см. теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественные части которых положительны, и выполнено условие (12), то решение уравнения (1) неустойчиво.
Доказательство. С помощью леммы 3 построим квадратичную форму для функции V непуста. Составим DV в силу уравнения (1). ?меем
?спользуя (12), как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если a достаточно мало, то при функция имеем
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru , , , .