Введение.
В своей деятельности человеку
повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры,
взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и
астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие
структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи,
называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в
планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например,
говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем,
что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое
предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости.
В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В
каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и
теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих
плоскостей необходимо описывать отдельно.
План.
I.
Основные аксиомы
стереометрии--------------- 4 II.
Прямые, плоскости, параллельность------------ 6
III.
Изображение пространственных фигур------ 7 IV.
Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12 V.
Несколько задач на построение, воображение, изображение и
соображение------------------------ 17
I.Основные аксиомы стереометрии
Итак, в стереометрии к основным
понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним -
аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами
геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в
пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье
измерение:
·
Имеется четыре точки, не
лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Таким образом,
не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы
различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой-
аксиомой плоскости:
·
Через любые три точки проходит
плоскость.
С третьей аксиомой мы
сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся
при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома
пересечения плоскостей звучит так:
·
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
·
(рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через
них плоскость единственная.
Действительно,
если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти
точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости
пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в
аксиомы.
Третья
аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в
стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в
пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной
точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы,
переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с
одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две
различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в
стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки
пространства.
В
качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая,
имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
Пусть прямая
l проходит через точки
А и
В плоскости
α (рис.
3). Вне плоскости
α есть хотя бы одна точка
С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой
плоскости через
А,
В и
С можно провести плоскость
β. Она отлична от плоскости
α,
так как содержит
С и имеет с
α две
общие точки. Значит,
β пересекается
с
α по прямой, которой, как и
l, принадлежат
А,
В. По аксиоме прямой,
линия пересечения плоскостей совпадает с
l. Но
эта линия лежит в плоскости
α, что и
требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
·
На каждой плоскости
выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность
прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если
они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в
одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что
через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по
определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о
единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью
доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
·
Через точку, не лежащую на прямой,
можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных
прямых, называемое транзитивностью параллельности:
·
Если две прямые а и b
параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее.
На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть
одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве
существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в
разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются,
АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются.
В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать
понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя
из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать,
что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей
стороне CD содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для
плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не
имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том
случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о
транзитивности:
·
Если две плоскости параллельны
третьей плоскости, то они параллельны между собой.
·
Если прямая и плоскость параллельны
некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее
важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и
плоскости:
·
Прямая параллельна плоскости, если
она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак
параллельности плоскостей:
·
Если две пересекающиеся прямые в
одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой
плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и
такая простая теорема:
·
Прямые, по которым две параллельные
плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на
куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например,
что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна
прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности
А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые
A¹B¹ и B¹С¹
в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее
простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и
СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по
прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично,
параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные
плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.
III. Изображение пространственных фигур.
Есть
такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно рассуждать на неправильном
чертеже». Действительно, если вернуться к изложенным выше рассуждениям, то
окажется:
единственная
польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка куба, состоит в том,
что он сэкономил нам место на объяснении обозначений. С тем же успехом можно
было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя, очевидно, представленное на
нём «нечто» не только не куб, но и не многогранник. И всё же в приведённом
афоризме заключена лишь часть правды. Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать
готовое доказательство, надо его придумать. А для этого нужно ясно представлять
себе заданную фигуру, соотношения между её элементами. Выработать такое
представление помогает хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в
стереометрии удачный чертёж может стать не просто иллюстрацией, а основой
решения задачи.
Художник (вернее, художник-реалист) нарисует
наш куб таким, каким мы его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или
центральной проекции. При центральной проекции из точки О (центр проекции) на
плоскость а произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а
пересекается с прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное
расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в пересекающиеся,
не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы. Изучение её свойств привело
к появлению важного раздела геометрии (см. статью «Проективная геометрия»).
Но в
геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно сказать, что она
получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в бесконечность и прямые ОХ
становятся параллельными.
Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l.
Проведём через точку Х прямую, параллельную l. Точка
X', в которой эта прямая встречается с а, и есть параллельная проекция Х на
плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7). Проекция фигуры состоит из проекций всех
её точек. В геометрии под
изображением фигуры
понимают её параллельную проекцию.
В частности, изображение
прямой линии — это прямая линия или (в исключительном случае, когда прямая
параллельна направлению проекции) точка. На изображении параллельные прямые
так и остаются параллельными, сохраняется здесь и отношение длин параллельных
отрезков, хотя сами длины и изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну
короткую формулировку основного свойства параллельной проекции:
·
Если АВ =k CD, а A¹,B¹,C¹ и D¹- проекции точек A,B,C и D,
то A¹B¹=
k C¹D¹.
Черта здесь означает направленные
отрезки (векторы), а равенство — совпадение не только длин, но и направлений
(рис. 7). Таким образом, если задать изображения точек А и В, то будут
однозначно определены и изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель
k в равенстве AX = kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по
изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно
восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а
задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы
предопределяем изображения всех точек пространства.
В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника,
может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться:
проведём через сторону Поданного треугольника
ЛВС любую плоскость а, построим в ней
треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС на α вдоль прямой l = СС¹ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный
прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в
любой параллело-грамм. Более того, можно доказать, что изображе-нием любой
данной треу-гольной пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на
одной прямой, вместе с соединяющими их отрезками.
Правильно
выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём, например, отношения, в
которых треугольное сечение A¹BD
нашего куба (рис. 9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В¹С¹. Посмотрим
на куб со стороны бокового ребра ВВ¹, а точнее говоря, спроектируем куб
вдоль прямой BD па плоскость АА¹С¹С. Понятно,
что проекцией будет сам прямоугольник АА¹С¹С с проведённым
в нём отрезком, соединяющим середины оснований (точки В и D
совпадут;
рис. 9, б);
рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а точки Р и Q
станут серединами отрезков А1) и ВiCi.
Очевидно, что на нашем рисунке A¹Q
= 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 :
3. В силу основного свойства параллельной проекции, это равенство
верно и в пространстве. Та же проекция позволяет найти отношение между частями
любого проведённого в кубе отрезка, на которые он рассекается плоскостью
A¹BD: в частности, отрезок KQ, где К — середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ
АС, — в отношении 1:2.
Ещё эффектнее решения планиметрических
задач, которые получают, «выходя в пространство», т. е. представляя данную
плоскую фигуру в виде изображения некоего пространственного объекта. Вот одна
из таких задач, требуется построить треугольник с вершинами на трёх данных
лучах ОА, 0В и ОС с общим началом О так, чтобы его стороны проходили через три
данные внутри углов АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.
Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её чертёж
(рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на его
гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение сечения
этого угла плоскостью PQR.
Решение задачи приводится на рис 10, б; кстати сказать, оно поясняет и основной
прием построения сечений. Из произвольной точки Е луча ОС проектируем данные
точки R и Q на плоскость ОАВ;
получаем точки R¹ и Q¹.
Плоскость искомого сечения пересекает плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее
очевидно.
IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.
До сих пор мы, по
существу, нигде не пользовались такими важными геометрическими понятиями, как
расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам достаточно было только того, что его
грани- параллелограммы, равенства всех их сторон и углов на самом деле не
требовалось. Чтобы иметь возможность изучать свойства куба и других
пространственных фигур во всей полноте, нужны соответствующие определения.
Прежде всего, расширим понятие перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой
плоскости, проходящей через точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость
перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА¹ нашего куба
перпендикулярно основанию АВСD. Но как проверить, что
это ребро действительно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основе и
проходящей через А? Оказывается, достаточно того, что АА¹ составляет
прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно признаку
перпендикулярности прямой и плоскости,
·
Если прямая l перпендикулярна
двум пересекающимся прямым a и b, то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.
Причём здесь не обязательно предполагать, что
прямые a и b пересекают l:
считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны
параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в частности
через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно сказать, что
прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой лежащей в этой
плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
·
Через данную точку в пространстве можно провести одну и только
одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и только одну
прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Параллельная
проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой называется ортогональной
(т. е. прямоугольной) проекцией на данную плоскость. Обычно, когда говорят
просто «проекция», имеют в виду именно ортогональную проекцию. Она обладает всеми
общими свойствами параллельной проекции. Но у неё есть и специфические
свойства, их можно использовать при решении задач о расстояниях и углах в
пространстве.
Из
признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень простая, но
важная теорема о трёх перпендикулярах
(рис. 11):
·
Наклонная a к плоскости
перпендикулярна к прямой l в этой плоскости
тогда, когда её проекция а¹ на плоскость перпендикулярна l.
Наклонной к плоскости называют
любую пересекающую её, но не перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой
теореме равносильны тому, что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна
прямой /.
Применим обе теоремы к
кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC¹
на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх перпендикулярах, и сама диагональ АС¹
перпендикулярна BD. По такой же причине перпендикулярны АС¹ и А¹В.
Отсюда следует, что диагональ перпендикулярна «треугольному сечению» A¹BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
углов приходится иметь дело
ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению,
равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Угол между
прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость
(рис. 10), а если прямая и плоскость перпендикулярны, его принимают равным
90°. Это наименьший из углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол
между пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами,
проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все
названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.
Найдём,
например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис.
14). Заменим прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D,
т. е. 60° (треугольник BA¹D равносторонний). Угол
между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой
ас¹ и её проекцией АС на
основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М —
середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих
плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт
arccos (1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами
называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам.
Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного
из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного
треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями,
очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости
(рис. 15, а).
Более интересен вопрос о расстоянии между двумя
скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а
плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б),
найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹
прямой b на α и точку В прямой b,
которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и
потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и равна
расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.
Вместо того чтобы вычислять расстояния
и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на
ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные
ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером
а * а√2 (проекция на диагональную плоскость
АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD основания): и правильный
шестиугольник со стороной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹;
мы видели, что прямая АС¹ перпендикулярна плоскости BDA¹, а потому правильный
треугольник BDA, со
стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции
можно найти, например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу между красными прямыми, в которые
проектируются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися
диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до
прямой В¹С (В и B¹C —
изображения первой и второй диагоналей соответственно). Подумайте почему.
(Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.)
Легко найти, что r= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между
прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором
АС¹ превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника
— до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.
Отметим интересное соотношение, связывающее площадь
фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:
·
Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos φ, где φ- угол между его плоскостью и
плоскостью проекции:
Это очевидно для треугольника,
одна из сторон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис.
17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на такие
треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что
формула площади проекции справедлива и для них.
V. Несколько задач на построение,
вооброжение, изображение и соображение.
ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра
многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник
спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на
изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?
ЗАДАЧА
2.
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с
тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?
ЗАДАЧА
3.
На рисунке
20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка,
соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить,
пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?
ОТВЕТЫ.
1.
2. Нет. Прямые AD,
BE, CF должны пересекаться в
одной точке.
3. Можно. Отрезки
пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо
точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.
Введение.
В своей деятельности человеку
повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры,
взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и
астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и