Гравитационное поле вертикального стержня

В. В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук

Некоторые небольшие по диаметру и уходящие на большую глубину интрузии могут быть аппроксимированы вертикальным стержнем или цилиндром (рис.28).

Массу стержня можно представить в виде суммы элементарных масс, распределенных по всей длине стержня. Полагая , где l – линейная плотность стержня, получим:

.      (V.15)

Потенциал стержня можно представить в виде потенциала точечной массы:

.

Найдем вертикальную составляющую силы тяжести Dg элементарной массы стержня dm.

.         (V.16)

Для нахождения поля силы тяжести, созданного всей массой стержня, полученное выражение (V.16) проинтегрируем в пределах от h1 до h2:

  (V.17)

Для стержня бесконечной длины (h2 ® ¥):

.     (V.18)

Дифференцируя (V.18) по x, найдем Vxz:

.     (V.19)

При x = 0

.     (V.20)

Графики Dg и Vzx показаны на рис. 28. Сравнивая их с аналогичными графиками для шара, нетрудно убедиться в сходстве полей Dg и Vzx для шара и вертикального стержня. В плане поле стержня также имеет вид концентрических окружностей более или менее правильной формы, сходящихся над вертикальной осью стержня/