,,,
.
1: , .
2: - , .
: Z - l, h(t) x (t), h x - t. a<= t<=b, a b .
x h : [x(t)]2 + [h(t)]2 ¹ 0. , h =h(t) x=x (t), z (t)= x (t) + ih(t).
z (t) f (z ). n z0 , z1 , z2 , , z n-1 t, .. t0, t1, , t i+1 > t i.
Dz i =z i z i-1.
S = åf (z*)Dz i .
(1)
z*
.
max |Dz i | 0 , z i , f (z ) .
(2)
f (zi* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)
Dz i = Dx (t) + iDh(t) (x (t) h(t) - )
(3) (1) :
(4)
, (4) , . (4) Dx Dh 0 , , :
(5)
, , (5), (2) u v. , (2) f (z ).
. (5) :
.
7.) Cp r, Z0. Cp . Cp : z = Z0 + r×eij, 0 £ j £ 2p, dz = ir×eij dj .
- ,
.
.
, :
. ,
P(x, y) Q(x, y)
G,
- , 1-
G,
:
( 8 )
: G f(Z), G , .
: (5) :
.. f(z
) , U(x, y), V(x, y) -
, -.
:
:
- , . :
2 ( ) : f(z) G, - C, G, G .
TEOPEMA 3 ( ) :
f (z) G, 0, 1, 2, .. ,n (. .). f (z) G, :
, G, 1, 2, .. , n. .
.
- , G, Z0 Z, (Z). (Z) f(Z) G, : ¢ (Z) = f( Z).
: f(Z). :
( 9)
-.
. .
:
(2 )
g gr r . :
(3)
gr : z = Z0 + reij (4)
(4) (3) :
( 5 )
( 6 )
(7)
gr 0, .. r 0.
.. f(z) Z=Z0 G, G, e>0 r>0, z r Z0 | f(z) f(Z0) | < e.
(8)
( 7) ( 6) ( 8) :
( 5) f(Z0) :
(9)
.
, (9) f(z) Z0 g , f(z) Z0 .
, f(z) , g (9) .
G.
: , G Z0 , . Z0 , (9), . Z0 , :
Z0 Î
.
, .
, , 2- : z Z0. , , Z0.
j (Z, z ), 젠 Z= x + iy , G. z= x+ ih Î . ( - G).
. j (Z, z ) : 1) z Î G. 2) j (Z, z ) j/Z Z z G . , :
.
:
(2)
.
. f(Z) G G (G ), G f(Z) :
(3)
(3) f (Z) Z . (2) , .
. f(Z) G , G 0. f (Z) G. G.
.
f(x, y) ( n- ), :
, f (z) , f (z) n- , :
(2) .
(2) Z | Z-Z0
| f
(z), (2)
.
. (3) (4) (5) | Z
| < R, R ¥ . . (3) , Z = ix 蠠 Z=
- ix;
(6) Z = - ix : (7) (6) (7) .. : (8) : (9) , : (10) (9) (10)
: . f(z)
R, (2).
. 1.
f(Z)
|Z-Z0| < R
Z-Z0. R r,
R. r Z,
z , f(z)
r .
: (13) (11)
(12) r, (12) 1/(2pi) L Z,
: (13) f (Z), : (14) f (Z) R . (14) (2)
, (15) 2. f(Z) r Z0
Z r < |Z-Z0 |,
:
(16) h -
r (
). (17) , :
(18) 3. f(Z) Z< |Z-Z0 | (19) f1
f2
:
(20) (21) (19) , (20)
R, (21)
R
f2(Z). r R. f1(Z)
. f2(Z) .
. . . 1. f(Z)
() G, , ࠠ Z=Z0 Î
G f1(Z)
. Z=Z0 f(Z), |Z-Z0| 1) 2) 3) ,
Z=Z0
. -n=0,
. f(Z0)=C0 C-n n=1,2,3,..,m 0, n m+1 C-n=0, Z=Z0
m. m>1 . ¥ ,
Z=Z0
. 2. f(Z) |Z-Z0| m ³ 1,
:
(3) m=1 :
. f(z)
G
Z = a1, a2, , ak. g ,
-
G.
a1, a2, , ak .. 2pi : (5) : : Z1=1, Z2= - 3. . (3) :
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