Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»нтегрирование линейных неоднородных уравнений второго пор€дка с посто€нными коэффициентами. ¬ынужденные колебани€ материальной точки — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме ƒиплома

¬ыполнила:

ѕроверила:.


—одержание

†TOC o "1-3" h z u —одержание. PAGEREF _Toc169020975 h 2

¬ведение. PAGEREF _Toc169020976 h 3

ќсновные пон€ти€ и определени€. PAGEREF _Toc169020977 h 5

√лава I »нтегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc169020978 h 9

І1.1† —войства линейного оператора. PAGEREF _Toc169020979 h 9

І1.2 Ћинейные однородное дифференциальные уравнени€ второго пор€дка. PAGEREF _Toc169020980 h 11

І1.3 »нтегрирование однородного линейного уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами методом Ёйлера. PAGEREF _Toc169020981 h 15

1.3.1 ѕредварительные замечани€. PAGEREF _Toc169020982 h 15

1.3.2 —лучай различных корней характеристического уравнени€. PAGEREF _Toc169020983 h 15

1.3.3 —лучай кратных корней характеристического уравнени€. PAGEREF _Toc169020984 h 20

І1.4 —истема линейно независимых решений (фундамент) и определитель ¬ронского. PAGEREF _Toc169020985 h 21

√лава II »нтегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго пор€дка† PAGEREF _Toc169020986 h 27

І2.1† —труктура общего решени€ линейного неоднородного уравнени€ второго пор€дка. PAGEREF _Toc169020987 h 27

І2.2† ћетод вариации произвольных посто€нных (метод Ћагранжа) дл€ уравнени€ второго пор€дка† PAGEREF _Toc169020988 h 29

І2.3† ћетод неопределенных коэффициентов. PAGEREF _Toc169020989 h 32

√лава III ¬ынужденные колебани€ материальной точки. PAGEREF _Toc169020990 h 38

І3.1† ѕрименение линейных уравнений второго пор€дка с посто€нными коэффициентами к исследованию простейших колебаний. PAGEREF _Toc169020991 h 38

І3.2† —вободные колебани€. PAGEREF _Toc169020992 h 39

І3.3† ¬ынужденные колебани€. PAGEREF _Toc169020993 h 45

І3.4† явление резонанса. PAGEREF _Toc169020994 h 47

√лава IV ѕрименение €влени€ резонанса. PAGEREF _Toc169020995 h 51

І4.1† ”чет и использование резонанса. PAGEREF _Toc169020996 h 51

І4.2† явление резонанса ведущее к разрушению. —пособы гашени€ нежелательных вынужденных колебаний. PAGEREF _Toc169020997 h 54

І4.3† ƒифференциальное уравнение цепной линии. PAGEREF _Toc169020998 h 59

«аключение. PAGEREF _Toc169020999 h 67

—писок литературы.. PAGEREF _Toc169021000 h 68


¬ведение

¬ математике дифференциальные уравнени€ занимают особое место. ћатематическое исследование самых разнообразных €влений, происход€щих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчин€етс€ то или иное €вление, записываетс€ в виде дифференциальных уравнений.

«адача интегрировани€ дифференциальных уравнений €вл€етс€ классической и важнейшей задачей математического анализа.

ѕредметом исследовани€ моей дипломной работы €вл€ютс€ вынужденные колебани€ материальной точки, которые задаютс€ неоднородным линейным уравнением второго пор€дка с посто€нными коэффициентами. ѕроинтегрировав это уравнение, получим закон движени€ материальной точки. –ассмотрен также частный случай уравнени€ вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний - €вление резонанса. “ак же мною было изучено применение €влени€ резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д. –ассмотрены случаи, когда €вление резонанса приводило к разрушени€м.

ћы живем в мире колебаний. ћа€тник стенных часов, фундамент быстроходной турбины, кузов железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.

ѕо современным воззрени€м, все звуковые, тепловые, световые, электрические и магнитные €влени€, т.е. важнейшие физические процессы окружающего нас мира, свод€тс€ к различным формам колебани€ материи.

–ечь, средство общени€ людей, музыка, способна€ вызвать у людей сложные эмоции, - физически определ€ютс€ так же, как и другие звуковые €влени€, колебани€ми струн, воздуха, пластин и других упругих тел.

 олебани€ играют важную роль в таких ведущих област€х техники, как электричество и радио. ¬ыработка, передача и потребление электрической энергии, телефони€, радиовещание, телевидение, радиолокаци€ Ц все эти важные отрасли основаны на использовании электрических и электромагнитных колебаний.

— колебани€ми мы встречаемс€ и в живом организме. Ѕиение сердца, сокращение желудка, де€тельность кишечника имеют колебательный характер.

—троители и механики имеют дело с колебани€ми сооружений и машин.  ораблестроители Ц с качкой и вибрацией корабл€ и т. д.

–езкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении собственной частоты и частоты вынуждающей силы называетс€ резонансом.

–езонанс возникает из-за того, что внешн€€ сила, действу€ в такт со свободными колебани€ми тела, все врем€ совершает положительную работу. «а счет этой работы энерги€ колеблющегос€ тела увеличиваетс€ и амплитуда колебаний возрастает.

явление резонанса может играть как полезную, так и вредную роль.

Ќа применении резонанса основано действие €зычкового частотометра. «аметив, кака€ пластина вошла в резонанс, мы определим частоту системы. ћаленький ребенок может раскачать €зык большого колокола, если будет действовать на веревку в такт со свободными колебани€ми €зыка.

— резонансом можно встретитьс€ и тогда, когда это совсем нежелательно. “ак, например, в 1750 году близ города јнжера во ‘ранции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу отр€д солдат. „астота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста. »з-за этого размахи колебаний моста резко увеличились, и цепи оборвались. ћост обрушилс€ в реку. ¬ 1830 году по той же причине обрушилс€ подвесной мост около ћанчестера в јнглии, когда по нему маршировал военный отр€д. ¬ 1906 году из-за резонанса разрушилс€ и так называемый ≈гипетский мост в ѕетербурге, по которому проходил кавалерийский эскадрон. “еперь дл€ предотвращени€ подобных случаев войсковым част€м приказывают Усбить ногуФ и идти не строевым, а вольным шагом.

„тобы избежать резонанса при переезде поезда через мост, он проходит его либо на медленном ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).

ѕри отборе материала дл€ дипломной работы € старалась изложить основные идеи и методы, примен€емые дл€ изучени€ линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго пор€дка с посто€нными коэффициентами. ”равнени€ такого типа €вл€ютс€ предметом внимательного изучени€ ученых, так как к ним приводитс€ большое количество задач механики и других наук. ќни особенно просты по своей природе и вместе с тем важны по своим приложени€м. ќни имеют значение в важном вопросе о малых колебани€х, так как было показано выше, что линейные неоднородные дифференциальные уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами описывают процесс колебаний, так как мы живем в Ђмире колебанийї.
ќсновные пон€ти€ и определени€

¬ насто€щей дипломной работе применены следующие термины с соответствующими определени€ми.

ƒифференциальные уравнени€ Ц это уравнени€, в которые неизвестна€ функци€ входит под знаком производной. ќсновна€ задача теории дифференциальных уравнений Ц изучение функций, €вл€ющихс€ решением таких уравнений. –ешением дифференциального уравнени€ называетс€ функци€, котора€ при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

ƒифференциальные уравнени€ можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнени€, в которых неизвестные функции €вл€ютс€ функци€ми одной переменной, и на дифференциальные уравнени€ в частных производных, в которых неизвестные функции €вл€ютс€ функци€ми двух и большего числа переменных.

Ќаивысший пор€док производной, вход€щей в дифференциальное уравнение, называетс€ пор€дком этого уравнени€.

ѕроцесс отыскани€ решени€ дифференциального уравнени€ называетс€ его интегрированием, а график решени€ дифференциального уравнени€ Ц интегральной кривой.

ƒифференциальные уравнени€ первого пор€дка

ƒифференциальное уравнение первого пор€дка в общем случае можно записать в виде

††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1)

”равнение св€зывает независимую переменную x, искомую функцию y и ее производную

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2)

и называют дифференциальным уравнение первого пор€дка, разрешенным относительно производной.

”равнение (2) устанавливает св€зь между координатами точки †и угловым коэффициентом †касательной к интегральной кривой, проход€щей через эту точку. —ледовательно, дифференциальное уравнение †дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. “аково геометрическое истолкование дифференциального уравнени€ первого пор€дка.

ƒифференциальное уравнение первого пор€дка, разрешимое относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

†††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(3)

где †и †- известные функции. ”равнение (3) удобно тем, что переменные x и y в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой. ќтметим, что от одного вида записи дифференциального уравнени€ можно перейти к другому.

„тобы решение дифференциального уравнени€ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным услови€м.

”словие, что при †функци€ y должна быть равна заданному числу †называетс€ начальным условием. Ќачальное условие записываетс€ в виде

††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††или ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(4)

ќбщим решением дифференциального уравнени€ первого пор€дка называетс€ функци€

1.     ‘ункци€ †€вл€етс€ решением дифференциального уравнени€ при каждом фиксированном значении c.

2.      аково бы ни было начальное условие (4), можно найти такое значение посто€нной †удовлетвор€ет данному начальному условию.

„астным решением дифференциального уравнени€ первого пор€дка называетс€ люба€ функци€ †при конкретном значении посто€нной

«адача отыскани€ решени€ дифференциального уравнени€ первого пор€дка (3), удовлетвор€ющего заданному начальному условию (4), называетс€ задачей  оши.

“еорема (существовани€ и единственности задачи  оши). ≈сли в уравнении (2) функци€ †и ее частна€ производна€ †непрерывны в некоторой области D, содержащей точку †этого уравнени€, удовлетвор€ющее начальному условию (4).

ƒифференциальные уравнени€ высших пор€дков

ƒифференциальные уравнени€ пор€дка выше первого называютс€ дифференциальными уравнени€ми высших пор€дков. ƒифференциальное уравнение второго пор€дка в общем случае запишетс€ в виде

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(5)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (6)

–ешением дифференциального уравнени€ (6) называетс€ вс€ка€ функци€ вида

ќбщим решением дифференциального уравнени€ называетс€ функци€ вида †и †- не завис€щее от x произвольные посто€нные, удовлетвор€юща€ услови€м:

1. †€вл€етс€ решением дифференциального уравнени€ дл€ каждого фиксированного значени€ †и

2.  аковы бы ни были начальные услови€

††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (7)

существуют единственные значени€ посто€нных †и †такие, что функци€ †€вл€етс€ решением уравнени€ (6) и удовлетвор€ет начальным услови€м (7).

¬с€кое решение †уравнени€ (6), получающеес€ из общего решени€ †при конкретных значени€х посто€нных †и частным решением.

 ак и в случае уравнени€ первого пор€дка, задача нахождени€ решени€ дифференциального уравнени€, удовлетвор€ющего заданным начальным услови€м (7), называетс€ задачей  оши.

“еорема (существовани€ и единственности задачи  оши). ≈сли в уравнении (6) функци€ †и ее частные производные †и †непрерывны в некоторой области D изменени€ переменных x, y и †существует единственное решение †уравнени€ (6), удовлетвор€ющее начальным услови€м (7).

јналогичные пон€ти€ и определени€ имеют место и дл€ дифференциального уравнени€ †пор€дка, которое в общем виде записываетс€ как

Ќам часто будут встречатьс€ функции вещественного переменного t, называемого временем. ѕроизводна€ по t называетс€ скоростью и обозначаетс€ чаще всего точкой наверху: t называетс€ ускорением и обозначаетс€:


√лава I
»нтегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений

І1.1† —войства линейного оператора

Ћинейное уравнение †пор€дка имеет следующий общий вид:

††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††† (1.1.1)

≈сли в рассматриваемом интервале изменени€ x функци€ †тождественно равна нулю, то уравнение (1.1.1) принимает вид

††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.1.2)

и называетс€ однородным. ≈сли неоднородным.

Ѕудем предполагать, что функции †- непрерывны на интервале †при любом †будет только очевидное нулевое решение y = 0.

ƒл€ упрощени€ дальнейшего изложени€ обозначим левую часть линейного уравнени€ (1.1.1) через

††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††(1.1.3)

“аким образом †есть результат выполнени€ над функцией y операций, указанных в правой части формулы (1.1.3), а именно: вычисление производных от функции y вплоть до пор€дка n включительно, умножение †на заданные функции L:

и будем называть его линейным дифференциальным оператором . ¬ частности, линейный дифференциальный оператор второго пор€дка имеет вид

ѕример 1. –ассмотрим оператор

¬ычислим †и

Ћинейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1)    посто€нный множитель можно выносить знак оператора

2)    оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

¬ справедливости этих свойств легко убедитьс€ непосредственной проверкой. ¬ самом деле, имеем

»з этих основных свойств оператора L следует, что

т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

»спользу€ оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнени€ (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.1.4)

и

††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.1.5)

≈сли функци€ †€вл€етс€ решением уравнени€ (1.1.4) или (1.1.5) в некотором интервале L от этой функции равно †или нулю при всех x из

††††

или

††††

І1.2 Ћинейные однородное дифференциальные уравнени€ второго пор€дка

–ассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго пор€дка

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.2.1)

и установим некоторые свойства его решений.

“еорема 1. ≈сли функции †и †€вл€ютс€ частными решени€ми уравнени€ (1.2.1), то решением этого уравнени€ €вл€етс€ также функци€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††(1.2.2)

где †и †- произвольные посто€нные.

ѕодставим функцию †и ее производные в левую часть линейного однородного уравнени€ (1.2.1). ѕолучаем:

так как функции †и †- решени€ уравнени€ (1.2.1) и, значит, выражени€ в скобках тождественно равны нулю.

“аким образом, функци€ (1.2.2) также €вл€етс€ решением уравнени€ (1.2.1).

»з теоремы 1, как следствие, вытекает, что если †и †- решени€ уравнени€ (1.2.1), то решени€ми его будут также функции †и

‘ункци€ (1.2.2) содержит две произвольные посто€нные и €вл€етс€ решением уравнени€ (1.2.1). ћожет ли она €вл€тьс€ общим решением уравнени€ (1.2.1)? ƒл€ ответа на вопрос введем пон€тие линейной зависимости и линейной независимости функций.

‘ункции †и †называютс€ линейно независимыми на интервале

†††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.2.3)

где

≈сли хот€ бы одно из чисел †или †отлично от нул€ и выполн€етс€ равенство (1.2.3), то функции †и †называютс€ линейно зависимыми на

ќчевидно, что функции †и †линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. дл€ всех †выполн€етс€ равенство

Ќапример, функции †и †линейно зависимы: †и †- линейно независимы: †и †€вл€ютс€ линейно независимыми: равенство †выполн€етс€ дл€ всех †лишь при †(или

—редством изучени€ линейной зависимости системы функций €вл€етс€ определитель ¬ронского или вронскиан.

ƒл€ двух дифференцируемых функций †и †вронскиан имеет вид

»меют место следующие теоремы.

“еорема 2. ≈сли дифференцируемые функции †и †линейно зависимы на

“ак как функции †и †линейно зависимы, то в равенстве (1.2.3) значение †и †отлично от нул€. ѕусть

“еорема 3. ≈сли функции †и †- линейно независимые решени€ уравнени€ (1.2.1) на

»з теорем 2 и 3 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала †тогда и только тогда, когда частные решени€ линейно независимы.

—овокупность любых двух линейно независимых на интервале †частных решений †и †линейного однородного дифференциального уравнени€ второго пор€дка определ€ет фундаментальную систему решений этого уравнени€: любое произвольное решение может быть получено как комбинаци€

“еперь можно сказать, при каких услови€х функци€ (1.2.2) будет общим решением уравнени€ (1.2.1).

“еорема 4. (структура общего решени€). ≈сли два частных решени€ †и †линейного однородного дифференциального уравнени€ (1.2.1) образуют на интервале †фундаментальную систему, то общим решением этого уравнени€ €вл€етс€ функци€

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.2.4)

где †и †- произвольные посто€нные.

—огласно теореме 1, функци€ (1.2.4) €вл€етс€ решением уравнени€ (1.2.1). ќстаетс€ доказать, что это решение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетвор€ющее заданным начальным услови€м

†††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††(1.2.5)

где

ѕодставив начальные услови€ (1.2.5) в решение (1.2.2), получим систему уравнений

где †и

“ак как решени€ †и †образуют фундаментальную систему решений на †и

††††††

–ешение †€вл€етс€ частным решением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнени€ (1.2.1), удовлетвор€ющим начальным услови€м (1.2.5).

“еорема доказана.

І1.3 »нтегрирование однородного линейного уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами методом Ёйлера

1.3.1 ѕредварительные замечани€

–ассмотрим линейное уравнение n-ого пор€дка

††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††(1.3.1)

где коэффициенты †суть вещественные числа, а права€ часть †непрерывна в некотором интервале †

“ак как интегрирование неоднородного линейного уравнени€ приводитс€ к интегрированию соответствующего однородного уравнени€, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решени€ однородного уравнени€

†††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.2)

ƒл€ нахождени€ общего решени€ этого уравнени€ достаточно знать фундаментальную систему решений. “ак как коэффициенты уравнени€ посто€нны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значени€х x, то согласно теореме ѕикара и все решени€ уравнени€ (1.3.2) определены при всех значени€х x. ѕоэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существовани€ частных решений, ни область общего решени€.

Ёйлер доказал, что дл€ однородного линейного уравнени€ с посто€нными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состо€щую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируетс€ в элементарных функци€х.

1.3.2 —лучай различных корней характеристического уравнени€

„астным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений €вл€ютс€ линейные однородные дифференциальные уравнени€ с посто€нными коэффициентами.

ѕусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго пор€дка

††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.3)

где †и †- вещественные числа. Ѕудем, следу€ Ёйлеру, искать частное решение уравнени€ (1.3.3) в виде

†††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.4)

где †- подлежащее определению число (вещественное или комплексное). —огласно определению решени€ функции (1.3.4) будет решением уравнени€ (1.3.3), если †выбрано так, что функци€ (1.3.4) обращает это уравнение в тождество

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.5)

¬ычисл€€

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.6)

будем иметь

так что

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.7)

или

где

»з (1.3.7) следует, что интересующее нас тождество (1.3.5) будет выполн€тс€ тогда и только тогда, когда †€вл€етс€ корнем уравнени€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.8)

Ёто уравнение называетс€ характеристическим уравнением, а его корни Ц характеристическими числами уравнени€ (1.3.3).

«аметим, что характеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (1.3.3) заменой †и †на †и 1, т.е. степень †совпадает с пор€дком производной, если условитьс€ считать, что производна€ нулевого пор€дка от функции есть сама функци€

—труктура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решени€ уравнени€ (1.3.3) зависит от вида корней характеристического уравнени€ (1.3.8).

–ассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и вещественные. ќбозначим их через †и †числа †и

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.9)

Ёти решени€, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

не равно тождественно посто€нной величине. ¬ линейной независимости решений (1.3.9) можно убедитьс€ также при помощи определител€ ¬ронского. »меем

—ледовательно, частные решени€ (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. ј тогда общим решением уравнени€ (1.3.3) будет

ѕример 1. –ассмотрим уравнение

’арактеристическим уравнением будет

≈го корни †(вещественные и различные). ѕоэтому фундаментальна€ система решений имеет вид

а общим решением будет

ѕример 2. ѕусть дано уравнение

»меем

ќбщим решением будет

ѕредположим теперь, что корни характеристического уравнени€ комплексные. “ак как коэффициенты этого уравнени€ вещественные, то эти комплексные корни €вл€ютс€ сопр€женными, так что они имеют вид

ѕодставл€€ корень †в формулу (1.3.4), получим комплексное решение

††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.10)

Ќо

поэтому решение (1.3.10) можно записать так

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.11)

ќтдел€€ в комплексном решении (1.3.11) вещественную и мнимую части, получим два вещественных частных решени€

††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††(1.3.12)

Ёти решени€ независимы, так как

јналогично убеждаемс€, что сопр€женному корню †соответствуют вещественные частные решени€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.13)

–ешени€ (1.3.13), очевидно, линейно зависимы с решени€ми (1.3.12).

“аким образом, паре сопр€женных комплексных корней †соответствуют два вещественных линейно независимых частных решени€ (1.3.12).

–ешени€ (1.3.12) образуют фундаментальную систему решений уравнени€ (1.3.3). ѕоэтому

или

будет общим решением уравнени€ (1.3.3).

≈сли корни †и †чисто мнимые, т.е. †

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.3.14)

Ёти решени€ образуют фундаментальную систему решений уравнени€ (1.3.3), а

есть общее решение этого уравнени€.

ѕример 3. –ассмотрим уравнение

†††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.15)

’арактеристическое уравнение

имеет сопр€женные комплексные корни

ќбщим решением будет

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††† ††††††††††††††††††(1.3.16)

«аметим, что из формулы общего решени€ (1.3.16) видно, что все ненулевые решени€ уравнени€ (1.3.15) обладают свойством:

ѕример 4. –ешить уравнение

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.17)

’арактеристическое уравнение

имеет чисто мнимые корни

так что общим решением будет

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††(1.3.18)

»з формулы общего решени€ (1.3.18) видно, что все решени€ уравнени€ (1.3.17) ограничены по x на интервале

1.3.3 —лучай кратных корней характеристического уравнени€

ѕредположим теперь, что характеристическое уравнение (1.3.8) имеет равные корни

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.19)

или

”бедимс€ непосредственной подстановкой в уравнение (1.3.3) в том, что

††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.20)

есть второе частное решение уравнени€ (1.3.3), линейно независимое с решением (1.3.19):

††

ѕоэтому

(так как

ќбщим решением уравнени€ (1.3.3) будет

ѕример 5. –ешить уравнение

††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.21)

’арактеристическое уравнение

имеет равные корни

ќбразуют фундаментальную систему решений, а общим решением будет

††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.3.22)

»з формулы общего решени€ (1.3.22) видно, что все ненулевые решени€ уравнени€ (1.3.21) обладают свойством:

І1.4 —истема линейно независимых решений (фундамент) и определитель ¬ронского

«на€ n частных решений y1, y2,Е,yn, можно построить семейство решений, завис€щее от n произвольных посто€нных:

†††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.4.1)

Ёто решение, как показано ниже, будет общим решением, если частные решени€ y1, y2,Е,yn обладают одним дополнительным свойством, относ€щемс€ к характеру зависимости между ними.

ѕрежде чем сформулировать это свойство, введем пон€тие о линейной независимости функций.

ѕусть даны †функций от

††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.4.2)

—оставим их линейную комбинацию с посто€нными коэффициентами:

≈сли эта линейна€ комбинаци€ тождественно равна нулю в интервале

††††

только в очевидном случае, т.е. при нулевых значени€х коэффициентов †и †линейно независимы в интервале

††††

ѕример 1.‘ункции

линейно независимы в любом интервале. ¬ самом деле, соотношение

в котором хот€ бы одно из чисел †и †отличны от нул€, может выполн€тьс€ не более чем при одном значении x. Ёто следует также из того, что

ѕример 2. ‘ункции

линейно зависимы в любом интервале, ибо

так что †есть однородна€ линейна€ функци€ от .

“еорема. ≈сли функции (1.4.2) линейно зависимы в интервале .

ƒействительно, пусть

††††

где, например,

т.е. †€вл€етс€ линейной комбинацией функций

—овокупности †решений

†††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(1.4.3)

однородного линейного уравнени€

††††

ѕример 3. –ассмотрим уравнение

Ёто однородное линейное уравнение второго пор€дка имеет два частных решени€ †и

ƒадим признак линейно независимости †частных решений (1.4.3) однородного линейного уравнени€ †включительно:

Ётот определитель называетс€ определителем ¬ронского решений

“еорема. ƒл€ того, чтобы решени€ (1.4.3) были линейно независимыми в †не обращалс€ в нуль ни в одной точке из

Ќеобходимость. ѕусть решени€ (1.4.3) линейно независимы в

ѕостроим однородную линейную систему †уравнений

††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††(1.4.4)

с неизвестными

(т.е. хоть одно из чисел †не равно нулю).

ѕостроим линейную комбинацию решений (1.4.3), вз€в в качестве коэффициентов числа

††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††(1.4.5)

Ёто решение удовлетвор€ет нулевым начальным услови€м

†при

как это видно из системы (1.4.4), если заменить в ней неизвестные †их значени€ми, найденными из этой системы. —ледовательно, в силу единственности задачи  оши, котора€ имеет место вследствие непрерывности коэффициентов уравнени€ (1.4.5) должно быть нулевым, т. е.

††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††(1.4.6)

“ак как среди чисел †хоть одно отлично от нул€, то тождество (1.4.6) означает, что вопреки предположению решени€ (1.4.4) линейно зависимы в

ƒостаточность. ѕредположим, что †не обращаетс€ в нуль в

††††

где, например, †“огда

†††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††(1.4.7)

откуда

††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††(1.4.8)

«аменив теперь элементы последнего столбца определител€ ¬ронского их значени€ми из формул (1.4.7) и (1.4.8). ѕолучим определитель, у которого элементы одного (последнего) столбца €вл€ютс€ линейными комбинаци€ми элементов (всех) других столбцов. “акой определитель, как известно, равен нулю. “аким образом, вопреки предложению †в

“еорема доказана. «аметим, что при доказательстве необходимости существенно использовано предложение о непрерывности коэффициентов уравнени€ в интервале

«начение определител€ ¬ронского †решений однородного линейного уравнени€ †тесно св€зано с самим уравнение, а именно: имеет место следующа€ формула ќстроградского Ц Ћиувилл€:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1.4.9)

»з формулы (1.4.9) видно, что определитель ¬ронского †решений уравнени€ †обладает двум€ замечательными свойствами:

1.     ≈сли †обращаетс€ в нуль в одной точке из интервала .

2.     ≈сли †не равен нулю хот€ бы в одной точке †из интервала .

“аким образом, дл€ того чтобы †решений (1.4.3) составл€ли фундаментальную систему решений уравнени€ †в интервале

¬ частности решени€ уравнени€ (1.4.3) с начальными услови€ми †образуют фундаментальную систему решений. “ака€ фундаментальна€ система называетс€ нормированной в точке

ѕример 4. –ассмотрим уравнение

ќно имеет решени€ †и

—ледовательно, решени€ †и †образуют фундаментальную систему решений в


√лава II
»нтегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго пор€дка

І2.1† —труктура общего решени€ линейного неоднородного уравнени€ второго пор€дка

–ассмотрим линейное неоднородное уравнение второго пор€дка

††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.1.1)

где †- заданные, непрерывные на †функции. ”равнение

†††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.1.2)

лева€ часть которого совпадает с левой частью линейного неоднородного дифференциального уравнени€ (2.1.1), называетс€ соответствующим ему однородным уравнением.

“еорема 1. (структура общего решени€). ќбщим решением y уравнени€ (2.1.1) €вл€етс€ сумма его произвольного частного решени€ †и общего решени€ Y соответствующего однородного уравнени€ (2.1.2), т.е.

††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.1.3)

”бедимс€, что функци€ (2.1.3) Ц решение уравнени€ (2.1.1). “ак как †есть решение уравнени€ (2.1.1), а Y Ц решение уравнени€ (2.1.2), то

†и

¬ таком случае имеем:

Ёто означает, что функци€ †€вл€етс€ решением уравнени€ (2.1.1). ѕокажем теперь, что функци€

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.1.4)

€вл€етс€ общим решением уравнени€ (2.1.1). ƒл€ этого надо доказать, что из решени€ (2.1.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетвор€ющее заданным начальным услови€м

††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.1.5)

ѕродифференцировав функцию (2.1.4) и подставив начальные услови€ (2.1.5) в функцию (2.1.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где †и †дл€ функции †и †в точке †и †линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т.е. †и

–ешение †€вл€етс€ частным решением уравнени€ (2.1.1), удовлетвор€ющим заданным начальным услови€м (2.1.5).

“еорема доказана.

“еорема 2. (о наложении решений) ≈сли права€ часть уравнени€ (2.1.1) представл€ет собой сумму двух функций: †и †- частные решени€ уравнений †и †соответственно, то функци€ †€вл€етс€ решением данного уравнени€.

ƒействительно,††

ѕример. –ассмотрим уравнение

ƒл€ уравнений

†и

легко наход€тс€ частные решени€. ƒл€ первого из них частным решением будет †есть частное решение уравнени€, а его общим решением будет

І2.2† ћетод вариации произвольных посто€нных (метод Ћагранжа) дл€ уравнени€ второго пор€дка

ѕусть дано неоднородное линейное уравнение второго пор€дка

†††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.2.1)

где коэффициенты †и права€ часть †есть функции от x, непрерывные в некотором интервале

–ассмотрим нар€ду с уравнением (2.2.1) соответствующее ему однородное уравнение

††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.2.2)

ѕусть †- фундаментальна€ система решений уравнени€ (2.2.2), так что

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.2.3)

и

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††(2.2.4)

“огда, как известно, общее решение уравнени€ (2.2.2) имеет вид

где †и †- произвольные посто€нные.

Ѕудем искать решение уравнени€ (2.2.1) в виде

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††(2.2.5)

где †и †- некоторые функции от x, подлежащие определению.

ѕодставл€€ (2.2.5) в уравнение (2.2.1), получим одно условие, которому должны удовлетвор€ть две неизвестные функции †и

†††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.2.6)

ќно содержит производные второго пор€дка от искомых функций †и y мы получили уравнение того же пор€дка, но уже с двум€ неизвестными функци€ми - †и

ƒифференциру€ обе части равенства (2.2.5), имеем

„тобы при вычислении †не по€вились производные второго пор€дка от †и

Ёто и есть то дополнительное условие на искомые функции †и †примет вид

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.2.7)

¬ычисл€€ теперь

††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††† †††††††††††††††††††††(2.2.8)

ѕодставим выражени€ дл€ †и †из формул (2.2.5), (2.2.7) †и (2.2.8) в уравнение (2.2.1). ƒл€ этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на †и 1, сложим почленно и приравн€ем сумму правой части уравнени€ (2.2.1). ѕолучим

«десь в силу (2.2.3) первые два слагаемых равны нулю, поэтому

Ёто и есть новый вид услови€ (2.2.6). “еперь оно уже не содержит производных второго пор€дка от †и

“аким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений

Ёта система в силу (2.2.4) однозначно разрешим относительно †и

где †и †суть вполне определенные функции от x. »х можно найти, например, по правилу  рамера. ѕри этом, так как †и †непрерывны в интервале †и †будут непрерывны в интервале

где †и †- произвольные посто€нные.

ѕодставл€€ найденные значени€ функций †и †в формулу (2.2.5), получим

†††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††(2.2.9)

ѕолага€ здесь

так что формулу (2.2.9) можно записать в виде

откуда в силу теоремы о том, что решение неоднородного линейного уравнени€ равно сумме какого-нибудь частного решени€ этого уравнени€ и общего решени€ соответствующего однородного уравнени€, следует, что формула (2.2.9) дает общее решение уравнени€ (2.2.1). ¬се решени€, вход€щие в формулу (2.2.9), заведомо определены в интервале

ѕример. –ассмотрим уравнение

†††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††(2.2.10)

«десь перва€ часть непрерывна в каждом из интервалов

где †- любое целое число. —оответствующее однородное уравнение

имеет фундаментальную систему решений

так что общим решением этого уравнени€ будет††

Ѕудем искать решение уравнени€ (2.2.10) в виде

††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.2.11)

ƒл€ нахождени€ †и †имеем систему

–еша€ ее, найдем

ѕодставл€€ найденные значени€ †и †в формулу (2.2.11), получим общее решение уравнени€ (2.2.10) в виде

І2.3† ћетод неопределенных коэффициентов

–ассмотрим линейное неоднородное уравнение второго пор€дка с посто€нными коэффициентами

†† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††(2.3.1)

где †и †- вещественные числа; †- непрерывна€ функци€.

 ак известно, общее решение такого уравнени€ представл€ет собой сумму частного решени€ неоднородного уравнени€ и общего решени€ соответствующего однородного уравнени€. „астное решение уравнени€ (2.3.1) может быть найдено методом вариации произвольных посто€нных. ќднако если в правой части уравнени€ (2.3.1) Ц многочлен, либо показательна€ функци€, либо тригонометрическа€ функци€ †или

—уть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем: по виду правой части †уравнени€ (2.3.1) записывают ожидаемую форму частного решени€ с неопределенным коэффициентами, затем подставл€ют ее уравнение (2.3.1) и из полученного тождества наход€т значени€ коэффициентов.

–ассмотрим различные виды правых частей уравнени€ (2.3.1):

I.      ѕрава€ часть имеет вид

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2.3.2)

где †- многочлен степени n.

“огда частное решение

где †- многочлен той же степени, что и r Ц число корней характеристического уравнени€, равных нулю.

ѕример 1. Ќайти общее решение уравнени€

ќбщее решение соответствующего однородного уравнени€ имеет вид

“ак как права€ часть уравнени€ Ц многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнени€ †не равен нулю (

где ј и ¬ Ц неизвестные коэффициенты. ƒифференциру€ дважды †и подставл€€ †и †в данное уравнение, найдем

ѕриравнива€ коэффициенты при одинаковых степен€х x в обеих част€х равенства: A = 1, -2ј + ¬ = 1, находим: ј = 1, ¬ = 3. »так, частное решение данного уравнени€ имеет вид

а его общее решение

II.   ѕрава€ часть имеет вид

††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††(2.3.3)

где †- многочлен степени n. “огда частное решение следует искать в виде

†††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††(2.3.4)

где †- многочлен той же степени, что и r Ц число корней характеристического уравнени€ равных

1)    ѕусть †не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€

т.е.

†††††††† †††††††

ѕосле подстановки функции †и ее производных в уравнение (2.3.3), сокращени€ ее на

††††††††††††††††††††††††††† ††††† ††††††††††††††††(2.3.5)

—лева Ц многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа Ц многочлен степени n, но с известными коэффициентами. ѕриравнива€ коэффициенты при одинаковых степен€х x, получим систему (n+1) алгебраических уравнений дл€ определени€ коэффициентов

2)    ѕусть †€вл€етс€ однократным (простым) корнем характеристического уравнени€

¬ этом случае искать решение в форме †нельз€, т.к.

¬ левой части - многочлен степени (n-1), в правой части Ц многочлен степени n. „тобы получить тождество многочленов в решении n+1). ѕоэтому частное решение †следует искать в виде

(в равенстве (2.3.4) положить r = 1).

3)    ѕусть †€вл€етс€ двукратным корнем характеристического уравнени€ †и

—лева стоит многочлен степени (n-2). ѕон€тно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение †следует искать в виде

(в равенстве (2.3.4) положить r = 2).

ѕример 2. Ќайти общее решение уравнени€

’арактеристическое уравнение †имеет корни †¬ правой части этого уравнени€ Ц произведение многочлена первой степени на показательную функцию †при = 1. ¬ данном случае †- многочлен первой степени. ѕоэтому частное решение данного уравнени€ ищем в виде

ƒифференциру€ и подставл€€ в уравнение, получаем

ѕриравнива€ коэффициенты при одинаковых степен€х x в обеих част€х равенства: ј и ¬ в выражение дл€

III.           ѕрава€ часть имеет вид

где †и †- известные числа. “огда частное решение †надо искать в виде

где ј и ¬ Ц неизвестные коэффициенты, а r Ц число корней характеристического уравнени€, равных

ѕример 3. Ќайти общее решение уравнени€

’арактеристическое уравнение †имеет корни †- корень характеристического уравнени€, то r = 1 и частное решение надо искать в виде

ƒифференциру€ и подставл€€ в уравнение, получаем

откуда

IV.           ѕрава€ часть имеет вид

где †и †- многочлены степени n и m соответственно, †и †- действительные числа. ”равнение (2.3.1) запишетс€ в виде

“огда частное решение следует искать в виде

где r Ц число, равное кратности †как корн€ характеристического уравнени€ †и †- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l Ц наивысша€ степень многочленов †и

ѕример 4. Ќайти общее решение уравнени€

«десь характеристическое уравнение †имеет корни †не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€, поэтому r = 0, и частное решение ищем в виде

ƒифференциру€ и подставл€€ в уравнение, получаем

ѕриравнива€ коэффициенты при †и

откуда


√лава III
¬ынужденные колебани€ материальной точки

І3.1† ѕрименение линейных уравнений второго пор€дка с посто€нными коэффициентами к исследованию простейших колебаний

–ассмотрим пр€молинейное движение материальной точки массы m по оси x. ѕусть движение происходит под действием трех сил:

1)    силы, прит€гивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось x, равную Цax (a>0);

2)    силы сопротивлени€ среды, которую будем считать пропорциональной первой степени скорости:

3)    возмущающей силы, направленной силы по оси x и равной †в момент времени t.

“огда, примен€€ второй закон Ќьютона, получим дифференциальное уравнение движени€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††(3.1.1)

–азделив обе части уравнени€ (3.1.1) на m, перепишем его в виде

†††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††(3.1.2)

где

”равнение (3.1.2) есть неоднородное линейное уравнение второго пор€дка с посто€нными коэффициентами. ѕроинтегрировав его, найдем закон движени€ рассматриваемой точки.

“ак как наибольший интерес имеют случаи, когда движени€, определ€емые равнением (3.1.2), представл€ют собой колебани€ точки около положени€ x = 0, то уравнение (3.1.2) называют уравнением колебаний. ѕри этом если возмущающа€ сила отсутствует, так что

†††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(3.1.3)

и называетс€ уравнением свободных колебаний. ƒифференциальное уравнение (3.1.2), в котором вынужденных колебаний.

  интегрированию линейного уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами приходим при изучении не только механических колебаний, но и многих других колебательных €влений: например, с такими уравнени€ми мы встречаемс€ в теории электрических цепей.

”равнение (3.1.2) всегда интегрируетс€ хот€ бы в квадратурах, ибо соответствующее однородное уравнение (3.1.3), будучи однородным линейным уравнением с посто€нными коэффициентами, всегда интегрируетс€ в элементарных функци€х, а тогда, примен€€ метод Ћагранжа, можно найти общее решение уравнени€ (3.1.2) при любой непрерывной функции t.

І3.2† —вободные колебани€

–ассмотрим дифференциальное уравнение (3.1.3); изучим свойства решений (движений), определ€емых этим уравнением. ¬ частности, вы€сним, как вли€ют параметры h и k на характер движений. ѕредположим сначала, что в среде без сопротивлени€. ¬ этом случае уравнение (3.1.3) принимает вид

††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††(3.2.1)

≈го характеристическим уравнением будет

откуда

и общее решение имеет вид

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††(3.2.2)

‘ормула (3.2.2) дает все решени€ (движени€), определ€емы уравнением (3.2.1).

¬ведем вместо †и †новые произвольные посто€нные ј и

ѕолучим движение

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††(3.2.3)

“акое движение называетс€ гармоническим колебанием.  ак видно из формулы (3.2.3), оно €вл€етс€ периодическим движением с периодом †и частотой k. „исло A называетс€ амплитудой, а †- начальной фазой колебани€ (3.2.3).

x0

x

A

x = A

(‘азой гармонического колебани€ называетс€ аргумент синуса, т.е. t = 0 называетс€ начальной фазой.)

0

t

»з формулы (3.2.3) видно, что все движени€, определ€емые уравнением (3.2.1), ограничены при

-A

x = -A

√рафик движени€ (3.2.3) (рис. 3.1)

получают в результате элементарных

††††††††††††††††††††††† –ис. 3.1†††††††††††††††††††† преобразований графика функции

¬с€кими начальными услови€ми

†и при

в силу теоремы существовани€ и единственности решени€ задачи  оши дл€ линейного уравнени€ n-ого пор€дка соответствует одно вполне определенное движение; оно содержитс€ в формуле (3.2.3) при соответствующих значени€х амплитуды A и начальной фазы †и †в систему

ѕолучаем

откуда

¬ частности, если точка начинает движение из положени€ †без начальной скорости (

и движение имеет вид

†или

(рис. 3.2).

≈сли точка начинает движение из положени€ †с начальной скоростью

и соответствующим движением будет (рис. 3.3):

0

x

t

0

x

t

x = -x0

x = x0

x0

††††††††† –ис. 3.2††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† –ис. 3.3

Ќаконец, если оба начальных значени€ †и †равны нулю, то

т.е. выродитс€ в состо€ние поко€. Ёто есть единственное движение, удовлетвор€ющее нулевым начальным услови€м

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††при ††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††(3.2.4)

—корость этого движени€, очевидно, равна нулю при всех t.

—осто€ние поко€ все движени€, у которых начальные значени€ †и †не равны одновременно нулю, но достаточно малы, будут при всех †сколь угодно мало отклон€етс€ от состо€ни€ поко€ и иметь сколь угодно малую скорость. ƒействительно, эти движени€ имеют вид (общее решение в форме  оши)

»х скорость определ€етс€ формулой

“ак как синус и косинус по абсолютной величине не превосход€т числа 1, то

откуда и следует, что x и †будут сколь угодно малы при всех †и †достаточно малы.

ѕредположим теперь, что в уравнении (3.1.3) среде с сопротивлением.

¬ы€сним, как вли€ет наличие h на характер колебаний, определ€емых уравнением (3.1.3), как измен€етс€ это вли€ние с изменением величины h (если k посто€нно), т.е. какой характер имеет колебание при малых и больших сопротивлени€х среды. ƒл€ этого найдем общее решение уравнени€ (3.1.3).

’арактеристическое уравнение

имеет корни

«десь возможны три случа€.

ѕервый случай.

††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††(3.2.5)

ƒвижени€, соответствующие решени€м (3.2.5), €вл€ютс€ апериодическими. ¬ы€сним, как ведут себ€ движени€ (3.2.5) по отношению к состо€нию поко€ †при

Ќетрудно убедитьс€, что если †и †достаточно малы, то x и †будут сколь угодно малы при всех .  роме того, все ненулевые решени€ (3.2.5) обладают свойством:

††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††и при ††††††††††††††††††††††††††††††† (3.2.6)

¬торой случай.

ќбщим решением уравнени€ (3.1.3) будет

†††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††(3.2.7)

ƒвижени€, соответствующие решени€м (3.2.7), также €вл€ютс€ апериодическими. ƒл€ любых †и †соответствующие им x и †будут бесконечно малыми при . ƒругими словами, все ненулевые решени€ (3.2.7) обладают свойством (3.2.6).

“ретий случай.

ѕоэтому общее решение имеет вид

или

†††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††(3.2.8)

ƒвижение, соответствующее решению (3.2.8), называетс€ затухающими гармоническим колебанием с периодом †и частотой †и начальной фазой ¬ отличие от гармонического колебани€ (3.2.3) здесь амплитуда уже непосто€нна. «аметим, что она ограничена, так как

и стремитс€ к нулю при „исло ј называет начальной амплитудой, а h Ц коэффициентом затухани€. ћножитель †характеризует быстроту затухани€.

Ќачальна€ амплитуда A и начальна€ фаза †определ€етс€ из начальных условий. ѕри этом, так как из формулы (3.2.8) следует, что

то графики ненулевых решений (1) (колебаний, отличных от состо€ни€ поко€) заключены между графиками показательных функций (2) и (3) (рис. 3.4):

x

†и

A

(2)

x0

(1)

ћожно показать, что если †и †достаточно малы, то соответствующие им x и †будут сколь угодно малы при

0

t

¬се ненулевые решени€ (3.2.8) обладают свойством (3.2.6).

–ис. 3.4

-A

(3)

“аким образом, наличие сопротивлени€ среды †видоизмен€ет характер колебаний;

††††††††† причем пока сопротивление h сравнительно невелико (; при большом сопротивлении среды †движени€ станов€тс€ апериодическими.

¬се решени€ уравнени€ (3.1.3) при †обладают свойством (3.2.6).

І3.3† ¬ынужденные колебани€

–ассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (3.1.2)

—огласно теореме о структуре общего решени€ неоднородного линейного уравнени€ все движени€, определ€емые уравнением (3.1.2), складываютс€ из совокупности всех движений, определ€емых соответствующим однородным уравнением и называемых собственными колебани€ми точки, и какого-нибудь однородного движени€, определ€емого неоднородным уравнением (3.1.2).

 ак было отмечено, все колебани€, определ€емые уравнением (3.1.2), всегда можно найти методом вариации произвольных посто€нных.

≈сли права€ часть уравнени€ (3.1.2) имеет специальный вид, позвол€ющий найти частное решение методом неопределенных коэффициентов, то метод Ћагранжа примен€ть не следует.

–ассмотрим случай, когда возмущающа€ сила †периодическа€ и имеет синусоидальный характер, причем колебани€ происход€т в среде без сопротивлени€ (

»так, пусть дано уравнение

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3.3.1)

«десь собственные колебани€, определ€емые уравнением (3.2.1)

€вл€ютс€ гармоническими колебани€ми (3.2.3):

ќстаетс€ найти частное решение уравнени€ (3.3.1). ¬ид частного решени€ зависит от того, будет ли число †корнем характеристического уравнени€ (3.2.1), так как это характеристическое уравнение имеет корни совпадению частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний (резонанс) или к несовпадению этих частот (нерезонансный случай).

–ассмотрим сначала нерезонансный случай (

†††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3.3.2)

где †и †- коэффициенты, подлежащие определению.

»меем

ѕоэтому

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(3.3.3)

ќбщим решением уравнени€ (3.3.1) будет

¬ынужденные колебани€, определ€емые этим общим решением, €вл€ютс€ наложени€ми гармонических колебаний.

І3.4† явление резонанса

–ассмотрим уравнение вынужденных колебаний

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3.4.1)

Ёто уравнение есть частный случай уравнени€ (3.3.1), когда †€вл€етс€ простым корнем характеристического уравнени€ дл€ соответствующего однородного уравнени€ (3.2.1). ѕоэтому частное решение в отличие от нерезонансного случа€, рассмотренного выше, приобретает множитель t, т.е. имеет вид

ѕоэтому

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††(3.4.2)

„астное решение (3.4.2) представл€ет собой вынужденное колебание, оно имеет на †неограниченную амплитуду. √рафик этого колебани€ заключен между пр€мыми (1) и (2) (рис. 3.5):

†† 膆

x

x

ќбщим решением уравнени€ (3.4.1) будет

x

(2)

(1)

0

t

0

t

¬ынужденные колебани€, определ€емые эти общим решением, €вл€ютс€ наложением колебани€ неограниченной амплитудой (3.4.2) и гармонических колебаний (3.2.3).

–ассмотрим уравнение вынужденных колебаний (3.1.2) в среде с малым сопротивлением

–ис. 3.5

†† (

†† имеет синусоидальный характер

†††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††(3.4.3)

—обственные колебани€ имеют вид (3.2.8). „астное решение уравнени€ (3.4.3) следует искать в виде

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††† ††††††††††††††††††††††††††(3.4.4)

где коэффициенты †и †наход€тс€ подстановкой (3.4.4) в (3.4.3). ѕолучим

††

ѕоэтому

†††††††††††††††††††† †††††††††††††(3.4.5)

ќбщее решение уравнени€ (3.4.3) имеет вид

«аметим, что при †последнее слагаемое стремитьс€ к нулю, так что при достаточно больших t можно считать, что

т.е. собственными (затухающими) колебани€ми можно пренебречь.

јмплитуда †вынужденного колебани€ (3.4.5) выражаетс€ формулой

≈сли сопротивление h очень мало, то k амплитуда †становитс€ весьма значительной даже при мало M. јналогичный вывод, как нетрудно видеть, можно сделать вблизи резонанса

«амечание. ќднородные линейные дифференциальные уравнени€ с посто€нными коэффициентами, как показано выше, всегда интегрируютс€ в элементарных функци€х.

ѕриведем два примера.

ѕример 1. –ассмотрим однородное линейное уравнение Ёйлера второго пор€дка

†††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††(†††††††††††††††††††††††††††††††† (3.4.6)

—делаем замену независимой переменной x на новую независимую переменную t по формуле

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3.4.7)

Ќам нужно выразить производные от искомой функции †по x через производные от †по t. »меем

,

так что операторы †и †св€заны соотношением

.

»спользу€ это соотношение, находим

или

«амен€€ теперь в уравнении (3.4.6) x на , а †и †найденными значени€ми, получим

или

Ёто уравнение с посто€нными коэффициентами. »нтегриру€ его и возвраща€сь к независимой переменной x, найдем общее решение уравнени€ (3.4.6).

Ќетрудно убедитьс€, что та же подстановка (3.4.7) приводит к уравнению с посто€нными коэффициентами и однородное уравнение Ёйлера n-ого пор€дка

ѕример 2. ѕусть дано уравнение Ѕессел€

††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††(†††††††††††††††††††††††† †††††(3.4.8)

—делаем (однородную линейную) замену искомой функции y по формуле

где †- нова€ неизвестна€ функци€ от x.

¬ычисл€€ †и †и подставл€€ в уравнение (3.4.8), получим уравнение с посто€нными коэффициентами

ќбщим решением уравнени€ Ѕессел€ (3.4.8) будет


√лава IV
ѕрименение €влени€ резонанса

І4.1† ”чет и использование резонанса

∆илые дома и промышленные корпуса, железные дороги и самолеты, морские суда и автомобили, космические корабли и ракеты, гидравлические турбины и двигатели внутреннего сгорани€, мосты и тоннели €вл€ютс€ колебательными системами, в которых при определенных услови€х могут возникать вынужденные колебани€. »ногда амплитуда вынужденных колебаний становитс€ столь большой, что сооружение может разрушитьс€. Ёто заставл€ет учитывать возможность резонанса в сооружени€х. ¬ р€де случаев €вление резонанса может быть использовано и дл€ достижени€ положительного эффекта.

явление резонанса находит широкое применение в технике. “ак, дл€ уплотнени€ сыпучего основани€ под фундаменты и дороги, а также дл€ уплотнени€ бетона используют специальные вибраторы-уплотнители. —уществует большое число конструкций вибраторов, но основна€ часть каждого из них Ц прочное основание, на котором установлен двигатель с неуравновешенным маховиком или системой неуравновешенных грузов. ѕри работе двигател€ насаженные на его ось грузы (или маховик) вызывают колебани€ всей установки. ƒл€ получени€ больших амплитуд собственную частоту колебаний уплотнител€ делают равной частоте вибрации вала двигател€.  олебани€ виброуплотнител€ передаютс€ через площадку грунту или бетону.

¬ибраторы, аналогичные описанному, примен€ютс€ дл€ вибрационного погружени€ свай, шпунов, труб и т.п. ƒл€ вибрационного погружени€ сваи мощный вибратор устанавливают на ее верхнем основании. ѕри включении двигател€ сва€ начинает вибрировать; грунт под сваей Ђразжижаетс€ї, и под действием силы т€жести она погружаетс€. ќсобенно широкое применение этот метод погружени€ свай и труб нашел на строительстве морских и озерных сооружений.

явление резонанса используют дл€ измерени€ частоты колебаний. –асполага€ набором резонаторов (колебательных систем с малым затуханием), частоты которых заранее известны, можно определить частоту происход€щих колебаний. „астота эта равна частоте наиболее сильно колеблющегос€ резонатора.

Ётот принцип используют, например, в €зычковом частотомере, который представл€ет комплект упругих пластин, имеющих разную частоту свободных колебаний.

 ажда€ така€ пластина, будучи закреплена одним концом в массивной обойме, €вл€етс€ колебательной системой, собственна€ частота которой определ€етс€ массой и упругостью пластины.

ѕри колебании пластины ее торцова€ часть видна в виде размытой полоски. »змер€ема€ частота совпадает с частотой колебаний той из пластин, амплитуда колебаний которой наибольша€.

явление электрического резонанса играет полезную роль при настройке радиоприемника на нужную радиостанцию измен€€ величины индуктивности и Ємкости, можно добитьс€ того, что собственна€ частота колебательного контура совпадЄт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. ¬ результате этого в контуре возникнут резонансные колебани€ данной частоты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станци€ми, будут малы. Ёто приводит к настройке радиоприЄмника на нужную станцию.

явление резонанса давно было известно физикам в области акустики. ќно состоит в следующем. ѕредставьте себе нат€нутую струну. ќна способна, если по ней ударить или провести по ней смычком, звучать в некотором определенном тоне, при этом она приходит в колебани€ со вполне определенной частотой.  аждому тону соответствует сво€ частота. —кажем, что наша струна способна совершать 435 колебаний в секунду. Ёто соответствовало бы тону "л€". ѕредположим, что струна находитс€ в покое. ¬озьмем теперь вблизи другую струну, котора€ тоже способна совершать 435 колебаний в секунду, и заставим эту струну звучать. “огда окажетс€, что под вли€нием колебаний нашей второй струны приходит в колебани€ - и сильные колебани€ - и перва€. Ёто €вление называетс€ резонансом. Ќо если втора€ струна имеет отличное от первой число колебаний, то перва€ струна молчит и на колебани€ второй струны не отвечает.

ќбъ€снение €влени€ резонанса несложно. “а струна, которую мы заставл€ем непосредственно колебатьс€, передает первой струне через воздух маленькие толчки, следующие друг за другом в темпе ее колебаний, т. е. каждую 1/435 сек один толчок.  аждый толчок сам по себе крайне незначителен. ѕервый толчок действительно приведет струну в ничтожно слабое колебание, но если темп этих колебаний и приход€щих толчков один и тот же, то второй толчок придетс€ как раз воврем€ и усилит действие первого. “ретий усилит колебани€ еще больше, и т. д. ѕроизойдет накопление действи€ отдельных толчков, и в результате получаетс€ сильное звучание. ћежду тем если отдельные толчки следуют друг за другом невпопад, то действие одного будет уничтожатьс€ действием следующего и заметного эффекта не будет.

явление резонанса, изученное впервые в акустике, ею абсолютно не ограничиваетс€. «вонарь на колокольне, раскачивающий т€желый колокол, пользуетс€, хот€ и бессознательно, тем же €влением. ќн не в состо€нии преодолеть т€жесть колокола одним усилием и поэтому он поступает так. ќн дает веревке слабый толчок: колокол отклон€етс€, но очень незначительно, а затем возвращаетс€ обратно; как раз в момент возвращени€ звонарь дает следующий толчок и такими ритмичными, следующими в tempo колебаний колокола толчками он его раскачивает до тех пор, пока €зык не ударит по колоколу. ¬от почему, между прочим, звонить в т€желый колокол, особенно снизу, при помощи веревки, т. е. в услови€х, когда следить за колебанием нельз€, требует немалого навыка.

І4.2† явление резонанса, ведущее к разрушению. —пособы гашени€ нежелательных вынужденных колебаний

Ёлектрические двигатели, паровые и газовые турбины, двигатели внутреннего сгорани€ даже из-за небольшой несбалансированности вращающихс€ масс €вл€ютс€ источником колебаний, передающихс€ основани€м, на которых они установлены. ≈сли двигатель жестко укреплен на фундаменте, колебани€ почти полностью передаютс€ грунту и через грунт зданию, в котором машина установлена.

≈сли колебательна€ система обладает малым трением, то лишь небольша€ часть подводимой к ней энергии превращаетс€ во внутреннюю энергию системы. ¬ этих услови€х (при совпадении частоты вынуждающих колебаний с частотой свободных колебаний) амплитуда вынужденных колебаний может достичь больших значений и вызвать разрушение здани€.

¬о второй половине прошлого столети€ стали обращать на себ€ внимание инженеров случаи непон€тных обрушений мостов, особенно цепных мостов, которые в то врем€ как раз строились в сравнительно большом количестве. Ќепон€тных - потому, что мосты рушились под весьма небольшой т€жестью, которую они по расчету должны были свободно выдерживать и фактически раньше выдерживали. ѕовторные проверки не обнаруживали ошибочности расчетов, а катастрофы были налицо. »нженеры беспомощно сто€ли перед совершившимис€ несчасти€ми и не имели средств предотвратить их в будущем.

» только в последнем дес€тилетии прошлого века решение вопроса было найдено. ¬от что оказалось. ÷епной мост представл€ет собой не жесткую систему, а систему, котора€ может, подобно струне, совершать колебани€, с той разницей, что струна колеблетс€ быстро, соверша€ несколько сот колебаний в секунду, в то врем€ как мост, если его заставить колебатьс€, совершает за секунду, скажем, одно или даже меньше колебаний. » вот при известных услови€х нагрузки наступало так называемое €вление резонанса, несшее гибель мосту.

»звестно много случаев, когда источником опасных колебаний механических сооружений были люди, идущие в ногу. Ќапример, в 1831 году в ћанчестере по мосту через реку »рвель проходили строем, шага€ в ногу, 60 солдат. „астота ударов солдатских ног совпала с частотой свободных колебаний моста, и мост разрушилс€. јналогичный случай произошел в 1905 году в ѕетербурге, когда был разрушен цепной мост через реку ‘онтанку в результате прохождени€ по нему эскадрона гвардейской кавалерии. „астота ударов ног хорошо обученных лошадей совпала с частотой свободных колебаний моста. ÷епи, на которых висел мост, разорвались, мост обрушилс€.

“еперь €сно, как €вление резонанса может оказатьс€ губительным дл€ моста. ѕредставьте себе, и это действительно бывало при некоторых катастрофах, что по мосту проходит военный отр€д, идущий в ногу. ќтдельные толчки, производимые при этом, не оказывают сколько-нибудь заметного действи€. Ќо если случайно период этих ритмических толчков совпадает с периодом колебаний моста - а это, особенно в цепных мостах, может случатьс€ очень легко, - то наступает €вление резонанса. ƒействи€ отдельных толчков накапливаютс€, мост раскачиваетс€ все сильнее, материал не выдерживает, и мост рушитс€. ¬от почему, между прочим, теперь при проходе отр€да через такой мост солдатам даетс€ команда идти не в ногу. Ёто, конечно, одна из причин, а подобных причин наступлени€ резонанса может быть множество, и оградить себ€ от таких ритмических нагрузок трудно. ѕоэтому в насто€щее врем€ - а это и есть главный практический результат, к которому привела теори€, - почти совершенно отказались от нежестких систем, имеющих собственные колебани€.

—овременные конструкции имеют гораздо большую жесткость, чем прежние цепные мосты, и этим возможность колебаний, а значит и возможность наступлени€ губительного резонанса, устран€етс€.

“еперь также стало €сным, почему случаи, подобные описанному, казались непон€тными и загадочными.  онструкторы рассчитывали прочность своих мостов исключительно статически, т. е. они принимали во внимание только посто€нную нагрузку, и с этой точки зрени€ их расчеты были совершенно правильны. ќни не учитывали и даже не напали на мысль о необходимости учета ритмически измен€ющейс€ нагрузки, с одной стороны, и колебаний моста - с другой. »х кругозор был ограничен и не охватывал €влений во всем их разнообразии. Ќо нашлись люди с широкой теоретической подготовкой, дл€ которых звучание струны и колебани€ моста €вл€лись лишь частными случа€ми, охватываемыми одним общим законом, и вопрос был решен.

»нтересно, что аналогичное €вление повторилось в совершенно другой области. ¬ы знаете, что дл€ передачи электрической энергии пользуютс€ иногда кабелем, состо€щим по существу из двух металлических проводников, несущих ток, и изолированных друг от друга каким-нибудь изолирующим веществом, например гуттаперчей. —лой гуттаперчи между проводами должен быть больше или меньше, смотр€ по тому электрическому напр€жению, иначе говор€, смотр€ по числу вольт, при котором передача энергии идет. ѕон€тно при этом, что из соображений экономии и из-за т€жести кабел€ слой гуттаперчи делают не больше (конечно, с известным запасом), чем это нужно дл€ данного случа€. ѕроверка делаетс€ в заводской лаборатории. ƒл€ этого соедин€ют один провод с положительным, другой - с отрицательным полюсом батареи и смотр€т, выдерживает ли кабель нужное напр€жение. » вот наблюдались случаи, что при работе с переменным током кабель, полностью выдержавший испытание в лаборатории, в работе пробивалс€.

¬опрос разъ€снилс€ и здесь тоже лишь тогда, когда к нему подошли с физико-теоретической стороны. ќказалось, что здесь, как и в случае моста, губительным фактором было €вление резонанса. ƒело в том, что кабель, смотр€ по длине, имеет различные периоды собственных электрических колебаний. ќн представл€ет собой электрическую аналогию струны. — другой стороны, отличительной чертой переменного тока €вл€етс€ его ритмическа€ пульсаци€.

» вот, если длина кабел€ оказывалась такова, что период пульсации тока совпадал с периодом колебаний кабел€, наступало €вление резонанса, происходило нарастание колебаний электрического напр€жени€, которое благодар€ этому достигало гораздо большей величины, чем то, которое давали динамо-машины и на которое был рассчитан кабель, и изол€ци€ пробивалась.

— резонансом можно встретитьс€ не только на суше, но и в море и даже в воздухе. “ак, например, при некоторых частотах вращени€ гребного вала в резонанс входили целые корабли. ј на заре развити€ авиации некоторые авиационные двигатели вызывали столь сильные резонансные колебани€ частей самолета, что он разваливалс€ в воздухе.

“о обсто€тельство, что амплитуда вынужденных колебаний может достичь опасных дл€ конструкций значений, заставило искать способы гашени€ вынужденных колебаний.

ќдин способ гашени€ вынужденных колебаний состоит в измерении частоты свободных колебаний системы, так чтобы она не совпала с частотой вынуждающих колебаний и не была ей кратна. Ќапример, при изготовлении паровой турбины дл€ теплоэлектростанции учитывают, что турбина будет работать при частоте 3000 мин-1. —ледовательно, колебани€, вызываемые вращением ротора, будут иметь частоту †„тобы избежать резонансных колебаний, вс€ система Ђгенератор Ц турбина Ц фундаментї должна иметь частоту свободных колебаний, отличную от 50 и не кратную 50.

ѕроиллюстрируем этот способ борьбы с опасными последстви€ми на опыте. —оберем установку, показанную на рисунке 4.1. ѕри включении вибратора пружинный ма€тник начинает колебатьс€ с все возрастающей амплитудой, что свидетельствует о том, что частота вынужденных колебаний близка к частоте свободных колебаний.

–ис. 4.1

ќстановив ма€тник, заменим его груз другим грузом большей массы (этим мы изменим собственную частоту колебаний ма€тника). ¬новь включив вибратор, увидим, что амплитуда колебаний ма€тника стала значительно меньше. “еперь колебани€ не имеют резонансного характера.

ƒругой способ борьбы заключаетс€ в увеличении трени€ системы (рис. 4.2): чем больше трение, тем меньше амплитуда резонансных колебаний.

–ис. 4.2

І4.3 ƒифференциальное уравнение цепной линии

I. Ќа рисунке 4.3 изображена схема канатного вис€чего моста. ƒва каната I и II нат€нуты через ј и ¬ и закреплены в ј1 и ¬1.   ним прикреплены на равных рассто€ни€х поддерживающие цепи, на нижнем конце которых находитс€ полотно моста. ¬ес полотна и наход€щийс€ на нем полезной нагрузки моста (экипажи, люди и т.п.) передаетс€ через поддерживающие цепи проволочному канату и вместе с тем опорам ј¬ и закреплени€м

ƒл€ данного пролета s и ширины моста b вес проездного пути v принимаютс€ за известные. Ќапример, дл€ т€желых городских уличных мостов и мостовой на них можно прин€ть †дл€ проездного пути и †дл€ нагрузки движени€. ќба рода нагрузки принимаютс€ равномерно распределенными по пролету s. ≈сли положить число вис€чих цепей по одной стороне моста равным N, то через каждую из них на любой из проволочных канатов передаетс€ нагрузка

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††–ис. 4.3

ƒл€ подготовки решени€ исследуем некоторое число заданных параллельных сил на плоскости (рис.4.4):

†††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††

и попытаемс€ найти между ними такое расположение каната, при котором эти силы будут находитьс€ в равновесии.

††††††††† †††††††††††††–ис. 4.4††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† –ис. 4.5

ќтложим силы по величине (1 мм = 100 кг) и по направлению на пр€мой, параллельной направлению сил (рис.4.5), вследствие чего на ней получаютс€ точки 0, 1, Е, 7.

»з произвольного выбранного полюса ќ, проводим пр€мые линии в точки 0 Ц 7, благодар€ чему получаетс€ диаграмма усилий 0-7-0.

  пр€мым от 0-0 до 0-7 провод€т 8 параллелей (рис.4.4) так, чтобы две последующих пересекались на одной из линий, по которым расположены силы 0-1-2-3-4-5-6-7.

–ассмотрим теперь стороны веревочного многоугольника, как состо€щие из действительных кусков каната, из которых первый (0) и последний (7) прикреплены к двум неподвижным точкам ј и ¬ (рис.4.4).

¬ узловых точках вообразим приложенными параллельные силы

Ќат€жени€ отдельных частей троса могут быть определены из-за диаграммы усилий; они равны пр€мым лин€м 0-0 и 0-7, если будут в том же масштабе, как и силы

Ќапр€жение 0,0 = 4500 кㆆ††††††††††††††††††††††††††† 0,4 = 3200 кг

††††††††††††††††††††† 0,1 = 3800 кㆆ††††††††††††††††††††††††††† 0,5 = 3400 кг

††††††††††††††††††††† 0,2 = 3450 кㆆ††††††††††††††††††††††††††† 0,6 = 3900 кг

††††††††††††††††††††† 0,3 = 3200 кㆆ†††††††††††††††† †††††††††††0,7 = 4450 кг

ƒл€ точки многоугольника 5 нарисован параллелограмм сил †= 05 (рис.4.6 и 4.7).

†††††††††††††††††††††††††† –ис. 4.6†††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††–ис. 4.7

¬се напр€жени€ троса обладают тем свойством, что при разложении на вертикальное и горизонтальное направлени€ последнее в точности равно горизонтальной составл€ющей H, котора€ в предыдущем случае составл€ет 3150 кг. ¬еличину H называют горизонтальным нат€жением веревочного многоугольника.

Ётот факт получаетс€ пр€мо из рис. 4.5 разложением напр€жени€ троса 0-0 до 0-7 на вертикальную и горизонтальную составл€ющую Ќ.

¬еличина ј¬ называетс€ пролетом веревочного многоугольника. ¬еревочный многоугольник вполне определен, ели даны: система сил, опоры ј и ¬ и горизонтальное нат€жение.

„ем больше прин€та при заданной системе сила горизонтального нат€жени€, тем более плоским становитс€ веревочный многоугольник и тем больше станов€тс€ нат€жени€х отдельных част€х троса. √оризонтальное нат€жение определ€етс€ рассто€нием полюса ќ до линии сил 0-7 (рис.4.8).

ѕри этом выбор полюса произволен и вли€ет на положение опорных пунктов. ѕоэтому выбор полюса следует делать так, чтобы положение опорных пунктов, которым он соответствует, совпало с данным. Ќапример, если хот€т, чтобы опорные точки ј и ¬ имели расположение, указанное на рис.5, тогда нужно только вертикальные раст€жени€ углов по пр€мой ј¬, вз€тые на рис.4.9. ѕосле этого получитс€ фигура равновеси€ каната.

II. ¬озвратимс€ теперь к вис€чему мосту (рис.4.3). ¬с€ его длина пусть равна 40 м, ширина 20 м, N = 20 подвесных канатов. “аким образом на каждый из них приходитс€ нагрузка

–ис. 4.8

Ёти 20 нагрузок отложим на диаграмме усилий друг за другом Ц это отрезки между точками 0,1,2,Е,20. ѕосле выбора полюса, дл€ горизонтального нат€жени€ Ќ, о котором мы будем говорить потом, получитс€ веревочный многоугольник 0123Е20. ѕоследний тотчас дает форму каната вис€чего моста, если полюс ќ поместить симметрично Ц на перпендикул€ре линии 0123Е20 рис. 4.9. Ќа этом рисунке видно, что в данном случае, в иду большого числа рассматриваемых сил , многоугольник похож на кривую. Ёто сходство еще более возрастает при увеличении числа вертикальных канатов моста.

–ис. 4.9

III. “аким образом можно прейти в пределе к равномерному распределению нагрузки на опорный канат моста. ѕри этом можно оставить случай посто€нной по величине нагрузки и считать, что имеетс€ кака€-то неравномерна€ нагрузка x Ц рассто€ни€ от опоры ј. на рис. 4.10 график это нагрузки представлен кривой DE. ¬ этом случае тоже можно нарисовать многоугольник сил, причем вс€ нагрузка Q выразитьс€ интегралом

≈е откладывают по вертикали ON. Ќапр€жение в какой-нибудь точке вис€чей цепи получают, если провести в касательную и через полюс параллель с ней до пересечени€ с вертикалью ON. –ассто€ние полюса от вертикали ON равно нат€жению в наинизшей точке вис€чего каната. ¬о всех точках каната горизонтальна€ составл€юща€ нат€жени€ остаетс€ посто€нной.

„тобы найти форму вис€чего каната вычислительным путем, введем систему координат xy с началом в точке ј. Ќаправление положительных y возьмем вниз, абсциссы будем считать направо.

–ассмотрим бесконечно малый элемент кривой, на которой расположитс€ канат. ¬ообразим этот элемент вырезанным из каната. „тобы равновесие его сохран€лось, к нему должны быть приложены слева и справа силы нат€жени€ каната S и S1.  роме них на элемент действует еще вертикальна€ сила нагрузки S и S1 на горизонтальные и вертикальные составл€ющие.

ѕо условию равновеси€ горизонтальные составл€ющие слева и справа равны:

H = H1.

Ёто совпадет с известным раньше обсто€тельством Ц горизонтальна€ составл€юща€ величина посто€нна€.

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† –ис. 4.10

”словие дл€ вертикальных составл€ющих дает:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.1)

“ак как можно написать, что

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.2)

ѕринима€ во внимание, что напр€жение направлено по касательной, имеем:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.3)

отсюда

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.4)

¬еличина Ќ посто€нна€. ѕоэтому дифференцирование дает:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††(4.3.5)

ѕодставл€ет это в (4.3.2) и сокраща€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.6)

Ёто и есть дифференциальное уравнение цепной линии, по которой располагаетс€ канат, на каждый элемент которого действует нагрузка q.

ќно второго пор€дка, так как в нем имеетс€ втора€ производна€ неизвестной функции

ѕолага€

†††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.7)

можем сразу интегрировать уравнение

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††(4.3.8)

ѕосле интегрировани€ получаем:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.9)

»нтегриру€ еще раз, находим:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††(4.3.10)

или проще:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††(4.3.11)

«десь 1 и 2 Ц две произвольные посто€нные, получающиес€ при интегрировании. ¬с€ка€ определенна€ пара их значений дает частный интеграл. “аким образом существует, как и следует ожидать, бесчисленное множество цепных линий. »з этого множества надо выбрать нужную, котора€ выполн€ет прочные услови€, подразумевающиес€ в задаче. “аким условием может €витьс€ требование, чтобы крива€ проходила через две данные точки.

¬опрос об этих условий мы разберем дл€ простейшего случа€, когда нагрузка равномерно распределена по длине пролета l. “огда

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.12)

так как y Ц квадратична€ функци€ от x, то форма кривой Ц парабола. ƒополнительных условий два: 1) крива€ должна проходить через точку x = 0, y = 0, т.е. через левую опору, и 2) права€ опора должна быть ниже, чем лева€ на a единиц, т.е. крива€ должна€ проходить через точку x = l, y = a. »з первого услови€ находим:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.13)

а из второго получитс€:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.14)

отсюда

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.15)

ѕодставл€€ значени€ 1 и 2 в (4.3.12), находим тот частный интеграл, который нужен дл€ данной задачи:

†††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.16)

«десь участвует еще величина горизонтальной составл€ющей нат€жени€, т.е. H. ≈е величина не изменитс€, если изменить а. ѕолага€ в (4.3.16) а = 0, получим:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.17)

ѕровес каната f при этом получаетс€ из (4.3.17) при

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††† (4.3.18)

ќтсюда при данном f можно найти Ќ.


«аключение

¬ынужденные колебани€ и резонанс широко используютс€ в технике, особенно в акустике, электротехнике, радиотехнике и других област€х. явление резонанса используетс€ в тех случа€х, когда из большого набора колебаний разной частоты хот€т выделить колебани€ вполне определенной частоты. –езонанс используетс€ и при измерении очень слабых периодически повтор€ющихс€ величин.

ќднако в р€де случаев резонанс - нежелательное €вление, так как может привести к большим деформаци€м и разрушению конструкций. –езонанс приходитс€ учитывать при конструировании машин и различных сооружений.

¬ращающиес€ части машин, валы двигателей самолетов и кораблей невозможно абсолютно точно уравновесить. ¬ результате они испытывают переменную нагрузку, соверша€ вынужденные колебани€ и вызыва€ вынужденные колебани€ всей системы (например, самолета). –азличные части системы или система в целом могут прийти в резонанс с вынуждающей силой, что может привести к их разрушению или повреждению. ѕоэтому инженеры должны так конструировать ту или иную установку, чтобы не возникало резких резонансных €влений ни во всей установке, ни в ее отдельных част€х.


—писок литературы

1)    . јлександров Ќ.¬. и яшкин ј.я.  урс общей физики. ћеханика. ћ.: УѕросвещениеФ, 1978 г.

2)    јйнс Ё.Ћ. ќбыкновенные дифференциальные уравнени€ (перевод с английского) под ред. Ёфрос ј.ћ.. ќЌ“». ’арьков, 1939 г. Ц 719 с.

3)    јрнольд ¬.». √еометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ц »жевск: »жевска€ республиканска€ типографи€, 2000 г., 400 с.

4)    јрнольд ¬.»., »ль€шенко ё.—. ќбыкновенные дифференциальные уравнени€. ћ.: Ќаука, 1972 г., 149 с.

5)    Ѕибиков ё.Ќ.  урс обыкновенных дифференциальных уравнений. ћ.: ¬ысша€ школа, 1991 г., 303 с.

6)          √ершензон ≈.ћ., ћалов Ќ.Ќ.  урс общей физики: ћеханика. -ћ., УѕросвещениеФ, 1987 г.

7)    √олубев ¬.¬. Ћекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. ћ.: √ос. изд. технико-теоретической литературы 1950 г., 436 с.

8)    «ельдович я.Ѕ., ћышкис ј.ƒ. Ёлементы прикладной математики. ћ.: Ќаука 1965 г., 616 стр. с илл.

9)    «ельдович я.Ѕ. ¬ысша€ математика дл€ начинающих физиков и техников. ћ.: Ќаука, 1972 г., 510 с.

10)                       оддингтон Ё.ј., Ћевинсон Ќ. “еори€ обыкновенных дифференциальных уравнений (перев. с английского Ћевитана Ѕ.ћ.). ћ.: »зд. иностранной литературы, 1958 г., 475 с.

11)                       урант –.  урс интегрального и дифференциального исчислени€. ћ., 1970 г., 672 стр. с илл.

12)     Ћефшец —. √еометрическа€ теори€ дифференциальных уравнений. ћ.: »зд. иностр. лит., 1960 г., 388 с.

13)     ћатвеев Ќ.ћ. ќбыкновенные дифференциальные уравнени€: ”чеб. ѕособие дл€ студентов пед. ин-тов и физ.-мат. спец. —ѕб.: —пец. Ћитература, 1996.

14)     ћатвеев Ќ.ћ. —борник задачи упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнени€м: ”чебное пособие, 7-е изд., доп. Ц —пб.: »здательство ЂЋаньї, 2002. Ц 432 с. Ц (”чебники дл€ вузов. —пециальна€ литература).

15)     ћышкис ј.ƒ. Ћекции по высшей математике. ћ.: »зд. ЂЌаукаї, 1973 г., 640 с. с илл.

16)     ѕонтр€гин Ћ.—. ќбыкновенные дифференциальные уравнени€, гос. изд. физ.-мат. литературы, ћ., 1961 г.

17)     ѕреподавание физики в высшей школе. —борник научных трудов. є1. -ћ., изд. ћѕ√“”. 1994 г.

18)     ’айкин —.Ё. ‘изические основы механики. - ћ.,физматгиз,1963.

19)       

¬ыполнила: ѕроверила:. —одержание †TOC o "1-3" h z u —одержание. PAGEREF _Toc169020975 h 2 ¬ведение. PAGEREF _Toc169020976 h 3 ќсновные пон€ти€ и определени€. PAGEREF _Toc169020977 h 5 √лава I »нтегрирование линейных однородных дифф

 

 

 

¬нимание! ѕредставленный ƒиплом находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалс€, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальный ƒиплом по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru