êóðñîâûå,êîíòðîëüíûå,äèïëîìû,ðåôåðàòû
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÅÑÏÓÁËÈÊÈ ÁÅËÀÐÓÑÜ
Ó÷ðåæäåíèå îáðàçîâàíèÿ
"Ãîìåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èìåíè Ôðàíöèñêà Ñêîðèíû"
ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êàôåäðà àëãåáðû è ãåîìåòðèè
Êóðñîâàÿ ðàáîòà
Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï
Èñïîëíèòåëü:
ñòóäåíòêà ãðóïïû H.01.01.01 Ì-41 Òàðàòûí Â.Â.
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
ïðîôåññîð êàôåäðû Àëãåáðû è ãåîìåòðèè Ìîíàõîâ Â.Ñ.
Ãîìåëü 2006
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå
1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ
2. Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï
3. Î ïîðÿäêàõ ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû
Çàêëþ÷åíèå
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
 íàñòîÿùåé êóðñîâîé ðàáîòå èçëàãàåòñÿ ìàòåðèàë íà òåìó: "Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï". Öåëü ýòîé êóðñîâîé ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èññëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå ïðèìàðíûõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï â áèïðèìàðíûõ ãðóïïàõ.
Ìîÿ êóðñîâàÿ ðàáîòà ñîñòîèò èç òðåõ ïóíêòîâ.  ïåðâîì ïóíêòå èçëîæåíû îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â äàííîé ðàáîòå, ÷òî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò äàëüíåéøóþ ðàáîòó è ïðîâåðêó êóðñîâîé.
Âî âòîðîì ïóíêòå áûëî ðàññêàçàíî ïðî èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï.
 òðåòüåì ïóíêòå èçëîæåí ìàòåðèàë î ïîðÿäêàõ ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû.
Òàêæå â ýòîì ïóíêòå èçó÷åíû è äîêàçàíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå òåîðåìû:
Òåîðåìà. Ïóñòü - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà , - ïðîñòîå ÷èñëî è íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , è äåëèò ïîðÿäîê ;
2) , äåëèò ïîðÿäîê , ãäå - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , 1 è äåëèò ïîðÿäîê .
Òåîðåìà. Ïóñòü - ãðóïïà ïîðÿäêà , è - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , , è ;
2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , , è .
Òåîðåìà. Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:
1) , , è ;
2) , , è , åñëè , , åñëè ;
3) , , è .
Òåîðåìà. Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:
1) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;
2) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;
3) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , , è ; äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ è .
Çàâåðøàåò ìîþ êóðñîâóþ ðàáîòó ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû, êîòîðûé ñîñòîèò èç äåâÿòè èñòî÷íèêîâ.
|
ãðóïïà |
ïîðÿäîê ãðóïïû |
|
êëàññ âñåõ ðàçðåøèìûõ ãðóïï | |
êëàññ âñåõ íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï | |
ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû |
|
ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû |
|
ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîäãðóïï è |
|
ïîäãðóïïà Ôðàòòèíè ãðóïïû |
|
ôàêòîð-ãðóïïà ãðóïïû ïî |
|
ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé íàòóðàëüíîãî ÷èñëà |
|
ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé ïîðÿäêà ãðóïïû |
|
ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ãðóïïû |
|
íàèáîëüøàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà ãðóïïû |
|
èíäåêñ ïîäãðóïïû â ãðóïïå |
1. Ââåäåíèå. Äâå ðàáîòû (1) è (2), íàïèñàííûå Áåðíñàéäîì â 1904 ã., ïîñâÿùåíû êîíå÷íûì áèïðèìàðíûì ãðóïïàì - ãðóïïàì ïîðÿäêà , è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà.  ïåðâîé ðàáîòå äîêàçàíà ðàçðåøèìîñòü òàêèõ ãðóïï. Âî âòîðîé - óñòàíàâëèâàëñÿ ñëåäóþùèé ôàêò: â ãðóïïå ïîðÿäêà ïðè ñóùåñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ -ïîäãðóïïà ïîðÿäêà , çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ ñëó÷àåâ , è , .
Îäíàêî ãðóïïà , ÿâëÿþùàÿñÿ ðàñøèðåíèåì ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé ãðóïïû ïîðÿäêà ñ ïîìîùüþ ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû , èìååò ïîðÿäîê , è â íåò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï. Ýòîò ïðèìåð óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â ðàáîòå [??] èìååòñÿ ïðîáåë.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå îáùàÿ ñèòóàöèÿ, ÷åì â [??]. À èìåííî, èçó÷àþòñÿ ðàçðåøèìûå ãðóïïû ïîðÿäêà , ãäå . Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ
Òåîðåìà Ïóñòü - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà , - ïðîñòîå ÷èñëî è íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , è äåëèò ïîðÿäîê ;
2) , äåëèò ïîðÿäîê , ãäå - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , 1 è äåëèò ïîðÿäîê .
Åñëè è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, è - öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ëèáî , ëèáî . Ïîýòîìó òåîðåìà (??) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïà âñå áèïðèìàðíûå ãðóïïû.
Òåîðåìà Ïóñòü - ãðóïïà ïîðÿäêà , è - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , , è ;
2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , , è .
Ñëåäñòâèå Åñëè è - íå÷åòíûå ïðîñòûå ÷èñëà è , òî ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà .
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàíèöû, óñòàíîâëåííûå äëÿ ÷èñåë è , ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè è ÷òî èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïû â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ òåîðåì (4) è (1) ìîæåò è íå áûòü.
Òåîðåìà Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:
1) , , è ;
2) , , è , åñëè , , åñëè ;
3) , , è .
2. Ïîðÿäêè ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï ïîëíûõ ëèíåéíûõ ãðóïï. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ:
ãäå è âçàèìíî ïðîñòî ñ . Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî åñòü ïîêàçàòåëü, ñ êîòîðûì âõîäèò â ïðîèçâåäåíèå . Ïîýòîìó
ãäå - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà (ñì. [??]) è - íàèáîëüøåå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì .
Òîãäà
Ëåììà .
Ëåììà Ïóñòü - ïîêàçàòåëü, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïî ìîäóëþ , è ïóñòü , íå äåëèò . Òîãäà è òîëüêî òîãäà äåëèò , êîãäà êðàòíî . Åñëè , íå äåëèò , òî, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ , ÷èñëî åñòü íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ñâîéñòâ ïîêàçàòåëåé (ñì. (5)). Âû÷èñëèì , èñïîëüçóÿ áèíîì Íüþòîíà:
Çàìåòèì, ÷òî
åñòü öåëîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, è ÷èñëî äåëèò ïðîèçâåäåíèå . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî , èç ëåììû (??) ïîëó÷àåì, ÷òî è äåëèò . Òåïåðü
ãäå - öåëîå ÷èñëî. Òàê êàê íå äåëèò , òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ íå äåëèòñÿ íà , çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ . Ëåììà äîêàçàíà.
Èñêëþ÷åíèå , â ëåììå (??) ñóùåñòâåííî; ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè , ëåììà (??) íåâåðíà. Ñëó÷àé áûë êàê ðàç è ïðîïóùåí â ðàññóæäåíèÿõ ðàáîòû (5).
Ëåììà Ïóñòü , - íå÷åòíîå ÷èñëî è - íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . Ïóñòü . Îïðåäåëèì ÷èñëî òàê: åñëè, , òî . åñëè , òo - íå÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà
1) åñëè - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ; ;
2) åñëè - ÷åòíîå ÷èñëî è , - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî , , ãäå , , è - íå÷åòíûå ÷èñëà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ áèíîìîì Íüþòîíà:
Åñëè - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî
- íå÷åòíîå ÷èñëî. Åñëè - ÷åòíîå ÷èñëî, òî
- íå÷åòíîå ÷èñëî.
Ïóñòü òåïåðü - íå÷åòíîå ÷èñëî . Òîãäà
ãäå
Ho - íå÷åòíîå ÷èñëî, ïîýòîìó - íå÷åòíîå ÷èñëî. Òàê êàê , åñëè , è , åñëè , òî , ãäå - íå÷åòíîå ÷èñëî.
È íàêîíåö, åñëè , . - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî
- íå÷åòíîå ÷èñëî. Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, - ïîêàçàòåëü ÷èñëà ïî ìîäóëþ è , íå äåëèò . Ïóñòü , èëè è - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû . Åñëè , òî , ãäå - öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Åñëè , òî . Çäåñü ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ êàê è â ëåììå3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîðÿäîê ãðóïïû èçâåñòåí (ñì.2):
ßñíî, ÷òî - íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò ïðîèçâåäåíèå .
Ðàññìîòðèì, âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïðèìåíÿÿ ëåììó (3), çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïðîèçâåäåíèè ëèøü ñëåäóþùèå ñîìíîæèòåëè êðàòíû :
ãäå îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì . Òàê êàê åñòü íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò , ãäå , íå äåëèò , òî íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò , åñòü .
Ñëåäîâàòåëüíî,
.
Ïóñòü òåïåðü . Òîãäà è . Çàìåòèì, ÷òî
Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî . Åñëè , òî , à òàê êàê , è , òî óòâåðæäåíèå äëÿ ñïðàâåäëèâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ , è äîêàæåì åãî äëÿ . Ïóñòü âíà÷àëå åñòü íå÷åòíîå ÷èñëî, ò.å. , è . Ïî ëåììå (4) , - íå÷åòíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó . Òàê êàê , à , òî óòâåðæäåíèå äëÿ ñïðàâåäëèâî.
Ïóñòü òåïåðü - ÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà è . Êðîìå òîãî, åñëè , íå äåëèò , òî ïî ëåììå (??) , - íå÷åòíîå ÷èñëî. Çíà÷èò,
Ëåììà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.
Ëåììà Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è - ïîðÿäîê íåêîòîðîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû . Òîãäà ëèáî , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèè:
1) , , è ;
2) , , è , åñëè , , åñëè ;
3) , , , è .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü - ïîêàçàòåëü ÷èñëà ïî ìîäóëþ è , íå äåëèò . Òàê êàê - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû , òî . Åñëè , òî ëåììà (??) ñïðàâåäëèâà. Ïîýòîìó ïóñòü â äàëüíåéøåì . Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïî ëåììå â ýòîì ñëó÷àå , ãäå îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì . Äîïóñòèì, ÷òî . Òàê êàê , òî è - ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, , ïîýòîìó ëèáî , ëèáî .
Ïóñòü . Òîãäà , à òàê êàê , òî è . Åñëè , òî è - ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè , òî . Êðîìå òîãî, . Ïîýòîìó èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå äëÿ èç ïóíêòà 2.
Òåïåðü ïóñòü . Òîãäà . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî , ïîýòîìó . Åñëè , òî è . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, , ò.å. è . Ïîýòîìó . Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì , êîòîðîå ñïðàâåäëèâî ïðè . Òîãäà
è èç ñëåäóåò, ÷òî è . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå èç ïóíêòà 3. Ñëó÷àé ðàçîáðàí ïîëíîñòüþ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé . Òîãäà . Ïóñòü - íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì , è ïóñòü . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà . Íî è , ïîýòîìó è . Åñëè , òî , è . Êðîìå òîãî, . Îòñþäà . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî . Òàê êàê , òî è
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âñåãäà . Çíà÷èò, íàäî ðàññìîòðåòü ëèøü äâà ñëó÷àÿ: è .
Ïóñòü , òîãäà . Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðè . Ïðè èìååì , ïðè÷åì . Ïîýòîìó . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå èç ïóíêòà 1.
Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü . Òåïåðü .  ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èìååò ïîðÿäîê . Òàê êàê , òî è . Íî , . Ïîýòîìó ýòîò ñëó÷àé çàïèñàí â ïóíêòå 2. Ëåììà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû (??). Ïóñòü , - óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ïðîñòûõ ÷èñåë, - íàòóðàëüíîå ÷èñëî è , , óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç òðåõ òðåáîâàíèé òåîðåìû. ×åðåç îáîçíà÷èì ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó ãðóïïó ïîðÿäêà , ÷åðåç - ñèëîâñêóþ -ïîäãðóïïó ãðóïïû . Òàê êàê åñòü ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû , òî ãðóïïà , ÿâëÿþùàÿñÿ ðàñøèðåíèåì ãðóïïû ñ ïîìîùüþ ãðóïïû , íå èìååò èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï . Ïîêàæåì, ÷òî - èñêîìàÿ ãðóïïà. Âû÷èñëèì ïîðÿäîê ãðóïïû . Èç ëåììû (??) ñëåäóåò, ÷òî ïðè÷åì:
1) , åñëè è ;
2) , åñëè , è , åñëè , , ;
3) , åñëè , .
 ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî . Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî , êîòîðîå ñïðàâåäëèâî ïðè , â òðåòüåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì . Òàêèì îáðàçîì, è â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ . Òåîðåìà (??) äîêàçàíà.
3. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû (??). Äîïóñòèì, ÷òî òåîðåìà íåâåðíà è ãðóïïà - êîíòðïðèìåð ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà. Ïóñòü - ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà, - ñèëîâñêîå -äîïîëíåíèå â .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç íàèáîëüøóþ èíâàðèàíòíóþ -ïîäãðóïïó èç . Ïîäãðóïïà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ è íå èìååò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Ôàêòîðãðóïïà èìååò ïîðÿäîê . Åñëè , òî - ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó è äëÿ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3 çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû. Íî òîãäà ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ - ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, â íåò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï.
Ïóñòü - ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ãðóïïû . Òàê êàê ðàçðåøèìà, òî . ßñíî, ÷òî . Åñëè , òî è ãðóïïà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû. Íî äëÿ íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3 çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû, èíà÷å îíî âûïîëíÿëîñü áû è äëÿ . Ïîýòîìó ãðóïïà îáëàäàåò íååäèíè÷íîé èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïîé . Òåïåðü öåíòðàëèçóåò , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå î òîì, ÷òî â ðàçðåøèìûõ ãðóïïàõ ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ñîäåðæèò ñâîé öåíòðàëèçàòîð (ñì. [??]). Òàêèì îáðàçîì, .
Äîïóñòèì, ÷òî ïîäãðóïïà Ôðàòòèíè ãðóïïû íååäèíè÷íà. Òîãäà ôàêòîðãðóïïà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû. Åñëè â èìååòñÿ íååäèíè÷íàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà , òî ïî òåîðåìå Ãàøþöà [??] ãðóïïà íèëüïîòåíòíà è îáëàäàåò èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïîé - ïðîòèâîðå÷èå. Íî äëÿ íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3. Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå ñèëîâñêèå â ïîäãðóïïû ýëåìåíòàðíûå àáåëåâû.
Ïóñòü , - ñèëîâñêàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû . Òîãäà ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï (ñì. [??]). Òàê êàê ñîâïàäàåò ñî ñâîèì öåíòðàëèçàòîðîì â , òî èçîìîðôíà íåêîòîðîé -ïîäãðóïïå èç . Íî ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç èìååò âèä , ãäå - íåêîòîðàÿ ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç (ñì. [??]). Ïîýòîìó èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå èç . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íîìåð òàêîé, ÷òî .
Åñëè , òî è , åñòü ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà ãðóïïû . Ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), çàêëþ÷àåì, ÷òî , è èëè , è , èëè , è . Èñïîëüçóÿ óñëîâèå , íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè äëÿ ÷èñëà . Òåîðåìà äîêàçàíà.
4. Ïðèìåð.  1969 ã.Ã.ß. Ìîðäêîâè÷ íà Ãîìåëüñêîì àëãåáðàè÷åñêîì ñåìèíàðå Ñ.À. ×óíèõèíà âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå: â ãðóïïå ïîðÿäêà ïðè ëèáî ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èíâàðèàíòíà, ëèáî ñóùåñòâóåò íååäèíè÷íàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà. Ìû ïîñòðîèì ïðèìåð, îïðîâåðãàþùèé ýòî ïðåäïîëîæåíèå.
Íàïîìíèì, ÷òî îçíà÷àåò íàèáîëüøóþ èíâàðèàíòíóþ -ïîäãðóïïó ãðóïïû . Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ -çàìêíóòîé, åñëè â íåé ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èíâàðèàíòíà.
Ëåììà Ïóñòü , ãäå - ïîäãðóïïà ãðóïïû , . Åñëè äëÿ âñåõ , òî .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî . Äëÿ ëåììà ñïðàâåäëèâà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ è . Òàê êàê è , òî è . Òåïåðü . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî . Ëåììà äîêàçàíà.
Íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ Ë.À. Øåìåòêîâà (ñì. [??]).
Ëåììà Ë.À. Øåìåòêîâ Äëÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû , ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò ãðóïïà ïîðÿäêà ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) , - ïîêàçàòåëü, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïî ìîäóëþ ;
2) íå -çàìêíóòà, ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç ìàêñèìàëüíà â è .
Ïðåäïîëîæåíèå Äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ
1) , ;
2) , ;
3) , ñóùåñòâóåò íå -çàìêíóòàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà , ïðè÷åì è .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü , - óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ïðîñòûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíîìó èç òðåáîâàíèé ïðåäëîæåíèÿ (??). Ïóñòü - -ãðóïïà èç ëåììû (??) ñ ìàêñèìàëüíîé ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïîé, - -ãðóïïà, ïîñòðîåííàÿ â òåîðåìå (??), ñ èíâàðèàíòíîé ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïîé è , ãäå . Òàê êàê íå -çàìêíóòà, òî è íå -çàìêíóòà. Êðîìå òîãî, è , . Ïîýòîìó, ïî ëåììå (??). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàäàòü òàê, ÷òî ãðóïïà áóäåò èìåòü ïîðÿäîê , ïðè÷åì .
Ïóñòü , . Òîãäà , à . Åñëè , òî , ãäå , . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî .
Ïóñòü òåïåðü , . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà , è , ãäå , a . Åñëè â êà÷åñòâå âûáðàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó: , òî . Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî . Òîãäà , è , ãäå , . Òàê êàê , òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Åñëè ïîëîæèòü , òî .
Íàêîíåö, ïóñòü , . Òîãäà , è , ãäå , . Òåïåðü â êà÷åñòâå íàäî âûáðàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Òîãäà . Ïðåäïîëîæåíèå (??) äîêàçàíî.
 çàìåòêå (1) èñïðàâëåíà îøèáêà, äîïóùåííàÿ Áåðíñàéäîì â ðàáîòå (2). À èìåííî â (3) äîêàçàíî, ÷òî ãðóïïà ïîðÿäêà , ãäå è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è , ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , , è ;
2) , , è , åñëè , , åñëè ;
3) , , è .
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðåçóëüòàòà ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé èíâàðèàíòíîé ïîäãðóïïîé, ñîâïàäàþùåé ñî ñâîèì öåíòðàëèçàòîðîì.  ýòîì ñëó÷àå ñèëîâñêàÿ - ïîäãðóïïà èç èçîìîðôíî âêëàäûâàåòñÿ â îáùóþ ëèíåéíóþ ãðóïïó è âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñðàâíèòü ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ñ ÷èñëîì .  ëåììå 2.5 èç [??] óêàçûâàëèñü çíà÷åíèÿ , è íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ÷èñëà , ïðè êîòîðûõ ïîðÿäîê ñèëîâñêîé - ïîäãðóïïû èç áîëüøå .
Öåëü íàñòîÿùåé çàìåòêè - óêàçàòü âñå çíà÷åíèÿ ÷èñåë , è , ïðè êîòîðûõ ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç èìååò ïîðÿäîê áîëüøèé, ÷åì .
Òåîðåìà Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî òîãäà , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:
1) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;
2) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;
3) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , , è ; äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ è .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâûâàåòñÿ íà ôîðìóëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîðÿäêà ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû , ïîëó÷åííîé â [??].
Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, - ïîêàçàòåëü ÷èñëà ïî ìîäóëþ è , íå äåëèò . ×åðåç îáîçíà÷èì ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû , à ÷åðåç - ïîêàçàòåëü, ñ êîòîðûì âõîäèò â ïðîèçâåäåíèå .  [??] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ
Ëåììà Åñëè , òî . Åñëè , òî è ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ òàê: ïóñòü - íàèìåíüøåå öåëîå, ïðè êîòîðîì è ; åñëè , òî ; åñëè , òî , - íå÷åòíîå ÷èñëî.
Íàïîìíèì, ÷òî - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà , ò.å. íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå (ñì. [??]).
Ëåììà Åñëè - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . Òàê êàê , òî
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
è .
Ëåììà Åñëè - íàòóðàëüíîå ÷èñëî , òî .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì èíäóêöèåé ïî . Åñëè , òî
Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ . Äîêàæåì åãî äëÿ .
Åñëè êðàòíî , òî
. Íî - öåëîå ÷èñëî, à -
äðîáíîå. Ïîýòîìó
Åñëè êðàòíî , òî .
Ïóñòü, íàêîíåö, îáà ÷èñëà è íå êðàòíû , òîãäà , ïðè÷åì íå öåëîå ÷èñëî. Òàê êàê ÷èñëî öåëîå, òî , îòêóäà . Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà Åñëè - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì , òî .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå (??), , ïîýòîìó . Íåðàâåíñòâî äîêàæåì èíäóêöèåé ïî . Äëÿ è ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.
Ïóñòü è ïóñòü ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ . Äîêàæåì åãî äëÿ . Ðàçíîñòü îáîçíà÷èì ÷åðåç . Òàê êàê , òî . Ïîýòîìó åñëè - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì, , òî è ïî èíäóêöèè èìååì
Âû÷èñëèì . Òàê êàê
òî
Ëåììà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå. Ãðàíèöû, óêàçàííûå â ëåììå (??), òî÷íûå. Ëåâàÿ ãðàíèöà äîñòèãàåòñÿ ïðè , ïðàâàÿ - ïðè .
Ëåììà Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî , òî è .
Äîêàçàòåëüñòâî îáîèõ íåðàâåíñòâ ëåãêî ïîëó÷èòü èíäóêöèåé ïî .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Ñîõðàíèì âñå îáîçíà÷åíèÿ ëåììû (??). Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïî ëåììå (5), â ýòîì ñëó÷àå , ãäå . Äîïóñòèì, ÷òî . Òàê êàê , òî è . Ïîýòîìó , è, ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû.
Çíà÷èò, , ïîýòîìó ëèáî , ëèáî .
Ïóñòü . Òîãäà , à òàê êàê , òî è .
Ïóñòü . Òîãäà . Åñëè ÷åòíîå, òî , ò.å.4 äåëèò . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, íå÷åòíîå. Ïîýòîìó , è òàê êàê ÷èñëî íå÷åòíîå, òî . Òàêèì îáðàçîì, åñëè , òî .
Èòàê, åñëè , òî ëèáî è , ëèáî è .
Ïóñòü . Òîãäà èç ëåììû (??) ñëåäóåò, ÷òî
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà (ñì. ëåììó (??)), à òàê êàê ïðè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî , òî . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èëè , ïîëó÷àåì .
Åñëè , òî è . Êðîìå òîãî, , ïîýòîìó
è .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî . Òàê êàê , òî . Ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì òåîðåìû.
Ñëåäîâàòåëüíî, èëè è èëè .
Èòàê, íàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: , ; , ; , .
Ñëó÷àé 1. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå
Åñëè , òî, âû÷èñëÿÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ñ ïîìîùüþ íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ, óáåæäàåìñÿ; ÷òî â òî÷íîñòè äëÿ ñëåäóþùèõ , , , , , , , , --, --.
Ïóñòü è - íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . ßñíî, ÷òî . Ñ ïîìîùüþ èíäóêöèè ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ íåðàâåíñòâî; . Èñïîëüçóÿ ëåììó (??), ìû ïîëó÷àåì:
Òåïåðü
Òàêèì îáðàçîì, .
Ñëó÷àé 2. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå , ãäå , åñëè ÷åòíîå, è åñëè íå÷åòíîå, à . Åñëè èëè 3, à , òî íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî . Åñëè , òî , à è ò.å. . Èñïîëüçóÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì
ò.å.
Òåïåðü ïóñòü . Èç ëåììû (??) èìååì èëè . Ïîýòîìó . Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà . Òîãäà , ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ëåììû (??) è (??), ïîëó÷àåì:
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáîì èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .
Ñëó÷àé 3. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå , ãäå - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà . Åñëè , òî è . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, è . Ìû ìîæåì çàïèñàòü , .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà , ò.å. êîãäà .
Òîãäà , .
Åñëè , òî , ãäå - îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ è
, ò.å. .
Åñëè , òî è , ò.å. . Íàéäåì çíà÷åíèÿ äëÿ è . Äëÿ èìååì:
Äëÿ èìååì:
Åñëè , òî , è ïðè ïîëó÷àåì
, ò.å. .
Åñëè , òî . Îïðåäåëèì äëÿ è çíà÷åíèÿ , ïðè êîòîðûõ . Äëÿ èìååì , ò.å. , à . Äëÿ èìååì , ò.å. , à .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà , ò.å. êîãäà .
Åñëè , òî è . Íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî ëèøü ïðè èëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .
Åñëè , òî è . Íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî ëèøü òîëüêî ïðè è èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .
Ïóñòü . Òàê êàê , a , òî
,
òàê êàê .
Òàêèì îáðàçîì, .
Ïóñòü òåïåðü . Òîãäà . Ïóñòü âíà÷àëå . Òîãäà , è ïî ëåììå 3 èìååì . Ïîýòîìó
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâîì , êîòîðîå âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî .
Îñòàëñÿ ñëó÷àé . Òàê êàê , òî
è, ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì
Òàêèì îáðàçîì, .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èòàê, â äàííîé êóðñîâîé ðàáîòå èññëåäîâàíî ñóùåñòâîâàíèå ïðèìàðíûõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï â áèïðèìàðíûõ ãðóïïàõ. Òàêæå èçó÷åíû è äîêàçàíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå òåîðåìû:
Òåîðåìà. Ïóñòü - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà , - ïðîñòîå ÷èñëî è íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , è äåëèò ïîðÿäîê ;
2) , äåëèò ïîðÿäîê , ãäå - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , 1 è äåëèò ïîðÿäîê .
Òåîðåìà. Ïóñòü - ãðóïïà ïîðÿäêà , è - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1) , , è ;
2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;
3) , , è .
Òåîðåìà. Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:
1) , , è ;
2) , , è , åñëè , , åñëè ;
3) , , è .
Òåîðåìà. Ïóñòü è - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:
1) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;
2) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;
3) , , - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , , è ; äëÿ äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ è .
[1] Burnside W., On groups of order , Proc. London Math. Soc.2, ¹ 1 (1904), 388--392.
[2] Âurnside W., On groups of order (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, ¹ 2 (1905), 432--437.
[3] Âurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.
[4] Âèíîãðàäîâ È.Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë, Ì., Íàóêà, 1965.
[5] Huppert Â., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.
[6] Øåìåòêîâ Ë.À., Ê òåîðåìå Ä.Ê. Ôàääååâà î êîíå÷íûõ ðàçðåøèìûõ ãðóïïàõ, Ìàòåì. çàìåòêè, 5, ¹ 6 (1969), 665--668.
[7] Ìîíàõîâ Â.Ñ., Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï. Ìàòåì. çàìåòêè, 18, ¹ 6 (1975) á 877-886.
[8] Burnside W., On groups of order (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.
[9] Âèíîãðàäîâ È.Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë, Ì., 1965.
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÅÑÏÓÁËÈÊÈ ÁÅËÀÐÓÑÜ Ó÷ðåæäåíèå îáðàçîâàíèÿ "Ãîìåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ôðàíöèñêà Ñêîðèíû" ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåäðà àëãåáðû è ãåîìåòðèèÊóðñîâàÿ ðàáîòà Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïï
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ
Èñïîëüçîâàíèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàòèâíûõ òåõíîëîãèé ïðè èçó÷åíèè òåìû "Ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè" â ñðåäíåé øêîëå
Èññëåäîâàíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè êîîïåðàöèè ðàçðàáîò÷èêîâ
Èññëåäîâàíèå êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà
Èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé
Èññëåäîâàíèå ïðî÷íîñòè íà ðàçðûâ ïîëîñîê ñèòöà
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
²íæåíåðíà ãðàô³êà
²íòåãðàë Ñò³ëòüºñà
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Ðåôåðàòû, êîíòðîëüíûå, êóðñîâûå, äèïëîìíûå ðàáîòû.