Áàçà çíàíèé ñòóäåíòà. Ðåôåðàò, êóðñîâàÿ, êîíòðîëüíàÿ, äèïëîì íà çàêàç

êóðñîâûå,êîíòðîëüíûå,äèïëîìû,ðåôåðàòû

Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï — Ìàòåìàòèêà

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÅÑÏÓÁËÈÊÈ ÁÅËÀÐÓÑÜ

Ó÷ðåæäåíèå îáðàçîâàíèÿ

"Ãîìåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

èìåíè Ôðàíöèñêà Ñêîðèíû"

ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Êàôåäðà àëãåáðû è ãåîìåòðèè


Êóðñîâàÿ ðàáîòà

Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï

Èñïîëíèòåëü:

ñòóäåíòêà ãðóïïû H.01.01.01 Ì-41 Òàðàòûí Â.Â.

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:

äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,

ïðîôåññîð êàôåäðû Àëãåáðû è ãåîìåòðèè Ìîíàõîâ Â.Ñ.

Ãîìåëü 2006


Ñîäåðæàíèå

Ââåäåíèå

1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

2. Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï

3. Î ïîðÿäêàõ ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû

Çàêëþ÷åíèå

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû


Ââåäåíèå

 íàñòîÿùåé êóðñîâîé ðàáîòå èçëàãàåòñÿ ìàòåðèàë íà òåìó: "Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï". Öåëü ýòîé êóðñîâîé ðàáîòû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èññëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå ïðèìàðíûõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï â áèïðèìàðíûõ ãðóïïàõ.

Ìîÿ êóðñîâàÿ ðàáîòà ñîñòîèò èç òðåõ ïóíêòîâ.  ïåðâîì ïóíêòå èçëîæåíû îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â äàííîé ðàáîòå, ÷òî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò äàëüíåéøóþ ðàáîòó è ïðîâåðêó êóðñîâîé.

Âî âòîðîì ïóíêòå áûëî ðàññêàçàíî ïðî èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï.

 òðåòüåì ïóíêòå èçëîæåí ìàòåðèàë î ïîðÿäêàõ ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû.

Òàêæå â ýòîì ïóíêòå èçó÷åíû è äîêàçàíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå òåîðåìû:

Òåîðåìà. Ïóñòü  - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà ,  - ïðîñòîå ÷èñëî è  íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) ,  è  äåëèò ïîðÿäîê ;

2) ,  äåëèò ïîðÿäîê , ãäå  - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) ,  1 è  äåëèò ïîðÿäîê .

Òåîðåìà. Ïóñòü  - ãðóïïà ïîðÿäêà ,  è  - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) , ,  è ;

2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) , ,  è .

Òåîðåìà. Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:

1) , ,  è ;

2) , ,  è , åñëè , , åñëè ;

3) , ,  è .

Òåîðåìà. Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è  - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:

1) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;

3) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî  çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå  - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , ,  è ; äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ  è .

Çàâåðøàåò ìîþ êóðñîâóþ ðàáîòó ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû, êîòîðûé ñîñòîèò èç äåâÿòè èñòî÷íèêîâ.


1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

 

ãðóïïà

 ïîðÿäîê ãðóïïû

êëàññ âñåõ ðàçðåøèìûõ ãðóïï

êëàññ âñåõ íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï

  ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû

  ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû

 ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîäãðóïï  è

 ïîäãðóïïà Ôðàòòèíè ãðóïïû

 ôàêòîð-ãðóïïà ãðóïïû  ïî

 ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

 ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé ïîðÿäêà ãðóïïû

 ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ãðóïïû

 íàèáîëüøàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà ãðóïïû

 èíäåêñ ïîäãðóïïû  â ãðóïïå  

2. Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï

 

1. Ââåäåíèå. Äâå ðàáîòû (1) è (2), íàïèñàííûå Áåðíñàéäîì â 1904 ã., ïîñâÿùåíû êîíå÷íûì áèïðèìàðíûì ãðóïïàì - ãðóïïàì ïîðÿäêà ,  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà.  ïåðâîé ðàáîòå äîêàçàíà ðàçðåøèìîñòü òàêèõ ãðóïï. Âî âòîðîé - óñòàíàâëèâàëñÿ ñëåäóþùèé ôàêò: â ãðóïïå ïîðÿäêà  ïðè  ñóùåñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ -ïîäãðóïïà ïîðÿäêà , çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ ñëó÷àåâ ,  è , .

Îäíàêî ãðóïïà , ÿâëÿþùàÿñÿ ðàñøèðåíèåì ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé ãðóïïû  ïîðÿäêà  ñ ïîìîùüþ ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû , èìååò ïîðÿäîê ,  è â  íåò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï. Ýòîò ïðèìåð óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â ðàáîòå [??] èìååòñÿ ïðîáåë.

 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå îáùàÿ ñèòóàöèÿ, ÷åì â [??]. À èìåííî, èçó÷àþòñÿ ðàçðåøèìûå ãðóïïû ïîðÿäêà , ãäå . Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà  Ïóñòü  - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà ,  - ïðîñòîå ÷èñëî è  íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) ,  è  äåëèò ïîðÿäîê ;

2) ,  äåëèò ïîðÿäîê , ãäå  - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) ,  1 è  äåëèò ïîðÿäîê .

Åñëè  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà,  è  - öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ëèáî , ëèáî . Ïîýòîìó òåîðåìà (??) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïà âñå áèïðèìàðíûå ãðóïïû.

Òåîðåìà  Ïóñòü  - ãðóïïà ïîðÿäêà ,  è  - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) , ,  è ;

2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) , ,  è .

Ñëåäñòâèå  Åñëè  è  - íå÷åòíûå ïðîñòûå ÷èñëà è , òî ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà .

Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ãðàíèöû, óñòàíîâëåííûå äëÿ ÷èñåë  è , ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè è ÷òî èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïû â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ òåîðåì (4) è (1) ìîæåò è íå áûòü.

Òåîðåìà  Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:

1) , ,  è ;

2) , ,  è , åñëè , , åñëè ;

3) , ,  è .

 

2. Ïîðÿäêè ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï ïîëíûõ ëèíåéíûõ ãðóïï. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ:

ãäå  è  âçàèìíî ïðîñòî ñ . Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî  åñòü ïîêàçàòåëü, ñ êîòîðûì  âõîäèò â ïðîèçâåäåíèå . Ïîýòîìó

ãäå  - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà  (ñì. [??]) è  - íàèáîëüøåå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì .

Òîãäà

Ëåììà  .

Ëåììà  Ïóñòü  - ïîêàçàòåëü, êîòîðîìó  ïðèíàäëåæèò ïî ìîäóëþ , è ïóñòü ,  íå äåëèò . Òîãäà è òîëüêî òîãäà  äåëèò , êîãäà  êðàòíî . Åñëè ,  íå äåëèò , òî, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ , ÷èñëî  åñòü íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ñâîéñòâ ïîêàçàòåëåé (ñì. (5)). Âû÷èñëèì , èñïîëüçóÿ áèíîì Íüþòîíà:

Çàìåòèì, ÷òî

åñòü öåëîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî,  è ÷èñëî  äåëèò ïðîèçâåäåíèå . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî , èç ëåììû (??) ïîëó÷àåì, ÷òî  è  äåëèò . Òåïåðü

ãäå  - öåëîå ÷èñëî. Òàê êàê  íå äåëèò , òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ íå äåëèòñÿ íà , çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ . Ëåììà äîêàçàíà.

Èñêëþ÷åíèå , â ëåììå (??) ñóùåñòâåííî; ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè ,  ëåììà (??) íåâåðíà. Ñëó÷àé  áûë êàê ðàç è ïðîïóùåí â ðàññóæäåíèÿõ ðàáîòû (5).

Ëåììà  Ïóñòü ,  - íå÷åòíîå ÷èñëî è  - íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . Ïóñòü . Îïðåäåëèì ÷èñëî  òàê: åñëè, , òî . åñëè , òo   - íå÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà

1) åñëè  - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ; ;

2) åñëè  - ÷åòíîå ÷èñëî è ,  - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî , , ãäå , ,  è  - íå÷åòíûå ÷èñëà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ áèíîìîì Íüþòîíà:

Åñëè  - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî

 - íå÷åòíîå ÷èñëî. Åñëè  - ÷åòíîå ÷èñëî, òî

 - íå÷åòíîå ÷èñëî.

Ïóñòü òåïåðü  - íå÷åòíîå ÷èñëî . Òîãäà

ãäå

Ho  - íå÷åòíîå ÷èñëî, ïîýòîìó  - íå÷åòíîå ÷èñëî. Òàê êàê , åñëè , è , åñëè , òî , ãäå  - íå÷åòíîå ÷èñëî.

È íàêîíåö, åñëè , .  - íå÷åòíîå ÷èñëî, òî

 - íå÷åòíîå ÷èñëî. Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà  Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà,  - ïîêàçàòåëü ÷èñëà  ïî ìîäóëþ  è ,  íå äåëèò . Ïóñòü ,  èëè  è  - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû . Åñëè , òî , ãäå  - öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Åñëè , òî . Çäåñü ÷èñëî  îïðåäåëÿåòñÿ êàê è â ëåììå3.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîðÿäîê ãðóïïû  èçâåñòåí (ñì.2):

ßñíî, ÷òî  - íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò ïðîèçâåäåíèå .

Ðàññìîòðèì, âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïðèìåíÿÿ ëåììó (3), çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïðîèçâåäåíèè  ëèøü ñëåäóþùèå ñîìíîæèòåëè êðàòíû :


ãäå  îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì . Òàê êàê  åñòü íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò , ãäå ,  íå äåëèò , òî íàèâûñøàÿ ñòåïåíü , êîòîðàÿ äåëèò , åñòü .

Ñëåäîâàòåëüíî,

.

Ïóñòü òåïåðü . Òîãäà  è . Çàìåòèì, ÷òî

Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî . Åñëè , òî , à òàê êàê ,  è , òî óòâåðæäåíèå äëÿ  ñïðàâåäëèâî.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ , è äîêàæåì åãî äëÿ . Ïóñòü âíà÷àëå  åñòü íå÷åòíîå ÷èñëî, ò.å. ,  è . Ïî ëåììå (4) ,  - íå÷åòíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó . Òàê êàê , à , òî óòâåðæäåíèå äëÿ  ñïðàâåäëèâî.

Ïóñòü òåïåðü  - ÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà  è . Êðîìå òîãî, åñëè ,  íå äåëèò , òî ïî ëåììå (??) ,  - íå÷åòíîå ÷èñëî. Çíà÷èò,

Ëåììà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.

Ëåììà  Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è  - ïîðÿäîê íåêîòîðîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû . Òîãäà ëèáî , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèè:

1) , ,  è ;

2) , ,  è , åñëè , , åñëè ;

3) , , , è .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  - ïîêàçàòåëü ÷èñëà  ïî ìîäóëþ  è ,  íå äåëèò . Òàê êàê  - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû , òî . Åñëè , òî ëåììà (??) ñïðàâåäëèâà. Ïîýòîìó ïóñòü â äàëüíåéøåì . Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïî ëåììå â ýòîì ñëó÷àå , ãäå  îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì . Äîïóñòèì, ÷òî . Òàê êàê , òî  è  - ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, , ïîýòîìó ëèáî , ëèáî .

Ïóñòü . Òîãäà , à òàê êàê , òî  è . Åñëè , òî  è  - ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè , òî . Êðîìå òîãî, . Ïîýòîìó èç óñëîâèÿ  ñëåäóåò, ÷òî . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå äëÿ  èç ïóíêòà 2.

Òåïåðü ïóñòü . Òîãäà . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî , ïîýòîìó . Åñëè , òî  è . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, , ò.å.  è . Ïîýòîìó . Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì , êîòîðîå ñïðàâåäëèâî ïðè . Òîãäà

è èç  ñëåäóåò, ÷òî  è . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå èç ïóíêòà 3. Ñëó÷àé  ðàçîáðàí ïîëíîñòüþ.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé . Òîãäà . Ïóñòü  - íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì , è ïóñòü . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà . Íî  è , ïîýòîìó  è . Åñëè , òî ,  è . Êðîìå òîãî, . Îòñþäà . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè  ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî . Òàê êàê , òî  è

Òàêèì îáðàçîì, ïðè  âñåãäà . Çíà÷èò, íàäî ðàññìîòðåòü ëèøü äâà ñëó÷àÿ:  è .

Ïóñòü , òîãäà . Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî  ïðè . Ïðè  èìååì , ïðè÷åì . Ïîýòîìó . Ïîëó÷èëè óòâåðæäåíèå èç ïóíêòà 1.

Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü . Òåïåðü .   ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èìååò ïîðÿäîê . Òàê êàê , òî  è . Íî , . Ïîýòîìó ýòîò ñëó÷àé çàïèñàí â ïóíêòå 2. Ëåììà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû (??). Ïóñòü ,  - óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ïðîñòûõ ÷èñåë,  - íàòóðàëüíîå ÷èñëî è , ,  óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç òðåõ òðåáîâàíèé òåîðåìû. ×åðåç  îáîçíà÷èì ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó ãðóïïó ïîðÿäêà , ÷åðåç  - ñèëîâñêóþ -ïîäãðóïïó ãðóïïû . Òàê êàê  åñòü ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû , òî ãðóïïà , ÿâëÿþùàÿñÿ ðàñøèðåíèåì ãðóïïû  ñ ïîìîùüþ ãðóïïû , íå èìååò èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï . Ïîêàæåì, ÷òî  - èñêîìàÿ ãðóïïà. Âû÷èñëèì ïîðÿäîê ãðóïïû . Èç ëåììû (??) ñëåäóåò, ÷òî  ïðè÷åì:

1) , åñëè  è ;

2) , åñëè ,  è , åñëè , , ;

3) , åñëè , .

 ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî . Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî , êîòîðîå ñïðàâåäëèâî ïðè , â òðåòüåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì . Òàêèì îáðàçîì,  è â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ . Òåîðåìà (??) äîêàçàíà.

3. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû (??). Äîïóñòèì, ÷òî òåîðåìà íåâåðíà è ãðóïïà  - êîíòðïðèìåð ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà. Ïóñòü  - ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà,  - ñèëîâñêîå -äîïîëíåíèå â .

Îáîçíà÷èì ÷åðåç  íàèáîëüøóþ èíâàðèàíòíóþ -ïîäãðóïïó èç . Ïîäãðóïïà  õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ è  íå èìååò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Ôàêòîðãðóïïà  èìååò ïîðÿäîê . Åñëè , òî  - ïðîòèâîðå÷èå. Ïîýòîìó  è äëÿ  âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3 çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû. Íî òîãäà ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ  - ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, â  íåò íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï.

Ïóñòü  - ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ãðóïïû . Òàê êàê  ðàçðåøèìà, òî . ßñíî, ÷òî . Åñëè , òî  è ãðóïïà  óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû. Íî äëÿ  íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3 çàêëþ÷åíèÿ òåîðåìû, èíà÷å îíî âûïîëíÿëîñü áû è äëÿ . Ïîýòîìó ãðóïïà  îáëàäàåò íååäèíè÷íîé èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïîé . Òåïåðü  öåíòðàëèçóåò , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå î òîì, ÷òî â ðàçðåøèìûõ ãðóïïàõ ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ñîäåðæèò ñâîé öåíòðàëèçàòîð (ñì. [??]). Òàêèì îáðàçîì, .

Äîïóñòèì, ÷òî ïîäãðóïïà Ôðàòòèíè  ãðóïïû  íååäèíè÷íà. Òîãäà ôàêòîðãðóïïà  óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû. Åñëè â  èìååòñÿ íååäèíè÷íàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà , òî ïî òåîðåìå Ãàøþöà [??] ãðóïïà  íèëüïîòåíòíà è  îáëàäàåò èíâàðèàíòíîé -ïîäãðóïïîé  - ïðîòèâîðå÷èå. Íî äëÿ  íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíî èç óòâåðæäåíèé ïóíêòîâ 1 - 3. Ñëåäîâàòåëüíî,  è âñå ñèëîâñêèå â  ïîäãðóïïû ýëåìåíòàðíûå àáåëåâû.

Ïóñòü ,  - ñèëîâñêàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû . Òîãäà ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ  ãðóïïû  ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï  (ñì. [??]). Òàê êàê  ñîâïàäàåò ñî ñâîèì öåíòðàëèçàòîðîì â , òî  èçîìîðôíà íåêîòîðîé -ïîäãðóïïå èç . Íî ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç  èìååò âèä , ãäå  - íåêîòîðàÿ ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç  (ñì. [??]). Ïîýòîìó  èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå èç . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íîìåð  òàêîé, ÷òî .

Åñëè , òî  è , åñòü ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà ãðóïïû . Ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), çàêëþ÷àåì, ÷òî ,  è  èëè ,  è , èëè ,  è . Èñïîëüçóÿ óñëîâèå , íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè äëÿ ÷èñëà . Òåîðåìà äîêàçàíà.

4. Ïðèìåð.  1969 ã.Ã.ß. Ìîðäêîâè÷ íà Ãîìåëüñêîì àëãåáðàè÷åñêîì ñåìèíàðå Ñ.À. ×óíèõèíà âûñêàçàë ïðåäïîëîæåíèå: â ãðóïïå ïîðÿäêà  ïðè  ëèáî ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èíâàðèàíòíà, ëèáî ñóùåñòâóåò íååäèíè÷íàÿ èíâàðèàíòíàÿ -ïîäãðóïïà. Ìû ïîñòðîèì ïðèìåð, îïðîâåðãàþùèé ýòî ïðåäïîëîæåíèå.

Íàïîìíèì, ÷òî  îçíà÷àåò íàèáîëüøóþ èíâàðèàíòíóþ -ïîäãðóïïó ãðóïïû . Ãðóïïà  íàçûâàåòñÿ -çàìêíóòîé, åñëè â íåé ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èíâàðèàíòíà.

Ëåììà  Ïóñòü , ãäå  - ïîäãðóïïà ãðóïïû , . Åñëè  äëÿ âñåõ , òî .

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî . Äëÿ  ëåììà ñïðàâåäëèâà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ  è . Òàê êàê  è , òî  è . Òåïåðü . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî . Ëåììà äîêàçàíà.

Íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ Ë.À. Øåìåòêîâà (ñì. [??]).

Ëåììà Ë.À. Øåìåòêîâ  Äëÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû ,  ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò ãðóïïà  ïîðÿäêà  ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) ,  - ïîêàçàòåëü, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò  ïî ìîäóëþ ;

2)  íå -çàìêíóòà, ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç  ìàêñèìàëüíà â  è .

Ïðåäïîëîæåíèå  Äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ

1) , ;

2) , ;

3) ,  ñóùåñòâóåò íå -çàìêíóòàÿ ãðóïïà  ïîðÿäêà , ïðè÷åì  è .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ,  - óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ïðîñòûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îäíîìó èç òðåáîâàíèé ïðåäëîæåíèÿ (??). Ïóñòü  - -ãðóïïà èç ëåììû (??) ñ ìàêñèìàëüíîé ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïîé,  - -ãðóïïà, ïîñòðîåííàÿ â òåîðåìå (??), ñ èíâàðèàíòíîé ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïîé è , ãäå . Òàê êàê  íå -çàìêíóòà, òî è  íå -çàìêíóòà. Êðîìå òîãî,  è , . Ïîýòîìó,  ïî ëåììå (??). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ íàòóðàëüíîå ÷èñëî  ìîæíî çàäàòü òàê, ÷òî ãðóïïà  áóäåò èìåòü ïîðÿäîê , ïðè÷åì .

Ïóñòü , . Òîãäà , à . Åñëè , òî , ãäå , . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî .

Ïóñòü òåïåðü , . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà ,  è , ãäå , a . Åñëè â êà÷åñòâå  âûáðàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó: , òî . Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî . Òîãäà ,  è , ãäå , . Òàê êàê , òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Åñëè ïîëîæèòü , òî .

Íàêîíåö, ïóñòü , . Òîãäà ,  è , ãäå , . Òåïåðü â êà÷åñòâå  íàäî âûáðàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Òîãäà . Ïðåäïîëîæåíèå (??) äîêàçàíî.

3. Î ïîðÿäêàõ ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû

 çàìåòêå (1) èñïðàâëåíà îøèáêà, äîïóùåííàÿ Áåðíñàéäîì â ðàáîòå (2). À èìåííî â (3) äîêàçàíî, ÷òî ãðóïïà  ïîðÿäêà , ãäå  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è , ëèáî îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) , ,  è ;

2) , ,  è , åñëè , , åñëè ;

3) , ,  è .

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðåçóëüòàòà ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç  ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé èíâàðèàíòíîé ïîäãðóïïîé, ñîâïàäàþùåé ñî ñâîèì öåíòðàëèçàòîðîì.  ýòîì ñëó÷àå ñèëîâñêàÿ  - ïîäãðóïïà èç  èçîìîðôíî âêëàäûâàåòñÿ â îáùóþ ëèíåéíóþ ãðóïïó  è âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ñðàâíèòü ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç  ñ ÷èñëîì .  ëåììå 2.5 èç [??] óêàçûâàëèñü çíà÷åíèÿ ,  è íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ÷èñëà , ïðè êîòîðûõ ïîðÿäîê ñèëîâñêîé  - ïîäãðóïïû èç  áîëüøå .

Öåëü íàñòîÿùåé çàìåòêè - óêàçàòü âñå çíà÷åíèÿ ÷èñåë ,  è , ïðè êîòîðûõ ñèëîâñêàÿ -ïîäãðóïïà èç  èìååò ïîðÿäîê áîëüøèé, ÷åì .

Òåîðåìà  Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è  - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî òîãäà , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:

1) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;

3) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî  çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå  - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , ,  è ; äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ  è .

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâûâàåòñÿ íà ôîðìóëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîðÿäêà ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû îáùåé ëèíåéíîé ãðóïïû , ïîëó÷åííîé â [??].

Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà,  - ïîêàçàòåëü ÷èñëà  ïî ìîäóëþ  è ,  íå äåëèò . ×åðåç  îáîçíà÷èì ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû ãðóïïû , à ÷åðåç  - ïîêàçàòåëü, ñ êîòîðûì  âõîäèò â ïðîèçâåäåíèå .  [??] äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ

Ëåììà  Åñëè , òî . Åñëè , òî  è ÷èñëî  îïðåäåëÿåòñÿ òàê: ïóñòü  - íàèìåíüøåå öåëîå, ïðè êîòîðîì  è ; åñëè , òî ; åñëè , òî ,  - íå÷åòíîå ÷èñëî.

Íàïîìíèì, ÷òî  - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà , ò.å. íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå  (ñì. [??]).

Ëåììà  Åñëè  - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü  - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . Òàê êàê , òî

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

 è .

Ëåììà  Åñëè  - íàòóðàëüíîå ÷èñëî , òî .

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì èíäóêöèåé ïî . Åñëè , òî

Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ . Äîêàæåì åãî äëÿ .

Åñëè  êðàòíî , òî

. Íî  - öåëîå ÷èñëî, à  -

äðîáíîå. Ïîýòîìó

Åñëè  êðàòíî , òî .

Ïóñòü, íàêîíåö, îáà ÷èñëà  è  íå êðàòíû , òîãäà , ïðè÷åì  íå öåëîå ÷èñëî. Òàê êàê ÷èñëî  öåëîå, òî , îòêóäà . Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà  Åñëè  - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à  - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì , òî .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå (??), , ïîýòîìó . Íåðàâåíñòâî  äîêàæåì èíäóêöèåé ïî . Äëÿ  è  ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.

Ïóñòü  è ïóñòü ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ . Äîêàæåì åãî äëÿ . Ðàçíîñòü  îáîçíà÷èì ÷åðåç . Òàê êàê , òî . Ïîýòîìó åñëè  - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì, , òî  è ïî èíäóêöèè èìååì

Âû÷èñëèì . Òàê êàê

òî

Ëåììà äîêàçàíà.

Çàìå÷àíèå. Ãðàíèöû, óêàçàííûå â ëåììå (??), òî÷íûå. Ëåâàÿ ãðàíèöà äîñòèãàåòñÿ ïðè , ïðàâàÿ - ïðè .

Ëåììà  Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî , òî  è .

Äîêàçàòåëüñòâî îáîèõ íåðàâåíñòâ ëåãêî ïîëó÷èòü èíäóêöèåé ïî .

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Ñîõðàíèì âñå îáîçíà÷åíèÿ ëåììû (??). Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà . Ïî ëåììå (5), â ýòîì ñëó÷àå , ãäå . Äîïóñòèì, ÷òî . Òàê êàê , òî  è . Ïîýòîìó , è, ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû.

Çíà÷èò, , ïîýòîìó ëèáî , ëèáî .

Ïóñòü . Òîãäà , à òàê êàê , òî  è .

Ïóñòü . Òîãäà . Åñëè  ÷åòíîå, òî , ò.å.4 äåëèò . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,  íå÷åòíîå. Ïîýòîìó , è òàê êàê ÷èñëî  íå÷åòíîå, òî . Òàêèì îáðàçîì, åñëè , òî .

Èòàê, åñëè , òî ëèáî  è , ëèáî  è .

Ïóñòü . Òîãäà èç ëåììû (??) ñëåäóåò, ÷òî

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî . Òîãäà  (ñì. ëåììó (??)), à òàê êàê ïðè  ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî , òî . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî  èëè , ïîëó÷àåì .

Åñëè , òî  è . Êðîìå òîãî, , ïîýòîìó

 è .

Òàêèì îáðàçîì, ïðè  âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî . Òàê êàê , òî . Ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì òåîðåìû.

Ñëåäîâàòåëüíî,  èëè  è  èëè .

Èòàê, íàì íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: , ; , ; , .

Ñëó÷àé 1. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå

Åñëè , òî, âû÷èñëÿÿ  äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ  ñ ïîìîùüþ íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ, óáåæäàåìñÿ; ÷òî  â òî÷íîñòè äëÿ ñëåäóþùèõ , , , , , , , , --, --.

Ïóñòü  è  - íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè êîòîðîì . ßñíî, ÷òî . Ñ ïîìîùüþ èíäóêöèè ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ íåðàâåíñòâî; . Èñïîëüçóÿ ëåììó (??), ìû ïîëó÷àåì:

Òåïåðü

 Òàêèì îáðàçîì, .

Ñëó÷àé 2. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå , ãäå , åñëè  ÷åòíîå, è  åñëè  íå÷åòíîå, à . Åñëè  èëè 3, à , òî íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî . Åñëè , òî , à  è  ò.å. . Èñïîëüçóÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì

 ò.å.

Òåïåðü ïóñòü . Èç ëåììû (??) èìååì  èëè . Ïîýòîìó . Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà . Òîãäà , ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ëåììû (??) è (??), ïîëó÷àåì:

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáîì  èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .

Ñëó÷àé 3. Ïóñòü , .  ýòîì ñëó÷àå , ãäå  - öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà . Åñëè , òî  è . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî . Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,  è . Ìû ìîæåì çàïèñàòü , .

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà , ò.å. êîãäà .

Òîãäà , .

Åñëè , òî , ãäå  - îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ è

, ò.å. .


Åñëè , òî  è , ò.å. . Íàéäåì çíà÷åíèÿ  äëÿ  è . Äëÿ  èìååì:

Äëÿ  èìååì:

Åñëè , òî , è ïðè  ïîëó÷àåì

, ò.å. .

Åñëè , òî . Îïðåäåëèì äëÿ  è  çíà÷åíèÿ , ïðè êîòîðûõ . Äëÿ  èìååì , ò.å. , à . Äëÿ  èìååì , ò.å. , à .

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà , ò.å. êîãäà .

Åñëè , òî  è . Íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî ëèøü ïðè  èëè  èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .

Åñëè , òî  è . Íåïîñðåäñòâåííî óáåæäàåìñÿ, ÷òî ëèøü òîëüêî ïðè  è  èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî .

Ïóñòü . Òàê êàê , a , òî


,

òàê êàê .

Òàêèì îáðàçîì, .

Ïóñòü òåïåðü . Òîãäà . Ïóñòü âíà÷àëå . Òîãäà , è ïî ëåììå 3 èìååì . Ïîýòîìó

Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâîì , êîòîðîå âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà . Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî .

Îñòàëñÿ ñëó÷àé . Òàê êàê , òî

è, ïðèìåíÿÿ ëåììó (??), ïîëó÷àåì

Òàêèì îáðàçîì, .

Òåîðåìà äîêàçàíà.


Çàêëþ÷åíèå

Èòàê, â äàííîé êóðñîâîé ðàáîòå èññëåäîâàíî ñóùåñòâîâàíèå ïðèìàðíûõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï â áèïðèìàðíûõ ãðóïïàõ. Òàêæå èçó÷åíû è äîêàçàíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå òåîðåìû:

Òåîðåìà. Ïóñòü  - êîíå÷íàÿ ðàçðåøèìàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêà ,  - ïðîñòîå ÷èñëî è  íå äåëèò . Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) ,  è  äåëèò ïîðÿäîê ;

2) ,  äåëèò ïîðÿäîê , ãäå  - ïðîñòîå ÷èñëî, ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) ,  1 è  äåëèò ïîðÿäîê .

Òåîðåìà. Ïóñòü  - ãðóïïà ïîðÿäêà ,  è  - ïðîñòûå ÷èñëà. Åñëè , òî ëèáî  îáëàäàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîé -ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà , ëèáî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:

1) , ,  è ;

2) , , , ïðè÷åì , åñëè , è , åñëè ;

3) , ,  è .

Òåîðåìà. Ãðóïïà ïîðÿäêà , , íå èìåþùàÿ íååäèíè÷íûõ èíâàðèàíòíûõ -ïîäãðóïï, ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àåâ:

1) , ,  è ;

2) , ,  è , åñëè , , åñëè ;

3) , ,  è .

Òåîðåìà. Ïóñòü  è  - ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà è  - ïîðÿäîê ñèëîâñêîé -ïîäãðóïïû èç ãðóïïû . Òîãäà è òîëüêî , êîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé:

1) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî çà èñêëþ÷åíèåì , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ;

3) , ,  - ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî  çà èñêëþ÷åíèåì , ãäå ; , ãäå  - ëþáîå öåëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó . Äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ ÷èñëà , ,  è ; äëÿ  äîïîëíèòåëüíî èñêëþ÷àþòñÿ  è .


Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Burnside W., On groups of order , Proc. London Math. Soc.2, ¹ 1 (1904), 388--392.

[2] Âurnside W., On groups of order  (Second paper), Proc. London Math. Soc., 2, ¹ 2 (1905), 432--437.

[3] Âurnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1911.

[4] Âèíîãðàäîâ È.Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë, Ì., Íàóêà, 1965.

[5] Huppert Â., Endliche Gruppen. I, Berlin, Springer, 1967.

[6] Øåìåòêîâ Ë.À., Ê òåîðåìå Ä.Ê. Ôàääååâà î êîíå÷íûõ ðàçðåøèìûõ ãðóïïàõ, Ìàòåì. çàìåòêè, 5, ¹ 6 (1969), 665--668.

[7] Ìîíàõîâ Â.Ñ., Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï. Ìàòåì. çàìåòêè, 18, ¹ 6 (1975) á 877-886.

[8] Burnside W., On groups of order  (second paper), Proc. London Math. Soc., 2, N 2 (1905), 432--437.

[9] Âèíîãðàäîâ È.Ì., Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë, Ì., 1965.

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÅÑÏÓÁËÈÊÈ ÁÅËÀÐÓÑÜ Ó÷ðåæäåíèå îáðàçîâàíèÿ "Ãîìåëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ôðàíöèñêà Ñêîðèíû" ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Êàôåäðà àëãåáðû è ãåîìåòðèèÊóðñîâàÿ ðàáîòà Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïï

 

 

 

Âíèìàíèå! Ïðåäñòàâëåííàÿ Êóðñîâàÿ ðàáîòà íàõîäèòñÿ â îòêðûòîì äîñòóïå â ñåòè Èíòåðíåò, è óæå íåîäíîêðàòíî ñäàâàëàñü, âîçìîæíî, äàæå â òâîåì ó÷åáíîì çàâåäåíèè.
Ñîâåòóåì íå ðèñêîâàòü. Óçíàé, ñêîëüêî ñòîèò àáñîëþòíî óíèêàëüíàÿ Êóðñîâàÿ ðàáîòà ïî òâîåé òåìå:

Íîâîñòè îáðàçîâàíèÿ è íàóêè

Çàêàçàòü óíèêàëüíóþ ðàáîòó

Ïîõîæèå ðàáîòû:

Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ
Èñïîëüçîâàíèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàòèâíûõ òåõíîëîãèé ïðè èçó÷åíèè òåìû "Ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè" â ñðåäíåé øêîëå
Èññëåäîâàíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè êîîïåðàöèè ðàçðàáîò÷èêîâ
Èññëåäîâàíèå êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà
Èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé
Èññëåäîâàíèå ïðî÷íîñòè íà ðàçðûâ ïîëîñîê ñèòöà
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
²íæåíåðíà ãðàô³êà
²íòåãðàë Ñò³ëòüºñà

Ñâîè ñäàííûå ñòóäåí÷åñêèå ðàáîòû

ïðèñûëàéòå íàì íà e-mail

Client@Stud-Baza.ru