База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московской области

Международный Университет природы

общества и человека «Дубна»

Филиал «Котельники»

Кафедра естественных и гуманитарных наук.

К У Р С О В А Я   Р А Б О ТА

«Исследование прочности на разрыв полосок ситца»

по дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнила студентка

Второго курса 262 ЭТ группы

Одинцова Е.С.

Проверила:

___________Поздеева С.Н.

2006г.

Содержание

1.     Введение………………………………………………….3стр.     

2.     Цель работы………………………………………………3

3.     Постановка задачи………………………………………. 3

4.     Исходные данные……………………………………….. 4

5.     Распределение случайной величины на основе

      опытных данных………………………………………… 4

6.     Построение эмпирической функции распределения….. 9

7.     Статистические оценки параметров распределения……12

8.     Проверка гипотезы о нормальном распределении,

Изучаемой случайной величины…………………………16

9.     Заключение…………………………………………………19

10.                                                                                                                                                                                                                  Список литературы………………………………………..20

1. Введение.

Математическая статистика – наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных  с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Задачи математической статистики:

1)    нахождение функции распределения по опытным данным.

2)    из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.

3)    Статистическая проверка гипотез:

в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.

2. Цель курсовой работы.

     Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.

    

3.Постановка задачи

В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для

обработки статистических данных:

1)    построение полигона частот и относительных частот

2)    построение гистограммы частот и относительных частот

3)    построение эмпирической функции распределения.

4)    нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и                    

               нахождение среднего выборочного квадратичного                                       отклонения.

            5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

4. Исходные данные

Вариант 14

Прочность на разрыв полосок ситца (в дан.):

32      31      34      32      31      29      32      34      33      31      31      34      32      31      35      32

34      33      31      30      30      32      32      34      31      31      35      32      34      33      32      31

34      32      31      29      32      34      33      31      31      34      32      31      35      32      34      33

31      30      34      32      31      29      32      34      33      31      30      32      32      31      36      32

34      33      31      30      32      33      31      28      32      34      33      31      30      32      33      30

35      32      34      33      32      30      31      33      30      33      32      34      33      31      30      32

33      30      31      32      34      33      31      30      32      33      30      31      32      33      33      31

30      32      33      30      31      32      33      30      34      33      31      30      32      33      30      31

32      33                                                                                                                                       

5. Распределение случайной величины на основе опытных данных

Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.

Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.

Результат измерения называется- варианта.

Число появления каждой варианты называется частотой.

Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой.

 

 

x_i - варианта (значение, полученное в процессе измерения)

n_i - частота (сколько раз появилась каждая варианта)

Р^*_i – отношение частоты объёму выборки   

                                                                      

                           

xi	28	29	30	31	32	33	34	35	36
ni	1	3	18	29	32	24	18	4	1
ni                      Pi*   n	1 130	3 130	18 130	29 130	32 130	24 130	18 130	4 130	1 130

Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.

xi<x≤xi+1	(27;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
ni	4	47	56	22	1
Pi*	4/130	47/130	56/130	22/130	1/130

Размах колебания: х_min=28

                                 х_max=36

                                 R= 36-28=8

       Статистическое распределение можно изобразить графически:

Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (О_х) - варианта и  ординатой  (О_у) – частота.

Cтроим полигон  частот.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (О_х) – варианта и ординатой (О_у) – относительная частота.

Строим полигон относительных частот.

                                                       Полигон относительных частот

Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

xii+1	(27;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
ni	4	47	56	22	1
hi =   ni             Δx	4/2	47/2	56/2	22/2	1/2

							Δx=2
hi
56⁄ 2
47⁄ 2
22⁄ 2
4/2
1/2
	27	29	31	33	35	37
								xi

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала)и площадью численно равной относительной частоте.

Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

xii+1	(27;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
Р*i	4/130	47/130	56/130	22/130	1/130
hi =   P*i             Δx	4/260	47/260	56/260	22/260	1/260

Δx=2

h*i
56∕ 260
47⁄ 260
22⁄ 260
4∕ 260
1 ∕ 260
0	27	29	31	33	35	37
								xi

6. Построение эмпирической функции распределения

 

Статистическая функция распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х

F*(х) = Р* = P* (X

                                      

Статистическая функция распределения ( эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва  совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.

9 Σ  Pi* = 1 i=1

1) ∞ < х ≤ 28

  F^*(x)=P^*(X<28)=0

2) 28

  F^*(x)=P^*(X<29)=P^*(X=28)=1/130

3) 29

  F^*(x)=P^*(X=28)+ P^*(X=29)=1/130+3/130=4/130

4) 30

  F^*(x)=P^*(X<31)= P^*(X=28)+ P^*(X=29) P^*(X=30)+1/130+3/130+18/130=22/130

5) 31

  F^*(x)=P^*(X<32)= P^*(X=28)+         +P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130

6) 32

F^*(x)=P^*(X<33)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31) P^*(X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130

7) 33

F^*(x)=P^*(X<34)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130

8)34

F^*(x)=P^*(X<35)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33) P^*(X=34)=

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130

9) 35

F^*(x)=P^*(X<36)= P^*(X=28)+P^*(X=29)+P^*(X=30)+P^*(X=31)+

+P^*(X=32)+P^*(X=33) P^*(X=34)+ P^*(X=35)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130

10) x>36

  F^*(x)=1

                     0, -∞<х≤28

                     1/130, -∞<х≤29

                     4/130, 29<х≤30

                   22/130, 30<х≤31

F^*(x)           51/130, 31<х≤32

                   83/130, 32<х≤33

                   107/130, 33<х≤34

                   125/130, 34<х≤35

                   129/130, 35<х≤36

                   1, х>36

 

Статистическая функция распределения является разрывной функцией и  её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат:

на оси Ох=х_i

на оси Оу=F^*(x)

F* 1 129/130 125/130 107/130 83/130 51/130 22/130 4/130 1/130 0 xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36

 

7.Статистические оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:

1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;

2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;

3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;

Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.

Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка  оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной. 

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.

Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

	_       х1+х2+….+хN                              хг=                                   =                          N      N =Σ  xi      i=1        N

                    

 

Если же значение признака х₁,х₂,…….х_к имеют соответственно частоты N₁,N₂……..N_k, то средняя генеральная вычисляется по формуле:

_               х1×N1+x2×N2+…...xk×Nk                                      хг=                                                                             =                                       N         k =Σ  xi×Ni      i=1            N

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.

х1+х2+….хn             хв=                               =                        n      n  =Σ  xi       i=1           n

Выборочной средней   называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.

Если же значение признака х₁,х₂,….х_k имеет соответственно частоты n₁,n₂,….n_k, то выборочная средняя определяется по формуле:

	_           х1×n1+x2×n2+…+xk×nk хв=______________________ =                         n      k  =Σ  xi×ni       i=1           n

xi	28	29	30	32	32	33	34	35	36
ni	1	3	18	29	32	24	18	4	1

_         28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1

_в =                                                                                                                  =

                                                  130

  =  4158     = 31,98

       130

Выборочной дисперсией  называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

_                 _                       _ _          (х1-хв)2 + (х2-хв)2 + ….(хn-хв)2 Dв=                           n                            =      n          _                =Σ  (хi-xв )2       i=1           n

  

Если же значение признака х₁,х_2…..x _k имеет соответственно частоты n₁,n_2….n_k, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

 

_                        _                             _ _          (х1-хв)2× n1 + (х2-хв)2 ×n2+ ….(хk-хв)2×nk      = Dв=                                                       n      k          _                =Σ  (хi-xв )2× ni       i=1                 n

_       (28-31,98)²×1+(29-31,98)²×3+(30-31,98)²×18+(31-31,98)²×29+

D_в=   +(32-31,98)²×32+(33-31,98)²×24+(34-31,98)²×18+(35-31,98)²×

          ×4+(36-31,98)²×1                                                                               =

                                               130

= 291,972   =  2,24

       130

Среднее выборочное квадратичное отклонение  - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

_          __ σв =    Dв

 __ 

 σ_в =  √  2,24 = 1,5

 

Нормальный закон распределения случайной величины

Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:                                                                                                                         

1                      -(x-a)2 F(x) =   σ √2¶       × e    2σ2

 SHAPE  * MERGEFORMAT

8.Проверка гипотезы о нормальном распределении

изучаемой величины

Гипотезу Н₀ выдвигаем в качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н₀ выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.

Для исследования воспользуемся критерием χ²  Пирсона.

Вычисляем χ² для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:

 SHAPE  * MERGEFORMAT

xi-xв Zi =   _          σв

xi+1-xв Zi+1=     _              σв

_

х_в =31,98

_

D_в=2,24

_

σ_в=1,5

N интервал I	xi	ni	xi	xi^2	xi-xв	xi+1-xв	Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi)	ni*=n*Pi	ni-ni*	(ni-ni*)^2	(ni-ni*)^2/ni*
1	27	4	28	784	-4,98	-2,98	-3,32	-1,987	-0,4991	-0,4699	0,03	3,7999	0,2001	0,04004	0,01053712
2	29	47	30	900	-2,98	-0,98	-1,987	-0,653	-0,4699	-0,2357	0,23	30,446	16,554	274,03492	9,00068699
3	31	56	32	1024	-0,98	1,02	-0,653	0,68	-0,2357	0,2357	0,47	61,282	-5,282	27,899524	0,45526458
4	33	22	34	1156	1,02	3,02	0,68	2,0133	0,2357	0,4699	0,23	30,446	-8,446	71,334916	2,34299796
5	35	1	36	1296	3,02	5,02	2,0133	3,3467	0,4699	0,49913	0,03	3,7999	-2,7999	7,83944	2,06306482
Σ		130													13,8725515

            ^k         (n_i-n_i^*)²

χ² _набл.=Σ 

            ⁱ⁼¹           n_i

χ² _набл=13,8725515

Далее находим χ² с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.

К=S-3

5-3=2

χ²_крит.=6,0

                               χ² _набл=13,8725515   >  χ²_крит=6,0

Гипотеза не принимается.

9. Вывод

В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.

Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

Наглядно представление о  поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот.
Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.

0ценили параметры распределения:

- выборочную среднюю

- выборочную дисперсию

- выборочное среднее квадратичное отклонение.

После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что  случайная величина нераспределена  по нормальному закону.

Литература

1.     Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.

2.     Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.

3.     Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

4.     Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

    5.   Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И.                  Матвеев,И.М.Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г.Шершнев.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФАРМА-М, 2005.-656с.-(Высшее образование).

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Московской области Международный Университет природы общества и человека «Дубна» Филиал «Котельники» Кафедра естественных

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу