Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»сследование распределени€ температуры в тонком цилиндрическом стержне — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме  урсовой работы

 урсова€ работа по информатике

»сполнитель: —олнцев ѕ.¬.

—анкт-ѕетербургский √осударственный “ехнологический »нститут (“ехнический ”ниверситет)

—анкт-ѕетербург 2001

¬ведение

¬ решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решени€ полученной модели, численна€ реализаци€ алгоритма.

÷ель данной работы Ц на примере исследовани€ распределени€ температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближЄнных вычислений, приобрести практические навыки самосто€тельных исследований, существенно опирающихс€ на использование методов прикладной математики.

ѕостановка задачи

‘изическа€ модель

¬ р€де практических задач возникает необходимость исследовани€ распределени€ температуры вдоль тонкого цилиндрического стержн€, помещЄнного в высокотемпературный поток жидкости или газа. Ёто исследование может проводитьс€ либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержн€), либо путЄм анализа соответствующей математической модели.

¬ насто€щей работе используютс€ оба подхода.

“онкий цилиндрический стержень помещЄн в тепловой поток с посто€нной температурой , на концах стержн€ поддерживаетс€ посто€нна€ температура 0.

1.2 ћатематическа€ модель

—овместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержн€ с началом в середине стержн€. Ѕудем рассматривать задачу (распределени€ температуры по стержню) мосле момента установлени€ режима “0.


ѕерва€ математическа€ модель использует экспериментальные данные, при этом измер€ют температуру Ui стержн€ в нескольких точках стержн€ с координатами xi. –езультаты измерени€ Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. ”читыва€ чЄтность U(x) можно искать еЄ в виде многочлена по чЄтным степен€м x (ограничимс€ 4-ой степенью этого многочлена).


†(1.1)

«адача сводитс€ к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

¬тора€ математическа€ модель, также использующа€ экспериментальные данные, состоит в применении интерпол€ционных формул и может употребл€тьс€, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui


“реть€ математическа€ модель основана на использовании закона теплофизики. ћожно доказать, что искома€ функци€ U(x) имеет вид:

†(1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D Ц диаметр стержн€, температура потока, в который помещЄн стержень.


»щем U(x) как решение краевой задачи дл€ уравнени€ (1.2) с граничными услови€ми:

†(1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L Ц длина стержн€, посто€нна€ температура, поддерживаема€ на концах стержн€.

 оэффициент теплопроводности  зависит от температуры:


†(1.4)

где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.


 оэффициент теплоотдачи вычисл€ют по формуле:

†(1.5)


т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до “, здесь значение при t стрем€щемс€ к бесконечности, b Ц известный коэффициент.


¬рем€ “0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимс€ определ€етс€ по формуле:

†(1.6)


где а Ц коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнени€:

†(1.7)

«адание курсовой работы

¬ариант є 136

»сходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

о

о

141,85 (¬т/м* )

2,703*10-4

6,789*10-7

3,383*102 (¬т/м2* )

218 о

†ј = 3,043*10-5 (м2/с)

11

X, м

U, oC

0 353
0,00386 343
0,00772 313
0,01158 261
0,01544 184
0,01930 74

2. ќбработка результатов эксперимента.

2.1 «адача регрессии. ћетод наименьших квадратов.


»щем функцию регрессии в виде (1.1). ќценки коэффициентов находим с помощью ћЌ , при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

†(2.1)


¬ нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

√де k = 0, 1, 2. (2,2)


»з уравнений (2.1) и (2.2) получаем:


†(2.3)


—умма


—истема (2.3) примет вид:

†(2.4)


¬ результате вычислений получаем Sk и Vj. ќбозначим матрицу коэффициентов уравнени€ (2.4) через УpФ:


ћетодом √аусса решаем систему (2.4) и найдЄм обратную матрицу p-1. ¬ результате получаем:


ѕодставл€€ в (2.1) найденные значени€ оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

†Smin=0.7597

ѕри построении доверительных интервалов дл€ оценок коэффициентов определ€ем предварительно точечные оценки.


ѕредполагаетс€, что экспериментальные значени€ xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерени€ величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с посто€нной дисперсией , котора€ неизвестна. ƒл€ имеющихс€ измерений температуры Ui неизвестна€ дисперси€ оцениваетс€ по формуле:


√де r Ц число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисл€емых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.


ќценка коррел€ционной матрицы имеет вид:


ќценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдЄм по формулам:

†√де Sk Ц минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

¬ нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7


ќткуда:


Ќайденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно завис€т от линейно распределЄнных экспериментальных данных Ui.


»звестно, что эти оценки несмещЄнные и эффективные. “огда случайные величины:

†»меют распределени€ —тьюдента, а r = 3.


¬ыбираем доверительную веро€тность =0,9 и по таблице —тьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетвор€ющее равенству:


ƒоверительные интервалы дл€ коэффициентов:

†(2.4*)


¬ нашем случае примут вид:


2.2 ѕроверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.


»меетс€ выборка объЄма n экспериментальных значений (xi;Ui). ѕредполагаем, что ошибки измерени€ xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерени€ температур Ui подчинены нормальному закону с посто€нной дисперсией ћы выбрали функцию регрессии в виде:


¬ы€сним, нельз€ ли было ограничитьс€ многочленом второго пор€дка, т.е. функцией вида:

†(2.5)


C помощью ћЌ  можно найти оценки этих функций и несмещЄнный оценки дисперсии отдельного измерени€ Ui дл€ этих случаев:

√де r1 = 4 (количество точек Ц 6, параметра Ц 2).


Ќормальна€ система уравнений дл€ определени€ новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью ћЌ  имеет вид:

†(2.7)


–еша€ эту систему методом √аусса, получим:

†(2.8)

„ем лучше функци€ регрессии описывает эксперимент, тем меньше дл€ неЄ должна быть оценка дисперсии отдельного измерени€ Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут св€занные с этим выбором дополнительные погрешности. ѕоэтому дл€ того, чтобы сделать выбор между функци€ми U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различи€ между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:


Ќ0 Ц альтернативна€ гипотеза

“.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.


¬ качестве статического критери€ рассмотрим случайную величину, равную:

†(2.9)

имеющую распределение ‘ишера с(r ; r1) степен€ми свободы. ¬ыбираем уровень распределени€ ‘ишера, находим критическое значение F*, удовлетвор€ющее равенству: p(F>F*=

¬ нашем случае F=349.02, а F*=10,13.


≈сли бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F, имевшее веро€тность 0,01, то гипотезу Ќ0 пришлось бы отклонить. Ќо в нашем случае можно ограничитьс€ многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Ќахождение коэффициента теплопроводности .


† оэффициент вычислим по формуле (1.5), обозначим:


†(3.1)


ќпределим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исход€ из требовани€, чтобы относительна€ погрешность вычислени€ не превосходила 0,1%, т.е.:

†(3.2)


“.к. из (3.1) очевидно, что , то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

†(3.3)

“.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычислени€ интеграла I возьмЄм 0,001“ (3.4)

“=218 о—, следовательно, 0,218 о—.

3.1 ¬ычисление интеграла I методом трапеции

†»спользование теоретической оценки погрешности


ƒл€ обозначени€ требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрировани€ [0;T] определ€етс€ по формуле:

, где M[fФ(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3


”читыва€ формулу (3.4) получаем:

†(3.5)


ƒифференциру€ f(t), получим:


ј необходимое условие экстремума: fФ(t)-fТТТ(t)=0, откуда получаем:

ƒалее вычисл€ем значени€ fТТ(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

fТТ(t1)=1.5886 10-4

fТТ(t2)=-1.6627 10-4

fТТ(0)=0

fТТ(T)=7.4782 10-6

»так: M1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.


ƒалее вычислим интеграл I:

ѕогрешность вычислени€ :


3.2 ¬ычисление интеграла I методом парабол


ѕри расчЄтах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила –унге. ƒл€ обеспечени€ заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрировани€ можно определить по формуле:


, откуда:

Ќахождение ћ4 можно провести аналогично нахождению ћ2 в предыдущем пункте, но выражение дл€ fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. ѕоэтому правило –унге Ц наиболее простой способ.

ќбозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрировани€ соответственно на n и 2n интервалов. ≈сли выполнено равенство: |I2n-In| = 15 , то |I-I2n|=


Ѕудем , начина€ с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнЄт выполн€тьс€ неравенство (*1), тогда:

†(3.6)


—огласно формуле парабол (3.7):

–езультаты вычислений сведЄм в таблицу:

n

In

I2n

4 102.11
8 101.61 0.5017

ѕо формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8 n=4

ti (8)

y8

ti (4)

y4

0 1 0 1
27.25 0.9864
54.5 0.8959 54.5 0.8959
81.75 0.6901
109 0.4151 109 0.4151
136.25 0.1796
163.5 0.0514 163.5 0.0514
190.75 0.0089874
218 0.00088179 218 0.00088179

4. ¬ычисление времени “0 установлени€ режима

4.1 –ешение уравнени€ комбинированным методом

¬рем€ установлени€ режима определ€етс€ по формулам (1.6) и (1.7).

ѕроведЄм сначала отделение корней. »меем y = ctg(x) и y = Ax. ѕриведЄм уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. ѕроведЄм процесс отделени€ корн€.

F(x) -1 -0.6285 0.4843
x 0.01 0.05 0.1

т.е. с [0.01;0.05]

”бедимс€, что корень действительно существует и €вл€етс€ единственным на выбранном интервале изол€ции.

f(a) f(b)<0 Ц условие существовани€ корн€ выполн€етс€

fТ(x) на [a;b] Ц знакопосто€нна: fТ(x)>0 Ц условие единственности также выполн€етс€. ѕроведЄм уточнение с погрешностью не превышающей 

—троим касательные с того конца, где f(x) fФ(x)>0


fФ(x)=(2A+1)cos(x) Ц A x sin(x). fФ(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. ѕриближение корн€ по методу касательных:


по методу хорд:


¬ычисление ведЄм до того момента, пока не выполнитс€ условие:

–езультаты вычислений заносим в таблицу:

n

an

bn

f(an)

f(bn)

0 0.05 0.1 -0.6285 0.4843
1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394
2 0.08202 0.08207

-9.1515 10-4

3.7121 10-4

3 0.08206 0.08206

-8.4666 10-8

3.4321 10-8

0 = 72,7176 секунд.

4.2 –ешение уравнени€ комбинированным методом

ѕриведЄм f(x) = 0 к виду x = (x). ƒл€ этого умножим обе части на произвольное число , неравное нулю, и добавим к обеим част€м х:

X = x - f(x)


xx - A x sin(x) + cosx)

¬ качестве возьмЄм:

где ћ = max [fТ(x)] на [a;b], а m = min [fТ(x)] на [aТb]

¬ силу монотонности fТ(x) на [a;b] имеем m = fТ(а), ћ = fТ(b). “огда 0,045.


ѕриближение к корню ищем по следующей схеме:


¬ычисление ведЄм до тех пор, пока не выполнитс€ условие:

†(q = max |Т(x)| на [aТb])

Т(x) на [aТb] монотонно убывает, поэтому максимум его модул€ достигаетс€ на одном из концов.

Т(0,05) = 0,3322 Т(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. ¬ этом случае выполн€етс€ условие сходимости и получаетс€ последовательность:

i

xi

( xi)

 xi

0 0.075 0.082392 0.00739
1 0.082392 0.082025 0.000367
2 0.082025 0.08206

3.54 10-5

3 0.08206 0.082057

3.33 10-6

4 0.082057 0.082057

3.15 10-7

»так, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:

“0 = 72,7176 с. , 0.03142

5. –ешение краевой задачи


»спользуем метод малого параметра.  раевую задачу запишем в виде:

†(5.1)


¬вед€ новую переменную y = (U - , запишем (5.1) в виде:

†(5.2)


0.18L/2 =0.0193. ¬ качестве малого параметра возьмЄм .


†“огда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степен€х , получим:

†(5.3)


ќграничимс€ двум€ первыми членами р€да:


»з (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнени€ дл€ y0:

где y0 с тильдой Ц частное решение данного неоднородного уравнени€; y(1) и y(2) Ц линейно независимые решени€ однородного уравнени€.


 орни уравнени€:

y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953


 онстанты найдЄм из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию:

y0 = 1 - 0.57 sh(px)


ќбщее решение:


„астное решение:

ƒифференциру€ и подставл€€ в уравнение, получим:

ј1 = 0; ј2 = -0,1083; ¬1 = 0; ¬2 = 17,1569;

“огда общее решение дл€ y1 имеет вид:


с3 = 0; с4 = 0,0462

ѕерейд€ к старой переменной U, получим:





»тоговое уравнение:

ѕользу€сь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

x U(x) U
0 352.9075 353
0.0019 350.4901
0.0039 343.1972 343
0.0058 330.9053
0.0077 313.4042 313
0.0097 290.391
0.0116 261.4598 261
0.0135 226.0893
0.0154 1836255 184
0.0174 133.2579
0.0193 74 74

»спользу€ данную таблицу, строим график функции U(x).

†[см. приложение 1]

6. «аключение

–ешение задачи на Ё¬ћ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределени€ температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задани€ и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значени€ми.

—писок литературы

1. ћетодические указани€ Ђћетоды приближЄнных вычислений. –ешение нелинейных уравненийї (Ћ“» им. Ћенсовета, Ћ. 1983)

2.ћетодические указани€ ЂѕриближЄнные методы ислислени€ определЄнных интеграловї (Ћ“» им. Ћенсовета, Ћ. 1986)

ћетодические указани€ Ђ»зучение распределени€ температуры в тонком цилиндрическом стержнеї (Ћ“» им. Ћенсовета, Ћ. 1988)

 урсова€ работа по информатике »сполнитель: —олнцев ѕ.¬. —анкт-ѕетербургский √осударственный “ехнологический »нститут (“ехнический ”ниверситет) —анкт-ѕетербург 2001 ¬ведение ¬ решении любой прикладной задачи можно выделить три основн

 

 

 

¬нимание! ѕредставленна€  урсова€ работа находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалась, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальна€  урсова€ работа по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru