курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Реферат з курсу “Введение в численные методы”
Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
где – соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции ее n-ная производная оказывается равной первой производной от :
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :
Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
где – вектор известных коэффициентов,
– вектор искомых коэффициентов,
– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:
.
Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .
Начальные условия для вычисляются по выражениям для следующим образом:
или в векторно-матричной форме:
,
.
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():
,
погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.
Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.
При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :
.
Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:
Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как
,
обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и
Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
|
|
y(0) |
y(1) |
y(2) |
|
|
y’(0) |
-3 | 4 | -1 | 2 |
|
y’(1) |
-1 | 0 | 1 | -1 |
|
y’(2) |
1 | -4 | 3 | 2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
|
|
|||||
| -11 | 18 | -9 | 2 | -3 | |
| -2 | -3 | 6 | -1 | 1 | |
| 1 | -6 | 3 | 2 | -1 | |
| -2 | 9 | -18 | 11 | 3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
|
|
||||||
| -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 | |
| -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 | |
| 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 | |
| -1 | 6 | -18 | 10 | 3 | -3 | |
| 3 | -16 | 36 | -48 | 25 | 12 |
Шести точечная аппроксимация первой производной
|
|
|||||||
| -137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 | |
| -12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 | |
| 3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 | |
| -2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 | |
| 3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 | |
| -12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|||||||
| -147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 | |
| -10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 | |
| 2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 | |
| -1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 | |
| 1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 | |
| -2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 | |
| 10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
| 1 | -2 | 1 | -12 , 2 | |
| 1 | -2 | 1 | 0 , -1 | |
| 1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
| 2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 | |
| 1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 | |
| 0 | 1 | -2 | 1 | -5 , -2 | |
| -1 | 4 | -5 | 2 | 55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
| 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150 , 12 | |
| 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15 , -3 | |
| -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0 , 2 | |
| -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15 , 3 | |
| 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
| 225 | -770 | 1070 | -780 | 305 | -50 | |
| 50 | -75 | -20 | 70 | -30 | 5 | |
| -5 | 80 | -150 | 80 | -5 | 0 | |
| 0 | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 | |
| 5 | -30 | 70 | -20 | -75 | 50 | |
| -50 | 305 | -780 | 1070 | -770 | 225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
| 812 | -3132 | 5265 | -5080 | 2970 | -972 | 137 | |
| 137 | -147 | -255 | 470 | -285 | 93 | -13 | |
| -13 | 228 | -420 | 200 | 15 | -12 | 2 | |
| 2 | -27 | 270 | -490 | 270 | -27 | 2 | |
| 2 | -12 | 15 | 200 | -420 | 228 | -13 | |
| -13 | 93 | -285 | 470 | -255 | -147 | 137 | |
| 137 | -972 | 2970 | -5080 | 5265 | -3132 | 812 |
Например, производная первого порядка в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:
,
.
Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.
4. Краевые задачи для уравнений второго порядка
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.
Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более.
Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.
| Система уравнений с трехточечным представлением производных |
Вектор разностного решения с шагом h=0.1 |
|
|
-199+100+0.1=0 |
0.0186590989712 | 0.0186415437361 |
|
100-199+100+0.2=0 |
0.0361316064473 | 0.0360976603850 |
|
100-199+100+0.3=0 |
0.0512427953890 | 0.0511947672548 |
|
100-199+100+0.4=0 |
0.0628415300546 | 0.0627828520998 |
|
100-199+100+0.5=0 |
0.0698118753674 | 0.0697469636621 |
|
100-199+100+0.6=0 |
0.0710840847137 | 0.0710183518969 |
|
100-199+100+0.7=0 |
0.0656455142231 | 0.0655851465687 |
|
100-199+100+0.8=0 |
0.0525504484304 | 0.0525024675253 |
|
100-199+0.9=0 |
0.0309298757856 | 0.0309018656257 |
Система уравнений для пяти-точечного представления производных |
Вектор решения |
|
-9940+3000+2000-500+6=0 |
0.0186406186406 |
|
8000-14940+8000-500+12=0 |
0.0360968696594 |
|
-500+8000-14940+8000-500+18=0 |
0.0511941848390 |
|
-500+8000-14940+8000-500+24=0 |
0.0627825213460 |
|
-500+8000-14940+8000-500+30=0 |
0.0697468774179 |
|
-500+8000-14940+8000-5008+36=0 |
0.0710184988305 |
|
-500+8000-14940+8000-500+42=0 |
0.0655854996422 |
|
-500+8000-14940+8000+48=0 |
0.0525029672554 |
|
-500+2000+3000-9940+54=0 |
0.0309024932693 |
| Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных | Вектор решения |
|
-3720-1000+3500-1500+250+3=0 |
0.0186415486274 |
|
8000-14940+8000-500+12=0 |
0.0360976918947 |
|
-500+8000-14940+8000-500+18=0 |
0.0511948294923 |
|
-500+8000-14940+8000-500+24=0 |
0.0627829167486 |
|
-500+8000-14940+8000-500+30=0 |
0.0697469746974 |
|
-500+8000-14940+8000-500+36=0 |
0.0710183243686 |
|
-500+8000-14940+8000-500+42=0 |
0.0655851063829 |
|
-500+8000-14940+8000+48=0 |
0.0525024168959 |
|
250-1500+3500-1000-3720+27=0 |
0.0309018105849 |
| Система уравнений для семиточечного представления производных | Вектор решения |
|
-7260-12750+23500-14250+4650-650+9=0 |
0.0186415513486 |
|
11400-20910+10000+750-600+100+18=0 |
0.0360976659970 |
|
-1350+13500-24410+13500-1350+100+27=0 |
0.0511947713313 |
|
10-135+1350-2441+1350-135+10+3.6=0 |
0.0627828547351 |
|
10-135+1350-2441+1350-135+10+4.5=0 |
0.0697469648318 |
|
10-135+1350-2441+1350-135+10+5.4=0 |
0.0710183515790 |
|
100-1350+13500-24410+13500-1350+63=0 |
0.0655851447467 |
|
100-600+750+10000-20910+11400+72=0 |
0.0525024640963 |
|
-650+4650-14250+23500-12750-7260+81=0 |
0.0309018602217 |
В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.
Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.
Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.
Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:
,
где – непрерывная функция, заданная на границе области.
Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y:
Значения функции в узлах сетки обозначим через и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:
После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:
В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов и значениями функции на границе, как показано ниже:
| u(0,0) | 0.5 | 0.476 | 0.404 | 0.294 | 0.154 | 0 |
| 0.5 | u(1,1) | u(1,2) | u(1,3) | u(1,4) | u(1,5) | 0 |
| 0.476 | u(2,1) | u(2,2) | u(2,3) | u(2,4) | u(2,5) | 0 |
| 0.404 | u(3,1) | u(3,2) | u(3,3) | u(3,4) | u(3,5) | 0 |
| 0.294 | u(4,1) | u(4,2) | u(4,3) | u(4,4) | u(4,5) | 0 |
| 0.154 | u(5,1) | u(5,2) | u(5,3) | u(5,4) | u(5,5) | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):
|
0.5-4·u(1,1)+u(1,2)+u(2,1) +0.5=0, u(1,1)-4·u(2,1)+u(2,2)+u(3,1)+0.476=0, u(2,1)-4·u(3,1)+u(3,2)+u(4,1)+0.404=0, u(3,1)-4·u(4,1)+u(4,2)+u(5,1)+0.294=0, u(4,1)-4·u(5,1)+u(5,2)+0.154=0, 0.476+u(1,1)-4·u(1,2)+u(1,3)+u(2,2)=0, u(1,2)+u(2,1)-4·u(2,2)+u(2,3)+u(3,2)=0, u(2,2)+u(3,1)-4·u(3,2)+u(3,3)+u(4,2)=0, u(3,2)+u(4,1)-4·u(4,2)+u(4,3)+u(5,2)=0, u(4,2)+u(5,1)-4·u(5,2)+u(5,3)=0, 0.404+u(1,2)-4·u(1,3)+u(1,4)+u(2,3) =0, u(1,3)+u(2,2)-4·u(2,3)+u(2,4)+u(3,3)=0, u(2,3)+u(3,2)-4·u(3,3)+u(3,4)+u(4,3)=0 |
u(3,3)+u(4,2)-4·u(4,3)+u(4,4)+u(5,3)=0, u(4,3)+u(5,2)-4·u(5,3)+u(5,4)=0, 0.294+u(1,3)-4·u(1,4)+u(1,5)+u(2,4) =0, u(1,4)+u(2,3)-4·u(2,4)+u(2,5)+u(3,4)=0, u(2,4)+u(3,3)-4·u(3,4)+u(3,5)+u(4,4)=0, u(3,4)+u(4,3)-4·u(4,4)+u(4,5)+u(5,4)=0, u(4,4)+u(5,3)-4·u(5,4)+u(5,5)=0, 0.154+u(1,4)-4·u(1,5)+u(2,5) =0, u(1,5)+u(2,4)-4·u(2,5)+u(3,5)=0, u(2,5)+u(3,4)-4·u(3,5)+u(4,5)=0, u(3,5)+u(4,4)-4·u(4,5)+u(5,5)=0, u(4,5)+u(5,4)-4·u(5,5)=0. |
Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:
| u(0,0) | 0.5 | 0.476 | 0.404 | 0.294 | 0.154 | 0 |
| 0.5 | 0.444618 | 0.389236 | 0.316975 | 0.225193 | 0.116966 | 0 |
| 0.476 | 0.389236 | 0.319355 | 0.249474 | 0.172833 | 0.0886772 | 0 |
| 0.404 | 0.316975 | 0.249474 | 0.188730 | 0.127986 | 0.0649079 | 0 |
| 0.294 | 0.225193 | 0.172833 | 0.127986 | 0.0854773 | 0.0429672 | 0 |
| 0.154 | 0.116966 | 0.0886772 | 0.0649079 | 0.0429672 | 0.0214836 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных одномерной
,
преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:
,
, , I
– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;
, , ,
, ,
– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.
В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:
.
Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.
Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек.
6. Повышение точности разностных схем
Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке z+h выражается через оператор производной , как , а его применение представляется выражением:
Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно
несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:
Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы , для каждой представленной индексом точки записано значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:
Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:
Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:
и любых других.
Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.
Например, из выражения для непосредственно следует
что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя и с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках:
Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки.
При задании в правой части уравнения Лапласа функции g(x,y) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить на , – на и т.д.:
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями ее решения, рассмотренными ранее.
Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.
Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:
,
которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.
Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. , значения температуры на пластинах и начальное распределение температуры по длине .
Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8) и обозначим значение температуры в каждой точке через , k=0,1,..., Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) – для приграничных точек . Температуры в точках с k=0 и k=8 заданы: 100° и 0°.
После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторно-матричной форме:
Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:
| Произ-водная |
|
|
|
| T1’= | -15T1-4T2+14T3-6T4+T5+1000 | -20T1+6T2+4T3-T4+1100 | -2T1+T2+100 |
| T2’= | 16T1-30T2+16T3-T4-100 | 16T1-30T2+16T3-T4-100 | T1-2T2+T3 |
| T3’= | -T1+16T2-30T3+16T4-T5 | -T1+16T2-30T3+16T4-T5 | T2-2T3+T4 |
| T4’= | -T2+16T3-30T4+16T5-T6 | -T2+16T3-30T4+16T5-T6 | T3-2T4+T5 |
| T5’= | -T3+16T4-30T5+16T6-T7 | -T3+16T4-30T5+16T6-T7 | T4-2T5+T6 |
| T6’= | -T4+16T5-30T6+16T7 | -T4+16T5-30T6+16T7 | T5-2T6+T7 |
| T7’= | T3-6T4+14T5-4T6-15T7 | -T4+4T5+6T6-20T7 | T6-2T7 |
Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать неограниченно возрастающие значения.
В рассматриваемом примере =0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени = 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.
| 0.01 |
36.32 36.82 23.97 |
152 466 3.434 |
0.9573 1.038 0.3456 |
-0.005579 0.004583 0.02668 |
-0.02021 -0.02009 0.001666 |
-0.001651 -0.002840 73610^(-5) |
0.009336 -0.0001931 3.93410^(-6) |
| 0.02 |
52.52 52.39 37.89 |
20.86 21.00 9.682 |
6.165 6.287 1.825 |
1.298 1.347 0.2702 |
0.1715 0.1810 0.0328 |
0.01656 0.002515 0.003367 |
0.03366 -0.01559 0.0002973 |
| 0.05 |
69.3 69.17 57.27 |
42.88 42.79 26.61 |
23.52 23.50 10.15 |
11.37 11.37 3.243 |
4.821 4.826 0.884 |
1.773 1.767 0.2089 |
0.5202 0.5142 0.04223 |
| 0.1 |
77.99 77.98 69.09 |
57.61 57.58 42.81 |
40.14 40.12 23.71 |
26.27 26.25 11.75 |
16 15.99 5.222 |
826 829 2.076 |
3.842 3.854 0.6867 |
| 0.25 |
85.43 85.43 80.18 |
71.18 71.18 61.57 |
57.51 57.51 45.12 |
44.6 44.60 31.4 |
32.51 32.51 20.52 |
21.18 21.18 12.13 |
10.43 10.43 5.581 |
| 0.5 |
87.32 87.32 85.39 |
74.67 74.67 71.1 |
62.07 62.07 57.41 |
49.54 49.54 44.5 |
37.07 37.07 32.42 |
24.67 24.67 21.11 |
12.32 12.32 10.39 |
| 0.75 |
87.48 87.48 86.87 |
74.97 74.97 73.84 |
62.46 62.46 60.99 |
49.96 49.96 437 |
37.46 37.46 35.99 |
24.97 24.97 23.84 |
12.48 12.48 11.87 |
Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня 12,5°С. Пятиточечная аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.
Литература
1. Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с.
2. Рено Н.Н. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ. Изд-во: "Книжный дом Университет" (КДУ), 2007. – 24с.
3. Самарcкий А. А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд.3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208с.
4. Самарский А.А. Введение в численные методы Учебное пособие для вузов 3-е изд.,стер. ЛАНЬ, 2005. – 288с.
5. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304с.
6. Тыртышников Е.Е. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА (1-Е ИЗД.) УЧЕБ. ПОСОБИЕ Издательство "Академия/Academia", 2007. – 320с.
Реферат з курсу “Введение в численные методы” Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ” Содержание 1. Приведение к системе уравнений первого порядка 2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений 3. Разно
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.