курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 2.3
№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.
Запишем уравнение прямой в виде:
.
Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:
Получим уравнение прямой:
Сделаем чертеж
|
Ответ: |
№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.
Сделаем схематический чертеж
Площадь треугольника будет равна .
Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде
Из уравнения
Получим прямую с угловым коэффициентом
Значение соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..
№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Общее уравнение имеет вид:
Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.
Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:
Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:
Получим уравнение плоскости:
Запишем условие перпендикулярности плоскостей:
Условие, что искомая плоскость:
через точку А: ;
через точку В: .
Получим систему уравнений:
Складываем 2-е и 3-е уравнения: , 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:
Из 1-го уравнения: .
Из 3-го уравнения: . Принимаем , получаем
.
Уравнение плоскости имеет вид:
№ 4. Найти расстояние от точки до прямой .
Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки до прямой, заданной уравнением в канонической форме:
№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку перпендикулярно вектору , где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью
Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение .
Для этого вначале найдем координаты точки В.
Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:
с осью OY:
с осью OZ:
Получим треугольник с вершинами: .
Найдем координаты середины стороны по формуле:
.
— середина стороны .
Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:
Точка пересечения медиан имеет координаты .
Найдем координаты вектора .
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
№ 6. Две прямые параллельны плоскости . Первая прямая проходит через точку и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости
и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение в точке (x,0,0).
подставляем из 1-го уравнения во второе, получим
Полагаем тогда .
Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).
Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)
Из второго уравнения
Косинус найдем по формуле:
№ 7. Найти координаты центра окружности радиусом 5, касающейся прямой в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Переформулируем задачу:
Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.
Запишем уравнение прямой в виде , коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых
Получаем уравнение прямой
Используем формулу расстояния между двумя точками:
По условию второе решение не походит, т.к. x<0.
№ 8. Дана кривая
8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.
— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду
Это каноническое уравнение гиперболы.
8.2 Найти координаты ее центра симметрии.
Сделаем схематический чертеж:
Центр симметрии гиперболы в точке .
.
8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.
8.4. Записать уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус , р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).
Уравнение , где
8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.
№ 9. Дана кривая .
9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.
Каноническое уравнение параболы , заданное уравнение приведем к этому виду
следовательно, имеем параболу.
9.2. Найти координаты ее вершины.
Если уравнение параболы записано в виде , координаты вершины .
9.3. Найти значение ее параметра р.
Из уравнения—— видно, что .
9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.
Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение .
9.5. Построить данную параболу.
Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.
№ 10. Дана кривая .
10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.
Каноническое уравнение эллипса
Общее уравнение кривой второго порядка:
.
Перепишем заданное уравнение:
Введем обозначения:
Если имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.
следовательно, исходная кривая — эллипс.
10.2. Найти координаты центра его симметрии.
Применим формулу:
10.3. Найти его большую и малую полуоси.
Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:
Уравнение запишем в виде:
где
Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением , при этом угловой коэффициент новой оси
10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси . В новых координатах .
Воспользуемся формулой преобразования координат:
Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой , получим:
10.5. Построить данную кривую.
Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и . Далее, определим вершины эллипса.
В новых координатах они равны .
В старых:
Логика высказываний
Методы нахождения корней полиномов
Методы оптимизации при решении уравнений
Передаточные функции одноконтурной системы
Правовая статистика
Теория вероятности
Интеграл дифференциального уравнения
Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування
Побудова скінченних множин
Теория случайных функций
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.