курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные - √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1
2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)
Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)
Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+
i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-
a1b2/a2І+b2І)
3 Тигонометрическая форма комплексного числа
Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ)
r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x.
4 ZЄ=rЄ(cos Aφ+i*sin Aφ)
5 Є√Z=Є√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1)
Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.
6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью
1,1,1,1,1…1
1,1/2,1/3…1/N
1,-1,1,-1…(-1)Є
Xn,n∈N
Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E
lim Xn = A
n→∞
Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.
7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел (сходится).
Cвойства пределов:
если Хn=С то lim Xn=C
n→∞
пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B
n→∞ n→∞ lim (Xn*Yn)=A*B
lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0
если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn
n→∞ n→∞
8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена
Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N
Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn)
n→∞
Св-ва БМВ:
lim αn=0
n→∞
lim (αn±βn)=0
n→∞
lim (Xn*αn)=0; если Xn-ограничена
n→∞
В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х:
sin X ~ X eЄ-1 ~ a
tg X ~ X (1+x)Є ~ ax
1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X
LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx
9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.
Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда
Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .
Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.
Прим:
при каких q сходится и расходится ?
сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1
10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.
есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N
тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже.
11 Признак Даламбера
∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l
n→∞
то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.
Признак Коши
∑An – знакополож. ряд lim Є√An=q
n→∞
q<1 – сходится ; q>1 – расходится.
12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An
An>0
Признак Лейбница:
Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и
предел Аn при n→∞ =0 то ряд сходится
пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n
13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент
y=kx+b – линейная ф-ия
y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия
Обратная ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х
Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.
y=XЄ и y=LOGxA – примеры
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε
lim f(x)=B
x→x0
Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)
15 lim f(x)=B
x→x0
Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.
св-ва :
lim c=c
x→x0
если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c
x→x0
lim (f(x)*φ(x))=b*c
x→x0
lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)
x→x0
Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b
x→x0 x→x0 x→x0
если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:
(Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0
непрерывны сумма, разность, произведение и
частное(φ(х0))≠0 этих функций
Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке
16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А∈(-∞;+∞)
y=kx+b=f(x)
f(A)=kA+b
k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε | kx-b-ka+b | <ε
| k (x-f) | <ε
| k |*| x-a | <ε
| x-a | < ε/| k |=δ(ε)
y=axІ+bx+c (-∞;+∞)
17 y=BЄ (B>0)
Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-∞;+∞)
lim BЄ=1
a→0
| BЄ-1 | <ε 1) B=1
2) B>1
-ε < BЄ-1 < ε 1-ε < BЄ < ε+1
LOGb(1-ε)
min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε
| x | < δε
LOGaB
18 y=cos x (-∞; +∞)
| cos x – cos a | < ε
| 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε
2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε
2 | sin (x-a)/2 | < ε
| x-a | < ε =δ(ε)
y=sin x (-∞; +∞)
y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk
y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk
19 Первым замечательным пределом называется
lim sin x/x=1
x→x0
20 Второй замечательный предел
lim(1+1/a)Є=e
a→∞
Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.
lim (1+a)№’Є=e
a→0
21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)
x→x0
Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.
Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0)
у=f ‘(x0)(x - x0)
Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)
Определение для любой точки
22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий
(u±v)`=u`± v`
Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:
(uv)`=u`v + uv`
Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
(cu)`=cu`
Производная произведения нескольких
дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений
производной каждого из сомножителей на все остальные
(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`
23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v≠0
(u/c)`=1/c*u`
(c/u)`=-cv`/vІ c=const
24 (xЄ)`=axЄˉ№
25 (LNx)`=1/x
(eЄ)`=eЄ
Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной
0, производная обратной ф-ии равна обратной величине
производной данной ф-ии
X`y = 1/Y`x
26 (sin x)`=cos x
(cos x)`=-sin x
(tg x)`=1/cosІx
(ctg x)`=-1/sinІx
27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х
y`=f`(u)*u`
y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`
Пример:
y=(√x+5)і y`=?
y=uі, где u=√x+5
по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)І(√x+5)`=3(√x+5)І/2√x
28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.
dy=f`(x)Δx
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх
29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:
1 ООФ, ОЗФ
2 Непрерывность ф-ии
3 Нахождение асимптот
4 Экстремумы и интервалы монотонности
5 Интервалы выпуклости и т. перегиба
6 Чётность нечётность, периодичность
7 Т. пересечения с Ох и Оу
(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при
х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
f(x)
Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.
горизонтальной асимптотой f(x)
Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел
(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)
внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает
(убывает) на этом промежутке
Если при переходе через т. х0 производная
дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0
равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или
максимума)
(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в
разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и
вверх.
Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале
(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой
вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)
30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при
х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках
разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –
конечные числа
Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.
горизонтальной асимптотой f(x)
Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел
(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть
правосторонней или левосторонней
31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)∑ Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд в котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью сходимости степнного ряда.
Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) ∑ | bn |*| x |Є
Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)
Т2.
Для любого
степ. ряда (1) сущ-ет
такое неотрицат.
число R≥0
что
этот ряд сходится
абсолютно при
| x |
Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n→∞) сходится
>1 (n→∞) расходится
32 Разложение ф-ий в ряд:
Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0
f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Єˉ№
f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!
Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн. разности (х-х0)
Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ
Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора
eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…
sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄˉ№)/(2a+1)!+…
cos x=1-xІ/2!+x⁴/4!+…+(-1)ⁿ*xІⁿ/(2n)!+…
ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)ⁿxⁿ⁺№/n+1…
33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области определения) имеет место F`(x)≡f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) обозначается F(x)+C=∫f(x)dx
dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx
Св-ва неопр.∫
∫dF(x)=F(x)+C
(∫f(x)dx)`=f(x)
∫αf(x)dx=α∫f(x)dx
∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
Таблица интегралов
34 Метод замены переменных:
∫f(x)dx=∫f(φ(t))·φ`(t)dt → x=φ(t)
∫sin 5x dx=∫sin t 1/5dt=1/5∫sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C
5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt
35 Интегрир-ие по частям:
∫ U·dV=UV-∫VdU
Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит другой)
∫ xІ·sinx dx
xІ=U dU=2x dx
sin x dx =dV V=-cos x
∫ = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -∫(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2∫x·cos x dx
x=U dU=dx
cos x dx=dV V=sin x
∫ = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-∫sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos x+C
36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.
Рациональная
дробь наз. правильной
если степень
числителя
меньше степени
знаменателя,
т.е. m Интегрирование
дробей методом
разложения
на элементарные
дроби: 1
Если дробь
неправильна,
то представить
ее в виде суммы
многочлена
и правильной
дроби. 2
Разложив знаменатель
дроби на множители,
представить
её в виде суммы
простейших
рац. дробей. 3
Проинтегрировать
многочлен и
полученную
сумму простейших
дробей. 37
Определённым
интегралом
от ф-ии f(x)
на
отрезке (a;
b) называется
предел интегральной
суммы Sn,
когда n→∞
(Δxi→0) Cв-ва
опр. интеграла: (все интегралы
на отрезке от
А до В) 1
∫С·f(x)dx=C·∫f(x)dx 2
∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 3
∫f(x)dx=-∫f(x)dx 4
Если
f(x)≤g(x)
на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx 5
Если на (А,В)
m=minf(x) M=maxf(x)то
m(B-
-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A) 6
Если f(x)
непрерывна
на (A,B)
то сущ.
также точка
С∈(A;B)
∫f(x)dx=f(C)·(B-A) 7
Если
f(x)
непрерывна
на (А,В) то ∫f(x)dx
существует 8
∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx 9
Формула
Ньютона-Лейбница:
∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x) 38
Применение
опр. ∫ 1
Вычисление
площадей (Н-Лейб) Если
на (А,В) f(x)>0
то
S=∫f(x)dx Если
на (А,В) f(x)<0
то
S=-∫f(x)dx Если
на (А,В) f(x)>g(x)
то
S=∫[f(x)-g(x)]dx
(действительно
для всех вариантов
расп. ф-ий) 2
Вычисление
объёмов тел
вращения V=π∫fІ(x)dx 39
Приближ.
вычисление
интегралов 1
Формула Н-Лейб. 2
Метод прямоугольника (B-A)/n=h:
∫(A→B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn) 3
Формула
трапеции
∫f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn) 4
Формула
Симпсона n-чётное
∫f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn) 40
Несобственные
∫ бывают 2-х видов: ∫-ы
вида ∫(a;+∞)f(x)dx;
∫(-∞;b)f(x)dx; ∫(-∞;+∞)f(x)dx называются
несобственными
∫-и 1-го рода Если
сущ. предел
(b→∞)
∫(a;b)f(x)dx=C (C≠∞)
то
интеграл сходится
и наоборот. Пусть
есть числовой
ряд ∑Ax=A0+A1+…An+…
и пусть
есть ф-ия f(x)=Ax
на
интервале [
a:b) Тогда
ряд и несобственный
∫(a;∞)f(x)dx
сходятся
или расходятся
одновременно Если
lim
(x→b)f(x)=∞ или
lim(x→a)f(x)=∞ то
∫f(x)dx наз.
несобственным
интегралом
2-го рода, он
сходится если
сущ. конечный
предел
lim
∫(a; b-δ)f(x)dx δ→0 41
Пусть
имеется n
переменных
величин, и каждому
набору их значений
(x1,x2,x3…xn)
из некоторого
мн-ва Х соответствует
одно вполне
определённое
значение переменной
величины Z.
Тогда
говорят,что
задана ф-ия
нескольких
переменных
Z=f(x1…xn) Если
сущ-ет
lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то
он называется
частной производной
по переменной
х. Если
сущ-ет
lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y)
то он
называется
частной производной
по переменной
y Величина
dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy
называется
дифференциалом
от ф-ии f(x;y) Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn Дифференциалом
ф-ии называется
сумма произведений
частных производных
на приращение
соответствующих
независимых
переменных. 42
Если Z=f(x;y)
имеет
в точке (х0;у0)
экстремум
(локальный) и
ф-ия дифференцируема
(т.е. имеет частные
произв-ые) то
частные произв-ые
в этой т. равны
0. 43
Формулы служащие
для аналитического
представления
опытных данных
получили название
эмпирических
формул Этапы
вывода ЭФ: 1
Установить
вид зависимости
(линейная,
квадратичная,
логарифмическая
и т.д.) 2
Определение
известных
параметров
этой ф-ии Для
линейной зависимости
сущ-ет метод
наименьших
квадратов 44
ДУ называют
ур-ие, связывающее
искомую ф-ию
одной или нескольких
переменных,
эти переменные,
и производные
различных
порядков данной
ф-ии. Решением
ДУ называется
такая ф-ия, котю
при подстановке
её в это ур-ие
обращает его
в тождество. ДУ
первого порядка
наз. ур-ие содержащее
переменную
х, неизвестную
ф-ию y=f(x)
и её производную
y`=f`(x) ДУ
первого порядка
наз. ур-ем с
разделяющимися
переменными,
если оно м/б
представленно
в виде dy/dx=f(x)g(y) Для
решения такого
ур-ия его следует
преобразовать
к виду, в котором
дифференциал
и ф-ии переменной
х окажутся в
одной части
равенства, а
переменной
у – в другой.
Затем проинтегрировать
обе части полученного
рав-ва: dy/g(y)=f(x)·dx
→
∫
dy/g(y)=∫ f(x)·dx axЄˉ№ -1/√1-xІ
|x|<1 1/√(1+xІ) xЄ⁺№/a+1+C
a≠1 1/a·arctg
x/a+C a≠0 1/2a·ln|
(a+x)/(a-x) |+C a≠0 Понятие
числа (от натур.
до комплексного) Сложение,
вычитание, *,
/ для комплексного
числа Тригонометрическая
форма комплексного
числа Возведение
в степень
комплексного
числа Извлечение
Є
из комплексного
числа Последовательность
и её предел Св-во
сходящихся
последовательностей
(док-во) БМВ
и ограниченная
последовательность.
Св-ва БМВ Знакоположительный
ряд и его сходимость
(пример) Признак
сравнения двух
знакоположительных
рядов (примеры) Признаки
Даламбера и
Коши Знакопеременный
ряд. Признак
Лейбница (пример) Прямая
и обратная
функция (примеры) Предел
ф-ии в точке Непрерывность
ф-ии в точке.
Св-ва непрерывных
ф-ий Непрерывность
линейной и
степенной ф-ий Непрерывность
ф-ий ВЄ и LOGaX Непрерывность
тригонометрической
ф-ии 1-ый
замечательный
предел 2-ой
замечательный
предел и его
применение
для
начисления
непрерывных
% Понятие
производной
от ф-ии. Геометрический
и механический
смысл
призводной Понятие
пр-ой. Пр-ая от
+, -, * двух ф-ий Понятие
пр-ой. Пр-ая от
/ двух ф-ий Понятие
пр-ой. Пр-ая от
ХЄ Понятие
пр-ой. Пр-ая от
обратных ф-ий
(LNx,
eЄ) Пр-ая
от тригонометрической
ф-ии. Пр-ая
от сложной
ф-ии (пример) Понятие
дифференциала
ф-ии. Его геометр.
смысл Исследование
ф-ий с помощью
пр-ой и пределов. Понятие
асимптот и их
нахождение Степенной
ряд и область
его сходимости Разложение
ф-ий в степенные
ряды Неопределённый
интеграл. Табл.
Интегралов Метод
интегрир-ия
с помощью замены
переменных
(примеры) Интегрирование
по частям Интегрир-ие
с помощью разложения
на элементарнве
дроби Определённый
интеграл и его
св-ва. Формула
Ньютона-Лейбница Применение
опр. интегралов Приближённый
метод вычисления
опр. интегралов Несобственные
интегралы Ф-ии
нескольких
переменных.
Понятие частных
пр-ых и дифференциала Экстремум
ф-ий нескольких
переменных Понятие
об эмпирических
формулах. Метод
наименьших
квадратов. 44
Понятие
ДУ и методы его
решения.
f(x)
f`(x)
f(x)
f`(x)
c
0
xЄ
x
1
xІ
2x
√x
2√x
arccos
x
1/x
-1/xІ
arctg
x
1/1+xІ
eⁿ
eⁿ
arcctg
x
-1/1+xІ
aⁿ
aⁿln
a
sh
x
ch
x
ln
x
1/x
ch
x
sh
x
LOGaX
1/x·ln
a
th
x
1/chІx
sin
x
cos
x
cth
x
-1/shІx
cos
x
-sinx
ln(x+√(xІ+1))
tg
x
1/cosІx
arcsin
x
1/√(1-xІ)
ctg
x
-1/sinІx
f(x)
F(x)+C
0
C
1
x+C
x
xІ/2+C
xЄ
1/x
ln|
x |+C
1/xІ
-1/x+C
1/xі
1/2xІ+C
1/(1+xІ)
arctg
x+C
1/aІ+xІ
1/1-xІ
1/2·ln|
(1+x)/(1-x) |+C
1/aІ-xІ
x/xІ+a
1/2·ln|
xІ+a |+C
1/√(1-xІ)
arcsin
x+C
1/√(aІ-xІ)
arcsin
x/a+C
eⁿ
eⁿ
aⁿ
aⁿ/ln
a
ln
x
x
ln x –x +C
sin
x
-cos
x+C
cos
x
sin
x+C
tg
x
-ln
| cos x |+C
ctg
x
ln
| sin x |+C
1/cosІx
tg
x+C
1/sinІx
-ctg
x+C
1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже цел
Математика
Математика
Шпаргалка по геометрии и алгебре
Математика 1 часть
Математика. Интегралы
Математическая Логика
Математическая кунсткамера кое-что из истории геометрии
Математическая модель взаимодействия подсистем производства сельхозпродуктов в районных АПК
Математическая модель всплытия подводной лодки
Математическая статистика
Copyright (c) 2025 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.