База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Методы для решения краевых задач,

в том числе «жестких» краевых задач.

 

1. Введение.

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

 

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

 

Y(x) = A(x) ? Y(x) + F(x),

где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

 

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

 

Краевые условия имеют вид:

 

U?Y(0) = u,

V?Y(1) = v,

где

 

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

 

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

 

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

 

Y(x) = e? Y(x)  +  e? e? F(t) dt,

где

 

e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,

 

где E это единичная матрица.

 

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:

 

K(x←x) = K(x - x) = e.

 

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

 

Y(x) = K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x)  ,

 

где Y*(x←x) = e? e? F(t) dt   это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

 

2. Случай переменных коэффициентов.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e= e? e ? … ? e ? e,

 

K(x←x) = K(x←x) ? K(x←x) ? … ? K(x←x) ? K(x←x).

 

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

 

K(x←x) = K(x←x) ? K(x←x) ? … ? K(x←x) ? K(x←x),

 

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

 

K(x←x) = e,      где ?x= x- x.

 

3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

 

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

  Y*(x←x) = e? e? F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:

 

  Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ?K(x- t) ? F(t) dt .

 

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

 

  Y*(x- x) = e?e? F(t) dt ,

 

  Y*(x- x) = e?e? F(t) dt ,

 

  Y*(x- x) = e? F(t) dt ,

 

  Y*(x- x) = e? F(t) dt ,

 

  Y*(x- x) = e? e? F(t) dt ,

 

  Y*(x←x) = e? e? F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

 

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

 

  Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ?K(x- t) ? F(t) dt =

= K(x- x) ? (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) ? F(t) dt =

= K(x- x) ? (EF(t) dt  + A?(x- t) ? F(t) dt  + A/2! ?(x- t) ? F(t) dt  + … ) .

 

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

 

Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x←x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.

 

4. Метод переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.

 

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

 

Y(x) = K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x)  .

Или можно записать:

Y(0) = K(0←x) ? Y(x)  +  Y*(0←x)  .

 

Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U?Y(0) = u,

 

U?[ K(0←x) ? Y(x)  +  Y*(0←x) ] = u,

 

[ U? K(0←x) ] ? Y(x)  = u - U?Y*(0←x)  .

 

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

 

U? Y(x)  = u  ,

 

где U= [ U? K(0←x) ] и u = u - U?Y*(0←x) .

 

Далее запишем аналогично

 

Y(x) = K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x) 

 

И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x

 

U? Y(x)  = u,

 

U? [ K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x) ]  = u  ,

 

[ U? K(x←x) ] ? Y(x)  = u - U? Y*(x←x)   ,

 

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

 

U? Y(x)  = u  ,

 

где U= [ U? K(x←x) ] и u = u - U? Y*(x←x)   .

 

И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

 

U? Y(x)  = u  ,

V? Y(x)  = v  .

 

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

 

 ? Y(x) =  .

 

А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

 

То есть, получив

U? Y(x)  = u,

 

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

 

U? Y(x)  = u.

 

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

 

Y(x) = K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x)  .

 

И получаем

U? [ K(x←x) ? Y(x)  +  Y*(x←x) ]  = u  ,

 

[ U? K(x←x) ] ? Y(x)  = u - U? Y*(x←x)   ,

 

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

 

U? Y(x)  = u  ,

 

где U= [ U? K(x←x) ] и u = u - U? Y*(x←x)   .

 

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

 

U? Y(x)  = u.

 

И так далее.

 

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

 

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:

 ? Y(x) =  .

 

5. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.

 

Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:

 

Y(0) = K(0←x) ? Y(x) +  Y*(0←x)  ,

Y(1) = K(1←x) ? Y(x) +  Y*(1←x)  .

 

Подставим эти формулы в краевые условия и получим:

 

U?Y(0) = u,

 

U?[ K(0←x) ? Y(x)  +  Y*(0←x) ] = u,

 

[ U? K(0←x) ] ? Y(x)  = u - U?Y*(0←x)  .

и

 

V?Y(1) = v,

 

V?[ K(1←x) ? Y(x)  +  Y*(1←x) ] = v,

 

[ V? K(1←x) ] ? Y(x)  = v - V?Y*(1←x)  .

 

То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:

 

[ U? K(0←x) ] ? Y(x)  = u - U?Y*(0←x)  ,

[ V? K(1←x) ] ? Y(x)  = v - V?Y*(1←x)  .

 

Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x)  в любой рассматриваемой точке x:

 

 ? Y(x)  =  .

 

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.

 

Используем свойство перемножаемости матриц Коши:

 

K(x←x) = K(x←x) ? K(x←x) ? … ? K(x←x) ? K(x←x)

 

и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:

 

K(0←x) = K(0←x) ? K(x←x) ? K(x←x),

K(1←x) = K(1←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ? K(x←x),

 

Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:

 

[ U? K(0←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ] ? Y(x)  = u - U?Y*(0←x)  ,

[ V? K(1←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ] ? Y(x)  = v - V?Y*(1←x) 

 

или в виде:

 

[ U? K(0←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ] ? Y(x)  = u*  ,

[ V? K(1←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ] ? Y(x)  = v*  .

 

Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:

 

[ U? K(0←x) ? K(x←x) ? K(x←x) ] ? Y(x)  = u*  ,

 

 

[ U? K(0←x) ] ? { K(x←x) ? K(x←x) ? Y(x) }  = u*  ,

[     матрица      ] ? {                     вектор                        }  = вектор  .

 

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

 

[ U? K(0←x) ] ? { K(x←x) ? K(x←x) ? Y(x) }  = u*  .

 

Далее последовательно можно записать:

 

[[ U? K(0←x) ] ?  K(x←x) ] ? { K(x←x) ? Y(x) }  = u*  ,

[                      матрица                          ] ? {         вектор          }  = вектор  .

 

Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

 

[[ U? K(0←x) ] ?  K(x←x) ]  ? { K(x←x) ? Y(x) }  = u*  ,

 

Далее аналогично можно записать:

 

[[[ U? K(0←x) ] ?  K(x←x) ]  ? K(x←x) ] ? {  Y(x)   }  = u*  ,

[                                        матрица                                         ] ? { вектор}  = вектор  .

 

Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

 

[[[ U? K(0←x) ] ?  K(x←x) ]  ? K(x←x) ]  ? Y(x)  = u*  .

 

Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.

 

Далее проортонормированные уравнения краевых условий:

 

[ U? K(0←x) ] ? Y(x)  = u*  ,

[ V? K(1←x) ] ? Y(x)   =  v*   

 

как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :

 

? Y(x)  = .

 

6. Метод дополнительных краевых условий.

 

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:

 

M ? Y(0) = m .

 

В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0)  из выражения:

 

 ? Y(0) = ,

 

то есть вектор Y(0)  находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.

 

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:

 

N ? Y(0) = n ,

 

где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.

 

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

 

 ? Y(1) = .

 

Запишем Y(1) = K(1←0) ?Y(0) + Y*(1←0)  и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:

 

 ? [ K(1←0) ?Y(0) + Y*(1←0) ]  = ,

 

 

 ? K(1←0) ?Y(0)  =  -  ? Y*(1←0),

 

 ? K(1←0) ?Y(0)  =  ,

 

 ? K(1←0) ?Y(0)  =  .

 

Запишем вектор Y(0)  через обратную матрицу:

 

Y(0) = ?

 

и подставим в предыдущую формулу:

 

 ? K(1←0) ? ?  = .

 

Таким образом, мы получили систему уравнений вида:

 

В ?  = ,

 

где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.

 

Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:

 

?  = ,

 

откуда можем записать, что

 

В11 ? u + B12 ? m = s,

B21 ? u + B22 ? m = t.

 

Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:

 

m = B12 ? (s – B11? u).

 

А искомый вектор n вычисляется через вектор t:

 

t  = B21 ? u + B22 ? m,

 

n = t + N ? Y*(1←0).

 

В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.

 

Запишем приведенную выше формулу

 ? K(1←0) ? ?  =

в виде:

 ? K(1←x2) ? K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ?  = .

 

Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:

[ ? K(1←x2) ]     ?   { K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ?  }    =     

            [     матрица       ]      ?   {                        вектор                        }     =    вектор

 

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

 

[ ? K(1←x2) ]     ?   { K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ?  }    =     

 

Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.

 

Далее запишем:

[[ ? K(1←x2) ] ? K(x2←x1)]     ?      { K(x1←0) ? ?  }    =     

            [                       матрица                    ]      ?     {                вектор            }     =    вектор

 

Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

[[ ? K(1←x2) ] ? K(x2←x1)]      ?   { K(x1←0) ? ?  }    =    .

 

И так далее.

В результате поочередного ортонормирования получим:

 

В ?  = ,

 

?  =  .

 

Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:

 

m = B12 ? (s – B11? u).

 

 

 

7. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

 

Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.

 

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x)  будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.

 

Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:

Y(x)  = Y(x) c +  Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y*(x),

или можно записать в матричном виде:

Y(x)  = Y(x) ? c  +  Y*(x),

 

где векторы  Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

 

Здесь Y(x)=|| Y(x), Y(x), Y(x), Y(x)  || это матрица размерности 8х4, а c  это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c,c,c,c.

 

Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

 

Y(x)=Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+

+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y*(x),

 

И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

 

То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U?Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c,c,c,c.

 

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

 

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.

 

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

U?Y(0) = u,

 

где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

 

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

U?Y(0) = u,

 

где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u.

 

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].

 

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W:

W = ,

где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.

 

В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

 

Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками:

W = .

 

Можем записать, что

Y(x) = (М)транспонированная = М.

 

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:

 

Y(0) = Y(0) ?с + Y*(0)

или

Y(0) = М?с + Y*(0).

 

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U?Y(0) = u и получим:

 

U? [ М?с + Y*(0) ]= u.

 

Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как

U? М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:

 

U? Y*(0) = u.

 

Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

 

? Y*(0) = ,

где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

 

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

 

Y*(0) = ? ,

 

Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:

Y(0) = М?с + ? .

 

8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.

 

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:

 

Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

 

? Y*(0) = ,

 

? Y(0) = , где i = , , , ,

где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.

 

9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова.

 

В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:

 

Y(x)  = Y(x) ? c  +  Y*(x).

 

На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

 

Y(x) = K(x- x) ?Y(x).

 

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.

 

10. Метод половины констант.

 

Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:

 

Y(0) = М?с + ? .

 

Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

 

Y(0) = М?с + U?u

или

Y(0) = U?u +  М?с

или

Y(0) =  ? ,

Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

 

Далее запишем     V?Y(1) = v      и    Y(1) = K(1←0) ?Y(0) + Y*(1←0)   совместно:

 

V? [ K(1←0) ?Y(0) + Y*(1←0) ]  = v

 

V? K(1←0) ?Y(0)   = v - V?Y*(1←0)

 

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

 

V? K(1←0) ? ? = v - V?Y*(1←0).

V? K(1←0) ? ? = p.

 

Таким образом мы получили выражение вида:

 

D ? = p,

где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:

 

 ? = p.

 

Тогда можем записать:

D1? u + D2 ? c = p.

 

Отсюда получаем, что:

 

c =  D2 ? ( p - D1? u )

 

Таким образом, искомые константы найдены.

 

Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.

 

Запишем

V? K(1←0) ? ? = p.

 

совместно с K(1←0)  = K(1←x2) ? K(x2←x1) ? K(x1←0) и получим:

 

V? K(1←x2) ? K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ? = p.

 

Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:

 

[ V? K(1←x2)  ] ?  {  K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ?  } =  p.

[     матрица    ] ?  {                                   вектор                                     } = вектор

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

 

[ V? K(1←x2)  ]  ?  {  K(x2←x1) ? K(x1←0) ? ?  } =  p.

 

И так далее.

 

В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:

 

D ? = p,

Отсюда получаем, что:

 

c =  D2 ? (p - D1? u)

 

Таким образом, искомые константы найдены.

 

11. Применяемые формулы ортонормирования.

 

 

12. Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 548 с.
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г., 635 с.

 

 

© к.ф.-м.н. Алексей Юрьевич Виноградов. Февраль 2010.

Методы для решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач. 1. Введение. На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу