База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Министерство Образования Республики Таджикистан

Таджикский Технический Университет

имени М.С. Осими

 

Кафедра «АСОИиУ»

Лабораторная работа №1

На тему: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Выполнила:

ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2

Принял: преподаватель кафедры

Ли И.Р.

Душанбе-2010

Лабораторная работа № 2

Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

 

I Цель работы

 

Целью работы является:

1.         Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения

2.         Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения

3.         Проверка адекватности полученного датчика

 

II Теоретические сведения

 

1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения

При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x1,x2….xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).

Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность y1,y2,..yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:

 

F(y)=     P(ksiy)          (1)

 

или плотностью вероятности

 

f(y)=F’(y)                 (2)

 

Функции f(y) и F(y) могут быть заданы  графически или аналитически.

Для получения случайной величины    η с функцией распределения F(y) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1], используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:

- метод обратной функции

- метод отбора или исключения

- метод композиции.

2. Метод обратной функции

Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:

η=F^-1 (ζ)                                     (3)

 

Где F^-1 (ζ) - обратная функция по отношению к функции распределения F(ζ)

            F(y)

                 1

                 ζ    

                   0                       η                                                                          y

Рис 1 Функция распределения F(ζ)

Действительно, при таком определении случайной величины η  имеем:

P(ηy)=P{F^-1(ζ)y}=P{ ζ F(y) }= F(y)       (4)

В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3), второе из неубывающего характера функций F(ζ) и F^-1 (ζ)  и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ.

Таким образом, если задана функция распределения F(y), то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.

Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический.

3.Метод отбора или исключения

Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f(y). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности f(y) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η^* и ζ^*  можно ограничить ступенчатой кривой:

                      0, если y<a

           g(y)=   fmax, если  a  y b               (25)

                     0, если y>b

Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (RND(ζ))  два равномерно-распределенных числа ζ_{1 и} ζ₂ , по которым определяются равномерные на интервале [a,b] независимые величины:

 

η ’=a +  (b-a)*ζ₁

ζ’=fmax*   ζ₂                                               (26)

Где a,b – границы возможных значений случайной величины η,

 fmax- максимальное значение функции   f(y) (Рис.7)

 

f(y)                                                                        g(y)

 

fmax      

                                                                            f(y)

       ζ 

 

 

                       a                  η ’               b

Рис.7 Заданная плотность вероятности

Если ζ’  f (η ’) , то η ’ принимается в качестве очередной реализации случайной величины _η. В противном случае η ’ отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ₁ и ζ₂ . Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.

4. Метод композиции

Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (x) по формуле полной вероятности:

 

fη (x)=                 (27)

 

Где H(z)=P(ζz)– интегральная функция распределения случайной величины ζ;

P(x/z )- условная плотность вероятности.

Переходя к дискретной форме, интеграл  заменяется на сумму и тогда получаем

 

fη (x)=P_j*f_j (x)      (28)

где P_j=1                                                               (29)

f_j (x) -условная плотность вероятности

Таким образом, для  любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой fη(x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей g_j (i=1,k),с площадями P_j (j=1,k),  (Рис.8)

Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке

        fη(x)

                                 g₁ (Р₁)

                                         g₂ (Р₂)       g₃ (Р₃)

                                                                                             x

                       

          g₁ (Р₁)

                                                                                               x

Рис. 9 Условные плотности

вероятности

       g₂ (Р₂)

                                                                                          x

       g₃ (Р₃)

                                                                                               x

Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)

Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.

5. Оценка закона распределения

Для полученной случайной последовательности y_1, y_2,…,y_n с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y_1, y_2,…,y_n строится статистическая функция распределения

F* (y) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F(y) для заданного закона распределения и производится сопоставление F*(y) и F(y). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова. Для этого вычисляется статистика:

Ди=maxF*(y) - F(y)          (30)

 

Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.). По этой таблице для заданных объемов последовательности и и значению статистики Ди определяется уровень значимости  .

Если гипотеза верна то статистика Ди* имеет в пределе при n распределение Колмогорова и квантили уровня P= (1-2) близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования.

                                                                        F(y)

F(y)  1                                                                

   

                           F*(y)

                                  

       0.5           D_n {  

 

                                                                                       y

                     y₁       y₂       y₃        y₄ …….y_n-1     y_n

 

Рис.10Оценка распределения

III Содержание исследования

Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:

1.По двадцати числам (n=20) выведенным на печать  построить статистическую функцию распределения F*(y)(рис.10) На этом же графике построить интегральную функцию распределения F(y) для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F*(y)и F(y), вычислить статистику Ди (30).

2. Составить блок- схему и программу для ПЭВМ, в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди по критерию Колмогорова.

3.По таблице пороговых значений статистики Ди произвести оценку распределения.

4. Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.

Блок- схема генератора

Интерфейс программы:

 

Листинг программы:

 

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer

Dim p1, p2 As Integer

Dim Y() As Variant, X As Double

p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0

List1.Clear

Randomize

X = 0.5

n = Val(Text1.Text)

ReDim Y(n) As Variant

For i = 1 To n

 X = Rnd(X)

 List1.AddItem ("x(" + Str(i) + ")=" + Str(X))

 

 If X < 0.7 Then

   p1 = p1 + 1

   Y(i) = 2

   m = m + Y(i)

   List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))

 Else

   p2 = p2 + 1

   Y(i) = 10 * X - 5

   m = m + Y(i)

   List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))

 End If

 

Next i

List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.7: p1=" + Str(p1))

List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.3: p2=" + Str(p2))

List1.AddItem ("ВЕРОЯТНОСТИ:")

List1.AddItem (" 0.4<=x<0.7  ---  0" + Str(p1 / n))

List1.AddItem (" 0.7<=x<=1  ---  0" + Str(p2 / n))

m = m / n

List1.AddItem ("мат ожидание = " + Str(m))

For i = 1 To n

 d = d + (Y(i) - m) ^ 2

Next i

 d = d / (n - 1)

 b = Sqr(d)

 List1.AddItem ("диссперсия = " + Str(d))

 List1.AddItem ("сререднекв откл = " + Str(b))

'построение интегральной функции

Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture1.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture1.PSet (-1, 11)

Picture1.Print ("f(x)")

Picture1.PSet (10.5, -0.3)

Picture1.Print ("x")

Picture1.PSet (-0.7, 4)

Picture1.Print ("0.4")

Picture1.PSet (-0.7, 7)

Picture1.Print ("0.7")

Picture1.PSet (-0.7, 10)

Picture1.Print ("1")

Picture1.PSet (2, -0.3)

Picture1.Print ("2")

Picture1.PSet (5, -0.3)

Picture1.Print ("5")

For i = 0 To 11 Step 0.001

If i < 2 Then

l = 4

Else

     If i < 5 Then

     l = (0.1 * i + 0.5) * 10

     Else

       l = 10

     End If

End If

Picture1.PSet (i, l)

Next i

Picture1.Line (2, 4)-(2, 7)

'построение обратной функции

Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2)

Picture2.Line (0, -2)-(0, 11)

Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0)

Picture2.PSet (-1, 11)

Picture2.Print ("x")

Picture2.PSet (10.5, -0.3)

Picture2.Print ("f(x)")

Picture2.PSet (-0.7, 2)

Picture2.Print ("2")

Picture2.PSet (-0.7, 5)

Picture2.Print ("5")

Picture2.PSet (4, -0.3)

Picture2.Print ("0.4")

Picture2.PSet (7, -0.3)

Picture2.Print ("0.7")

Picture2.PSet (10, -0.3)

Picture2.Print ("1")

For i = 4 To 10 Step 0.001

If i < 7 Then

l = 2

Else

     l = i - 5

End If

Picture2.PSet (i, l), vbRed

Next i

Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed

Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed

End Sub

Министерство Образования Республики Таджикистан Таджикский Технический Университет имени М.С. Осими Кафедра «АСОИиУ»Лабораторная работа №1 На тему: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределенияВыполнила

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу