База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Содержание

 

1)  Основное понятие неравенства

2)  Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3)  Графическое решение неравенств второй степени

4)  Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5)  Решение рациональных неравенств методом интервалов

6)  Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

 

Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a₁x₁+ a₂x₂ +... + a_nx_n * b,

где a₁,..., a_n, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤.

В матричной алгебре знак ≥ означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

·  алгебраические

·  трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную

1)  Если a>b , b<a;

2)  Если a>b b>c a>c;

3)  Если a>b a+c>b+c;

4)  Если a+b>c a> c-b;

5)  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6)  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

7)  Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);

8)  Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);

9)  Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

10)  Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.

Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

3. Графическое решение неравенств второй степени

 

1)  Графиком квадратичной функции y = ах² +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

2)  Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах² +bх + с a>0 D>0 y = ах² +bх + с a<0 D>0,

 

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах² + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах² + х + с

 

y = ах² +bх + с a>0 D=0 y = ах² +bх + с a<0 D=0,

3)  Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах² +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

4) 

y = ах² +bх + с a>0 D<0 y = ах² +bх + с a<0 D<0,

4) Решить неравенство графическим способом

1) 3х² -4х ;

3х²-4х.

1.   Пусть f(x) = 3х² -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;

2.  Найдем нули функции.

3х²-4х-7=0,

D=100,

Х=-1 Х=7\3.

f(x)  при х .

Ответ f(x)  при х .

2)  х² >-4x-5;

x² +4x +5>0;

Пусть f(x)=х² +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

X²+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей.

Ответ .

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1)  Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2)  Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3)  Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4)  Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-α₁)(x-α₂)...(x-α_n)>0, где α₁, α₂...α_n-1, α_n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α₁ < α₂ <...< α_n-1 < α_n. Для решения неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α₁, α₂...α_n-1, α_n; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α_n, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α₁)(x‑α₂)...(x-α_n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1)  Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2)  Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

х²+х-2

Пусть f(x)=х²+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

х³-4х<0

x(x²-4)<0

x(x-2)(x+2)<0

x=0 x=2 x=-2

 

 

6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Решение неравенства, содержащего выражение , приводит к рассмотрению двух случаев:

 

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))²>(g(x))² равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Решить неравенство:

.

Объединяя результаты получим .

Содержание 1) Основное понятие неравенства 2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную. 3) Графическое решение неравенств второй степени 4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенс

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу