База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС₃

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался  минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1.   Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А                          1                           Б

4                           В                          2

Д                          3                           Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта  А.

пункт i	А	Б	В	Д	1	4
yi	0	¥	¥	¥	¥	¥
		28	13	17	8,32	9
		16,64

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины y_i используя правило:

Если y_j + l_ij < y_i , то величина y_i = y_j + l_ij , в противном случае y_i оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

y_A + l_4A=0+9=9 < y₄=¥  Þ  y₄=9

y_A + l_BA=0+13=13 < y_B=¥  Þ  y_B=13

y_A + l_1A=0+8,32=8,32 < y₁=¥  Þ  y₁=8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого y_i перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y₄ + l_B4=9+7=16 > y_B=13 

y₄ + l_Д4=9+8=17 < у_Д=¥  Þ  y_Д=17

y_В + l_ДВ=13+12=25 > y_Д=17

y_В + l_БВ=13+15=28 < у_Б=¥  Þ  y_Б=28

y_В + l_1В=13+9=22 > у₁=8,32 

y₁ + l_В1=8,32+10=18,32 > y_В=13

y₁ + l_Б1=8,32+8,32=16,64 < у_Б=28  Þ  y_Б=16,64

y_Д + l_4Д=8,32+17=25,32 > y₄=9

y_Д + l_ВД=17+12,32=29,32 > y_В=13

y_Б + l_ВБ=16,64+15,32=31 > y_В=13

y_Б + l_1Б=16,64+8=24,64 > y₁=8,32

Теперь проверим условие l_ij ³ y_i - y_j  для всех дуг сети.

l_4A = у₄ - у_А       9=9-0

l_4Д > у₄ – у_Д      8,32>9-17

l_Д4 = у_Д – у₄        8=17-9    

l_ДВ > у_Д – у_В     12>17-13

l_BA = y_B - y_A       13=13-0

l_BД > y_B – y_Д       12,32>13-17

l_BБ > y_B – y_Б       15,32>13-16,64

l_B4 > y_B – y₄       7>13-9

l_B1 > y_B – y₁       10>13-8,32

l_БВ > у_Б - у_В         15>16,64-13

l_Б1 = у_Б – у₁         8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А         8,32=8,32-0

l_1В > у₁ – у_В         9>8,32-13

l_1Б > у₁ – у_Б         8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

l_ij = y_i - y_j

Таковыми являются:

l_4A = у₄ - у_А         9=9-0

l_Д4 = у_Д – у₄           8=17-9          

l_BA = y_B - y_A        13=13-0

l_Б1 = у_Б – у₁         8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А         8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

пункт	4	Д	Б	1	В
расстояние до А	9	17	16,64	8,32	13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2.   Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

	А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

3.   Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное  значение целевой функции z

                                                                                                   

              n+1  n+1                                                            

min z = S  S  l_ij * x_ij

                 i=1   j=1

при следующих ограничениях:

n  из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

S x_ij = 1       i=1, ......, n+1

j=1

n  в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

S  x_ij = 1        j=1, ......, n+1 

i=1

n  переменные x_ij могуть принимать одно из двух значений:  0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

n  решение есть простой цикл

4.   Решение задачи:

	А	Б	В	Г	Д
А	---	16	13,32	---	17,64
Б	16,64	---	15	21	---
В	13	15,32	---	15	12,32
Г	---	21,64	15,32	---	16
Д	17	---	12	16,32	---

Б – Г,    Д – В,   В – А,   А – Б,   Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок.  (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы  в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие  элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим.  Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

min z = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий  (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части,  потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

мощность АБЗ		Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте,  руб, Cpi + E*Kpi уд
т/час	тыс. т/год	1	2	3	4
10	18	484	489	495	481
25	45	423	428	435	420
50	90	405	410	416	401

Затраты на транспортировку 1т  аб потребителям, С_ij,  руб

Пункт размещения	Зона-потребитель
		1	28,3	60,3		45,3	90,3
		2	61,3	30,3		93,3	48,3
		3	50,3	95,3		33,3	62,3
		4	99,3	54,3		65,3	36,3

Математическая модель транспортной задачи:

                  m     n

min z = S  S C_ij * x_ij

                 i=1   j=1

Ограничения:

       n

n S x_ij = a_i        i=1, ......, m

j=1

         

весь продукт a_i имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

         m

n S x_ij = b_j        j=1, ......, n

i=1

         

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

n  x_ij ³ 0           i=1, ...., m;      j=1, ...., n

x_ij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=135	Ui	Ki
	433,3	440,3 < 465,3	449,3 < 450,3	437,3 < 495,3	0
X1=90	50				40	0	5/9
	433,3 < 471,3	440,3	449,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2=90		60			30	0	6/9
	433,3 < 466,3	440,3 < 511,3	449,3	437,3 < 478,3	0
X3=90			45		45	0	½
	433,3 < 500,3	440,3 < 455,3	449,3 < 466,3	437,3	0
X4=90				70	20	0	7/9
Vj	433,3	440,3	449,3	437,3	0

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

В_ф=S а_i  - S b_j = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная  величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб,  С^p_i + E*K^p_i + C_ij

 

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки x_ij.

Проверяем план на вырожденность:

m + n  - 1 = 8  =  8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца B_ф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (U_i + V_j = С^p_i + E*K^p_i + C_ij).

Проверяем план на оптимальность:

·     число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

·     для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

·     для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

K_i = S x_ij / x_i

S x_ij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

x_i – мощность i-го АБЗ

Так как ни один K_i не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем  смешанную строку с минимальной величиной K_i и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину С^p_i + E*K^p_i + C_ij для клеток третьей строки.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=90	Ui	Ki
	433,3	424,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-16<  0
X1=90	50		40			-16	1
	449,3 < 471,3	440,3	466,3 < 503,3	437,3 < 458,3	0
X2=90		60			30	0	6/9
	449,3 < 485,3	440,3 < 530,3	466,3 < 468,3	437,3 < 497,3	0
X3=45					45	0	0
	449,3 < 500,3	440,3 < 455,3	466,3	437,3	0
X4=90			5	70	15	0	15/18
Vj	449,3	440,3	466,3	437,3	0

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=45	Ui	Ki
	433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-18<  0
X1=90	50		40			-16
	452,3 < 489,3	458,3	469,3< 521,3	440,3 < 476,3	1 > 0
X2=45		45  _			+	3
	451,3 < 485,3	457,3 < 530,3	468,3	439,3 <  497,3	0
X3=45			0   +		_   45	2
	449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-2 < 0
X4=90		15   +	5      _	70		0
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие                                          U_i + V_j < С^p_i + E*K^p_i + C_ij  поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка х_п = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=45	Ui	Ki
	433,3	440,3 < 465,3	450,3	422,3 < 495,3	-18 <  0
X1=90	50		40			-18	1
	451,3 < 489,3	458,3	468,3 < 521,3	440,3 < 476,3	0
X2=45		40			5	0	8/9
	451,3 < 485,3	458,3 < 530,3	468,3	440,3 <  497,3	0
X3=45			5		40	0	1/9
	448,3 < 500,3	455,3	465,3 < 466,3	437,3	-3 < 0
X4=90		20		70		-3	1
Vj	451,3	458,3	468,3	440,3	0

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

 

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1=50	B2=60	B3=45	B4=70	Bф=18	Ui	Ki
	433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-78 < 0
X1=90	50		40			-16	1
	452,3 < 489,3	458,3	469,3 <  521,3	440,3 < 476,3	-59 < 0
X2=45		45				3	1
	511,3 < 545,3	517,3 < 590,3	528,3	499,3 < 557,3	0
X3=18			0		18	62	0
	449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-62 < 0
X4=90		15	5	70		0	1
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-62

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.

Вариант размещения	Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год				Значение целевой функции, zi, тыс.руб.
	М1	М2	М3	М4
1	50	60	45	70	98912,5
2	90	60	0	75	99037,5
3	90	40	5	90	100067,5
4 -наилучший	90	45	0	90	100072,5

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МАДИ (ТУ) КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Выполнил:

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу