База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

Первичная статистическая обработка информации — Математика

ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

 

Кафедра Прикладной математики


Курсовая работа

защищена с оценкой

________________________

профессор Монсик В.Б.

_________________________

(подпись руководителя, дата)

Курсовая работа по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант №39

Тема: Первичная статистическая обработка информации.

Статистическая проверка гипотез

Выполнил студент группы ПМ 2-2

Митюшин М.С.

______________________________

                                                                                                                  (дата, подпись)   

Москва - 2002

СОДЕРЖАНИЕ

 

Исходные данные                                                                                                                       3

Задание                                                                                                                                        3

Выполнение первого задания                                                                                                    4

Выполнение второго задания                                                                                                    8

Литература                                                                                                                                 13

 1. Исходные данные: исследуются трудозатраты на выполнение комплекса доработок на                                 объекте (в человеко-часах). Результаты независимых измерений трудозатрат на 100 объектах приведены в таблице 1.

Таблица 1

431 394 362 436 343 403 483 462 395 467
420 411 391 397 455 412 363 449 439 411
468 435 313 486 463 417 369 377 409 390
389 386 409 379 412 370 391 421 459 390
415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
392 353 432 406 409 391 371 401 321 359
472 352 446 367 384 371 426 487 454 371
394 401 408 393 373 327 429 360 401 412
392 338 398 461 403 418 520 448 440 433
362 406 342 441 391 390 432 374 280 395

Путем статической обработки результатов измерений выполнить следующие пункты задания:

Задание 1. Первичная статистическая обработка информации.

1.    Построить вариационный статистический ряд.

2.    Определить размах колебаний вариант.

3.    Построить эмпирическую функцию распределения.

4.    Выбрать число и длины разрядов (интервалов) и построить сгруппированный статистический ряд.

5.    Построить статистический ряд распределения.

6.    Построить полигон частот.

7.    Построить гистограмму (эмпирическую плотность вероятности).

Задание 2. Статистическое оценивание параметров распределений. Статистическая проверка гипотез.

 

1.    Вычислить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (с.к.о.) по данным таблицы 1 при доверительной вероятности 0,95.

2.    Подобрать и построить на графике гистограммы сглаживающую кривую плотности вероятности, используя “метод моментов”.

3.    Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона (“хи-квадрат”) при уровне значимости 0,10.

4.    Построить на графике эмпирической функции распределения сглаживающую кривую нормальной функции распределения, используя “метод моментов”.

5.    Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Колмогорова (“ламбда-критерий”) при уровне значимости 0,10.

6.    Вычислить вероятность попадания случайной величины (трудозатраты на выполнение комплекса доработок на объекте) на интервал [МО - с.к.о.; МО + 2*с.к.о.].

 

 

 

 

 

 

2. Выполнение первого задания.

 

2.1. Для построения вариационного ряда необходимо результаты измерений трудозатрат расположить в порядке возрастания от  до  (по “ранжиру”). Этот ряд представлен в таблице 2.

Таблица 2

280 359 371 390 393 401 411 421 440 463
313 360 371 390 394 403 411 426 441 467
321 361 371 390 394 403 412 429 446 468
323 362 373 391 395 406 412 431 448 469
327 362 374 391 395 406 412 432 449 472
338 363 377 391 397 407 415 432 454 483
342 366 379 391 398 408 415 433 455 486
343 367 384 392 399 409 417 435 459 486
352 369 386 392 401 409 418 436 461 487
353 370 389 393 401 409 420 439 462 520

2.2. Размах колебаний вариант равен разности максимального и минимального значений трудозатрат:

= 520 – 280 = 240 (ч.час.)

2.3. Эмпирическая функция распределения F*(x) (рис.1) строится с использованием вариационного ряда на основании соотношения:

,

где  – число точек, лежащих левее точки х.

2.4. Для построения сгруппированного статистического ряда размах J колебаний значений х делится на число разрядов – m, которое оценивается по формуле:

m =  +1, где n – число измерений.

M =  + 1 = 6

Сгруппированный статистический ряд приведен в таблице 3.

Таблица 3

Разряды

{

 [280..320] (320..360] (360..400] (400..440] (440..480] (480..520]

Числа попаданий с.в. в разряды

2 10 36 33 14 5

Рис.1.

2.5. Статистический ряд распределения строится на базе сгруппированного ряда. Для этого вычисляются частоты попадания значений x в соответствующие разряды по формуле:

Статистический ряд распределения представлен в таблице 4.

Таблица 4

Разряды

 [280..320] (320..360] (360..400] (400..440] (440..480] (480..520]

Частоты

 0.02 0.10 0.36 0.33 0.14 0.05

2.6. Графической иллюстрацией статистического ряда распределения является “полигон частот”, представленный на рис.2.

Рис.2.

2.7. Статистический ряд распределения является основой для вычисления и построения эмпирической плотности вероятности (рис.3). Гистограмма строится в виде прямоугольников, основания которых равны длинам разрядов, а высоты определяются из соотношения:

где  длина j-го разряда (j=1..m).

Результаты расчетов по оценке эмпирической плотности вероятности   приведены в таблице 5, а гистограмма на рис.3.  (dx = 40)

Таблица 5

Разряды

 [280..320] (320..360] (360..400] (400..440] (440..480] (480..520]

Значения

 0.050 0.250 0.900 0.825 0.350 0.125

Рис.3.

3. Выполнение второго задания.

 

3.1. Вычислим точечные и интервальные оценки математического ожидания (выборочного среднего значения) и дисперсии (выборочной исправленной дисперсии) по данным таблиц 1 и 2. сначала определим точечные оценки.

Интервальную оценку математического ожидания (доверительный интервал) при заданной доверительной вероятности (надежности)  и числе наблюдений (объеме выборки) n =100 определим по формуле:

,

где  - точность вычисления МО по результатам наблюдений при заданных значениях n и .  , где  определяется по таблицам Стьюдента:

==1,984

Интервальная оценка (доверительный интервал) для МО равна:

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное) значение МО.

Интервальная оценка среднего квадратического отклонения (доверительный интервал) определяется по формуле:

,

где q определяется по таблице

q = q(100;0,95)=0,143

 

Доверительный интервал для оценки с.к.о. равен

42,493(1-0,143)<  <42,493(1+0,143)

36,42<<48,57

Этим отрезком с вероятностью 0,95 накрывается истинное (неизвестное) значение с.к.о.

3.2. На основании изучения гистограммы (рис.3) выдвинем гипотезу  о нормальном распределении генеральной совокупности случайных величин X  - трудозатрат на доработки на объекте. Нулевую гипотезу подвергнем статистической проверке на противоречивость данным, полученным из опыта (табл.1) по критериям - Пирсона и - Колмогорова.

В соответствии с методом моментов положим параметры нормального распределения равным оценкам:

3.3. На графиках гистограммы и эмпирической функции распределения (рис.1,3) построим сглаживающие функции (теоретические кривые) плотности вероятности и функции распределения в соответствии с их выражениями:


Для построения сглаживающих кривых используем таблицы нормированной нормальной плотности вероятности

и нормированной нормальной функции распределения

Для входа в таблицы нормируем случайную величину Х по формуле:

Значения нормированных величин  на границах разрядов, численные значения сглаживающих кривых на границах разрядов приведены в таблице 6.

Таблица 6

Границы разрядов

280 320 360 400 440 480 520

-2,92 -1,98 -1,04 -0,10 0,84 1,78 2,73

0,0056 0,0562 0,2341 0,3970 0,2803 0,0818 0,0096

0,013 0,132 0,55 0,93 0,66 0,19 0,023

0 0,024 0,14917 0,4602 0,79955 0,96246 0,99683

3.4. Статистическую проверку гипотезы  о нормальном распределении случайной величины Х по выборке из 100 значений осуществим по двум различным критериям.

1) Критерий  - Пирсона.

 

Суммарная выборочная статистика - Пирсона рассчитывается по результатам наблюдений по формуле:

,

где  - числа попаданий значений х в j – й разряд (табл.3);

n – число наблюдений (объем выборки);

m – число разрядов;

 - вероятность попадания случайной величины Х в j – й интервал, вычисляемая по формуле:

,

где ,  - границы разрядов;

Ф(u) – функция Лапласа.

Результаты расчетов выборочной статистики  приведены в таблице 7.

Таблица 7

№ [280..320] (320..360] (360..400] (400..440] (440..480] (480..520]
1

2 10 36 33 14 5
2

0,0221 0,1276 0,3087 0,3393 0,1602 0,0421
3

2,21 12,76 30,87 33,93 16,02 4,21
4

 -   

 -0,21 -2,76 5,13 -0,93 -2,02 0,79
5

0,0441 7,6176 26,3169 0,8649 4,0804 0,6241
6 <5>:<3> 0,02 0,597 0,853 0,025 0,2547 0,1482
7

Проверяем гипотезу   о нормальном распределении генеральной совокупности значений Х:

1). По таблице - распределения по заданному уровню значимости =0,10 и числу степеней свободы k=m-2-1=3 (m=6 – число разрядов, 2 – число параметров нормального распределения ) определим критическое значение , удовлетворяющее условию:

.

В нашем случае

2). Сравнивая выборочную статистику , вычисленную по результатам наблюдений, с критическим значением , получаем:

,

<- согласуется с данными опыта (принимается).

Вывод: статистическая проверка по критерию - Пирсона нулевой гипотезы о нормальном распределении значений х генеральной совокупности, выдвинутой на основании выборочных данных, не противоречит опытным данным.

2). Критерий - Колмогорова.

Выборочная статистика - Колмогорова рассчитывается по формуле:

где  

модуль максимальной разности между эмпирической  и сглаживающей функциями распределения.

При заданном уровне значимости =0,10 критическое значение распределения Колмогорова  Полученной на основании выражения:

функции распределения статистики - Колмогорова.

Для проверки нулевой гипотезы проведем следующую процедуру:

1). Найдем максимальное значение модуля разности между эмпирической  и сглаживающей F(x) функциями распределения:

=0,063.

2). Вычислим значение выборочной статистики  по формуле:

=0,063=0,63.

3). Сравнивая выборочную статистику  и критическое значение  получаем:

=0,63<1,224=.

Следовательно, гипотеза  о нормальном распределении случайной величины Х согласуется с опытными данными.

3.5. Вероятность попадания значений случайной величины Х на интервал [МО - с.к.о.; МО + 2*с.к.о.] вычислим по формуле:

P=(X[404,180-42,493;404,180+2*42,493])=P(X[361,7;489,17])=

==Ф(2)+ Ф (1)=

=0,477+0,341=0,818.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

Монсик В.Б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА: Пособие к выполнению курсовой работы. – М.: МГТУ ГА, 2002. – 24 с..

 

ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Кафедра Прикладной математикиКурсовая работа защищена

 

 

 

Внимание! Представленный Реферат находится в открытом доступе в сети Интернет, и уже неоднократно сдавался, возможно, даже в твоем учебном заведении.
Советуем не рисковать. Узнай, сколько стоит абсолютно уникальный Реферат по твоей теме:

Новости образования и науки

Заказать уникальную работу

Свои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru