База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

Расчёт волновой функции в квантовой яме сложной формы — Физика

  • Техническое задане
  • Анализ
  • Расчёт
  • Литература

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò

Ðàñ÷¼òíî-ãðàôè÷åñêàÿ ðàáîòà

ïî ïðåäìåòó ¾Îïòîýëåêòðîíèêà è êâàíòîâûå ïðèáîðû¿

Àâòîð: Êîðèêîâ Êîíñòàíòèí Êîíñòàíòèíîâè÷ Ãðóïïà: 3093/2 Ôàêóëüòåò: Ðàäèîôèçè÷åñêèé Ïðåïîäàâàòåëü: Êóçüìèí Þðèé Èãîðåâè÷

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2010

Îãëàâëåíèå

1 Òåõíè÷åñêîå çàäàíå 2 2 Àíàëèç 3 3 Ðàñ÷¼ò 6 4 Ëèòåðàòóðà 14

Òåõíè÷åñêîå çàäàíå

• Íàéòè ýíåðãèè è âîëíîâûå ôóíêöèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ñëåäóþùåãî âèäà:

?

3a

U (x)→∞, ïðè x

| |≥ 2

?

a 3a

U (x)=0, ïðè < |x|<

22

a

? U (x)=4U0, ïðè |x|<

2

π2?2

Çäåñü Uo = 2ma2 .

• Ïîñòðîèòü ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé ýòèõ ñîñòîÿíèé. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ýëåêòðîíà â êàæäîì èç ñåêòîðîâ ÿìû äëÿ óêàçàííûõ ñîñòîÿíèé.

Ðèñ. 1: Ïîòåíöèàëüíîå ïîëå

Àíàëèç

Êàê èçâåñòíî èç ñëåäñòâèé Ëàãðàíæåâîé ìåõàíèêè [2], äèíàìèêó ëþáîé ìåõàíè-÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Àíàëîãîì äàííîé

ˆ

ôóíêöèè â êâàíòîâîé òåîðèè ñëóæèò îïåðàòîð H(Ãàìèëüòîíèàí) [3]. Ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïèñûâàåò âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(r, t) [3], êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì Øð¼äèíãå-ðà [4]:

∂

i? Ψ(r, t)= ˆ

HΨ(r, t) (1)

∂t

Ãàìèëüòîíèàí âûðàæàåòñÿ ñóììîé îïåðàòîðîâ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå [3]:

H =T +ˆ

ˆˆU

22

mvm (mv)2 p

E = ==

2 · m 2m 2m ⇒ p)2 ?2 ?2 2

Tˆ=(ˆ={pˆ==Δ

2m −i??} =− 2m?− 2m ˆ

U =U(r)

2

ˆ

H =Δ+U(r)

− 2m

Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå, âîñïîëüçîâàâøèñü ìåòîäîì Ôóðüå:

Ψ(r, t)=f(r)?(t)

2

∂

1

t)= ˆ

Hf(

i?f(r)

?(

r)?(t)=?(t)Δf(r)+U(r)f(r)

− 2m

|·

∂t

f(r)?(t)

i? ∂ 1

2

?(t)= Δf(r)+U(r)f(r) (2)

?(t)∂t f(r) − 2m

Ïîñêîëüêó ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) çàâèñèò òîëüêî îò t, à ïðàâàÿ  òîëüêî îò r, îáå îíè äîëæíû ðàâíÿòüñÿ îäíîé è òîé æå êîíñòàíòå ðàçäåëåíèÿ:

? ?

i? ∂

E = ?(t)

?(t)

∂t

2

?

1

E =

Δf(r)+U(r)f(r)

f(r) − 2m

 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû â ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ëèøü ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç äàííîé ñèñòåìû, ñîäåðæàùåãî ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíîâîé ôóíêöèè.

2

Δf(r)+U(r)f(r)=Ef(r)

− 2m

2 ∂2

Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ïîòåíöèàëüíîå ïîëå îäíîìåðíî (r =x è Δ=?= ∂x2 ):

2 ∂2 f(x)+U(x)f(x)=Ef(x) (3)

−

2m ∂x2

ˆ

Hf(x)

3

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñâåëîñü ê èçâåñòíîé â ìàòôèçèêå [1] çàäà÷å íà ñîáñòâåí íûå çíà÷åíèÿ (â îäíîìåðíîì ñëó÷àå: çàäà÷à Øòóðìà  Ëèóâèëëÿ).

2 ∂2 ?? f (x) = E − U (x) f (x)

− 2m ∂x2 2 2m ?? ∂x2 f (x) = − ?2 E − U (x) f (x)

2 2m ??

∂x2 f (x) + ?2 E − U (x) f (x) = 0

(4)

 êâàíòîâîé ìåõàíèêå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íà êëàäûâàþò äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ [4]:

Óñëîâèå íîðìèðîâêè

•

+∞

|Ψ (x, t)2 dx = 1 (5)

|

−∞

Íåïîñðåäñòâåííûì èíòåãðèðîâàíèåì îïðåäåëèì âèä ôóíêöèè ?(t):

i? ∂ ∂t ?(t) ∂t?(t) = E |· i?

∂?(t) E

= ∂t

?(t) i?E

ln(?(t)) = t + C1 ?? i???

E ?? iE

?(t) = exp t exp C1 = C2 exp t

i?− ?

Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôóíêöèÿ Ψ (x, t) áûëà íîðìèðîâàííàÿ.

+∞ ?+∞

|Ψ (x, t)2 dx = |f (x)?(t)2 dx = 1

||

−∞ −∞ +∞ ?+∞ ? ???

iE iE

|f (x)?(t)2 dx = f (x)|2 exp t exp t dx = 1

||− ??

−∞ −∞ +∞

|f (x)2 dx = 1 (6)

|

−∞

• Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè

  1. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü áåñêîíå÷íûõ çíà÷åíèé, òàêèõ, ÷òî èíòåãðàë (6) ñòàíåò ðàñõîäÿùèìñÿ.
  2. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè, òàê êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.
  3.  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ è å¼ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò.

 ïîñòàâëåííîé çàäà÷å ïîòåíöèàëüíîå ïîëå (êâàíòîâàÿ ÿìà) àíàëèòè÷åñêè îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé U (x), èìåþùåé ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî çàìåíû −x íà x:

U (−x)=U (x)

Ïðè íàëè÷èè èíâåðñèè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà ëèáî àâòî-ìàòè÷åñêè èìåþò îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü, ëèáî ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ôóíê öèè, èìåþùèå îïðåäåë¼ííóþ ÷¼òíîñòü [3].

Ðåçþìå

  1. Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è Øòóðìà  Ëèóâèëëÿ.
    1. Ðåøåíèåì ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f (x) è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ E ˆ
    2. (ýíåðãèè) îïðåðàòîðà Ãàìèëüòîíà H.
  2. Îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàäà÷è Øòóðìà  Ëèóâèëëÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìû ïîòåíöèàëà.
  3. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè f (x)îáëàäàþò îïðåäåë¼ííîé ÷¼òíîñòüþ â òîì èëè èíîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå.
  4. Ðåøàòü çàäà÷þ ìîæíî íà ïîëîâèíå èíòåðâàëà, ïåðåíîñÿ ðåøåíèÿ íà îñòàâøóþñü ÷àñòü ñ ïîìîùüþ ñèììåòðèè.
  5. Íà ôóíêöèè f (x)íàêëàäûâàþòñÿ óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè è íåïðåðûâíîñòè â ëþáîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèå.

3 Ðàñ÷¼ò

3a

• Ïðîàíàëèçèðóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè f (x) â òî÷êàõ ñèíãóëÿðíîñòè x =±:

2

2 2m ??

∂x2 f (x)+ ?2 E −U (x) f (x)=0

2 2m ??

∂x2 f (x)− ?2 U (x)−Ef (x)=0

def 2 def 2m ?

y = f (x);U (x)→∞;æ = ?2 E −U (x)

2

y?? −æ y =0

kx

Ðåøåíèå â âèäå y =e kx :k2 e −æ 22e kx =0⇒k2 −æ 2 =0k =æ

⇒±

y =C1e æx

+C2e−æx

Èç óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè y :C1 →0⇒y =C2e−æx ò.ê. U (x)→∞⇒æ→∞⇒y →0

3a

f =0

(7)

±2

• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:

y?? +α2 y =0|·2y? (8)

2y?y?? +2α2 y?y =0

22

(y?)? +α2(y )? =0

22

(y?)+α2 y =0

2 22

(y?)+α2 y =c1

y? =c1 −α2y2 dx

± ? 2 |·

dy =c1 −α2y2dx

± 2 ?

dy

? =dx

2

1 −α2y2 ±

1 dy

? =dx 1 1−(α )y)2 ±

c1

1 c1 α

arcsin y =x +c2

1 αc1 ±1

y = sin(±αx +αc2)⇒y =A sin(αx +?)

α

• Ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà:

y?? − α2 y = 0 (9)

kx

Ðåøåíèå â âèäå y = e kx : k2 e − α22e kx = 0 ⇒ k2 − α2 = 0 ⇒ k = ±α αx + C2e−αx

y = C1e

x

e = sh(x) + ch(x) y = C1 sh(αx) + C1 ch(αx) + C2 sh(−αx) + C2 ch(−αx) y = (C1 − C2) sh(αx) + (C1 + C2) ch(αx) = A sh(αx) + B ch(αx)

• Óðàâíåíèå (4) äëÿ ó÷àñòêà 0 < x < a :

2

2 2m ??

U (x) − Ef (x) = 0

∂x2 f (x) − ?2 ?

def

=

1 = f (x); U (x) = 4U0; κ2 def 2m ? 4U0 − E

2

1 − κ2 y1 = 0

y??

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (9), îáùåå ðåøåíèå: y1 = A sh(κx) + B ch(κx) Åñëè f (x) ÷¼òíàÿ: y1(0) = 0; åñëè f (x) íå÷¼òíàÿ: y1(0) = 0

f (x) ÷¼òíàÿ:

y?= Aκ ch(κx) + Bκ sh(κx)

1 1?(0) = Aκ = 0 ò.ê. κ = 0 A = 0

?→

1 = B ch(κx)

(10)

f (x) íå÷¼òíàÿ:

y1(0) = B = 0

1 = A sh(κx)

(11)

a 3a

• Óðàâíåíèå (4) äëÿ ó÷àñòêà 2 < x < :

2

2 2m??

∂x2 f(x) + ?2 E − U(x) f(x) = 0

def

2 = f(x); U(x) = 0; γ2 def 2mE

=

2

2??+ γ2 y2 = 0

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå òèïà (8), îáùåå ðåøåíèå: y2 = Dsin(γx+ ?D)

?? ????

3a 3a

Èç êðàåâûõ óñëîâèé: y2 = Dsin γ + ?D = 0

± 2 ± 2 3a

γ + ?D+ = πn,n ∈ Z

2 3a

−γ + ?D= πn,n ∈ Z

2 − 3a

?D+ = πn− γ,n ∈ Z

2 3a

?D= πn+ γ,n ∈ Z

− 2

3a

2 = Dsin γx+ πn± γ ,n ∈ Z

(12)

2

• Òàêèì îáðàçîì, Ψ(x) ïðèìåò âèä:

?

?? 3a?? a 3a

y2+ = Dsin γx− + πn ,n ∈ Z, ïðè < x <

22

? 2

aa

y1+ = Bch(κx), ïðè −

2 ≤ x ≤ 2 ?? 3a?? 3aa

? y2+ = Dsin γx++ πn ,n ∈ Z, ïðè − < x < −

2 22

?

?? 3a?? a 3a

? y2− = Dsin γx− 2+ πn ,n ∈ Z, ïðè < x <

22

aa

y1− = Ash(κx), ïðè −

2 ≤ x ≤ 2 ?? 3a?? 3aa

? y2= Dsin γx++ πn ,n ∈ Z, ïðè − < x < −

− 2 22

• Èç óñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè f(x) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

+ f(x) ÷¼òíàÿ:

aa

1 = y2

22

a

B ch κ = D sin γa − 3a + πn , n ∈ Z

22

aa

y?= y?

1

2 2 2

a

Bκ sh κ = Dγ cos γa − 3a + πn , n ∈ Z

22

a

κ th κ = γ ctg γa − 3a + πn , n ∈ Z a

22 |·

a

κa th κ = −γa ctg γa

2

Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:

ξ = κa; η = γa

ξ

ξ th = −η ctg(η) (13)

2

− f(x) íå÷¼òíàÿ:

aa

1 = y2

22

a

A sh κ = D sin γa − 3a + πn , n ∈ Z

22

aa

y?= y?

1

2 2 2

a

Aκ ch κ = Dγ cos γa − 3a + πn , n ∈ Z

22

a

κ cth κ = γ ctg γa − 3a + πn , n ∈ Z a

22 |·

a

κa cth κ = −γa ctg γa

2

Äëÿ óäîáñòâà ðåøåíèÿ äàííîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ââåä¼ì ïåðåìåííûå:

ξ = κa; η = γa

ξ

ξ cth = −η ctg(η) (14)

2

9

• Äëÿ ðåøåíèÿ (13) è (14) ðàññìîòðèì åù¼ îäíî óðàâíåíèå:

2(γ2

2 + ξ2 = (γa)2 + (κa)2 = a + κ2) 2m 2m ?? 8m

2 + κ2 = E + ?2 4U0 − E = U0

2 ?2 ??2

8m 8mπ2?2 4π2 2π

0 = ==

2

2 ?2 2ma2 aa

??2

2π

2

2 + ξ2 = a = (2π)2

a

ξ = (2π)2 − η2 (15)

±

• Ïîäñòàâèì (15) â (13)è (14):

(2π)2 − η2 th (2π)2 − η2 = −η ctg(η) (÷¼òíûå ðåøåíèÿ)

2

(2π)2 − η2 cth (2π)2 − η2 = −η ctg(η) (íå÷¼òíûå ðåøåíèÿ)

2

Ðèñ. 2: Ðåøåíèå òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé

• Ðåøàÿ ãðàôè÷åñêè òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå, íàõîäèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:

η

η = γa γ =

⇒ a

??2

η 2m

= E

a ?2

2 η2 E =

(16)

2ma2

ξ = κa = (2π)2 − η2

(2π)2 − η2

κ =

a

x

• Ââåä¼ì íîðìèðîâàííóþ êîîðäèíàòó z = a è îïðåäåëèì âèä ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé f(z):

?

3

13

,n ∈ Z, ïðè < z <

2

= Dsin η + πn

z −

y2+

2

2

?

11

(2π)2 − η2z), ïðè −

2 ≤ z ≤

= Bch(

y1+

2

3

31

,n ∈ Z, ïðè − < z < −

2

? ?

= Dsin ηz ++ πn

2

y2+

2

3

13

,n ∈ Z, ïðè < z <

2

= Dsin η + πn

z −

y2

−

2

2

?

11

(2π)2 − η2z), ïðè −

2 ≤ z ≤

= Ash(

y1

−

2

3

31

,n ∈ Z, ïðè − < z < −

2

?

= Dsin ηz ++ πn

2

y2

−

2

• Èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè îïðåäåëèì êîíñòàíòû A, B è D, äëÿ óäîáñòâà âçÿâ ñèñòåìó ñ n = 0:

3

1

1

?−

2

22

2

2

2

3

3

(2π)2 − η2

Dsin η

dz +

Bch(

z) dz +

Dsin η

dz = 1

z +

z −

2

2

−

3

2

1

1 2

2

−

3

1

1

?−

2

22

2

2

2

3

3

(2π)2 − η2

Dsin η

dz +

Ash(

z) dz +

Dsin η

dz = 1

z +

z −

2

2

−

3

2

1

1

−

2

2

2

1

2

sh( (2π)2 − η2) + = 1

2

+

2 (2π)2 − η2 2

1

2

ch( (2π)2 − η2) − = 1

+

2

2 (2π)2 − η2

Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó äëÿ ÷¼òíûõ ðåøåíèé:

??

?

2

1

2

+ sh( (2π)2 − η2) + = 1

2

− η2 Bch (2π)2 − η2 = −Dsin(η)2

(2π)22

È äëÿ íå÷¼òíûõ ðåøåíèé:

??

?

2

1

2

+ ch( (2π)2 − η2) − = 1

2

− η2 Ash (2π)2 − η2 = −Dsin(η)2

11

(2π)22

×èñëåííîå ðåøåíèå

1. ×¼òíîå ðåøåíèå:

3 = 5.261

2. Íå÷¼òíîå ðåøåíèå:

4 = 5.308

3. Ýíåðãèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå:

2 η22

3

3 == U0 = 2.804 · U0

2

2ma2 ·

2 η22

4

4 == U0 = 2.855 · U0

2

2ma2 π·

4. Âîëíîâûå ôóíêöèè:

3 :

?

?? 3 ?? 13

=

−0.911 sin 5.261 z− , ïðè <

22

y

2+

2

?

11

1+ = 0.270 ch(3.435z), ïðè −

y2 ≤ z≤ 2 ?? 3 ?? 31

? y2+ = 0.911 sin 5.261 z+ , ïðè − <−

2 22

4 :

?

?? 3 ?? 13

y2= 0.909 sin 5.308 z− , ïðè <

− 2 22

?

11

= 0.290 sh(3.361z), ïðè −

y1− 2 ≤ z≤ 2 ?? 3 ?? 31

? y2= 0.909 sin 5.308 z+ , ïðè − <−

− 2 22

5. Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â ñåêòîðàõ ÿìû:

3 :

3

1

?−

22

|f(z)2 dz= |f(z)2 dz= 0.450

||

1

2

3

2

−

1

2

?0?

|f(z)2 dz= |f(z)2 dz= 0.101

||

0

−

1

2

4 :

3 1

?−

|f (z)2 dz = |f (z)2 dz = 0.449

||

1

2

3 2 − 1

2

?0?

|f (z)2 dz = |f (z)2 dz = 0.069

||

0

−

1 2 Ãðàôèêè âîëíîâûõ ôóíêöèé: 3: 3 ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå 4: 4 ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå

13

Ëèòåðàòóðà

[1] Â.Ñ. Âëàäèìèðîâ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ì.: Íàóêà, 1988.

[2] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèâøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà: Ìåõàíèêà: â 10 ò.Ì.: Íàóêà, 1988.

[3] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèâøèö Å.Ì. Òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà: Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íåðåëÿòèâèéñêàÿ òåîðèÿ): â 10 ò.Ì.: Íàóêà, 1989.

[4] Ï.À.Ì. Äèðàê. Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ì.: Íàóêà, 1979.

Техническое задане Анализ Расчёт Литература &Igrave;&egrave;&iacute;&egrave;&ntilde;&ograve;&aring;&eth;&ntilde;&ograve;&acirc;&icirc; &icirc;&aacute;&eth;&agrave;&ccedil;&icirc;&acirc;&agrave;&iacute;&egrave;&yuml; &ETH;&icirc;&ntilde;&ntilde;&e

 

 

 

Внимание! Представленная Работа находится в открытом доступе в сети Интернет, и уже неоднократно сдавалась, возможно, даже в твоем учебном заведении.
Советуем не рисковать. Узнай, сколько стоит абсолютно уникальная Работа по твоей теме:

Новости образования и науки

Заказать уникальную работу

Свои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru