курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Введение ……………………………………………………………………………………………………………………….4
1. Глава 1. Погрешности……………………………………………………………………………………………………..4
§ 1 Общая схема вычислительного эксперимента…………………………………………………………………………...4
§ 2. Абсолютная и относительная погрешность……………………………………………………………………………..5
§ 3. Основные источники погрешностей……………………………………………………………………………………..6
§ 4. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков…………………………………..7
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа……………..8
§ 6. Погрешность суммы……………………………………………………………………………………………………….9
§ 7. Погрешность разности……………………………………………………………………………………………………..9
§ 8. Погрешность произведения……………………………………………………………………………………………….10
§ 9. Число верных знаков произведения………………………………………………………………………………………11
§ 10. Погрешность частного……………………………………………………………………………………………………11
§ 11. Число верных знаков частного…………………………………………………………………………………………..11
§ 12. Относительная погрешность степени…………………………………………………………………………………...12
§ 13. Относительная погрешность корня……………………………………………………………………………………...12
§ 14. Общая формула для погрешности……………………………………………………………………………………….12
§ 15.Обратная задача теории погрешностей………………………………………………………………………………….13
Лабораторная работа № 1 «Вычисление сопротивлений в электрических цепях»………………………………………..14
Лабораторная работа № 2 «Определение абсолютной и относительный погрешности»………………………………….17
Лабораторная работа № 3 «Действия над приближенными значениями чисел»…………………………………………..18
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………19
Глава 2. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений………………………………….20
§ 1. Сравнение линейных и нелинейных уравнений…………………………………………………………………………20
§ 2. Отделение корней………………………………………………………………………………………………………….20
§3. Графическое решение уравнений…………………………………………………………………………………………20
Лабораторная работа № 5. «Расчет и анализ неразветвленной электрической цепи переменного тока»………………..23
§ 4. Метод половинного деления………………………………………………………………………………………………25
Лабораторная работа № 6. «Расчет цепи содержащей диод, методом дихотомии»……………………………………….25
§ 5. Метод хорд…………………………………………………………………………………………………………………26
Лабораторная работа № 7. «Расчет цепи содержащей диод, методом хорд»………………………………………………28
§ 6. Метод Ньютона (метод касательных)…………………………………………………………………………………….28
Лабораторная работа № 8. «Расчет цепи содержащей диод, методом Ньютона»………………………………………….29
§ 7. Метод итерации……………………………………………………………………………………………………………30
Лабораторная работа № 9. «Расчет цепи содержащей диод, методом итерации»…………………………………………31
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………33
Глава 3. Алгебра матриц…………………………………………………………………………………………………….34
§1. Основные определения……………………………………………………………………………………………………34
§2. Действия с матрицами…………………………………………………………………………………………………….35
§3. Транспонированная матрица……………………………………………………………………………………………..37
§4. Обратная матрица…………………………………………………………………………………………………………38
§5 Степени матрицы…………………………………………………………………………………………………………..40
§6. Рациональные функции матрицы…………………………………………………………………………………………41
§7. Абсолютная величина и норма матрица………………………………………………………………………………….42
§8. Треугольные матрицы……………………………………………………………………………………………………..43
§ 9. Элементарные преобразования матриц………………………………………………………………………………….44
§10. Вычисление определителей………………………………………………………………………………………………44
Лабораторная работа № 10. «Работа с матрицами»………………………………………………………………………….45
Лабораторная работа № 11. «Обращение с помощью треугольных матриц»………………………………………………48
Лабораторная работа № 12. «Метод контурных токов»……………………………………………………………………..48
Глава 4. Система линейных алгебраических уравнений………………………………………………………………..51
§ 1. Определения, обозначения, основные сведения…………………………………………………………………………51
§2. Решение систем линейных уравнений по способу Гаусса……………………………………………………………….51
Лабораторная работа № 13. «Расчет цепи постоянного тока, методом Гаусса»…………………………………………...53
§3. Решение систем линейных уравнений по методу Зейделя………………………………………………………………59
Лабораторная работа № 14. «Расчет цепи постоянного тока, методом Зейделя»………………………………………….61
§4. Решение систем линейных уравнений методом итераций………………………………………………………………64
Лабораторная работа № 15. «Расчет цепи постоянного тока, методом итерации»………………………………………..66
§5. Применение метода Гаусса для вычисления определителей……………………………………………………………70
§6. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса…………………………………………………………………………70
§7. Метод квадратных корней…………………………………………………………………………………………………71
§ 8. Метод скорейшего спуска (градиента) для случая системы линейных алгебраических уравнений…………………72
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………75
Глава 5. Приближённое решение систем нелинейных уравнений……………………………………………………..76
§1. Метод Ньютона…………………………………………………………………………………………………………….76
§ 2. Метод градиента (метод скорейшего спуска)……………………………………………………………………………79
Лабораторная работа № 16. «Нелинейные уравнения»……………………………………………………………………...81
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………82
Глава 6. Интерполирование функций……………………………………………………………………………………..83
§1. Введение……………………………………………………………………………………………………………………83
§2. Интерполяция многочленами…………………………………………………………………………………………….83
2.1. Метод Лагранжа…………………………………………………………………………………………………………..83
Лабораторная работа № 17. «Интерполяционный многочлен Лагранжа»…………………………………………………83
Лабораторная работа № 18. «Интерполяционный многочлен Ньютона»…………………………………………………87
Лабораторная работа № 19. «Сплайн-аппроксимация»……………………………………………………………………..88
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………89
Глава 7. Численное интегрирование……………………………………………………………………………………….90
§1. Формулы прямоугольников……………………………………………………………………………………………….90
Лабораторная работа № 20. «Метод прямоугольников»……………………………………………………………………90
§2. Формулы трапеций…………………………………………………………………………………………………………91
Лабораторная работа № 21. «Метод трапеций»………………………………………………………………………………91
§3. Формула Симпсона…………………………………………………………………………………………………………92
Лабораторная работа № 22. «Определение тока и напряжения методом Симпсона»……………………………………..93
§4. Вычисление интегралов методом Монте-Карло…………………………………………………………………………95
Лабораторная работа № 23. «Вычисление интеграла методом Монте-Карло»……………………………………………96
Вопросы для самопроверки……………………………………………………………………………………………………97
Глава 8. Решение дифференциальных уравнений………………………………………………………………………..98
§1. Введение…………………………………………………………………………………………………………………….98
§2. Решение дифференциальных уравнений в Mathcad……………………………………………………………………..98
2.1. Модель «хищник-жертва» (Лотки-Вольтерра)………………………………………………………………………….98
2.2. Движение ракеты в поле тяготения небесных тел………………………………………………………………………99
§3. Теорема существования и единственности……………………………………………………………………………..103
§4. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера…………………………………………..106
Лабораторная работа № 24. «Метод Эйлера»………………………………………………………………………………106
§5. Метод Адамса……………………………………………………………………………………………………………..108
§6. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта…………………………………….108
Лабораторная работа № 25. «Метод Рунге-Кутта»…………………………………………………………………………109
Лабораторная работа № 26. «Ток переходного режима»…………………………………………………………………..110
Вопросы для самопроверки………………………………………………………………………………………………….113
Глава 9. Метод наименьших квадратов …………………………………………………………………………………114
§1. «Закон Мура»……………………………………………………………………………………………………………..114
§2. Линейная зависимость……………………………………………………………………………………………………118
§3. Квадратичная зависимость………………………………………………………………………………………………120
Лабораторная работа № 27. «Квадратичная зависимость»………………………………………………………………..120
§4. Экспоненциальная зависимость…………………………………………………………………………………………123
§5. Логарифмическая зависимость………………………………………………………………………………………….124
§6. Дробно-рациональная зависимость x/(a*x+b)………………………………………………………………………….126
Вопросы для самопроверки………………………………………………………………………………………………….127
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными …….128
Лабораторная работа № 28. «Уравнений Лапласа и Пуассона»…………………………………………………………..130
10.3. Телеграфное уравнение………………………………………………………………………………………………..133
Задания
Глава 11. Тестовые задания……………………………………………………………………………………………….133
§1. Тесты для проверки начального уровня знаний студента……………………………………………………………..133
§2. Тестовые задания (промежуточный контроль)…………………………………………………………………………133
§3. Тестовые задания (Зачет)…………………………………………………………………………………………………138
§4. Тестовые вопросы…………………………………………………………………………………………………………149
Список использованной литературы……………………………………………………………………………………..151
Введение.
Сегодня не часто вспоминают о том, что компьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов. До сих пор научные и инженерные расчеты остаются одной из важнейших, хотя, пожалуй, и не самой бросающейся в глаза сфер приложения компьютеров.
Во все времена инженерам, исследователям (т.е. специалистам в своих областях) был необходим удобный и достаточно эффективный (для своего времени) инструмент для решения своих задач. В этот «инструментальный» ряд можно включить логарифмическую линейку, арифмометр, калькулятор, универсальную ЭВМ, персональный компьютер. При использовании вычислительной техники встала проблема реализации алгоритмов решения в виде так называемых программ. Для решения этой проблемы в различные годы использовались следующие средства:
§ программирование в машинных кодах (включая языки типа Ассемблер);
§ программирование на языках высокого уровня (включая объектно-ориентированное программирование);
§ системы компьютерной математики.
Поэтому, начиная с 90-х годов прошлого века, широкую известность и заслуженную популярность приобрели так называемые системы компьютерной математики или, проще, математические пакеты. К ним можно отнести MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple.
Пакет Mathcad популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же обычный математический расчет. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В последних версиях предусмотрена возможность создавать связки документов Mathcad с документами Mathlab. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд.
Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран для обучения студентов численным методам.
В последнее время просматривается тенденция к сближению и интеграции различных пакетов. Например, последние выпуски пакетов Mathematica и Maple имеют хорошие возможности для визуального программирования; в Matlab включена библиотека аналитических преобразований Maple; Mathcad позволяет работать совместно с Matlab.
В настоящем пособии мы рассмотрим на многочисленных примерах, каким образом решаются на Mathcad’e разнообразные задачи численного анализа (решение систем линейных и нелинейных уравнений, решение дифференциальных уравнений, аппроксимация функций и т. д.). Предполагается, что читатель имеет только знакомиться с основными численными методами и не умеет пользоваться пакетом Mathcad.
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Численные методы в строительстве», «Численные методы», «Численные методы решения задач» и т.д., а также для аспирантов и инженеров, использующих в своих расчетах этот математический пакет.
Пособие, безусловно, будет полезно всем, использующим MathCAD при решении «своих» задач и желающим познать радость от эффективной работы «своей» программы.
Всякую ли задачу и при всех ли обстоятельства нужно решать на ЭВМ? Разумеется, нет. Машинные расчеты являются исключительно мощным, но вовсе не единственным средством в арсенале инженера – исследователя. Аналитические методы (они рассматриваются здесь, как компонент машинного решения, а не как самостоятельный внемашинный путь), так же как и моделирование, будут широко использоваться и в дальнейшем.
Отдавать предпочтение ЭВМ следует лишь тогда, когда их применение позволить получить результат быстрее либо точнее или дешевле, чем иными средствами.
Явиться ли обращение к ЭВМ практичным и рациональным, будет зависеть от множества факторов и особенностей ситуации, складывающейся вокруг новой возникшей задачи. И совсем не исключено, что несколько часов размышлений с калькулятором, лучше послужить основной цели исследования, чем многоэтапный процесс решения на ЭВМ.
Численные методы - это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведены к арифметическим действиям над числами.
Искусство вычислений состоит не столько в получении числовых результатов, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью.
Анализ, проводимый на базе числовых результатов, составляет основу любой инженерной деятельности.
Решение задачи на компьютере включает в себя следующие основные этапы, часть из которых осуществляется без участия компьютера,
1. Постановка задачи, разработка математической модели.
Решение задачи, особенно достаточно сложной - достаточно трудное дело, требующее много времени. И если задача выбрана неудачно, то это может привести к потере времени и разочарованию в применении ЭВМ для принятия решений. Каким же основным требованиям должна удовлетворять задача?
а. Должно существовать как минимум один вариант ее решения, ведь если вариантов решения нет, значит выбирать не из чего.
б. Надо четко знать, в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим, ведь если, мы не знаем чего хотим, ЭВМ помочь нам выбрать наилучшее решение не сможет.
Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой.
На этом этапе, на основе словесной формулировки задачи исследования выбираются переменные, подлежащие определению, записываются ограничения, связи с переменными в совокупности образующие математическую задачу решаемой проблемы. В результате инженерная задача приобретает вид формализованной математической задачи.
2. Выбор численного метода решения.
Для поставленной математической задачи необходимо выбрать метод ее численного решения, сводящий решение к последовательности арифметических и логических операций.
3. Разработка алгоритма и структуры данных.
Алгоритм - это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач. При этом подразумевается:
а. - исходные данные могут изменяться в определенных пределах: {массовость алгоритма}
б. - процесс применения правил к исходным данным (путь решения задачи) определен однозначно: {детерминированность алгоритма}
в. - на каждом шаге процесса применения правил известно, что считать результатом этого процесса: {результативность алгоритма}
Если модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами, то алгоритм представляет собой последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам.
Если выбранный для решения задачи численный метод реализован в виде стандартных библиотечных подпрограмм, то алгоритм обычно сводится описанию и вводу исходных данных. Более характерен случай, когда стандартные программы решают лишь часть задачи. Если и задача сложная, то не нужно решать все проблемы. Сложившийся в настоящее время к разработке сложных программ состоит в последовательном использовании принципов проектирования сверху вниз, модульного, структурного и объектно - ориентированного программирования. Четкая структуризация, разбиение ее на последовательные подзадачи, реализация подзадач отдельного модуля, постепенная детализация логики алгоритма, использование типовых логических конструкций.
4 Реализация алгоритма: Алгоритм записывают с помощью обычных математических символов. Для того чтобы он мог быть прочитан ЭВМ, необходимо составить программу. Программа - это описание алгоритма решения задачи, заданное на языке ЭВМ. Алгоритмы и программы объединяются понятием "математическое обеспечение". В настоящее время затраты на математическое обеспечение составляют примерно полторы стоимости ЭВМ, и постоянно происходит дальнейшее относительное удорожание математического обеспечения. Уже сегодня предметом приобретения является именно математическое обеспечение, а сама ЭВМ лишь тарой, упаковкой для него.
Далеко не для каждой задачи необходимо составлять индивидуальную программу. На сегодняшний день созданы мощные современные программные средства - пакеты прикладных программ (ППП).
Зачастую, к задаче можно подобрать готовый пакет, который прекрасно работает, решает многие задач, среди которых можно найти и наши. При таком подходе многие задачи будут решены достаточно быстро, ведь не надо заниматься программированием.
5. Подготовка задания, ввод, отладка и испытание программы. Прежде чем ввести исходные данные в ЭВМ, их, естественно, необходимо собрать. Причем не все имеющиеся на производстве исходные данные, как это часто пытаются делать, а лишь те, которые входят в задачу. Следовательно, сбор исходных данных не только целесообразно, но и необходимо производить лишь после того, как будет известна задача. Имея программу и вводя в ЭВМ исходные данные, мы получим решение задачи.
Программа вводится обычно с клавиатуры. При программировании и вводе данных с клавиатуры могут быть допущены ошибки. Их обнаружение, локализация и устранение выполняют на этапе отладки и тестирования, на это тратится 50-70% времени.
6. Реализация задачи на компьютере, обработка и оформление. К сожалению, достаточно часто математическое моделирование смешивают с одноразовым решением конкретной задачи с начальными, зачастую недостоверными данными. Для успешного управления сложными объектами необходимо постоянно перестраивать модель на ЭВМ, корректируя исходные данные с учетом изменившейся обстановки.
Нецелесообразно тратить время и средства на составление математической модели, чтобы по ней выполнить один единственный расчет. Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг вопросов, возникающих при планировании, проектировании и в ходе производства. Математическая модель может стать надежным помощником при принятии каждодневных решений, возникающих в ходе оперативного управления производством.
Решение задачи компьютер выдает на дисплей. Чтобы облегчить следующую работу, надо выводить решение задачи на экран с пояснениями.
Понятие прямых и приближенных методов.
Точные методы позволяют выразить решение (например, дифференциальное) через элементарные функции.
Приближенные методы - это методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности у(х), причем у(х) выражается через элементарные функции.
§ 2. Абсолютная и относительная погрешность.
Приближённым числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях. Если а<А, то говорят, что число а является приближённым значением числа А по недостатку; если а>А приближённым значением по избытку.
Как правило, знак ошибки вычислителя не интересует, поэтому пользуются абсолютной ошибкой, или абсолютной погрешностью приближенного числа.
D = |Dа|
Абсолютной погрешностью D приближённого числа а называется абсолютная величина разности между точным числом А и его приближённым значением а:
D = |А -а| (1)
Здесь возможны два случая:
1. Точное число А нам известно. Тогда абсолютная погрешность приближённого числа легко находится по формуле (1).
2. число А нам не известно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность ∆а по формуле (1).
В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.
Таким образом, если ∆а- предельная абсолютная погрешность приближенного числа а, заменяющего числа А, то
≤ ∆а (2)
Отсюда следует, что точное число А заключено в границах
а-∆а ≤ А ≤ а + ∆а (3)
Следовательно, а - ∆а есть приближение числа А по недостатку, а + ∆а - приближение числа А по избытку. В этом случае для краткости пользуются записью А = а ± ∆а
Пример 1. Определить предельную абсолютную погрешность числа а = 3,14, заменяющего число p.
Решение. Так как имеет место неравенство 3.14 < p < 3.15, то | а- p | < 0.01 и, следовательно, можно принять ∆а = 0,01.
Если учесть, что 3.14< p <3.142, то будем иметь лучшую оценку: ∆а = 0.002.
Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел ∆а, удовлетворяющих, неравенству (2).
В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность. Например, если длина отрезка l = 214 см с точностью до 0.5 см, то пишут l = 214 см ± 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность ∆l =0,5см, а точная величина длины l отрезка заключена в границах 213,5 см £ l £ 214,5 см.
Абсолютная погрешность (или предельная абсолютная погрешность) не достаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l1 = 100,8 см ±0,1 см, и l2 = 5,2 см ±0,1 см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Для точности данных измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительной погрешности.
Относительной погрешностью d приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности D этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А¹ 0), т.е.
(4)
Предельной относительной погрешностью dа данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем:
d £ dа (5)
т. е, £ dа, отсюда D £ ½A½dа.
Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числам можно принять: Dа = |А| dа. (6)
Так как на практике А » а, то вместо формулы (6) часто пользуются формулой
Dа = |а| dа. (6,)
Отсюда, зная предельную относительную погрешность dа, получают границы для точного числа. То обстоятельство, что точное число лежит между а(1- dа) и а(1+ dа), условно записывают так: A = a*(l ± dа).
Пусть а -приближенное число, заменяющее точное А, и Dа -предельная абсолютная погрешность числа а. Положим для определенности, что А>0, а>0 и Dа < а. Тогда
d = £
Следовательно, в качестве предельной относительной погрешности числа, а можно принять число
dа =
Аналогично получаем ∆=Аd ≤ (а + ∆)dа; отсюда
∆а =
Если как обычно бывает, ∆а<<а и dа<<1 (знак << обозначает«значительно меньше»),то приближенно можно принять:
d ≈
и
∆а ≈ аdа .
Пример 2.
Вес 1 дм3 воды при 0°С р = 999,847 г ± 0,001 г.
Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания.
Решение. Очевидно, что ∆р =0,001 г и р ≤ 999,846 г.
Следовательно,
dр= ≈ 10-4%
Пример 3. При определении газовой постоянной для воздуха получили R =29,25. Зная, что относительная погрешность этого значения равна 10/0, найти пределы, в которых заключается R .
Решение. Имеем dR> =0,001, тогда ∆ R =RdR ≈0,03. Следовательно, 29,22≤R≤ 29,28.
§ 3. Основные источники погрешностей
Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп.
1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи. Математические формулировки редко точно отображают реальные явления: обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как правило, при изучении тех или иных явлений природы мы вынуждены принять некоторые, упрощающие задачу, условия, что вызывает ряд погрешностей (погрешности задачи).
Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда ее заменяют близкой по результатам приближенной задачей. При этом возникает погрешность, которую можно назвать погрешностью метода.
2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов (например, sin x = x- + +…). Более того, многие математические уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениям. Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен в конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться на некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погрешность, называемую обычно остаточной погрешностью.
3. Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Условно назовем эту погрешность начальной.
4. Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении даже рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь). При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность округления. Например, полагая = 0,333, получаем погрешность ∆ =4*10-4. Приходится так же округлять и конечные числа, имеющие большое количество знаков.
5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Понятно, что, производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных в какой-то мере мы переносим в результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются неустранимыми.
Само собой разумеется, что при решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или влияние их ничтожно. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды. В дальнейшем мы ограничимся в основном исчислением погрешностей действий и погрешностей методов.
§ 4. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков
Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
a =am*10m+am-1*10m-1+am-2*10m-2+…+am-n+1*10m-n+1+…, (1)
где аi—цифры числа а (аi=0, 1,2, ..., 9), причем старшая цифра аm≠0, а m—некоторое целое число (старший десятичный разряд числа а). Например,
3141,59…=3*103+1*102+4*101+1*100+5*10-1+9*10-2+…
Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе а, написанном в виде десятичной дроби (1), имеет свое значение. Единица, стоящая на первом месте, равна 10m, на втором—10m-1,на n-m-10m-n+1 и т. д.
На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, представляющими собой конечные десятичные дроби
b =βm*10m+βm-1*10m-1+…+βm-n+1*10m-n+1 (βm ≠ 0) (2)
В cохраняемые десятичные знаки βi (i = т, m-1, ...., m-n+1)называются значащими цифрами приближенного числа b, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением bm).При позиционном изображении числа b в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например,
b =7*10-3+0*10-4 +1*10-5+0*10-6 =0,007010,
или
b = 2*109+ 0 • 108 + 0 • 107 + 3 • 106 + 0 • 105 = 2 003 000 000.
Такие нули не считаются значащими цифрами.
Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам
Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае, если в данном числе 0,002 080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,002 08. С этой точки зрения числа 0,002080 и 0,002 08 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе- лишь три значащих цифры.
Введем понятие о верных десятичных знаках приближенного числа.
Определение. Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо.
Таким образом, если для приближенного числа а (1), заменяющего точное число А, известно, что
∆= ≤ *10m-n+1,
то, по определению, первые n цифр am, am-1,…, am-n этого числа являются верными.
Например, для точного числа А =35,97 число а =36,00 является приближением с тремя верными знаками, так как = 0,03< *0,1.
В некоторых случаях удобно говорить, что число а является приближением точного числа А с n верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность ∆= не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой приближенного числа.
Например, для точного числа А = 412,3567 число а = 412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как ∆ = 0,0007 < 1*10-3.
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.
Теорема. Если положительное приближенное число a имеет n верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погрешность d этого числа не превосходит ()n-1 деленную на первую значащую цифру данного числа, т. е.
d £ *()n-1, где am-первая значащая цифра числа а.
Следствие 1. За предельную относительную погрешность числа а можно принять:
da= *()n-1
где am - первая значащая цифра числа а.
Следствие 2. Если число а имеет больше двух верных знаков, т. е.n³2, то практически справедлива формула
da= *()n-1
Пример 1. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа p взять число
а = 3,14?
Решение. В нашем случае am =3 и n =3. Следовательно,
da= *3*()3-1= = %
Пример 2. Со сколькими десятичными знаками надо взять
Решение. Так как первая цифра 4, то am = 4, причем d= 0,001.
Имеем *10n-1 £ 0.001, отсюда 10n-1 £ 250 и n ³ 4.
Для решения обратной задачи—определения количества n верных знаков числа (6), если известна его относительная погрешность d, обычно пользуются приближенной формулой
d= (а>0), где ∆-абсолютная погрешность числа а. Отсюда
∆ = а d. (7)
Учитывая старший десятичный разряд числа ∆, легко установить количество верных знаков данного приближенного числа а. В частности, если d £ 1/10n, то из формул (6) и (7) имеем:
∆ £ (αm+1) 10m*10-n £ 10m-n+1, т. е. число а заведомо имеет n верных десятичных знаков в широком смысле. Аналогично, если d £ *10n , то число а имеет n верных знаков в узком смысле.
Пример 3. Приближенное число а = 24 253 имеет относительную точность 1 %. Сколько в нем верных знаков?
Решение. Имеем: ∆= 24 253.0,01» 243 = 2,43*102.
Следовательно, число, а имеет верными лишь первые две цифры (n=2); цифра сотен является сомнительной. Согласно приведенному выше правилу число а предпочтительнее записать в виде а=2,43*104.
Указанный способ определения числа верных знаков является приближенным. При точном подсчете верных цифр числа а следует исходить из неравенств
d ³ ,
∆ £ (0 £ d <1).
§ 6. Погрешность суммы
Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.
êDuê£ êDx1ê+ êDx2ê+…+êDxnê. (1)
Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых
Du = Dx1+Dx2+…+Dxn. (2)
Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует:
1) выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;
2) остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака;
3) произвести сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;
4) полученный результат округлить на один знак.
При округлении по правилу дополнения слагаемых суммы
U = x1 + x2 +…+ xn
До m-го десятичного разряда погрешность округления суммы в самом неблагоприятном случае не превышает величины
Dокр £ n**10m (3)
Можно получить более точный расчет погрешности округления суммы, если учесть знаки ошибок округления слагаемых.
Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры (в широком смысле).
Решение. Выделяем числа наименьшей точности 345,4 и 235,2,абсолютная погрешность которых может достигать 0,1. Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим:
345,4
235,2
11,75
9,27
0,35
0,18
0,08
0,02
0,00
602,25
Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2.
Полная погрешность D результата складывается из трех слагаемых:
1) суммы предельных погрешностей исходных данных
D1 =10-3 + 10-4 + 10-1 + 10-1 + 10-2 + 10-2 + 10-4 + 10-4 + 10-6 = 0,221 301 < 0,222;
2) абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых
D2 = | - 0,002 + 0,0034 + 0,0049 + 0,0014 + 0,000 354 | = 0,008054 < 0,009;
3) заключительной погрешности округления результата
D3 = 0,050.
Следовательно,
D= D1 + D2 +D3 < 0,222 + 0,009 + 0,050 = 0,281 < 0,3;
и, таким образом, искомая сумма есть 602,2 ± 0,3
Теорема 2. Если слагаемые—одного и того же знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.
§ 7. Погрешность разности
Рассмотрим разность двух приближенных чисел Предельная абсолютная погрешность
т. е, предельная абсолютная погрешность разности равна, сумме предельных абсолютных, погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Отсюда предельная относительная погрешность разности
(1)
где А- точное значение абсолютной величины разности чисел X1и X2 , в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.
Вычислим, например, разность двух чисел: x1= 47,132 и x2 = 47,111, каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим u = 47,132- 47,111 = 0,021.
Таким образом, разность u имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности u = 0,0005 + 0,0005= 0,001.
Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности соответственно
Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.
Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, вычисление числовых значений которых приводит к вычитанию близких чисел.
Пример. Найти разность u = с тремя верными знаками.
Решение. Так как
= 1,4177 4469 ...
и
= 1,41421356 ....
то искомый результат есть u = 0,00353 = 3,53*10-3.
Этот результат можно получить, если записать выражение в виде u = и взять корни и лишь с тремя верными знаками. Действительно,
u = = = 10-2*3,53*10-3
§ 8. Погрешность произведения
Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных, от нуля, не -превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
(1)
где x и d - относительная погрешность произведения. имеют различные знаки.
Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е.
(2)
Зная предельную относительную погрешность
Пример 1. Определить произведение и приближенных чисел =73,56 и число верных знаков в нем, если все написанные цифры сомножителей верные
Решение. Имеем =0,005. Отсюда .
Так как произведение u = 897,432,то (приблизительно).
-Отсюда u имеет лишь два верных знака и результат следует записать так: u = 897
Отметим частный случай u = k*x, где k- точный множитель, отличный от нуля. Имеем: и раз.
Пример 2. При наведении ракеты на цель предельная угловая ошибка e=1. Каково возможное отклонение Du ракеты от цели на дальности х =2000 км при отсутствии корректирования ошибки?
Решение. Здесь
Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно:
1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей;
2) в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей (или удержать еще одну запасную цифру).
Пример 3. Найти произведение приближенных чисел x1 = 2,5 и x2 = 72,397, верных в написанных знаках.
Решение. Применяя правило, после округления имеем x1 = 2,5 и x2 = 72,4.
Отсюда x1*x2 = 2,5*72,4 = 181 ≈ 1,8*102.
§ 9. Число верных знаков произведения.
Правило. Если все сомножители имеют m верных десятичных знаков и число их не больше 10, то число верных (в широком смысле) знаков произведения на одну или на две единицы меньше m.
Пример
1. Определить
относительную погрешность и количество верных цифр произведения u =93,87-9,236.
Решение. По формуле имеем:
Следовательно, произведение u имеет по меньшей мере три верные цифры.
Пример
2. Определить
относительную погрешность и число верных цифр произведения u = 17,63* 4,285.
Решение.
Следовательно, в произведении будут по крайней мере три верные цифры (в широком смысле).
§ 10. Погрешность частного
Теорема. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
Если u =ln u = ln x-ln y
и
Отсюда
Следствие. Если u = то
Пример. Найти число верных знаков частного u =25,7:3,6, если все написанные знаки
делимого и делителя верны.
Решение. Имеем:
Так как u =7,14, то 0,016 -7,14 = 0,11.
Поэтому частное u
имеет два верных знака в широком смысле, т. е. u = 7,1 или, более
точно, u =7,14 ± 0,11.
§ 11. Число верных знаков частного.
Пусть делимое х и делитель y имеют по меньшей мере m верных цифр. Если a и b–их первые значащие цифры, то за предельную относительную погрешность частного u может быть принята величина
Отсюда получаем правило:
1) если a ³ 2 и b ³ 2,то частное u имеет по меньшей мере m-1 верных знаков;
2) если a =1 или b=1,то частное u заведомо имеет m-2 верных знака.
§ 12. Относительная погрешность степени.
Пусть u =xm (m-натуральное число), тогда ln u = m ln x и, следовательно,
Отсюда
т. е. предельная относительная погрешность m-й степени числа в m раз больше предельной относительной погрешности самого числа.
§ 13. Относительная погрешность корня.
Пусть теперь u= тогда um=x. Отсюда
(1)
т. е. предельная относительная погрешность корня m-й степени в т -раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.
Пример. Определить, с какой относительной погрешностью и со сколькими верными цифрами можно найти сторону a квадрата, если его площадь S = 12,34 (с точностью до 0,01).
Решение. Имеем a ==3.5128. . . Так как
§ 14. Общая формула для погрешности
Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы требуется определить погрешность данной функции от этих величин.
Пусть задана дифференцируемая функция u = f(x1,x2,…xn) и пусть | Dхi |(i =1, 2, ..., n)-абсолютные погрешности аргументов функции.
Тогда абсолютная погрешность функции | Du | = | (f(x1+Dх1,x2+Dх2,…xn+Dхn) -f(x1,x2,…xn) |.
Относительную погрешность функции u можно принять:
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара
V = 1/6*p d3, если диаметр d = 3,7см ± 0,05, а p =3,14.
Решение. Рассматривая p и d как переменные величины, вычисляем частные производные
Предельная абсолютная погрешность объема
Поэтому
V= (5)
Отсюда предельная относительная погрешность объема
Пример 2. Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула
E=
где —длина стержня, и s—стрела прогиба, р—нагрузка.
Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга Е, если р=20 кГ; а=3 мм; b=44 мм; l=50см; s=2,5 см;
Решение. LnЕ =3 ln 1+ln p-3 ln a-ln b-ln s-ln 4. Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:
Следовательно,
Таким образом, предельная относительная погрешность составляет 0,081, т. е. примерно 8% от измеряемой величины. Произведя численные расчеты, имеем:
15.Обратная задача теории погрешностей.
На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументо функций, чтобы абсолютная погрешность функций не превышала заданной величины.
Это задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешностьΔu функций u = f(x1,x2,…xn) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности аргументов.
Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы.
(i =1,2,..,n)
одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Δu функций
u = f(x1,x2,…,xn).
Пусть величина предельной абсолютной погрешности Δu задана. Тогда на основании формулы (2) §15
(1)
Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь
Отсюда
(i=1,2,…,n). (2)
Пример 1. Радиус основания цилиндра R»2м; высота цилиндра H»3м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H,чтобы его объем V можно было вычислить с точностью до 0,1м3 ?
Решение. Имеем V=pR2H и Δv=0,1м3.
Полагая R=2м; H=3м; p=3,14;приближенно получим:
Отсюда, так как n=3, то на основании формулы (2) будем иметь:
; ; .
Пример 2. Требуется найти значение функции U = 6x2(lgx-sin2y) с точностью до двух десятичных знаков (после запятой), причем приближенные значения х и у равны соответственно 15,2 и 57°. Найти допустимую абсолютную погрешность этих величин.
Решение. Здесь
U = 6x2(lgx-sin2y)=6(15.2)2(lg15.2-sin1140)=371.9;
,
где М =0,43429—модуль перехода;
2 cos2y =1127.7.
Для того чтобы результат был верен до двух десятичных знаков, нужно выполнение равенства D
Пример 3. С какой точностью надо измерить радиус круга R=30,5 см и со сколькими знаками взять p, чтобы площадь круга с точностью до 0,1 % неизвестна ?
Решение. Имеем s=ln s= lnp+2ln R. Отсюда
По
Отсюда и
Таким образом, следовало бы взять =3,14 и измерять R с точностью до тысячных долей сантиметра. Ясно, что такая точность измерения практически трудно осуществима. Поэтому выгоднее поступить следующим образом: взять
Иногда в самой постановке задачи имеются условия, не позволяющие использовать принцип равных влияний.
Пример 4. Стороны прямоугольника a = 5 м и b = 200 м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон, одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Δs=1 m2?
Решение. Так как S = a*b
Ds = bDa + aDb
Ds = bDa + aDb
Da = Db, то согласно условию задачи, поэтому
Лабораторная работа № 1
«Вычисление сопротивлений в электрических цепях»
Цель: Научиться вычислять сопротивление в простейших цепях и овладеть практическими навыками по отладке и тестированию программ, правила запуска MathCAD
Задачи:
- Ознакомиться с правилами запуска программы MathCAD
- Ознакомиться с порядком работы MathCAD
- Изучить запись переменных, стандартных функций
- Изучить правила записи арифметических выражений, оператора присваивания, построение графиков.
- Ознакомиться с программой вычисления сопротивлений в электрических цепях.
Задание: К источнику ЭДС Е с внутренним сопротивлением r подключено последовательно n и параллельно m соединенных резисторов с сопротивлениями R1 ,R2,...,Rn и R11, R12, R1m.
Определите общий ток I в цепи, напряжение U на зажимах источника тока и мощность Р, выделяемую во внешней цепи.
Варианты заданий.
Таблица № 1: Исходные данные: Е= 4В, r = 0,02 ОМ, Rn = 20 ОМ, Rm = 30 ОМ.
|
варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
m |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
варианты |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
n |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
m |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
Теоретическая часть
Исходными данными здесь являются переменные Е, r, n, m и таблицы значений сопротивлений резисторов R1 ,R2,...,Rn и R11, R12, R1m.
Величины I, U, P значение которых нужно определить, являются результатами. Следующий этап решения задачи состоит, основанной на таких фактах:
1) полное сопротивление при последовательном соединении проводников равно сумме сопротивлений отдельных проводников; (1)
2) при параллельном соединении проводников величина, обратная полному сопротивлению участка, равна сумме величин, обратных сопротивлениями отдельных проводников
(2)
тогда полное сопротивление цепи находим равным: Rn = r + (3)
3) на основе закона Ома для замкнутой цепи, сила тока равна (4)
4) Напряжение на зажимах источника тока: U:= E - J*r (5)
а мощность выделяемая во внешнюю цепь равна P:= J*U. (6)
Задание: Вычислить значение Е, используя расчетную формулу Е = 1+
при значениях R = 8; Т = 300.
Программа на MathCAD имеет следующий вид:
R:= 8 T: = 300
E:= 1 +
Ответ:
E:= 2.016
Алгоритм решения:
1. Запустить MathCAD: - Пуск- Программы- MathSoft Apps- MathCad 2000 Professional.
2. Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе- в поле появится крестик , обозначающий позицию, с которой начинается ввод и введите с клавиатуры символы R: ( При вводе с клавиатуры символа : в рабочем документе отображается знак присваивания :=)
3. введите с клавиатуры символы 8 и щелкните по свободному месту вне поля
4. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы Т:300и щелкните по свободному месту вне поля
5. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры E:1+R^2/3+T/5
6. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры комментарий
Ответ( он не влияет на работоспособность программы)
7. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры Е = и вы получите ответ
Если при вводе выражения была допущена ошибка, щелкните мышью справа внизу возле символа и удалите его. MathCad читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому выражения для вычисления располагаются правее или ниже определенных для него значений переменных.
Решим задачу с помощью Electronics Workbench 5.0.
1. Запустим Electronics Workbench 5.0.
2. Установим сопротивления (1-паралельно, 1-последовательно), источник питания, вольтметр и амперметр, как указано ниже. При разомкнутом ключе.
3. Запустим моделирование
Получим силу тока – 60мА = 0.06 А. Падение напряжения = 12 В.
4. Проверим моделирование с помощью MathCad 2000 Professional.
Исходные данные:
Е:=12 r:=0 Rn:=200 Om Rm:=300 Om
Полное сопротивление:
Rz=200.003
Сила тока
I= 0.06
Напряжение на зажимах источника
V:=E – I*r
V=12
Мощность выделяемая во внешнюю цепь
P:= I*V
P= 0.72
5. В обоих случаях – сила тока и напряжение – одинаковы.
«Определение абсолютной и относительный погрешности»
Цель: Научить вычислять относительную и абсолютную погрешности чисел.
Задание: Вычислить значение и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая что значения исходных данных получены в результате округления.
Записать результат с учетом погрешности.
|
№ |
|
№ |
|
|
1 |
|
16 |
|
|
2 |
|
17 |
|
|
3 |
|
18 |
|
|
4 |
|
19 |
|
|
5 |
|
20 |
|
|
6 |
21 |
|
|
|
7 |
|
22 |
|
|
8 |
|
23 |
|
|
9 |
|
24 |
|
|
10 |
|
25 |
|
|
11 |
|
26 |
|
|
12 |
|
27 |
|
|
13 |
28 |
|
|
|
14 |
29 |
|
|
|
15 |
|
30 |
|
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара V = 1/6*p d3, если диаметр d = 3,7см ± 0,05, а p =3,14.
Решение. Рассматривая p и d как переменные величины, вычисляем частные производные
Предельная абсолютная погрешность объема
Поэтому
Отсюда предельная относительная погрешность объема
Пример 2. Стороны прямоугольника a = 5 м и b = 200 м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон, одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Δs=1 m2?
Программа на MathCAD имеет следующий вид:
Δs: =1
а: = 5 b: = 200
Da = 4.878*10-3 м » 5 мм
Лабораторная работа № 3
«Действия над приближенными значениями чисел»
Цель: Умение выполнять действия над приближенными значениями чисел. Выработать навыки в применении формул в различных задачах.
Задание: Дана функция a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей.
Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.
|
№ |
№ |
||||||||
|
1 |
0.0125 |
0.283 |
0.0187 |
16 |
4.41 |
18.5 |
|||
|
2 |
14.29 |
13.81 |
10.98 |
17 |
16.5 |
4.2 |
|||
|
3 |
12.28 |
13.21 |
12.19 |
18 |
52.31 |
48.95 |
47.81 |
||
|
4 |
0.328 |
0.781 |
0.0129 |
19 |
4.81 |
4.52 |
9.28 |
||
|
5 |
14.85 |
15.49 |
20 |
16.21 |
16.18 |
21.23 |
|||
|
6 |
12.31 |
0.0352 |
10.82 |
21 |
121 |
0.324 |
1.25 |
||
|
7 |
12.45 |
11.98 |
22 |
25.18 |
24.98 |
||||
|
8 |
|
3.456 |
0.642 |
7.12 |
23 |
3.1415 |
3.1411 |
10.91 |
|
|
9 |
|
1.245 |
0.121 |
2.34 |
24 |
3.14 |
1.57 |
0.0921 |
|
|
10 |
13.12 |
0.145 |
15.18 |
25 |
14.85 |
15.49 |
|||
|
11 |
|
0.643 |
2.17 |
5.843 |
26 |
5.325 |
5.152 |
5.481 |
|
|
12 |
|
0.3575 |
2.63 |
0.854 |
27 |
71.4 |
4.82 |
49.5 |
|
|
13 |
14.91 |
0.485 |
14.18 |
28 |
4.356 |
4.32 |
0.246 |
||
|
14 |
16.5 |
4.12 |
0.198 |
29 |
3.42 |
5.124 |
0.221 |
||
|
15 |
5.21 |
14.9 |
0.295 |
30 |
0.5761 |
3.622 |
0.0685 |
· Дайте определения и приведите примеры устранимой и неустранимой погрешностей.
· Что такое погрешность округления?
· Как вычислить относительную погрешность, зная абсолютную?
· Как по абсолютной погрешности вычислить относительную погрешность?
Глава 2. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
§ 1. Сравнение линейных и нелинейных уравнений
Важнейшим свойством линейных функций y = f(x) является: f(x) удовлетворяет принципу суперпозиции. Принцип суперпозиции заключается в том, что если аргумент х есть линейная суперпозиция (комбинация) двух точек х = с1х1 + с2 х2, то значение y-есть линейная суперпозиция значений f(х1) и f(х2), а именно
y = f(x) = f(с1х1 + с2 х2) = с1f(x) + с2 f(c) (1)
Отличие нелинейных уравнений состоит в том, что в области определения D может существовать несколько решений.
В линейных уравнениях возможны следующие варианты.
Имеется:
1. единственное решение
2. множество решений
3. решений нет
Линейное уравнение является частным случаем нелинейных уравнений, поэтому для нелинейных уравнений добавляется еще один пункт
4. имеется n решений, 2 § 2. Отделение корней Если
уравнение алгебраическое или трансцендентное достаточно сложно, то его корни сравнительно редко удается найти
точно. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициент,
известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном
определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы
приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Пусть
дано уравнение f(x) = 0
(1) где функция f(x) определена и непрерывна в
конечном или бесконечном интервале a < x < b. Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ) = 0,
называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x). Предположим, что уравнение (1) имеет лишь изолированные
корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других
корней этого уравнения. Приближенное
нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) складывается
обычно из двух этапов: 1. Отделение корней, то есть
установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень
исходного уравнения (1). 2. Уточнение приближенных корней, то
есть доведение их до заданной степени точности. Теорема. Если непрерывная
функция f(x)
принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], т.е. f(α)f(β)<0,
содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0, т.е. найдется хотя бы одно число ξ є(α, β) такое, что f(ξ)=0 . Корень ξ заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет
постоянный знак внутри интервала (α , β ) , т. е. если x<β.
Полезно помнить, что алгебраическое уравнение n-й степени A0 +A1…+An = 0 (A0¹
0) имеет не более n
действительных корней. Поэтому если для такого уравнения мы получили n +1 перемену знаков, то все корни его
отделены. Если
существует непрерывная производная и корни уравнения = 0 легко
вычисляются, то процесс отделения корней уравнения (1) можно упорядочить. Для
этого, очевидно, достаточно подсчитать лишь знаки функций f(x) в точках нулей ее
производной и в граничных точках x = a и x = b. Пример 1. Отделить корни
уравнения f(x) º x4-4x-1 =0. Решение. Здесь (x)
= 4(x3-1),
поэтому = 0 при x =1. Имеем f(- ¥)>0(+);
f(1)<0(-); f(+ ¥)>0(+).
Следовательно, уравнение имеет только два действительных корня, из которых один
лежит в интервале (-¥,
1), а другой – в интервале (1, +¥). §3. Графическое решение уравнений Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как
абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью ОХ (см. рис. 1, а).
На практике часто бывает удобнее уравнение (1) заменить равносильным ему
уравнением , (2) где функции
φ(x) и ψ(x) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики этих функций, искомые корни получим как
абсциссы точек пересечения этих графиков (смотри рис. 1, б). f(x) f(x) y=f(x) ξ1 ξ2 x ψ(x) φ(x) ξ1 ξ2 x
Рис. 1(а, б). Графический метод нахождения корней уравнения.
Отметим, что хотя графические методы решения уравнений весьма удобны и сравнительно просты, но они, как правило, применимы лишь для грубого определения корней.
Лабораторная работа № 4.
Цель: Уметь находиться графическим методом значение тока.
Задача: Для цепи (см. рис. 2), в которую последовательно включены сопротивление R и диод VD с сопротивлением Rn, источником ЭДС Е, необходимо найти значение тока I нелинейного элемента.
Рис.2
Варианты заданий
1. 5х – 6х –3 = 0 2. 2x2 – 0,5x – 3 = 0
3. xlg(x+1) = 1 4. x4 – x3 – 2x2 + 3x = 0, x1 = 0
5. x + lgx = 0.5 6. x3 + 3x +1 =0
7. .x3 + 3x2 + 2,5 =0 8. (x-1)2 =
9. x3 – 0,1 x2 + 0,4x + 2 =0
10.2x+5x-3=0; 11. 3x4-8x3-1 8x2+2=0;
12. 3x4+4x3-12x2-5=0; 13. 2x4+ 8x3+ 8x2-1= 0;
14. x4-x-1=0; 15. 3x4+4x3-12x2-5 =0;
Теоретическая часть
Расчеты цепей, содержащих такие нелинейные элементы, как диоды и транзисторы, в общем случае достаточно сложны.
Напряжение и ток резистора рассчитывают согласно закону Ома для замкнутой цепи с помощью уравнения нагрузочной прямой: U = E-IR.
Нелинейный элемент определяется вольт - амперной характеристикой (зависимостью напряжения от тока) U = U(I).
Функция U(I) может быть задана одним из способов: аналитически, графически, таблично.
Пусть функция U(I) задана аналитическим способом. Точка пересечения А вольт - амперной характеристики и нагрузочной прямой Е- IR определяет ток Ia и напряжение. Таким образом, значение Iа находится из решения уравнения Е - IR = U(I). Значение Ua может быть вычислено по одно из формул: Uа= E-IaR или Uа = U(Ia).
Запишем уравнение E - IR = U(I) в виде f(x) = U(x)+ Rx - E = 0, где х = I.
Рис.2. Вольт - амперная характеристика нелинейного элемента Ua.
Построим алгоритм нахождения действительных корней уравнения f(x) = 0, где f(х)-непрерывная функция.
Задача приближенного вычисления корней уравнения f(x)=0 решается в два этапа. В начале отделяют корни, то есть отыскивают области, содержащие только один корень. Затем, используя приближенные методы, вычисляют значения корней с заданной точностью. Для отделения корней уравнения используется графический метод. С этой целью строят график функции f(x), после чего приближенно определяют отрезки числовой оси x, содержащие абсциссы точек пересечения.
Задание А: построить график функции f(x) =
Алгоритм решения:
1. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f(x):
2. Щелкните мышью по кнопке и далее по символу ех
3. Введите с клавиатуры символ - , затем в раскрытом окне Calculator щелкните по символу х2 и щелкните мышью вне поля ввода
4. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе, а затем по кнопке и в раскрывшем меню по символу
Задание Б: Локализация корней уравнения графическим методом. Уравнение имеет вид:
Программа на MathCAD имеет следующий вид:
|
Получили два отрезка локализации: |
|
|
кратный корень на отрезке [-0.2,0.2] |
простой корень на отрезке [-0.6,-0.4] |
Лабораторная работа № 5
«Расчет и анализ неразветвленной электрической цепи переменного тока»
Цель задания:
1. Рассчитать резонанс напряжений неразветвленной цепи, содержащий конденсатор и индуктивность, условия его возникновения и практическое значение,
2. Определить влияние величины активного сопротивления на резонанс напряжения.
3. Показать свойства пассивных элементов, конденсатора, катушки и резистора в зависимости от частоты .
4. Овладение навыками расчета на ЭВМ.
Задание:
Цепь состоит из последовательно соединенных активного сопротивления r = 100 Ом, и индуктивности L = А Гн и конденсатора С = В мкФ. Напряжение 220В.
Частота изменяется от 800-3000 Гц.
1. Построить кривые изменения угла сдвига в зависимости от частоты, j = F (f)
2. Построить кривые изменения напряжения в зависимости от частоты.
UL = F(f); Uc = F(f); UA = F(f)
3. Построить кривые изменения индуктивного сопротивления и емкостного сопротивления в зависимости от частоты. UL = F(f) ; Uc = F(f) ;
4. Определить резонансную частоту по частотной характеристике.
5. Провести анализ по характеристикам и сделать выводы.
Расчетные формулы:
1 . Хс = ; 2. Xl = 2pfl; 3. Z = j = arccos( I = a = I*R;
7. Uc = I*Xc; 8. Ul = I*Xl
|
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
L, Гн (А) |
0,185 |
0,11 |
0,043 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,081 |
|
|
C, мкф(В) |
0,07 |
0,09 |
0,2 |
0,07 |
0,057 |
0,047 |
0,05 |
|
|
№ варианта |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
|
L, Гн (А) |
0,014 |
0,012 |
0,006 |
0,03 |
0,14 |
0,12 |
|
|
|
C, мкф(В) |
0,5 |
0,5 |
1,0 |
1,0 |
0,04 |
0,04 |
|
|
Пример выполнения задания:
При R= 100 Ом, L = 0.1Гн, С= 0,05 мкФ Таблица №1
|
Ul |
Uc |
Ua |
I |
Xl |
Xc |
Z |
j |
f |
|
499,6 |
281,2 |
26,5 |
0,265 |
1884,9 |
1061 |
829,9 |
83 |
3000 |
|
613,9 |
396,7 |
34,8 |
0,34 |
1759 |
1136,8 |
630 |
80,8 |
2800 |
|
852,8 |
6391 |
52,2 |
0,52 |
1633 |
1224,2 |
421,3 |
76,2 |
2600 |
|
1599,75 |
1407 |
106 |
1,06 |
1507 |
1326,2 |
207,3 |
61,1 |
2400 |
|
255,54 |
2674,1 |
184 |
1,84 |
1382 |
1446,8 |
119 |
32,8 |
2200 |
|
790,9 |
1001,7" |
62,9 |
0,62 |
1256 |
1591,5 |
349,5 |
-73,3 |
2000 |
|
385,6 |
602,9 |
34 |
0,34 |
1130 |
1768,3 |
645,2 |
-81 |
1800 |
|
223,5 |
442 |
22,24 |
022 |
1005 |
1999,4 |
989,1 |
-84,1 |
1600 |
|
138,4 |
357,9 |
15,7 |
0,15 |
8796 |
2273,6 |
1397,5 |
-85,8 |
1400 |
|
87,2 |
306,9 |
11,5 |
0,11 |
753,9 |
265,2 |
1901,2 |
-86,9 |
1200 |
|
54 |
273,8 |
8,6 |
0,016 |
628,3 |
3183 |
2596,7 |
-87,75 |
1000 |
|
31,79 |
251,7 |
6,32 |
0,063 |
502,6 |
3978,8 |
3477,6 |
-88,3 |
800 |
При R = 1000 Ом, L = 0,1 Гн, С = 0,05 мкФ Таблица № 2
|
Ul |
Uc |
Ua |
I |
Xl |
Xc |
Z |
j |
f |
|||
|
320 |
180 |
169,7 |
0,169 |
- |
- |
1995 |
39,4 |
3000 |
|||
|
328,5 |
212,3 |
186,77 |
0,186 |
- |
- |
1177,9 |
31,9 |
2800 |
|||
|
332,6 |
240,2 |
203,6 |
0,2 |
1633 |
1224,2 |
1080,5 |
22,2 |
2600 |
|||
|
326 |
287 |
216 |
0,216 |
- |
- |
1016,3 |
10,2 |
2400 |
|||
|
303,4 |
317,6 |
219,5 |
0,219 |
- |
- |
L1002 |
3,6 |
2200 |
|||
|
262,1 |
332 |
2086 |
0,2 |
- |
- |
1054,8 |
-18,5 |
2000 |
|||
|
209,9 |
328 |
185 |
0,18 |
- |
- |
1185,8 |
-32,5 |
1800 |
|||
|
157,6 |
311,9 |
156 |
0,15 |
- |
- |
1403 |
-44,5 |
1600 |
|||
|
112,8 |
2915 |
128 |
0,128 |
- |
- |
1715,5 |
-54,3 |
1400 |
|||
|
77,3 |
271,9 |
102,5 |
0,1 |
- |
- |
2145,8 |
-62,6 |
1200 |
|||
|
50,3 |
255,2 |
80,1 |
0,08 |
- |
- |
2743,5 |
-68,6 |
1000 |
|||
|
30,5 |
241,9 |
60,8 |
0,06 |
502,6 |
3978,8 |
3617,19 |
-73,9 |
800 |
|||
При R = 10000 Ом, L = 0.1 Гн , C = 0,05 мкФ Таблица № 3
|
Ul |
Uc |
Ua |
I |
Xl |
Xc |
Z |
j |
f |
|
41,3 |
23,2 |
219,2 |
0,021 |
1884 |
1061 |
10033,8 |
4,7 |
30000 |
|
38,6 |
24,9 |
219,5 |
0,0219 |
- |
- |
10019,3 |
3,56 |
2800 |
|
35,9 |
26,9 |
219,8 |
0,0219 |
- |
- |
10008,3 |
2,3 |
2600 |
|
33,1 |
19,1 |
219,9 |
0,02199 |
- |
- |
10001,6 |
1,04 |
2400 |
|
30,4 |
31,8 |
219.09 |
0,021994 |
1372 |
- |
10000,2 |
0,36 |
2200 |
|
27,6 |
34,9 |
219,8 |
0,0210 |
- |
- |
10005,6 |
-1,9 |
2000 |
|
24,8 |
38,8 |
219,5 |
0,0219 |
- |
- |
10020,2 |
-3,6 |
1800 |
|
22 |
43,5 |
218,9 |
0,0218 |
- |
- |
10048,3 |
-5,6 |
1600 |
|
19,1 |
49,5 |
217,89 |
0,0217 |
- |
- |
10096,6 |
-7,9 |
1400 |
|
16,2 |
57,3 |
216,13 |
0,0216 |
- |
- |
10178,6 |
-10,75 |
1200 |
|
13,4 |
678 |
213,1 |
0,0213 |
- |
- |
10321,186 |
-14,33 |
1000 |
|
10,4 |
82,6 |
207,8 |
0,02 |
502,6 |
3978 |
10586,97 |
-19,16 |
900 |
Теоретическая часть
Задачами анализа примера являются формирование у студентов следующих знаний и навыков:
• знание электротехнических законов и метода анализа электрических цепей;
• знаний свойств пассивных элементов R, L и C и области их применения;
1. Так, например, из анализа задачи видно, что активные сопротивления не изменяются в зависимости от частоты, индуктивное сопротивление возрастает, а емкостное сопротивление конденсатора уменьшается с увеличением частоты.
2. При последовательном соединении элементов возникает резонанс напряжений. При напряжении источника 220 в на элементах возникает высокое напряжение порядка 2600 в (из расчета), что очень опасно при эксплуатации электрических установок. По данным таблиц 1,2, 3 построены графики
Xl =F(f); Xc = F(f); Z=F(f) Рис.1
Ul =F(f); Uc=F(f); Uа = F(f); j=F(f) Рис.2
При проведении лабораторной работы происходит моделирование аналогичных цепей с помощью компьютера. Анализ графиков дает полное представление о свойствах неразветвленной электрической цепи при последовательном соединении R,L и С элементов.
§ 4. Метод половинного деления
Пусть дано уравнение
f(x) = 0, (1)
где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и f(a)·f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a, b] пополам:
-если f((a + b)/2) = 0, то ξ = (a + b)/2 является корнем уравнения (1);
-если a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.
Очевидно, что закончить уточнение значения корня можно при достижении условия |аj – bj| < ε , где ε > 0 - сколь угодно малое число. Второй способ закончить вычисления - задать максимальное значение невязки: f((aj + bj)/2) < ε.
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.
Пример. Методом половинного деления уточнить корень уравнения
f(x) = x4+2x3-x=0
лежащего на отрезке [0,1].
Решение. Последовательно имеем:
f(0)= -1; f(1)=1;
f(0,5)= 0,06+0,25-0,5-1= -1,19;
f(0,75)= 0,32+0,84-0,75-1= -0,59;
f(0,875)= 0,59+1,34-0,88-1= +0,05;
f(0,8125)= 0,436+1,072-0,812-1= -0,304;
f(0,8438)= 0,507+1,202-0,844-1= -0,135;
f(0,8594)= 0,546+1,270-0,859-1= -0,043 и т.д.
Можно принять
Лабораторная работа № 6.
Цель: Уметь находить методом половинного деления значение тока.
Для нахождения приближенного значения корня уравнения f(x) = 0 с точностью
e = 0.001 воспользуемся методом половинного деления (см. задание лаб. № 4).
Варианты заданий
1. 3x4+8x3+6x2-10=0; 2. x4-x-1= 0;
3. x4+4x3-8x2-17=0; 4. 2x4-x2-10 = 0;
5. 3x4+4x3-12x2+1=0; 6. x4-18x2+6= 0;
7. 2x4-8x3+8x2-1=0; 8. x4-x3-2x2+3x-3= 0.
9. x4-4x3-8x2+1=0; 10. (0,5x)x+1= ( x-2)2;
11. 2x3-9x2-60x+1=0; 12. 3x4-8x3-18x2+2= 0;
13. 2x3-9x2-60x+1=0; 14. 2x4-x2-10= 0;
15. x4-18x2+6=0; . 16. 2sin(x-0.6)=1.5-x.
17. 5x-8lnx = 8. 18. x+lg(1+x)=1.5.
19. 3x-ex = 0. 20. x+ cos(x) = 1.
21. x(x+1)2=1.
Программа на MathCade имеет следующий вид:
|
Пример. Решение уравнения методом бисекции |
|
|
Начальные значения |
|
|
Простой корень, найденный с точностью
за 30 итераций, равен -0.4900726384. |
§ 5. Метод хорд
Укажем более быстрый способ нахождения корня x уравнения f(x) = 0, лежащего на заданном отрезке [а, b] таком, что f(а)f(b)<0.
Пусть для
определенности f(a) <
x1 = a + h1, (1)
где
. (2)
Далее этот прием применяем к одному из отрезков [a, x1] или [x1, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение x2 и т.д. (см. рис. 1.).
Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки А(a, f(a)) и B(b, f(b)).
|
y |
|
y |
|
y |
|
f(a) |
|
f(a) |
|
f(b) |
|
f(b) |
|
0 a x2 x1 b x |
|
0 a x1 x2 b x |
|
a) b) |
|
ξ |
|
ξ |
Рис. 1. Уточнение корня уравнения методом хорд
Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид
(3)
Учитывая, что при х = х1 => y = 0, получим
(4)
Полагая, что на отрезке [a, b] вторая производная f''(x) сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам:
1. a видно, что неподвижна точка а, а точка b приближается к ξ, то есть
(5)
Преобразовав выражение (5), окончательно получим
(6)
2. b видно, что точка b остается неподвижной, а точка а приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид
(7)
Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (6) и (7). Какую точку брать за неподвижную?
Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение f(x)·f”(x) > 0.
точностью до 0,002.
Решение. Прежде всего, отделяем корень. Так как F(1) = -0.6<0 и f(2) = 5.6>0,
то искомый корень ξ лежит в интервале (1, 2). Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как
f(1,5) =1,425, то 1<ξ<1,5.
f(x1) = -0.173;
f(x3) = -0.0072.
Так как f'(x)=3x2—0,4x—0,2 и при Х3< х< 1,5 имеем
F(x)=>3*1,1982— 0,4*1,5— 0,2=3*1,43— 0,8=3,49, то можно принять:
0<ξ-x3<0.0072/3.49=0.002.
Таким образом, ξ= 1,198+0,0029, где 0 <0<1. Заметим, что точный корень уравнения есть ξ=1.2.
Лабораторная работа № 7.
Цель: Уметь находить методом хорд значение тока.
Для нахождения приближенного значения корня уравнения f(x)= 0 с точностью
e = 0.001 воспользуемся методом хорд (см. задание лаб. № 4).
Варианты заданий
1. 0,5x-3=(x+1)2; 2. 5x-6x-3=0;
3. x4-18x2+6=0; 4. x4-x3-2x2+3x-3=0;
5. 2x4-x2-10=0; 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. 2.2x-2x =0.
17. lg(2+x)+2x =3. 18. x2+4sinx=0.
19. lg(1+2x)=2-x. 20. 2x-lgx=7
§ 6. Метод Ньютона (метод касательных)
Пусть корень ξ уравнения
f(x) = 0, (1)
отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f¢(x) и f¢¢(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при n-ое приближение корня
ξ = xn + hn, (2)
где hn - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно hn)
f(xn + hn) = f(xn) + hn f¢(xn) = 0. (3)
Следовательно,
hn = - f(xn) / f¢ (xn). (4)
Подставив полученное выражение в формулу (2), найдем следующее (по порядку) значение корня:
(5)
Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 1.).
|
0 a ξ x2 x1 b x |
|
A0 |
|
B0 |
|
y |
Рис. 1. Уточнение корня методом касательных
Если в качестве начального приближения выбрать точку х0 = В0 , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х0 = А0, то х1 [a, b], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х0 выбрать точку, где f(x)·f¢¢(x) > 0.
Лабораторная работа № 8.
Цель: Уметь находить методом Ньютона значение тока.
Для нахождения приближенного значения корня уравнения f(x) = 0 с точностью
e = 0.001 воспользуемся методом Ньютона (см. задание лаб. № 4).
Варианты заданий
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. х3 + 3х2-3 = 0 14. х – sinx = 0,25
15. х2log0,5(x+1) = 1 16. 2x+lgx = -0.5.
17. 2-x=lnx. 18. (x-1)2 = 0.5ex
19. x + lnx = 0.5. 20. 2x+cosx=0.5.
Программа на MathCade имеет следующий вид:
|
Пример. Решение уравнения методом Ньютона |
|
|
Метод Ньютона |
|
|
Начальные значения |
|
|
Простой корень, найденный с точностью |
|
|
При другом начальном приближении корень найден за 3 итерации с той же точностью |
|
§ 7. Метод итерации
Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение :
F(x)= 0 (1)
где f(x) -непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением
x = f(x) (2)
Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число
x1 = f(x1) (3)
Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x0 число х1, получим новое число X2 = f(x1) Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел .
xn = f(xn-1) (4)
Если эта последовательность—сходящаяся, т. е. существует предел , то, переходя к пределу в равенстве (4), предполагая функцию f(x) непрерывной, найдем:
или
x= f(x) (5),
Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности.
Теорема 1. Пусть функция х) определена и дифференцируема на некотором отрезке [а,b] , причем все ее значения φ(х)Î [а,b]. Тогда существует правильная дробь q такая, что
| φ΄(x)| ≤ q<1 (6)
при a< x < b то:
1) процесс итерации xn = φ ( xn-1 ) (n=1 ,2, …), (7) сходится независимо от начального значения х0Î [а,b].
2) предельное значение x=n является единственным корнем уравнения x = φ(x) (8)
на отрезке [а, b]
Теорема 2. Пусть функция х) определена и дифференцируема на некотором отрезке [а,b], причем уравнение
x = φ(x) (8)
имеет корень x, лежащий в более узком отрезке [ α, β], где
α = a + ( b-a) и β = b-(b-a)
Тогда, если:
а) |
φ΄(x)|
≤ q<1 при a б) начальное приближение x0 Î
[α, β], то: 1) все последовательные
приближения содержатся в интервале (a, b) : xn = φ ( xn-1 )
Î (a, b) (n=1 ,2, …), 2) процесс последовательных приближений – сходящийся, т.е. существует
n = x, причем x-
единственный корень на отрезке [a , b ] уравнения
(8) , и справедлива оценка (7) Пример. Найти действительные корни уравнения х - sin x = 0.25 с точностью до трех
значащих цифр. Решение. Представим данное уравнение в виде х
= sin x + 0.25 Графическим способом устанавливаем, что
уравнение имеет в отрезке [1.1;1.3] один вещественный корень x, приближенно равный х0 = 1.2. Придерживаясь обозначений теоремы 2, примем:
a = 1.1 и b = 1.3 отсюда а = a - (b - a) = 0.9 » arc 520 b = b + (b - a) = 1.5 » arc 860 так как j(х) =
sin x + 0.25 и j'(х) = cos x то при 0.9 < х < 1.5 имеем: ½j'(х)½£ cos520 » 0.62 = g или xn=sinxn-1+0,25 (n=1, 2, …) 1) содержатся в интервале (0,9;
1,5) и 2) xn®x, при n® ¥.
Выбирая x0=1,2 и задаваясь,
согласно условию задачи, предельной абсолютной погрешностью строим последовательные
приближения xn(n=1, 2, …) до тех пор, пока два соседних
приближения xn и xn-1
не совпадут друг с другом в пределах точности, равной Имеем: x1=sin 1,2 + 0,25 = 0,932 +0,25=1,182; x2=sin 1,182+0,25 =0,925+0,25=1,175; x3=sin 1,175+0,25 =0,923+0,25=1,173; x4=sin 1,173+0,25 =0,922+0,25=1,172; x5=sin 1,172+0,25 =0,922+0,25=1,172; Четвертое и пятое приближения
совпали с точностью до четырех значащих цифр. Поэтому Так как предельная абсолютная
погрешность приближенного корня x5,
включая погрешность округления, не превышает то можно принять: x,=1,17±0,005. Лабораторная работа № 9. Цель: Уметь находить методом итерации значение тока. Для
нахождения приближенного значения корня уравнения f(x) = 0 с точностью e =
0.001 воспользуемся методом итерации.
(см. задание лаб. № 4) Варианты заданий 1. х3 - x3 + 3 = 0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. lnx + (x+1)3 =
0. 11. x = (x+1)3. 12. x2 =
sinx. 13. x3
= sinx.
14. x-cosx =0. 15. x2
= ln(x+1).
16. 3x+cosx +1=0. 17.
sin0.5x+1 = x2; x>0. 18. 0.5x+lg(x-1)=0.5. 19.
(2-x)ex = 0.5. 20.
sin(0.5+x)=2x-0.5. Программа на MathCade имеет следующий вид: Пример.
Приведение уравнения к виду, удобному для итераций Будем искать простой корень
уравнения , находящийся на отрезке локализации [-0.4,0] root: 1 способ.
Приведем уравнение к виду x=(x) , где Проверим условие сходимости: График производной Максимальное по модулю
значение производной итерационной
функции достигается в левом конце отрезка Выполним 3 итерации по
расчетной формуле x= (x) 1 итерация 2 итерация
3 итерация Погрешность найденного
значения: 2 способ. Приведем
уравнение к виду x=x-f(x) , где итерационная функция (x)=x-f(x),
-итерационный параметр. График производной f1(x) Максимальное и минимальное
значения производной достигаются на концах отрезка Выполним 3 итерации по
расчетной формуле x= (x)=x - f(x)) 1 итерация 2 итерация 3 итерация Погрешность найденного
значения: Вопросы
для самопроверки ·
·
·
·
·
[a, b] существует решение. Всегда ли его
можно найти методом половинного деления, методом хорд, и т.п.? Отделение корней 1. Что дает отделение корней? 2. Можно ли аналитически отделить
корень функции с разрывами? 3. Можно ли произвольно задавать
значения на отрезке по оси х для отделения корней? 4. Что при отделении корней
называют критическими точками? 5. Сколько корней может быть у
функции, если у нее существует лишь одна критическая точка? 6. Какие основные проблемы могут
встретиться при аналитическом отделении корней? Метод деления
отрезка пополам 1.
В чем заключается
геометрический смысл метода половинного деления? 2.
Всегда ли позволяет
метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной
погрешностью? 3.
Как выбираются концы
отрезка следующего интервала в методе половинного деления? 4.
Какими свойствами
должна обладать функция f(x), чтобы методом
половинного деления можно было гарантированно решить уравнение f(x) =0? 5.
Что необходимо для
нахождения хотя бы одного действительного корня уравнения f(x) =0 методом половинного деления? 6.
Можно ли найти корень
методом половинного деления, если он находится на границе интервала? Метод хорд 1.
Какие корни позволяет
определить метод хорд? 2.
В чем заключается геометрический
смысл метода хорд? 3.
Всегда ли метод хорд
позволяет вычислить отделенный корень с заданной погрешностью? 4.
Как выбираются концы
отрезка интервала в методе хорд? 5.
Какими свойствами
должна обладать функция f(х) для того, чтобы методом хорд можно решить
уравнение f(x) =0? 6.
Какой конец хорды
неподвижен при реализации метода? Метод Ньютона 1. В чем заключается
геометрическая интерпретация метода Ньютона? 2. Исходя из чего
выбирается в методе Ньютона первое приближение x0? 3. Как выбираются концы
"закрепленного" отрезка интервала в методе Ньютона при < 0 на концах
интервала? 4. Как выбираются концы "закрепленного" отрезка интервала
в методе Ньютона при > 0 на концах
интервала? 5. Что необходимо для того, чтобы уравнение f(x) = 0 решалось методом Ньютона? 6. В каких случаях
применение метода Ньютона не рекомендуется? Метод параболической аппроксимации 1. В чем заключается
геометрический смысл метода параболической аппроксимации? 2. Последовательность каких
процессов представляет собой метод параболической аппроксимации? 3. Как выбираются концы отрезка интервала в методе
параболической аппроксимации на втором и последующих шагах? 4. В каких ситуациях метод параболической
аппроксимации не найдет корень? 5. Можно ли утверждать, что в
методе парабол последовательные приближения могут лежать по одну сторону от
корня? 6. Может ли метод параболической
аппроксимации найти корень, если на начальном участке находится несколько
корней? Метод простой итерации 1. Какой функцией заменяется
левая часть уравнения f(x) =0 в методе итераций? 2. Что называется сходимостью метода итераций? 3. С какой стороны может осуществляться приближение
к корню в процессе итераций — слева или справа? 4. Если на заданном отрезке имеется
два корня, то что можно сказать о сходимости метода итераций на этом отрезке? 5. Что означает несходимость
процесса итераций? 6. Есть ли отличие условий окончания
поиска при "монотонном" и при "колебательном" приближении к
корню? Алгебраические уравнения 1. Почему для решения алгебраических
уравнений целесообразно придумывать какие-то специальные методы? 2. Всегда ли перед применением
метода понижения порядка требуется отделять корень? 3. В каком случае можно точно
определить количество корней, используя правило Декарта? 4. Каким образом можно определить
число отрицательных корней уравнения Р(х) =0, если полином является
полным? 5. Как найти общее число корней
алгебраического уравнения? 6. Почему сумма положительных и
отрицательных корней необязательно равна наивысшей степени полинома в левой
части уравнения? Метод золотого сечения 1.
Может ли сокращение исходного отрезка [а, b] обеспечить уменьшение затрат на
поиск решения с погрешностью 1% от [а, b]. 2.
Всегда ли метод гарантированно дает решение? 3.
Как влияет вид функции F(x) на процесс нахождения решения? 4.
Каким образом
определяется следующий отрезок, на котором находится экстремум? 5.
Основное достоинство
метода золотого сечения. 6.
Каким образом повысить
точность нахождения решения? 7.
Как влияет вид функции
F (x) на процесс
нахождения решения? 8.
Что делится по правилу
золотого сечения? 9.
Если отрезок [а, b] содержит
внутреннюю точку с, то какое условие называется золотым сечением? 10.
Сколько раз нужно вычислить F (x) на каждом шаге? Ответы: Отделение корней 1. Отделение корней дает интервал, в
котором находится только один корень, это обеспечивает работоспособность
большинства методов уточнения корней. 2. Аналитически отделить корень
разрывных функций можно, так как к критическим точкам относятся и точки, в
которых производные не существуют, т.е. точки разрыва. 3. Если найден интервал, где отделен
корень, то для его сокращения (если, например, одна из границ его находится в
бесконечности) можно задавать произвольно значения аргумента и проверять знак функции;
если же нет уверенности в том, что на участке один корень, этого делать нельзя. 4. Критическими точками, которые
положены в основу аналитического отделения корней, называются такие точки, в
которых первая производная равна нулю или не существует. 5. Если у функции существует одна критическая точка,
то корней может быть: 2—если знаки функции при х ® ¥ и х® -¥
одинаковы и противоположны знаку функции в
критической точке; 1 — если один из знаков при х ®¥
или х® -¥
совпадает со знаком функции в критической
точке; 0 — если все знаки функции в упомянутых точках одинаковы. 6. Для отыскания
критических точек функции может оказаться необходимым решать нелинейное
уравнение х) = 0 что само по
себе так же трудно и требует отделения корней, как и решение исходного
заданного уравнения. Метод деления отрезка пополам 1. Геометрический смысл метода
половинного деления заключается в последовательном делении отрезка, где
локализован корень, на две равные части. 2. Если нелинейная функция в левой
части уравнения непрерывна, то метод половинного деления всегда позволит
получить корень с заданной погрешностью, так как процесс решения в этом случае
не зависит от свойств функции. 3. Один из концов отрезка следующего
интервала в методе половинного деления всегда находится в середине текущего
отрезка, а второй — на конце той половины, где функция f(x) имеет другой знак, чем в уже
выбранной точке (чем в середине текущего отрезка). 4. Функции f(x) достаточно быть непрерывной,
чтобы можно было гарантированно решить уравнение f(x) = 0. 5. Для нахождения хотя бы одного
действительного корня уравнения f(x) = 0 методом половинного деления
необходимо выполнить операцию отделения корней, в противном случае корень может
найтись в том случае, если при каждом делении отрезка пополам на одной из
половинок будет получаться разный знак функции f(x) на ее концах. 6. Можно найти корень, находящийся
на границе интервала. Метод хорд 1. Метод хорд позволяет определять
предварительно отделенные корни. 2. Геометрический смысл метода хорд
заключается в замене нелинейной функции f(x) на участке отделения линейной,
проходящей через концы участка, т.е. хордой. 3. Нет, не всегда. Для получения
решения с заданной погрешностью, во-первых, функция должна быть монотонной (по
крайней мере в окрестности корня), во-вторых, она должна иметь невысокую
крутизну (см. требования к соотношению минимального и максимального значения
производной на интервале). 4. В методе хорд для монотонной
функции f(x) один
конец является закрепленным, а второй определяется точкой пересечения хорды с осью
х. Закрепленный конец выбирается исходя из анализа знаков функции и ее второй
производной на концах интервала. 5. Для того чтобы решить нелинейное
уравнение f(x) методом
хорд, функция f(x) должна
быть непрерывной и монотонной. 6. Закрепленный конец зависит от
свойств функции нелинейного уравнения и может быть различным. Метод Ньютона 1. Геометрический смысл метода
Ньютона заключается в замене нелинейной функции f(x) на участке отделения линейной,
являющейся касательной к одному из концов отрезка. 2. Начальное приближение x0 в методе Ньютона выбирается таким образом, чтобы
касательная к функции в точке x0 пересекала ось х внутри
начального интервала, где отделен корень. Это оценивается по знакам функции и
второй производной или практически методом проб и ошибок. 3. "Закрепленным" будет
правый конец. 4. "Закрепленным" будет
правый конец. Для того чтобы решить нелинейное уравнение f(x) методом Ньютона, функция f(x) должна быть непрерывной и
монотонной. 5. Если функция f(x) немонотонна, то метод Ньютона в
классическом варианте может не дать гарантированный результат (можно в отдельных
случаях получить корень, если на каждом шаге заново определять закрепленный
конец). Метод параболической аппроксимации Геометрический смысл
метода параболической аппроксимации заключается в замене нелинейной функции f(x) на участке отделения параболой
второго порядка, построенной по трем точкам. 1. Метод параболической
аппроксимации представляет собой последовательность процедур аппроксимации и
нахождения корня параболы (обе процедуры доведены до конечных расчетных
формул). 2. Концы отрезка интервала на втором
и последующих шагах выбираются так, чтобы последнее найденное приближение корня
оказалось средней точкой, а крайними точками отрезка были ближайший к ней,
лежащие слева и справа. 3. В случае колебательного характера
нелинейной функции аппроксимирующая парабола может или иметь две точки
пересечения с осью х, или не иметь вовсе; в обоих случаях решение
уравнения найти не удастся. 5. Нет, они могут лежать по разные
стороны от корня. 6. Может, но гарантировать какой
именно — нельзя. Метод итераций 1. Левая часть уравнения f(x) = 0 в методе итераций не
заменяется никакой функцией. 2. Сходимостью называется стремление
текущего приближения к корню при увеличении числа шагов. 3. Приближение к корню может
осуществляться с одной стороны (справа иди слева) и с обеих сторон, т.е. иметь
как бы колебательный характер приближения к корню. 4. Если на участке оказалось два
корня, то в этом случае должно быть две точки пересечения прямой у = х с кривой у = j(х)
для одной будут выполняться условия сходимости, а для другой — нет (если у =
j(х) не имеет разрывов). 5. Не сходимость итерационного
процесса уточнения корня может означать отсутствие корня или невыполнения
условий сходимости, в последнем случае можно попробовать изменить структуру
функции j(х), т.е. по другому
алгоритму привести исходное уравнение f(x) =0 к виду, удобному для
итераций. 6. Да, есть. При
"колебательном" приближении к корню можно контролировать величину
отрезка, где локализуется корень (он равен модулю разности двух соседних
приближений), а при одностороннем приближении в условия сходимости входит
сомножитель, зависящий от максимального значения производной j(х)
на участке. Особенности решения алгебраических уравнений 1. Алгебраические уравнения имеют
определенную структуру, благодаря чему можно строить более эффективные
алгоритмы. Кроме того, при решении алгебраических уравнений появляется
возможность оценивать количество корней заданного вида (например,
положительных, отрицательных, попадающих в заданный интервал), область
существования корней. 2. Нет, не всегда. Метод понижения
порядка не требует предварительного отделения корней, найденный корень на
каждом этапе будет определяться начальным приближением, которое выбирается
произвольно (не следует забывать, что от близости начального приближения к
корню существенно зависит сходимость метода). 3. С помощью правила Декарта можно
определить точно количество положительных корней только в том случае, если их
количество получилось равное 1 или 0. 4. Если полином Р(х) в левой
части уравнения является полным, то число действительных отрицательных корней
определится по числу постоянств знаков в последовательности коэффициентов
полинома Р(х). 5. Общее число корней
алгебраического уравнения равно наивысшей степени полинома Р(х) левой
части уравнения. Сумма положительных и отрицательных корней не
обязательно равна наивысшей степени полинома в левой части уравнения, так как
могут существовать и сопряженные комплексные корни. Метод золотого сечения 1. Нет, не может. Погрешность задана
в относительных единицах величины интервала, следовательно, при уменьшении интервала
уменьшится и величина погрешности и затраты на поиск не изменятся. 2. Если функция непрерывна и
одноэкстремальна, то метод гарантированно даст решение. 3. Вид функции, если она
удовлетворяет требованиям метода (см. предыдущий вопрос и ответ), не оказывает
влияния на процесс нахождения решения. 4. Следующий отрезок берется тот,
внутри которого находится максимальное (при поиске максимума) на текущем этапе
поиска значения функции. Отрезок, внутри которого находится максимум, определяется
простым сравнением значений критерия в точках. 5. Метод золотого сечения
обеспечивает наиболее эффективный поиск экстремума функции для произвольных
непрерывных функций. 6. Для повышения точности нахождения
решения необходимо прося уменьшить задаваемую погрешность. 7. Вообще говоря, вид функции никак
не влияет на процесс нахождения решения, если функция имеет один экстремум. 8. По правилу золотого сечения на
каждом шаге делится тот интервал внутри которого на данном этапе находится
искомый экстремума 9. Золотым сечением называется такое
деление отрезка на две неравные части, при котором отношение меньшей части к
большей равно отношению большей части ко всему отрезку. 10. На каждом шаге, кроме
первого, когда необходимо дважды вычислить значение функции, функция
вычисляется только один paз. Так происходит потому, что уже имеющаяся точка на участке от предыдущего
этапа является одной из точек золотого сечения отрезка. Глава 3. Алгебра матриц § 1. Основные определения Система тп чисел
(действительных или комплексных), расположенных в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов, (1) называется матрицей
(числовой). Строки и столбцы таблицы (1)
называются рядами матрицы. Числа aij (i=
1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n), составляющие данную матрицу, называются ее элементами. Здесь первый индекс i обозначает
номер строки элемента, а второй j—номер его столбца. Для матрицы (1) часто употребляется сокращенная запись (i=1,2…, m; j=1,2…,n) или причем говорят, что матрица А имеет тип mХn. Если m=n, то матрица называется квадратной
порядка п. Если же т≠п, то
матрица называется прямоугольной. В
частности, матрица типа 1Хn
называется вектором-строкой, .а
матрица типа mXl—вектором-столбцом. Число (скаляр) можно
рассматривать как матрицу типа 1х1.
Квадратная матрица вида (2) называется диагональной и обозначается кратко так: . В случае , если ai=1 (i=1,2,…,n), то матрица (2) называется единичной и обозначается обычно буквой Е, т.е. введя символ Кронекера можно записать Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 0. Если
желают указать ещё число строк и столбцов нулевой матрицы, то употребляют
обозначение 0mn. С квадратной
матрицей A= связан определитель
(детерминант) Не следует отождествлять эти два понятия:
матрица представляет собой упорядоченную систему чисел, записанную в виде прямоугольной таблицы, а её определитель
detA есть, число, определимое
по известным правилам, а именно: Det A= (3) где, сумма (3) распространена на всевозможные перестановки (a1, a2, …, an) элементов 1,2 …, n
и, следовательно, содержит n!
слагаемых, причём n = 0, если перестановка
чётная, и n=1, если перестановка
нечётная. §2. Действия с матрицами А. Равенство матриц Две матрицы А=[aij] и B=[bij] считают равными: А=В, если они одного и того
же типа, т.е. имеют одинаковое число строк и столбцов, и соответствующие
элементы их равны, т.е. aij= bij. Суммой двух матриц А=[aij] и B=[bij] одинакового
типа называется матрица C=[cij] того же типа,
элементы которой cij равны суммам соответствующих элементов аij и
bij матриц А
и В, т.е. cij=aij+bij. Таким
образом, . Из определения суммы матриц непосредственно вытекают
следующие ее свойства: 1) А+(В+С)=(А+В)+С; 2) А+В=В+А; 3) А+0=А. Аналогично
определяется разность матриц В. Умножение матрицы на число Произведением, матрицы
А = [аij] на
число α ( или произведением числа α.
на матрицу А) называется матрица,
элементы которой получены умножением всех элементов матрицы А на число α,
т.е. Из определения
произведения числа на матрицу непосредственно вытекают следующие его свойства: 1)
2)
3)
α (βА)
=(αβ)А; 4)
(α+β) А =
αА+βА; 5)
α(А+В) =
αА+αВ (здесь А и В- матрицы; α и
β - числа).
Заметим, что если матрица А - квадратного порядка n, то detαA=αndetA. Матрица -А=(-1)*А называется противоположной.
Нетрудно видеть, что если матрицы А и В одинаковых типов, то А-В=А+(-В). Г. Умножение матриц Пусть и —матрицы типов соответственно т*п и p*q. Если
число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В, т.е. n=p, то для этих матриц
определена матрица С типа mxq,
называемая их произведением: , где cij=aij+ai2b2j+…+ainbnj ( i=1,2,…,m;
j=1,2,…,q). Из
определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить
элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки
первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить. Произведение АВ
имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в
столбцах матрицы В. В частности,
можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка. Пример 1. ; . =. Пример 2. =. Матричное произведение обладает сведущими свойствами: 1) A(BC)=(AB)C; 3) (A+B)C=AC+BC; 2) ∂(AB)=(∂A)B; 4)
C(A+B)=CA+CB. (A,B и C - матрицы; ∂-число). Равенства 1)-4)
понимаются в смысле, что если одна из их частей существует, то другая часть
также существует и они равны между собой. Произведение
двух матриц не обладает переместительным свойством, т.е., вообще говоря,
АВ≠ВА, в чём можно убедится на примерах. Пример 3. ; . Тогда т. е. здесь АВ≠ВА. Более того, может
даже случиться, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет
иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке,
смысла иметь не будет. Так, например,
если ;, то , а BA
не существует. В тех частых случаях, когда АВ=ВА, матрицы А и В называются перестановочными
(коммутативными). Так, например,
нетрудно убедиться, единичная матрица Е
перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причём АЕ = ЕА = А. Таким образом,
единичная матрица Е играет роль единицы при умножении. Если А и В -
квадратные матрицы одного и того же порядка, то
det(AВ) = det(ВA) = detА*detB. Эта формула вытекает из правила перемножения определителей. Например, для матриц, приведенных в примере 3, имеем: и § 3. Транспонированная матрица
Заменив в матрице типа m x n
строки соответственно столбцами, получим так называемую транспортированную матрицу A'=AT= типа n x
m. В частности, для
вектора-строки транспонированной матрицей является вектор-столбец a'= Транспонированная матрица обладает следующими свойствами: 1) дважды транспонированная
матрица совпадает с исходной: А"=[А']'=А; 2) транспонированная
матрица суммы равна сумме транспонированных матриц слагаемых, т. е. (А+В)'=А'+В'; 3) транспонированная
матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей,
взятому в обратном порядке, т. е. (АВ)'=В'А'. Действительно, элемент i-й строки и j-ro столбца
матрицы (АВ)' равен элементу j-й строки и i-го столбца матрицы АВ, т. е. aj1+aj2b2i+…+ajnbni Последнее выражение, очевидно, представляет собой сумму
произведений элементов i-й строки матрицы В'
на соответствующие элементы j-го столбца матрицы А', т. е. равно общему элементу матрицы В'А'. Если матрица А—квадратная, то, очевидно, det A' = detA
. Матрица A=[аij] называется симметрической, если она совпадает со
своей транспонированной, т. е. если А'=А. (1) Из равенства (1)
вытекает, что: 1) симметрическая матрица—квадратная (т=п)
и 2) элементы ее, симметричные
относительно главной диагонали, равны между собой, т. е. aij=aji Произведение C=AA' очевидно, представляет собой симметрическую матрицу, так как С= (АА')'=
(А')' А' = AA' =
С. Например, § 4. Обратная матрица Обратной матрицей
по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как
справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Для матрицы А обозначим обратную ей матрицу через А-1.
Тогда по определению имеем: АА-1=А-1А=Е где Е—единичная матрица. Нахождение
обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы. Квадратная матрица
называется неособенной, если определитель её отличен от нуля. В противном
случае матрица называется особенной, или сингулярной. Теорема. Всякая
неособенная матрица имеет обратную матрицу. Доказательство.
Пусть дана неособенная матрица п-го порядка
где det=A=∆≠0 Составим для матрицы А так
называемую присоединенную матрицу (2) где Аij
- алгебраические дополнения (миноры со
знаками) соответствующих элементов aij (i,j=1,2…,n). Заметим, что алгебраические
дополнения элементов строк помещаются в соответствующих столбцах, т. е.
произведена операция транспонирования. Разделим все элементы
последней матрицы на величину определителя матрицы А, т. е. на ∆: (3) Докажем, что матрица A* есть искомая обратная матрица: А*=А-1. Как
известно, 1) сумма произведений элементов
некоторого ряда (строки или столбца) определителя на алгебраические дополнения
этих элементов равна определителю и 2)
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е. (4) и (4') где На основании этих свойств, составляя произведение АА*, будем
иметь: (5) Итак, АА*=Е. Формулу (5) можно
вывести короче, если воспользоваться сокращенными обозначениями и Учитывая соотношение (4),
получим: Аналогично можно удостовериться, что A*A=Е. Следовательно, А*=А-1, т. е. (6) где ∆=detA. Для данной матрицы
А её обратная матрица А-1 единственна. Более того всякая правая
обратная (левая обратная) матрица матрицы А совпадает с её обратной матрицей А-1(если
последняя существует). Действительно, если АВ=Е, то, умножая это равенство слева на А-1, получим: А-1АВ=А-1Е или В=А-1 Аналогично доказывается, что если СА=Е, то С=А-1. Поэтому при проверке соотношения
(1) достаточно ограничиться лишь одним
равенством. Особенная
квадратная матрица обратной не имеет. Действительно, так как матрица А-
особенная, то detA=0. Из равенства (1)
имеем: detA*detA-1 =detE=1, т. е. 0=1?!, что невозможно. Утверждение доказано. Пример. Для матрицы найти обратную матрицу. Решение. Так как определитель то матрица А
неособенная. Составим присоединенную
матрицу Разделим все элементы матрицы А на ∆= 1 и получим: Укажем некоторые основные свойства обратной матрицы. 1.
Определитель
обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы.
Действительно, пусть А-1А=Е. Учитывая, что определитель произведения двух квадратных
матриц равен произведению определителей этих матриц, получим: detA-1detA=detE=l. Следовательно, 2. Обратная матрица произведения квадратных
матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном,
порядке, т. е. (AB)-1=B-1A-1. В самом деле, AB(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E и (B-lA-l)AB=B-l(A-lA}B=B-lEB=B-lB=E. Значит, В-1А-1 есть обратная матрица
для АВ. В
более общем случае (A1A2…Ap)-1=Ap-1Ap-1-1…A1-1. 3. Транспонированная обратная матрица равна
обратной от транспонированной данной матрицы: (A-1)'=(A')-1 Действительно, транспонируя основное соотношение A-1A=E,
получим: • (A-1A')=A'(A-1)'=E Отсюда, умножая последнее равенство слева на матрицу (A')-1,
будем иметь: (A')-1A'(A-1)'=(A')-1E или (A-1)'=(A')-1, что и требовалось доказать. С помощью обратной матрицы легко решаются уравнения AX=B и YA=B Действительно, если detA≠0, то X=A-1B
и Y=BA-1. Пусть А -
квадратная матрица. Если p
– натуральное число, то полагают: Дополнительно уславливаются, что А0=Е, где Е –
единичная матрица. Если матрица А неособенная, то можно ввести отрицательную
степень, определив её соотношением A-p=(A-1)p. Для степеней
матрицы с целыми показателями справедливы обычные правила: 1)
ApAq=Ap+q; 2)
(Ap)q=Apq. Неквадратную матрицу, очевидно, в степень возводить нельзя. Пример 1. Пусть тогда Пример 2. Найти Решение. Имеем: Если А и В –
квадратные матрицы одного же порядка, причём АВ=ВА, то справедлива формула бинома Ньютона §6. Рациональные функции
матрицы Пусть произвольная квадратная матрица порядка n. По аналогии с формулами элементарной
алгебры определяются целые рациональные функции матрицы X: P(X)=A0Xm+A1Xm+1+…+AmE ( правый
полином) P(X)=XmA0+Xm-1A1+…EAm ( левый полином ) где Аv(v=0,1, … , m) – матрицы типа mxn или соответственно типа nxm и E – единичная матрица порядка n. Вообще говоря, P(X)≠P(X). Можно ввести также дробные рациональные функции матрицы X, определив их формулами R1(X)=P(X)[Q(X)]-1 и R2(X)=[Q(X)]-1P(X), гдеP(X) и Q(X) – матричные полиномы и det[Q(X)]≠0. Пример. Пусть где Х – переменная матрица второго порядка. Найти Решение. Имеем: § 7. Абсолютная величина и норма матрица Неравенство А £ В (1) Между матрицами А = [aij] и B = [bij] одинаковых типов
обозначает, что aij £ bij (2) В этом смысле не всякие две матрицы сравнимы между собой.
Под абсолютной величиной (модулем) матрицы А = [aij] будем понимать матрицу ½ А ½=
[½aij½]
, где ½aij½- модули элементов матрицы
А. Если А и В матрицы,
для которых операции А + В и АВ имеют смысл, то: А) ½
А + В ½ £ ½ А½
+ ½ В ½ Б) ½
А*В½ £ ½ А½*½ В ½ В) ½ aА ½ = ½ a ½*½А½,
где a -
число В частности
получаем: ½Ар½ £ ½А½р , где р-
натуральное число Под нормой матрицы
А = [aij] понимается действительное число , удовлетворяющее условиям: А) ³
0, причем = 0 тогда и только тогда, когда А = 0 Б) ( a -
число) и, в частности, = В) Г) (А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют
смысл). В частности, для квадратной матрицы имеем: , где р- натуральное число. Назовем норму
канонической, если дополнительно выполнены условия: д) если А = [aij], то ½aij½£ , причем для скалярной матрицы А = [a11],
= ½a11½ е) из неравенства ½
А ½ £ ½ В ½(
А и В – матрицы) следует неравенство В дальнейшем для
матрицы А = [aij],
произвольного типа рассмотрим три нормы: 1)
( m - норма) 2)
( l - норма) 3)
( k - норма) Пример: пусть имеем: » 16,9 § 8. Треугольные матрицы Квадратная матрица называется треугольной,
если элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Например где tij
= 0 для i > j, есть верхняя треугольная
матрица. Аналогично где tij
= 0 для j > i, есть нижняя треугольная
матрица. Диагональная матрица является частным
случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы. Определитель треугольной
матрицы равен произведению ее диагональных элементов, а именно: если Т = [ tij]-треугольная матрица, то очевидно, что det Т = t11* t22* tnn.
Поэтому треугольная матрица является неособенной только тогда, когда все ее
диагональные элементы отличны от нуля. Можно доказать, что: 1) сумма и произведение треугольных матриц одинакового
типа и одной и той же структуры, т. е. одновременно только верхних или только
нижних, есть также треугольные матрицы того же типа и общей структуры; 2) обратная матрица неособенной треугольной матрицы есть
также треугольная матрица того же типа и структуры. Пользуясь последним
обстоятельством мы легко можем обращать треугольную матрицу. Пример 1. Обратить матрицу Решение. Положим Перемножая матрицы А и А-1,
будем иметь: T11 = 1
t11 + 2t21 + 3t31 = 0
T11 + 2t21 = 0 2t22 + 3t32 = 0 2t22 = 1 3t33
= 1 Отсюда последовательно находим: T11 = 1 t21 = t22 = t31 = 0 t32
= t33 =
Следовательно, Имеет место важная теорема. Теорема. Всякую квадратную матрицу имеющую отличные от нуля главные
диагональные миноры D1 = а11 ¹ 0 Dn = | A| ¹ 0 можно представить в виде произведения
двух треугольных матриц различных структур (нижней и верхней), причем его разложение будет
единственным, если заранее зафиксировать диагональные элементы одной из
треугольных матриц (например, положить их равными 1). Пример 2. Представить матрицу в виде произведения двух треугольных
матриц и Имеем Откуда
T11 = 1
t11r12 = -1 t11r13 = 2
T21 =
-1 t21r12 + t22 = 5 t21r13 + t22r23 = 4 T31 = 2
t31r12 + t32 = 4 t31r13 + t32r23 + t33 = 14 Решив систему, получим: T11 = 1
T21 =
-1 T31 = 2 T22 = 4
T32 = 6
T33 = 1 r12 = -1 r13 =
2 r23 = Таким образом, и Пользуясь представлением квадратной
матрицы A (det А ¹ 0) в виде произведения двух треугольных матриц, можно
указать еще один способ вычисления обратной матрицы А-1, а именно, если А = Т1Т2, то А-1
= Т1-1 Т2-1 § 9. Элементарные преобразования матриц Следующие преобразования матриц носят
названия элементарных. 1) перестановка двух строк или столбцов; 2) умножение всех элементов какой-либо строки
(столбца) на одно и то же число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам
какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на одно и то же число. Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из
другой с помощью конечного числа элементарных преобразований. Легко убедиться, что каждое
элементарное преобразование квадратной матрицы А равносильно умножению
последней на некоторую неособенную матрицу. При этом, если преобразование
производится над строками (столбцами) матрицы А, то множитель должен быть
левым (правым) и представлять собой результат применения соответствующего
элементарного преобразования к единичной матрице. § 10. Вычисление определителей Элементарные преобразования матрицы дают
наиболее удобный способ вычисления определителя этой матрицы. Пусть, например, (1) Предполагая, что а11 ¹ 0, будем иметь: (2) и ( I, j =2,3,…,n) К определителю Dn-1
применяем тот же прием. Если все элементы , то окончательно
находим: (3) Если в каком промежуточном определителе Dn-к левый верхний элемент , то следует
переставить строки или столбцы определителя
Dn-к так,
чтобы нужный нам элемент был отличен от нуля (это возможно всегда, если
определитель D ¹ 0). Лабораторная работа № 10. “Работа с матрицами” Цель: Уметь находить матрицы при умножении и
транспонировании, сложении и вычитании. Вычислять определители. Задание. Решить матричное уравнение α*AX = β*B , где A, X,
B – квадратные матрицы, α , β – скалярные выражения, N1 – номер
группы (например, 99), N2 – номер студента по журналу, [1] – элементы матрицы равные единице, Е –
единичная матрица Варианты заданий Вариант №1 A = (E + C)T *([1] – D), B = [1] + CT *[1] – D – CT
*D , α = (100*N1 + N2)-1 , β = 1 Вариант №2 A = (E – C)*([1] – D)T , B = CDT+ [1] – DT - C[1] , α = 1 , β= (N1 + 1000N2), Вариант № 3 A = (E – CT)*([1] – D) , B = CD + [1] – CT[ 1] – D , α = 1
, β = 100N1 + N2
Вариант № 4 A = (E – C)T([1] – DT) , B = CT DT + [1] – CT [-1] – D , α = (N1
+ 1000N2)-1 ,
β = 1 Вариант № 5 A=[1]C- DT
+ [1] – DTC, B=([1] – D)T (E + C) , α= 10 ,
β= (N1 + 0.001N2) , Вариант № 6 A = CDT + [1] – CT [1] – DT
, B = (E – C) ([1] – DT) , α = (N1 + 0.01N2)-1 ,
β = 1 Вариант № 7 A = DCT + [1] – D – [1] CT , B = ([1]
– D) (E – C)T , α = 1 ,
β = (0.001N1 + N2) A = DTC + [1] – DT – [1] C , B= ([1] – D)T (E – C)T , α = (N1 + 0.01N2)-1 ,
β = 1 Вариант № 9 A = (C – [1]) (E + D3 - 27D2 + 180D – 324E) , B = (CT
–[1])T , α = 1 , β = (0.001N1 + N2)
Вариант № 10 A = (D + E)T([1] – D3 + 27D2
– 180D + 324E) , B = D[1] + [1] , α = 1 , β = (100N1 +N2)
Вариант № 11 A = (C + D3 – 27D2 +180D – 324E) (D3
– 27D2+ 180D – 323E)T , B = C ,
α = 1, β = (0.001N1
+N2) Вариант № 12 A = (C + E)T (323E – D3 +27D2
– 180D) , B = C + E , α =1 , β
= (N1 + 0.01N2) Вариант № 13 A = C6([1] + E) ,
B = (C7 + [1] + E)T , α = 1 , β = (N1
+ 0.01N2) Вариант № 14 A = [1] + E , B =
(2[1] – [1]C7 +E)T
, α = 1 , β = (100N1 + N2) Вариант № 15 A = DTC + [1] – DT – [1] C , B= ([1] – D)T (E – C)T , α = (N1 + 0.01N2)-1 ,
β = 1 Пример выполнения задания Доказать,
что матрица P идемпотентна. Вычислите ее определитель. Показать, что матрица
I=2P-E инволютивна. Вычислите ее определитель и обратную матрицу. -
Матрица P называется идемпотентной, если - P*P=P -
Матрица I называется инволютивной, если
- I*I=E (E - единичная
матрица) Лабораторная работа № 11. «Обращение с помощью треугольных матриц» Цель: Уметь обратить матрицу методом разбиения ее на производные
двух треугольных матриц. Задание: Обратить
матрицу методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц. Варианты заданий 1. 2. 3. 4. 5. 1
4 3 -2 1
0 -3 3
7 -1 0
1 4
6 -2 2 1
0 -3 3
7 -1 2
-3 2 -1
2 4 10 1 3 -1
1 -1 2
2 4 -1
2 2 2
1 2
4 -5
6. 7. 8. 9. 10. -1
0 1 2
3 1 2 7
-13 -1 -2
3 4 6
-8 2 -1
2 -1 2
4 -1 0
5 2 3
5 -9
13 2 2 4
1 5 3
0 5 13
21 1 4
-1 -11
11 9 11. 12. 13 14. 15. 4
11 3 2 3
1 9 8
7 -1 -2
3 1
2 -3 1 6
1 4 -1
0 2 7
3 2 3
5 2
1 1 2 2
16 0 1
2 4 3
5 1 4
-1 -2
3 1 «Метод контурных токов» Цель: Используя
матричные операторы и второй закон Кирхгофа найти ток в цепях. Задание: Найти
ток в ветвях, используя рис.1. Рис. 1. Тестовая
схема для расчета по методу контурных токов Варианты заданий Таблица №1. U[6] = 10. Матрица инциденций берется из таблицы № 2. Варианты R1 R2 R3 R4 R5 R6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 1 3 3 4 5 6 1 2 4 4 5 6 1 2 3 5 5 6 1 2 3 4 6 6 1 2 3 4 5 7 5 3 4 6 2 1 8 4 6 2 1 3 5 9 5 6 4 2 1 3 10 3 2 5 6 1 4 11 2 6 5 3 4 1 12 6 1 5 2 3 4 13 2 1 3 5 6 4 14 4 6 5 3 2 1 15 6 4 1 5 3 2 Теоретическая часть Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа
(законе напряжений) для независимых контуров. В предположении, что цепь не
содержит источников тока или последние заменены эквивалентными источниками ЭДС,
он записывается в виде матричного соотношения
(SRST)X = SU
(1) где S — матрица
контуров (матрица инциденций), описывающая связь с контурами; R — диагональная матрица сопротивлений
ветвей; SТ
транспонированная матрица S; Х- вектор контурных токов; U - вектор источников ЭДС ветвей. Из (1) можно найти неизвестные токи в контурах, а по ним — в
ветвях. При условии, что элементы матрицы R не зависят от токов, выражение (1)
представляет собой систему линейных уравнений. Введем обозначение для матрицы
коэффициентов системы
А = SRST (2) И столбца свободных членов (вектора ЭДС контуров)
С = SU, (3) Тогда с учетом этих обозначений (1) запишется в виде
ах = С. (4) Его решение имеет вид:
X = А-1 С (5) Для получения токов в ветвях
(вектор Z) достаточно умножить X
слева на транспонированную матрицу инциденций
(матрицу контуров):
Z = STX. (6) Пример выполнения задания Обратимся к примеру —
схеме, изображенной на рис. 1. Данная схема имеет шесть ветвей с включенными в
них сопротивлениями, один источник ЭДС и три независимых контура. Точный подсчет
числа ветвей и контуров необходим, так как при использовании матричных
операторов требуется точно указать размерности всех массивов. где К — число ветвей схемы; L — число
независимых контуров, считываемое по формуле L = K-M + 1(M- число узлов схемы).
Поэтому в данном случае для расчета конкретной схемы, изображенной на рис. 1, К
= 6 и L = 3: Важное значение имеет методика составления матрицы
инциденций рассмотрение которой проведем на примере схемы, изображенной на рис.
1. Вначале следует
выбрать положительные направления токов в ветвях, выделить
независимые контуры и установить
направления их обхода (задать положительное направление
контурных токов). На схеме
принятые направления изображены стрелками. Матрица инциденций заполняется по
следующему правилу: каждый ее элемент Sij соответствующий
i-й строке (i -му контуру) и j
-му столбцу (j –й
ветви) и равен:
«Расчет цепи постоянного тока,
содержащей диод»
Пример выполнения работы
Б. Сумма и разность матриц
§5 Степени матрицы.
Вариант № 8
Лабораторная работа № 12
0, если j -я ветвь не входит в i -й контур;
Sij = 1, если направление тока в ветви совпадает с направлением тока в контуре;
-1, если эти токи противоположны.
Матрица инциденций рассматриваемого примера соответствует табл. 2.
Таблица 2
|
№ контура |
№ ветви |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
I |
1 |
-1 |
- 1 |
0 |
0 |
0 |
|
II |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
|
III |
0 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
Вторая строка ее, например, отражает тот факт, что во второй контур не входят ветви 1, 3, 5, ток в ветвях 2 и 4 совпадает с принятым направлением контурного тока, а в шестой ветви имеет противоположное направление.
Следующим шагом является подготовка диагональной матрицы -матрицы сопротивлений ветвей. Она в нашем случае имеет размерность 6x6, диагональные элементы ее равны сопротивлениям ветвей. R = {6, 2, 1, 5, 4, 3}
Необходимо также задать компоненты вектора ЭДС ветвей, но задача облегчается, так как источник ЭДС имеется только в шестой ветви. U[6] = 10.
Произведем расчет и по окончании вычислений получим:
Токи в ветвях
-.413223
-1.05785
-.363636
-.694215
-.776859
1.4710724
§ 1. Определения, обозначения, основные сведения
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.
Прямые методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно (без ошибок округления), то решение заданной системы также получается точным. К прямым методам относятся: метод Крамера, метод Гаусса, метод квадратного корня и т.д.
Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по единообразной схеме. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации, градиентные методы и их модификации.
Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженным и матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.
Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.
К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.
Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными
§2. Решение системы линейных уравнений по способу Гаусса
Способ Гаусса является одним из наиболее распространенных способов решения систем линейных уравнений. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он является точным, т.е. если точно выполнить все требуемые в нем действия, то мы получим точное решение системы. Практически, впрочем, точного решения получить не удается, поскольку арифметические действия далеко не всегда могут быть выполнены вполне точно.
Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.
Способ Гаусса может быть реализован в виде различных вычислительных схем, в основе которых лежит одна и та же идея последовательного исключения неизвестных.
2.1. Схемой единственного деления.
Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.
Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.
1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a11¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.
Найдем величины qi1 = ai1 /a11 (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага.
Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, …, qn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 ,
a22(1)x2 + a23(1)x3 + … + a2n(1)xn = b2(1) ,
a32(1)x2 + a33(1)x3 + … + a3n(1)xn = b3(1) ,
. . . . . . . . . . . . . . .
an2(1)x2 + an3(1)x3 + … + ann(1)xn = bn(1) .
в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам
aij(1) = aij − qi1a1j , bi(1) = bi − qi1b1.
2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, …, n.
Пусть a22(1) ≠ 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага qi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, …, n)
и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, …, qm2. В результате получим систему
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1,
a22(1)x2 + a23(1)x3 + … + a2n(1) = b2(1),
a33(2)x3 + … + a3n(2)xn = b3(2),
. . . . . . . . . . . . . . . . .
an3(2)x3 + … + ann(2)xn = bn(2) .
Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам
aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) , bi(2) = bi(1) – qi2b2(1).
Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.
k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага
qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k + 1, …, n)
и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk+1,k, qk+2,k, …, qnk.
После (n - 1)-го шага исключения получим систему уравнений
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 ,
a22(1)x2 + a23(1)x3 + … + a2n(1)xn = b2(1) ,
a33(2)x3 + … + a3n(2)xn = b3(2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ann(n–1)xn = bn(n–1) .
матрица A(n-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.
Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn–1, xn–2, …, x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам
xn = bn(n–1) / ann(n–1)
xk = (bn(k–1) – ak,k+1(k–1)xk+1 – … – akn(k–1)xn) / akk(k–1), (k = n – 1, …, 1).
Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.
2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора).
На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам
aij(k) = aij(k–1) − qikakj , bi(k) = bi(k–1) − qikbk(k–1) , i = k + 1, …, n.
Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik.
В методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу гарантируется, что |qik| ≤ 1 для всех k = 1, 2, …, n – 1 и i = k + 1, …, n. Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k + 1, …, n. Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления.
2.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).
В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.
На 1-м шаге метода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. На k-м шаге метода среди коэффициентов aij(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjk(k-1). Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i = k + 1, …, n.
На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1.
Вычислительную схему удобно иллюстрировать на конкретном примере. Поэтому ограничимся рассмотрением системы четвертого порядка. Те же приемы могут быть применены и в любом другом случае.
Пример. Решим систему уравнений
2х1+ 3х2 + 11хз + 5х4 = 2,
- х1+ х2 + 5хз + 2х4 = 1,
2х1 + х2 + 3хз + 2х4 = 3
х1+ х2 + 3хз + 4х4 = 3
Первое уравнение разделим на а11 = -2. Уравнение примет вид
х1 = -1,5х2 -5,5х3 - 2,5х4 + 1.
С помощью этого уравнения надо х1 исключить из оставшихся трех уравнений. Подставив значение х1 во второе уравнение, получим
(-1,5*1+1)х2 + (-5,5*1+5)хз + (-2,5*1+2)х4 +(1*1-1) = 0, т.е. -0,5х2 - 0,5хз - 0,5х4 = 0
Подставляя х1, в третье и четвертое уравнения, находим
(-1,5*2+1)х2 + (-5,5*2+3)хз + (-2,5*2+2)х4 + (1*2 + 3) = 0
(-1,5*1+1)х2 + (-5,5*1+3)хз + (-2,5*1+4)х4 + (1*1+ 3) = 0
т. е. мы приходим к системе трех уравнений вида:
-0,5х2 - 0,5хз - 0,5х4 = 0,
-2х2 - 8хз - 3х4 = 5
-0,5х2 - 2,5хз + 1,5х4 = 4
С этой системой нужно проделать ту же операцию. Разделим первое уравнение на = 0,5. Тогда
х2 = - хз - х4
Умножаем полученное значение х2 на и и подставляем во второе и третье уравнения:
((-1)*(-2) + (-8))хз + ((-1)*(-2) + (-3))х4 + (0*(-2)+5) = 0
((- 1)*(- 0,5) + (- 2,5))хз + ((- 1)*(- 0,5) + 1,5)х4 + (0*(-0,5)+4) = 0
или
-6хз – х4 + 5 = 0
-2хз + 2х4 + 4 = 0
Разделив первое уравнение на -
хз = -(1/6)х4 + 5/6.
Умножая его на
((- 1/6)*(- 2) + 2)х4 + ((5/6)*(- 2) + 4) = 0
(7/3)х4 + 7/3 = 0
откуда делением на 4 = -1.
Итак, в результате вычислений, составляющих прямой ход, мы пришли к системе, имеющей в вид
Х1 = -1,5х2 - 5,5хз - 2,5х4 + 1
Х2 = -хз -х4
Хз = -(1/6)х4 + 5/6
Х4 = -1
откуда легко находим (вычисления, составляющие обратный ход, мы опускаем ввиду их простоты) значения всех четырех неизвестных х4 = -1, х3 = 1, х2 = 0, х1 = -2. Подстановка полученных значений в первоначальную систему показывает, что неизвестные найдены правильно.
В рассмотренном примере вычисления проводились так, чтобы проиллюстрировать теоретические выкладки. При решении систем следует располагать вычисления в виде определенной вычислительной схемы.
Процесс нахождения значений неизвестных по способу Гаусса распадается, таким образом, на два этапа. Первый этап состоит в приведении системы к треугольному виду. Его принято называть прямым ходом. Определение неизвестных по полученным формулам составляет второй этап вычислительного процесса, который называют обратным ходом.
«Расчет цепи постоянного тока»
Цель: уметь вести расчет цепи постоянного тока по методу Гаусса.
Задание: Дана линейная электрическая цепь
Требуется:
a)
b)
c)
d)
Расчётные данные.
1. r1=r3=r5=10.4 (Ом)
r2=r4=r6=12.8 (Ом)
2. J=5 (А)
3. E1=40 (B) E2=15 (B)
Варианты заданий
Используя схему Гаусса, решить систему уравнений с точность до 0.001.
1. 1.84x1 +2.25x2 +2.53x3 = -6.09; 16. 3.19x1 +2.89x2 +2.47x3 =33.91;
2.32x1 +2.60x2 +2.82x3 = -6.98; 4.43x1 +4.02x2 +3.53x3 =47.21;
1.83x1 +2.06x2 +2.24x3 = -5.52. 3.40x1 +2.92x2 +2.40x3 =32.92.
2. 2.58x1 +2.93x2 +3.13x3 = -6.66; 17. 2.57x1 +2.26x2 +1.84x3 =28.66;
1.32x1 +1.55x2 +1.58x3 = -3.58; 4.47x1 +4.03x2 +3.57x3 =50.27;
2.09x1 +2.55x2 +2.34x3 = -5.01. 4.89x1 +4.40x2 +3.87x3 =55.03.
3. 2.18x1 +2.44x2 +2.49x3 = -4.34; 18. 2.83x1 +2.50x2 +2.08x3 =33.38;
2.17x1 +2.31x2 +2.49x3 = -3.91; 3.00x1 +2.55x2 +2.07x3 =33.59;
3.15x1 +3.22x2 +3.17x3 = -5.27. 3.72x1 +3.21x2 +2.68x3 =43.43.
4. 1.54x1 +1.70x2 +1.62x3 = -1.97; 19. 3.78x1 +3.44x2 +3.02x3 =46.81;
3.69x1 +3.73x2 +3.59x3 = -3.74; 4.33x1 +3.88x2 +3.39x3 =53.43;
2.45x1 +2.43x2 +2.25x3 = -2.26. 4.76x1 +4.24x2 +3.71x3 =58.73.
5. 1.53x1 +1.61x2 +1.43x3 = -5.13; 20. 4.59x1 +4.24x2 +3.82x3 =59.54;
2.35x1 +2.31x2 +2.07x3 = -3.69; 4.83x1 +4.36x2 +3.88x3 =62.33;
3.83x1 +3.73x2 +3.45x3 = -5.98. 4.06x1 +3.53x2 +3.01x3 =52.11.
6. 2.36x1 +2.37x2 +2.13x3 =1.48; 21. 4.56x1 +4.20x2 +3.78x3 =61.86;
2.51x1 +2.40x2 +2.10x3 =1.92; 3.21x1 +2.73x2 +2.25x3 =42.98;
2.59x1 +2.41x2 +2.06x3 =2.16. 4.58x1 +4.04x2 +3.52x3 =61.67.
7. 3.43x1 +3.38x2 +3.09x3 =5.52; 22. 3.75x1 +3.39x2 +2.97x3 =53.38;
4.17x1 +4.00x2 +3.65x3 =6.93; 4.18x1 +3.70x2 +3.22x3 =59.28;
4.30x1 +4.10x2 +3.67x3 =7.29. 4.43x1 +3.88x2 +3.36x3 =62.62.
8. 3.88x1 +3.78x2 +3.45x3 =10.41; 23. 2.95x1 +2.58x2 +2.16x3 =44.16;
3.00x1 +2.79x2 +2.39x3 =8.36; 5.11x1 +4.62x2 +4.14x3 =46.68;
2.67x1 +2.37x2 +1.96x3 =7.62. 4.38x1 +3.82x2 +3.30x3 =65.34.
9. 3.40x1 +3.26x2 +3.90x3 =13.05; 24. 2.93x1 +2.55x2 +2.14x3 =46.41;
2.64x1 +2.39x2 +1.96x3 =10.30; 3.47x1 +2.98x2 +2.50x3 =54.78;
4.64x1 +4.32x2 +3.85x3 =17.89. 4.78x1 +4.22x2 +3.70x3 =75.81.
10. 2.53x1 +2.36x2 +1.93x3 =12.66; 25. 3.74x1 +3.36x2 +2.94x3 =63.26;
3.95x1 +4.11x2 +3.66x3 =21.97; 4.02x1 +3.51x2 +3.04x3 =67.51;
2.78x1 +2.43x2 +1.94x3 =13.93. 4.18x1 +3.61x2 +3.09x3 =70.03.
11. 2.16x1 +1.96x2 +1.56x3 =13.16; 26. 4.07x1 +4.28x2 +3.87x3 =84.43;
3.55x1 +3.23x2 +2.78x3 =21.73; 5.30x1 +4.79x2 +4.32x3 =95.45;
4.85x1 +4.47x2 +3.97x3 =29.75. 5.11x1 +4.54x2 +4.03x3 =91.69.
12. 2.69x1 +2.47x2 +2.07x3 =19.37; 27. 4.90x1 +4.50x2 +4.09x3 =94.18;
2.73x1 +2.39x2 +1.92x3 =19.43; 3.79x1 +3.27x2 +2.81x3 =71.57;
2.93x1 +2.52x2 +2.02x3 =20.80. 4.01x1 +3.43x2 +2.91x3 =75.45.
13. 3.72x1 +3.47x2 +3.06x3 =30.74; 28. 4.25x1 +3.84x2 +3.43x3 =86.07;
4.47x1 +4.10x2 +3.63x3 =36.80; 3.86x1 +3.34x2 +2.87x3 =77.12;
4.96x1 +4.53x2 +4.01x3 =40.79. 5.40x1 +4.82x2 +4.30x3 =108.97.
14. 4.35x1 +4.39x2 +3.67x3 =40.15; 29. 3.35x1 +2.94x2 +2.53x3 =70.69;
4.04x1 +3.65x2 +3.17x3 =36.82; 5.41x1 +4.88x2 +4.41x3 =115.38;
3.14x1 +2.69x2 +2.17x3 =28.10. 3.88x1 +3.30x2 +2.78x3 =81.07.
15. 4.07x1 +3.79x2 +3.37x3 =40.77; 30. 3.05x1 +2.64x2 +2.23x3 =67.17;
2.84x1 +2.44x2 +1.95x3 =27.68; 4.14x1 +3.61x2 +3.14x3 =91.43;
4.99x1 +4.50x2 +3.97x3 =49.37. 5.63x1 +5.03x2 +4.52x3 =125.40.
Теоретическая часть
По закону Кирхгофа сумма падения напряжения вдоль любого замкнутого контура равна нулю. При этом падение напряжения - считается положительным, если направление обхода совпадает с направлением тока, и отрицательным, если направление обхода противоположно направлению тока. Падение напряжения на источнике тока равно отрицательному значению ЭДС в этом направлении. Для вычисления значения контурных токов удобно использовать программу для ЭВМ, использующую один из методов решения систем линейного уравнения.
Пример выполнения задания.
Пример. Программа на MathCade имеет следующий вид:
Задание 1. Законы Кирхгофа и метод контурных токов.
a) уравнений по I и II законам Кирхгофа для данной цепи:
I2-I4-I1=0 (A)
I5+I3-I2=0 (B)
I6+I1-I3=0 (C)
I2*r2+ I4*r4+ I5*r5-UJ=E1+E2
I1*r1 - I6*r6 - I4*r4= -E1
-I3*r3 - I6*r6 + I5*r5= E2
b) контурных токов для определения токов в ветвях. Для этого запишем фундаментальную систему уравнений характерную для данного метода, выбрав контура и определив в них контурные токи. Определим также E11=E1+E2+UJ E22= -E1= -40 E33=E2=15
|
I |
II |
III |
|
I22 |
|
I11 |
|
I333 |
I11*r11 + I22*r12 +I33*r13=E11
I11*r21 + I22*r22 +I33*r23=E22
I11*r31 + I22*r32 +I33*r33=E11
Определим общие и взаимные сопротивления
r12 = r21 = -r4 = -12,8 (Ом) r11=r2+r4+r5=36 (Ом)
r23 = r32 = r6 =12,8 (Ом) r22=r1+r4+r6=36 (Ом)
r31 = r31 = r5 =10,4 (Ом) r33=r3+r6+r5=33,6 (Ом)
При этом I2=J а значит можно исключить 1-ое уравнение
Произведём численные расчеты с учётом вышесказанного
Теперь рассчитаем UJ (Вольт), используя четвёртое уравнение системы по Кирхгофу:
После этого, имеем право рассчитать тепловой баланс цепи и погрешность вычислений
1.
2.
Погрешность вычислений составляет
Ответ: I1=1.221 I2=5 I3=1.567 I4=3.779 I5=3.433 I6=0.346 (A)
Задание 2. Метод узловых потенциалов. Заземлим точку D, при этом потенциал φd=0
Запишем фундаментальную систему уравнений (*)
φa*g11+φb*g12+φc*g13=J11
φa*g21+φb*g22+φc*g23=J22
φa*g31+φb*g32+φc*g33=J33
J11 = Ja = J-E1*g4 J22 = Jb = E2*g5-J J33 = Jc =0
Проводимости: g2 = 0
g11 = g2+g1+g4 = g1+g4 g22 = g2+g5+g3 = g5+g3 g33 = g1+g6+g3
g12= g21 =0 g13= g31 = -g1 g23= g32 = -g3
Согласно закону Ома имеем:
Проводимости
Решая систему
…получим
Соответственно токи имеют следующие величины (Ампер)
Потенциальная диаграмма
φn = 0
φa = φn-I2*r2 = -64 B φc = φa – I1*r1 = -76.688 B φd = φc+I6*r6 = -72.336 B
φm = φd-I5*r5 = -78 B φb = φm+E2 = -93.008 B
φn =UJ-φb = -0,028
Ответ: I1=1.224 I2=5 I3=1.567 I4=3.776 I5=3.432 I6=0.344 (A)
Задание 3. Метод эквивалентного генератора. Уберем сопротивление r1. Найдем ток I1
По II закону Кирхгофа
Для определения I66 воспользуемся методом контурных токов
Поскольку в 3-ем контуре находится источник тока – исключим 1-ое уравнение. Решая второе получим
Ответ: I1=1.224 (A)
§3. Решение системы линейных уравнений по методу Зейделя
Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений
Ax = b
с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду
x = Bx + c.
Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j = 1, 2, …, n), c – вектор-столбец с элементами cij (i = 1, 2,.. n)
В развернутой форме записи система имеет следующий вид:
x1 = b11x1 + b12x2 + b13x3 + … + b1nxn + c1
x2 = b21x1 + b22x2 + b23x3 + … + b2nxn + c2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + … + bnnxn + cn
Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.
Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1:
x1 = a11–1 (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn),
из второго уравнения – неизвестное x2:
x2 = a21–1 (b2 – a22x2 – a23x3 – … – a2nxn),
и т. д. В результате получим систему
x1 = b12x2 + b13x3 + … + b1,n–1xn–1 + b1nxn+ c1
x2 = b21x1 + b23x3 + … + b2,n–1xn–1 + b2nxn+ c2 ,
x3 = b31x1 + b32x2 + … + b3,n–1xn–1 + b3nxn+ c3 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + … + bn,n–1xn–1 + cn
в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам
bij = –aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, …, n, j ≠ i)
Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.
3.1. Описание метода.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы
0 0 0 … 0 0 b12 b13 b1n
b21 0 0 … 0 0 0 b23 b2n
B1 = b31 b32 0 0 , B2 = 0 0 0 … b3n
. . . . . . . . . . . .
bn1 bn2 bn3 0 0 0 0 … 0
B = B1 + B2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству x = B1x + B2x + c .
Выберем начальное приближение x(0) = [x1(0), x2(0), …, xn(0)]. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B2 и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение
x(1) = B1x(0) + B2x(1)
Подставляя приближение x(1), получим
x(2) = B1x(1) + B2x(2)
Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x(0), x(1), …, x(n), … приближений к вычисляемых по формуле
x(k+1) = B1(k+1) + B2(k) + c
или в развернутой форме записи
x1(k+1) = b12x2(k) + b13x2(k) + … + b1nxn(k) + c1 ,
x2(k+1) = b21x1(k+1) + b23x3(k) + … + b2nxn(k) + c2 ,
x3(k+1) = b31x1(k+1) + b32x2(k+1) + + b3nxn(k) + c3 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn(k+1) = bn1x1(k+1) + bn2x2(k+1) + bn3x3(k+1) + … + + cn .
Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим
xi(k+1) = xi(k) – aii–1(∑j=1i–1 aijxj(k+1) + ∑j=1n aijxi(k) – bi).
Тогда достаточным условием сходимости метода Зейделя будет
∑j=1, j≠i n | aij | < | aii | (условие доминирования диагонали).
3.2. Метод Зейделя в матричной форме
Запишем систему в матричной форме:
А*Х=В (1)
где А — матрица коэффициентов при неизвестных исходной системы, В — вектор-столбец свободных членов, X — вектор-столбец неизвестных. Обозначим, как принято в алгебре, через АТ результат транспонирования матрицы А. Умножим левую и правую части системы (2.22) слева на матрицу АТ:
АТ *AX = АТ*B
Обозначим произведение АТ *A через С и АТ*B через D. Преобразованная система теперь имеет вид: C*X = D. (2)
Такого рода систему принято называть нормальной. Нормальные системы обладают рядом «хороших» свойств, среди которых, в частности, такие:
- матрица С коэффициентов при неизвестных нормальной системы является симметрической
(т. е. aij= aji, i,j = 1, 2,..., n)
- все элементы главной диагонали матрицы С нормальной системы положительны
(т. е. aij >0, i=1, 2, ...n).
Последний факт дает возможность «автоматически» приводить нормальную систему (1) к виду:
(i = 1, 2, .... n) (3)
где
и (4)
Целесообразность осуществления описанных преобразований вытекает из того, что имеет место
Теорема. Итерационный процесс Зейделя для приведенной системы (3), эквивалентной нормальной системе (2), всегда сходится к единственному решению этой системы при любом выборе начального приближения.
Пример:
Х1 + Х2 + Хз = 3
2Х1 + Х2 + Хз = 4
Х1 + 3 Х2 + Хз =5.
Для заданной системы:
Вычислим:
Таким образом, нормальная система, полученная из заданной системы, имеет вид:
6x1 + 6х2 + 4хз = 16
6x1 + 11х2 + 5хз = 22
4x1 + 5 х2 + 3хз = 12
Приведенная система, эквивалентная этой нормальной системе, будет выглядеть так:
x1 = - х2 - 0,6667хз + 2,6667
х2 = - 0,5455x1 - 0,4545хз +2
хз = - 1,3333x1 - 1,6667х2 + 4
Коэффициенты приведенной системы вычислены по формулам (4) с точностью до четвертого знака после запятой. Отметим, что точное решение исходной системы таково: x1 = l, х2 = 1, хз = 1.
Расчетные формулы итерационного процесса Зейделя для данного конкретного случая будут иметь такой вид:
Y1 = - X2 - 0,6667хз + 2,6667
У2 = - 0,5455Y1 - 0,4545хз + 2
У3 = - 1,3333Y1 - 1,6667У2 + 4
Окончанием итерационного процесса будем считать момент, когда для всех пар соответствующих значений в двух последовательных приближениях будет выполняться соотношение:
|yi – xi |< Е, (i =1, 2, 3), где Е заданная точность вычислений
Для начальных значений 2.7; 2; 4 (близких к свободным членам системы) и Е = 0.00001 результат работы программы будет таким:
X1 = 0.9999
Х2 = 1.0000
Х3 = 1.0002
Теперь мы можем наметить основные шаги алгоритма решения методом Зейделя произвольной системы линейных уравнений.
1. Ввод матрицы А коэффициентов исходной системы и матрицы-столбца В ее свободных членов.
2. Ввод точности вычислений Е.
3. Вычисление транспонированной матрицы AT и матриц C=ATA и D=ATB нормальной системы.
4. Приведение нормальной системы к виду, допускающему осуществление итерационного процесса Зейделя (по формулам).
5. Циклическое осуществление итерационного процесса с вычислением наибольшего значения разности между соответствующими значениями неизвестных в последовательных приближениях (обозначение этого наибольшего значения М).
6. Выход из итерационного процесса при М<Е и печать значений неизвестных, соответствующих последнему полученному приближению.
«Расчет цепи постоянного тока»
Цель: уметь вести расчет цепи постоянного тока по методу Зейделя.
Задание: Дана линейная электрическая цепь (см. лаб. № 13).
Варианты заданий
Определить все токи в ветвях методом Зейделя с точностью до 0.001.
1. 2.7x1+3.3x2+1.3x3=2.1; 16. 3.8x1+4.1x2-2.3x3=4.8;
3.5x1-1.7x2+2.8x3=1.7; -2.1x1+3.9x2-5.8x3=3.3;
4.1x1+5.8x2-1.7x3=0.8. 1.8x1+1.1x2-2.1x3=5.8.
2. 1.7x1+2.8x2+1.9x3=0.7; 17. 1.7x1-2.2x2+3.0x3=1.8;
2.1x1+3.4x2+1.8x3=1.1; 2.1x1+1.9x2-2.3x3=2.8;
4.2x1-1.7x2+1.3x3=2.8. 4.2x1+3.9x2-3.1x3=5.1.
3. 3.1x1+2.8x2+1.9x3=0.2; 18. 2.8x1+3.8x2-3.2x3=4.5;
1.9x1+3.1x2+2.1x3=2.1; 2.5x1-2.8x2+3.3x3=7.1;
7.5x1+3.8x2+4.8x3=5.6. 6.5x1-7.1x2+4.8x3=6.3.
4. 9.1x1+5.6x2+7.8x3=9.8; 19. 3.3x1+3.7x2+4.2x3=5.8;
3.8x1+5.1x2+2.8x3=6.7; 2.7x1+2.3x2-2.9x3=6.1;
4.1x1+5.7x2+1.2x3=5.8. 4.1x1+4.8x2-5.0x3=7.0.
5. 3.3x1+2.1x2+2.8x3=0.8; 20. 7.1x1+6.8x2+6.1x3=7.0;
4.1x1+3.7x2+4.8x3=5.7; 5.0x1+4.8x2+5.3x3=6.1;
2.7x1+1.8x2+1.1x3=3.2. 8.2x1+7.8x2+7.1x3=5.8.
6. 7.6x1+5.8x2+4.7x3=10.1; 21. 3.7x1+3.1x2+4.0x3=5.0;
3.8x1+4.1x2+2.7x3=9.7; 4.1x1+4.5x2-4.8x3=4.9;
2.9x1+2.1x2+3.8x3=7.8. -2.1x1-3.7x2+1.8x3=2.7.
7. 3.2x1-2.5x2+3.7x3=6.5; 22. 4.1x1+5.2x2-5.8x3=7.0;
0.5x1+0.34x2+1.7x3=-0.24 3.8x1-3.1x2+4.0x3=5.3;
1.6x1+2.3x2-1.5x3=4.3. 7.8x1+5.3x2-6.3x3=5.8.
8. 5.4x1-2.3x2+3.4x3=-3.5; 23. 3.7x1-2.3x2+4.5x3=2.4;
4.2x1+1.7x2-2.3x3=2.7; 2.5x1+4.7x2-7.8x3=3.5;
3.4x1+2.4x2+7.4x3=1.9. 1.6x1+5.3x2+1.3x3=-2.4.
9. 3.6x1+1.8x2-4.7x3=3.8; 24. 6.3x1+5.2x2-0.6x3=1.5;
2.7x1-3.6x2+1.9x3=0.4; 3.4x1-2.3x2+3.4x3=2.7;
1.5x1+4.5x2+3.3x3=-1.6. 0.8x1+1.4x2+3.5x3=-2.3.
10. 5.6x1+2.7x2-1.7x3=1.9; 25. 1.5x1+2.3x2-3.7x3=4.5;
3.4x1-3.6x2-6.7x3=-2.4; 2.8x1+3.4x2+5.8x3=-3.2;
0.8x1+1.3x2+3.7x3=1.2. 1.2x1+7.3x2-2.3x3=5.6.
11. 2.7x1+0.9x2-1.5x3=3.5; 26. 0.9x1+2.7x2-3.8x3=2.4;
4.5x1-2.8x2+6.7x3=2.6; 2.5x1+5.8x2-0.5x3=3.5;
5.1x1+3.7x2-1.4x3=-0.14. 4.5x1-2.1x2+3.2x3=-1.2.
12. 4.5x1-3.5x2+7.4x3=2.5; 27. 2.4x1+2.5x2-2.9x3=4.5;
3.1x1-0.6x2-2.3x3=-1.5; 0.8x1+3.5x2-1.4x3=3.2;
0.8x1+7.4x2-0.5x3=6.4. 1.5x1-2.3x2+8.6x3=-5.5.
13. 3.8x1+6.7x2-1.2x3=5.2; 28. 5.4x1-2.4x2+3.8x3=5.5;
6.4x1+1.3x2-2.7x3=3.8; 2.5x1+6.8x2-1.1x3=4.3;
2.4x1-4.5x2+3.5x3=-0.6. 2.7x1-0.6x2+1.5x3=-3.5.
14. 5.4x1-6.2x2-0.5x3=0.52; 29. 2.4x1+3.7x2-8.3x3=2.3;
3.4x1+2.3x2+0.8x3=-0.8; 1.8x1+4.3x2+1.2x3=-1.2;
2.4x1-1.1x2+3.8x3=1.8. 3.4x1-2.3x2+5.2x3=3.5.
15. 7.8x1+5.3x2+4.8x3=1.8; 30. 3.2x1-11.5x2+3.8x3=2.8;
3.3x1+1.1x2+1.8x3=2.3; 0.8x1+1.3x2-6.4x3=-6.5;
4.5x1+3.3x2+2.8x3=3.4. 2.4x1+7.2x2-1.2x3=4.5.
Пример выполнения задания.
Пример. Дана система уравнений Ax=b. Найти решение системы с помощью метода Зейделя, выполнив 10 итераций. Найти величину абсолютной погрешности итерационного решения.
Программа на MathCade имеет следующий вид:
Достаточное условие выполнено.
Результат работы функции zeid – 10 первых приближений
§4. Решение системы линейных уравнений методом итерации
При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами. Изложим здесь один из этих методов - метод итерации.
Пусть дана линейная система
(1)
Введя в рассмотрение матрицы
систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения
Ах = В (
Предполагая, что диагональные коэффициенты aii ¹ 0 ( i = 1, 2, …, n), разрешим первое уравнение системы (1) относительно х1, второе относительно х2 и т. д. Тогда получим эквивалентную систему
(2)
где
и aij = 0 при i = j (i, j = 1, 2,..., n).
Введя матрицы
и
систему (2) можем записать в матричной форме x = b + ax (
Систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем, столбец свободных членов x0 = b.
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
x1 = b + a x0 (первое приближение),
X2 = b + a x1 (второе приближение) и т. д.
(k + 1) - е приближение вычисляют по формуле Xk+1 = b + a xk (k = 0, 1, 2,…).
Если последовательность приближений x0, x1, …, xk … имеет предел,
Метод последовательных приближений, определяемых формулой (3), носит название метода итерации. Процесс итерации (3) хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы a малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных -коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют).
Пример 1. Решить систему методом итерации.
(4)
Решение. Здесь диагональные коэффициенты 4; 3; 4 системы значительно преобладают над остальными коэффициентами при неизвестных. Приведем эту систему к нормальному виду (2)
Х1 = 2 – 0.06х2 + 0.02х3
Х2 = 3 – 0.03х1 + 0.05х3 (5)
Х3 = 5 – 0.01х1 + 0.02х2
В матричной форме систему (5) можно записать так:
За нулевые приближения корней системы (4) принимаем:
Подставляя эти значения в правые части уравнений (5), получим первые приближения корней:
= 2 - 0,06*3 + 0,02*5 = 1,92
=3 - 0,03*2 + 0,05*5 = 3,19
= 5 - 0,01*2 +0,02*3 = 5,04
Далее, подставляя эти найденные приближения в формулу (5) получим вторые приближения корней:
После новой подстановки будем иметь третьи приближения корней: 1,90923; 3,19495; . Замечание. При применении метода итерации (формула (3)) нет необходимости за нулевое приближение X0 принимать столбец свободных членов. Cходимость процесса итерации зависит только от свойств матрицы a, причем при выполнении известных условий, если этот процесс сходится при каком-нибудь выборе исходного начального приближения, то он будет сходиться к тому же предельному вектору и при любом другом выборе этого начального приближения. Поэтому начальный вектор x0 в процессе итерации может быть взят произвольным.
Достаточное условие сходимости.
Если для приведенной системы (2) выполнено по меньшей мере одно из условий:
1. (i = 1, 2, …, n)
или
2. (j = 1, 2, …, n)
то процесс итерации (3) сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.
«Расчет цепи постоянного тока»
Цель: уметь вести расчет цепи постоянного тока по методу итерации.
Задание: Дана линейная электрическая цепь (см. лаб. № 13).
Варианты заданий
Определить все токи в ветвях методом итерации с точностью до 0.001.
Номер Матрица системы Правая
вари-
анта
1 2 3
---------------------------------------------------------
1 .4000 .0003 .0008 .0014 .1220
-.0029 -.5000 -.0018 -.0012 -.2532
-.0055 -.0050 -1.4000 -.0039 -.9876
-.0082 -.0076 -.0070 -2.3000 -2.0812
2 1.7000 .0003 .0004 .0005 .6810
.0000 .8000 .0001 .0002 .4803
-.0003 -.0002 -.1000 .0000 -.0802
-.0005 -.0004 -.0003 -1.0000 -1.0007
3 3.0000 .0038 .0049 .0059 1.5136
.0011 2.1000 .0032 .0043 1.4782
-.0005 .0005 1.2000 .0026 1.0830
-.0022 -.0011 -.0001 .3000 .3280
4 4.3000 .0217 .0270 .0324 2.6632
.0100 3.4000 .0207 .0260 2.7779
.0037 .0090 2.5000 .0197 2.5330
-.0027 .0027 .0080 1.6000 1.9285
5 5.6000 .0268 .0331 .0393 4.0316
.0147 4.7000 .0271 .0334 4.3135
.0087 .0150 3.8000 .0274 4.2353
.0028 .0090 .0153 2.9000 3.7969
6 6.9000 .0319 .0390 .0416 5.6632
.0191 6.0000 .0333 .0405 6.1119
.0134 .0205 5.1000 .0348 6.2000
.0077 .0149 .0220 4.2000 5.9275
7 8.2000 .0370 .0451 .0532 7.5591
.0234 7.3000 .0396 .0477 8.1741
.0179 .0260 6.4000 .0422 8.4281
.0124 .0205 .0286 5.5000 8.3210
8 9.5000 .0422 .0513 .0604 9.7191
.0278 8.6000 .0459 .0550 10.5000
.0224 .0315 7.7000 .0496 10.9195
9 10.8000 .0475 .0576 .0676 12.1430
.0321 9.9000 .0523 .0623 13.0897
.0268 .0369 9.0000 .0570 13.6744
.0215 .0316 .0416 8.1000 13.8972
10 12.1000 .0528 .0639 .0749 14.8310
.0365 11.2000 .0586 .0697 15.9430
.0312 .0423 10.3000 .0644 16.6926
.0260 .0370 .0481 9.4000 17.0800
11 13.4000 .0518 .0702 .0822 17.7828
.0408 12.5000 .0650 .0770 19.0599
.0356 .0477 11.6000 .0718 19.9744
.0304 .0425 .0546 10.7000 20.5261
12 14.7000 .0635 .0765 .0896 20.9985
.0452 13.8000 .0714 .0844 22.4406
.0400 .0531 12.9000 .0793 23.5195
.0349 .0479 .0610 12.0000 24.2353
13 16.0000 .0688 .0829 .0970 24.4781
.0496 15.1000 .0777 .0918 26.0849
.0444 .0585 14.2000 .0867 27.3281
.0393 .0534 .0674 13.3000 28.2078
14 17.3000 .0741 .0892 .1043 28.2215
.0539 16.4000 .0841 .0992 29.9928
.0488 .0639 15.5000 .0941 31.4001
.0437 .0588 .0739 14.6000 32.4435
15 23.8000 .1010 .1212 .1414 50.8968
.0757 22.9000 .1161 .1363 53.4873
.0707 .0909 22.0000 .1313 55.7118
.0656 .0858 .1060 1.1000 57.5703
16 19.0000 .0849 .1020 .1191 36.5001
.0626 19.0000 .0969 .1140 38.5997
.0576 .0747 18.1000 .1090 40.3345
.0525 .0696 .0867 17.2000 41.7045
17 21.2000 .0902 .1084 .1265 41.0351
.0670 20.3000 .1033 .1215 41.2986
.0619 .0801 19.4000 .1164 45.1968
.0569 .0750 .0932 18.5000 46.7299
18 22.5000 .0956 .1148 .1339 45.8340
.0714 21.6000 .1097 .1289 48.2611
.0663 .0855 20.7000 .1238 50.3226
.0612 .0804 .0996 19.8000 52.0184
19 23.8000 .1010 .1212 .1414 50.8968
.0757 22.9000 .1161 .1363 53.4873
.0707 .0909 22.0000 .1313 55.7118
.0656 .0858 .1060 21.1000 57.5703
20 25.1000 .1063 .1276 .1488 56.2234
.0801 24.2000 .1225 .1437 58.9772
.0750 .0963 23.3000 .1387 61.3645
.0700 .0912 .1124 22.4000 63.3853
21 26.4000 .1117 .1339 .1562 61.8139
.0844 25.5000 .1289 .1512 64.7307
.0794 .1017 24.6000 .1461 67.2806
.0744 .0966 .1189 23.7000 69.4636
22 27.7000 .1171 .1403 .1636 67.6682
.0888 26.8000 .1353 .1586 70.7478
.0838 .1070 25.9000 .1536 73.4601
.0788 .1020 .1253 25.0000 75.8051
23 29.0000 .1225 .1467 .1710 73.7864
.0932 28.1000 .1417 .1660 77.0286
.0882 .1124 22.2000 .1610 79.9030
.0831 .1074 .1317 26.3000 82.4098
24 30.3000 .1278 .1531 .1784 80.1684
.0975 29.4000 .1481 .1734 83.5730
.0925 .1178 28.5000 .1684 86.6095
.0875 .1128 .1381 27.6000 89.2778
25 31.6000 .1332 .1595 .1859 86.8143
.1019 30.7000 .1545 .1809 90.3811
.0969 .1232 29.8000 .1759 93.5793
.0919 .1182 .1445 28.9000 96.4090
26 32.9000 .1386 .1659 .1933 93.7240
.1062 32.0000 .1610 .1883 97.4528
.1013 .1286 31.1000 .1833 100.8126
.0963 .1236 .1510 30.2000 103.8034
27 34.2000 .1400 .1724 .2007 100.8976
.1106 33.3000 .1674 .1957 104.7881
.1056 .1340 32.4000 .1907 108.3093
.1006 .1290 .1574 31.5000 111.4610
28 35.5000 .1494 .1788 .2082 108.3351
.1150 34.6000 .1738 .2032 112.3871
.1100 .1394 33.7000 .1982 116.0694
.1050 .1344 .1638 32.8000 119.3819
29 36.8000 .1547 .1852 .2156 116.0363
.1193 35.9000 .1802 .2106 120.2497
.1143 .1448 35.0000 .2056 124.0930
.1094 .1398 .1702 31.1000 127.5660
30 38.1000 .1601 .1916 .2230 124.0015
.1237 37.2000 .1866 .2180 128.3760
.1187 .1502 36.3000 .2131 132.3800
.1137 .1452 .1766 35.4000 136.0134
Программа на MathCade имеет следующий вид:
|
Пример. Решение системы уравнений методом простой итерации |
|
Пусть дана система уравнений Ax = b |
|
|
Для построения итерационного процесса найдем собственные числа матрицы A |
|
|
Вычислим итерационный параметр и проверим условие сходимости |
|
|
Возьмем начальное приближение - вектор x0, зададим точность 0.001 и найдем начальные приближения по приведенной ниже программе: |
|
|
Точное решение |
|
§ 5. Применение метода Гаусса для вычисления определителей
Пусть
(1)
D = det A (2)
Рассмотрим линейную систему Ах=0. (3)
А треугольной матрицей В, состоящей из элементов отмеченных строк.
В результате получалась эквивалентная система
Bx = 0 (4)
Элементы матрицы В последовательно получались из элементов матрицы А и дальнейших вспомогательных матриц А1, А2, ..., An-1 с помощью следующих элементарных преобразований:
1) деления на «ведущие» элементы А11, А22, ..., Ann, которые предполагались отличными от нуля,
2) вычитания из строк матрицы А и промежуточных матриц Аi (i=1, 2, ..., n-1) чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк. При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй—определитель матрицы остается неизменным. Поэтому
Следовательно,
Δ = det A = (5)
т, е. определитель равен произведению «ведущих» элементов для соответствующей схемы Гаусса. Отсюда заключаем, что схема единственного деления может быть использована для вычисления определителей, причем столбец свободных членов тогда становится излишним.
Заметим, что если для какого-нибудь шага элемент аii=0 или близок к нулю (что влечет за собой уменьшение точности вычислений), то следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбцов матрицы.
Пример. Вычислить определитель
Решая по методу Гаусса, находим «ведущие» элементы, получим:
D = 7.4*4.32434*6.11331*(-7.58393) = - 1483.61867
§ 6. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
Пусть дана неособенная матрица
A=[a ij] (i, j = 1,2, …, n) (1)
Для нахождения ее обратной матрицы
А-1 = [x ij] (2)
используем основное соотношение
AA-1 = E (3)
где Е—единичная матрица.
Перемножая матрицы А и А-1, будем иметь n систем уравнений относительно n2 неизвестных x ij
(i, j = 1, 2, …,n)
где
Полученные n систем линейных уравнений для j = 1, 2, ..., n, имеющих одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса.
Пример. Найти обратную матрицу A-1 для матрицы
A=
Решение. Составим схему с единственным делением. Заметим, что элементы строк обратной матрицы получаются в обратном порядке. Находим обратную матрицу
A-1=
Для проверки составим произведение
|
|
|
|
|
Мы видим, что благодаря округлению обратная матрица получилась не вполне точной.
§ 7. Метод квадратных корней
Пусть дана линейная система
Ах =В (1)
где A=[аij] —симметрическая матрица, т.е. A'=[Aij]=A. Тогда матрицу А можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц А = Т'*Т (2),
где
T = и T’ =
Производя перемножение матриц Т и T', для определения элементов tij матрицы Т получим следующие уравнения:
t1it1j+t2it2j+…+tiitjj = aij (i < j)
t1i2 + t2i2 +…+ tii2 = aii
Отсюда последовательно находим:
(3) (4)
(5)
Изложенный способ решения линейной системы носит название метода квадратных корней. При прямом ходе с помощью с помощью формул (3) и (4) последовательно вычисляются коэффициенты tij и yi (i = 1, 2,…, n), а затем обратным ходом с помощью формулы (5) находятся неизвестные xi (i = n, n – 1, …, 1).
Пример. Решить систему уравнений с помощью метода квадратных корней.
Применяя формулы (3) и (4), последовательно переходя от строки к строке, вычисляем коэффициенты tij и новые свободные члены yi. Например
на основании формул (5) находим значения неизвестных xi , например
В рассматриваемом ниже итерационном методе вычислительный алгоритм строится таким образом, чтобы обеспечить минимальную погрешность на шаге (максимально приблизиться к корню).
Представим систему линейных уравнений в следующем виде:
(1)
Запишем выражение (1) в операторной форме:
(2)
Здесь приняты следующие обозначения:
(3)
В методе скорейшего спуска решение ищут в виде
(4)
где и - векторы неизвестных на p и p+1 шагах итераций; вектор невязок на p-ом шаге определяется выражением
(5)
а (6)
В формуле (6) используется скалярное произведение двух векторов, которое определяется следующей формулой:
(7)
В формуле (6) p-ом шаге. Матрица Якоби вектор – функции f(x) определяется как
(8)
Нетрудно убедиться, что для системы (2) матрица Якоби равна
(9)
Как и для метода простой итерации, достаточным условием сходимости метода градиента является преобладание диагональных элементов. В качестве нулевого приближения можно взять
-Как видно из выражения (8), матрица Якоби не зависит от шага итерации.
-Требования минимизации погрешности на каждом шаге обусловили то, что метод градиента более сложен (трудоемок), чем методы Якоби и Зейделя.
-В методе градиента итерационный процесс естественно закончить при достижении
В приближенных методах можно обеспечить практически любую погрешность, если итерационный процесс сходится.
Итерационный процесс можно прервать на любом k–ом шаге и продолжить позднее, введя в качестве нулевого шага значения x(k).
В качестве недостатка приближенных методов можно отметить то, что они часто расходятся, достаточные условия сходимости (преобладание диагональных элементов) можно обеспечить только для небольших систем из 3 – 6 уравнений.
Пример. Методом скорейшего спуска решим систему уравнений
Так как диагональные элементы матрицы являются преобладающими, то в качестве начального приближения выберем:
Следовательно, вектор невязок на нулевом шаге равен
Далее последовательно вычисляем
Отсюда
причем
Аналогично находятся последующие приближения и оцениваются невязки. Что касается данного примера, можно отметить, что итерационный процесс сходится достаточно медленно (невязки уменьшаются).
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
а) начального приближения (нулевой итерации);
б) первой итерации?
10. При решении СЛАУ (n > 100) итерационными методами решение расходится. Как найти начальное приближение?
11. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных уравнений?
12. Каким методом лучше всего решать систему уравнений невысокого порядка, например третьего?
13. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем линейных уравнений?
14. От чего зависит скорость сходимости метода итераций?
15. Можно ли получить решение системы высокой размерности с погрешностью не хуже заданной?
16. Каким образом в методе Гаусса можно контролировать накопление вычислительных ошибок?
17. К точным или приближенным методам относится метод Крамера?
18. При каком условии будет сходиться метод итераций?
19. Можно ли заранее оценить число итераций для получения решения с заданной погрешностью?
20. Как влияет вычислительная ошибка на точность решения системы уравнений методом итераций?
Ответы:
11. Точные методы решения систем линейных уравнений позволяют получить решение непосредственно в аналитическом виде или в виде алгоритма с конечным числом шагов, а приближенные — как предел некоторой последовательности при стремлении числа итераций к бесконечности.
12. Систему из трех уравнений, конечно, проще всего решать любым точным методом, например методом Крамера.
13. Итерационные методы наиболее предпочтительны в задачах высокой размерности, когда точные методы могут дать решение с большой накопившейся вычислительной погрешностью.
14. Скорость сходимости в методе итераций зависит от свойств системы уравнений (определяющейся коэффициентами уравнений) и от начальных условий поиска решения.
15. Если размерность задачи высока, то получить решение с погрешностью не хуже заданной точным методом невозможно, так как нет приемов коррекции накапливающихся вычислительных ошибок, становящихся значительными при большом числе вычислений, а есть только приемы их контроля.
16.В методе Гаусса можно ввести дополнительные переменные в каждом уравнении, равные сумме всех коэффициентов уравнения, с которыми проводят все операции как с коэффициентами. При этом невыполнение равенства этих переменных сумме коэффициентов является признаком накопившейся вычислительной погрешности.
17.Метод Крамера относится к точным методам.
18.Метод итераций будет сходиться, если все суммы модулей коэффициентов строк (или столбцов) преобразованной системы уравнений будут меньше единицы.
19.Число шагов для получения решения с заданной погрешностью можно оценить заранее, используя выражение для погрешности. Для этого надо подставить в выражение заданное значение погрешности и решить получающееся уравнение относительно числа итераций (оно находится в показателе степени).
20. Наличие вычислительной ошибки в итерационных методах приводит лишь к увеличению числа итераций для достижения решения, так как итерационные методы обладают свойством самоисправляемости ошибок.
Глава 5. Приближённое решение систем нелинейных уравнений
§ 1. Метод Ньютона
Рассмотрим, вообще говоря, нелинейную систему уравнений
(1)
с действительными левыми частями.
Запишем короче систему (1). Совокупность аргументов x1,x2,…xn можно рассматривать как n-вектор
Аналогично совокупность функций f1,f2,…,fn представляет собой также n-мерный вектор (вектор-функцию)
Поэтому система (1) кратко записывает так: f(x)=0 (1')
Для решения системы (1') будем пользоваться методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено р-е приближение
x(p)=(x1(p),x2(p),…xn(p))
одного из изолированных корней x=(x1,x2,…xn) векторного уравнения (1') можно представить в виде
x=x(p)+ε(p)
где ε(p)=(ε1(p),ε2(p),…εn(p)) - поправка (погрешность корня). Подставляя выражение (2) в уравнение (1'), будем иметь:
f(x(p) +ε(p))=0. (3)
Предполагая, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(p) , разложим левую часть уравнения (3) по степеням малого вектора ε(p) , ограничиваясь линейными членами,
f(x(P)+ε(p))=f(x(p))+f''''(x(p))ε(p)=0. (4)
или, в развёрнутом виде,ε
Из формул (4) и (4' ') вытекает , что под производной f''(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций
f'1,f2,…,fn относительно переменных x1,x2,…,xn, т.е.
или в краткой записи
(i,j=1,2,…,n).
Система (4 ') представляет собой линейную систему относительно поправок (i=1,2,..,n) с матрицей W(x), поэтому формула (4) может быть записана в следующем виде:
f(x(p))+W(x(p))ε(p)=0.
Отсюда, предполагая, что матрица W(x(p))- неособенная, получим :
ε(p)=-W-1(x(p))ε(p).
Следовательно,
x(p+1)=x(p)-W-1(x(p))f(x(p)) (p=0,1,2,…) (5)
(метод Ньютона ).
За нулевое приближение x(0) можно взять грубое значение искомого корня .
Пример 1. Приближенно найти положительные решения системы уравнений
(6)
Решение . Кривые, определяемые системой (6) , пересекаются приблизительно в точках M1(1,4;-1,5) и M2(3,4;2,2). Исходя из начального приближения
имеем :
Составим теперь матрицу Якоби
где М=0,43429. Отсюда
причем
Δ=detW(x(0))=23,4571.
Следовательно, матрица W(x(0))-неособенная . Составим обратную ей матрицу
Используя формулу (5), получим :
Решение: Имеем:
Отсюда:
Составим матрицу Якоби
Имеем
и
Находим обратную матрицу
По формуле (5) получаем первое приближение
Далее вычисляем второе приближение x(2). Имеем:
и
Отсюда
и
Используя формулу (5), получаем:
Аналогично находятся дальнейшие приближения:
и т.д.
Ограничиваясь третьим приближением, получим:
x= 0,7852; y= 0,4966; z= 0,3699.
Пусть имеется система нелинейных уравнений:
(1)
Систему (1) удобнее записать в матричном виде:
(2)
где - вектор – функция;
Решение системы (2), как и для системы линейных уравнений, будем искать в виде
(3)
Здесь и - векторы неизвестных на p и p+1 шагах итераций; вектор невязок на p-ом шаге – f(p) = f(x(p)); W'p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге;
Пример. Методом градиента вычислим приближенно корни системы
расположенные в окрестности начала координат.
Имеем:
Выберем начальное приближение:
По выше приведенным формулам найдем первое приближение:
Аналогичным образом находим следующее приближение:
Ограничимся двумя итерациями (шагами), и оценим невязку:
Как видно из примера, решение достаточно быстро сходится, невязка быстро убывает.
При решении системы нелинейных уравнений методом градиента матрицу Якоби необходимо пересчитывать на каждом шаге (итерации).
«Нелинейные уравнения»
Цель: Научиться решать нелинейные уравнения методом Ньютона и градиента.
Задание: Решить систему нелинейных уравнений методом градиента и методом Ньютона с точностью e, выполнить вычисления на персональном компьютере.
|
№ вар |
Система уравнений |
точность e |
|
1. |
x1=0,5sin(0,3 x2)+2; x2= 0,5cos(0,3x1) |
10-4 |
|
2. |
x1=0,5sin(0,2 x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1) |
10-5 |
|
3. |
x1=0,5sin(0,2 x2)+3; x2= 0,5cos(0,5x1) |
10-5 |
|
4. |
x1= 0,25sin(0,3 x2) +2 ; x2= cos(0,3x1) |
10-3 |
|
5. |
x1=0,25sin(0,3 x2)+3; x2= 0,1cos(0,25x1) |
10-4 |
|
6. |
x1=0,5sin(0,3 x2)+1; x2= 0,2cos(0,25x1) |
10-4 |
|
7. |
x1=0,5sin(0,2 x2)+3; x2= 0,3cos(0,25x1) |
10-5 |
|
8. |
x1=0,25sin(0,3 x2)+1; x2= 0,5cos(0,3x1) |
10-3 |
|
9. |
x1=0,5sin(0,3 x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1) |
10-4 |
|
10 |
x1=0,25sin(0,3x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1) |
10-3 |
Пример выполнения задания.
Пример. Найти с точностью
используя метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. Найти корни с помощью встроенного блока решения уравнений Given Find пакета MATHCAD.
Программа на MathCade имеет следующий вид:
Уравнения системы:
Локализация корней:
Первое уравнение, разрешенное относительно x2:
Второе уравнение, разрешенное относительно x2:
Первый корень:
Начальное приближение:
Точность для блока Given Find:
TOL:=
Решение системы f(x1,x2)=0 с помощью встроенного блока MATHCAD:
i. Given
0
0
(
Полученное приближенное решение:
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4. Как проводится отделение корней при решении систем нелинейных уравнений?
5. Почему после одного шага по методу Ньютона мы не попадаем в решение, хотя рассчитывали из условия попадания в решение?
6. От чего зависит скорость сходимости метода Ньютона?
7. Можно ли обеспечить сходимость метода итераций при решении систем нелинейных уравнений?
8. Каким образом можно повысить точность решения системы нелинейных уравнений?
9. Оказывает ли влияние на результат решения выбор начального приближения в методе итераций?
Метод градиента
1. При каком из алгоритмов выбора направления поиска max F(х) метод будет более эффективен?
2. Как изменяется угол между двумя соседними направлениям поиска при приближении к оптимуму?
3. Что называется градиентом функции F(х1,х2)?
4. Свойства градиента функции F(x)
5. Как оценивается эффективность поиска градиентным методом?
6. Какой алгоритм коррекции шага предпочтительнее вблизи оптимума?
7. Почему в районе оптимума величина шага Dх убывает при использовании алгоритмах
8. В чем отличие двух алгоритмов градиентного метода:
где — направляющие косинусы градиента.
9. Исходя из определения grad F(x) как вектора, указывающего направление возрастания функции, что лучше искать: min или max?
10. Что дает вычисление производных по методу с парными пробами?
Метод наискорейшего спуска
1. В чем основные отличия метода наискорейшего спуска от метода градиента?
2. По какому направлению осуществляется поиск из каждой текущей точки при поиске min F(x)?
3. Как вычисляется градиент F(x) в методе наискорейшего спуска?
4. Почему после нахождения min F(x) по направлению необходимо еще раз искать min F(x) по другому направлению?
5. Каковы условия окончания поиска?
6. Область наивысшей эффективности метода.
7. Какой метод вычисления шага при поиске min F(x) по grad F(x) более предпочтителен?
8. Можно ли методом наискорейшего спуска найти max F(x)?
9. Можно ли применять алгоритм коррекции шага поиска, определяемый изменением угла между градиентами в текущей и предыдущей точках?
10. Какое влияние оказывают вычислительные погрешности при поиске min F(x) в направлении градиента на точность получения решения?
Метод сопряженных градиентов
1. Чем отличаются квадратичные методы оптимизации от линейных?
2. Какова сравнительная эффективность метода сопряженных градиентов и наискорейшего спуска вблизи от оптимума?
3. Как записывается алгоритм метода сопряженных градиентов?
4. Как влияют вычислительные погрешности на эффективность метода сопряженных градиентов?
5. Для каких функций F(х) метод сопряженных градиентов наиболее эффективен?
6. В чем недостатки использования методов второго порядка?
7. В чем отличие первого шага в методах наискорейшего спуска и сопряженных градиентов?
8. Какая процедура поиска осуществляется на каждом шаге?
9. Сравнительная эффективность метода градиента и метода сопряженных градиентов вдали от оптимума.
10. Возможно ли применение метода для не дифференцируемых функций?
Метод тяжелого шарика
1. Как влияет масса шарика на характер поиска, учитывая, что траектория поиска аналогична движению шарика в вязкой среде?
2. Может ли поиск ускоряться?
3. Можно ли найти max F(x), а не min F(x) методом тяжелого шарика?
4. В чем заключаются недостатки метода тяжелого шарика?
5. Является ли метод тяжелого шарика пригодным для одномерной оптимизации (т.е. когда у "шарика" нет объема, а следовательно, и массы)?
6. Можно ли найти глобальный минимум F(х) методом тяжелого шарика?
7. Зачем "помещают шарик в вязкую среду"?
8. Какой путь можно выбрать для затухания поиска в районе оптимум при использовании алгоритма grad F(х)?
9. Можно ли отнести метод тяжелого шарика к методам второго порядка?
10. В каких условиях предпочтительнее использовать метод тяжелого шарика?
Ответы:
4. Отделение корней при решении систем, как правило, не проводят, так как в общем случае это сделать крайне трудно или вообще невозможно.
5. Фактически при расчете величины шага в методе Ньютона — Рафсона нелинейные функции линеаризуются, вследствие этого и не получается в новой точке решения, она рассматривается лишь как приближение к решению, и метод приобретает итерационный характер.
6. Скорость сходимости метода Ньютона — Рафсона существенно зависит от выбора начального приближения.
7. Сходимость метода итераций можно обеспечить способом приведения к виду, удобному для итераций (подробнее см. соответствующий раздел книги).
8. Для повышения точности решения достаточно уменьшить задаваемую погрешность, по достижении которой прекращается процесс решения.
9. Да, оказывает. Поскольку корни отделить практически невозможно, то выбор начальной точки поиска определяет корень, который будет найден; фактически перебирая различные начальные условия, можно находить разные корни, и если повезет, то даже все.
Метод градиента
1. При применении алгоритма с использованием направляющих косинусов поиск будет более эффективным, так как появляется возможность однозначно управлять величиной шага путем выбора
коэффициента пропорциональности шага. В исходном базовом алгоритме величина шага зависит еще и от величины модуля градиента, который трудно оценить заранее, хотя в этом случае по мере приближения к оптимуму шаг сам будет уменьшаться за счет уменьшения градиента, а в рекомендуемом методе необходимо применять специальные приемы.
2. Обычно угол между двумя соседними направлениями поиска при приближении к оптимуму меняется очень сильно, так как имеет место "проскок" экстремума при почти каждом шаге.
3. Градиентом функции F(х1, х2) называется вектор, который показывает направление и скорость возрастания функции; он может быть получен через свои проекции на оси координат, которые равны соответствующим частным производным от F: grad F(х1, х2) = {дF/дх1, дF/дх2).
4. Основные свойства градиента вытекают из его определения: направление градиента совпадает с направлением самого крутого возрастания функции (именно поэтому его и применяют для определения направления движения к оптимуму), градиент всегда перпендикулярен линии уровня, проходящей через ту точку, в которой вычислен градиент, модуль градиента (т.е. величина градиента) характеризует скорость возрастания функции.
5. Эффективность поиска оценивается по числу повторов вычисления функции, экстремум которой ищется: чем меньше раз вычислялась функция для получения решения с заданной погрешностью, тем эффективнее поиск.
6. Вблизи оптимума предпочтение можно отдать алгоритму, в котором коэффициент пропорциональности шага уменьшается вдвое при проскоке экстремума.
7. При использовании алгоритма –h*grad F(x) (знак "минус"стоит в случае поиска минимума функции) величина шага Dх =h*grad F(x) убывает в районе оптимума вследствие уменьшения градиента F(x) (в точке экстремума градиент равен нулю).
8. Отличие алгоритмов вычисления шага Dх = h*grad F(x) и Dх = h*cosj прежде всего заключается в отсутствии влияния величины градиента на величину шага во втором алгоритме, благодаря чему выбором коэффициента пропорциональности шага h можно однозначно управлять шагом, увеличивая вдали от оптимума или уменьшая его вблизи оптимума.
9. При поиске максимума функции в алгоритме шага стоит знак "+" (ищем в направлении градиента), а при поиске минимума — знак "-" (ищем в направлении, противоположном направлению градиента); в обоих случаях эффективность метода одинакова.
10. Вычисление градиента по методу с парными пробами, с одной стороны, ухудшает поиск (появляются дополнительные вычислительные затраты при определении частных производных); с другой стороны, улучшает поиск за счет более точного вычисления градиента.
Метод наискорейшего спуска
1. Основные ограничения метода наискорейшего спуска от метода градиента заключаются в том, что в методе градиента градиент вычисляется на каждом шаге, а в методе наискорейшего спуска после одного вычисления градиента следует одномерный поиск оптимума по направлению градиента, т.е. делается несколько шагов при одном вычислении градиента.
2. При поиске минимума F(x) поиск из каждой точки осуществляется в направлении, противоположном направлению градиента в текущей точке.
3. Градиент в методе наискорейшего спуска вычисляется точно также, как и в методе градиента; способ вычисления градиента не зависит от метода поиска.
4. Направление градиента не остается постоянным в области поиска, поэтому экстремум в одном направлении не соответствует экстремуму функции, и требуется опять и опять искать оптимум по новым направлениям градиентов, пока не будет выполнено условие окончания поиска.
5. В качестве условия окончания поиска задается требуемая малость модуля градиента функции, т.е. должно выполняться условие |grad F(x)| £ e (в области оптимума градиент точно равен нулю, но достичь этого значения практически невозможно, можно лишь приблизиться сколь угодно близко к нему).
6. Наиболее эффективен метод вдали от оптимума, особенно при отсутствии "оврагов" функции.
7. Даже при одноэкстремальной функции по направлению градиента может иметь место многоэкстремальность, что ограничивает применимость многих методов одномерного поиска; на практике чаще всего применяют метод последовательного сканирования до первого локального экстремума по направлению.
8. Конечно, можно найти максимум функции; название метода просто сохранило исторические корни происхождения метода, вид находимого экстремума зависит только от того, в какую сторону по градиенту совершаются рабочие шаги.
9. Нет, нельзя, так как два соседних направления поиска в методе наискорейшего спуска всегда ортогональны.
10. Влияние вычислительных погрешностей не очень существенно, оно приводит к не ортогональности следующего направления поиска и как следствие к некоторому замедлению поиска в целом.
Метод сопряженных градиентов
1. Квадратичные методы оптимизации от линейных отличаются использованием в алгоритме вторых производных (или двух предыдущих точек для расчета одной следующей) и, как следствие, более высокой скоростью сходимости к решению, а также более сложным в реализации алгоритмом.
2. Метод сопряженных градиентов более эффективен, так как он относится к методам второго порядка.
3. Алгоритм метода записывается следующим образом: –h*(grad F() +a*grad F()).
4. Влияние вычислительных погрешностей очень существенно: при их наличии поиск резко замедляется, так как они значительно искажают вторые производные (которые присутствуют в алгоритме косвенно).
5. Метод наиболее эффективен для квадратичных функций.
6. Необходимость прямо или косвенно вычислять вторые производные, которые очень чувствительны к различным погрешностям.
7. Различия в первом шаге методом наискорейшего спуска и методом сопряженных градиентов нет.
8. Ищется экстремум критерия в направлении поиска.
9. Эффективность методов вдали от оптимума примерно одинакова.
10. Нет, невозможно, так как метод предполагает нахождение производных для вычисления градиента.
Метод тяжелого шарика
1. "Масса шарика" увеличивает его инерционность, что приведет к колебаниям поиска в окрестности оптимума.
2. Да, поиск может ускоряться, в этом основное достоинство метода. Ускорение происходит вследствие "разгона" шарика за счет его инерционности.
3. Можно найти любой вид экстремума, проведя коррекцию знаков в формулах рабочих шагов ("+" заменить на "-").
4. К недостаткам метода относят необходимость задания сразу двух параметров, определяющих эффективность поиска, влияние которых взаимосвязано.
5. Метод пригоден для задач любой размерности, но градиентные методы в одномерных задачах вырождаются, так как градиент всегда направлен по оси х.
6. Да, при удачном выборе двух параметров, определяющих эффективность метода, метод может остановиться в "глубоком" экстремуме. Это происходит за счет инерционности "шарика", вследствие которой он "выскакивает" из "мелких" локальных экстремумов.
7. "Помещение шарика в вязкую среду" способствует затуханию колебаний в районе оптимума.
8. В приведенном алгоритме -a( - h*grad F() величина а определяет "память" алгоритма, т.е. учитывает влияние предыдущей точки, поэтому увеличение этого параметра метода может привести к более быстрому затуханию в районе оптимума, когда градиент функции мал.
9. Да, метод тяжелого шарика является методом второго порядка, так как новая точка поиска рассчитывается с использованием двух предыдущих.
10. Метод тяжелого шарика предпочтительно использовать при поиске экстремума многоэкстремальной функции с одним явно выраженным глобальным экстремумом и "мелкими" локальными, хотя он эффективно работает и при поиске экстремума одно экстремальных функций.
Глава 6. Интерполирование функций
§1. Введение
Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) »j(х). Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций. Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия - некоторой меры приближения или «согласия».
Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках.
Интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах. Задачи интерполяции в самом общем виде можно сформулировать следующим образом. Пусть на отрезке [a,b] заданы значения неизвестной функции y = f(x) в n различных точках: x1, x2, …,xn. Требуется найти многочлен P (x) степени n, приближенно выражающий функцию y =f (x) - рис.1
Поставленную задачу можно решить используя различные интерполяционные формулы: Лагранжа, Ньютона и др.
2.1. Метод Лагранжа
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция
(1)
является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x = xj и 0, когда x =xi, i¹j . Многочлен Lj(x) yj принимает значения yi в i- й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi). Перепишим формулу (1) в виде:
Ln(z)= (2)
Где xi(i = 1…k) – точки интерполяции;
yj (j=1…k) – значения функции в точках интерполяции;
k - количество точек интерполяции;
z - значение аргумента, при котором нужно вычислить функцию
Формула (2) является основной для разработки алгоритма интерполяции заданной функции на ЭВМ.
Лабораторная работа № 17.
«Интерполяционный многочлен Лагранжа»
Цель: Уметь построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
Задание: Для функции , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке
Таблица к задаче
|
№ |
Таблица |
№ |
Таблица |
||||||||||
|
1 |
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
-1.25 |
16 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
-2.25 |
|
y |
4 |
1 |
-2 |
-3 |
y |
-2 |
-3 |
-1 |
0 |
||||
|
2 |
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-0.25 |
17 |
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
-1.25 |
|
y |
1 |
-2 |
-3 |
-1 |
y |
-3 |
-1 |
0 |
7 |
||||
|
3 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
0.75 |
18 |
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-0.25 |
|
y |
-2 |
-3 |
-1 |
0 |
y |
-1 |
0 |
7 |
4 |
||||
|
4 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
1.75 |
19 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
0.75 |
|
y |
-3 |
-1- |
0 |
7 |
y |
0 |
7 |
4 |
1 |
||||
|
5 |
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
2.75 |
20 |
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-3.25 |
|
y |
-1 |
0 |
7 |
4 |
y |
-3 |
-1 |
0 |
7 |
||||
|
6 |
x |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.75 |
21 |
x |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-4.25 |
|
y |
0 |
7 |
4 |
1 |
y |
4 |
1 |
-2 |
-3 |
||||
|
7 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
1.75 |
22 |
x |
4 |
5 |
6 |
7 |
4.75 |
|
y |
4 |
1 |
-2 |
-3 |
y |
1 |
-2 |
-3 |
-1 |
||||
|
8 |
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
-3.25 |
23 |
x |
5 |
6 |
7 |
8 |
5.75 |
|
y |
1 |
-2 |
-3 |
-1 |
y |
-2 |
-3 |
-1 |
0 |
||||
|
9 |
x |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.75 |
24 |
x |
6 |
7 |
8 |
9 |
6.75 |
|
y |
-2 |
-3 |
-1 |
0 |
y |
-3 |
-1 |
0 |
7 |
||||
|
10 |
x |
4 |
5 |
6 |
7 |
4.75 |
25 |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
-2.25 |
|
y |
-3 |
-1 |
0 |
7 |
y |
-1 |
0 |
7 |
4 |
||||
|
11 |
x |
5 |
6 |
7 |
8 |
5.75 |
26 |
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
-1.25 |
|
y |
-1 |
0 |
7 |
4 |
y |
0 |
7 |
4 |
1 |
||||
|
12 |
x |
6 |
7 |
8 |
9 |
6.75 |
27 |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
0.75 |
|
y |
0 |
7 |
4 |
1 |
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
||||
|
13 |
x |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-4.25 |
28 |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
1.75 |
|
y |
-2 |
-3 |
-1 |
0 |
y |
1 |
-2 |
-3 |
-1 |
||||
|
14 |
x |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.75 |
29 |
x |
4 |
5 |
6 |
7 |
4.75 |
|
y |
4 |
1 |
-2 |
-3 |
y |
-1 |
0 |
7 |
4 |
||||
|
15 |
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
2.75 |
30 |
x |
5 |
6 |
7 |
8 |
5.75 |
|
y |
1 |
-2 |
-3 |
-1 |
y |
0 |
7 |
4 |
1 |
||||
Пример выполнения задания.
методом Лагранжа найти значение в точках:
Построим график
Интерполяционная формула Ньютона позволяет выразить интерполяционный многочлен Pn(x) через значение f(x) в одном из узлов и через разделенные разности функции f(x), построенные по узлам x0, x1,…, xn. Эта формула является разностным аналогом формулы Тейлора:
(1)
Прежде чем приводить формулу Ньютона, рассмотрим сведения о разделенных разностях. Пусть в узлах известны значения функции f(x). Предполагаем, что среди точек xk, k = 0, 1,…, n нет совпадающих. Тогда разделенными разностями первого порядка называются отношения
(2)
Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, то есть выражения
(3)
Аналогично определяются разности более высокого порядка. То есть пусть известны разделенные разности k-го порядка тогда разделенная разность k+1-го порядка определяется как
(4)
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
(5)
Интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с интерполяционным многочленом Ньютона (5).
В формуле (5) не предполагалось, что узлы x0, x1,…, xn расположены в каком-то определенном порядке. Поэтому роль точки x0 в формуле (5) может играть любая из точек x0, x1,…, xn. Соответствующее множество интерполяционных формул можно получить из (5), перенумеровав узлы. Например, тот же самый многочлен Pn(x) можно представить в виде
(6)
Если то (5) называется формулой интерполирования вперед, а (6) - формулой интерполирования назад.
Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция f(x), но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.
Будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования f(x) – Ln(x), если число узлов n неограниченно увеличивать:
1. f(x).
2.
Так последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции по равноотстоящим узлам на отрезке [-1, 1], не сходится к функции ни в одной точке отрезка [-1, 1], кроме точек –1, 0, 1. На рис. 1 в качестве иллюстрации изображен график многочлена L9(x) при по равноотстоящим узлам на отрезке [-1,1].
|
0 0.5 1 x |
|
y
1 0.5
|
|
y =|x| |
|
L9(x) |
Рис. 1. Сходимость интерполяционных многочленов
3.
Пусть функция y = f(x) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x.
Для случая неравноотстоящих значений аргумента x0, x1,…, xn задача может быть непосредственно решена с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. В этом случае достаточно принять переменную y за независимую и написать формулу, выражающую х как функцию у:
(7)
Можно также, считая у аргументом, использовать формулу Ньютона:
(8)
Обратное интерполирование корректно только для взаимно однозначных функций.
Пример. Исходная функция y = f(x) задана табл. 1:
Таблица 1
|
x |
10 |
15 |
17 |
20 |
|
y |
3 |
7 |
11 |
17 |
Надо найти значение функции y при x = 12; найти значение x, для которого y = 10.
В качестве примера задачу прямого интерполирования в начале таблицы с неравноотстоящими узлами решим по формулам Ньютона (5); для обратного интерполирования применим формулу Лагранжа (7).
y(12) = f(x0) + (x –x0)f(x0, x1) + (x –x0) (x –x1) f(x0, x1, x2) ++ (x –x0) (x –x1) (x –x2) f(x0, x1, x2, x3) = 3 + 2·0.8 + + 2·(-3)·0.02857 + 2·(-3)·(-5)·(-0.002857) = 4.3429.
x(10) = 10·3·(-1)·(-7)/[(-4)(-8)(-14)] + 15·7·(-1)·(-7)/[4·(-4)(-10)] +
+ 17·7·3(-7)/[8·4·(-6)] + 20·7·4·1/[14·10·6] = 16.641.
Лабораторная работа № 18.
«Интерполяционный многочлен Ньютона»
Цель: Уметь составить многочлен пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Задание: Для функции
Таблица к задаче
|
№ |
Таблица значений |
|||||
|
1 2 3 |
0.53 0.67 0.84 |
x |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
|
|
y |
0.461281 |
0.535153 |
0.600685 |
|||
|
x |
0.8 |
0.9 |
||||
|
y |
0.657670 |
0.706241 |
||||
|
4 5 6 |
0.57 0.62 0.78 |
x |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
|
|
y |
0.548987 |
0.680492 |
0.833304 |
|||
|
x |
0.8 |
|||||
|
y |
1.009122 |
|||||
|
7 8 9 |
0.47 0.69 0.72 |
x |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
|
|
y |
0.362528 |
0.436468 |
0.502979 |
|||
|
x |
0.7 |
0.8 |
||||
|
y |
0.562204 |
0.614452 |
||||
|
10 11 12 |
0.53 0.78 0.92 |
x |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
|
|
y |
0.579250 |
0.729755 |
0.898808 |
|||
|
x |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
|||
|
y |
1.090475 |
1.309671 |
1.562402 |
|||
|
13 14 15 |
0.64 0.73 0.89 |
x |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
|
|
y |
0.496883 |
0.592270 |
0.683378 |
|||
|
x |
0.9 |
|||||
|
y |
0.767847 |
|||||
|
16 17 18 |
0.43 0.52 0.77 |
x |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
|
|
y |
0.021294 |
0.041480 |
0.071336 |
|||
|
x |
0.7 |
0.8 |
||||
|
y |
0.112387 |
0.165737 |
||||
|
19 20 21 |
0.64 0.73 0.89 |
x |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
|
|
y |
0.599500 |
0.698531 |
0.796265 |
|||
|
x |
0.9 |
|||||
|
y |
0.891509 |
|||||
|
22 23 24 |
2.58 2.78 2.93 |
x |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
|
|
y |
1.749416 |
1.836064 |
1.926688 |
|||
|
x |
2.8 |
2.9 |
3.0 |
|||
|
y |
2.020652 |
2.117259 |
2.215765 |
|||
|
25 26 27 |
2.53 2.77 2.96 |
x |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
|
|
y |
3.835176 |
3.950609 |
4.060970 |
|||
|
x |
2.8 |
2.9 |
3.0 |
|||
|
y |
4.167403 |
4.270920 |
4.372438 |
|||
|
28 29 30 |
0.68 0.92 1.36 |
x |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
|
|
y |
0.301770 |
0.457854 |
0.628915 |
|||
|
x |
1.2 |
1.4 |
||||
|
y |
0.811346 |
1.002592 |
||||
Другой метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация - отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [xi, xi+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую тем, что требует только значения в узлах, но не её производных.
Лабораторная работа № 19.
«Сплайн-аппроксимация»
Цель: Уметь составить многочлен пользуясь сплайн - аппроксимацией.
Задание. Построить параболический сплайн дефекта 1 для функции , заданной таблицей своих значений, если известно также дополнительное условие. На одном чертеже построить график сплайна и указать исходные точки i=0,..,3.
УКАЗАНИЕ. Для упрощения вычислений записать многочлен на отрезке в виде .
Таблица к задаче
|
№ |
Дополнительное условие |
||||
|
1 |
0.2 |
0.7 |
1.4 |
1.8 |
(1.8)= -2.44 |
|
1.22 |
1.96 |
2.68 |
2.65 |
||
|
2 |
3.2 |
4 |
4.6 |
5 |
(3.2)= -1.81 |
|
-0.187 |
-3.027 |
-4.571 |
-4.795 |
||
|
3 |
1.5 |
2.4 |
2.8 |
3.5 |
(1.5)= -1.426 |
|
0.106 |
-1.770 |
-2.638 |
-3.278 |
||
|
4 |
0 |
0.3 |
0.9 |
1.3 |
(1.3)= -6.3 |
|
13.6 |
13 |
9.3 |
6.5 |
||
|
5 |
0 |
0.5 |
0.9 |
1.2 |
(0.5-0) = (0.5+0) |
|
10.87 |
9.62 |
7.45 |
5.75 |
||
|
6 |
3.3 |
3.9 |
4.3 |
4.7 |
(4.3-0) = (4.3+0) |
|
-0.745 |
-0.968 |
-1.340 |
-1.975 |
||
|
7 |
0.1 |
0.7 |
1.2 |
1.6 |
(1.6)=2.58 |
|
1.01 |
1.26 |
1.81 |
2.58 |
||
|
8 |
-0.7 |
-0.6 |
-0.5 |
-0.3 |
(-0.7)=100 |
|
6.088 |
5.102 |
4.571 |
4.111 |
||
|
9 |
-2 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
(-2)= -1.04 |
|
-1.3 |
-5.2 |
-6.5 |
-5.2 |
||
|
10 |
-0.5 |
-0.2 |
0.6 |
0.9 |
(0.9)=0.637 |
|
-4.601 |
-2.875 |
-1.438 |
-1.211 |
||
|
11 |
0.9 |
1.5 |
1.9 |
2.3 |
(2.3)= -0.636 |
|
22.00 |
27.15 |
25.76 |
21.08 |
||
|
12 |
5.1 |
5.6 |
5.9 |
6.3 |
(5.1)=5.478 |
|
-4.722 |
-3.535 |
-2.206 |
0.106 |
||
|
13 |
1.6 |
2.4 |
2.9 |
3.4 |
(1.6)=1.629 |
|
0.047 |
1.770 |
2.816 |
3.287 |
||
|
14 |
-1.2 |
-0.8 |
-0.3 |
0 |
(0) = 0 |
|
7.18 |
10.04 |
12.99 |
13.59 |
||
|
15 |
-1 |
-0.5 |
0.1 |
0.6 |
(-0.5-0)= (-0.5+0) |
|
6.87 |
9.62 |
10.82 |
9.13 |
||
|
16 |
2.5 |
3 |
3.8 |
4.5 |
(3.8-0)= (3.8+0) |
|
-0.898 |
-0.743 |
-0.907 |
-0.620 |
||
|
17 |
0 |
0.4 |
1.2 |
1.6 |
(1.6)=2.43 |
|
4.66 |
4.38 |
1.71 |
0.91 |
||
|
18 |
0.1 |
0.3 |
0.6 |
1 |
(0.1)= -4.478 |
|
7.493 |
7.303 |
6.168 |
3.750 |
||
|
19 |
-1.5 |
-1 |
0 |
1 |
(-1.5)= -1.85 |
|
-2 |
-3.25 |
-6.5 |
-3.25 |
||
|
20 |
0.7 |
1.4 |
1.9 |
2.4 |
(2.4)= -0.5 |
|
3.18 |
2.25 |
1.86 |
1.60 |
||
|
21 |
-0.2 |
0.5 |
1.1 |
1.6 |
(1.6)= -2.714 |
|
0.820 |
1.615 |
2.438 |
2.717 |
||
|
22 |
4.8 |
5.4 |
5.6 |
6.2 |
(4.8)=4.957 |
|
-4.782 |
-4.173 |
-3.535 |
-0.515 |
||
|
23 |
2.6 |
3.2 |
3.5 |
4 |
(2.6)=2.2 |
|
2.228 |
3.195 |
3.278 |
2.615 |
||
|
24 |
1.3 |
1.8 |
2.3 |
2.8 |
(2.8)= -0.653 |
|
6.533 |
3.984 |
2.568 |
1.949 |
||
|
25 |
-2.5 |
-1.8 |
-0.8 |
0 |
(-1.8-0) = (-1.8+0) |
|
1.347 |
2.390 |
6.021 |
8.155 |
||
|
26 |
0.5 |
1 |
1.8 |
2.5 |
(1.8-0) = (1.8+0) |
|
-4.81 |
-3.43 |
-1.59 |
-0.90 |
||
|
27 |
0 |
0.4 |
0.8 |
1.4 |
(1.4)=2.56 |
|
3.56 |
3.35 |
2.35 |
0.95 |
||
|
28 |
0 |
0.2 |
0.6 |
1 |
(0) = 13 |
|
-6.50 |
-6.25 |
-4.78 |
-3.25 |
||
|
29 |
-0.4 |
-0.1 |
0.4 |
1.2 |
(-0.4)= -5.555 |
|
3.333 |
2.222 |
1.429 |
0.909 |
||
|
30 |
0.8 |
1.5 |
2.1 |
2.6 |
(2.6)= -0.4 |
|
3.00 |
2.16 |
1.74 |
1.50 |
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. Что такое обратное интерполирование, при каких условиях оно возможно (корректно)?
Метод Лагранжа
1. Полиномом какой степени является интерполяционный полином Лагранжа при n+1 узлах?
2. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?
3. Что влияет на точность интерполяции в методе Лагранжа?
4. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?
5. Можно ли располагать узлы интерполяции произвольно при использовании метода?
6. К какому классу функций относится функция, задаваемая интерполяционной формулой Лагранжа?
7. Как повлияет дополнительная п +1 точка исходных данных внутри отрезка [х0, хn] на точность интерполяции?
8. Как определить погрешность интерполяции в узле?
9. Как влияет количество узлов интерполяции на точность интерполяции?
10. Каким путем в общем случае можно повысить точность интерполяции?
Метод Ньютона
1. Может ли метод Ньютона применяться для экстраполяции?
2. Можно ли располагать неравномерно узлы интерполяции при использовании основного метода Ньютона?
3. Каким путем можно повысить точность интерполяции при использовании метода Ньютона?
4. Конечную разность какого наивысшего порядка можно получить по и исходным точкам?
5. Как выражается конечная разность k-гo порядка?
6. Можно ли конечную разность выразить только через исходные значения функции?
7. В чем заключается разница между первой и второй интерполяционными формулами Ньютона?
8. Какой прием можно использовать для оценки погрешности интерполяции таблично заданной функции?
9. Какой степени можно получить интерполяционный полином при трех заданных точках методом Ньютона?
10. Сколько существует интерполяционных полиномов степени n?
Сплайновая интерполяция
1. Каковы основные возможности сплайновой интерполяции?
2. Что называется кубическим сплайном?
3. Через сколько исходных точек проходит один кубический полином в кубическом сплайне?
4. Сколько коэффициентов, подлежащих определению, содержит кубический сплайн?
5. Какие условия используются для нахождения коэффициентов сплайнов?
6. Какую функцию называют гладкой?
7. Могут ли узлы сплайнов располагаться неравномерно?
8. Что относится к недостаткам сплайновой интерполяции?
9. Можно ли найти с помощью сплайновой интерполяции производные таблично заданной исходной функции в узлах?
10. Зачем нужны дополнительные граничные условия?
Ответы:
Метод Лагранжа
1. Полиномом n-й степени, так как именно он может быть проведен через заданные n+1 точки.
2. В принципе может, в методе не заложено ограничений на применение для экстраполяции.
3. На точность интерполяции влияют, как это видно из формулы погрешности: число узлов, свойства исходной функции (посредством производной (n + 1)-го порядка), расположение узлов в интервале, положение точки, в которой определяется погрешность.
4. Новые узлы добавлять можно, но интерполяционное значение функции необходимо рассчитывать заново, а не вносить поправку, обусловленную добавляемой точкой.
5. Узлы можно располагать произвольно.
6. Интерполяционная формула Лагранжа относится к полиномиальным функциям.
7. Дополнительная точка внутри интервала повысит точность интерполяции (если общее число точек не слишком велико).
8. Погрешность в узле всегда равна нулю, так как интерполяционная функция всегда проходит через все узлы.
9. С ростом числа узлов (на заданном интервале) погрешность сначала падает, что обусловлено лучшим совпадением исходной функции и интерполяционным полиномом более высокой степени, а затем может возрастать за счет высокой чувствительности к вычислительным погрешностям, особенно в коэффициентах при высоких степенях переменной х. Она может также возрастать и вследствие того, что полином высокой степени не сходится к интерполируемой функции.
10. Точность интерполяции в заданной точке можно повысить за счет некоторого повышения числа узлов и оптимального их размещения (см. метод Чебышева) на заданном интервале.
Метод Ньютона
1. Может, в методе не заложено ограничений на применение для экстраполяции.
2. Нет, неравномерно располагать узлы интерполяции при использовании формул с конечными разностями нельзя, так как невозможно в этом случае рассчитать конечные разности; существует развитие методов Ньютона, позволяющее использовать неравномерно расположенные узлы, в этом случае используются разделенные, а неконечные разности.
3. Точность интерполяции в заданной точке можно повысить за счет некоторого увеличения числа узлов.
4. Можно получить конечную разность (n-1)-го порядка по n точкам.
5. Конечная разность k- го порядка в i-й точке выражается следующим образом:
6. Можно конечную разность любого порядка выразить через исходные значения функции, так как разность первого порядка непосредственно выражается через функции, разность второго порядка — через разности первого порядка, подставив выражения для которых в формулу для второй разности получим выражение второй разности через исходные функции, и т.д.
7. Первая интерполяционная формула базируется на конечных разностях, вычисленных в начальных точках, а вторая — на конечных разностях, вычисленных в конечных точках заданного интервала.
8. Для оценки погрешности интерполяции по имеющимся n точкам можно для интерполяции использовать меньшее число точек (например, n -1 или n -2), а остальные точки использовать для вычисления конечной разности высокого порядка, которая используется в формуле оценки погрешности интерполяции.
9. По трем заданным точкам можно получить интерполяционный полином второго порядка.
10. Интерполяционный полином степени n при наличии n+1 точки единственный, так как он содержит n+1 коэффициентов, определяемых однозначно с использованием заданных точек.
Метод сплайнов
1. Онлайновая интерполяция позволяет получить наиболее гладкую интерполяционную функцию.
2. Кубическим сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, когда каждый полином является полиномом третьей степени.
3. Каждый кубический полином проходит через две соседние точки.
4. Один кубический сплайн содержит четыре коэффициента, которые нужно определить.
5. Для нахождения коэффициентов сплайна используются следующие условия:
• прохождение сплайна через начальные для него точки;
• прохождение сплайна через конечные для него точки;
• гладкость общей интерполяционной функции (равенство первых производных в начале следующего и в конце текущего участков);
• гладкость первой производной (равенство вторых производных вначале следующего и в конце текущего участков).
6. Функция называется гладкой, если ее первая производная непрерывна.
7. Узлы при сплайновой интерполяции могут располагаться произвольно.
8. К недостаткам сплайновой интерполяции относится сравнительно большой объем вычисляемых коэффициентов (при n+1 узле будет n участков и, следовательно, л сплайнов, для каждого из которых необходимо найти четыре коэффициента).
9. Производные можно найти в узлах специальными вычислительными алгоритмами, минуя непосредственное нахождение всех коэффициентов сплайна, причем с высокой эффективностью; вычисление производных является одной из основных прикладных областей применения сплайнов.
10. Дополнительные граничные условия необходимы потому, что используемых условий не хватает для определения всех коэффициентов сплайнов (не хватает как раз двух, поэтому дополняют расчетные соотношения двумя граничными условиями на концах интервала).
Глава 7. Численное интегрирование
§ 1. Формулы прямоугольников
Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов, называемые также квадратурными формулами, применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл с помощью формулы Ньютона—Лейбница. Встречаются также и случаи, когда приходится прибегать к формулам приближенного интегрирования даже для таких интегралов, которые могут быть найдены в конечном виде, но их выражение оказывается слишком сложным. Особенно важны формулы приближенного интегрирования при решении задач, содержащих функции, заданные таблично.
Наиболее простыми формулами для численного интегрирования являются формулы прямоугольников и трапеций. Вывод их основан на использовании геометрического смысла определенного интеграла, выражающего, как известно, площадь криволинейной трапеции.
Формула прямоугольников, собственно, есть не что иное, как интегральная сумма, составленная с учетом некоторых дополнительных предположений, впрочем, совершенно естественных.
Пусть требуется вычислить интеграл . Разобьем участок интегрирования [а, b] на п равных частей и поместим точки, значения функции в которых входят в интегральную сумму, в левых концах полученных участков. Если считать, что п достаточно велико, т. е. длина участков разбиения h=(b—а)/п достаточно мала, то интегральная сумма должна уже мало отличаться от величины интеграла.
(1)
Таким образом, мы получаем приближенное равенство, которое и является формулой прямоугольников. Здесь, как и всюду в дальнейшем, через y1, y2, y3, ..., уn обозначены значения функции y=f(x) в точках деления
Геометрическую иллюстрацию этого факта можно видеть на рис.1, где взята возрастающая функция и слагаемые, входящие в различные суммы, показаны пунктиром и штриховкой.
Рисунок 1.
Лабораторная работа № 20.
«Метод прямоугольников»
Цель: Научиться вычислять интеграл методом прямоугольников.
Варианты заданий
Вычислить интеграл по формуле прямоугольников с тремя десятичными знаками.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24. 25.
26. 27. 28. 29. 30.
§ 2. Формулы трапеций
Формулу трапеций можно легко получить и непосредственно, исходя из ее геометрического смысла. Разобьем отрезок интегрирования на п равных частей точками а = Х1 < x2 < x3 <... < Xn-1 < xn = b, проведем ординаты во всех точках деления и заменим каждую из полученных криволинейных трапеций прямолинейной, как это показано на рис. 2. Сторонами каждой из этих трапеций являются две соседние ординаты, участок оси Ох, длина которого h=(b—a)/n, и хорда кривой. Площадь трапеции равна Аналогично для n трапеций, находим
(2)
Это и есть формула трапеций.
Лабораторная работа № 21.
«Метод трапеций»
Цель: Научиться вычислять интеграл методом трапеций.
Варианты заданий
Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=100; оценить погрешность результата
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
Задание: Вычислить интеграл методом трапеций с шагом h = 0.01
Программа на MathCade имеет следующий вид:
График функции имеет вид:
§ 3. Формула Симпсона
Более точной, нежели рассмотренная в предыдущем параграфе формула трапеций, является формула Симпсона. Для достижения той же точности в ней можно брать меньшее число п, участков разбиения и соответственно больший шаг h, а при одном и том же шаге h, т, е. при том же объеме вычислений, она дает меньшие абсолютную и относительную погрешности. Формулу Симпсона можно получить с помощью того же приема, который уже дважды применялся в §1 и 2. Разобьем участок [а, b] на четное число частей
Рис. 3.
точками. Проведем через три точки кривой с координатами (Х0, Yо), (X1, Y1), (X2, У2) параболу с осью, параллельной оси Оу. Ее уравнение будет y=Ax2+Bx+C, (рис.3) причем коэффициенты А, В, С остаются пока неизвестными. Заменив площадь заданной криволинейной функции на участке [Х0, Х2 ] площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой придем к приближению.
Для увеличения точности вычислений отрезок [a,в] развивают на n пар участков (рис 3)и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона второй степени, получают приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2 h
Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке [a,b] будет равно сумме интегралов ,т.е.
Z= (3)
Формула (3) и есть нужная нам формула Симпсона. Учитывая геометрический смысл формулы, ее называют также формулой парабол. В ней все ординаты с нечетными номерами умножаются на четыре, а все ординаты с четными номерами (кроме крайних) — на два. Крайние ординаты входят в формулу с коэффициентами, равными единице,
где (4)
R=
Оцениваются следующим образом:
R=
Подставляя в подынтегральную функцию значение
получим
Лабораторная работа № 22.
«Определение тока и напряжения методом Симпсона»
Цель: Научиться вычислять ток или напряжение методом Симпсона.
Задача: Определить ток iL в индуктивности L или напряжение Uc на емкости C по заданному напряжению UL или току iC для пяти моментов времени t1, t2, t3, t4, t5 в заданном интервале [0, t]. - рис.1 и 2. Исходные данные для расчета приведены в таблице.
рис.1 рис.2
Варианты заданий
Таблица
|
Исходные данные |
Последняя цифра шифра |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Номер рисунка |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Индуктивность, L, мГн |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
|
Емкость, С, мкФ |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
|
Расчетное время, t, мкс |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
Напряжение ULB; iC, A |
e-2tsin2t |
e-3tsin3t |
||||||||
Теоретическая часть
Численные методы интегрирования функции основаны на геометрическом представлении определенного интеграла
(1)
площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
y = f (x), (2)
осью абсцисс и двумя прямыми х =а и х = b
На первом этапе решения задачи необходимо вывести расчетные формулы для функций:
IL= f(uL) (3)
Uc= f(iC) (4)
Для этого воспользуемся соответствующими формулами:
С учетом исходных данных эти формулы примут вид:
Из выражений (7) и (8) следует, что ток iL или напряжение uC можно определить, используя методы численного интегрирования.
Задание: Вычислить интеграл методом Симпсона с шагом h = 0.01
Программа на MathCade имеет следующий вид:
График функции:
§ 4. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
Мы видели, что программная реализация методов численного интегрирования предусматривает получение суммы, количество слагаемых в которой определяется числом точек разбиения интервала интегрирования. В практических приложениях часто приходится вычислять значение кратных интегралов. Кратный интеграл вычисляется для функции многих переменных по замкнутой ограниченной многомерной области. Вычислительная схема при этом в основном сохраняется: интервал, соответствующий изменению каждой переменной внутри области интегрирования, разбивается на фиксированное число отрезков. Таким образом задается разбиение области интегрирования на определенное число элементарных многомерных объемов. Вычисляются значения подынтегральной функции для точек, взятых по одной внутри каждого элементарного объема, и полученные значения суммируются. Легко понять, что при увеличении кратности интеграла число слагаемых очень быстро возрастает. Пусть, например, мы разбиваем интервал изменения каждой переменной на десять частей. Тогда для вычисления тройного интеграла придется вычислять сумму примерно тысячи слагаемых. Для вычисления же 10-кратного интеграла потребуется сумма, количество слагаемых в которой определяется числом 1010. Вычисление такой суммы затруднительно даже на самых быстродействующих современных ЭВМ. В таких ситуациях предпочтительнее использовать для получения значения интеграла метод Монте-Карло. В основе оценки искомого значения интеграла I лежит известное соотношение:
I = yср*s, (1)
где yср - значение подынтегральной функции в некоторой «средней» точке области интегрирования, а s-(многомерный) объем области интегрирования. При этом, конечно, предполагается, что подынтегральная функция (обозначим ее F) непрерывна в области интегрирования. Выберем в этой области п случайных точек Mi. При достаточно большом п приближенно можно считать:
Точность оценки значения интеграла методом Монте-Карло пропорциональна корню квадратному из числа случайных испытаний и не зависит от кратности интеграла. Именно поэтому применение метода целесообразно для вычисления интегралов высокой кратности. Рассмотрим метод для простейшего случая интеграла: . В этой ситуации а = b -а и равенство (1) принимает вид:
(2)
где Xi (i= 1, ..., п ) - случайные точки, лежащие, в интервале [а; b]. Для получения таких точек на основе последовательности случайных точек Xi, равномерно распределенных в интервале [0; 1], достаточно выполнить преобразование:
Хi = а + (b - а)* хi
Значение интеграла I = x2 *sin(x) методом Монте-Карло по формуле (2) будет равна:
Для N = 100 получится следующий результат: I = 0.2191946537782.
Лабораторная работа № 23.
«Вычисление интеграла методом Монте-Карло»
Цель: Научиться вычислять интеграл методом Монте-Карло.
Вычислить определенный интеграл
|
f(x) |
[a, b] |
f(x) |
[a, b] |
|||
|
1 |
[0, 16] |
11 |
[0,4 |
|||
|
2 |
[0, 1] |
12 |
[0,2 |
|||
|
3 |
[0, 5] |
13 |
[0, |
|||
|
4 |
[3, 5] |
14 |
[6, 9] |
|||
|
5 |
[0, |
15 |
[8, 12] |
|||
|
6 |
[0, |
16 |
[6, 10] |
|||
|
7 |
[0, 4] |
17 |
[0, 3] |
|||
|
8 |
[0, 2] |
18 |
[1, 64] |
|||
|
9 |
[0, 4] |
19 |
[0, 3] |
|||
|
10 |
[0, 5] |
20 |
[0, 1] |
Хотя Mathcad позволяет вычислять кратные интегралы непосредственно, однако в большинстве случаев при кратности интегралов 3 и более применение метода Монте-Карло предпочтительнее. Дело в том, при одинаковой точности метод Монте-Карло дает существенный выигрыш во времени (в десятки и сотни раз), особенно при большой кратности интегралов. Идея метода состоит в том, что интеграл заменяется величиной Fср.·V, где V– объем области интегрирования, Fср. –среднее значение подынтегральной функции, вычисленное по нескольким случайно выбранным точкам.
Определим подынтегральную функцию.
И вычислим интеграл обычным способом (обратите внимание на время счета!)
А теперь вычислит тот же интеграл методом Монте-Карло
Поскольку в нашем случае объем области интегрирования равен 1, полученное среднее значение совпадает со значением интеграла. При относительной погрешности в 0.001% время вычисления интеграла по методу Монте-Карло существенно меньше.
Интеграл можно вычислить и другим способом. Заключим область интегрирования внутрь прямоугольной области, "набросаем" внутрь полученной области N случайных точек. Тогда интеграл найдем из соотношения
Максимальное значение подынтегральной функции в области интегрирования не превосходит 125, следовательно, мы может заключить всю область интегрирования внутрь четырехмерного цилиндроида высотой 125 и объемом V=125. Сгенерируем N четверок случайных чисел и подсчитаем, сколько из них лежит под поверхностью f(x,y,z).
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Простейшие методы
1. Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность нахождения интеграла?
2. В каких случаях метод прямоугольников находит применение?
3. Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интеграла?
4. В каких случаях метод трапеций находит применение?
5. Можно ли получить методами прямоугольников и трапеций точное значение интеграла?
Метод Симпсона
1. Какой аппроксимирующей заменяется подынтегральная функция в методе Симпсона?
2. Если для построения аппроксимирующей функции средняя точка берется не в середине участка, то что изменится в алгоритме?
3. Обязательно ли участок интегрирования разбивать при реализации метода на более мелкие участки?
4. Дана подынтегральная функция f(x) = х + 7, с каким методом совпадет метод Симпсона?
5. Почему метод Симпсона использует аппроксимацию подынтегральной функции квадратичной параболой, а способен интегрировать без ошибки и кубические параболы?
Метод Ньютона—Котеса
1. Являются ли постоянными весовые коэффициенты в слагаемых в формуле Ньютона — Котеса?
2. Может ли результат, полученный методом Ньютона—Котеса, совпасть с результатом, полученным методом с более низкой точностью, например методом левых прямоугольников?
3. Может ли подынтегральная функция в методе Ньютона —Котеса аппроксимироваться полиномом второй степени?
4. Какой наивысшей степени полином может использоваться для замены подынтегральной функции в методе Ньютона —Котеса?
5. Могут ли точки при интегрировании располагаться неравномерно?
Методы Чебытева и Гаусса
1. Зачем осуществляют преобразование исходного интервала интегрирования к диапазону (-1, 1)?
2. Почему нельзя для оценки погрешности пользоваться приемом двойного просчета?
3. Почему метод Гаусса дает более высокую точность вычисления интеграла, чем метод Чебышева?
4. Можно ли пользоваться автоматическим подбором шага при использовании метода Гаусса?
5. Для какого числа точек на отрезке интегрирования работают методы?
Общие вопросы численного интегрирования
1. Дана подынтегральная функция f(x) =1500x. Какой из методов будет наиболее эффективен?
2. В каких случаях можно пользоваться автоматическим подбором шага интегрирования?
3. Дана подынтегральная функция f(x) = x2. Можно ли каким либо численным методом вычислить интеграл без ошибки?
4. Дана подынтегральная функция f(x) = 5x 3. Какой из методов даст наиболее точный результат?
5. Как изменяется погрешность нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n?
Ответы:
Простейшие методы
1. При использовании метода прямоугольников для повышения точности интегрирования можно увеличить число участков разбиения исходного интервала, на каждом маленьком интервале интеграл будет вычисляться точнее, и, если число интервалов не слишком велико, общее значение интеграла будет получено с меньшей общей погрешностью.
2. Метод прямоугольников как один из самых простых методов находит применение при приближенных (оценочных) вычислениях интегралов с невысокой точностью.
3. При использовании метода трапеций для уменьшения погрешности интегрирования можно увеличить число участков разбиения исходного интервала, на каждом маленьком интервале интеграл будет вычисляться точнее, и, если число интервалов не слишком велико, общее значение интеграла будет получено с более высокой точностью.
4. Метод трапеций как один из самых простых методов находит применение при вычислениях интегралов со сравнительно невысокой точностью, а также может использоваться при интегрировании функций с невысокой скоростью изменения.
5. Можно; если подынтегральная функция будет кусочно-постоянной, то оба метода дадут точное значение интеграла, а если она будет линейной, то метод трапеций даст точный результат.
Метод Симпсона
1. Подынтегральная функция заменяется в методе Симпсона параболой второго порядка.
2. Если средняя точка берется не в середине участка, то, во-первых, изменится вычислительная формула, во-вторых, метод не будет без ошибки интегрировать кубические параболы (именно за счет выбора третьей точки в середине участка метод обеспечивает интегрирование без ошибки и полинома третьей степени, а не только второй),в-третьих, при "двойном просчете" не удастся использовать ранее рассчитанные значения подынтегральной функции, что удлинит оценку погрешности.
3. Нет, не обязательно, если на исходном участке получающаяся погрешность интегрирования получается удовлетворительной.
4. Для данной линейной подынтегральной функции результат использования метода Симпсона совпадет с результатами методов трапеций, методов Ньютона—Котеса порядка 1 и выше, методов Гаусса, Чебышева. Только метод прямоугольников даст результат с погрешностью.
5. Интегрирование без ошибки кубических парабол методом Симпсона обеспечивается потому, что третья точка, участвующая на каждом участке в вычислении интеграла, берется в середине интервала.
Метод Ньютона — Котеса
1. Нет, коэффициенты не постоянны, у каждого слагаемого свое значение коэффициента, которое изменяется при смене числа используемых точек.
2. Конечно, может результат, полученный методом Ньютона—Котеса, совпасть с результатом, полученным методом с более низкой точностью, например методом левых прямоугольников. Это может иметь место, во-первых, если подынтегральная функция постоянна(или кусочно-постоянна), и, во-вторых, если формула Ньютона —Котеса использует одну точку.
3. Да, может аппроксимироваться полиномом второго порядка, а также полиномом любого порядка.
4. В принципе порядок аппроксимирующего полинома методом не ограничивается, но при высоких порядках сложно вычислять коэффициенты в квадратурной формуле и практически используется аппроксимация полиномом не выше 5-6-го порядка, а для более высокой точности можно разбить исходный интервал интегрирования на более мелкие участки.
5. Нет, точки должны располагаться равномерно.
Методы Чебышева и Гаусса
1. Преобразование исходного интервала к диапазону (-1,1) удобно осуществлять потому, что расчетные формулы получены один раз (и навсегда) именно для этого интервала, в противном случае приходилось бы для каждого интервала заново выводить формулы или пользоваться формулами преобразования для определения новых значений табулированных переменных.
2. Метод двойного просчета эффективен в том случае, когда при вычислении интеграла с удвоенным числом шагов используются ранее рассчитанные значения подынтегральной функции. В методах Чебышева и Гаусса точки по оси х расположены неравномерно, поэтому при удвоении числа шагов новые точки не совпадают по расположению с предыдущими.
3. В методе Гаусса весовые коэффициенты в квадратурной формуле не постоянны, как в методе Чебышева, а различны в каждой точке. За счет этих дополнительных "степеней свободы" без ошибки можно интегрировать уже полином степени, 2n -1 а не n, как в методе Чебышева (здесь n — число точек, в которых вычисляются значения подынтегральной функции).
4. Нет, пользоваться автоматическим подбором шага здесь не удается, так как существуют проблемы оценки погрешности интегрирования.
5. Оба метода работают только для числа точек 2, 3,4, 5,6, 7,9, при других значениях не удается получить формул для расчета значений аргумента и весовых коэффициентов.
Общие вопросы численного интегрирования
1. Предложенная функция линейная, следовательно, метод трапеций даст абсолютно точный результат. Он и будет наиболее эффективен, так как он из всех методов, способных вычислить этот интеграл точно, самый простой.
2. Автоматическим подбором шага интегрирования можно пользоваться в тех случаях, когда есть возможность оценки погрешности интегрирования. Особенно это предпочтительно при равномерном расположении точек и удвоении числа шагов, так как в этом случае можно не вычислять дважды отдельные значения подынтегральной
функции, а использовать уже найденные на предыдущем шаге; это относится ко всем простейшим методам, а также и к методам Симпсона, Ньютона — Котеса.
3. Предложенная функция квадратичная, следовательно, метод Симпсона даст абсолютно точный результат. Он и будет наиболее эффективен, так как он самый простой из всех методов, способных вычислить этот интеграл точно.
4. Предложенная функция кубическая, следовательно, метод Симпсона даст абсолютно точный результат. Он и будет наиболее эффективен, так как он самый простой из всех методов, способных вычислить этот интеграл точно.
5. При уменьшении числа разбиений и исходного интервала погрешность численного интегрирования, как правило, увеличивается. Исключения составляют случаи, когда интеграл вычисляется численным методом точно, в этих случаях уменьшение числа интервалов не изменит погрешность.
Глава 8. Решение дифференциальных уравнений
§1. Введение
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по аргументу x
j( x, y, y1, ... y(n) ) = 0. (1)
Из теории ОДУ известно, что уравнение (1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка
jk(x, y1, y1’ ,y2 ,y2 ’, ... ,yn ,yn ’) = 0. (2)
где k=1, ... , n.
Уравнение (1) и эквивалентная ему система (2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (1) в некоторой точке xo должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и ее производных
y(x0)=y0’ , y’(x0)=y10, ... , y(n-1)(x0)=yn-1,0.
Для системы ОДУ типа (2) начальные условия задаются в виде
y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20, ... , yn(x0)=yn0. (.3)
Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x є [x0 ,xk], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.
Третий тип задач для ОДУ – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров l1,l2,¼, хm, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [x0,xk] необходимо задать m+n граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.
§2. Решение дифференциальных уравнений в Mathcad.
Аппарат дифференциальных уравнений широко используется для описания не только физических, химических или биологических процессов, но и различных явлений в медицине, экономике, демографии и множестве других современных наук. Зачастую при попытке решения той или иной системы уравнений можно получить совершенно неожиданный результат. В этом разделе мы рассмотрим наиболее интересные примеры решения систем ОДУ: экологическую модель «хищник-жертва», а также движение ракеты в поле тяготения небесных тел.
2.1. Модель «хищник-жертва» (Лотки-Вольтерра)
Модель «хищник-жертва» была предложена независимо друг от друга американским физиком Альфредом Лотка в 1925 году и итальянским математиком Вито Вольтерра в 1926 году. Она описывает эволюцию численности взаимодействующих популяций хищников и жертв на протяжении определенного промежутка времени. Рассмотрим количественные изменения, происходящие в популяциях рысей и зайцев. Зайцы, питаясь растительностью, размножаются с постоянной скоростью А, в результате чего их численность возрастает:
Рыси поедают зайцев, что уменьшает их численность, причем скорость этого процесса By пропорциональна количеству хищников y:
Общая динамика популяции зайцев описывается уравнением:
В результате число зайцев становится настолько большим, что приводит к резкому увеличению количества рысей. Популяция хищника растет пропорционально имеющейся добыче:
Умирают рыси естественной смертью или под влиянием внешних факторов:
В итоге число хищников определяется уравнением:
На определенном этапе рысей становится так много, что количество зайцев быстро уменьшается вследствие интенсивного поедания хищниками. Резкое сокращение запасов пищи вызывает снижение численности рысей, что возобновляет рост популяции зайцев. В конечном счете, процесс повторяется заново. Ниже приведено решение и фазовые портреты полученной системы уравнений для двух начальных условий.
A:=1.5 B:=1 C:=3
r1:=rkfixed(y0,0,10,5000,G) r2:=rkfixed(y1,0,10,5000,G)
Рис. 9. Колебания численности двух взаимодействующих популяций (кривые решений и фазовый портрет)
В критических точках при скорость размножения зайцев равна скорости их поедания хищниками, при рождаемость рысей равна их смертности.
Конечно, модель Лотки - Вольтерра является идеализированной. Несмотря на это, она широко применяется не только в экологии, поскольку удивительно точно описывает периодические процессы, происходящие в природе. Приведенный пример демонстрирует биологические колебания. С таким же успехом можно моделировать и химические колебания, например, периодические реакции.
2.2. Движение ракеты в поле тяготения небесных тел
Согласно открытому Ньютоном закону всемирного тяготения, все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними (в данном случае объекты рассматриваются как материальные точки, то есть размерами тел по сравнению с расстоянием между ними можно пренебречь):
В нашем случае m — масса ракеты, M— масса планеты, R — расстояние между ними, G — гравитационная постоянная (чтобы не оперировать большими величинами масс и расстояний, не будем учитывать ее в примере, поскольку на характер зависимости это никак не повлияет).
С другой стороны, второй закон Ньютона гласит, что сила есть ничто иное как произведение массы тела на его ускорение:
F:= ma
Приравняв выражения и отбросив G, получим:
Используя теорему Пифагора, несложно показать, что расстояние R между двумя точками с координатами (x, y, z) и (x1, y1, z1) определяется следующим выражением:
Для упрощения расчетов найдем проекции вектора ускорения а на координатные оси x, y, z.
Чтобы наглядно представить все рассуждения, начертим вспомогательную схему.
Рис. 14. Схема нахождения проекции вектора ускорения а на ось х
Проекция расстояния R между ракетой и планетой М является катетом прямоугольного треугольника Мх1х (см. рис. 14), а само расстояние — гипотенузой. Поскольку косинус угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе, то проекцию вектора а мы можем найти как:
ax = acos(a)
Подставим в полученную формулу выражение для а и воспользуемся определением косинуса, в результате получим:
Абсолютно аналогичные выражения можно записать и для проекций вектора а на оси y и z.
Полученная нами зависимость описывает траекторию полета ракеты в поле тяготения одной планеты.
В случае же нескольких планет необходимо учитывать принцип суперпозиции гравитационных полей. Согласно этому принципу гравитационное поле, создаваемое массой, действует в независимости от наличия других масс. Другими словами, гравитационные поля, возбуждаемые несколькими небесными телами, накладываются друг на друга, оставаясь при этом неизменными, и управляют движением как искусственных, так и естественных тел в космическом пространстве.
В нашем примере поле тяготения каждой планеты будет вносить вклад в ускорение ракеты. Сумма же этих вкладов и будет результирующим ускорением. В дифференциальной форме для составляющей вектора ускорения по оси х сказанное выше запишется как:
По такому же принципу составляются уравнения и для проекций вектора а по осям y и z.
Теперь, когда даны необходимые теоретические пояснения, приступим к решению полученной системы дифференциальных уравнений.
Траектория полета определяется рядом факторов, важнейшие из которых — начальная скорость ракеты, масса, координаты планет, а также их количество. Варьируя эти параметры, рассмотрим особенности траектории ракеты в наиболее интересных случаях.
1. Начнем рассмотрение задачи с простейшего случая, когда ракета, имеющая нулевую начальную скорость, движется в направлении одной планеты.
Если начальная скорость ракеты равна нулю, то она будет двигаться в направлении планеты по прямой линии. Аналогичная траектория будет наблюдаться и в том случае, когда начальная скорость ракеты направлена точно к центру планеты.
Изучая траекторию движения ракеты, мы будем увеличивать количество планет до пяти, поэтому для задания масс и координат планет по мере их увеличения воспользуемся таблицами ввода данных (в общем случае количество планет может быть произвольным).
В данном примере приводятся дифференциальные уравнения для универсальной модели, описывающей движение ракеты в поле тяготения n планет. Если же задать в таблице параметры одной планеты, то решение найдено не будет, поскольку для корректной работы модели массы и координаты должны быть представлены в форме векторов, что возможно, когда минимальное количество планет равно двум. Поэтому добавим в систему еще одну планету малой массы, влиянием которой на движение ракеты можно пренебречь.
Определяем координаты исходной точки и составляющие скорости ракеты по осям х, y, z.
Вводим ключевое слово Given, начальные условия и общие уравнения движения:
Находим решение системы:
Чтобы воспользоваться функцией CreateSpace для визуализации решения, зададим входящий в нее параметр — вектор-функцию F:
В том, что система была решена нами верно, легко убедиться, взглянув на рис. 15.
Рис. 15. Траектория движения ракеты в гравитационном поле одной планеты при нулевой начальной скорости
2. Рассмотрим теперь движение ракеты, когда ее начальная скорость не направлена планету.
Когда начальная скорость ракеты не направлена на планету, ее траектория искривляется ее притяжением. Если скорость ракеты не превышает некоторой величины, то по закону Кеплера траектория будет представлять собой эллипс, который лежит в плоскости, проведенной через начальное направление скорости и центр планеты. Центр же притяжения будет находиться в одном из фокусов эллипса. Разумеется, чем больше начальная скорость, тем больше будет ось орбиты.
В случае слишком большой скорости ракета сможет уйти от центра притяжения. Согласно закону Кеплера, она также будет двигаться по одному из конических сечений — параболе или гиперболе.
Решение ищется аналогичным образом. Изменим лишь составляющие начальной скорости.
Рис. 16. Траектория движения ракеты в поле тяготения одной планеты при ненулевой начальной скорости, направленной не к центру планету
3. Перейдем к более сложному случаю, когда ракета, имеющая нулевую начальную скорость, движется в поле гравитационных сил двух планет.
Особенностью такого движения является то, что траектория ракеты всегда будет находиться в одной плоскости с центрами тяжести планет независимо от их массы и расположения.
Изменим входные условия для масс и координат. Остальные выражения останутся неизменными:
Решение системы (см. рис. 17) полностью подтверждает сказанное выше.
Рис. 17. Движение ракеты с нулевой начальной скоростью в поле сил гравитации двух планет
4. И, наконец, рассмотрим последний случай, иллюстрирующий путь ракеты с ненулевой начальной скоростью в поле сил притяжения пяти планет.
Введем массы и координаты планет, а также начальную скорость ракеты.
В маркере функции Odesolve укажем конечную точку интегрирования 2500. Остальные параметры и уравнения оставим без изменения.
Траектория ракеты будет представлять собой сложную кривую (см. рис. 18).
Рис. 18. Путь ракеты в поле сил притяжения пяти планет (начальная скорость не равна нулю)
Относитесь к результатам работы встроенных функций и вычислительного блока в Mathcad при решении систем ОДУ, критично и осторожно. Всегда старайтесь искать решение при помощи двух различных алгоритмов и принимайте результат как истинный, только если их ответы совпадут. Параметры встроенных функций настраивайте так, чтобы их изменение в 2–10 раз не приводило к изменению в ответе. Руководствуясь описанным подходом, вы сможете избежать многих неприятных сюрпризов.
§3. Теорема существования и единственности.
Вопрос же о том, когда решение существует, когда оно единственно, решается так называемыми теоремами существования и единственности. Эти теоремы очень важны как для самой теории, так и для практики.
Теоремы существования и единственности имеют принципиальное значение, гарантируя законность применения качественных методов теории дифференциальных уравнений для решения задач естествознания и техники. Они являются обоснованием для создания новых методов и теорий. Часто доказательства самих теорий существования и единственности являются конструктивными, т.е. методы доказательства дают и методы приближенного отыскания решений с любой степенью точности. Таким образом, теоремы существования и единственности лежат в основе не только упоминавшейся выше качественной теории дифференциальных уравнений, но и в основе методов численного интегрирования.
К настоящему времени разработав многочисленные методы численного решения дифференциальных уравнений. Хотя эти методы обладают тем недостатком, что всегда дают какое-то конкретное решение, что сужает возможности использования, они тем не менее используются на практике. Следует, однако, отметить, что численному интегрированию дифференциального уравнения обязательно должно предшествовать обращение к теоремам существования и единственности. И это необходимо делать для того чтобы избежать недоразумений или вообще неправильных выводов.
Рассмотрим два простых мера, но предварительно приведем формулировки одного вариантов теорем существования и единственности.
Теорема существования. Если в уравнении функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости ( х, у), то для любой точки ( хо, уо) Î D существует решение у (х) начальной задачи.
y(x0) = y0 (1)
определённое на некотором интервале, содержащем точку хо.
Теорема существования и единственности. Если функция f определена и непрерывна в некоторой ограниченной области D плоскости (х, у), причем удовлетворяет в области D условию Липшица по переменной у, т.е.
êf(x,y2)-f(x,y1)ê< L*|y2-y1 ê,
где L - положительная постоянная, то для любой точки (хо, yо) Î D существует единственное решение у(х) начальной задачи (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку хо.
Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения с начальными данными (xo,yo) Î D может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области D. При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.
Рассмотрим задачу. Требуется, используя численный метод интегрирования Эйлера с итерационной схемой y i+1 = yi + hf(xi; уi;) и шагом h = 0,l, решить начальную задачу
Y = -х/у, у (-1)= 0,21 (2)
на отрезке [- 1,3].
Заметим здесь, что к исследованию уравнения Y = -х/у приводит, например, консервативная система, состоящая из тела, которое совершает горизонтальные движения в вакууме под действием линейных пружин.
Результаты численного интегрирования приводят к следующей таблице:
|
X |
-1 |
-0,9 |
-0,8 |
-0.7 |
-0,6 |
-0.5 |
-0,4 |
-0,3 |
-0,2 |
|
Y(x) |
0,21 |
0,686 |
0,817 |
0,915 |
0,992 |
1.052 |
1,100 |
1,136 |
1,163 |
|
X |
-0,1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
|
Y(x) |
1,18 |
1,188 |
1,188 |
1,180 |
1,163 |
1,137 |
1,102 |
1,056 |
1,000 |
|
X |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
|
Y(x) |
0,93 |
0,844 |
0,737 |
0,601 |
0,418 |
0,131 |
-0,859 |
-0,696 |
-0,480 |
|
X |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2.4 |
|
Y(x) |
-0,146 |
1,014 |
0,837 |
0,609 |
0,281 |
-0,465 |
0,007 |
-31,625 |
Графическая интерпретация полученных результатов показана на рис. 1.
Обратимся теперь к теореме существования. Для исследуемой начальной задачи (2) функция f , определяемая равенством f (х, у) = - х / у, определена и непрерывна во всей плоскости (х, у),за исключением точек оси абсцисс. Таким образом, в соответствии с теоремой существования, существует решение у ( х ) начальной задачи ( 2 ) , определенное на некотором интервале, содержащем точку хо =-1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено до значения у ( х ), близкого к значению у (х ) = 0.
рис.1
В результате численного интегрирования получаем решение начальной задачи (2) на некотором интервале (а, b), где а<1, 1,3< b < 1,4. Однако, учитывая конкретный вид дифференциального уравнения, можно установить истинный промежуток существования решения начальной задачи (2). Действительно, так как в исходном уравнении переменные разделяются, то
интегрируя, получаем, что у =
.
Итак, обращение к теореме существования (и к теореме о продолжении) позволило « отсечь» отрезок, на котором решение исходной начальной задачи заведомо не существует. Одно же только численное интегрирование приводит к ошибочному результату. Дело здесь в том, что при приближении решения у = у (х) к оси х угол наклона кривой приближается к 180°. Поэтому пока аргумент х изменяется на величину 0,1, значение у успевает «перескочить» ось х, и мы попадаем на интегральную кривую, отличную от исходной. А это происходит потому, что метод Эйлера , учитывает угол наклона только в текущей точке.
Рассмотрим второй пример:
Применяя метод Эйлера, а затем улучшенный метод Эйлера, с шагом h = 0,1 и итерационной схемой
уi+1 = уi +hf(xi+1/2- yi+1/2), где yi+1/2 = уi +hf(xi - yi)/2, решим начальную задачу
Y’ = , у(-1) = -1 (3)
на промежутке [ -1, 1 ].
Результаты численного счета сведем в таблицу (метод Эйлера).
|
X |
-1 |
-0,9 |
-0,8 |
-0,7 |
-0,6 |
-0,5 |
-0,4 |
-0,3 |
|
Y(x) |
-1,000 |
-0,700 |
-0,460 |
-0,275 |
-0,138 |
-0,045 |
-0,008 |
-0,016 |
|
X |
-0,2 |
-0,1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
Y(x) |
0,007 |
-0,005 |
0,000 |
0,000 |
0,003 |
0,011 |
0,031 |
0,068 |
|
X |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
Y(x) |
0,129 |
0,220 |
0,347 |
0,516 |
0,732 |
Графически имеем картину, представленную на рис. 2. Что касается улучшенного метода Эйлера, то картина здесь другая.
Полученные числовые значения( по улучшенному методу Эйлера) заносим в таблицу:
|
X |
-1 |
-0,9 |
-0,8 |
-0,7 |
-0,6 |
-0,5 |
-0,4 |
-0,3 |
|
Y(x) |
-1,000 |
-0,730 |
-0,514 |
-0,346 |
-0,219 |
-0,129 |
-0,068 |
-0,031 |
|
X |
-0,2 |
-0,1 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
Y(x) |
0,012 |
-0,004 |
-0,002 |
-0,004 |
0,003 |
0,011 |
0,031 |
0,068 |
|
X |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
Y(x) |
-0,225 |
-0,352 |
-0,522 |
-0,739 |
-1,010 |
рис3.
Графически получаем картину ( рис.3), отличную от картины, изображенной на рис. 2. Чтобы разобраться в результатах расхождения, проинтегрируем исходную начальную задачу. Разделяя переменные, имеем
или y = ± x3. Отсюда видно, что решение по методу Эйлера приближает функцию y1(х) = x3, а улучшенный метод Эйлера – функцию
При этом, как y1, так и y2 являются решениями начальной задачи(3), значит, для рассматриваемой на промежутке [ -1, 1 ] начальной задачи имеет место не единственность.
Так как функция f, заданная равенством Y’ = , непрерывна во всей плоскости (х, y), то из теоремы существования следует, что существует решение начальной задачи(3), определенное на некотором промежутке, содержащим точку х0 = -1, и это решение по теореме о продолжении может быть продолжено на любой промежуток. Так как то, функция Y’ = удовлетворяет условию Липшица по переменной y в любой области, не содержащей точки оси х. Если же область содержит точки оси х, то функция условию Липшица уже не удовлетворяет. Поэтому из теоремы существования и единственности (и теоремы о продолжении) следует, что в данном случае решение начальной задачи может быть продолжено единственным образом до оси х. Но поскольку прямая y = 0 является особой интегральной прямой для дифференциального уравнения Y’ = , что как y станет равным нулю, решение начальной задачи(3) не может быть единственным образом продолжено за точку О (0,0).
Если речь идет о единственном на промежутке [- 1,1] решении начальной задачи (3), то оно существует и определено лишь на отрезке [-1,0]. В общем же случае таких решений несколько.
§4. Метод Эйлера
Пусть необходимо найти решение уравнения
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.1)
с начальным условием задачей Коши. Разложим искомую функцию GOTOBUTTON ZEqnNum509113 * MERGEFORMAT (5.1) Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.2)
Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера.
Запускается метод из начальных условий
рис.1. Иллюстрация метода Эйлера.
Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. На рис. 1. приведена графическая интерпретация метода Эйлера. Величины a1 и a2 определяются из условий: tga1 = f(x0,y0) и tga2 = f(x1,y1), ; расчетные значения функции—по соответствующим соотношениям.
Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера– метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h.
Пример 1.
Решить дифференциальное уравнение вида =2х2 +2у при начальных условиях х0 =0, у(х0)=1 с шагом h =0,1 на интервале [0, 1]. Это уравнение имеет аналитическое решение у =1,5х2 -х -0,5. Для контроля решения численным методом приведем наряду с численным и точное решение.
Первый шаг: =1+0,1•(2•0+2•1)=1,2.
Второй шаг: =1,2+0,1•(2•0,12 +2•1,2)=1,442.
Процесс вычислений по приведенной формуле не представляет трудностей, поэтому приведем остальные результаты (через точку) в табл. 1.
Таблица 1.
|
X |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
Точное решение |
1 |
1,4977 |
2,2783 |
3,5202 |
5,4895 |
8,5836 |
|
Приближенное решение |
1 |
1,4420 |
2,1041 |
3,1183 |
4,6747 |
7,0472 |
Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале. Среднее значение производной можно получить (конечно же только приближенно) различными способами. Можно, например, оценить значение производной в середине интервала и использовать его для аппроксимации решения на всем интервале
Можно также оценить среднее значение производной на интервале
Такие модификации метода Эйлера имеет уже точность второго порядка.
Точность вычислений обычно контролируют двойным просчетом: сначала вычисляют решение уравнения на каком-то текущем шаге h, т.е. находясь в точке хi и вычисляя значение у(хi +h)=, затем в эту же точку хi+1 приходят за два шага по h/2, получают , сравнивают их: если для обоих вариантов различие в пределах желаемой погрешности, то решение принимают, а если нет, то опять делят шаг на два и т.д., до тех пор, пока не получится приемлемый результат. Однако следует помнить, что при очень маленьком шаге, получающемся в результате его последовательного деления, может значительной оказаться накапливающаяся вычислительная ошибка.
Пример 2.
Условие задачи сформулировано в примере 1.
Первый шаг (по методу Эйлера):
=1+0,1•(2•0+2•1)=1,2.
Первый шаг по модифицированному методу:
= 1 + 0,1/2•[(2•0+2•1)+(2•0,12+2•1,2)] = 1,221.
Второй шаг (по методу Эйлера):
=l,221+0,1•(2•0,l2+2•1,221) = 1,473.
Второй шаг по модифицированному методу:
=1,221 + 0,1/2•[(2•0,12 + 2•1,221) + (2•0,22 + 2•1,221)] = 1,4923.
Результаты дальнейших шагов (через точку) представим в табл. 2.
Таблица 2.
|
X |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
Точное решение |
1 |
1,4977 |
2,2783 |
3,5202 |
5,4805 |
8,5836 |
|
Приближенное решение |
1 |
1,4923 |
2,2466 |
3,4176 |
5,2288 |
8,0032 |
«Метод Эйлера»
Цель: Научиться применять метод Эйлера.
Задание: Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения шаг h=0.1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Варианты заданий.
1. y(1.8)=2.6, xÎ[1.8; 2.8]. 2. =x+cos, y(1.6)=4.6, xÎ[1.6; 2.6]
3. = x+ cos , y(0.6)=0.8, xÎ[0.6; 1.6] 4. =x+cos , y(0.6) =0.9, xÎ[0.5; 1.5]
5. =x+cos , y(1.7)=5.3, xÎ[1.7; 2.7] 6. =x+cos , y(1.4)=2.2, xÎ[1.4; 2.4]
7. =x+cos , y(1.4)=2.5, xÎ[1.4; 2.4] 8. =x+cos, y(0.8)=1.4, xÎ[0.8; 1.8]
9. =x+cos , y(1.2)=2.1, xÎ[1.2; 2.2] 10. =x+cos , y(2.1)=2.5, xÎe[2.1; 3.1]
11. =x+sin , y(1.8)=2.6, xÎ[1.8; 2.8] 12. =x+sin, y(1.6)=4.6, xÎ[1.6; 2.6]
13. =x+sin , y(0.6)=0.8, xÎ[0.6; 1.6] 14. =x+sin, y(0.6)=, xÎ[0.5; 1.5]
15. =x+sin , y(1.7)=5.3, xÎ[1.7; 2.7] 16. =x+sin, y(1.4)=2.2, xÎ[1.4; 2.4]
17. =x+sin, y(1.4)=2.5, xÎ[1.4; 2.4] 18. =x+sin, y(0.8)=1.3, xÎ[0.8; 1.8]
19. =x+sin, y(1.1)=1.5, xÎ[1.1; 2.1] 20. =x+sin, y(0.6)=1.2, xÎ[0.6; 1.6]
21. =x+sin , y(0.5)=1.8, xÎ[0.5. 1.5] 22. =x+sin, y(0.2)=1.1, xÎ[0.2; 1.2]
23. =x+sin, y(0.1)=0.8, xÎ[0.1; 1.2] 24. =x+sin, y(0.6) =, xÎ[0.5; 1.5]
25. =x+sin, y(1.2)=1.4, xÎ[1.2; 2.2] 26. =x+cos, y(0.4)=0.8, xÎ[0.4; 1.4]
27. =x+cos, y(0.3)=0.9, xÎ[0.3; 1.3] 28. =x+cos, y(1.2)=1.8, xÎ[1.2; 2.2]
29. =x+cos, y(0.7)=2.1, xÎ[0.7; 1.7] 30. x+cos y(0.9)=1.7, xÎ[0.9; 1.9].
Пример выполнения задания.
Задание: Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения шаг h=0.1.
Программа
на MathCade имеет следующий
вид:
Рассмотренные в предыдущем параграфе метод Эйлера и его уточнение были основаны на замене искомой функции линейной функцией и экстраполяции этой последней за пределы того участка, где она известна. Метод Адамса, основан на той же идее экстраполяции, но берет за основу интерполяционный многочлен более высокой степени. Собственно говоря, существует целая серия формул, которые используют интерполяционные многочлены различных степеней и носят одно и то же название формул метода Адамса.
(1)
Явная двухшаговая схема
Yn-1 = yn – 7/2*h*yn+2*h*yn-1+5/2*h*yn+1 (2)
При m = 2, b0 = 0, b1 = 3/2, b2 = -1/2, если подставим в формулу-(1).
Неявная схема Адамса
Yn-1 = yn + 5/12*h*yn+2/3*h*yn-1 + 1/12*h*yn-2 (3)
Это и есть основная в рассматриваемом методе формула Адамса для продолжения таблицы.
§6. Метод Рунге — Кутта
Основным недостатком методов Адамса является трудность входа в таблицу. В каждом методе из этой группы для получения следующего значения функции пользуется весьма обширная информация о ее поведении в предыдущих узлах. Поэтому для работы с формулой Адамса с любыми разностями нужно предварительно найти еще несколько значений функции. При этом необходимо эти значения иметь с достаточно большой точностью, так как заметная погрешность в начальных значениях может свести на нет точность любого метода нахождения следующих.
Метод Рунге-Кутта, очень часто используется для нахождения значений функции в нескольких начальных точках, благодаря той его особенности, что он совсем не использует предыдущей информации... Каждый шаг в методе Рунге — Кутта делается как бы заново, и для вычисления значения функции в точке Xn+1 используется лишь ее значение в точке Хn-
Платой за столь малую информативность метода является его трудоемкость. Для получения следующего значения функции требуется несколько раз вычислять значение производной у, т.е. обращаться к правой части дифференциального уравнения, если эта правая часть слишком громоздка, то трудоемкость метода будет в несколько раз превосходить соответствующую трудоемкость метода Адамса.
Существует несколько методов Рунге — Кутта различных порядков. Наиболее распространенным является метод четвертого порядка.
Метод Рунге-Кутта – четвертого порядка:
«Метод Рунге-Кутта»
Цель: Научиться применять метод Рунге-Кутта.
Задание: Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения у’=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y(x0)=y0 на отрезке [a,b]; шаг h=0.1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Варианты заданий.
1. 2, y(0)=0. 2. =cos(x+y)+0.5(x-y), y(0)=0.
3. = -0.5y2, y(0)=0. 4. =(1-)cosx+0.6y, y(0)=0.
5. =1+0.4ysinx-1.5y2, y(0)=0. 6. = +0.3y2, y(0)=0.
7. =cos(1.5x+y)+(x-y), y(0)=0. 8. =1-sin(x+y)+ , y(0)=0.
9. = +0.1y2, y(0)=0. 10. =0.6sinx -1.25y2+1, y(0)=0.
11. =cos(2x+y)+1.5(x-y), y(0)=0. 12. =1- -sin(2x+y), y(0)=0.
13. = -0.1y2, y(0)=0. 14. =1+0.8ysinx-2y2, y(0)=0.
15. =cos(1.5x+y)+1.5(x-y), y(0)=0. 16. =1-sin(2x+y)+ , y(0)=0.
17. = -0.5y2, y(0)=0. 18. =1+(1-x)siny-(2+x)y, y(0)=0.
19. =(0.8-y2)cosx+0.3y, y(0)=0. 20. =1+2.2sinx+1.5y2, y(0)=0.
21. =cos(x+y)0.75(x-y), y(0)=0. 22. =1-sin(1.25x+y)+ , y(0)=0.
23. = -0.3y2, y(0)=0. 24. =1-sin(1.75x+y)+ , y(0)=0.
25. = -0.5y2, y(0)=0. 26. =cos(1.5x+y)-2.25(x+y), y(0)=0.
27. = -1.25y2, y(0)=0. 28. =1-(x-1)siny+2(x+y), y(0)=0.
29. =1-sin(0.75x-y) + , y(0)=0. 30.
Пример выполнения задания.
Задание: Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения шаг h=0.1.
Лабораторная работа № 24.
«Ток переходного режима»
Цель: Научиться применять методы дифференцирования для решении уравнений.
рис.1 рис.2.
исходные данные для расчета приведены в таблице.
|
Исходные данные |
варианты |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Номер рисунка |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
|
Напряжение U, B |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
|
Сопротивление R, OM |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Индуктивность, L, мГн |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
|
Емкость, С, мкФ |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
100 |
105 |
|
Расчетное длительность, t, мкс |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
Задача № 2. Рассчитать ток i в индуктивности L и напряжении UC на емкости С в электрической цепи типа RLС -рис.5, при подключении ее к источнику постоянного напряжения U для пяти моментов времени t1 t2 t3 t4 t5 в заданном интервале времени [ 0,t ]. Методом Рунге-Кутта. Исходные данные для расчета приведены в таблице.
рис 3.
|
Исходные данные |
Последняя цифра шифра |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Напряжение U, B |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
|
Сопротивление R, OM |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
180 |
190 |
|
Индуктивность, L, мГн |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
|
Емкость, С, мкФ |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
120 |
|
Расчетное длительность, t, мкс |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
180 |
190 |
200 |
Теоретическая часть.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, f(x,y).
Общим решением такого уравнения является семейство функций y = j(x, C), зависящее от произвольного постоянного. Чтобы иметь возможность вычислить значение функции - решения в какой либо точке х, необходимо выделить из этого семейства частное решение. Это делается с помощью задания начального условия вида у(х0) = у0.
На первом этапе решения необходимо для соответствующей схемы составить уравнение равновесия по второму закону Кирхгофа, а затем преобразовать его таким образом, чтобы получилось дифференциальное уравнение. Так для схемы на рис.1 уравнение равновесия имеет вид
U =
или U = Ri +
откуда
Аналогично для схемы, приведенной на рис.2, соответствующие уравнения имеют вид:
U =
Для цепи, изображенной на рис.3 справедливы соотношения.
I = iR=iL=iC (7)
UL=U-UR-UC=U-iR-UC (8)
Исходя из этого, ток на индуктивности iL и напряжение на емкости UC будут определяться выражениями:
Продифференцировав эти выражения по переменным iL и UC , получим:
Полученная система дифференциальных уравнений является математической формулировкой задачи и служит основой для разработки алгоритма решения их методами Эйлера и Рунге-Кутта.
Пример выполнения задания.
Задание: Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1 порядка
Программа на MathCade имеет следующий вид:
Задача Коши: y’(t)=2ty, t0=0, T=1,
y(0)=1.
Исходные данные:
Правая часть:
Начальное значение:
Концы отрезка:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
Функция, реализующая явный метод Эйлера; возвращает вектор решения:
Входные параметры:
f - функция правой части;
y0 - начальное значение;
t0 - начальная точка отрезка;
h - шаг сетки;
N - число узлов сетки.
Вычисление решения по методу Эйлера:
Вычисление решения по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности:
входные параметры:
y - вектор начальных значений;
t0- начальная точка отрезка;
T - конечная точка отрезка;
N - число узлов сетки;
f - функция правой части. Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй - приближенное решение в этих узлах.
Точное решение:
Точное решение в узлах сетки:
Решение по методу Эйлера Решение по методу Рунге-Кутты Точное решение
Графики приближенных и точного решений
Вопросы для самопроверки
1.
2. Что является решением дифференциального уравнения: а) в высшей математике, б) в прикладной математике?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. При решении дифференциального уравнения методом Адамса на 27-м шаге необходимо сменить шаг. Как это сделать?
Метод Эйлера
1. Что является решением дифференциального уравнения?
2. Необходим ли поиск начальных условий в методе Эйлера?
3. К какой группе относится модифицированный метод Эйлера?
4. Почему точность метода Эйлера пропорциональна h, а модифицированного — h2?
5. Метод Эйлера относится к одношаговым методам. В чем основное отличие одно- и многошаговых методов?
6. Можно ли методом Эйлера решать системы дифференциальных уравнений?
7. Можно ли использовать метод Эйлера для решения задач, не относящихся к задачам Коши?
8. Обязательно ли необходимо задание начальных условий при решении дифференциального уравнения методом Эйлера?
9. В чем заключается отличие явных и неявных вычислительных схем в модифицированном методе Эйлера?
10. Можно ли оценить погрешность решения дифференциального уравнения, не зная точного решения?
Метод Рунге—Кутта
1. Сколько раз необходимо на каждом шаге вычислять правую часть уравнения при использовании метода четвертого порядка?
2. Как можно оценить погрешность решения дифференциального уравнения при использовании метода Рунге — Кутта?
3. Можно ли задавать погрешность решения при автоматическом подборе шага в относительных величинах?
4. Сколько предыдущих значений функции нужно иметь, чтобы сосчитать одно следующее значение?
5. К какой группе методов (аналитические или численные) относится имеющий аналитическое выражение от искомого значения функции метод Рунге — Кутта?
6. Как записывается рекуррентная формула метода четвертого порядка?
7. Что можно отнести к недостаткам метода, например, самого распространенного четвертого порядка?
8. Как зависит погрешность метода от величины шага решения?
9. Возможно ли применение переменного шага в методе Рунге — Кутта?
10. Каким образом можно организовать автоматический подбор шага решения уравнения?
Многошаговые методы
1. Каковы достоинства многошаговых методов?
2. За сколько этапов реализуется метод Милна?
3. Что делается на этапе прогноза?
4. Что делается на этапе коррекции?
5. Являются ли многошаговые методы итерационными?
6. Почему на каждом шаге многошаговые методы могут использовать меньшее количество раз вычисления правых частей уравнения?
7. Можно ли оценить погрешность метода Милна?
8. Почему для запуска многошаговых методов используют одношаговые методы?
9. Можно ли методами прогноза и коррекции решать системы дифференциальных уравнений?
10. Какой важный для практического применения метода показатель определяется порядком метода?
Ответы:
Метод Эйлера
1. Решением дифференциального уравнения является функция, а не число, как при решении конечных уравнений.
2. Начальные условия должны задаваться для численного решения дифференциального уравнения.
3. Модифицированный метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, так как для нахождения значения функции в следующей точке требуется знание только одной текущей точки.
4. Модифицированный метод Эйлера имеет погрешность, пропорциональную h2, поскольку он является, в отличие от метода Эйлера, методом второго порядка.
5. Основные отличия одношаговых и многошаговых методов заключаются в следующем:
• одношаговые методы требуют для расчета следующей точки знание только одной текущей, а многошаговые требуют знание нескольких предыдущих точек;
• одношаговые обладают свойством самостартования, а многошаговые требуют получения нескольких предыдущих точек для запуска, что обычно делается одношаговыми методами;
• многошаговые методы не допускают применение переменного шага решения уравнения, а одношаговые допускают.
6. Метод Эйлера позволяет решать системы дифференциальных уравнений.
7. Можно решать задачи, не относящиеся к задачам Коши, хотя существуют другие, более подходящие для этой цели методы.
8. Задание начальных условий при решении задачи Коши обязательно.
9. В явных схемах модифицированного метода Эйлера искомое значение функции в следующей точке выражается в явной форме (при этом придется сначала найти приближенное значение, а затем уточнить его), в неявных схемах искомое значение функции находится из решения нелинейного уравнения, так как оно не выражается в явном виде.
10. Погрешность решения можно оценить с использованием приема двойного просчета; именно этот прием положен в основу автоматического подбора шага для получения решения с заданной погрешностью.
Метод Руна—Кутта
1. При использовании метода четвертого порядка необходимо на каждом шаге четыре раза вычислять правую часть уравнения.
2. Погрешность решения можно оценить с использованием прием двойного просчета; именно этот прием положен в основу автоматического подбора шага для получения решения с заданной погрешностью.
3. Оценку погрешности для подбора шага можно задавать как в относительных, так и в абсолютных величинах.
4. Метод относится к одношаговым, поэтому для расчета следующего значения функции не нужно ни одного предыдущего значения.
5. Метод Рунге — Кутта относится к численным методам решения дифференциальных уравнений.
6. Рекуррентная формула при решении уравнения f(х, у) имеет вид: j — номер шага,
, ,
где Dх—шаг решения.
7. К недостаткам метода (четвертого порядка) можно отнести необходимость четырехкратного вычисления правых сторон уравнений на каждом шаге.
8. Погрешность метода пропорциональна Dх4, где Dх—шаг решения.
9. Метод Рунге—Кутта является одношаговым, поэтому можно применять переменный шаг при его использовании, так как для нахождения следующей точки требуется только одна текущая.
10. Шаг решения можно автоматически подобрать последовательно уменьшая его вдвое, оценивая при этом разность найденного значения функции при двух значениях шага: как только разница не будет превышать заданной погрешности, так текущий шаг можно принять за шаг решения уравнения.
Многошаговые методы
1. К достоинствам многошаговых методов относят меньший требующийся объем вычислений при реализации метода, так как при одинаковом порядке метода (например, четвертом в методах Рунге —Кутта и Милна) требуется не четыре, а только два раза вычислять правую часть дифференциального уравнения (хотя требуется дополнительная память для хранения предыдущих точек).
2. Метод Милна реализуется за два этапа: прогноза и коррекции.
3. На этапе прогноза находится достаточно грубое приближенное значение искомой функции в заданной точке.
4. На этапе коррекции определяется с учетом ранее найденного прогноза более точного значения функции в заданной точке.
5. Этап коррекции может проводиться итерационно: если разница между прогнозируемым и скорректированным значениями достаточно велика, то на новом этапе коррекции предыдущее скорректированное значение используется в качестве прогнозного, и так может повторяться многократно, т.е. реализуется итерационный процесс.
6. В методах прогноза и коррекции часть необходимых для расчета нового значения функции величин берется из предыдущих точек, а не вычисляется на каждом шаге, как в одношаговых; поэтому число раз вычисления правой части уравнения меньше, чем в одношаговых методах.
7. Погрешность в методе Милна можно оценить по формуле
8. На первых шагах при использовании методов прогноза и коррекции отсутствуют значения функции в предыдущих точках; для их получения и применяют одношаговые методы.
9. Методами прогноза и коррекции можно решать систему дифференциальных уравнений.
10. Порядок метода определяет количество предыдущих значений функции, требующееся для расчета одного следующего.
Глава 9. Метод наименьших квадратов.
На практике часто возникает задача построения аналитической зависимости у = f(x) для функции, заданной таблично. Например, вольт - амперная характеристика U(I') нелинейного элемента (диода, транзистора, электронной лампы и т. д.) цепи может быть задана таблично. Для нахождения силы тока и напряжения в цепи желательно иметь аналитическую зависимость вольт - амперной характеристики. Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных, возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.
Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.
Пусть, например, функция задана в виде (xi; yi), i = 1, 2, ..., n.
Соответствующее значение эмпирической функции в точке xi (i=1, 2,…, n) обозначим yi*. Подберем параметры эмпирической формулы так, чтобы расстояние между точками (y1, y2, ...,yn) и (y1*, y2*, ...,yn*) было наименьшим:
S(a, b, c,...) = (y1-y1*)2+(y2-y2*)2+...+(yn-yn*)2.
Наименьшее значение примет тогда и функция
F(a, b, c,...) = (y1-y1*)2+(y2-y2*)2+...+(yn-yn*)2. (1)
Такой способ подбора параметров носит название способа наименьших квадратов.
Для определенности рассмотрим случай трех параметров a, b, c.
Подберем a, b, c так, чтобы функция F(a,b,c) приняла наименьшее значение внутри рассматриваемой области. В силу необходимого условия экстремума в этой точке должны выполняться следующие соотношения:
(2)
С учетом (1) условия (2) можно записать так:
=0,
=0 (3)
=0,
где производные вычислены в точке xi (i = 1, 2, ..., n).
Получили систему трех уравнений с тремя переменными a, b, c, решая которую найдем параметры a*, b*, c*. Искомая эмпирическая формула примет следующий вид:
Y = f(x, a*, b*, c*).
§1. «Закон Мура»
Роль информационных технологий в наши дни исключительно велика, несмотря на постигший их, после событий 11 сентября 2001 года, кризис, разразившийся на Западе.
К счастью, этот кризис, имеющий временный характер, не затронул страны СНГ, которые по темпам развития новых информационных технологий в последние пару лет вышли на первые места в мире.
Показателем такого положения дел стал Московский форум разработчиков Intel (Intel Developer Forum — IDF), прошедший в октябре 2002 года. На форум прибыл глава международной корпорации Intel — ее Главный исполнительный директор Крейг Барретт. Барретт сделал пленарный доклад, лейтмотивом которого стало распространение «закона Мура» на все отрасли производства компьютеров и средств телекоммуникаций, а также на развитие их элементной базы. Intel стала рассматривать «закон Мура» как свой флаг и эталон, по которому можно сверять темпы развития микроэлектронной отрасли. В 2002 году на развитие только научных исследований Intel выделила более 4 миллиардов долларов.
Итак, Московский форум Intel прошел по эгидой распространения «закона Мура» на ближайшее будущее, по крайней мере, лет на десять или даже двадцать вперед. При этом специалисты корпорации Intel признают, что «закон Мура» имеет эмпирический характер и требует коррекции. Он предполагает, что число транзисторов на кристалле микросхем удваивается за период от одного до двух лет.
Сам Гордон Мур поначалу полагал, что время удвоения составляет около одного года, но со временем эта оценка заметно изменилась.
Если вначале говорили об удвоении за полтора года, то сейчас — уже за два года.
Столь пристальное внимание к «закону Мура» со стороны крупнейшей корпорации современной микроэлектронной индустрии делает целесообразным его уточнение. Изменение показателя удвоения в экспоненциальном (или точнее степенном) законе вдвое означает чудовищное расхождение в прогнозах на срок даже до 10–20 лет.
С позиций математики «закон Мура» представляется простым (говорят, что все гениальное — просто, хотя это не всегда так!) выражением:
(1)
где N0— количество транзисторов на кристалле N в некоторый год (условно считаем его нулевым, ) N(y)— число транзисторов на кристалле спустя y лет и yy— срок (в годах и долях года), за который число транзисторов возрастает вдвое. Разумеется, под N можно понимать и иные параметры, например, число ячеек памяти в устройствах памяти, частоту работы микропроцессоров и микросхем и т. д. Заданием N0 и начального значения y можно перемещать точку отсчета начала действия «закона Мура» и оценивать его приемлемость для разных интервалов времени.
Если мы располагаем таблицами значений N и y то можно попытаться найти искомые параметры N0 и yy для зависимости N(y) хотя бы с наименьшей среднеквадратической погрешностью для всей совокупности исходных данных. Таким образом, при строгом математическом подходе, мы приходим к необходимости решать задачу нелинейной регрессии, поскольку зависимость N(y) от y и параметра yy оказывается нелинейной. Задача уточнения «закона Мура» является прекрасной иллюстрацией к применению систем компьютерной математики для прогноза сложной зависимости по ее эмпирически полученным исходным данным.
Таблица 1 дает представление о динамике роста числа транзисторов (в тысячах штук) на кристалле микропроцессоров корпорации Intel с момента появления в 1971 году первого микропроцессора 4004.
Задача уточнения «закона Мура» является прекрасной иллюстрацией к применению систем компьютерной математики для прогноза сложной зависимости по эмпирически полученным исходным данным.
Таблица охватывает тридцатилетний период разработки процессоров корпорацией Intel.
Данные этой таблицы впечатляют сами по себе. Но насколько они соответствуют представленной формуле? И возможен ли по ним прогноз? Попробуем ответить на эти вопросы.
К сожалению, данные неравномерно распределены во времени y (в годах) и в значительной степени случайны, что препятствует применению простых методик нелинейной регрессии и простых функций линейного (относительно искомых параметров) предсказания, таких, как функция predict в системе Mathcad.
Нелинейная регрессия такого вида не реализована даже в таких маститых системах компьютерной математики, как Maple. Но, к счастью, в системе Mathcad 2001i особых проблем в ее проведении нет, если не считать больших вычислительных погрешностей и возможности переполнения разрядной сетки.
На рис. 2 представлен документ системы Mathcad 2001i с математической иллюстрацией «закона Мура». В левом верхнем углу документа задана формула «закона Мура» и в аналитическом виде вычислены ее частные производные по искомым параметрам N и yy. Затем заданы векторы F1(функции и ее производных, нужных для реализации алгоритма нелинейной регрессии), числа лет прошедших с 1971 года Vy и числа тысяч транзисторов на кристалле процессора VN. C помощью функции genfit, использующей эти данные, вычислены параметры N0 и yy. Начальные условия, сильно влияющие на точность регрессии, задаются вектором VS— они содержат стартовые значения параметров N (в тысячах штук) и значения yy. Левый график задает число транзисторов как функцию от параметра yy (время удвоения) в линейном масштабе. При этом расчетный график имеет типично экспоненциальный вид.
Он показывает особенно резкое нарастание числа транзисторов в микропроцессорах, начиная с 90х годов прошлого века. До этого времени график мало представителен.
Говорить о хорошем соответствии построенного графика исходным данным было бы не вполне уместно — начальные точки данных ложатся почти на ось ,y а конечные располагаются отнюдь не на расчетной кривой. Это следствие огромного диапазона изменения данных.
Интереснее выглядит расчетный график в логарифмическом масштабе (справа внизу).
Он превращается в прямую, наклон которой определяется параметром yy. В течении первых примерно двадцати лет расчетный график приближающей функции и график, построенный по точкам реальных данных, идут практически параллельно, что свидетельствует о справедливости оценок Мура на протяжении этого времени. При этом реальное число транзисторов в серийных микропроцессорах оказывалось несколько большим, чем при расчетной оценке. Найденное время yy при этом составило 1.769 года, т. е. удвоение числа транзисторов происходило примерно за два года. Ранние оценки времени в полтора года и даже в один год нелинейной регрессией не подтверждаются — не случайно корпорация Intel отказалась от них!
Однако в период между 22 и 28 условными годами развития
(или между
В результате возникло заметное отставание реальной технологии от «закона Мура».
В этот период особенно усилились сомнения в его
принципиальной справедливости. Но, в последние три года корпорация Intel
добилась резкого скачка в совершенствовании технологии, перейдя на производство
микропроцессоров новой архитектуры Pentium 4, производимых по технологии с
разрешением 0.13 мкм на больших кремниевых дисках диаметром
Рис. 2. Нелинейная регрессия для данных, описывающих рост числа транзисторов на кристалле микропроцессоров корпорации Intel на протяжении 30 лет.
Итак, математический анализ «закона Мура» подтверждает справедливость подмеченной Муром зависимости. Правда, надо отметить, что экспоненциальный рост числа транзисторов (и иных параметров микросхем) от времени очень чувствителен к параметру yy. Его приближенные значения от 1 до 2лет ведут к чудовищным просчетам (см. далее)! Да и сама процедура нелинейной регрессии для такой зависимости оказывается очень чувствительной к ошибкам машинных расчетов. В этом нетрудно убедиться, слегка меняя исходные данные или начальные приближения для y и N. Тем не менее, близкое к единице значение коэффициента корреляции corr = 0.955 говорит о том, что зависимость (1) при полученных значениях N0 и yy не так уж и плохо соответствует исходным парам данных.
Характерной особенностью нелинейной регрессии оказывается большая погрешность в начальной области расчетов и резкое отличие расчетного параметра N в первые годы от реальных значений числа транзисторов на кристаллах первых микропроцессоров. Так выброс вниз даже небольшого числа исходных точек в правой области графика (где число транзисторов очень велико) ведет к тому, что большинство исходных точек в левой области графика (где число транзисторов мало) располагается выше расчетной зависимости — это прекрасно видно из правого графика на рис. 2.
Устранить этот недостаток можно добрым «дедовским» методом — взяв за начальную точку линии графика в логарифмическом масштабе точку первого отсчета и подобрав крутизну прямой на глаз по наилучшему положению в облаке исходных точек (отсчетов).
Считая за нулевой 1971 год и за N0 = 2.3 тысячи транзисторов первого микропроцессора 4004, попробуем методом проб подобрать с помощью Mathcad логарифмическую прямую, на которую хорошо укладываются данные за первые годы развития процессоров и которая исходит из точки (0,N0). Результат представлен на рис. 3 сплошной тонкой линией.
Рис. 3. Результат представления «закона Мура» отрезками прямых в логарифмическом масштабе.
Результат оказывается просто поразительным. Оказывается целых 22 года число транзисторов и впрямь увеличивалось вдвое за каждые yy = 2года. При этом исходные точки укладываются почти точно на представляющую их приближенную зависимость. Таким образом, проведенная специалистами Intel коррекция «закона Мура» была вполне обоснованной и довольно точной. Однако до года или даже до полутора лет время удвоения yy за этот период никогда не падало. Следовательно, строго математически начальные прогнозы Мура были очень неточны, что нисколько не умаляет их рекламное и эмоциональное значение.
Однако с появлением процессоров класса Pentium действие даже скорректированного «закона Мура» стало грубо нарушаться.
Попробуем подобрать прямую для хорошего представления реалий роста числа транзисторов после этого периода, задав в качестве отсчета момент появления процессоров Pentium — точка (22, 1200). Оказывается (жирная прямая на рис. 3), время удвоения возросло почти вдвое и составило yy = 4 года.
Это стало свидетельством предкризисной ситуации в разработке микропроцессоров и развитии их технологии. В какой-то степени это оправдывает отказ Intel от новых названий процессоров очередного поколения — как известно, Pentium II и Pentium III сохранили отношение к звучному имени Pentium процессоров пятого поколения, которые и стали переломной точкой в «законе Мура».
В целом, усредняя параметр yy за весь тридцатилетний период развития микропроцессоров, можно признать, что данные нелинейной регрессии достаточно корректны.
Рис. 4. Прогноз роста числа транзисторов на кристалле микросхемы по данным нелинейной регрессии.
Последуем за специалистами Intel и попытаемся дать прогноз роста числа транзисторов на кристалле микросхем на основании нашего приближения «закона Мура» выражением (1). Это показано на рис. 4 для первого десятилетия (рисунок слева) и для следующего десятилетия (рисунок справа).
Прогноз на первые десять лет выглядит вполне реалистичным. Можно ожидать появления микропроцессоров, на кристалле которых будет до 3 миллиардов транзисторов.
Intel скромно обещает довести число транзисторов до миллиарда к концу текущего десятилетия, но не указывает точно год, когда это случится. Вполне возможно, что такое произойдет несколько ранее 2010 года — ведь полмиллиарда транзисторов на кристалле уже имеют новейшие опытные образцы 64-разрядного процессора Itanium, который появится уже в 2003 году. И тогда 3 миллиарда транзисторов могут разместиться в процессорах 2010 года.
Но вот прогноз на следующее десятилетие выглядит скорее фантастическим, чем реальным — судя по нему, к 2020 году число транзисторов на кристалле достигнет примерно 140 миллиардов! Но кто знает, может так и будет? Ведь создатели первых микропроцессоров 4004 вряд ли могли предполагать, что через 30 лет число транзисторов в микропроцессорах увеличится в 34000 раз!
Тем не менее, поводов для сомнения в таком прогнозе достаточно. Математически они вызваны критичностью «закона Мура» к параметру — времени удвоения yy. На рис. 4 показаны примеры расчета по формуле «закона Мура» на конец 10 и 20-летнего периода предсказания для разных yy (1, 1.5 и 2года).
Расхождения в оценках достигают соответственно примерно 32 и более чем 1000 раз! В этих условиях точность прогноза гарантировать нельзя и выводами «закона Мура» надо пользоваться с большой осторожностью.
Из сказанного можно сделать следующие выводы.
1. «Закон Мура» нельзя считать точным физическим или математическим законом, подобным законам Ньютона или Эйнштейна, скорее это грубое статистическое приближение к куда более сложной действительности.
2. Если принять время удвоения равным двум годам, то оказывается, что «закон Мура» прекрасно предсказывал рост числа транзисторов на кристаллах больших интегральных схем на протяжении двадцати двух лет и вполне обосновано стал флагом корпорации Intel — ведущего производителя микропроцессоров и больших интегральных схем.
3. Пока обоснованным выглядит представление динамики
роста транзисторов в микропроцессорах тремя отрезками прямых на графике с
логарифмическим масштабом со следующими значениями параметра удвоения: yy = 2года в период с
4. Интегральная оценка времени удвоения числа транзисторов за 30 лет, выполненная методом наименьших квадратов, имеет значение порядка 1.769 года при коэффициенте корреляции 0.955.
5. Графическая визуализация «закона Мура» в логарифмическом масштабе отслеживает изменения в технологии изготовления интегральных микросхем, переход к повышенной разрядности микропроцессоров и появление новинок в технологическом процессе, особенно таких, которые ведут к очередному уменьшению геометрических размеров компонентов на кристаллах микросхем.
6. Можно ожидать очередного скачка в снижении значения yy после освоения технологии 64-разрядных микропроцессоров и перехода на технологию с разрешением 0.09 мкм, а также последующего повышения из-за наступления очередного физического предела на разрешение фотолитографии.
7. Хотя нет оснований доверять точности прогнозов по «закону Мура» в строго математическом смысле, нельзя отрицать его привлекательности в приближенных и понятных качественных оценках.
8. Высокая чувствительность параметра удвоения и огромные расхождения в прогнозах при фиксации его значения требуют более осторожных попыток применения «закона Мура» для серьезных прогнозов.
9. Разработка прогнозов развития больших интегральных микросхем по таким параметрам, как число транзисторов на кристалле, рост рабочих частот и объемов памяти, снижение электропотребления и др., требует специальных исследований и создания новых методик надежного многофакторного прогнозирования. В этом смысле исследования «закона Мура» стоит продолжить, используя средства систем компьютерной математики.
§2. Линейная зависимость.
Эмпирическая формула y = ax + b содержит два параметра a и b.
Согласно методу наименьших квадратов
Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных при вариации параметров а и b, получим
или
откуда
где n–число наблюдений.
Пример: Аппроксимировать таблично заданную функцию по пяти заданным точкам полиномом первой степени или построить линейную зависимость с помощью метода наименьших квадратов.
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
xk |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
yk |
0 |
1 |
2 |
2 |
3.5 |
Решение:
1. Запишем нормальную систему для - полинома первой степени:
где N = 5 – количество точек.
2. Вычислим все необходимые суммы:N=5,
3. Таким образом,
4. Проверяем полученный полином. Для наглядности построим исходные данные и полученную зависимость на графике:
Проверим с помощью программы калькулятора Approximator 1.03.
1. Запустим программу калькулятор
2. Выберем вид исследуемой функции:
3. Внесем таблицу значений:
4. Щелкнем по кнопке
5. Получим значения А и В:
6. Также получим график прямой:
§3. Квадратичная зависимость.
Будем искать эмпирическую формулу вида: Y = ax2+ bx +c.
В силу необходимого условия экстремума функции нескольких переменных получим следующую систему:
Откуда после преобразований получим систему.
Из последней системы находим параметры a, b, c.
Лабораторная работа № 25
«Квадратичная зависимость»
Цель: Научиться вычислять функцию в виде многочлена второй степени.
Варианты заданий.
Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде многочлена второй степени: y=ax2+ bx+c.
Варианты
|
x |
Варианты |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
14.4000 15.2910 16.2240 17.1990 18.2160 19.2750 20.3760 21.5190 22.7040 23.9310 25.2000 |
7.9000 8.7870 9.7480 10.7830 11.8920 13.0750 14.3320 15.6630 17.0680 18.5470 20.1000 |
7.7000 8.8290 10.0760 11.4410 12.9240 14 5250 16.2440 18.0810 20.0360 22.1090 24.3000 |
10.6000 11.3670 12.2280 13.1830 14.2320 15.3750 16.6120 17.9430 19.3680 20.8870 22.5000 |
9.1000 11.2610 13.5640 16.0090 18.5960 21.3250 24.1960 27.2090 30.3640 33.6610 37.1000 |
12.9000 13.5770 14.3480 15.2130 16.1720 17.2250 18.3720 19.6130 20.9480 22.3770 23.9000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
1.0000 2 4.7040 6.7390 8.8960 11.1750 13.5760 16.0990 18.7440 21.5110 24.4000 |
-6.1000 -5.3290 -4.4360 -3 4210 -2.2840 -1.0250 0.3560 1.8590 3.4840 5.2310 7.1000 |
17.5000 20.0410 22.7640 25.6690 28.7560 32.0250 35.4760 39.1090 42.9240 46.9210 51.1000 |
17.4000 19.9410 22.6840 25.6290 28.7760 32.1250 35.6760 39 1090 43.3840 47.5410 51.9000 |
-8.9000 -9.9930 -11.2120 -12.5570 -14.0280 -15.6250 -17.3480 -19.1970 -21.1720 -23.2730 -25.5000 |
-0.3000 1.3110 3.0440 4.8990 6.8760 8.9750 11.1960 13.5390 16.0040 18.5910 21.3000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
7.8000 10.9750 14.4000 18.0750 22.0000 26.1750 30.6000 35.2750 40.2000 45.3750 50.8000 |
9.4000 8.6330 7 7720 6.8170 5.7680 4.6250 3.3880 2.0570 0.6320 -0.8870 -2.5000 |
15.1000 16 4230 17.9320 19.6270 21.5080 23.5750 25.8280 28.2670 30.8920 33.7030 36.7000 |
26.5000 30.1850 34.2000 38.5450 43.2200 48.2250 53.5600 59.2250 65.2200 71.5450 78.2000 |
7.1000 8.7010 10.4840 12.4490 14.5960 16.9250 19.4360 22.1290 25.0040 28.0610 31.3000 |
12.0000 12.1490 12.2760 12.3810 12.4640 12 5250 12.5640 12.5810 12.5760 12.5490 12.5000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
16.3000 18.8240 21.7160 24.9760 28.6040 32.6000 36.9640 41.6960 46 7960 52.2640 58.1000 |
9.0000 13.5520 18.5080 23.8680 29.6320 35.8000 42.3720 49.3480 56 7280 64.5120 72.7000 |
3.8000 1 5230 -0.9080 -3.4930 -6.2320 -9.1250 -12.1720 -15.3730 -18 7280 -22.2370 -25.9000 |
15.5000 14.1390 12.5960 10.8710 8.9640 6.8750 4.6040 2.1510 -0.4840 -3.3010 -6.3000 |
2.1000 -0.3660 -3.0240 -5.8740 -8.9160 -12.1500 -15.5760 -19.1940 -23.0040 -27.0060 -31.2000 |
31.5000 34.1620 37.0480 40.1580 43.4920 47.0500 50.8320 54.8380 59.0680 63 5220 68.2000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
20.5000 22.4510 24.6440 27.0790 29.7560 32.6750 35.8360 39.2390 42.8840 46 7710 50.9000 |
23.5000 25.5750 27.9000 30.4750 33.3000 36.3750 39.7000 43.2750 47.1000 51.1750 55.5000 |
9.0000 8.4590 7.9960 7.6110 7.3040 7.0750 6.9240 6.8510 6.8560 6.9390 7.1000 |
10.4000 13.0220 15.9880 19.2980 22.9520 26.9500 31.2920 35.9780 41 0080 46.3820 52.1000 |
17.3000 21.2310 25 5240 30.1790 35.1960 40.5750 46.3160 52 4190 58.8840 65.7110 72.9000 |
12.8000 16.3020 20.1080 24.2180 28.6320 33.3500 38.3720 43.6980 49.3280 55.2620 61.5000 |
Примеры решения задач.
Пример: Функция y=f(x) задана таблицей значений в точках наилучшего среднеквадратичного приближения оптимальной степени m=m*. За оптимальное значение m* принять ту степень многочлена, начиная с которой величина
Программа на MathCad имеет вид:
Векторы исходных данных:
Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов,
возвращает вектор a коэффициентов многочлена:
Входные параметры:
x, y - векторы исходных данных; n+1 - размерность x,y.
Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:
Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t; многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:
|
|
Вычисление значений
Гистограмма
Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717
Графики многочленов степени 0,1,2 и точечный график исходной функции:
§4. Экспоненциальная зависимость.
Будем искать искомую функцию в виде: , > 0. Прологарифмируем: .
Обозначим: X= x, Y= , тогда Y=AX+B – линейная зависимость.
|
X |
x1 |
x2 |
... |
xn |
|
Y |
lny1 |
lny2 |
... |
lnyn |
После того как коэффициенты A и B найдены по методу наименьших квадратов, коэффициенты a и b находятся по формулам:
а= eB, b = A .
Варианты заданий.
Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде:
|
x |
Варианты |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
55.4929 67.1048 81.1464 98.1263 118.6592 143.4886 173.5135 209.8212 253.7261 306.8182 371.0198 |
22.3837 26.7981 32.0832 38.4106 45.9858 55.0550 65.9128 78.9120 94.4748 113.1068 135.4135 |
0.0734 0.0432 0.0254 0.0150 0.0088 0.0052 0.0031 0.0018 0.0011 0.0006 0.0004 |
13.5187 15.0907 16.8454 18.8041 20.9907 23.4314 26.1560 29.1973 32.5923 36.3821 40.6126 |
26.2289 29.5730 33.3435 37.5947 42.3879 47.7922 53.8856 60.7558 68.5020 77.2358 87.0831 |
21.5121 24.9935 29.0383 33.7377 39.1976 45.5411 52.9112 61.4741 71.4227 82.9814 96.4106 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
26.8015 34.4138 44.1882 56.7387 72.8540 93.5464 120.1159 154.2319 198.0377 254.2854 326.5090 |
68.5698 79.6668 92.5596 107.5389 124.9424 145.1624 168.6546 195.9487 227.6599 264.5031 307.3087 |
0.3829 0.2809 0.2060 0.1511 0.1108 0.0813 0.0596 0.0437 0.0321 0.0235 0.0173 |
0.8823 0.7010 0.5570 0.4425 0.3516 0.2794 0.2220 0.1764 0.1401 0.1113 0.0885 |
1.5406 1.2740 1.0535 0.8712 0.7205 0.5958 0.4927 0.4074 0.3369 0.2786 0.2304 |
1.9175 1.6016 1.3378 1.1174 0.9333 0.7796 0.6512 0.5439 0.4543 0.3795 0.3170 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
2.3201 1.9574 1.6514 1.3932 1.1754 0.9916 0.8366 0.7058 0.5955 0.5024 0.4238 |
2.6852 2.2882 1.9499 1.6616 1.4159 1.2065 1.0282 0.8761 0.7466 0.6362 0.5421 |
3.2577 2.8039 2.4134 2.0772 1.7879 1.5388 1.3245 1.1400 0.9812 0.8445 0.7269 |
79.4201 98.9636 123.3162 153.6614 191.4739 238.5912 297.3030 370.4623 461.6245 575.2195 716.7676 |
42.1969 48.0550 54.7264 62.3240 70.9764 80.8299 92.0514 104.8307 119.3842 135.9581 154.8330 |
232.6291 310.8919 415.4844 555.2648 742.0712 991.7243 1325.3676 1771.2578 2367.1576 3163.5344 4227.8344 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
30.4552 34.6832 39.4982 44.9817 51.2264 58.3381 66.4371 75.6604 86.1643 98.1263 111.7490 |
37.3078 42.9142 49.3631 56.7811 65.3138 75.1288 86.4186 99.4051 114.3431 131.5259 151.2908 |
35.6618 41.8495 49.1109 57.6322 67.6320 79.3669 93.1379 109.2983 128.2628 150.5178 176.6342 |
30.1067 35.6856 42.2984 50.1364 59 4270 70.4391 83.4918 98.9632 117.3016 139.0381 164.8026 |
0.7873 0.6070 0.4681 0.3609 0.2783 0.2146 0.1654 0.1276 0.0984 0.0758 0.0585 |
0.4382 0.3379 0.2605 0.2009 0.1549 0.1194 0.0921 0.0710 0.0547 0.0422 0.0325 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
37.5644 46.3424 57.1715 70.5313 87.0129 107.3459 132.4303 163.3763 201.5538 248.6525 306.7571 |
28.8800 35.9867 44.8423 55.8769 69.6269 86.7604 108.1102 134.7136 167.8634 209.1707 260.6428 |
76.8012 96.6620 121.6588 153.1198 192.7165 242.5530 305.2772 384.2219 483.5817 608.6360 766.0292 |
23.1487 29.4277 37 4100 47.5574 60.4573 76.8563 97.7035 124.2055 157.8961 200.7253 255.1719 |
0.6731 0.5566 0.4603 0.3806 0.3148 0.2603 0.2153 0.1780 0.1472 0.1217 0.1007 |
0.7225 0.5856 0.4747 0.3848 0.3119 0.2528 0.2049 0.1661 0.1347 0.1091 0.0885 |
§5. Логарифмическая зависимость. Y =
Будем искать функцию в виде y = .
Обозначим Y= y, X = lnx, A = a, B = b. Y=AX+B - линейная зависимость относительно переменных X и Y.
Определим коэффициенты, пользуясь таблицей:
|
X |
lnx1 |
lnx2 |
... |
lnxn |
|
Y |
y1 |
y2 |
... |
yn |
После того как коэффициенты A и B найдены по методу наименьших квадратов, коэффициенты a и b находятся по формулам: a = A, b = B.
Варианты заданий
Использую таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде: Y =.
|
x |
Варианты |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
8.7000 8.9287 9.1376 9.3297 9.5075 9.6731 9.8280 9.9735 10.1107 10.2404 10.3636 |
1.2000 1.6289 2.0204 2.3806 2.7141 3.0246 3.3150 3.5878 3.8450 4.0883 4.3192 |
7.6000 8.1242 8.6028 9.0430 9.4506 9.8301 10.1850 10.5185 10.8328 11.1302 11.4123 |
6.1000 6.3192 6.5193 6.7034 6.8739 7.0326 7.1810 7.3204 7.4519 7.5763 7.6942 |
8.1000 8.5480 8.9569 9.3331 9.6814 10.0057 10.3090 10.5940 10.8626 11.1167 11.3578 |
3.2000 3.7909 4.3304 4.8267 5.2861 5.7139 6.1140 6.4899 6.8443 7.1795 7.4975 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
4.1000 4.8053 5.4492 6.0415 6.5899 7.1004 7.5780 8.0266 8.4496 8.8497 9.2293 |
2.2000 3.0483 3.8227 4.5350 5.1946 5.8086 6.3830 6.9226 7.4313 7.9125 8.3690 |
1.6000 2.4864 3.2956 4.0400 4.7292 5.3708 5.9710 6.5348 7.0664 7.5692 8.0463 |
1.8000 2.8008 3.7144 4.5548 5.3330 6.0574 6.7350 7.3716 7.9718 8.5395 9.0780 |
3.1000 4.2056 5.2149 6.1434 7.0031 7.8034 8.5520 9.2553 9.9183 10.5455 11.1405 |
1.3000 2.5200 3.6337 4.6583 5.6068 6.4900 7.3160 8.0920 8.8237 9.5157 10.1723 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
1.8000 3.1057 4.2978 5.3944 6.4097 7.3549 8.2390 9.0696 9.8527 10.5934 11.2961 |
2.5000 2.9003 3.2658 3.6019 3.9132 4.2030 4.4740 4.7286 4.9687 5.1958 5.4112 |
8.2000 8.7528 9.2575 9.7217 10.1515 10.5517 10.9260 11.2776 11.6092 11.9228 12.2203 |
1.9000 2.5481 3.1398 3.6841 4.1880 4.6572 5.0960 5.5083 5.8969 6.2646 6.6134 |
1.7000 2.3767 2.9945 3.5628 4.0890 4.5788 5.0370 5.4675 5.8733 6.2572 6.6213 |
1.1000 1.9387 2.7044 3.4088 4.0610 4.6681 5.2360 5.7695 6.2725 6.7483 7.1997 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
2.3000 3.1673 3.9591 4.6875 5.3619 5.9897 6.5770 7.1287 7.6489 8.1409 8.6076 |
7.8000 8.0002 8.1829 8.3510 8.5066 8.6515 8.7870 8.9143 9.0344 9.1479 9.2556 |
6.6000 6.7144 6.8188 6.9148 7.0038 7.0866 7.1640 7.2368 7.3053 7.3702 7.4318 |
7.7000 7.8239 7.9370 8.0411 8.1374 8.2271 8.3110 8.3898 8.4641 8.5344 8.6011 |
4.4000 4.5334 4.6553 4.7673 4.8711 4.9677 5.0580 5.1429 5.2229 5.2986 5.3704 |
5.5000 5.6430 5.7735 5.8935 6.0047 6.1082 6.2050 6.2959 6.3817 6.4628 6.5397 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
3.2000 3.6861 4.1298 4.5381 4.9160 5.2679 5.5970 5.9062 6.1977 6.4735 6.7351 |
3.3000 3.8051 4.2663 4.6905 5.0833 5.4490 5 7910 6.1123 6.4153 6.7018 6.9737 |
3.4000 3.9051 4.3663 4.7905 5.1833 5.5490 5.8910 6.2123 6.5153 6.8018 7.0737 |
3.5000 4.0242 4.5028 4.9430 5.3506 5.7301 6.0850 6.4185 6.7328 7.0302 7.3123 |
3.6000 4.1337 4.6210 5.0692 5.4842 5.8706 6.2320 6.5715 6.8916 7.1944 7.4816 |
3.7000 4.2433 4.7392 5.1955 5.6179 6.0112 6.3790 6.7246 7.0504 7.3586 7.6509 |
§6. Дробно-рациональная зависимость y = x/(a*x+b).
Проведем преобразования
Обозначим Y = , X = , A = b, B = a.
Y = AX + B - линейная зависимость относительно переменных X и Y.
Определим коэффициенты пользуясь, таблицей:
|
X |
… |
|||
|
Y |
… |
После того как коэффициенты A и B найдены по методу наименьших квадратов, коэффициенты a и b находятся по формулам: a = B, b = A.
Варианты заданий
Используя таблицу, определить параметры по способу наименьших квадратов. Найти эмпирическую функцию в виде:
y = x/(a*x+b).
|
x |
Варианты |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
0.0813 0.0863 0.0909 0.0952 0.0993 0.1031 0.1067 0.1100 0.1132 0.1162 0.1190 |
0.2381 0.2552 0.2715 0.2870 0.3017 0.3158 0.3292 0.3421 0.3543 0.3661 0.3774 |
0.5556 0.6509 0.7595 0.8844 1.0294 1.2000 1.4035 1.6505 1.9565 2.3457 2.8571 |
0.1695 0.1937 0.2198 0.2481 0.2789 0.3125 0.3493 0.3899 0.4348 0.4847 0.5405 |
0.5000 0.4120 0.3593 0.3242 0.2991 0.2804 0.2658 0.2541 0.2446 0.2366 0.2299 |
0.1220 0.1394 0.1583 0.1788 0.2011 0.2256 0.2524 0.2819 0.3147 0.3512 0.3922 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
-0.0820 -0.0865 -0.0908 -0.0947 -0.0983 -0.1017 -0.1048 -0.1078 -0.1106 -0.1132 -0.1156 |
0.1190 0.1218 0.1242 0.1263 0.1282 0.1299 0.1314 0.1327 0.1339 0.1350 0.1361 |
0.1370 0.1425 0.1474 0.1519 0.1559 0.1596 0.1629 0.1660 0.1689 0.1715 0.1739 |
-0.3846 -0.4641 -0.5607 -0.6806 -0.8333 -1.0345 -1.3115 -1.7172 -2.3684 -3.5849 -6.6667 |
-0.1563 -0.1812 -0.2091 -0.2403 -0.2756 -0.3158 -0.3620 -0.4156 -0.4787 -0.5539 -0.6452 |
-0.2128 -0.2651 -0.3333 -0.4262 -0.5600 -0.7692 -1.1429 -2.0000 -6.0000 7.6000 2.5000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
0.0709 0.0768 0.0825 0.0881 0.0935 0.0987 0.1038 0.1087 0.1135 0.1182 0.1227 |
0.1724 0.2128 0.2643 0.3325 0.4268 0.5660 0.7921 1.2230 2.3684 14.6154 -4.0000 |
0.1000 0.1076 0.1149 0.1220 0.1287 0.1351 0.1413 0.1473 0.1531 0.1586 0.1639 |
-0.5000 -0.4762 -0.4580 -0.4437 -0.4321 -0.4225 -0.4145 -0.4077 -0.4018 -0.3967 -0.3922 |
0.0763 0.0816 0.0866 0.0913 0.0958 0.1000 0.1040 0.1079 0.1115 0.1150 0.1183 |
-0.4762 -0.3198 -0.2510 -0.2124 -0.1877 -0.1705 -0.1578 -0.1481 -0.1404 -0.1342 -0.1290 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
-0.0893 -0.1010 -0.1134 -0.1266 -0.1406 -0.1554 -0.1713 -0.1883 -0.2064 -0.2259 -0.2469 |
0.0870 0.1015 0.1179 0.1366 0.1580 0.1829 0.2122 0.2471 0.2894 0.3417 0.4082 |
0.0407 0.0437 0.0467 0.0495 0.0522 0.0548 0.0573 0.0598 0.0621 0.0643 0.0664 |
0.0847 0.0969 0.1101 0.1244 0.1400 0.1571 0.1758 0.1965 0.2195 0.2452 0.2740 |
0.0493 0.0534 0.0574 0.0612 0.0650 0.0686 0.0722 0.0757 0.0790 0.0823 0.0855 |
0.1190 0.1408 0.1662 0.1961 0.2318 0.2752 0.3292 0.3981 0.4891 0.6149 0.8000 |
|
x |
Варианты |
|||||
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 |
0.0909 0.1053 0.1212 0.1390 0.1591 0.1818 0.2078 0.2378 0.2727 0.3140 0.3636 |
0.1961 0.2941 0.5042 1.2745 -4.1176 -0.8824 -0.5229 -0.3846 -0.3114 -0.2661 -0.2353 |
-0.1471 -0.1412 -0.1367 -0.1331 -0.1301 -0.1277 -0.1256 -0.1238 -0.1223 -0.1209 -0.1198 |
-1.2500 -1.6418 -2.2222 -3.1707 -5.0000 -10.0000 -80.0000 15.4545 7.5000 5.1351 4.0000 |
-0.4167 -0.5263 -0.6742 -0.8844 -1.2069 -1.7647 -2.9630 -7.3913 22.5000 4.8718 2.8571 |
0.3333 0.2799 0.2469 0.2245 0.2083 0.1961 0.1865 0.1788 0.1724 0.1671 0.1626 |
Вопросы для самопроверки
1.
2. В чем суть приближения заданной функции по методу наименьших квадратов?
3.
4. Можно ли при аппроксимации полиномом таблично заданной функции обеспечить прохождение аппроксимирующей функции точно через все точки?
5. Назначение весовых коэффициентов в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций.
6. Можно ли повысить точность, одновременно увеличив в несколько раз все весовые коэффициенты?
7. Всегда ли увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функций?
8. Можно ли с помощью МНК найти параметры не полиномиальной аппроксимирующей функции?
9. В чем отличие применения метода при использовании в качестве аппроксимирующей функции полинома и показательной функции?
10. В каком случае система нормальных уравнений получается линейной относительно искомых коэффициентов?
11. В каком случае не удастся получить искомые коэффициенты непосредственно из решения системы нормальных уравнений?
12. Можно ли обеспечить требование, чтобы аппроксимирующая функция практически точно проходила через отдельные выбранные точки?
13. В чем основное достоинство квадратичного критерия близости исходной и аппроксимирующей функций?
Ответы:
Метод наименьших квадратов
4. Вообще говоря, можно, если задать степень аппроксимирующего полинома равной номеру последней точки (если нумерация точек идет от нуля). Однако в этом случае аппроксимирующая функция превращается в интерполяционную.
5. Весовые коэффициенты в критерии близости исходной и аппроксимирующей функций показывают относительную важность "вклада" точки в общую сумму квадратов отклонений (в случае квадратичного критерия). Варьируя их, можно повысить точность аппроксимации в отдельных точках, как правило, в наиболее важных в конкретной задаче.
6. Нельзя все весовые коэффициенты для повышения точности увеличить одновременно в одинаковое число раз, так как при этом не изменится их отношение и не изменится относительная важность отдельных точек.
7. Нет, не всегда увеличение суммы квадратов отклонений соответствует худшей близости исходной и аппроксимирующей функций. Например, при введении отличных от единицы весовых коэффициентов (например, всех одинаковых) критерий увеличится за счет коэффициентов, а не за счет увеличения отклонений.
8. Можно найти параметры в принципе любой аппроксимирующей функции.
9. При использовании в качестве аппроксимирующей функции, в которую искомые параметры входят нелинейно, система нормальных уравнений получится также нелинейной, и ее не всегда возможно решить аналитически, поэтому приходится применять поисковые методы для нахождения минимума квадратичной меры близости.
10. Система нормальных уравнений получается линейной только в случае, когда при квадратичной мере близости параметры в аппроксимирующую функцию входят линейно (например, в случае полиномиальных функций).
11.В том случае, когда система уравнений сильно не линейна, тогда лучше непосредственно искать минимум меры близости поисковыми методами (т.е. методами поиска оптимума), хотя можно попытаться решать эту нелинейную систему предназначенными для этого методами.
12.Практически можно: для этого достаточно задать в этих точках очень высокие весовые коэффициенты, что приведет к точному прохождению аппроксимирующей функции через эти точки (число таких точек не должно быть большим по сравнению с общим числом точек).
13. Квадратичный критерий близости исходной и аппроксимирующей функций является дифференцируемой функцией, что делает возможным использование необходимых условий минимума для определения параметров аппроксимирующей функции; в случае линейности аппроксимирующей функции от искомых параметров квадратичный критерий близости имеет единственный экстремум, и притом обязательно минимум.
Глава 10. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными.
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн - упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению
При рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона
При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение ( 3 ) переходит в уравнение Лапласа
Уравнения ( 1 ) - ( 4 ) часто называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.
Каждое из уравнений ( 1 ) - ( 4 ) имеет бесчисленное множество частных решений. При решении конкретной физической задачи, необходимо из всех этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из её физического смысла. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.
Одним из методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток. Идея метода заключается в следующем. Для простоты, ограничимся случаем только функции двух переменных, и будем полагать, что решение уравнения ищется на квадратной области единичного размера. Разобьем область сеткой. Шаг сетки по оси x и по оси y, вообще говоря, может быть разный. По определению частная производная равна
Если рассматривать функцию только в узлах сетки, то частную производную можно записать в форме
где узел соответствует точке правой конечной разностью. Название связано с тем, что для вычисления производной в точке используются значение функции в этой точке и точке, лежащей правее. Очевидно, что сходное выражение можно было бы получить, используя точку, лежащую слева.
Такое выражение называется левой конечной разностью. Можно получить центральную конечную разность, найдя среднее этих выражений.
Теперь получим выражения для вторых производных.
В данном случае для нахождения производной мы использовали симметричные точки. Однако, очевидно, можно было бы использовать точки с несимметричным расположением.
В качестве примера рассмотрим решение волнового уравнения (уравнения гиперболического типа).
Уравнение будем решать методом сеток. Запишем уравнение в конечных разностях
Полученное уравнение позволяет выразить значение функции u в момент времени
Такая разностная схема называется явной, так как искомая величина получается в явном виде. Она устойчива, если
Зададим начальные условия: смещение струны U в начальный и последующий моменты времени описывается синусоидальной функцией.
(Совпадение смещений при j=0 и j=1 соответствует нулевой начальной скорости.)
Зададим граничные условия: на концах струны смещение равно 0 в любой момент времени
Будем полагать коэффициент
Записываем уравнение в конечных разностях, разрешенное относительно
Представляем результат на графике
Еще один пример использования конечных разностей– уравнение диффузии.
Это уравнение параболического типа. Явная разностная схема для этого уравнения имеет вид
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.3)
Эта разностная схема устойчива, если
Задаем коэффициент
и диапазон изменения пространственной и временной координат:
Задаем начальные и граничные условия
Уравнение в конечных разностях имеет вид
Представляем результаты на графике. (Для большей наглядности изображена только центральная часть)
Основное достоинство явных методов– их простота– зачастую сводится на нет достаточно жесткими ограничениями на величину шага. Явные схемы обычно устойчивы при столь малых шагах по времени, что они становятся непригодными для практических расчетов. Этого существенного недостатка позволяют избежать неявные схемы. Свое название они получили потому, что значения искомой функции на очередном временном шаге не могут быть явно выражены через значения функции на предыдущем шаге.
Рассмотрим применение неявной схемы на примере уравнения теплопроводности
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.4)
Запишем неявную разностную схему для этого уравнения
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.5)
Здесь первый индекс соответствует пространственной, а второй– временной координате. В отличие от явной схемы, для вычисления в правой части уравнения используются значения функции на том же самом временном шаге. Вводя обозначение GOTOBUTTON ZEqnNum485383 * MERGEFORMAT (5.5)
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.6)
или в матричной форме
MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (5.7)
где
Задаем количество узлов сетки (в данном случае оно одинаково для обеих переменных)
Задаем значения параметров
и начальное распределение температуры в области
Формируем матрицы уравнения GOTOBUTTON ZEqnNum743242 * MERGEFORMAT (5.7)
Находим решение системы
Лабораторная работа № 28.
«Уравнений Лапласа и Пуассона»
Варианты заданий.
Найти решение u(x,y) задачи Дирихле в квадрате со стороной 1 для уравнения Лапласа с краевыми условиями вида u(0,y) = f1(y), u(1,y) = f2(y), u(x,0) = f3(x), u(x,1) = f4(x).
|
N варианта |
f1(y) |
f2(y) |
f3(x) |
f4(x) |
|
1 |
y2 |
cosy+(2-cos1)y |
x3 |
x+1 |
|
2 |
ey-ey2 |
y |
-x3+1 |
x2 |
|
3 |
y2+1 |
y |
sinx+1-x |
-x3(1+sin1) |
|
4 |
0 |
y |
sinx-x3sin1 |
X |
|
5 |
ey+y2(1-e)-1 |
y |
0 |
x |
|
6 |
y2 |
cosy+y(3-cos1) |
x3 |
2x+1 |
|
7 |
0 |
y |
sinx-x3sin1 |
x2 |
|
8 |
2e-(1+2e)y2-1 |
-y |
-x3+1 |
x-2 |
|
9 |
-10y2-8y+6 |
-10y2-30y+22 |
9x2+7x+6 |
9x2-15x-12 |
|
10 |
-7y2-5y+3 |
-7y2-21y+13 |
6x2+4x+3 |
6x2-12x-9 |
|
11 |
-6y2-4y+2 |
-6y2-18y+10 |
5x2+3x+2 |
5x2-11x-8 |
|
12 |
-5y2-3y+1 |
-5y2-15y+7 |
4x2+2x+1 |
4x2-24x-21 |
|
13 |
-19y2-17y+15 |
-19y2-57y+49 |
18x2+16x+15 |
48x2-24x-21 |
|
14 |
-2y-4y2 |
4-12y-4y2 |
x+3x2 |
-6-9x+3x2 |
|
15 |
1 |
y+1 |
1 |
x+1 |
|
16 |
1 |
y+1 |
1 |
x2+1 |
|
17 |
1 |
ey |
1 |
ex |
|
18 |
e2-y |
e2-y |
ex |
ex-1 |
|
19 |
-y3 |
1-y3 |
x2 |
x2-1 |
|
20 |
5y-y2 |
4+5y-y2 |
x2+3x |
x2+3x+4 |
|
21 |
3-7y |
7-6y |
4x+3 |
5x-4 |
|
22 |
5-8y |
11-7y |
6x+5 |
7x-3 |
|
23 |
y2+4y |
y2+4y+4 |
x2+3x |
x2+3x+5 |
|
24 |
y2 |
(1-y)2 |
x2 |
(x-1)2 |
|
25 |
y2 |
y2+2y |
x2-x |
x2+x+1 |
|
26 |
y |
y +e |
ex |
ex+1 |
|
27 |
0 |
tgy |
0 |
Tgx |
|
28 |
0 |
Siny |
0 |
Sinx |
|
29 |
-siny |
sin(1-y) |
sinx |
sin(x-1) |
|
30 |
1 |
1+cosy |
X |
x+cosx |
Пример выполнения задания.
Для решения уравнений Пуассона и Лапласа (частный случай, когда relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации. Фактически, эту функцию можно использовать для решения эллиптического уравнения общего вида
которое может быть сведено к уравнению в конечных разностях
В частности, для уравнения Пуассона коэффициенты
Идея метода релаксации заключается в следующем. Если нет источников (уравнение Лапласа), то значение функции в данном узле на текущем шаге определяется как среднее значение функции в ближайших узлах на предыдущем шаге k
При наличии источников разностная схема имеет вид
Метод релаксации сходится достаточно медленно, так как фактически он использует разностную схему GOTOBUTTON ZEqnNum854194 * MERGEFORMAT (5.3) с максимально возможным для двумерного случая шагом
В методе релаксации необходимо задать начальное приближение, то есть значения функции во всех узлах области, а так же граничные условия.
Функция relax возвращает квадратную матрицу, в которой:
1) расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области,
2) это значение приближает решение в этой точке.
Эта функция использует метод релаксации для приближения к решению.
Вы должны использовать функцию relax, если Вы знаете значения искомой функции u(x, y) на всех четырех сторонах квадратной области.
Аргументы:
a, b, c, d, e– квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения.
f– квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата
u– квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области.
rjac– Параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1, но оптимальное значение зависит от деталей задачи.
Задаем правую часть уравнения Пуассона – два точечных источника
Задаем значения параметров функции relax
Задаем граничные условия и начальное приближение – нули во всех внутренних точках области
Находим решение
и представляем его графически в виде поверхности и линий уровней.
Если граничные условия равны нулю на всех четырех сторонах квадрата, можно использовать функцию multigrid.
10.3. Телеграфное уравнение.
Пусть i(x, t) -— сила тока в проводе в точке с абсциссой х в момент времени t, a v(x, t) —напряжение в той же точке в тот же момент времени. Тогда, применяя закон Ома к малому участку провода (х, х+Dх), получим
v(x, t) — v(x + Dx, t)=i(x, t)*RDx + Dx.
В левой части этого равенства стоит падение напряжения на участке (х, х+Dх), а в правой — сумма электродвижущих сил: электродвижущая сила, обусловленная омическим сопротивлением (она равна произведению силы тока i(x, t) на сопротивление данного участка провода RDx), и электродвижущая сила, обусловленная самоиндукцией. После деления обеих частей этого равенства на Dх и перехода к пределу при Dх ®0 получим
-(x, f)=R*i(x, t) + L*(x, t) (1)
Мы получили одно дифференциальное уравнение, связывающее неизвестные функции i(x, t) и v(x, t). Составим теперь второе уравнение, связывающее те же функции. Для этого учтем, что все количество электричества, притекающее на элементарный участок (х, х+Dх) за время Dt, равно сумме следующих величин:
а) количества электричества, необходимого для зарядки этого элемента; оно равно емкости С*Dх этого участка провода, умноженной на прирост напряжения на этом участке за время, протекшее с момента t до момента t+Dt;
б) количества электричества, необходимого для компенсации потерь, происходящих из-за несовершенства изоляции; это количество электричества равно утечке на данном участке за время Dt (т. е. GDxDt), умноженной на напряжение в момент t в данной точке провода.
Итак,
[i (х, t)-i(x + D х, t)] Dt = CDx*[v(x, t+D t) -v(x, t)] + G*Dx*Dt*v(x, t).
Деля все члены этого равенства на Dх*Dt и переходя к пределу при D х ® 0, D t ® 0, получим
-(х, t)=C*x, t) + G* v(x, t) (2)
Уравнения (1) и (2) образуют систему уравнений с неизвестными функциями i(x, t) и v(x, t). Исключив из этой системы уравнений функцию v(x, t), мы получим одно уравнение с одной неизвестной функцией i(x, t); это можно сделать следующим образом: продифференцируем обе части первого уравнения по t, а обе части второго — по х и сложим почленно эти уравнения, предварительно умножив первое на —С; тогда мы получим
- RC - LC + G
Подставляя теперь сюда = —Ri—L из уравнения (1), получим окончательно
=LC + (RC + LG) + RGi (3)
Это и будет искомое уравнение для определения функции i(x, t) - «телеграфное уравнение для силы тока».
Заметим, что аналогичному уравнению (и притом с теми же коэффициентами) удовлетворяет и функция v (x, t); для того чтобы в этом убедиться, достаточно исключить i(x, t) из уравнений (1) и (2):
=LC + (RC + LG) + RGv (4)
(4)-«телеграфное уравнение для напряжения». Если R = 0, G=0 (т. е. если омическое сопротивление и утечки столь малы, что ими можно пренебречь), то телеграфное уравнение упрощается; так, например, уравнение для определения силы тока будет выглядеть следующим образом:
где а2=. Как мы видим, оно не отличается от уравнения свободных поперечных колебаний струны или от уравнения свободных продольных колебаний стержня (при условии малости колебаний).
Уравнение (3), или совпадающее с ним уравнение (4), называется телеграфным уравнение.
С помощью замены переменной w(x, t)=i(x, t) в уравнении (3) можно исключить член, содержащий первую производную:
(5)
Аналогично можно упростить и уравнение (4).
Если, в частности, RC—LG=0 (в этом случае говорят, что линия свободна от искажений), то уравнение (5) сводится к следующему:
Начальные условия. Обычно в качестве начальных условий в телеграфном уравнении задаются сила тока и напряжение в цепи в начальный момент t=0:
i(x, 0) = j(х), v(x, 0)=y(x)
Отсюда легко найти начальные условия, например, для функции i(x, t):
I(x, 0) = j(х), (x,0)= -j (x).
Второе из этих условий получается, если использовать уравнение (1), подставив в него t =0 и учтя, что vx'(x, 0) =y'(x).
Граничные условия рассмотрим, например, в применении к левому концу провода (x =0):
1) если левый конец провода заземлен, то в этом конце электродвижущая сила равна нулю: v(0, t)=0;
2) если левый конец провода изолирован, то в этом конце провода ток равен нулю: i(0, t)=0;
3) если к левому концу провода приложена электродвижущая сила E(t), то v(0, t)=E(t).
С помощью уравнений (1) или (2) граничные условия, заданные для напряжения v(x, t), можно свести к граничным условиям для силы тока i(x, t) и обратно;
4) в проводе, который столь длинен, что его можно практически считать бесконечным в обе стороны, граничные условия не задаются.
Задания
1. В тонком прямолинейном проводе омическое сопротивление, емкость, утечка (проводимость изоляции) и самоиндукция, отнесенные к единице длины провода, постоянны и равны соответственно R, С, G и L. Как задать начальные и граничные условия для разыскания силы тока i(x, t), если провод имеет конечную длину l, причем левый конец провода (x=0) заземлен, а к правому концу (x =l) приложена электродвижущая сила E(t)? В начальный момент t=0 сила тока равнялась j(x), а напряжение было равно y(х).
2. Как задать начальные условия в телеграфном уравнении для напряжения
=LC + (RC + LG) + RGv
если в начальный момент (t =0) сила тока и напряжение в цепи заданы равенствами
i(х, 0)=f(x), v(x, 0)=g(x)
3. Найти граничные условия, которые надо наложить на напряжение v(x, t), если известно, что к левому концу провода (x=0) приложена электродвижущая сила E(t), а правый конец (х=l) изолирован.
4. Поставить краевую задачу для напряжения v(x, t) в проводе, расположенном на отрезке [0, l] оси абсцисс, если левый конец этого провода заземлен через сосредоточенное сопротивление R0, правый конец заземлен непосредственно.
Ответы
1. Одно начальное условие находится непосредственно из условий задачи:
i(x, 0) = j( x)
Для того чтобы найти второе начальное условие [то, которое надо наложить на (x, t)], рассмотрим уравнение (1), найденное при решении предыдущей задачи:
-(x, t) = Ri(x, t) + L(x, t)
Полагая в этом равенстве t=0, получим
(x, 0) = -(x, 0)- i(x, 0)
Так как, по условию задачи, v(x, 0) = y(x), то (x, 0) = x), так как, кроме того, i(x, 0) =j(x), то окончательно получаем
(x, 0) = -x) - j(x, 0)
Это и будет вторым начальным условием.
Найдем граничные условия. Левый конец провода заземлен; это значит, что напряжение в левом конце провода равно нулю, т. е. v(0, t)=0. Но тогда и t) =0. Подставляя это в равенство (2) из предыдущей задачи при х=0, получим
(0, t) =0
Это — граничное условие для функции i(x, t) на левом конце провода.
На правом конце провода, согласно условию задачи v(l, t)=E(t). Следовательно, (l, t)=E'(t). Пользуясь снова формулой (2) из предыдущей задачи, найдем граничное условие для функции i(x, t) в точке х=1:
( l, t)=-C*E'(t)-G*E(t).
2. Первое начальное условие для напряжения задано: v (x, 0)=g(x). Применяя его для момента времени t=0, получим
-(x,0)= G v(x,0) + C(x,0).
Учитывая, что v(x, 0)=g(x), i(x, 0)=f(x), (x, 0)= f'(x) получим —f'(x) = Gg(x)+C(x, 0), откуда
(x, 0)= -[f'(x) + Gg(x)].
Это и есть второе начальное условие для функции v (x, t)
3. Первое граничное условие v(0, t)=E(t). Чтобы найти второе, учтем, что i(l, t) =0, отсюда (l, t) =0. Из уравнения (1) при х= l получим
-l, t) = R i(l, t) + L(l, t),
откуда
l,t)=0;
это и есть второе граничное условие.
4. Разность потенциалов между землей (v =0) и левым концом провода (v = v(0, t)) равна произведению сосредоточенного сопротивления R0 на силу тока в левом конце i (0, t) поэтому
0- v(0, t)=R0*i(0, t) (1)
С другой стороны, из уравнения (1) получаем при х=0:
-t)=Ri(0, t) + L(0, t),
Подставляя сюда из равенства (1)
i(0, t)= - v (0, t), t) = -v (0, t),
получим искомое граничное условие на левом, конце провода:
R0t)=Rv(0, t) + L(0, t).
Граничное условие на правом конце провода таково: v(l,t)=0.
Глава 11. Тестовые задания.
§1. Тесты для проверки начального уровня знаний студента
1. В каком методе последовательные приближения вычисляются по формуле
1.
2.
3.
2. Условие монотонной сходимости последовательных приближений в методе хорд является:
1.
2.
3.
3. Какова скорость сходимости метода касательных?
1. линейная
2. квадратичная
3. кубическая
4. Какова скорость сходимости метода хорд?
1. линейная
2. квадратичная
3. кубическая
5. Критерий сходимости итерационного метода:
1.
2.
3.
6. Формула Зейделя - это каноническая формула метода:
1. простых итераций
2. Зейделя
3. релаксации
7. Метод релаксации сходится, если:
1.
2.
3.
8. Число обусловленности матрицы системы влияет на:
1.
2.
3. выбор начального приближения
9. С помощью степенного метода находится:
1.
2.
3.
10. С помощью метода вращений:
1.
2.
3. матрица транспонируется
§2. Тестовые задания (промежуточный контроль).
Вариант № 1
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
0,25x2-l,2502x3 = 0
А) (0,0.1) Б) (1.7,1.8) В) (1,1.2) Г) (0.1,0.2)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
х3-1,75х + 0,75 = 0, [-10,10]
А) [0.25,4] Б)[5.75, 10] В) [-10, -5.75] Г) [-2.5,0]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
0,25x2 - 1,2502x3 = 0, [-1.5,2]
А) – 0,285 Б) 1,576 В) -0,233 Г) – 1,001
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
Х3-1.75х + 0,75 = 0, [-10,10]
А) 1,827 Б) 4,1830 В) – 3.1250 Г) 5.2431
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итераций?
5х-х4-1 = 0, х0 = 1
A) 2.4 Б) 0.2 В) 3.6 Г) 5,1
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
5х - х4-1 = 0
А) (0.2,0.3) Б)(-1, - 0.9) В) (0.8,0.9) Г) (0.4,0.5)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
х4-18х2+6х-5 = 0, [-1.5, 2]
А) [1.25,3] Б) [2.5,4.5] В) [1, 2.75] Г) [4, 4.5]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
0,25х2- 1,2502х3 = 0, [-1.5, 2]
А) -0,285 Б)1,576 В) -0,233 Г) -1,001
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
х3-х-1-0, [1, 4.5]
А) -8 Б) -10 В) -3 Г) -1
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерация?
5х- 0 = 3
А) 2.74 Б) 1.55 В) 3.48 Г) 1.22
Вариант № 3
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
0,25х3 + х-1,2502 = 0
А) [0, 0.1] Б) [1.6, 1.8] В) [1, 1.1] Г) [0.2, 0.4]
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
0,25х3 + х-1,2502 = 0, [1.4,1.5]
А) [1, 1.4375] Б) [1, 3.520] В) [1, 4.35] Г) [1, 2.575]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд
0,25х3 + х-1,2502 = 0, [0.5, 2]
А) 0,8108 Б) 0,9744 В) 0,9967 Г) 0,5501
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
Х4-18х2 + 6х-5 = 0, [1, 5]
А) 2,3480 Б) 0,1879 В) 1.1541 Г) 5,1370
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерация?
5х - 0 = 3
А) 2,74 Б) 1,55 В) 3,48 Г) 1,22
Вариант № 4
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений ?
5х -
А) (2.7, 2.8) Б) (2.1, 2.3) В) (1.5, 1.7) Г) (1.2,1.3)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления
х3 + 2х - 7.8 = 0, [0,3]
А) [0, 1.875] Б) [1.5, 1.875] В) [1.5, 2.75] Г) [0.1, 0.125]
З. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд ?
X + =0, [0.1,1]
А) 0.7378 Б) 0.2481 В) 0,8519 Г) 0,1532
4.Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
х3 + 2х - 7,8 = 0, [0,3]
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерация ?
х - 0 = 0
А) 2,32 Б) 1,29 В) 11,47 Г) 2,96
Вариант № 5
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
Х +
А) (0.1, 0.2) Б) (0.7, 0.8) В) (1.5, 1.6) Г) (1.7, 1.8)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения ?
х3 + 2х-7,8 = 0 [0, 3]
А) [1, 0.75] Б) [1.875, 1.9] В) [1.5, 1.875] Г) [0, 1.5]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд
Х +
А) 0,7876 Б) 0,8481 В) 0,7378 Г) 0,7577
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
х4- х- 1 = 0 , [1,5]
А) -0,7312 Б) 1,2751 В) 1,735 Г) 10,236
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерации?
5х- х4-1 = 0, х0 =1
А) 2,4 Б) 0,2 В) 3,6 Г) 5.1
Вариант № 6
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
0,25х3 - 1,2502х3 = 0
А) (0, 0.1) Б) (1.7, 1.8) В)(1, 1.2) Г) (0.1, 0.2)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3-1,75х + 0,75 = 0, [-10,10]
А) [0.25, 4] B) [5.75, 10] В) [-10, -5.75] Г) [-2.5, 0]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
0,25х2 - 1,2502х3 = 0 [-1.5, 2]
А) -0,285 Б) 1,576 В) -0,233 Г) -1,001
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
Х3-1,75х + 0,75 = 0, [-10,10]
А) 1,827 Б) 4,1830 В) –3,1250 Г) 5,2431
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерации ?
5х – х4 – 1 = 0, х0=1
А) 2,4 Б) 0,2 В) 3,6 Г) 5,1
Вариант № 7
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
5х - х4-1 = 0
А) (0.2, 0.3) Б)(-1, -0.9) В) (0.8, 0.9) Г) (0.4, 0.5)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
х4-18х2 + 6х-5 = 0, [-1.5, 2]
A) [1.25, 3] Б) [2.5, 4.5] В) [1, 2.75] Г) [4, 4.5]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
0,25x2 – 1.2502x3 = 0, [-1.5, 2]
А) -0,285 Б) 1,576 В) -0,233 Г) -1,001
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
X3- x – l = 0, [1, 4.5]
А) -8 Б) -10 В) -3 Г) -1
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерации?
5х- 0 = 3
А) 2,74 Б) 1,55 В) 3,48 Г) 1,22
Вариант № 8
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
0,25x3 + x – l.2502 = 0
А) (0, 0.1) Б) (1.6,1.8) В) (1, 1.1) Г) (0.2, 0.4)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
0,25х3- х - 1,2502 = 0, [1.4, 1.5]
А) [1, 1.4375] Б) [1, 3.520] В) [1, 4.35] Г) [1, 2.575]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
0,25х3+ х -1,2502=0, [0.5, 2]
А) 0,8108 Б) 0,9744 В) 0,9967 Г) 0, 5501
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона
Х4 – 18х2 + 6х – 5 = 0, [1, 5]
А) 2,3480 Б) 0,1879 В) 1,1541 Г) 5,1370
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерация?
5х - - 5 = 0, х0 = 0
А) 2,74 Б) 1,55 В) 3,48 Г) 1,22
Вариант № 9
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
5х - - 5 = 0
А) (2.7, 2.8) Б) (2.1, 2.3) В) (1.5, 1.7) Г) (1.2, 1.3)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
X3+ 2x - 7.8 = 0, [0, 3]
А) [0, 1.875] Б) [l.5, 1.875] В) [1.5, 2.75] Г) [0.1, 0.125]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующею уравнения методом хорд?
х + [0.1, 1]
А) 0,7378 Б) 0,2481 В) 0,8519 Г) 0,1532
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
х3 + 2х - 7,8 = 0, [0, 3]
А) 0,1569 Б) 2,5373 В) 4,1980 Г) 8,5791
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерации?
х - - 2.5 = 0, Хо = 2
А) 2,32 Б) 1,29 В) 11,47 Г) 2,96
Вариант № 10
1. В каком варианте ответа отделены корни уравнений?
Х +
А) (0.1, 0.2) Б) (0.7, 0.8) В) (1.5, 1.6) Г) (1.7, 1.8)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метола половинного деления при решении данного уравнения?
х3+ 2х -7,8 = 0, [0, 3]
3. Чему равно второе приближение корня при решении следующего уравнения методом хорд?
Х + [0.1, 1]
А) 0,7876 Б) 0,8481 В) 0,7378 Г) 0,7577
4. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом Ньютона?
х4- х –1 = 0, [1, 5]
А) -0,7312 Б) 1,2751 В) 1,735 Г) 10,236
5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего уравнения методом итерации?
5х- х4 = 0, х0 = 1
А) 2,4 Б) 0,2 В) 3,6 Г) 5,1
§3. Тестовые задания (Зачет).
БИЛЕТ № 1
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
А. (0.1, 0.2) Б. (0.7, 0.8) В. (1.5, 1.6) Г. (1.7, 1.8)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 +2х – 7.8 = 0
А. [1; 0.75], Б. [0.75; 1.5], В. [1.5; 1.875], Г. [0; 1.5],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.1 ≤ х ≤ 1
А. 0.7876 Б. 0.8481 В. 0.7378 Г. 0.7577
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
х4 – х – 1 =0, [1; 5],
А. –0.7312 Б. 1.2751 В. 1.735 Г. 10.236
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X=1 по формуле Лагранжа.
А. 16.18 Б. 17.02 В. 20.15 Г. 19.8
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X по формуле Ньютона.
А. 16.8 Б. 17.02 В. 14.2 Г. 4.25
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
xy
А. 2.71 Б. 3.59 В. 0.141 Г. 5.19
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
5х – х4 – 1 = 0, х0 = 1
А. 2.4 Б. 0.2 В. 3.6 Г. 5.1
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
2 + y + 1
А. 5.242 Б. 0.128 В. 6.343 Г. 2.125
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 1.25 Б. 10 В. 0.2 Г. 3.7
БИЛЕТ № 2
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х3 + х – 1.2502 = 0
А. (0, 0.1) Б. (1.6, 1.7) В. (1, 1.1) Г. (0.2, 0.4)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 -2х2 – 1.2 = 0
А. [0.5; 1.25], Б. [0.5; 2 ], В. [-4; 2 ], Г. [-4; 0.75 ],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
5х – – 5 =0, [1; 3],
А. 1.2209 Б. 2.624 В. 1.590 Г. 4.6701
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 – 6х – 8 = 0, [2; 7]
А. 12.4415 Б. -3.4351 В. -2.0001 Г. 4.1530
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X=11 по формуле Лагранжа.
А. 16.18 Б. 17.02 В. 20.15 Г. 19.8
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X=1.6 по формуле Ньютона.
А. 13.026 Б. 20.011 В. 11.152 Г. 8.112
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
xy
А. 2.71 Б. 3.59 В. 0.141 Г. 5.19
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
х – – 2.5 = 0, х0 = 2
А. 2.32 Б. 1.29 В. 11.47 Г. 2.96
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
3 + y + 1
А. 6.343 Б. 10.808 В. 1.105 Г. 0.203
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 10.8 Б. 2.5 В. 1.6 Г. 8.1
БИЛЕТ № 3
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х2 – 1.2502х3 = 0
А. (0, 0.1) Б. (1.7, 1.8) В. (1, 1.2) Г. (0.1, 0.2)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 – 1.75х +0.75 = 0, [-10; 10],
А. [2.75; 3.5], Б. [-2.5; 0], В. [-10; 2.75], Г. [3.5; 4.75],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
5х – х4 – 1 = 0, [0.5; 1],
А. 0.3142 Б. 1.236 В. 0.200 Г. 1.000
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х5 – х – 0.2 = 0, [-3; 2],
А. –1.5672 Б. -2.1480 В. -3.1940 Г. 10.1020
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X=50 по формуле Лагранжа.
А. 40.01 Б. 70.51 В. 201.35 Г. 100.11
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X=1.3 по формуле Ньютона.
А. 1.2201 Б. 4.7790 В. 2.1136 Г. 6.3565
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
А. 1.094 Б. 1.655 В. 2.15 Г. 8.11
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
0.25х2 – 1.2502х3 – 2 = 0, х0 = 1
А. -7.803 Б. 0.620 В. 3.4 Г. -3.665
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
y2
А. -7.803 Б. 0.620 В. 3.4 Г.-3.665
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 8.51 Б. 10.12 В. 2.06 Г. 1.11
БИЛЕТ № 4
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х3 +х –1.2502 = 0
А. (0, 0.1) Б. (1.6, 1.8) В. (1, 1.1) Г. (0.2, 0.4)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 +2х – 7.8 = 0
А. [1.5; 2.525], Б. [1.5; 3 ], В. [1.5; 1.875 ], Г. [0; 1.875 ],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
≤ х ≤ 3
А. 2.624 Б. 1.2209 В. 3.1444 Г. 4.6701
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
х4 – х – 1 =0, [1; 5],
А. 1.2470 Б. 5.1420 В. –0.7312 Г. 11.2415
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X=55 по формуле Лагранжа.
А. 211.15 Б. 91.15 В. 164.88 Г. 60.12
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X=1.6 по формуле Ньютона.
А. 16.8 Б. 17.02 В. 14.2 Г. 4.25
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
xy
А. 2.44 Б. 7.15 В. 8.112 Г. 10.54
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
0.25х3 + х – 1.2502 = 0, х0 = 2
А. 0.627 Б. 2.741 В. 1.444 Г. 3.520
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
3 + y + 1
А. 6.343 Б. 2.818 В. 10.333 Г. 14.808
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 4.0 Б. 11.2 В. 2.5 Г. 10.8
БИЛЕТ № 5
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х3 + х –1.2502 = 0
А. (0, 0.1) Б. (1.6, 1.8) В. (1, 1.1) Г. (0.2, 0.4)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 - х – 1 = 0, [1; 4.5],
А. [1; 1.4375], Б. [1; 3.520], В. [1; 4.35], Г. [1; 2.575],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.25х3 + х –1.2502 = 0, 0.5 ≤ х ≤ 2
А. 0.8108 Б. 0.9744 В. 0.9967 Г. 0.5501
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
х4 – 18х2 – 6х - 5 =0, [1; 5],
А. 2.3480 Б. 0.1879 В. 1.15641 Г. 5.1370
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 4 по формуле Лагранжа.
А. 11.34 Б. 12.06 В. 19.98 Г. 13.73
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 3.2 по формуле Ньютона.
А. 13.776 Б. 12.061 В. 19.981 Г. 13.73
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
xy2
А. 18.64 Б. 10.18 В. 4.01 Г. 1.99
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
5х – – 5 = 0, х0 = 3
А. 2.74 Б.1.55 В. 3.48 Г. 1.22
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
2 + 3y2
А. 106.9 Б. 228.5 В. 10.1 Г. 50.7
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 7.33 Б. 10.01 В. 1.22 Г. 4.18
БИЛЕТ № 6
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х2 - 1.2502х2 = 0
А. (0, 0.1) Б. (1.7, 1.8) В. (1, 1.2) Г. (0.1, 0.2)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 – 1.75х +0.75 = 0, [-10; 10],
А. [0.25; 4], Б. [5.75; 10], В. [-10;-5.75], Г. [-2.5; 0],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.25х2 - 1.2502х2 = 0, -1.5 ≤ х ≤ 2
А. –0.285 Б. 1.576 В. –0.233 Г. –1.001
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 – 1.75х + 0.75 =0, [-10; 10],
А. 1.827 Б. 4.1830 В. –3.1250 Г. 5.2431
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 42 по формуле Лагранжа.
А. 181.12 Б. 211.15 В. 90.15 Г. 150.1
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 3 по формуле Ньютона.
А. 12.13 Б. 10.15 В. 13.25 Г. 11.50
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
x +
А. 4.098 Б. 10.421 В. –5.112 Г. 1.655
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
5х – х4 – 1 = 0, х0 = 1
А. 2.4 Б. 0.2 В. 3.6 Г. 5.1
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
2 y
А. 1.6 Б. 2.5 В. 7.4 Г. 10.1
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 1.29 Б. 6.33 В. 8.22 Г. 20.21
БИЛЕТ № 7
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
5х – х4 – 1 = 0
А. (0.2, 0.3) Б. (-1, -0.9) В. (0.8, 0.9) Г. (0.4, 0.5)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 – 0.2х2 – 0.2х –1.2 = 0 [-4; 2],
А. [1; 0.75], Б. [0.75; 1.5], В. [1.5; 1.875], Г. [0; 1.5],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.25х3 -+х – 1.2502 =0, 0.5 ≤ х ≤ 2
А. 0.8108 Б. 0.9744 В. 0.9967 Г. 0.6501
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 – 0.2х2 – 0.2х – 1.2 = 0, [-4; 2],
А. –1.0008 Б. 2.1534 В. –3.2690 Г. 4.1571
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 40 по формуле Лагранжа.
А. 38.14 Б. 40.45 В. 167.52 Г. 200.11
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 1 по формуле Ньютона.
А. 10.11 Б. 4.25 В. 6.13 Г. 7.15
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
xy2
А. 6.41 Б. 1.99 В. 11.15 Г. –3.11
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
5х – – 5 = 0, х0 = 3
А. 2.74 Б. 1.55 В. 3.48 Г. 1.22
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
3 + y + 1
А. 6.343 Б. 10.828 В. 14.025 Г. 19.611
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 10.88 Б. 5..44 В. 1.22 Г. 7.33
БИЛЕТ № 8
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
5
А. (2.7, 2.8) Б. (2.1, 2.3) В. (1.5, 1.7) Г. (1.2, 1.3)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 +2х – 7.8 = 0 [0; 3],
А. [0; 1875], Б. [1.5; 2.75 ], В. [1.5; 1.875 ], Г. [0.1; 0.125 ],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.1 ≤ х ≤ 1
А. 0.7378 Б. 0.2481 В. 0.8519 Г. 0.1532
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 + 2х – 7.8 = 0, [0; 3],
А. 0.1569 Б. 2.5373 В. 4.1980 Г. 8.5791
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 4по формуле Лагранжа.
А. 11.34 Б. 12.06 В. 16.98 Г. 13.73
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 3.7 по формуле Ньютона.
А. 15.1085 Б. 11.245 В. 13.0045 Г. 12.1241
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
x2 + y
А. 21.63 Б. 40.14 В. 32.13 Г. 1.01
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
х + 4 – 2.5 = 0, х0 = 2
А. 2.32 Б. 1.29 В. 11.47 Г. 2.96
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
y2
А. 5.242 Б. 0.128 В. 6.343 Г. 2.125
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 15.4 Б. 119.199 В. 1.017 Г. 9.007
БИЛЕТ № 9
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
0.25х3 + х – 1.2502 = 0
А. (0.1, 0.2) Б. (1.6, 1.8) В. (1, 1.1) Г. (0.2,0.4)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 –6х – 8 = 0, [2; 7],
А. [2; 2.537], Б. [3.535; 4.5 ], В. [2.625; 3.25 ], Г. [2.625; 4],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.25х3 + х – 1.2502 = 0 , 0.5 ≤ х ≤ 2
А. 0.9744 Б. 1.2502 В. 0.1417 Г. 0.4651
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 – 6х – 8 =0, [2; 7],
А. 0.1792 Б. 3.1280 В. 1.2570 Г. -3.4351
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 11 по формуле Лагранжа.
А. 16.18 Б. 17.02 В. 20.15 Г. 19.8
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 7.9 по формуле Ньютона.
А. 40.311 Б. 55.125 В. 50.011 Г. 59.5305
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
x +
А. 1.094 Б. 1.655 В. 2.152 Г. 6.875
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
5х – х4 – 1 = 0, х0 = 1
А. 2.4 Б. 0.2 В. 3.6 Г. 5.1
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение; методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
2 + 3y2
А. 228.5 Б. 116.9 В. 10.88 Г. 348.11
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 4.20 Б. 2.06 В. 10.11 Г. 13.13
БИЛЕТ № 10
1. В каком из вариантов ответа отделены корни уравнения?
А. (0.1, 0.2) Б. (0.7, 0.8) В. (1.5, 1.6) Г. (1.7, 1.8)
2. Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного уравнения?
Х3 - 3х2 +6х +3 = 0, [-3; 4],
А. [2.25; 4.00], Б. [-3.2; 2.350], В. [-0.25; 1.735], Г. [-1.25; -0.375],
3. Чему равно второе приближение корня (Х2) при решении следующего уравнения методом хорд (начальное приближение - Х0)
0.25х2 – 1.2502х3 = 0 , -1.5 ≤ х ≤ 2
А. –0.285 Б. 1.576 В. -0.233 Г. 1.475
4. Чему равно третье приближение корня (Х3) при решении следующего уравнения методом Ньютоне (начальное приближение – Х0)?
Х3 – 3х2 + 6х +3 = 0, [-3; 4],
А. 8.4420 Б. 2.1517 В. 1.2571 Г. 1-0.4777
5. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
6 |
17 |
21. |
60 |
|
У |
11 |
15 |
23 |
35 |
67 |
Вычислить значение функции в точке X = 11 по формуле Лагранжа.
А. 16.18 Б. 17.02 В. 20.15 Г. 19.8
6. Для функции, заданной таблицей
|
X |
2 |
4 |
6 |
8. |
|
У |
10 |
16 |
28 |
62 |
вычислить значение функции в точке X = 7 по формуле Ньютона.
А. 39.11 Б. 22.41 В. 30.15 Г. 41.25
7. Чему равняется У2 при решении следующего дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, если У(0) = 1, Н = 0,5?
x +
А. 1.094 Б. 1.655 В. 2.152 Г. 6.875
8. Чему равно третье приближение корня (.Х3) при решении следующего ypaвнения методом итерации?
0.25х3 + х – 1.250 = 0, х0 = 2
А. 0.627 Б. 2.741 В. 1.444 Г. 3.520
9. Чему равно У3 при решении следующего дифференциального уравнение методом Эйлера, если У(0)= 1. Н= 0,5?
y2
А. 2.818 Б. 1.441 В. 10.115 Г. 14.002
10. Задана подынтегральная функция y = f(x). Промежуток интегрирования: [0; 3 ], Н = 1. Чему равен интеграл при вычислении его методом трапеции.
Y =
А. 1.25 Б. 10 В. 0.2 Г. 3.7
§4. Тестовые вопросы.
1. а называется число, которое…
А) незначительно больше точного числа
Б) незначительно меньше точного числа
В) оба выражения верны.
2. Dа приближенного а называется…, где А -точное число.
А) разность Dа = А-а Б) Dа = А/а В) Dа = А*а
3. Пусть А- точное число, а- приближенное, Dа- абсолютная погрешность, то верная запись а) А = а + Dа б) А = а - Dа в) А = а ± Dа
4. Относительной погрешностью h называется отношение…
а) h = Dа/ çАï
б) h = D/А
в) h = D/а
г) h = Dа/а
5. Число 0.00701 содержит… значащих цифр.
А) 5 Б) 4 В) 3 Г) 2 Д) 1
6. n-первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность не превышает… единиц разряда.
А) 1/2 Б) 1/3 В) 1/4 Г) 1/5
7. абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел…абсолютных погрешностей этих чисел.
а) больше или равно б) меньше в) равно г) меньше или равно
8. абсолютная погрешность разности 2-х приближенных чисел равна…погрешности двух приближенных чисел.
А) сумме Б) разности В) полу сумме.
9. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел отличных от нуля равна…этих приближенных чисел.
А) не превышает произведения Б)не превышает суммы В) не превышает разности
10. Относительная погрешность частного…относительных погрешностей делимого и частного.
А) не превышает наибольшую из Б) суммы погрешностей
12. Если непрерывная функция принимает значения f(x) принимает значения f(a)*f(b)<0 на концах [a,b], то внутри этого отрезка имеется
а) один корень б) два корня в) три корня
13. если с – корень в методе дихотомии, то он находится по формуле…
а) б) в)
14. xn- корень уравнения в методе хорд, то он находится по формуле…
а) б)
в) г)
15. n - корень уравнения в метод Ньютона ( касательных ), то он находится по формуле:
а) б) в)
16. Процесс итерации хn= j(xn-1) сходится независимо от начального
если a) б) в)
17. Пусть в СЛАУ имеется 3 уравнения и 3 неизвестных. При решении СЛАУ методом Гаусса сначала находятся корни в таком порядке …
1) х1,х2,х3 2) х3, х2,х1 3) х1,х3,х2 4) х3,х1,х2
18. При решение СЛАУ методом итерации решение имеется, если сумма модулей коэффициентов при неизвестных в правой части, взятых по строкам…
а) больше 1 б) равно 1 в) меньше 1
19. таблица функций
|
х |
0,41 |
1,55 |
2,67 |
3,84 |
|
у(х) |
2,63 |
3,75 |
4,87 |
5,03 |
Найти значение функции в точке Х=1,91, пользуясь интерполяционным многочленам Лагранжа
А) » 3,97 б) » 4,15 в) » 4,23 г) » 4,43
20. Формула трапеций для вычисления интеграла, имеет вид
а)
б)
в)
21. Формула прямоугольников, для вычисления интеграла имеет вид
а)
б)
в)
22. Формула Симпсона имеет вид
а)
б)
в)
12. Список использованной литературы
1. Каган Б. М, Тер-Микаэлян Т. М. Решение инженерных задач на цифровых вычислительных машинах, М.—Л-, Издательство. Энергия, 1964, 592 с. с черт.
2. Горинштейн А.М. Практика решения инженерных задач на ЭВМ.- М.: Радио и связь, 1984.-232с.
3. Применение ЭВМ в инженерных расчетах. – Всесоюзный заочный институт ж.д. транспорта. М:1986.
4. Петров А.В., Алексеев В.Е., Титов М.А. и др. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах. – М.: Высшая школа, 1984.
5. Петров А.В., Алексеев В.Е., Титов М.А. и др. Вычислительная техника и программирование. – М.: Высшая школа, 1990. – 479с.
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966, 664с.
7. Гутер Р.С, Резниковский П.Т. Вычислительная математика. Программная реализация вычислительных методов, Наука, 1971, -264с.
8. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М. Наука, 1987. – 160стр.
9. Алексеев В.Е. и др. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию. – Практическое пособие. М.: Высшая школа, 1991. – 400с.
10. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г, Лапчик М.П. Численные методы, Просвещение, 1990, -176с.
11. Дьяконов В.Н. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ.- М. Наука. 1987. -240стр.
12. А.В. Копченова, К.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах.
13. Очков В.Ф. MathCad 7 PRO для студентов и инженеров. – М.: “Компьютер Пресс”, 1998. –384 с.
14. Алтухов Е.В, Рыбалко Л.А, Савченко В.С. – Основы информатики и вычислительной техники. – М.: Высшая школа, 1992,-303с.
15.
Электротехника. Под ред. проф. В.Г.Герасимова, М, «Высшая школа»,
16. Борисов Ю. М. Липатов Д. Н. Общая электротехника, М., Энергоатомиздат, 1985г.
17. Бессонов
Л. А. Теоретические основы электротехники, М., Высшая школа,
18. Сборник задач по электротехнике и основам электроники. Под ред. В. С. Пантюшина, М.Высшая школа, 1979г.
19. Электротехника и основы электроники. Методические указания и контрольные задания, М.Высшая школа, 1984г.
20. В. Д. Дьяконов. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах, М. Наука 1986г.
21. А.С. Потапов, В.В. Кравец. Численные методы. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета - Воронеж: Изд-во ВГПУ, 1996. - 82 с.
22. Кацман Ю. Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 2000. – 68 с.
23. Пермский Государственный Технический Университет. РГР №1. Расчёт и исследование линейной электрической цепи с источниками постоянных воздействий- 2001г.
24. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. Издание 2-е, дополненное и переработанное. Издательство «Солон-Р», Москва, 2001- 736с.
25. Гурский Д, Стрельченко Ю. Решение дифференциальных уравнений в Mathcad. Часть 1. Мир ПК, октябрь 2005г.
26. Дьяконов. В. П. «Закон Мура» и компьютерная математика. Exponenta Pro №1 (1) / 2003
27. Ю.Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcadе – Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000.
28. Катаева Л.Ю. Вычислительная математика: Методическая разработка по курсу "Вычислительная математика" /РГОТУПС МПС РФ; Н. Новгород, 2003 с.
29. Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической физики. Изд.2-е. Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1973- 192с.
30. Васильков Ю.В, Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. - М: Финансы и статистика, 1999.-256с: ил.
Содержание Введение ……………………………………………………………………………………………………………………….4 1. Глава 1. Погрешности……………………………………………………………………………………………………..4 § 1 Общая схема вычислительного эксперимента…………………………………………………………………………...4 § 2. Абсолютная и относительная по
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.