Решение задачи линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования

(1)

Теорема. Если множество  планов задачи (1) не пусто и целевая функция  сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение.

Теорема. Если множество  допустимых планов имеет крайние точки и задача (1) имеет решение, то среди крайних точек найдется оптимальная.

Метод исключения Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений.

Большинство из существующих численных методов решения задач линейного программирования использует идею приведения системы линейных уравнений

которая в матричной форме записывается в виде

В первом уравнении системы отыскивается коэффициент  в  остальных уравнениях системы. Для этого первое уравнение умножается на число  и прибавляется к уравнению с номером  присутствует только в первом уравнении, и притом с коэффициентом 1. Переменная  называется базисной переменной.

Аналогичная операция совершается поочередно с каждым уравнением системы; при этом всякий раз преобразуются все уравнения и выполняется список базисных переменных.

Результатом применения метода Жордада-Гаусса является следующее: либо устанавливается, что система несовместна, либо выявляются и отбрасываются все «лишние» уравнения; при этом итоговая система уравнений имеет вид

где  — список номеров базисных переменных,  — множество номеров небазисных переменных. Здесь  — ранг матрицы  коэффициентов исходной системы уравнений.

Полученную системы уравнений называют приведенной системой, соответствующей множеству  номеров базисных переменных.

Симплекс-метод.

Симплекс –метод, метод последовательного улучшения плана, является в настоящее время основным методом решения задач ЛП.

Рассмотрим каноническую задачу ЛП

где векторы  и  и будем предполагать, что все угловые точки  являются невырожденными.

, где вектор  определяется формулой

Теорема. Если в угловой точке  выполняется условие  — решение задачи (2).

Теорема. Для того, чтобы угловая точка  являлась решением задачи (2), необходимо и достаточно, чтобы в ней выполнялось условие

Алгоритм симплекс-метода.

Переход из старой угловой точки  в новую угловую точку  состоит, в сущности, лишь в изменении базисной матрицы  вводится вектор

Шаг 0. Задать целевой вектор  и множество базисных индексов  и вектор

Шаг 1. Вычислить матрицу  и вектор

Шаг 2. Вычислить вектор потенциалов  и оценки

Шаг 3. Если  для всех  — базисный вектор оптимального плана; иначе перейти на шаг 4.

Шаг 4. Выбрать произвольный индекс  и вычислить вектор

Шаг 5. Если

Шаг 6. Сформировать множество индексов  и вычислить

Шаг 7. В множестве  индекс  заменить на индекс  — вектор  — на вектор  — компоненту  на

Решение задачи линейного программирования. Рассмотрим задачу линейного программирования (1) Теорема. Если множество  планов задачи (1) не пусто и целевая функция  сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение. Теорема. Если м

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу