курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
№1
lim (∆x→0) ∆f/∆x = f’(x)
∆f/∆x = f’(x)+α(∆x), где
lim (∆x→0) α(∆x)=0
∆f = f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x
Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.
df(x)=k∙∆x
∆f-df(x)=0(∆x)
∆f=df(x)+ 0(∆x)
Теорема: д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт. (∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).
df(x)= f’(x) ∙∆x
y=x
dx=∆x
df(x)= f’(x)dx
№2
Св-ва диф-а:
1) dc=0
2) d(cf(x))=cdf(x)
3) d(ax+b)=ad(x), где a и b-пост. величины
4) d(u ± v)= du ± dv
5) d(uv)=udv+vdu
6) d(u/v)=( vdu-udv)/v2
7) df(u(x))=f’u(u)du
8) dφ(u)= φ’(u)du
№3
Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.
df(x)=f’(x)dx
d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2
d2f(x)/ dx2= f”(x)
dnf(x)=f(n)(x)dxn – диф. n-го порядка f(x)
f(x)=x
dx=∆x
dx2=0
dxn=0
Теорема: диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.
№4
Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F’(x)= f(x).
(F(x)+С)’= F’(x)+ С’= f(x)
Опред-е: совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-ся неопред. ∫ от ф-ии f(x) и обознач.: ∫ f(x)dx = F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр. выр-е.
Св-ва:
1) (∫f(x)dx)’=f(x)
2) d ∫f(x)dx= f(x)dx (диф-л от неопред. ∫=подинт. выр-ю)
3) ∫dφ(x)=φ(x)+C (∫ от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностью до пост. слагаемого)
4) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx
5) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
№5
∫f(φ(x))φ’(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du
u= φ(x)
Пример:
∫dx/2x+3 = ∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C
2x+3=t
2dx=dt
dx=dt/2
№6
d(uv)=udv+vdu
∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu
uv = ∫udv + ∫vdu
∫udv = uv - ∫vdu
Пример:
∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C
u=x
dv=sinxdx
du=dx
v=∫sinxdx=-cosx
№7
f(x) [a, b]
n – произв. Целое положит. Число
Выберем
(∙)-и t0 = a
{ t0; t1; t2;… tn} = Tn – совокуп. точек – разбиение отрезка [a, b].
[ti; ti-1]
∆i = ti - ti-1 – длина i-подотрезка
Ф-ия, опред-я на отрез. [a, b].
∆=max {∆1, ∆2, …∆n}
Выберем произв. внутр. (∙) ti-1≤ εi ≤ ti
Σni=1f(εi)∆i = f(ε1)∆1+ f(ε2)∆2+…+ f(εn)∆n – это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тn и набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.
Σni=1f(εi)∆i = I(f(t), Тn, ε1…εn)
Опред-е: если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм при усл-ии, что ∆→0 и этот lim не зависит от выбора разбиений Тn и выбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот lim наз-ся опред. ∫ от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: a∫b f(t)dt = lim(∆→0) I(f(t), Тn, ε1…εn), где a – ниж. предел интегр-я, b – верх. предел интегр-я, f(t) – подинт. ф-ия, f(t)dt – подинт. выр-е.
№8
Д/V ф-ии f(t) a∫b f(t)dt =0
1) a∫bdt =b-a
2) a∫b cf(x)dx = c a∫bf(x)dx
3) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) также интегр-ма на отрез. [a, b]. a∫b [f(x)+g(x)]dx = a∫b f(x)dx + a∫b g(x)dx.
4) a∫b f(x)dx = - b∫a f(x)dx – если изменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.
5)
Если ф-ия f(x) интегр-ма на
отрез. [a, b] (a 6)
Если ф-ия f(x) интегр-ма на
отрез. [a, b], а (∙)с
лежит внутри отрез. [a, b], то a∫b f(x)dx = a∫с f(x)dx + с∫b f(x)dx. 7)
Если ф-ия f(x) непрерывна на
отрез. [a, b], то она
интегр-ма на этом отрезке. 8)
Если ф-ия f(x) интегр-ма на
отрез. [a, b] и ограничена
на этом отрезке, то m(b-a) ≤ a∫b
f(x)dx ≤ M(b-a); a∫b mdx = m a∫bdx
= m(b-a) 9)
Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы
на отрез. [a, b] и во всех (∙)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ≤ a∫b f(x)dx ≤ M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ≤ g(x); a∫b f(x)dx ≤ a∫b g(x)dx. 10) Теорема о
среднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (∙)с, лежащая внутри этого отрезка
или на его границе, такая, что: a∫b f(x)dx = f(c)∙(b-a). №9 Пусть
ф-ия f(x) определена и
интегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a≤c Ф(х)
= с∫х f(t)dt. Св-ва ф-ии Ф(х): предположим
f(x) непрерывна х+∆х Ф(х+∆х)
– Ф(х) = с∫х+∆х f(t)dt - с∫х
f(t)dt = х∫х+∆х f(t)dt = f(с)∙∆х,
где (∙)с лежит внутри интерв. (х+∆х). 1)
Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫
тоже непрерыв. 2)
lim (∆х→0) ∆Ф/∆х = f(x) Т.е.
введенная ф-ия Ф(х) – первообраз. д/ф-ии f(x). №10 Пусть
Ф(х) – какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что: a∫х f(t)dt = F(x)+C д/люб. х из интерв. [a, b], тогда a∫a f(t)dt
=0; F(a)+C=0; C=-F(a) a∫b f(t)dt = F(b) – F(a) – формула Лейбница-Ньютона. №11 a∫b f(х)dх = α∫βf(φ(t)) φ’(t)dt x= φ(t) x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β dx = φ’(t)dt №12 Будем
предполагать, что ф-ии u и v интегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез. d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во a∫bd(uv) = a∫budv + a∫bvdu u(b)v(b) – u(a)v(a) = a∫budv
+ a∫bvdu a∫budv = u(b)v(b) – u(a)v(a) - a∫bvdu – правило интегр-я по частям в опред. ∫. №13 2
случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале. 1)
Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но lim f(x) = ∞, тогда a∫b f(х)dх будет наз-ся несобств.
интегралом. Под
ним поним-ся lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx a∫b f(x)dx =
lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx. Если
этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся. 2)
Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен. a∫+∞ f(x)dx = lim (А→ +∞) a ∫А f(x)dx Если
этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся. -∞∫b f(x)dx = lim (B→
-∞) B∫b f(x)dx -∞∫+∞
f(x)dx = -∞∫0
f(x)dx + 0∫+∞f(x)dx – обобщение. №14 Пусть
ф-ия f(x)>0 на отрез.
[a, b] Выберем
нек. целое положит. число n и разобьем
отрезок [a, b] на n одинак.
подотрезков. (b-a)/n = R x0 = a; y0 =
f(x0) x1=a+h; y1=f(x1) --------; --------- xi=a+ih xn=b=a+nh; yn=f(xn)
Si = (yi-1
+ yi)/2 ∙h S=S1+S2+…Sn
= h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1] a∫b f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2
+ y1+y2…+yn-1] №15 y=αx2+βx+γ yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ
= α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ yi=αxi2+βxi+γ;
yi-1 = αxi2- 2αhxi + 2h2
+βxi – βh +γ yi+1 = α(xi+h)2+
β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi
+2h2 + βxi + βh +γ yi+1+ yi-1
= 2 αx2i + 2αh2 +
2βxi + 2γ yi+1+ yi-1
= 2yi = 2αh2 α = (yi+1+ yi-1
– 2yi)/ 2h2 Si = xi-1∫xi+1(αx2+βx+γ)dx
= (αx3/3 + βx2/2 + γx) | xi+1xi-1
= α∙[(xi+h)3 – (xi-h)3]/3
+ β∙[(xi+h)2 – (xi-h)2]/2
+ γ∙[(xi+h) – (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih
+ 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2
+ 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi
+ 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1– 2yi)/
2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3 Si = ( yi+1+ 4yi + yi-1)/3∙h – формула Симпсона №16 S=a∫b
(f1(x) – f2(x))dx S2
= - a∫b f2(x)dx S = a∫b(f1(x)
– f2(x))dx №17 y = f(x) {x=φ(t) {y=Ψ(t) α ≤ t ≤ β cos2φ + sin2φ
= 1 {x=a∙cosφ {y=a∙sinφ 0 ≤ φ ≤
2π S = 0∫a
ydx = - π/2∫0 sin2φdφ =
a2 0∫π/2 sin2φdφ
= a2 0∫π/2 (1-cos2φ)/2 dφ
= a2π/4 S = α ∫β y(t)x’(t)dt –
вычисление S кривой, если ее Ур-е задано
парам-ки. №18 l – вектор, ρ – длина вектора ОМ {x = ρcosφ {y = ρsinφ ρ
= √(x2 +y2) tgφ = y/x ρ
= ρ(φ) – в полярн. сис. коорд. ρ(φ) ρ(φ +dφ) ds = ρ2/2 dφ α ∫β ds = S = ½ α ∫βρ2dφ S = ½ α ∫βρ2dφ №19 В
дугу АВ вписали ломаную. Mi (xi, yi) yi =
f(xi)
(если ур-е кривой y = f(x)) | Mi-1 Mi | = √[(xi – xi-1)2
+ (yi – yi-1)2] l лом = Σn i=1 √[(xi – xi-1)2
+ (yi – yi-1)2]
– длина ломаной линии. Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать lim длины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-о
растет, а длина max звена стремится к 0. При
оч. мал. ∆х: dl = √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(y’x)2 + (dx)2] =√ [1+(y’x)2] dx l дуги ab = a∫b √ [1+(y’x)2] dx – формула д/вычисл. длины дуги. №20 {x=φ(t) {y=Ψ(t) dx = φ’(t)dt dy = Ψ’(t)dt l дуги ab = α ∫β √ [ (φ’(t))2
+ (Ψ’(t))2] dt №21 {x = ρcosφ {y = ρsinφ dx = (ρ’cosφ –
ρsinφ)dφ dy = (ρ’sinφ +
ρcosφ)dφ (dx)2 = (ρ’2cos2φ –
2ρ’ρcosφsinφ + ρ2sin2φ) (dy)2 = (ρ’2sin2φ +
2ρ’ρcosφsinφ + ρ2cos2φ) dl =
√[(ρ’)2 + ρ2] dφ l = α ∫β √[(ρ’)2 + ρ2]
dφ №22 I Вокруг х a) { y = f(x) {x = a, x = b {y = 0 Vx = π a∫b f2(x)dx б) Час. случай Vx = π a∫b f2(x)dx - π a∫b g2(x)dx = π a∫b [f2(x) - g2(x)]dx II Вокруг y a) Vy
= π c∫d g2(y)dy б) Час. Случай Vy = π c∫d f2(y)dy - π c∫d g2(y)dy = π c∫d [f2(y) - g2(y)]dy №23 Опред-е: числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u1+u2+…+un =
Σ∞n=1 un (1), каж. из кот. – опред.
число. un = n/(n2+1) Последов-ть
частичных сумм: S1 = u1 S2 = u1+u2 S3 = u1+u2+u3 ---------------- Sn = u1+u2+…+un Σ∞n=1
un = Sn + Σ∞k=n+1 Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен
lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда. S = lim (n→∞) Sn Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim=∞, то
ряд наз-ся расход-ся. Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о,
чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы lim (n→∞) rn = 0 Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim (n→∞) un = 0. Следствие из теор.2: если n-й член ряда не
→ к 0, то ряд расх-ся. №24 Основ. св-ва сход. рядов: 1)
Если члены
сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже
сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход.
ряда, т.е. Σ∞n=1 un = S; Σ∞n=1
λ∙un = λ∙S 2)
Если ряд 1
сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число
слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся. 3)
Если ряд с
членами un сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 un = S и ряд с членами
vn сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 vn = σ, то ряд с
чл. (un + vn)
сход-ся и его сумма = Σ∞n=1 (un + vn) = S+ σ Σ∞n=11/ n = 1+1/2+1/3+…+1/n… - гармонич. ряд №25 Признак
Даламбера: Пусть дан ряд Σ∞n=1 un, если lim (n→∞) un+1/un = k {k<1 – ряд сх. {k>1 – ряд расх. {k=1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым Интегральный
признак: Им-ся ряд с положит. членами. un = f(n) – эта ф-ия определена на интерв. [1; +∞]. Если 1∫∞
f(x)dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже
сход-ся. Σ∞n=11/ n – гарм. ряд; Σ∞n=11/ nα – обобщ. гарм. ряд. f(x) = 1/xα 1∫∞ dx/xα
= lim (A→∞) 1∫A dx/xα = lim (A→∞) [-αx-α+1] |A1 = lim (A→∞)
[α - αA-α+1] = lim (A→∞)
[α – α/A-α+1] Если
α>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, ряд
сход-ся. Если
α≤1, А-b положит.
степ., при А→ ∞ ряд расх-ся. №26 Σ∞n=1 (-1)n+1un = u1-u2+u3- u4+…, причем un ≥0 Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я
un+1< un и
lim (n→∞) un = 0, то дан. ряд сход-ся. Док-во: Найдем
2n частичную сумму ряда: S2n = (u1–u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм –
возраст-я = u1–(u2– u3) + (u4– u5)-…-( u2n-2-u2n-1) - u2n< u1 имеем
послед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет lim Рассмотрим
нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + u2n+1 lim (n→∞) S2n+1
= lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1
= S Чтд. Σ∞n=1 (-1)n/n –
знакочеред. ряд un = 1/n, un+1
= 1/(n+1) un > un+1 lim (n→∞) un
= lim (n→∞) 1/n = 0 №27 (1) Σ∞n=1 un – числа u и n могут иметь произвол. знаки (2) Σ∞n=1 |un| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1) Обозначим
ч/з Sn n-ную
частич. сумму 1-го ряда и ч/з σn – 2-го ряда. |Sn| = | Σnk=1 uk| ≤ Σnk=1|uk| = σn |Sn|≤ σn Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют.
знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом.
Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм. №28 Ряды
можно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: Σ∞k=1 fk(x) Выберем
нек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-ек
х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда. f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0) Ч/з
S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти,
кот. наз-ся суммой эт. ряда. Степенным
рядом наз-ся Σ∞n=0 Сn(х-х0)n (1) Числа
Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0
наз-ся центром степ. ряда. В
(∙)х=х0 степ. ряд сход-ся. Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, то
он сход-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|<|х1-х0|. утвержд.2:
если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб.
(∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|. Областью
сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х0 (х0
– R, х0 + R), число R-max расстояние от (∙)х0 до (∙), где
ряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда. R = lim (n→∞)
|Cn|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти. №29 Св-ва степ. рядов: 1)
В интервале
сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно. 2)
В интервале
сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии. 3)
Степ. ряд
можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том
же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда. Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(x) Σ∞n=0 Cn n(х-х0)n-1 = S’(x) 4)
Степ. ряд
можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же
интервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда. Σ∞n=0 ∫Cn (х-х0)n dx = ∫S(x)dx Σ∞n=0 Cn/(n+1)∙(х-х0)n+1 = ∫S(x)dx №30 R может = люб. числу от 0 до +∞. Σ∞n=0 Cn (х-х0)n = S(x) (х0
– R, х0 + R) – интерв. S(х0) = С0 С1
+ 2С2 (х-х0) +3С3(х-х0)2
+…= S’(x); С1=
S’(х0) С2
+ 3∙2С3 (х-х0) +4∙3С4(х-х0)2
+…= S”(x);
С2= S”(х0)/2 Сn
= S(n)(х0)/n! S(х) = Σ∞n=0 S(n)(х0)/n! ∙ (х-х0)n – ряд Тейлора д/ф-ии S(х) №31 Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной
или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии. Если
исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных. F’(x) = f(x) G(x, y, y’,…y(n))=0 – общая
запись обык. диф. ур-я Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при
подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество. у”+y =0 y=sinx Задача
о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей
интегриров-я дан. диф. ур-я. График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее
от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я. №32 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с
разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след.
видов: (*) dy/dx = f(x)g(y);
dy/g(y) = f(x)dx (**) M(x)N(y)dx +
P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y) (*) ∫dy/g(y) = ∫f(x)dy (**) ∫M(x)dx/P(x) = -∫Q(y)dy/N(y) №33 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его
можно записать в след. виде: y’ = f(y/x) Ф-ия
f(x, y) наз-ся однород. ф-ией порядка k, если f(dx, dy) = αk f(x, y). Пример: y’ = (x+2y)/x y’ = 1+2y/x Пусть
y/x = z, y = zx y’ = z+xz’ z+xz’ = 1+2z xz’ = 1+z dz/(1+z) = dx/x ∫dz/(1+z) = ∫dx/x ln|1+z| = ln|x|+lnC |1+z| =|x|C z = xC – 1 y/x = xC – 1 y = x2C - x №34 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y’+f(x)y = g(x), наз-ся
линейным диф-м ур-м. Если
g(x) ≡ 0, то
соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м. Если
g(x) ≠ 0, то
ур-е наз-ся неоднородным. Реш-е
им. вид: y(x) = u(x)v(x) y’ = u’v + uv’ u’v + uv’ + f(x)uv = g(x) u’v + u(v’ + f(x)v) = g(x) v’ + f(x)v= 0 dv/v = -f(x)dx v = -∫f(x)dx №35 В
нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф.
ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает
пониж. порядка ур-я. а)
y” = f(x) – прав. частьна зависит от у y’ = z z’ = ∫f(x)dx y’ = ∫f(x)dx б)
если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у G (x, y’, y”) = 0 y’ = z G (x, z’, z”) = 0 в)
когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х За
независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию – zy’. G (y, y’, y”) = 0 y’ = z 2yy” = (y’)2
+1 y’ = z(y) y” = z’y ∙
y’ = z’z 2yz’∙z = z2 +1 2yz∙dz/dy = z2 +1 2zdz/(z2 +1) = dy/y ln|z2 +1| = ln|y| + ln|C1| z2 +1 =yC1 z = √( yC1 – 1) dy/dx = √( yC1 – 1) ∫
dy/√( yC1 – 1) = ∫dx y = [(x+C2)2/4
+ 1] ∙ 1/C1 №36 Пусть
z = f(x,y) – ф-ия 2-х
переменных z’x; ∂z/∂x – частная производ. по х z’у; ∂z/∂у –
частная производ. по у Полный
дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂у∙ dy Пример: z = sin(x3y) z’x = cos(x3y) ∙3x2y z’у = cos(x3y) ∙ x3 dz = 3x2ycos(x3y)dx
+ x3 cos(x3y)dy №37 M0 (x0, y0) M (x0+∆x, y0) f(M) – f(M0) = f(x0+∆x,
y0) - f(x0, y0) = ∆x f(x0,
y0) – част. приращ. по перемен. х f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆у
f(x0, y0) - част. приращ. по перемен. у Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х
наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой
перемен. при усл-ии когда предел: lim(∆x→0)
∆xf(x, y)/ ∆x = ∂f/∂x №38, №41 Пусть
дана ф-ия 2-х перемен. z=f(x, y) ∆z = f(x +∆x, y +∆y) – полн.
приращ. ф-ии ρ = √[(∆x)2 – (∆y)2] Если
расст. → к 0, ∆x и ∆y→ к 0. Если
∆x и ∆y→ к
0, то ρ→0. В
этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть – выр-е: ∆z = f(x +∆x, y +∆y) - f(x, y) =
А∙∆x + В∙∆у + O(ρ) Если
при ρ→0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от ∆x и ∆y, такие,
что А∙∆x + В∙∆у будет отлич-ся
от полн. приращ-я ф-ии ∆z на вел-ну беск.
малую высшего порядка по срав. с ρ, то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а
глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным
диф-ом ф-ии z(dz). А∙∆x + В∙∆у = dz Теорема1: диф-л ф-ии =
сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен. dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy Теорема2: если ф-ия z = f(x,y) обладает непрерывными частными произв-ми ∂z/∂x и ∂z/∂y в заданной
области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = ∂z/∂x ∙ dx + ∂z/∂y ∙ dy P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*) {∂f(x,y)/∂x = P(x,
y) {∂f(x,y)/∂y = Q(x,
y) Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f(x,y) необходимо, чтобы в заданной области тождественно
вып-сь соотн-е: ∂Q/∂x = ∂P/∂y (**) – необх. усл-е полн. диф-а. №39 z = f(x,y) определена в нек. области G На
луче l выберем (∙)М(х,у) и будем перемещ-ся из
(∙)М(х,у) в (∙)М’(х+∆x,у+∆y) ∆e z = f(х+∆x,у+∆y) - f(х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l. ρ(M, M’) = ∆l ∆x = ∆l∙cosα ∆x = ∆l∙sinα = ∆l∙cos(π/2 – α) π/2 – α = β ∆x = ∆l∙cosα ∆y = ∆l∙cosβ cosα и cosβ –
направляющие cos-ы дан. вектора Опред-е: вел-на lim (∆l→0) ∆e z/∆l = ∂z/∂l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l. Эта
вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l. lim (∆l→0) ∆e z/∆l = ∂z/∂l = ∂z/∂x∙ cosα + ∂z/∂y∙ cosβ №40 Опред-е: max-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f(x0,y0), кот. больше всех ее знач-й f(x,y), принимаемых
дан. ф-ией в (∙)-ах нек. окрестности f(x0,y0). Опред-е: min-ом ф-ии f(x,y) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан.
ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в (∙)-ах нек.
окрестности f(x1,y1). Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в (∙) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее
частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т. (∙)-ки,
в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум. Опред.:
наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. (∙). Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает
своего наиб. и наим. знач. либо в критич. (∙) этой ф-ии, лежащей в
области, либо на границе области. Теорема3 (достат. усл-е экстремума ф-ии
2-х перемен.): пусть ф-ия z = f(x,y) непрерыв. в
нек. критич. (∙) (x0, y0), а также определена и непрерывна в нек. ее
окрестности. Пусть кроме того ф-ия имеет непрерыв. част. произв. 2-го порядка в
этой (∙) и пусть f”xx(x0,
y0) = A f”xy(x0,
y0) = B f”yy(x0, y0) = C, тогда
если число (АС-В2)>0, то в дан. (∙) будет экстремум,
причем, если А<0, то в дан. (∙) будет max, если А>0, то в дан. (∙) будет min. Если
(АС-В2) <0, то в дан. (∙) экстремума нет. Если
(АС-В2) =0, то вопрос ост-ся открытым. №42 z = f(x,y) Д-
плоскость, огранич. или неогранич. Разделим
областьД: ∆Si ∆S = max{∆Si} I = Σni=1 f(xi, yi)∆Si – интегр-я сумма д/ф-ии z = f(x,y) (1) Опред-е: если сумма (1) им. предел при n→∞, так,
чтобы ∆S→0 и этот предел не зависит
от выбора сп-ба разбиения области Д и от выбора внутр. (∙)-ек в каж.
части разбиения, то ф-ия f(x,y) наз-ся интегрируемой по обл. Д, а сам предел
наз-ся двойным ∫ по обл. Д от ф-ии f. lim(∆S→0) Σni=1f(xi, yi)∆Si = ∫Д∫ f(x,y)dS, где dS – беск. малое приращ. площади, диф-л S. Геометрич. смысл 2-го ∫: ∆Si = ∆ xi ∙
∆yi Σmj=1 Σni=1 f(xi, yi)∙ ∆ xi ∙
∆yi ∫Д∫ f(x,y)dS = ∫Д∫f(x,y)dxdy – повторный ∫ a∫bdx
g(x)
∫f1(x) f(x, y)dy (из 1) ∫Д∫ f(x,y)dxdy = c∫d g(y)
∫r(x) f(x,y)dx ∫Д∫ dxdy = Sд - замечание
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.