курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Сліди і базиси розширеного поля. Подання точок кривої у різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК
Від ідеї створення криптосистем на еліптичних кривих () до сьогоднішнього дня поряд із криптоаналізом цих систем фахівці безупинно і плідно працюють над підвищенням ефективності .
Насамперед це відноситься до швидкодії криптосистеми або швидкості обчислень. Одним з напрямків робіт у цій сфері було вивчення і порівняльний аналіз арифметики в поліноміальному і нормальному базисах поля .
1. Сліди і базиси розширеного поля
Операції в розширених полях вимагають введення таких понять, як слід елемента поля та базису поля.
Нехай - просте поле і - його розширення.
Слідом елемента над полем називається сума сполучених елементів поля
.
Зокрема, слід елемента над полем визначається сумою
.
Розширення поля Галуа є -вимірним векторним простором над полем . Базисом цього поля називається будь-яка множина з лінійно незалежних елементів поля (див. лекції з дисципліни РПЕК). Кожен елемент поля подається -вимірним вектором з координатами з поля (або поліномом степеня з коефіцієнтами з ). Його також можна виразити як лінійну комбінацію векторів базису.
Теорема 1. Елементи поля утворюють базис над полем тоді і тільки тоді, коли визначник матриці Вандермонда
або визначник
Із множини всіляких базисів найбільш розповсюдженими є поліноміальний і нормальний базиси поля .
Поліноміальний базис, звичайно, будується за допомогою послідовних степенів примітивного елемента поля . Його назва пов'язана з тим, що при всі операції в полі здійснюються за модулем мінімального полінома елемента .
Примітивний елемент тут є утворюючим елементом мультиплікативної групи поля. слід базис розширений поле
Наприклад. Розглянемо поле . Елементами цього поля є 16 векторів.
Таблиця 1.
| (0000) | (0001) | (0010) | (0011) | (0100) | (0101) | (0110) | (0111) |
| (1000) | (1001) | (1010) | (1011) | (1100) | (1101) | (1110) | (1111) |
Використовуємо при обчисленнях поліном (незвідний)
Додавання:
(0101)+(1101) = (1000).
Множення:
(0101)×(1101) =
Піднесення до степеня:
Таблиця 2 - Мультиплікативна інверсія
Мультиплікативною інверсією для є
Дійсно .
Нормальний базис (НБ) над полем визначається як множина сполучених елементів поля з підходящим вибором елемента . Розглянемо далі властивості НБ над полем . На елемент тут накладається необхідна умова: . Водночас не обов'язково має бути примітивним. У будь-якому полі існує елемент зі слідом 1, тому в будь-якому полі існує і НБ. Елементи НБ можна подати -вимірними векторами.
Зазначимо, що молодший розряд НБ звичайно записується ліворуч (на відміну від поліноміального, у якому молодший розряд прийнято записувати праворуч).
Кожен наступний елемент базису є циклічним зсувом вправо попереднього. Оскільки , елемент 1 поля визначається координатами . Як бачимо, векторне подання елемента 1 поля в поліноміальному і нормальному базисах різні.
Для порівняння двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах подано в таблиці 3.
Таблиця 2 - Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах
| 0 | 0000 | 0000 | 1011 | 1110 | |
| 1 | 0001 | 1111 | 0101 | 0011 | |
| 0010 | 1001 | 1010 | 0001 | ||
| 0100 | 1100 | 0111 | 1010 | ||
| 1000 | 1000 | 1110 | 1101 | ||
| 0011 | 0110 | 1111 | 0010 | ||
| 0110 | 0101 | 1101 | 1011 | ||
| 1100 | 0100 | 1001 | 0111 |
Довільний елемент поля в нормальному базисі подається як
.
Піднесення до квадрата елемента в нормальному базисі дає
Таким чином, операція піднесення до квадрата (або витягу кореня квадратного) зводиться до циклічного зсуву вправо (або вліво) векторного подання елемента. Це одне з важливих технологічних переваг нормального базису перед поліноміальним. Іншою його перевагою є простота визначення сліду елемента. Дійсно:
.
Отже, слід елемента дорівнює 0 при парній вазі його векторного подання в НБ і 1 – при непарній вазі. Ця властивість радикально спрощує визначення сліду елемента у НБ.
Наприклад: елемент у нормальному базисі має парну вагу векторного подання. Слід цього елемента дорівнює 0 Дійсно
На наступній лекції ми розглядатимемо окремо т.з. оптимальний нормальний базис, який має значні переваги у швидкості та технологічності обчислень.
Під час обчислення точок з багаторазовими операціями додавання (віднімання) і подвоєння більш продуктивними є групові операції не в афінних координатах, а різного роду проективних координатах. Це дозволяє уникнути обчислення оберненого елемента в полі як самої трудомісткої операції й заощадити тимчасові обчислювальні ресурси.
У стандартних проективних координатах проективна точка , , відповідає афінній точці Однорідне рівняння кривої після заміни змінних і множення на куб перемінної приймає вигляд
(в афінних координатах рівняння кривої має вигляд
).
Точка на нескінченності є вже одним з розв’язків даного рівняння. Зворотна точка тут, як і раніше, визначається інверсією знака координати
Подібно тому, як в афінних координатах, сумою точок і при називається точка , координати якої (позначення надалі опускається для скорочення запису) рівні:
де
Операцію підсумовування однакових точок називають подвоєнням, а координати точки дорівнюють:
де
Час виконання операції додавання і подвоєння , де позначає проективне подання точки.
Наступний вид проективних координат - якобіанові координати.
До них можна перейти ізоморфним перетворенням координат, помноживши рівняння на , при цьому отримаємо:
або
де
Сумою точок і при є точка , координати якої визначаються як:
де
При подвоєнні точки кривої отримаємо :
де .
У даному випадку час виконання складає і , де позначає якобіаново подання точки.
Замість трьох якобіанових координат точки Чудновський запропонував використовувати п'ять: Рівняння кривої описується формулою , а сума точок
і
при визначається як точка , координати Чудновського якої рівні:
Де
При подвоєнні точки кривої одержимо
:
де .
Час виконання складе і , де означає подання точки в координатах Чудновського.
Модифіковані якобіанові координати для рівняння
кривої містять чотири координати
Сума точок і при визначається як точка , модифіковані якобіанові координати якої дорівнюють:
,
де
При подвоєнні точки кривої отримаємо
де
Нарешті, можна зробити наступні оцінки. Час виконання дорівнює і , де означає подання точки в модифікованих якобіанових координатах.
Формули, що визначають сумарне число інверсій ( ), множень і піднесень до квадрата при додаванні і подвоєнні точок відповідно в афінних , проективних , якобіанових координатах, координатах Чудновського і модифікованих якобіанових координатах наведені в таблиці 1 (узагальнення).
За деякими оцінками, одна інверсія , а піднесення до квадрата (при операціях у простому полі Галуа). Звідси стає зрозумілою доцільність переходу до проективних або до якобіанових координат, у яких операції інверсії відсутні.
Мінімальна обчислювальна складність додавання досягається за допомогою координат чудновського, а подвоєння – у модифікованих якобіанових координатах. Тому, звичайно, користуються змішаними координатами з метою оптимізації обчислень при багаторазовому додаванні точки.
Таблиця 3 - Число операцій множення , піднесення до квадрата й інверсій елементів простого поля при додаванні і подвоєнні точок у різних координатних системах
| Координати | Додавання точок | Подвоєння точок |
| Афінні | ||
| Проективні | ||
| Якобіанові | ||
| Чудновського | ||
|
Модифіковані Якобіанові |
Після обчислення точки у змішаних координатах необхідно повернутися в афінні координати, для чого наприкінці обчислень потрібна одна інверсія.
Сліди і базиси розширеного поля. Подання точок кривої у різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК Від ідеї створення криптосистем на еліптичних кривих () до сьогоднішнього дня поряд із криптоана
Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей
Определитель матрицы
Основная теорема алгебры
Основні поняття теорії ймовірностей
Неравенства
Несобственные интегралы
Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла
Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл
Объем фигур вращения правильных многогранников
Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.