Этьен   Безу–

 французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

    С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

    Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре,  они  посвящены  созданию  теории  решения  алгебраических  уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения  неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал  теорему  (впервые  сформулированную       К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка  m  и  n   пересекаются не более чем в   mn   точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема    Безу.

 

       Остаток  от  деления  полинома Pn(x)

      на двучлен  (x-a)  равен  значению 

      этого полинома  при   x = a.

Пусть :

            Pn(x) – данный многочлен степени   n ,

            двучлен  (x-a)  -   его делитель,

            Qn-1(x) – частное от деления  Pn(x)  на  x-a   (многочлен  степени  n-1 ) ,

            R – остаток от деления ( R  не  содержит  переменной x  как делитель первой степени  относительно x ).

Доказательство :

    Согласно правилу деления многочленов с остатком  можно записать :

                        Pn (x)  = (x-a)Qn-1(x) + R .

Отсюда  при    x = a  :

                       Pn (a)  = (a-a)Qn-1 (a) + R  =0*Qn-1(a)+R=

                                 =0+R=R .

           

Значит ,  R =  Pn  (a) ,  т.е.  остаток  от  деления  полинома      на     (x-a)    равен       значению     этого

полинома   при   x=a ,    что   и    требовалось  доказать .

Следствия  из  теоремы .

Следствие 1 :

 

         Остаток  от деления  полинома Pn (x) 

        на   двучлен   ax+b  равен    значению  

        этого    полинома    при        x = -b/a ,

       т. е.     R=Pn (-b/a) .

 

 

Доказательство :

   Согласно  правилу  деления  многочленов : 

             Pn  (x)= (ax + b)* Qn-1  (x) + R .  

При  x= -b/a :  

             Pn  (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R.   Значит ,    R = Pn (-b/a) , что  и  требовалось доказать.

 

Следствие 2:

 

          Если   число   a   является  корнем

        многочлена     P (x) ,     то     этот 

        многочлен  делится  на    (x-a)   без 

       остатка .

 

Доказательство :

    По  теореме  Безу  остаток  от  деления   многочлена  P (x)  на      x-a    равен   P (a) ,  а  по  условию  a  является  корнем P (x) ,  а  это  значит ,  что  P (a) = 0 ,   что  и  требовалось  доказать . 

 

   Из  данного  следствия  теоремы   Безу  видно ,  что  задача   решения  уравнения  P (x) = 0  равносильна   задаче выделения  делителей  многочлена    P ,     имеющих        первую       степень  ( линейных  делителей ) .

Следствие 3 :

 

           Если      многочлен    P (x)     имеет 

          попарно       различные        корни

          a1 , a2 , … , an ,   то он делится  на 

          произведение          (x-a1) … (x-an)

          без     остатка .

 

Доказательство :

 

    Проведём  доказательство  с  помощью  математической  индукции  по  числу  корней .  При   n=1  утверждение  доказано  в  следствии 2  .    Пусть  оно  уже  доказано  для  случая , когда  число  корней  равно  k ,  это  значит ,  что  P(x)     делится   без    остатка     на    (x-a1)(x-a2) … (x-ak) , где

 a1 , a2 , … , ak  -  его корни .

     Пусть  P(x)  имеет     k+1    попарно  различных  корней .По  предположению  индукции  a1 ,  a2 ,  ak , … , ak+1     являются  корнями многочлена,  а , значит, многочлен  делится  на произедение   (x-a1) … (x-ak) ,  откуда выходит ,      что     

                       P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).

При  этом  ak+1 – корень  многочлена   P(x) ,  т. е.                                                                                                                                                                                                 P(ak+1) = 0 .

Значит ,   подставляя   вместо   x    ak+1  ,  получаем  верное  равенство :        

                        P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =

                                    =0 .

Но  ak+1  отлично  от  чисел   a1 , … , ak ,  и  потому   ни  одно  из  чисел    ak+1-a1 , … ,  ak+1-ak   не  равно  0 .  Следовательно ,  нулю  равно   Q(ak+1) ,  т. е.  ak+1 – корень  многочлена   Q(x) . А  из  следствия 2   выходит ,   что    Q(x)   делится  на     x-ak+1   без остатка .    

             Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) ,     и  потому    

             P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

                    =(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .

    Это    и    означает ,    что    P(x)     делится     на   (x-a1) … (x-ak+1)    без  остатка . 

   Итак,   доказано ,  что  теорема  верна  при     k =1 ,   а  из  её   справедливости   при    n = k   вытекает ,  что   она  верна  и  при  n = k+1.  Таким  образом,  теорема  верна  при   любом  числе   корней ,  что  и   требовалось  доказать .

    

Следствие 4 :

 

           Многочлен  степени   n   имеет   не  более

           n   различных корней .

 

 

Доказательство :

   Воспользуемся методом от противного: если  бы  многочлен    Pn(x)   степени   n   имел  бы   более  n  корней   -  n+k  (a1 , a2  , … , an+k    -  его   корни ) ,  тогда  бы по  ранее  доказанному      следствию 3    он  

бы   делился  на произведение      (x-a1) … (x-an+k) ,    имеющее   степень  n+k , что  невозможно .

  Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и   многочлен  степени  n  не  может  иметь  более ,  чем    n  корней ,  что   и  требовалось  доказать .

Следствие 5 :

 

         Для      любого    многочлена     P(x) 

        и      числа      a       разность 

        (P(x)-P(a))        делится       без  

        остатка    на   двучлен    (x-a) .

 

 

Доказательство :

   Пусть   P(x) – данный  многочлен  степени  n  ,   a  -  любое число .

    Многочлен   Pn(x)   можно   представить   в   виде :                                                                                                                                                          Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+R ,   

       где    Qn-1(x) – многочлен ,  частное  при   делении  Pn(x)  на  (x-a) ,  

                      R – остаток   от   деления   Pn(x)   на   (x-a) .

    Причём  по  теореме  Безу :  

                      R = Pn(a) ,  т.е.

                  Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .  

Отсюда 

      Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) )

на  (x-a) ,   что   и   требовалось   доказать .

Следствие 6 :

 

          Число     a      является    корнем 

           многочлена       P(x)       степени

           не    ниже    первой    тогда     и 

           только       тогда ,         когда 

           P(x)       делится       на       (x-a)  

           без      остатка .

 

 

Доказательство :

  Чтобы  доказать  данную  теорему  требуется  рассмотреть необходимость и достаточность   сформулированного   условия .

 

 1.Необходимость .

     Пусть  a – корень  многочлена    P(x) ,    тогда  по  следствию  2     P(x)     делится   на      (x-a)      без    остатка .

      Таким   образом   делимость     P(x)    на     (x-a)    является   необходимым   условием   для   того ,  чтобы   a  являлось  корнем  P(x) ,   т.к.   является   следствием  из  этого .

 

2.Достаточность .

    Пусть   многочлен   P(x)    делится   без   остатка  на  (x-a),

тогда      R = 0 ,   где  R – остаток   от   деления     P(x)    на  (x-a) ,   но  по  теореме  Безу   R = P(a) ,  откуда  выходит ,  что    P(a) = 0 ,   а  это  означает ,              что    a    является   корнем P(x) .

    Таким  образом  делимость    P(x)    на    (x-a)   является и достаточным  условием  для  того ,   чтобы   a   являлось  корнем    P(x) .

     Делимость   P(x)  на  (x-a)   является  необходимым  и  достаточным   условием   для   того,  чтобы   a   являлось  корнем  P(x) ,   что  и  требовалось  доказать .

 

 

 

Следствие 7(авторское):

 

         Многочлен ,  не   имеющийй    действи-

       тельных       корней ,     в      разложении 

       на  множители линейных  множителей 

       не  содержит .

Доказательство :

   Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при  разложении   на   множители  содержит   линейный множитель  (x – a):

                          P(x) = (x – a)Q(x),

тогда бы он  делился  на   (x – a) ,  но  по следствию 6    a    являлось  бы   корнем   P(x) ,  а  по  условию  он  корней  не содержит . Мы  пришли  к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и  многочлен ,

не  имеющий   действительных  корней , в разложении  на  множители  линейных  множителей не содержит ,  что  и  требовалось  доказать .

   На     основании     теоремы   Безу  и  следствия 5 можно   доказать  следующие  утверждения:

1. Разность    одинаковых   натуральных  степеней   на  разность  их  оснований  делится  без  остатка :

 Пусть           P(x) = xⁿ ,     P(a) = aⁿ ,

тогда   xⁿ – aⁿ     –   разность  одинаковых  натуральных   степеней .

   По  следствию 5

                         P(x) -  P(a) = xⁿ – aⁿ = (x – a)Q(x) , 

а  это значит ,  что 

                           (xⁿ–aⁿ)/(x–a)=Q(x),                         т.е.  разность  одинаковых  натуральных  степеней на     разность их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак   

 (xⁿ – aⁿ)/(x – a) = x^n-1 + ax^n-2 + a²x^n-3 + … +a^n-2x + a^n-1.

2. Разность  одинаковых  чётных  степеней  на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка .

   Пусть           P(x) = x^2k ,  тогда   P(a) = a^2k .

Разность  одинаковых        чётных    степеней x^2k - a^2k равна   P(x) – P(a) .

P(a) = a^2k = (-a)^2k = P(-a) , т.е. x^2k - a^2k = P(x) – P(-a).

   По  следствию 5

                       P(x) -  P(-a) =  (x –(- a))Q(x)=

                                            = (x + a)Q(x) 

а  это значит ,  что

                            x^2k – a^2k = (x + a)Q(x)  или

                           (x^2k – a^2k)/(x + a) = Q(x) ,

т.е.   разность  одинаковых  чётных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак ,   

 (x^2k – a^2k)/(x + a) = x^2k-1 – ax^2k-2 + … +a^2k-2x + a^2k-1.

 

 

3. Разность  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .

   Пусть   P(x) = x^2k+1 - a^2k+1 –   разность  одинаковых        нечётных    степеней .

   По   теореме  Безу    при    делении     x^2k+1 - a^2k+1  на     x + a = x – (-a)     остаток  равен

                              R = P(-a) = (-a)^2k+1 – a^2k+1 = -2a^2k+1

Т. к.  остаток  при  делении  не  равен  0 ,   то  разность  одинаковых нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится ,  что и   требовалось  доказать .

4. Сумма  одинаковых  нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований   делится   без  остатка .

 

Пусть           P(x) = x^2л+1 ,     P(-a) = (-a)^2л+1 = -а^2л+1 ,

тогда      P(x) – P(-a) =  x^2k+1 + a^2k+1       –   сумма  одинаковых  нечётных натуральных   степеней .

   По  следствию 5

                 P(x) -  P(-a) = x^2k+1 + a^2k+1= (x –(- a))Q(x)=                                                                              

                                    = (x + a)Q(x),    

а  это значит ,  что 

                           (x^2k+1 + a^2k+1)/(x + a) = Q(x) ,

т.е.   сумма  одинаковых  нечётных  натуральных  степеней    на  сумму  их  оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .

 Итак ,   

 (x^2k+1 + a^2k+1)/(x + a) = x^2k - ax^2k-1 + … - a^2k-1x + a^2k.

 

 

5. Сумма  одинаковых  чётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится .

   Пусть   P(x) = x^2k + a^2k –   сумма  одинаковых        чётных    степеней .

   По   теореме  Безу    при    делении     x^2k + a^2k  на     x + a = x – (-a)     остаток  равен

                              R = P(-a) = (-a)^2k + a^2k = 2a^2k.

Т. к. остаток  при  делении  не  равен   0 , то сумма  одинаковых  чётных  натуральных степеней  на сумму

их оснований не делится, что и требовалось  доказать.

 

 

    Остановимся  на  рассмотрении  некоторых  случаев   применения   теоремы   Безу  к  решению  практических   задач .

Пример 1.

 

   Найти  остаток  от  деления  многочлена

               x³  – 3x² + 6x – 5

на  двучлен   x – 2 .

    По  теореме  Безу 

                         R = P₃ (2) = 2³ – 3*2² + 6*2 – 5 = 3 .

Ответ:  R = 3 .

Пример 2.

 

    Найти  остаток  от   деления  многочлена

                32x⁴ – 64x³ + 8x² + 36x + 4

на  двучлен  2x – 1 .

   Согласно  следствию 1  из  теоремы  Безу

         R=P₄(1/2)=32*1/2⁴–64*1/2³ + 8*1/2²+36*1/2+4=   

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .

Ответ:  R = 18 .

Пример 3.

 

   При  каком  значении  a  многочлен 

                    x⁴ + ax³ + 3x² – 4x – 4

делится  без  остатка  на  двучлен  x – 2 ?

  По теореме Безу 

                   R = P₄ (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.                                         

Но  по  условию     R = 0 ,    значит

            8a + 16 = 0 ,

отсюда

            a = -2 .

Ответ: a = -2 .

Пример 4.

 

   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен

                      ax³ + bx² – 73x + 102

делится  на  трёхчлен 

                      x² – 5x + 6       без  остатка ?

Разложим  делитель  на  множители :

                                  x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) .

Поскольку  двучлены    x – 2   и   x – 3    взаимно  просты ,  то  данный   многочлен   делится   на   x – 2     и     на     x – 3 ,   а    это     значит ,    что 

по  теореме  Безу

   

      R₁ = P₃ (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =

           = 8a + 4b – 44 = 0

  

      R₂ = P₃ (3) = 27a+9b – 219 + 102 =

           = 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений :

     8a + 4b – 44 = 0

     27a + 9b – 117 = 0

 

     2a + b = 11

     3a + b = 13     

Отсюда  получаем :

                               a = 2 , b = 7 .

Ответ:  a = 2 ,  b = 7 .

Пример 5.

   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен

                                  x⁴ + ax³ – 9x² + 11x + b

делится  без  остатка  на  трёхчлен 

                                  x² – 2x + 1     ?

  Представим  делитель  так :

                                    x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Данный  многочлен  делится  на    x – 1  без  остатка ,

если  по  теореме  Безу

   R₁ = P₄ (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

  

Найдём  частное  от  деления  этого  многочлена  на x – 1 :

    

_  x⁴ + ax³–9x² + 11x–a –3  x – 1

    x⁴ – x³                                           x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)                                

    _(a + 1)x³ – 9x²

      (a + 1)x³ – (a + 1)x²

                      _(a – 8)x² + 11x

                        (a – 8)x2 – (a –8)x

                                        _(a + 3)x – a – 3

                                          (a + 3)x – a – 3

                                                      0

   Частное     

                 x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)    

                                                      делится   на   (x – 1)  без  остатка ,  откуда

     R₂ = P₃ (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 = 

                     =3a – 3 = 0 .

        

        a + b + 3 = 0

        3a – 3 = 0

        a + b =-3

        a = 1

Из  системы :  a = 1 ,   b = -4

Ответ:  a = 1 ,  b = -4 .

 

Пример 6.

 

   Разложить на множители многочлен                            P(x) = x⁴ + 4x² – 5 .

 

  Среди  делителей  свободного  члена число 1   является   корнем  данного  многочлена   P(x) ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу   P(x)   делится  на  (x – 1)   без  остатка :

           _x⁴ + 4x² – 5  x – 1  

             x⁴ – x³          x³ + x² + 5x + 5

             _x³ + 4x² – 5

               x³ – x²

              _5x² – 5

                5x² – 5x

                _5x – 5

                  5x – 5

                           0

      P(x)/(x – 1) = x³ + x² + 5x + 5 ,  значит

                                     P(x) = (x – 1)(x³ + x² + 5x + 5).

  Среди  делителей  свободного  члена многочлена       x³ + x² + 5x + 5       x = -1   является  его  корнем ,  а это  значит ,   что  по   следствию 2  из  теоремы  Безу      x³ + x² + 5x + 5    делится  на  (x + 1)   без  остатка :

      

           _x³ + x² +5x + 5 x + 1

             x³ + x²             x² +5

                         _5x + 5

                           5x + 5

                                  0

 

     (x³ + x² +5x + 5)/(x + 1) = x² +5 , 

                           значит

                                     x³ + x² +5x + 5 = (x +1)(x² +5).

Отсюда

            P(x) = (x – 1)(x +1)(x² +5) .

По  следствию 7    (x² + 5)  на  множители  не  раскладывается ,  т.к.  действительных  корней  не  имеет ,  поэтому  P(x) далее  на  множители  не  раскладывается .

Ответ :    x⁴ + 4x² – 5 = (x – 1)(x +1)(x² +5) .

 

Пример 7.

 

   Разложить на множители многочлен                                                                                    P(x) = x⁴ + 324 .

   P(x)   корней  не  имеет , т.к.   x⁴  не может быть равен  -324 , значит ,  по  следствию 7   P(x)  на  множители  не  раскладывается .

Ответ :  многочлен на множители не раскладывается .

Пример 8.

 

  Какую   кратность   имеет   корень   2      для   многочлена

               P(x) = x⁵  - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8 .

 

Определение:  Если многочлен  P(x) делится  без  остатка на (x – a)^k ,  но  не делится на   (x – a)^k+1 , то  говорят ,  что  число  a  является  корнем  кратности  k  для P(x).

 

 

              _x⁵  - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8  x – 2

                x⁵  - 2x⁴                                x⁴ – 3x³ + x² + 4

                     _-3x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8

                       -3x⁴ + 6x³

                                  _x³ – 2x² + 4x – 8

                                    x³ – 2x²

                                                 _4x – 8

                                                   4x – 8

                                                          0

 

 

               _x⁴ – 3x³ + x² + 4  x – 2

                 x⁴ – 2x³               x³ – x² – x – 2

                       _-x³ + x² + 4

                         -x³ +2x²

                               _-x² + 4

                                 -x² + 2x

                                  _-2x + 4

                                    -2x + 4

                                           0

 

                  _ x³ – x² – x – 2  x – 2

                     x³ – 2x²           x² + x + 1

                   _x² – x – 2

                     x² – 2x

                           _x – 2

                             x – 2 

                                 0

 

   x² + x + 1  на  x – 2  не  делится ,  т.к. R=2² + 2 + 1= 

                                                                                =7.

  Значит ,  P(x)/(x – 2)³ = x² + x + 1 ,  т.е.  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P(x) .

Ответ:  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P(x) .

 

Пример 9.

 

   Составить  кубический  многочлен ,  имеющий  корень  4  кратности  2  и  корень  -2 .

   По  следствию 3 ,  если  многочлен  P(x) имеет  корень  4  кратности  2  и корень –2 ,  то  он  делится  без  остатка  на   (x – 4)²(x + 2) , значит 

                                           P(x)/(x – 4)²(x + 2) = Q(x) ,

т.е.     P(x) = (x – 4)²(x + 2)Q(x) =

                  = (x² – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

                  = (x³ – 8x² + 16x +2x² – 16x + 32)Q(x) =

                  = (x³ – 6x² + 32)Q(x).

(x³ – 6x² + 32)  -  кубический многочлен , но  по условию P(x) – также кубический многочлен,  следовательно ,  Q(x) – некоторое действительное  число .

Пусть   Q(x) = 1 ,   тогда  P(x) = x³ – 6x² + 32 .

Ответ:  x³ – 6x² + 32 .

Пример 10.

 

   Определите  a  и  b  так ,  чтобы  -2  было корнем  многочлена   P(x) = x⁵  + ax² + bx + 1,  имеющим  по  крайней  мере  кратность  два .

   Если  -2  –  корень  многочлена  P(x)  кратности  два ,  то  по  следствию 3  P(x)  делится  на  (x + 2)² без  остатка (R = 0)

          (x + 2)² = x² + 4x + 4

               _x⁵  + ax² + bx + 1 x² + 4x + 4

                  x⁵  + 4x⁴ + 4x³       x³ – 4x² + 12x – (a + 32)

                _-4x⁴–4x³–ax²+bx+1

                  -4x⁴ – 16x³ – 16x²

                     _12x³ + (16 – a)x² + bx + 1

                       12x³ +48x² + 48x

                       _-(a + 32)x² + (b – 48)x + 1

                         -(a + 32)x² – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

                                                  

                                     (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

 

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

                                           = (4a +b + 80)x + 4a + 129

Но  R = 0 ,  значит

                       (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0   при  любых  x .

      Это  возможно  при  условии ,  что

                                                           4a +b + 80 = 0 ,

                                                           4a + 129 = 0

   Решим  систему  двух  уравнений :

          4a +b + 80 = 0            a = -32,25

          4a + 129 = 0               b = 49

 

Ответ:    a = -32,25 ,   b = 49 .

   Из  рассмотренных  примеров  видно ,  что  теорема   Безу   находит   применение   при    решении   задач ,  связанных  с делимостью  многочленов   (нахождение  остатка  при  делении  многочленов ,  определение  кратности  многочленов  и  т.д. ) ,   с   разложением   многочленов  на  множители ,   с   определением   кратности  корней  и многих  других .

    Теорема  Безу  находит   применение  при   рассмотрении  одной  из  важнейших  задач  математики – решении   уравнений .

Литература.

1.  Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический  словарь деятелей в области            математики.

                                                      

2.  Математическая энциклопедия.

3.  Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.

 Алгебра и элементарные функции.

4.   Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С.,  Шварц-                                                                                                                         бурд С.И.

Алгебра и математический анализ.

                                  

5.   Курош А.Г.

Курс высшей алгебры.

  Этьен   Безу–  французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.     С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в ко

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу