курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. (aа,b)= a (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2. [aа,b]= a [а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и
получим Ах0+By0+C=0 (
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5. y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b
6. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq, sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ
на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c,
М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до
фокусов; x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2) x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2) c2-a2=b2 x2b2-a2y2=a2b2 - каноническое ур-е
гиперболы ПАРАБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до
фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до
фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой. Каноническое уравнение: Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на
одинаковом расстоянии от начала координат. |DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка
на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2)2+y2);
d=p/2+x Приравниваем и получаем: y2=2px -
каноническое уравнение параболы ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ. 1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а. е=с/а е эллипсв <1 (т.к. а>c) е гиперболы >1 (т.к. с>a) Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0. Выразим эксцентриситеты через а и b: е эллипса является мерой его «вытянутости» е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами 2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси
эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е D1: x= - a/e D2: x= a/e р=а(1-е2)/е – для эллипса р=а(е2-1)/е – для гиперболы ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть
величина постоянная равная е эллипса (гиперболы). Доказательство: для эллипса. r1/d1=e £|a|, xe+a>0 r1=xe+a d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e бм=-x-a/e d1=-бм (минус, т.к. прямая и
точка по одну стороно о начала коорд.) Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых
до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная
и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если
=1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на
которой находится фокус. r= r d=p+rcosj e=r/p+rcosj - полярное уравнение
эллипса, параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0)
– точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у0=y’(x0)(x-x0) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0 - уравнение
касательной к эллипсу. - уравнение
касательной к гиперболе. - уравнение
касательной к параболе. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют
общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов
двумя способами: (е1;е1’)=cos u (е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u (е2;е1’)=cos (90-u)=sin u (е2;е2’)=cos u Базис рассматривается ортонормированный: (е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11 (е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21 (е2;е1’)= a12 (е2;е2’)= a22 Приравниваем: a11=cos u a21= - sin u a12=sin u a22=cos u Получаем: x=a+x’cos u – y’sin u y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. ------------ x=a+x’ y=b+y’ -
формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы
координат. Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1;
I2; I3 Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины
остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию. Определение: I2>0 – элиптический тип I2<0 – гиперболический тип I2=0 – параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о.
что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой
оказались равными нулю. После этого: a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2) точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0
и a12x0+a22y0+a23=0 Покажем, что новое начало координат (если система
разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’) Но точка О’ существует если знаменатели у x0
и y0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е. центр симметрии имеют
линии элиптического и гиперболического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой
системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u), получим: a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0
и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет:
1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0
– ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть
после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*). Доказательство: 1. пусть I2>0, I1>0, I3<0,
тогда а11’’x’’2+a22’’ y’’2=
-I3/I2 I2=a11’’a22’’
> 0 I1= a11’’+a22’’
> 0 a11’’ > 0; a22’’ > 0 Итак, под корнями стоят положительные числа,
следовательно, уравнение эллипса. 2. I3>0 в данном случае под корнем
стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет
действительного геометрического образа. 3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай
вырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е (1) определяет
гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых. Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’
< 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0 Пусть I3>0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОХ. Пусть I3<0 -(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2=
-I3/I2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной
осью ОY Пусть I3=0 а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением (1).
Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2 Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной
кривой. (a, b) – вектор асимптотического направления. a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*) Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b): следовательно a/b характеризует вектор асимптотического направления. Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют
кривые 2-го порядка. Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого
квадратного уравнения найдем a/b. т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют
асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления). Найдем асимптотические направления у гиперболы: (a, b)1=(a,b) (a, b)2=(-a,b) Векторы асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот. Итак: гипербола имеет два асимптотических
направления, которые определяются асимптотами гиперболы. Найдем асимптотические направления у параболы: y2=2px y2-2px=0 u(x,y)= y2+0,
y=0 (a, b)=(0,0) Итак: вектор асимптотического направления параболы
лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство. Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается
уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и
обратная теорема. Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой
общим уравнением. Вектор n – нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках: 3. Уравнение плоскости, определенной нормальным
вектором и точкой. Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0).
Запишем ур-е пл-ти: Ax+By+Cz+D=0 Ax0+By0+Cz0=-D A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 5.
Уравнение плоскости ч/з 3 точки. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой. М1(x1;y1;z1);
М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3) Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к.
точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны. М1М x-x1 y-y1 z-z1 М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0 М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1 6.
Параметрическое ур-е плоскости. Пусть плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3);
M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет
вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s
и z=z0+V3t+U3s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости:
A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2).
Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными
векторами. Пучки и связки плоскостей. Определение: пучком плоскостей называется совокупность
плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую. Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две
плоскости Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда любая
другая плоскость пучка задана уравнением: a(A1x+B1y+C1z+D1)+b(A2x+B2y+C2z+D2),
где a и b принадлежат R и не равны
нулю одновременно. Определение: связкой плоскостей называется совокупность
плоскостей, роходящих ч/з одну точку. Эта точка называется центром связки. Условия для плоскостей: 1. n1 параллелен n2 - параллельности. 2. A1A2+B1B2+C1C2=0
– перпендикулярности. 3. пересечения трех плоскостей в одной точке: Пусть заданы три плоскости: система: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0; A3x+B3y+C3z+D3=0
Данная система должна иметь единственное решение, а
поэтому ее определитель составленный из коэфф. при каждом не равен 0.
|r2-r1|=2a; a
Математика для института
Статистика
Теория игр и принятие решений
Основы теории систем и системный анализ
Математическая статистика
Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении (WinWord, Excel)
Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях
Расчетная работа по дискретной математике
Формулы по алгебре
Статистика (шпаргалка 2002г.)
Copyright (c) 2025 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.