Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»спользование дифференциальных уравнений в частных производных дл€ моделировани€ реальных процессов — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме ƒиплома

ћинистерство общего† и профессионального образовани€

—очинский государственный университет туризма

и курортного дела

ѕедагогический институт

ћатематический факультет

 афедра общей математики

ƒ»ѕЋќћЌјя –јЅќ“ј

»спользование дифференциальных уравнений в частных производных дл€ моделировани€ реальных процессов.

подпись

††††††††††††††††††††††студентка 5-го курса

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† † дневной формы† обучени€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† —пециальность 010100

††††††††††††††††††††††††††††††† ДћатематикаФ

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ѕрокофьевой я.  .

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† —туденческий билет є 95035

подпись

††††††††††††††††††††††††††††††††††††† доцент, канд.††††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††

†††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††техн. науꆆ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ѕозин ѕ.ј.

—очи, 2000 г.


—ќƒ≈–∆јЌ»≈

¬ведениеЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..ЕЕ3

√лава 1. ”равнени€ гиперболического типа.

І1.1. «адачи, привод€щие к уравнени€м гиперболического типа..ЕЕЕЕЕЕ5

1.1.1. ”равнение колебаний струны..ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ5

1.1.2. ”равнение электрических колебаний в проводахЕЕ.ЕЕЕЕЕЕ8

І1.2. ћетод разделени€ переменных ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..10

1.2.1. ”равнение свободных колебаний струныЕ.ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ10

√лава 2. ”равнени€ параболического типа.

І2.1. «адачи, привод€щие к уравнени€м параболического типаЕЕЕЕЕЕ..17

2.1.1. ”равнение распространени€ тепла в стержне.ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.17

2.1.2. –аспространение тепла в пространстве.ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ19

І2.2. “емпературные волны.ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.23

√лава 3. ћоделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

І3.1. ƒифракци€ излучени€ на сферической частицеЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ29

«аключениеЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ.40

ЋитератураЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ..41

¬¬≈ƒ≈Ќ»≈

»зучением дифференциальных уравнений в частных производных занимаетс€ математическа€ физика. ќсновы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом Ђ»нтегральном исчисленииї Ћ. Ёйлера.

 лассические уравнени€ математической физики €вл€ютс€ линейными. ќсобенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V Ц два решени€, то функци€ aU + bV при любых посто€нных a и b снова €вл€етс€ решением. Ёто обсто€тельство позвол€ет построить общее решение линейного† дифференциального уравнени€ из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

—овременна€ обща€ теори€ дифференциальных уравнений занимаетс€ главным образом линейными уравнени€ми и специальными классами нелинейных уравнений. ќсновным методом решени€ нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

 руг вопросов математической физики тесно св€зан с изучением различных физических процессов. —юда относ€тс€ €влени€, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. ¬озникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составл€ют предмет математической физики.

ѕостановка задач математической физики, будучи тесно св€занной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. “ак, например, начальна€ и конечна€ стадии процесса нос€т качественно различный характер и требуют применени€ различных математических методов.

 руг вопросов, относ€щихс€ к математической физике, чрезвычайно широк. ¬ данной работе рассматриваютс€ задачи математической физики, привод€щие к уравнени€м с частными производными.

–асположение материала соответствует основным типам уравнений. »зучение каждого типа уравнений начинаетс€ с простейших физических задач, привод€щих к уравнени€м рассматриваемого типа.

√лава 1. ”–ј¬Ќ≈Ќ»я† √»ѕ≈–ЅќЋ»„≈— ќ√ќ† “»ѕј

І1.1. «адачи, привод€щие к уравнени€м гиперболического типа.

”равнени€ с частными производными 2-го пор€дка гиперболического типа наиболее часто встречаютс€ в физических задачах, св€занных с процессами колебаний. ѕростейшее уравнение гиперболического типа

называетс€ волновым уравнением.   исследованию этого уравнени€ приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержн€, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

1.1.1. ”равнение колебаний струны.

¬ математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Ќапр€жени€, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. ѕусть струна длины †в начальный момент направлена по отрезку оси ќx от 0 до

Ѕудем рассматривать малые отклонени€ точек струны от начального положени€. ¬ силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикул€рно оси Ox и в одной плоскости. ѕри этом предположении процесс колебани€ струны описываетс€ одной функцией x в момент t.

u

x

0

M

M1

M2

x

x1

x2


–ис. 1.1.

“ак как мы рассматриваем малые отклонени€ струны в плоскости †равн€етс€ ее проекции на ось Ox, т.е. 1 “акже будем предполагать, что нат€жение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через “.

–ассмотрим элемент струны

x

M

0

x


–ис. 1.2.

Ќа концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы “. ѕусть касательные образуют с осью Ox углы Ou сил, действующих на элемент †мал, то можно положить

(здесь мы применили теорему Ћагранжа к выражению, сто€щему в квадратных скобках).

„тобы получить уравнение движени€, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравн€ть силе инерции. ѕусть †- линейна€ плотность струны. “огда масса элемента струны будет

—окраща€ на †и обознача€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1)

Ёто и есть волновое уравнение Ц уравнение колебаний струны. ƒл€ полного определени€ движени€ струны одного уравнени€ (1) недостаточно. »скома€ функци€ †должна удовлетвор€ть еще граничным услови€м, указывающим, что делаетс€ на концах струны t = 0). —овокупность граничных и начальных условий называетс€ краевыми услови€ми.

ѕусть, например, как мы предполагали, концы струны при †неподвижны. “огда при любом t должны выполн€тс€ равенства:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2Т)

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2ТТ)

Ёти равенства €вл€ютс€ граничными услови€ми дл€ нашей задачи.

¬ начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. ѕусть эта форма определ€етс€ функцией f (x). “аким образом, должно быть

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3Т)

ƒалее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, котора€ определ€етс€ функцией

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3ТТ)

”слови€ (3Т) и (3ТТ) €вл€ютс€ начальными услови€ми.

«амечание. ¬ частности, может быть †или †и

1.1.2. ”равнение электрических колебаний в проводах.

 ак указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебани€х в проводах. Ёлектрический ток в проводе характеризуетс€ величиной i (x, t) и напр€жением v (x, t), которые завис€т от координаты x точки провода и от времени t. –ассматрива€ элемент провода †равно

†††††††††††††††††††††††††††††††††† (4)

где R и L Ц сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. «нак минус вз€т потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. —окраща€ на

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (5)

ƒалее, разность токов, выход€щего из элемента †и вход€щего в него за врем€

ќна расходуетс€ на зар€дку элемента, равную †(здесь ј Ц коэффициент утечки). ѕриравнива€ эти выражени€ и сокраща€ на

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (6)

”равнени€ (5) и (6)прин€то называть телеграфными уравнени€ми.

»з системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t). ѕродифференцируем члены уравнени€ (6) по x; члены уравнени€ (5) продифференцируем по t и умножим их на —. ѕроизвед€ вычитание, получим:

ѕодставл€€ в последнее уравнение выражение †из уравнени€ (5), получим:

или

†††††††††††††††††††††††††† (7)

јналогичным образом получаетс€ уравнение дл€ определени€ v (x, t):

††††††††††††††††††††††††† (8)

≈сли пренебречь утечкой через изол€цию †и сопротивлением

где обозначено:

І1.2. ћетод разделени€ переменных.

1.2.1. ”равнение свободных колебаний струны.

ћетод разделени€ переменных или метод ‘урье, €вл€етс€ одним из наиболее распространенных методов решени€ уравнений с частными производными. »зложение этого метода мы проведем дл€ задачи о колебани€х струны, закрепленной на концах. »так, будем искать решение уравнени€

удовлетвор€ющее однородным граничным услови€м

†††††† †††††† ††††††††††††††††††††† ††††††††††(9)

и начальным услови€м

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (10)

”равнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также €вл€етс€ решением этого уравнени€. »ме€ достаточно большое число частных решений, можно попытатьс€ при помощи суммировани€ их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

ѕоставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнени€

не равное тождественно нулю, удовлетвор€ющее однородным граничным услови€м

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (11)

и представимое в виде произведени€

†††††† ††††††††††††††††††††††††††††††† †††††(12)

где X (x) Ц функци€ только переменного x, T (t) Ц функци€ только переменного t.

ѕодставл€€ предполагаемую форму решени€ (12) в уравнение (1), получим:

или, после делени€ на XT,

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (13)

„тобы функци€ (12) была решением уравнени€ (1), равенство (13) должно удовлетвор€тьс€ тождественно, т. е. 0 Л х Л t Ы 0. ѕрава€ часть равенства (13) €вл€етс€ функцией только переменного t, а лева€ Ц только х. ‘иксиру€, например, некоторое значение х и мен€€ t (или наоборот), получим, что права€ и лева€ части равенства (13) при изменении своих аргументов сохран€ют посто€нное значение

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (14)

где †Ц посто€нна€, которую дл€ удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполага€ при этом о ее знаке.

»з соотношени€ (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнени€ дл€ определени€ функций† X (x) и T (t)

††††††††††††††††††††††††††† (15)

††††††††††††††††††††††††††† (16)

√раничные услови€ (11) дают:

ќтсюда следует, что функци€ X (x) должна удовлетвор€ть дополнительным услови€м:

X(0) = X() = 0,††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††††† †††††††(17)

“ак как иначе мы имели бы

в то врем€ как задача состоит в нахождении нетривиального решени€. ƒл€ функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

“аким образом, в св€зи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значени€х:

найти те значени€ параметра

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (18)

а также найти эти решени€. “акие значени€ параметра †называютс€ собственными значени€ми, а соответствующие им нетривиальные решени€ Ц собственными функци€ми задачи (18). —формулированную таким образом задачу часто называют задачей Ўтурма Ц Ћиувилл€.

–ассмотрим отдельно случаи, когда параметр †отрицателен, равен нулю или положителен.

1.               ѕри †Л 0 задача не имеет нетривиальных решений. ƒействительно, общее решение уравнени€ (15) имеет вид

√раничные услови€ дают:

’ (0) = —1 + —2 = 0;

т. е.

Ќо в рассматриваемом случае †Ц действительно и положительно, так что

1 =0, —2 = 0

и, следовательно,

’ (х)

2.               ѕри †= 0 также не существует нетривиальных решений. ƒействительно, в этом случае общее решение уравнени€ (15) имеет вид

’ (х) = —1х + —2.

√раничные услови€ дают:

т. е. —1 = 0 и —2 = 0 и, следовательно,

’ (х)

3.               †ѕри †Ы 0 общее решение уравнени€ может быть записано в виде

√раничные услови€ дают:

≈сли ’(х) не равно тождественно нулю, то D2

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (19)

или

где n- любое целое число. —ледовательно, нетривиальные решени€ задачи (18) возможны лишь при значени€х

Ётим собственным значени€м соответствуют собственные функции

где Dn Ц произвольна€ посто€нна€.

»так, только при значени€х

†††††††††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††††††(20)

существуют нетривиальные решени€ задачи (11)

††††† †††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††††(21)

определ€емые с точностью до произвольного множител€, который мы положили равным единице. Ётим же значени€м n соответствуют решени€ уравнени€ (9)

†††††† ††††††††††††††††††††††† ††††(22)

где An и Bn Ц произвольные посто€нные.

¬озвраща€сь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

† ††††††††††††††††† ††††(23)

€вл€ютс€ частными решени€ми уравнени€ (1), удовлетвор€ющими граничным услови€м (11) и представимыми в виде произведени€ (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, друга€ Ц от t. Ёти решени€ могут удовлетворить начальным услови€м (10) нашей исходной задачи только дл€ частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

ќбратимс€ к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. ¬ силу линейности и однородности уравнени€ (1) сумма частных решений

†† ††††††††††††††††† ††(24)

также удовлетвор€ет этому уравнению и граничным услови€м (9). Ќачальные услови€ позвол€ют определить An и Bn. ѕотребуем, чтобы функци€ (24) удовлетвор€ла услови€м (10)

††††††††††††††† (25)

»з теории р€дов ‘урье известно, что произвольна€ кусочно-непрерывна€ и кусочно-дифференцируема€ функци€ f(x), заданна€ в промежутке†

††† ††††††††††††††††††††††††††††† †††††††(26)

гд円††

††† †††††††††††††††††††††††††††††††††††† †††(27)

≈сли функции j(x) и† y(x) удовлетвор€ют услови€м разложени€ в р€д ‘урье, то

†††††††††††††††††† (28)

††††††††††††††††† (29)

—равнение этих р€дов с формулами (25) показывает, что дл€ выполнени€ начальных условий надо положить

†††††††† †††††††††††††† †††††††††††††††(30)

чем полностью определ€етс€ функци€ (24), дающа€ решение исследуемой задачи.

»так, мы доказали, что р€д (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представл€ет функцию u (x, t), котора€ €вл€етс€ решением уравнени€ (1) и удовлетвор€ет граничным† и начальным услови€м (9) и (10).

«амечание. –еша€ рассмотренную задачу дл€ волнового уравнени€ другим методом, можно доказать, что р€д (24) представл€ет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцировани€. ѕри этом функци€ ††должна быть дважды дифференцируемой, а †- один раз дифференцируемой.

√лава 2. ”–ј¬Ќ≈Ќ»я† ѕј–јЅќЋ»„≈— ќ√ќ† “»ѕј

І2.1. «адачи, привод€щие к уравнени€м гиперболического типа.

2.1.1.              ”равнение распространени€ тепла в стержне.

–ассмотрим однородный стержень длины

–асположим ось ќх так, что один конец стержн€ будет совпадать с точкой х = 0, а другой Ц с точкой х =

0

x1

x2

 

 

 


–ис. 2.1.

ѕусть u (x, t) Ц температура в сечении стержн€ с абсциссой х в момент† t. ќпытным путем установлено, что скорость распространени€ тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определ€етс€ формулой

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1)

где S Ц площадь сечени€ рассматриваемого стержн€, k Ц коэффициент теплопроводности.

–ассмотрим элемент стержн€, заключенный между сечени€ми с абсциссами х1 и х22 Ц х1 = 1 за врем€

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2)

то же самое с абсциссой х2:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3)

ѕриток 1 - ††Q2 в элемент стержн€ за врем€

†††††††††††††††††††††† (4)

Ётот приток тепла за врем€

или

†††††††††††††††††††††††††††††††††† ††† (5)

где с Ц теплоемкость вещества стержн€, †Ц плотность вещества стержн€ (

ѕриравнива€ выражени€ (4) и (5) одного и того же количества тепла

(6)

Ёто и есть уравнение распространени€ тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

„тобы решение уравнени€ (6) было вполне определено, функци€ u (x, t)† должна удовлетвор€ть краевым услови€м, соответствующим физическим услови€м задачи.  раевые услови€ дл€ решени€ уравнени€ (6) могут быть различные. ”слови€, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче дл€

u (x, 0) = φ(x),†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (7)

u (0, t) = ψ1(t),†††††††††††††††††††††††† †† †††††††††††††††††††††††(8)

u (, t) = ψ2(t).†††††††††††††††††††††††† † †††††††††††††††††††††††(9)

‘изическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при †в разных сечени€х стержн€ задана температура, равна€ φ(x). ”слови€ (8) и (9) (граничные услови€) соответствуют тому, что на концах стержн€ при х = 0 и при х = †поддерживаетс€ температура, равна€ ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

ƒоказываетс€, что уравнение (6) имеет единственное решение в области†

2.1.2. –аспространение тепла в пространстве.

–ассмотрим процесс распространени€ тепла в трехмерном пространстве. ѕусть u (x, y, z, t) Ц температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. ќпытным путем установлено, что скорость прохождени€ тепла через площадку † (1))

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† ††† (10)

где k Ц коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n Ц единичный вектор, направленный по нормали к площадке†

где †Ц направл€ющие косинусы вектора n, или

ѕодставл€€ выражение †в формулу (10), получаем:

Q = -k n grad u s.

 оличество тепла, протекающего за врем€ ∆t через площадку ∆s, будет равно:

Qt = -k n grad u t s.

¬ернемс€ к поставленной задаче. ¬ рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S.  оличество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:

††††††††††††††††††††††††††††† †††† (11)

где n Ц единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. ќчевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уход€щего из объема V) за врем€

–ассмотрим элементарный объем

где с Ц теплоемкость вещества, ρ Ц плотность. ќбщее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за врем€

Ќо это есть тепло, поступающее в объем V за врем€

—окраща€ на

††††††††††††††††††††††††††††††† (12)

ѕоверхностный интеграл, сто€щий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле ќстроградского (в векторной форме, где F Ц дивергенци€ векторного пол€, †Ц замкнута€ поверхность)

полага€ F = k grad u:

«амен€€ двойной интеграл, сто€щий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:

(13)

ѕрименив теорему о среднем к тройному интегралу, сто€щего слева, получим :

††††††††††††††††††††††††††† (14)

где P (x, y, z) Ц некотора€ точка объема V.

“ак как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральна€ функци€ в равенстве (13) непрерывна, то равенство (14) будет выполн€тьс€ в каждой точке пространства. »так,

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (15)

Ќо

ѕодставл€€ в уравнение (15), получаем:

††††††††††††††††††††††††††††† (16)

≈сли k Ц посто€нное, то

и уравнение (15) в этом случае дает:

или, положив

†††††††††††††††††††††††††††††††† ††† (17)

 оротко уравнение (17) записываетс€ так:

где теплопроводности в пространстве. ƒл€ того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые услови€.

ѕусть имеем тело начальное условие:

u (x, y, z, 0) =† φ (x, y, z).†††††††††††††††††† ††††††††††††††††††††††††††† ††(18)

 роме того, должна быть известна температура в любой точке ћ поверхности †тела в любой момент времени t Ц граничное условие:

u (ћ, t) =† ψ (ћ, t).†††††††††††† †††††††††††††† ††††††††††††††††††††††(19)

(¬озможны и другие граничные услови€.)

≈сли искома€ функци€ u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:

††††††††††††††††††††††††††††††††† †††††††† (20)

-                уравнение распространени€ тепла на плоскости. ≈сли рассматриваетс€ распространени€ тепла в плоской области D с границей —, то граничные услови€, аналогично (18) и (19), формулируютс€ так:

u (x, y, 0) = φ (x, y),

u (ћ, t) = ψ (ћ, t),

где φ и ψ Ц заданные функции, ћ Ц точка границы —.

≈сли же функци€ u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение

- уравнение распространени€ тепла в стержне.

І2.2. “емпературные волны.

«адача о распространении температурных волн в почве €вл€етс€ одним из первых примеров приложени€ математической теории теплопроводности, развитой ‘урье, к изучению €влений природы.

“емпература на поверхности земли носит, как известно, €рко выраженную суточную и годовую периодичность. ќбратимс€ к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство

найти ограниченное решение уравнени€ теплопроводности

††††††††††††††††††††††††††† (1)

удовлетвор€ющее условию

u (0, t) = A cos †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2)

ѕредполагаетс€, что функции u (x, t) и m (t) ограничены всюду, т.е.

«апишем граничное условие в виде

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (2Т)

»з линейности уравнени€ теплопроводности следует, что действительна€ и мнима€ части некоторого комплексного решени€ уравнени€ теплопроводности кажда€ в отдельности удовлетвор€ет тому же решению.

≈сли найдено решение уравнени€ теплопроводности, удовлетвор€ющее условию (2Т), то его действительна€ часть удовлетвор€ет условию (2), а мнима€ Ц условию

»так, рассмотрим задачу:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (3)

≈е решение будем искать в виде

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (4)

где †и †- неопределенные пока посто€нные.

ѕодставл€€ выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

откуда

ƒл€† u (x, t) имеем:

††††††††††††††††††††††††††† (5)

ƒействительна€ часть этого решени€

††††††††††††††††† (6)

удовлетвор€ет уравнению теплопроводности† и граничному условию (2). ‘ормула (6) в зависимости от выбора знака определ€ет не одну, а две функции. ќднако только функци€, соответствующа€ знаку минус, удовлетвор€ет требованию ограниченности. “аким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

††††††††††††††††††††††††††† (7)

Ќа основании полученного решени€ можно дать следующую характеристику процесса распространени€ температурной волны в почве. ≈сли температура поверхности длительное врем€ периодически мен€етс€, то в почве также устанавливаютс€ колебани€ температуры с тем же периодом, причем:

1.јмплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон ‘урье).

2. “емпературные колебани€ в почве происход€т со сдвигом фазы. ¬рем€ †запаздывани€ максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине

(второй закон ‘урье).

3. √лубина проникновени€ тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности. ќтносительное изменение температурной амплитуды равно

Ёта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновени€ температуры. ƒл€ температурных колебаний с периодами “1 и “2 глубины x1 и x2, на которых происходит одинаковое относительное изменение температуры, св€заны соотношением

(третий закон ‘урье). “ак, например, сравнение суточных и годовых колебаний, дл€ которых “2 = 365 “1, показывает, что

т.е. что глубина проникновени€ годовых колебаний при одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновени€ суточных колебаний.

—ледует, однако, иметь в виду, что изложенна€ здесь теори€ относитс€ к распространению тепла в сухой почве или горных породах. Ќаличие влаги усложн€ет температурные €влени€ в почве, при замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.

“емпературопроводность €вл€етс€ одной из характеристик тела, важных дл€ изучени€ его физических свойств, а также дл€ различных технических расчетов. Ќа изучении распространени€ температурных волн в стержн€х основан один из лабораторных методов определени€ температуропроводности.

ѕусть на конце достаточно длинного стержн€ поддерживаетс€ периодическа€ температура †(t). ѕредставив эту функцию в виде р€да ‘урье

где “ Ц период, и вз€в температурные волны, соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура u (x, t) дл€ любого x будет периодической функцией времени и ее n-€ гармоника равна

или

Ёта формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь двух точках, x1 и x2, за полный период, то, наход€ коэффициенты an (x1), bn (x1), an (x2), bn (x2) при помощи гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержн€ а2.

√лава 3. ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»≈ — ѕќћќў№ё ƒ»‘‘≈–≈Ќ÷»јЋ№Ќџ’ ”–ј¬Ќ≈Ќ»…† ¬ „ј—“Ќџ’ ѕ–ќ»«¬ќƒЌџ’.

І3.1. ƒифракци€ излучени€ на сферической частице.

ѕерейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице.  ак известно, в случае монохроматического излучени€ частоты †система уравнений ћаксвелла сводитс€ к системе уравнений дл€ напр€женностей электрического †и магнитного †полей:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (1)

где †- волновое число дл€ пустоты; с0 Ц скорость света в вакууме. ќбозначим через k = k0 m Ц волновое число в среде с комплексным показателем преломлени€ m = n Ц ix. ѕоказатели преломлени€ и поглощени€ (n и x) называютс€ оптическими посто€нными, их зависимость от w обычно известна из эксперимента.

«адача о разыскании шести неизвестных функций (U1 и U2), которые €вл€ютс€ решени€ми колебательного уравнени€. ѕолучим их по методу ‘урье в виде бесконечных сумм частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определ€ютс€ Ђсшиваниемї значений внутри и снаружи сферы. „ерез найденные потенциалы составл€ющие полей легко вычисл€ютс€ дифференцированием.

ѕусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно пол€ризованна€ плоска€ волна (рис 4.). ќсь Ox €вл€етс€ направлением электрических колебаний, а ось Oy Ц магнитных. Ёлектрическое и магнитное пол€ в падающей волне описываютс€ формулами:

††††††††††††††††††††††††† (2)

где ka = mak0 Ц величина волнового вектора падающего излучени€ во внешней среде с вещественным показателем преломлени€ ma.

y

x

z

0

r


–ис. 3.1. —ферическа€ система координат дл€ изучени€

дифракции света на шаре.

¬ дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель ≈0, который будет внесен в окончательные выражени€ дл€ полей.

¬ сферической системе координат, в которой естественно решать данную задачу, уравнени€ ћаксвелла (1) имеют вид:

(3)

(4)

†††††††††††††††††††††††††††††††† (5)

††††††††††††††††††††††††††††† (6)

†††††††††††††††††††††††††††† (7)

††††††††††††††††††††††††††††††††††† (8)

ѕадающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем пространстве Ц дифрагированное поле, причем все эти пол€ должны иметь оду и ту же временную зависимость, т.е. частоту. ѕроизвольное электромагнитное поле будем представл€ть как суперпозицию двух типов колебаний. ѕервый тип назовем электрическими колебани€ми и будем считать, что у этих колебаний радиальна€ составл€юща€ магнитного пол€ во всех точках равна нулю:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (9)

¬торой тип Ц магнитные колебани€:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (10)

¬ случае электрических колебаний из уравнени€ (6) получим

Ёто соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что †есть производные от некоторой третьей функции

ѕодставл€€ эти соотношени€ в формулы (4) и (5) получим

Ётим соотношени€м можно удовлетворить, если положить †где †- некотора€ нова€ функци€. “огда найдем †ввести

†††††††††††††††††† (11)

тогда как (7) и (8) привод€тс€ к одному и тому же волновому уравнению дл€ функции

(12)†††

»спользу€ указанные выше соотношени€ и замен€€ в выражении дл€ †производные по †через производные по r из уравнени€ (12), получим следующие соотношени€:

††††† (13)

которые выражают все составл€ющие полей дл€ случа€ †через одну функцию †- потенциал электрических колебаний. ѕодставив эти выражени€ в уравнение (3) Ц (8), легко убедитьс€ в том, что равенства (13) образуют решение уравнений ћаксвелла, если U1 €вл€етс€ решением волнового уравнени€. јналогично дл€ магнитных колебаний все составл€ющие полей могут быть выражены через некоторую функцию †- потенциал магнитных колебаний.

¬ общем случае в поле присутствуют колебани€ обоих типов. ƒл€ составл€ющих полей получим при этом следующие выражени€:

†††††††††††††††††††††††††††††††† (14)

‘ункции U1 и U2 €вл€ютс€ решением волнового уравнени€.

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (15)

которое будем решать по методу ‘урье (значок у U временно опущен, он по€витс€ при рассмотрении граничных условий, которые дл€ U1 и U2 различны). ¬ качестве частного решени€ положим

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (16)

ѕодставл€€ (16) в (13) и раздел€€ переменные, получим дл€ f и Y следующие уравнени€:

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (17)

††††††††††††††††††††††††††† (18)

”равнение дл€ Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере только дл€ n = 0, 1, 2Е ¬ этом случае его решением €вл€ютс€ сферические функции:

††††††† (19)

где †а †- полином Ћежандра. ¬ уравнении (17) сделаем подстановку Rn (x) получим следующее уравнение (x = kr):

††††††††††††††††††††† (20)

Ёто уравнение Ѕессел€ и его решением €вл€ютс€ цилиндрические функции с полуцелым индексом n-е частное решение уравнени€ (15) будет

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (21)

»з всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода †конечны в нуле. ѕоэтому только они могут быть использованы дл€ решени€ внутри шара. ¬не шара, в соответствии с принципом излучени€, решение должно иметь характер расход€щейс€ волны. “ак как временной множитель выбран в виде †дает волну, расход€щуюс€ из источника дифракции

†††††††††††††††††††††††††††† (22)

тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисл€ютс€ из граничных условий. √раничные услови€ дл€ потенциалов U1 и U2 на шаре получаютс€ из требовани€ непрерывности тангенциальных (

††††††††††††††††††††††††††††††† (23)

†††† †††††††††††††††††††††††††††† (24)

где Ua Ц потенциал дифрагированного пол€, а Ui Ц внутреннего.

ѕредставим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде р€дов по

††††††††††††††††††††††††††††††††† (25)

“огда после преобразований получим:

†††††††††††††††††††††††††††† (26)

ѕотенциалы †и †должны иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего пол€. ѕоэтому можно записать:

†††††††††††††††††††††††††††††††† (27)

††††††††††††††††††††††††††††††††† (28)

 оэффициенты †должны быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар коэффициентов †и †с данным значком †две независимые системы по два линейных уравнени€. «апишем их, введ€ следующие обозначени€: †- относительный (комплексный) показатель преломлени€, †- длина волны излучени€. ƒл€ †и †имеем:

††††††††††††††††††††††† (29)

јналогична€ система получаетс€ дл€ †и

†††††††††††††††††††††††† (30)

–еша€ эти системы относительно †и

†††††††††††††††††††††††††††† (31)

јналогичные выражени€ получаютс€ и дл€ †и 0:

†† (32)

Ўтрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком функции (†и Er и Hr по сравнению с составл€ющими по †и

†††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (33)

††††††††††††††††††††††††† (34)

и примен€€ асимптоматические выражени€ дл€ функций †при

††††††††††††††† †††††††††††††††††† (35)

—огласно этим формулам, дифрагированное поле представл€етс€ в виде сумм отдельных парциальных волн. »нтенсивность возбуждени€

ѕоле вне частицы †есть суперпозици€ падающего †и дифрагированного †полей:

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (36)

—редн€€ по времени величина вектора потока энергии определ€етс€

††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (37)

где †- вектор, комплексно сопр€женный к †- поток падающего пол€, †- дифрагированного пол€ и †- поток, об€занный интерференции падающего и рассе€нного излучений. ќпределим величины сечений поглощени€ сп и рассе€ни€ ср излучени€ частицей

†††††††††††††††††††††††††††††††††††† (38)

где J0 Ц интенсивность падающего излучени€, †- радиальные составл€ющие потоков, †- элемент телесного угла, а †- элемент площади на сфере. ¬се интегралы распространены по сфере. ѕолное ослабление потока в результате прохождени€ им частицы будет складыватьс€ из рассе€ни€ и поглощени€, т.е. дл€ сечени€ ослаблени€ излучени€ частицей имеем с = сп + ср. ѕоскольку поток падающего излучени€ посто€нен по направлению, то †и дл€ искомых сечений получим

††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (39)

††††††††††††††††††††††††† (40)

–ассмотрим интеграл в (39). »меем †ѕодставл€€ сюда выражение (32) дл€ полей, выполн€€ интегрирование по †и группиру€ соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений:

—умма будет иметь общий множитель †равна нулю при

«аключение

¬ дипломной работе приведены некоторые примеры применени€ дифференциальных уравнений дл€ моделировани€ таких реальных процессов, как колебани€ струны, электрические колебани€ в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракци€ излучени€ на сферической частице.

–абота начинаетс€ с рассмотрени€ простейших задач, привод€щих к дифференциальным уравнени€м гиперболического типа (колебани€ струны, электрические колебани€ в проводах). «атем рассматриваетс€ один из методов решени€ уравнений данного типа. ¬о второй главе рассматриваютс€ дифференциальные уравнени€ параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере Ц температурные волны. ¬ третьей главе рассматриваетс€ вывод уравнени€ дифракции излучени€ на сферической частице.

¬следствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений дл€ моделировани€ реальных процессов в данной дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

¬ заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удаетс€ установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удаетс€ вывести дифференциальное уравнение, позвол€ющее† точно предсказать протекание определенного процесса при определенных услови€х.

Ћитература.

1.     Ќ. —. ѕискунов Ђƒифференциальное и интегральное исчислени€ї, ћ., ЂЌаукаї, 1972, том. 2.

2.     ». ћ. ”варенков, ћ. «. ћаллер Ђ урс математического анализаї, ћ., Ђѕросвещениеї, 1976.

3.     ј. Ќ. “ихонов, ј. ј. —амарский Ђ”равнени€ математической физикиї, ћ., ЂЌаукаї, 1972.

4.     ¬ладимиров ¬. —. Ђ”равнени€ математической физикиї, ћ., ЂЌаукаї, 1988.



1 Ёто предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной †по сравнению с 1. ƒействительно,

ћинистерство общего† и профессионального образовани€ —очинский государственный университет туризма и курортного дела ѕедагогический институт ћатематический факультет  афедра общей математики ƒ»ѕЋќћЌјя –јЅќ“ј »спользование дифферен

 

 

 

¬нимание! ѕредставленный ƒиплом находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалс€, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальный ƒиплом по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

ѕохожие работы:

ѕостроение графика функции различными методами (самосто€тельна€ работа учащихс€)
Ќекоторые “еоремы Ўтурма
ѕрименение алгоритма RSA дл€ шифровани€ потоков данных
—ингул€рное разложение в линейной задаче метода наименьших квадратов
—войства усредненной функции с сильной осцилл€цией
“ранспортна€ задача
ћетоды обучени€ математике в 10 -11 класах
«адача остовных деревьев в kЦсв€зном графе
ѕсевдоевклидово пространство
»спользование решени€ задачи потокораспределени€ дл€ анализа водо-снабжени€ города

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru