Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»стори€ статистики — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме  урсовой работы

–аботу выполнил: Serk

ћ√“” Ђ—танкинї

2003 год

“ема 1. —татистическа€ сводка. √руппировка

—татистическа€ сводка €вл€етс€ вторым этапом статистического исследовани€ после наблюдени€. ќна состоит в том, что первичные материалы, полученные в результате наблюдени€, обрабатываютс€, свод€тс€ вместе и характеризуютс€ итоговыми обобщающими показател€ми.

—оставными элементами сводки €вл€ютс€: 1) программа сводки; 2) подсчет групповых итогов; 3) оформление конечных результатов сводки в виде таблиц и графиков.

ѕрограмма статистической сводки содержит перечень групп, на которые расчленена изучаема€ совокупность по определенным признакам, а также перечень показателей, необходимых дл€ характеристики каждой группы. ѕрограмма сводки имеет, как правило, вид свободных статистических таблиц, которые следует заполнить расчетными данными.

¬ сводке статистического материала важное звено занимают группировки, так как простой подсчет итогов без распределени€ единиц совокупности на группы по тем или иным признакам не дает полной характеристики объекта изучени€.

  статистическим группировкам прибегают при решении следующих задач:

а) анализ структуры исследуемой совокупности;

б) вы€вление св€зей и взаимозависимостей между экономическими €влени€ми.

ƒл€ решени€ первой задачи стро€т структурные группировки.

ƒл€ решени€ второй задачи стро€т аналитические группировки.

√руппировки бывают простые и комбинационные. ѕроста€ группировка образуетс€ по одному признаку, комбинационна€ - по двум и более признакам. ћожно осуществл€ть группировки как по количественному признаку, так и по атрибутивному. ¬ количественной группировке группировочный признак выражаетс€ вариантами чисел. ¬ атрибутивной группировке группировочный признак количественного выражени€ не имеет, так как характеризует качество изучаемого €влени€.

¬ экономико-статистическом анализе делаютс€ группировки как с равными, так и с неравными интервалами. ѕри построении группировки с равными интервалами величину интервала групп определ€ют по следующей формуле:

,

где Xmax - максимальное значение признака в изучаемой совокупности; Xmin - минимальное значение признака в изучаемой совокупности; n - число групп.

ѕри выборе числа групп необходимо учитывать следующее: 1) в каждую группу может попасть по возможности достаточно большое число единиц; 2) число единиц в группах не должно резко отличатьс€ друг от друга, т.е. должно быть примерно одного пор€дка; 3) групп должно быть не более 6-7.

√руппировки с неравными интервалами целесообразно примен€ть в тех случа€х, когда исходные статистические данные разн€тс€ на весьма значительную величину, т.е. когда слишком велик размах вариации в исходной совокупности.

–ассмотрим пример на построение аналитической группировки.

“аблица 1.1

ƒанные о стоимости основных фондов и товарной продукции предпри€тий

є

п/п

—редн€€ годова€ стоимость основных производственных фондов, млн. руб. “оварна€ продукци€, млн. руб.

є

п/п

—редн€€ годова€ стоимость основных производственных фондов, млн. руб. “оварна€ продукци€, млн. руб.
1 396 947,6 11 220 390,1
2 305 602,7 12 318 537,6
3 198 399,6 13 290 436,8
4 386 897,0 14 327 700,0
5 315 642,6 15 208 590,4
6 330 675,0 16 318 591,6
7 205 348,3 17 245 511,8
8 302 582,4 18 340 669,6
9 211 378,3 19 249 537,6
10 306 494,1 20 199 315,0

ѕо отчетным данным 20 промышленных предпри€тий нужно построить аналитическую группировку дл€ установлени€ зависимости объема товарной продукции от средней годовой стоимости основных производственных фондов (табл. 1.1).

ƒл€ построени€ группировки выделим группировочный признак. “аким группировочным признаком €вл€етс€ средн€€ годова€ стоимость основных производственных фондов. ѕримем число групп по данному признаку n = 5. ¬еличину интервала в группах определ€ем по приведенной выше формуле. “огда h = (396 Ц 198) : 5 = 39,6 млн. руб.

ќбразуем группы предпри€тий по средней годовой стоимости основных производственных фондов. Ќижнюю границу первого интервала составит минимальна€ величина группировочного признака 198 млн. руб. ¬ерхн€€ граница первого интервала составит 198 + 39,6 = 237,6 млн. руб.

ѕри группировках по непрерывно варьирующим количественным признакам границу интервалов обозначают так, что верхн€€ граница предыдущего интервала служит нижней границей последующего интервала.

“аким образом, нижней границей второго интервала будет величина 237,6 млн. руб., а верхней границей данного интервала - величина 237,6 + 39,6 = 277,2 млн. руб. јналогично определ€ютс€ границы последующих интервалов.

ѕолучаем следующие интервалы дл€ 5 групп предпри€тий по средней годовой стоимости основных производственных фондов: 198 - 237,6; 237,6 - 277,2; 277,2 - 316,8; 316,8 - 356,4; 356,4 - 396,0. ¬ первую группу вошло 6 предпри€тий; во вторую - 2; в третью - 6; в четвертую - 4; в п€тую - 2.

“ак как по условию задачи необходимо установить зависимость объема товарной продукции от средней годовой стоимости основных производственных фондов, то в каждой выделенной группе определ€ем суммарную величину объема товарной продукции по совокупности предпри€тий в группе и в расчете на одно предпри€тие.

ѕо первой группе предпри€тий со средней годовой стоимостью основных производственных фондов от 198 млн. руб. до 237,6 млн. руб. объем товарной продукции составит: 399,6 + 348,3 + 378,3 + 350,1 + 590,4 + 315,0 = 2381,7 млн. руб., и в расчете на одно предпри€тие: 2381,7 : 6 = 396,9 тыс. руб. јналогичные расчеты производим по другим группам.

–езультаты расчетов сведем в табл. 1.2.

“аблица 1.2

–асчет среднего объема товарной продукции по группам предпри€тий

√руппа предпри€тий по средней годовой стоимости производственных фондов „исло предпри€тий ќбъем товарной продукции, млн. руб. ќбъем товарной продукции в среднем одного предпри€ти€ в группе, млн. руб.
198 - 237,6 6 2381,7 396,9
237,6 - 277,2 2 1049,4 524,2
277,2 - 316,8 6 3433,6 572,3
316,8 - 356,4 4 2499,8 624,7
356,4 - 396,0 2 1844,6 922,7

Ќа основе построенной группировки видна четка€ зависимость объема товарной продукции от средней годовой стоимости основных производственных фондов предпри€ти€.

»спользу€ условие данной задачи, построим структурную группировку.

ƒл€ построени€ структурной группировки необходимо сформировать группы по второму признаку - величине товарной продукции. ¬озьмем число групп n = 5; границы интервалов групп определ€ем по формуле величины интервала группировки h, где

126,52 млн. руб.

√руппы предпри€тий, образованные по объему товарной продукции, следующие: 315,0 - 441,52; 441,52 - 568,04; 568,04 - 694,56; 694,56 - 821,08; 821,08 - 947,6.

¬ дальнейшем, осуществл€€ распределение предпри€тий в группах по средней годовой стоимости основных производственных фондов на подгруппы по объему товарной продукции, сформируем структурную группировку (табл. 1.3).

Ќа основе структурной группировки отчетливо видно распределение предпри€тий по объему товарной продукции в зависимости от той или иной средней годовой стоимости производственных фондов.

“аблица 1.3

—труктурна€ группировка предпри€тий по двум показател€м

√руппа предпри€тий по средней годовой стоимости ќѕ‘, млн. руб. „исло предпри€тий в том числе с объемом товарной продукции, млн. руб.
315,0 - 441,52 441,52 - 568,04 568,04 - 694,56 694,56 - 821,08 821,08 - 947,6
198 - 237,6 6 5 1
237,6 - 277,2 2 2
277,2 - 316,8 6 1 4
316,8 - 356,4 4 1 2 1
356,4 - 396,0 2 2

ѕредпри€ти€ сосредоточены, главным образом, по диагонали, что еще раз подчеркивает наметившуюс€ тенденцию увеличени€ объема товарной продукции при возрастании стоимости основных производственных фондов предпри€ти€.

“ема 2. –€ды распределени€. —татистические таблицы

¬ результате обработки и систематизации первичных статистических данных получают р€ды цифровых показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых €влений. Ёти р€ды называют статистическими.

—татистические р€ды дел€т на два вида: р€ды распределени€ и р€ды динамики. –€ды распределени€ характеризуют распределение единиц совокупности по какому-либо признаку. –€ды динамики характеризуют изменение изучаемых €влений во времени.

–€ды распределени€, в свою очередь, дел€тс€ на атрибутивные и вариационные. јтрибутивный р€д распределени€ образуетс€ по качественному признаку. ¬ариационный р€д образуетс€ по количественному признаку.

—реди вариационных р€дов распределени€ выдел€ют дискретные и интервальные р€ды.

¬ дискретном вариационном р€ду распределени€ отдельные варианты имеют определенные конкретные значени€. ¬ интервальном вариационном р€ду варианты колеблютс€ в определенных пределах. ¬ариационные р€ды изображают в системе пр€моугольных координат в виде диаграмм.

ƒискретные вариационные р€ды изображают в виде так называемого полигона распределени€. ¬арианты откладываютс€ на оси абсцисс, частоты - на оси ординат. “очки пересечени€ соедин€ютс€ отрезками пр€мой.

»нтервальные вариационные р€ды изображают в виде гистограммы. Ќа оси абсцисс откладывают границы интервалов, на оси ординат - число единиц совокупности, приход€щеес€ на единицу ширины интервала (плотность распределени€). ¬ интервалах стро€т пр€моугольники.

ƒл€ изображени€ интервальных вариационных р€дов с равными интервалами на оси абсцисс откладывают границы интервалов, а на оси ординат - число единиц совокупности в данном интервале. —тро€т пр€моугольники с равными интервалами.

»нтервальный вариационный р€д можно изображать также в виде кумул€ты. Ќа оси абсцисс откладывают границы интервалов, на оси ординат - нарастающие частоты, соответствующие верхним границам интервалов. “очки пересечени€ соедин€ют отрезками пр€мой.

—татистические р€ды как результат статистической сводки и группировки всегда излагаютс€ в виде статистических таблиц.

—татистическа€ таблица представл€ет собой форму наиболее рационального, нагл€дного и систематизированного изложени€ цифровых результатов сводки и обработки статистического материала.

ѕри построении статистических таблиц следует четко разграничивать статистическое подлежащее и статистическое сказуемое. —татистическим подлежащим таблицы €вл€етс€ сам объект (перечень его единиц или их групп), который характеризуетс€ числовыми показател€ми. —татистическим сказуемым таблицы €вл€ютс€ числовые показатели, которые характеризуют изучаемый объект.

—татистическое подлежащее располагают, как правило, в строках, статистическое сказуемое - в графах таблицы.

¬ зависимости от строени€ подлежащего различают три вида таблиц: простые, групповые, комбинационные.

ѕростые (перечневые) таблицы в подлежащем содержат перечень рассматриваемых объектов.

√рупповые таблицы в подлежащем содержат группировку единиц изучаемого объекта, образованную по какому-либо одному признаку.

 омбинационные таблицы в подлежащем содержат группировку единиц, образованную по двум и более признакам.

ѕри построении таблиц следует строго придерживатьс€ определенных правил:

1.  ажда€ таблица должна быть пронумерована и иметь заголовок, который в краткой форме должен отражать содержание таблицы, место и врем€ €влени€.

2. ¬ таблице используютс€ только общеприн€тые сокращени€.

3. ¬ таблице должны быть приведены единицы измерени€. ≈сли единица измерени€ обща€, она выноситс€ справа над таблицей в скобках.

4. ÷ифровые данные целесообразно сокращать.

5.   таблице можно делать примечани€, которые располагают под таблицей со сноской под чертой.

6. ѕри переносе таблицы на другой лист, графы таблицы целесообразно обозначать арабскими цифрами.

“ема 3. √рафическое изображение статистических данных

√рафиками в статистике называют условные изображени€ числовых величин и их соотношений в виде различных геометрических фигур в системе пр€моугольных координат.

√рафики €вл€ютс€ средством обобщени€ и анализа статистических данных. — помощью графиков вы€вл€ютс€ основные тенденции развити€ экономических €влений и взаимные св€зи между €влени€ми.

—татистические графики различают по содержанию и способу построени€.

ѕо содержанию изображаемых статистических показателей графики дел€т на следующие виды: 1) графики сравнени€; 2) графики структуры; 3) графики динамики; 4) графики выполнени€ плана; 5) графики взаимосв€занных показателей.

ѕо способу построени€ различают столбиковые, ленточные, линейные, круговые, квадратные, секторные диаграммы.

ƒл€ построени€ графиков сравнени€ целесообразно использовать линейную, столбиковую, ленточную, квадратную, круговую диаграммы.

—толбикова€ диаграмма изображаетс€ в виде столбиков, основани€ которых откладываютс€ на оси абсцисс, высота - на оси ординат. Ўирина столбиков произвольна€, но одинакова€.

Ћинейна€ диаграмма изображаетс€ в виде линии, соедин€ющей точки пересечени€ расчетных величин в р€де динамики.

Ћенточную диаграмму целесообразно строить в том случае, если объект характеризуетс€ двум€ показател€ми, как правило, противоположными по смыслу. ¬ ленточной диаграмме в отличие от столбиковой столбики расположены не вертикально, а горизонтально в системе пр€моугольных координат.

 вадратную диаграмму целесообразно строить в том случае, когда между сравниваемыми показател€ми разница настолько велика, что установление подход€щего масштаба оказываетс€ затруднительным. —торона каждого квадрата определ€етс€ как корень квадратный из соответствующей величины. “огда площадь квадратов визуально будет характеризовать ту или иную исходную величину.

 руговые диаграммы стро€тс€ аналогично квадратам. –адиус круга есть корень квадратный из определенной величины.

ƒл€ построени€ графиков структуры, как правило, используют столбиковые и секторные диаграммы.

ќсобенностью построени€ секторной диаграммы €вл€етс€ то, что объем круга в секторной диаграмме принимаетс€ за 100 процентов, а величины секторов пропорциональны процентному отношению составных частой к их общему итогу.

ѕостроение графиков динамики осуществл€етс€, как правило, с помощью столбиковой или линейной диаграмм.

√рафическое изображение показателей выполнени€ плана можно осуществить в виде линейной, ленточной и столбиковой диаграмм в системе пр€моугольных координат. ѕри этом на оси абсцисс откладывают периоды динамики, на оси ординат - показатели выполнени€ плана.

ƒл€ графического изображени€ показателей выполнени€ плана часто используют числовые сетки с двум€ сопр€женными шкалами. ќдна шкала характеризует выполнение плана в абсолютных величинах, друга€ - в относительных величинах (проценты выполнени€ плана). „исловые сетки используют дл€ характеристики выполнени€ планового задани€ за период динамики либо в разрезе цехов и участков.

ѕостроение графиков взаимосв€занных показателей, один из которых равен произведению двух других, можно осуществл€ть с помощью так называемых "знаков ¬арзара". "3нак" строитс€ вне системы пр€моугольных координат в виде пр€моугольника, основание которого пропорционально одному показателю - сомножителю, высота - другому.

ѕри построении графиков (диаграмм) в системе пр€моугольных координат необходимо придерживатьс€ следующих правил:

1.  аждый график должен иметь название, которое располагают под ним. ¬ названии в краткой форме следует отразить содержание, место и врем€ €влени€. ¬се графики нумеруютс€.

2. ќси координат должны быть названы и иметь единицы измерени€.

3. Ќа числовой оси следует откладывать только целые числа и в равном масштабе (например: 20; 40; 60 и т.д., или 1500; 3000; 4500 и т.д.). «аканчиватьс€ числова€ ось должна той величиной, котора€ немногим больше максимальной величины в исходной совокупности.

4. ≈сли на одной числовой оси необходимо расположить величины, относ€щиес€ к одному и тому же €влению, но резко отличающиес€ друг от друга по абсолютному значению, числовую ось можно разорвать знаком (≈), что означает разрыв масштаба.

5. ≈сли необходимо отразить на одном графике (в одной системе пр€моугольных координат) два-три €влени€, то ввод€т столько же дополнительных числовых осей (осей ординат).  ажда€ числова€ ось должна иметь свою размерность и свой масштаб.

“ема 4. јбсолютные и относительные статистические величины

ѕод абсолютными величинами в статистике понимают показатели, которые характеризуют размеры (уровни, объемы) изучаемых экономических €влений.

јбсолютные величины €вл€ютс€ исходной базой статистического анализа.

¬ отличие от абсолютных величин относительные величины €вл€ютс€ величинами производными и рассчитываютс€ на основе абсолютных.

¬ статистическом анализе используют следующие виды относительных величин: величины динамики, величины выполнени€ плана, величины структуры, величины координации, величины интенсивности, величины сравнени€.

ѕри изучении относительных величин динамики необходимо, прежде всего, у€снить их роль в характеристике развити€ €влени€ во времени. —ледует обратить внимание на характер базы сравнени€ (посто€нна€, переменна€).

ѕриведем пример расчета относительных величин динамики (табл. 4.1).

“аблица 4.1

¬ыпуск товарной продукции на предпри€тии

ћес€ц “ыс. руб. ќтносительна€ величина динамики с посто€нной базой сравнени€ ќтносительна€ величина динамики с переменной базой сравнени€
в коэффициентах в процентах в коэффициентах в процентах
январь 1390,7 1,000 100,0 Ц Ц
‘евраль 1426,9 1,026 102,6 1,026 102,6
ћарт 1492,6 1,073 107,3 1,046 104,6
јпрель 1547,5 1,113 111,3 1,037 103,7

¬ычислим относительные величины динамики с посто€нной базой сравнени€, прин€в за базу €нварь: 1426,9 : 1390,7 = 1,026 ´ 100 = 102,6%; 1492,6 : 1390,7 = 1,073 ´ 100 = 107,3% и т.д.

¬ычислим относительные величины динамики с переменной базой сравнени€, использу€ соотношени€ каждого последующего мес€ца к предыдущему: 1426,9 : 1390,7 = 1,026; 1492,6 : 1426,9 = 1,046 ´ 100 = 104,6% и т.д.

ѕри вычислении относительных величин структуры следует у€снить их св€зь с группировкой статистических данных.

ѕриведем пример расчета (табл. 4.2).

“аблица 4.2

–аспределение рабочих по тарифным разр€дам

“арифный разр€д „исло рабочих в цехе
человек в процентах к итогу
1 3 1,5
2 12 6,1
3 63 32,0
4 68 34,5
5 34 17,3
6 17 8,6
»того: 197 100,0

ƒл€ характеристики структуры рабочих по тарифным разр€дам (в процентах) определ€ют удельный вес численности рабочих по соответствующим разр€дам в общей численности рабочих. “ак, удельный вес численности рабочих 1 разр€да составл€ет (3 : 197) ´ 100 = 1,5% и т.д. (см. табл. 4.2).

ѕри вычислении относительных величин координации за базу сравнени€ принимаетс€ кака€-либо одна часть изучаемого €влени€, а остальные части соотнос€тс€ с ней.

ƒл€ примера воспользуемс€ данными табл. 4.2. ≈сли вз€ть за базу сравнени€ численность рабочих 2 разр€да, тогда относительные величины координации состав€т: †= 0,25; †= 5,3; †= 5,7; †= 2,8; †= 1,4, т.е. на каждого рабочего 2 разр€да приходитс€ в 4 раза меньше рабочих 1 разр€да, 5 рабочих 3 разр€да; 6 рабочих 4 разр€да и т.д.

ѕри вычислении относительных величин интенсивности необходимо помнить, что они €вл€ютс€ именованными показател€ми: так, коэффициент фондоотдачи показывает, какой объем продукции приходитс€ на единицу стоимости основных производственных фондов; показатель производительности труда характеризует величину объема продукции в расчете на единицу трудовых затрат и т.д.

ѕри вычислении относительных величин сравнени€ нужно запомнить, что сравнению между собой подвергаютс€ одноименные величины, относ€щиес€ к разным объектам, вз€тые, как правило, за один и тот же период времени. Ќапример, соотношение выпуска продукции на двух предпри€ти€х в отчетном периоде составило 102%.

“ема 5. —редние величины

—редние величины в статистике выполн€ют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку.

¬ статистике используют различные виды средних величин: средн€€ арифметическа€ проста€, средн€€ арифметическа€ взвешенна€; средн€€ гармоническа€, средн€€ геометрическа€; структурные средние - мода и медиана.

ѕри изучении данной темы особое внимание следует обратить на то, что каждый вид средней величины определ€етс€ в зависимости от конкретного экономического услови€ и от поставленной задачи. ¬ противном случае средн€€ величина даст ошибочный результат и будет €вл€тьс€ искаженной характеристикой изучаемой статистической совокупности.

—редн€€ величина рассчитываетс€ по качественно однородной совокупности, значени€ которой примерно одного пор€дка.

Ёто - основное условие применени€ средней.

Ќельз€ забывать о том, что средние величины в статистике €вл€ютс€ величинами именованными и выражаютс€ в тех же единицах, в которых выражен признак.

Ќеобходимо также у€снить значение средних моды и медианы, с помощью которых изучают структуру исследуемой совокупности.

ѕроиллюстрируем на конкретных примерах пор€док расчета каждого вида средних величин.

1. –аспределение рабочих-наладчиков участка одного из цехов промышленного предпри€ти€ по стажу работы и квалификационным разр€дам характеризуетс€ следующими данными:

“аблица 5.1

ƒанные о составе рабочих

—таж работы, лет „исло рабочих, чел.
¬сего в том числе имеющих разр€д
4 5 6
ƒо 10 9 2 4 3
10-20 7 Ц 2 5
20-30 3 Ц 1 2
30-40 2 Ц Ц 2

ќпределить: а) средний разр€д рабочих каждой возрастной группы; б) средний стаж рабочих участка.

–ешение:

а) ƒл€ нахождени€ среднего разр€да рабочих каждой возрастной группы следует применить среднюю арифметическую взвешенную:

;

в качестве веса (m) выступает конкретный разр€д рабочих. “ак, дл€ рабочих со стажем работы до 10 лет средний тарифный разр€д составит:

†= †= †= 5 разр€д.

» так далее по другим возрастным группам.

б) ƒл€ нахождени€ среднего стажа рабочих на участке примен€ют ту же среднюю арифметическую взвешенную, но уже дл€ интервального р€да распределени€.

ѕричем, в качестве "x" будут срединные значени€ признака в группах, а в качестве веса (m) принимают численность рабочих соответствующей группы:

†= †= †= 14 лет.

2. ѕо следующим данным распределени€ рабочих цеха по проценту выполнени€ мес€чного задани€ определить моду и медиану.

“аблица 5.2

ƒанные о выполнении производственного задани€

¬ыполнение мес€чного задани€, процент „исло рабочих, чел. Ќакопленные частоты от начала р€д
95-100 3 3
100-105 20 23
105-110 10 33
110-115 5 38
115-120 4 42
»того 42 Ц

ћодой в статистике называют наиболее часто встречающеес€ в исследуемой совокупности значение признака. —ледовательно, в данной задаче модальным будет интервал от 100 до 105 процентов, так как на него приходитс€ наибольшее число рабочих (20 чел.).

ћоду определ€ют по формуле:

Mo = x0 + ∙ (x1 Ц x0),

где x0 и x1 - соответственно нижн€€ и верхн€€ границы модального интервала;

m2 - частота модального интервала;

m1 и m3 - частоты интервала, соответственно, предыдущего и следующего за модальным.

ѕодставим значени€ в формулу:

Mo = 100 + ´ (105 Ц 100) = 103,1%.

»наче говор€, наибольшее число рабочих выполн€ют мес€чное задание на 103,1%.

ћедианой в статистике называют срединное значение признака в исследуемой совокупности. —ледовательно, медианным €вл€етс€ интервал, на который приходитс€ 50% накопленных частот данного р€да, что по условию задачи 42 : 2 = 21.

¬ нашей задаче медиана находитс€ в интервале от 100 до 105% , так как на данный интервал приходитс€ накопленна€ частота 23.

ћедиану определ€ют по формуле:

Me = x0 + ∙ (x1 Ц x0),

где x0 и x1 - соответственно нижн€€ и верхн€€ границы медианного интервала;

N - сумма частот р€да;

N0 - сумма частот, накопивша€с€ до начала медианного интервала;

N1 - частота медианного интервала.

ѕодставим соответствующее значение в формулу:

Me = 100 + †´ 5 = 104,5%.

“аким образом, 50% всех рабочих выполн€ют производственное задание менее чем на 104,5%; 50% - более чем на 104,5%.

“ема 6. –€ды динамики

–€дами динамики называют р€ды, которые характеризуют изменение €влени€ во времени. –€ды динамики бывают моментные и интервальные. ћоментные р€ды характеризуют изменение €влени€ в динамике на определенный момент времени (чаще - на начало или конец периода). »нтервальные р€ды характеризуют изменение €влени€ в динамике за определенный период времени (мес€ц, квартал, год).

¬ экономическом анализе используют аналитические показатели динамики.   ним относ€т абсолютный прирост, средний абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, средний темп роста, абсолютное значение одного процента прироста. ƒанные показатели широко используютс€ в статистической практике, что вызывает необходимость тщательного изучени€ пор€дка их расчета.

–ассмотрим на примере расчет аналитических показателей р€да динамики (табл. 6.1).

“аблица 6.1

ƒанные о производстве в цехе

ћес€ц ¬ыпуск цехом товарной продукции, тыс. руб. ѕоказатели динамики
јбсо≠лютный прирост (D), тыс. руб.

“емп роста (“р)

“емп прироста (“пр)

јбсолютное значение 1% прироста (ј), тыс. руб.
÷епной Ѕазис≠ный ÷епной Ѕазис≠ный
1 236 Ц Ц 100,0 Ц Ц Ц
2 244 8 103,4 103,4 3,4 3,4 2,4
3 246 2 100,8 104,2 0,8 4,2 2,5
4 249 3 101,2 105,5 1.2 5,5 2,5
5 250 1 100,4 105,9 0,4 5,9 2,5
6 252 2 100,8 106,8 0,8 6,8 2,5

јбсолютный прирост (D) определ€етс€ как разность между отчетным и предыдущим уровн€ми р€да динамики, т.е. по формуле:

D = yi Ц yiЦ1,

где yi, yiЦ1 - уровни р€да динамики.

“ак, например, абсолютный прирост продукции цеха в феврале по сравнению c €нварем составил: 244 Ц 236 = 8 тыс. руб., а в марте по сравнению с февралем: 246 Ц 244 = 2 тыс. руб. и т.д.

—редний абсолютный прирост () определ€етс€ на основе данных абсолютных приростов по следующей формуле:

†или ,

где n - число уровней р€да динамики;

y1 и yn - соответственно первый и последний уровни р€да динамики.

“емп роста (“р) определ€етс€ по формуле:

р = †´ 100%,

где y0 - уровень р€да динамики, вз€тый за базу сравнени€.

“емп роста рассчитываетс€ по принципу цепных и базисных соотношений. ¬ том числе, когда за базу сравнени€ принимаетс€ предыдущий период - это цепные показатели темпа роста, когда сравнение осуществл€етс€ с любым другим уровнем р€да динамики, вз€тым за базу сравнени€ - базисные темпы роста.

“ак, в феврале по сравнению с €нварем выпуск продукции в цехе составил: “р2 = (244 : 236) ´ 100% = 103,4%, а в марте по сравнению с февралем: “р3 = (246 : 244) ´ 100% = 100,8% и т.д.

≈сли за базу сравнени€ вз€ть €нварь, то выпуск продукции в цехе в марте по сравнению с €нварем составил: (246 : 236) ´ 100% = 104,2%, а в апреле по сравнению с €нварем: (249 : 236) ´ 100% = 105,5% и т.д.

“емп прироста (“пр) в отличие от темпа роста характеризует относительный прирост €влени€ в отчетном периоде по сравнению с тем уровнем, с которым осуществл€етс€ сравнение и определ€етс€:

пр = “р Ц 100.

“ак, в марте объем продукции цеха по сравнению с февралем увеличилс€ на 0,8% (100,8 Ц 100), а по сражению с €нварем - на 4,2% (104,2 Ц 100) и т.д.

јбсолютное значение одного процента прироста (ј) характеризует абсолютный эквивалент одного процента прироста и определ€етс€ по формуле:

ј = .

“ак, в марте абсолютное значение одного процента прироста составило: (2 : 0,8) = 2,4 млн. руб. и т.д.

—редний темп роста () за период динамики определ€ют по формуле средней геометрической дво€ким способом - на основе данных цепных коэффициентов динамики, либо на основе данных абсолютных уровней р€да динамики по формуле:

∙100

или

∙100,

где x1, x2, Е, xn - коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду;

n - число коэффициентов динамики;

k - число абсолютных уровней р€да динамики.

“ак, за первое полугодие средний годовой темп роста продукции в цехе составил: †= †= †= 1,014 ´ 100 = 101,4% или †= †= †= 1,014 ´ 100 = 101,4%.

ќдин из важнейших вопросов, возникающих при изучении р€дов динамики - это вы€вление тенденции развити€ экономической закономерности в динамике. ƒл€ этой цели примен€ютс€ разнообразные статистические методы, в частности, метод укрупнени€ интервалов, метод скольз€щей средней, метод аналитического выравнивани€.

Ќаиболее простым в использовании €вл€етс€ метод укрупнени€ интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относ€тс€ уровни р€да. ¬ы€вление тенденции осуществл€етс€ по новому укрупненному р€ду динамики.

ƒругой метод - метод скольз€щей средней заключаетс€ в замене первоначальных уровней р€да динамики средними арифметическими, найденными по способу скольжени€, начина€ с первого уровн€ р€да с постепенным включением последующих уровней.

Ќаиболее совершенным методом вы€влени€ тенденции р€да динамики €вл€етс€ метод аналитического выравнивани€, который заключаетс€ в замене первоначальных уровней р€да новыми, найденными во времени "t" построением аналитического уравнени€ св€зи.

–ассмотрим на примере возможности применени€ каждого из методов выравнивани€ при вы€влении тенденции р€да динамики.

»звестны следующие данные выполнени€ программы участком "молдинги" цеха «»Ћ-130 прессового корпуса за 1989 г. (табл.6.2).

“аблица 6.2

ћес€ц ¬ыполнение программы, млн. руб. t

t2

ty

†= 18,6 + 0,09t

I 18,6 -6 36 -111,6 18,1
II 17,3 -5 25 -86,5 18,2
III 18,9 -4 16 -75,6 18,3
IV 18,2 -3 9 -54,6 18,3
V 17,9 -2 4 -35,8 18,4
VI 19,1 -1 1 -19,1 18,5
VII 19,6 1 1 19,6 19,2
VIII 17,5 2 4 35,0 19,1
IX 19,2 3 9 57,6 19,0
X 19,8 4 16 79,2 18,9
XI 18,3 5 25 91,5 18,8
XII 19,4 6 36 116,4 18,7
»того: 223,8 0 182 16,1 223,5

1. ѕо методу укрупнени€ интервалов имеем новые укрупненные поквартально уровни р€да динамики:

у1 = 18,6 + 17,3 + 18,9 = 54,8;

y2 = 18,2 + 17,9 + 19,1 = 55,2 и т.д.

¬ыровненный р€д динамики примет вид:†† 54,8††† 55,2††† 56,3††† 57,5.

“о есть наблюдаетс€ четно выраженна€ тенденци€ увеличени€ выпуска молдингов цехом за 1989 г.

2. ”потребл€€ те же данные, применим метод скольз€щей средней, использу€ семичленную скольз€щую среднюю. “огда:

†= †= 18,5;

†= †= 18,4 и т.д.

¬ыравненный с помощью семичленной скольз€щей средней р€д динамики примет вид:†† 18,5††† 18,4††† 18,6††† 18,7††† 18,8††† 19,0.

“аким образом, подтверждаетс€ тенденци€ увеличени€ выпуска молдингов в течение 1989 г.

3. »спользу€ метод отсчета от условного нул€ введем условное обозначение времени "t", придав ему определенные значени€ так, чтобы ∑t = 0 (см. табл. 6.2).

—уд€ по вы€вленной с помощью двух предыдущих методов тенденции выпуска молдингов в течение года, можно сказать, что наиболее веро€тна линейна€ зависимость данного распределени€ от времени "t" и данному распределению соответствует уравнение пр€мой †= a0 + a1t.

ƒл€ нахождени€ параметров a0 и a1 используем систему уравнений

†,

так как ∑t = 0, о имеем

a0 = †= †= 18,6;

a1 = †= †= 0,09.

—ледовательно, уравнение пр€мой примет вид:

†= 18,6 + 0,09t и будет в данном случае искомым, так как ∑y = ∑.

“ема 7. ѕоказатели вариации

Ќар€ду со средней величиной, характеризующей типичный уровень варьирующего признака, около которого колеблютс€ отдельные значени€ признака, рассматривают показатели вариации (колеблемости) признака, позвол€ющие количественно измерить величину этой колеблемости.

  показател€м вариации относ€т: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

ѕростейшим показателем вариации €вл€етс€ размах вариации, который рассчитываетс€ по следующей формуле:

R = Xmax Ц Xmin,

где Xmax, Xmin - соответственно, максимальное и минимальное значени€ признака в исследуемой совокупности.

–азмах вариации характеризует диапазон колебаний признака в изучаемой совокупности и измер€етс€ в тех же единицах, в которых выражен признак.

–ассчитывают среднее линейное отклонение, которое бывает невзвешенное и взвешенное. ≈сли каждое значение признака встречаетс€ в совокупности один раз, то примен€етс€ формула среднего линейного отклонени€ невзвешенного:

,

где x - значение признака;

n - количество вариант.

≈сли имеетс€ некотора€ повтор€емость значений признака, то примен€етс€ формула среднего линейного отклонени€ взвешенного:

,

где m - частота.

—реднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней и измер€етс€ в тех же единицах, в которых выражен признак.

Ќаиболее точным показателем вариации €вл€етс€ среднее квадратическое отклонение. ƒл€ его определени€ предварительно рассчитывают показатель дисперсии. ƒисперси€ невзвешенна€ определ€етс€ по формуле:

σ2 =.

ƒисперси€ взвешенна€ определ€етс€ по формуле:

σ2 =.

“огда, соответственно, дл€ расчета среднего квадратического отклонени€ невзвешенного используют формулу:

σ =,

а дл€ расчета среднего квадратического отклонени€ взвешенного - следующую формулу:

σ =.

 ак и среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней, однако €вл€етс€ более точной характеристикой.

¬ отличие от среднего линейного и среднего квадратического отклонени€ коэффициент вариации €вл€етс€ мерой относительной колеблемости признака около средней и характеризует степень однородности признака в изучаемой совокупности. ќн определ€етс€ по формуле:

υσ = †´ 100%.

≈сли исследуемую совокупность единиц расчленить на группы, то вправе считать, что обща€ дисперси€ всей совокупности варьирует (измен€етс€) под вли€нием дисперсий дл€ каждой отдельной группы, так называемых групповых или частных дисперсий и межгрупповой дисперсии. Ёти дисперсии св€заны между собой правилом сложени€ дисперсий. ѕри использовании правила сложени€ дисперсий в экономическом анализе по величине частной дисперсии может решатьс€ задача вы€влени€ наиболее эффективной в производстве системы (формы, структуры и т.п.) организации труда, его оплаты и т.п.

„астные или групповые дисперсии характеризуют колеблемость изучаемого признака в каждой отдельной группе и определ€ютс€ по следующей формуле:

и их средн€€ величина

,

где i = 1, 2, Е, n - номер группы;

mi - численность единиц в группе.

ћежгруппова€ дисперси€ характеризует колеблемость частных средних около общей средней †и определ€етс€ следующим образом:

γ2 =.

ѕри соблюдении правила сложени€ дисперсий должно соблюдатьс€ равенство:

σ2 = + γ2.

ѕроиллюстрируем расчет показателей вариации по данным о распределении рабочих по стажу работы (табл. 7.1).

1. R = Xmax Ц Xmin = 14 Ц 10 = 4 года, т.е. диапазон колебани€ стажа рабочих в исследуемой совокупности составл€ет 4 года.

2. †= †= 11,4 года

†= †= 1,1 года.

“аблице 7.1

—таж работы рабочих

—таж работы рабочего, лет (x) „исло рабочих, чел. (m) x∙m

x Ц

| x Ц|m

(x Ц)2

(x Ц)2m

10 14 140 -1,4 19,6 1,96 27,44
11 11 121 -0,4 4,4 0,16 1,76
12 8 96 0,6 4,8 0,36 2,88
13 6 78 1,6 9,6 2,56 15,36
14 4 56 2,6 10,4 6,76 24,04
»того 43 491 Ц 48,8 11,80 74,48

¬ среднем на 1,1 года отклон€етс€ стаж отдельных рабочих от среднего стажа по совокупности.

3. σ2 =†= †= 1,73;

σ == †= 1,3 года.

¬еличина σ = 1,3 года характеризует колеблемость стажа работы рабочих в данной совокупности:

υσ = †´ 100 = †´ 100 = 11,4%.

“аким образом, на 11,4% варьирует состав рабочих по стажу работы в исследуемой совокупности.

“ема 8. »ндексы

¬ статистике индексами называют относительные величины, показывающие соотношение показателей во времени, пространстве, а также фактических показателей с плановыми.

»ндексы измер€ютс€ в процентах.

ƒл€ некоторых простых, единичных €влений, которые допускают непосредственное сравнение, стро€т индивидуальные индексы. ƒн€ €влений сложных, состо€щих из непосредственно несоизмеримых элементов, стро€т сводные индексы. “ак, дл€ характеристики динамики производства конкретного вида продукции, примен€етс€ индивидуальный индекс. ≈сли же исследовател€ интересует динамика выпуска всей продукции предпри€ти€, то в этом случае строитс€ сводный индекс, так как отдельные виды продукции предпри€ти€ непосредственно несоизмеримы.

–азработанна€ статистикой теори€ индексов позвол€ет решить следующие задачи:

1) определ€ть соотношение показателей во времени, пространстве, фактических данных с плановыми;

2) вы€вл€ть абсолютные результаты измерени€ показателей в аналогичных направлени€х;

3) определ€ть относительное и абсолютное вли€ние отдельных факторов на такое изменение при условии, что факторы представлены в виде произведени€.

¬ теории индексов наиболее часто используютс€ следующие обозначени€: I - индивидуальный индекс; J - сводный индекс.

ѕор€док построени€ индивидуальных индексов весьма прост: в числителе дроби записываетс€ показатель на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода. Ќапример:

Ip = ; It = ; Iq = †и т.д.,

где Ip - индивидуальный индекс цен;

It - индивидуальный индекс трудоемкости;

Iq - индивидуальный индекс продукции;

p1 и p0 - цена единицы продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, руб.;

t1 и t0 - трудоемкость изготовлени€ единицы продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, ч;

q1 и q0 - количество произведенной продукции, соответственно, в отчетном и базисном периодах, шт.

—уществуют цепные и базисные индивидуальные индексы. ¬ цепных индексах каждый последующий период сравниваетс€ с предыдущим, например:

; ; †и т.д.

Ќетрудно заметить, что перемножение цепных индексов дает в итоге сравнение €влений, разделенных р€дом промежутков времени (базисные индексы):

†= †´ †´ .

≈стественно, если в задаче известен базисный индекс и какие-то из цепных, то дл€ нахождени€ других цепных индексов необходимо производить деление.

—ледует знать, что индексы динамики, планового задани€ и выполнени€ плана св€заны между собой известным из теории относительных величин соотношением:

Iдинамики = Iпл. задани€ ´ Iвыполнени€ плана.

≈сли в задаче требуетс€ найти абсолютное изменение какого-то €влени€, то оно определ€етс€ как разница между числителем и знаменателем индекса:

(p1 Ц p0); (t1 Ц t0) и т.д.

≈сли при этом ставитс€ задача определить, как вли€ет это изменение на какое-то многофакторное €вление, то найденна€ разность между числителем и знаменателем качественного индекса (цен, трудоемкости и т.п.) умножаетс€ на соответствующий количественный фактор (количество продукции, численность работающих и т.п.) на уровне отчетного периода. –азность между числителем и знаменателем количественного индекса (продукции, численности работающих и т.п.) умножаетс€ на соответствующий качественный фактор (трудоемкость и т.п.) на уровне базисного периода:

(p1 Ц p0)q1 - размер экономии (перерасхода) денежных средств от снижени€ (повышени€) цен;

(t1 Ц t0)q1 - размер увеличени€ (уменьшени€) затрат труда на производство продукции от повышени€ (снижени€) трудоемкости;

(q1 Ц q0)p0 - размер экономии (перерасхода) денежных средств от изменени€ объема выпуска продукции;

(q1 Ц q0)t0 - размер увеличени€ (уменьшени€) затрат труда на производство продукции от изменени€ объема выпуска продукции и т.д.

¬ отличие от индивидуальных индексов, сводные индексы представл€ют собой результат сравнени€ сложных €влений, состо€щих из непосредственно несоизмеримых элементов.

—водные индексы представл€ют собой соотношение сумм произведений индексируемых величин и их соизмерителей. ¬ качестве соизмерителей могут выступать: трудоемкость изготовлени€ продукции (t), цена единицы продукции (p), себестоимость единицы продукции (z). Ќазвание сводного индекса определ€етс€ измен€ющимс€ (индексируемым) показателем. »ндексируемый показатель записывают в числителе на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода или на уровне планового задани€. ≈сли индексируетс€ качественный показатель (цена, трудоемкость, себестоимость), то соответствующий ему количественный соизмеритель фиксируетс€ на уровне отчетного периода. ≈сли индексируетс€ количественный показатель, то соответствующий ему качественный соизмеритель фиксируетс€ на уровне базисного периода или на уровне планового задани€. »сход€ из этого, сводный индекс цен запишетс€:

Jp =;

сводный индекс трудоемкости: Jt =;

сводный индекс себестоимости: Jz =;

сводный индекс физического объема продукции:

Jq =†(при наличии соизмерител€ p);

Jq =†(при наличии соизмерител€ t);

Jq =†(при наличии соизмерител€ z).

»ндексы цен, трудоемкости и себестоимости продукции относ€тс€ к индексам посто€нного состава, так как q = const. »ндексы физического объема продукции независимо от соизмерител€ относ€тс€ к индексам структурных сдвигов, так как учитываетс€ изменение в ассортименте и объеме продукции. ¬ том случае, когда в сводном индексе индексируетс€ сам показатель и его соизмеритель, оба составл€ющих в числителе записываютс€ на уровне отчетного периода, в знаменателе - на уровне базисного периода, а название сводного индекса определ€етс€ индексируемыми составл€ющими. “ак, сводный индекс объема продукции в стоимостном выражении запишетс€ Jqp =; индекс затрат труда на производство продукции Jqt =; индекс денежных затрат на производство продукции Jqz =.

“акие индексы относ€тс€ к индексам переменного состава, так как варьируют оба составл€ющих.

¬ статистическом анализе используетс€ взаимосв€зь индексов переменного состава и структурных сдвигов, котора€ про€вл€етс€ в виде двух свойств индексов.

ѕервое свойство индексов: индекс переменного состава равен произведению индексов посто€нного состава и структурных сдвигов:

Jqp = Jq ∙ Jp; †= ;

Jqt = Jq ∙ Jt; †= ;

Jqz = Jq ∙ Jz; †= .

¬торое свойство индексов: разность числител€ и знаменател€ индекса переменного состава равна сумме разностей числител€ и знаменател€ индексов посто€нного состава и структурных сдвигов:

Dqp(qp) = Dqp(q) + Dqp(p); ∑q1p1 Ц ∑q0p0 = (∑q1p0 Ц ∑q0p0) + (∑q1p1 Ц ∑q1p0);

Dqt(qt) = Dqt(q) + Dqt(t); ∑q1t1 Ц ∑q0t0 = (∑q1t0 Ц ∑q0t0) + (∑q1t1 Ц ∑q1t0);

Dqz(qz) = Dqz(q) + Dqz(z); ∑q1z1 Ц ∑q0z0 = (∑q1z0 Ц ∑q0z0) + (∑q1z1 Ц ∑q1z0).

–ассмотрим пример:

ѕо одному из подразделений промышленного предпри€ти€ известны следующие данные (табл. 8.1).

“аблица 8.1

¬ид продукции  оличество произведенной продукции, тыс. шт. ÷ена 1 шт., руб.
Ѕазисный период ќтчетный период Ѕазисный период ќтчетный период
ј 15 20 0,8 0,7
Ѕ 1,5 2 2,0 1,5
¬ 5 10 1,0 0,8

–ассчитаем индивидуальные индексы продукции и индивидуальные индексы цен.

»ндивидуальные индексы по соответствующим видам продукции состав€т:

Iq(ј) = †= †´ 100 = 133,3%;

Iq(Ѕ) = †= †´ 100 = 133,3%;

Iq(¬) = †= †´ 100 = 200%.

“о есть в отчетном периоде по сравнению с базисным произведено продукции вида "ј" и "Ѕ", соответственно, на 33,3% больше, а вида "¬" - на 100% больше.

»ндивидуальные индексы цен по соответствующим видам продукции состав€т:

Ip(ј) = †= †´ 100 = 87,5%;

Ip(Ѕ) = †= †´ 100 = 75,0%;

Ip(¬) = †= †´ 100 = 80,0%.

“о есть цена единицы продукции вида "ј" в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 12,5% (100 Ц 87,5), вида "Ѕ" - на 25% (100 Ц 75) и вида "¬" - на 20% (100 Ц 80).

»ндивидуальные индексы конкретного вида продукции в стоимостном выражении, соответственно, состав€т:

Ip(ј) = †= †´ 100 = †´ 100 = 116,7%;

Ip(Ѕ) = †= †´ 100 = †´ 100 = 100%;

Ip(¬) = †= †´ 100 = †´ 100 = 160%.

“аким образом, объем продукции в стоимостном выражении вида "ј" в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличитс€ на 16,7% (116,7 Ц 100), вида "¬" - на 60% (160 Ц 100) и вида "Ѕ" - останетс€ без изменени€ (100 Ц 100).

ƒл€ того, чтобы ответить на вопрос, как уменьшилс€ объем всей продукции предпри€ти€ в отчетном периоде по сравнению с базисным, необходимо рассчитать сводные индексы продукции, цен и физического объема продукции.

—водный индекс объема продукции в стоимостном выражении составит:

Jqp = †= †´ 100 = †´ 100 = 125%;

—водный индекс цен составит:

Jp = †= †´ 100 = †´ 100 = 83,3%;

—водный индекс физического объема продукции составит:

Jq = †= †´ 100 = †´ 100 = 150%.

»спользу€ первое свойство индексов, имеем:

Jqp = Jq ∙ Jp; 125% = 1,5 ´ 0,833 ´ 100%.

»спользу€ второе свойство индексов, имеем:

Dqp(qp) = Dqp(q) + Dqp(p), т.е. (25 Ц 20) = (30 Ц 20) + (25 Ц 30) или (+5) = (+10) + (-5).

“аким образом, можно сделать вывод: объЄм продукции в стоимостном выражении увеличилс€ в целом на 25%, или на 5´(25 Ц 20) тыс. руб., в том числе за счет снижени€ цен на 16,7% (83,3 Ц 100) объем снизилс€ на 5 тыс. руб. (25 Ц 30), а за счет увеличени€ физического объема продукции на 50% (150 Ц 100) объем продукции в стоимостном выражении увеличилс€ на 10 тыс. руб.

“ема 9. ¬заимосв€зи €влений

ѕервый этап изучени€ св€зи €влений - выделение основных причинно-следственных св€зей и отделение их от второстепенных. ¬торой этап - построение модели. ѕоследний этап - интерпретаци€ результатов.

ѕризнаки-аргументы называютс€ факторами, а признаки-функции - результатами (результативными признаками).

—в€зи между €влени€ми дел€т по степени тесноты св€зи (полна€ или функциональна€ св€зь, неполна€ или статистическа€ св€зь), по направлению (пр€ма€, обратна€), по аналитическому выражению (линейна€, нелинейна€).

ƒл€ вы€влени€ св€зи, ее характера, направлени€ используют методы приведени€ параллельных данных, балансовый, аналитических группировок, графический. —уть метода приведени€ параллельных данных: привод€т два р€да данных о двух признаках, св€зь между которыми хот€т вы€вить, и по характеру изменений делают заключение о наличии св€зи. Ѕалансовый метод заключаетс€ в построении балансов - таблиц, где итог одной части равен итогу другой.

ћетоды аналитических группировок и графический изложены в соответствующих темах.

”добна€ форма изложени€ данных - коррел€ционна€ таблица (табл. 9.1).

“аблица 9.1

 оррел€ционна€ таблица

„асова€ выработка ткани, м  оличество станков, обслуживаемых одной работницей, шт.
5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 »того
10 - 15 7 4 2 1 14
15 - 20 3 8 5 4 20
20 - 25 2 11 8 2 23
25 - 30 5 13 7 1 26
30 - 35 1 16 3 20
35 - 40 2 6 19 3 30
40 - 45 3 7 18 28
»того: 10 14 21 30 33 32 21 161

“аблица показывает, что частоты концентрируютс€ у диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Ёто указывает на то, что св€зь между количеством обслуживаемых работницей станков и ее часовой выработкой ткани пр€ма€ (с увеличением числа обслуживаемых станков увеличиваетс€ выработка) или близка€ к пр€мой (концентраци€ частот идет почти по пр€мой линии).

ѕо данным таблицы можно рассчитать среднюю выработку по каждой из семи групп работниц, выделенных по числу обслуживаемых станков. ќбозначив эти средние значени€ через †и произвед€ расчеты, получаем: †= 14,0; †= 16,79; †= 22,51; †= 24,67; †= 32,65; †= 36,88; †= 41,79.

ƒанные таблицы и результаты расчетов можно изобразить графически с помощью пол€ коррел€ции. Ћомана€ лини€ на графике (лини€ значений ) называетс€ эмпирической линией регрессии.

ѕоказатели тесноты св€зи. ƒл€ оценки тесноты св€зи примен€етс€ р€д показателей, одни из которых называютс€ эмпирическими или непараметрическими, другие (выводимые строго математически) - теоретическими.

 оэффициент знаков (коэффициент ‘ехнера) вычисл€етс€ на основании определени€ знаков отклонений вариантов двух взаимосв€занных признаков от их средних величин.

≈сли число совпадений знаков обозначать через a, число несовпадений - через b, а сам коэффициент - через i , то можно записать формулу этого коэффициента так:

.

 оэффициент коррел€ции рангов (коэффициент —пирмена) рассчитываетс€ не по значени€м двух взаимосв€занных признаков, а по их рангам следующим образом:

ρx/y = 1 Ц ,

где di - разности рангов; n - число пар рангов.

ƒл€ определени€ тесноты св€зи между трем€ и более признаками примен€етс€ ранговый коэффициент согласи€ - коэффициент конкордации, который вычисл€етс€ по формуле:

w = ,

где m - количество факторов;

n - число наблюдений;

S - сумма квадратов отклонений рангов.

¬еличина коэффициента конкордации более 0,5 показывает, что между исследуемыми величинами имеетс€ тесна€ зависимость.

≈сли при определении тесноты св€зи с помощью приведенных ранговых коэффициентов имеютс€ св€зные ранги, т.е. если двум или более показател€м присвоен один и тот же ранг, то расчеты провод€тс€ по формулам:

коэффициент —пирмена: ρx/y = 1 Ц ;

коэффициент конкордации: w = ,

где T = (t3 Ц t), а t - количество св€зных рангов по отдельным показател€м.

ѕри исследовании социальных €влений и процессов большое значение имеет изучение качественных показателей и признаков, не имеющих количественной оценки:

a b a + b
c d c + d
a + c b + d a + b + c + d

ƒл€ определени€ тесноты св€зи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, примен€ютс€ коэффициенты ассоциации и контингенции. ƒл€ их вычислени€ строитс€ таблица, котора€ показывает св€зь между двум€ €влени€ми, каждое из которых должно быть альтернативным, т.е. состо€щим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, хороший, плохой).

 оэффициенты вычисл€ютс€ по формулам:

A = †- ассоциации;

K = †- контингенции.

 оэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. —в€зь считаетс€ подтвержденной, если A ³ 0,5, или K ³ 0,3.

≈сли каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то дл€ определени€ тесноты св€зи возможно применение коэффициента взаимной сопр€женности ѕирсона. Ётот коэффициент вычисл€етс€ по формуле:

C = ,

где j2 - показатель взаимной сопр€женности.

–асчет коэффициента взаимной сопр€женности проводитс€ по следующей схеме:

√руппа признака A √руппа признака ¬ »того

B1

B2

B3

A1

f1

f2

f3

n1

A2

f4

f5

f6

n2

A3

f7

f8

f9

n3

m1

m2

m3

–асчет j2 проводитс€ так:

по первой строке †: n1 = L1;

по второй строке †: n2 = L2;

по третьей строке †: n3 = L3;

—ледовательно, j2 = L1 + L2 + L3 Ц 1.

»нтерпретаци€ непараметрических коэффициентов св€зи в некоторых случа€х, особенно когда они имеют отрицательное значение, затруднительна. »х абсолютные значени€ могут измен€тьс€ в пределах от 0 до 1. „ем ближе абсолютные значени€ к единице, тем теснее св€зь между исследуемыми признаками.

 оррел€ци€ и регресси€. “радиционные методы коррел€ционно-регрессионного анализа позвол€ют не только оценить тесноту св€зи, но и выразить эту св€зь аналитически. ѕрименению коррел€ционно-регрессионного анализа должен предшествовать качественный, теоретический анализ исследуемого социально-экономического €влени€ или процесса.

—в€зь между двум€ факторами аналитически выражаетс€ уравнени€ми:†††††††††††

пр€мой = a0 + a1x;

гиперболы = a0 + ;

параболы = a0 + a1x + a2x2 (или другой ее степени);

степенной функции .

ѕараметр a0 показывает усредненное вли€ние на результативный признак неучтенных (не выделенных дл€ исследовани€) факторов. ѕараметр a1 - коэффициент регрессии показывает, на сколько измен€етс€ в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу. Ќа основе этого параметра вычисл€ютс€ коэффициенты эластичности, которые показывают изменение результативного признака в процентах в зависимости от изменени€ факторного признака на 1%:

Ё = a1∙.

ƒл€ определени€ параметров уравнений используетс€ метод наименьших квадратов, на основании которого строитс€ соответствующа€ система уравнений.

“еснота св€зи при линейной зависимости измер€етс€ с помощью линейного коэффициента коррел€ции:

r = ,

а при криволинейной зависимости с помощью коррел€ционного отношени€:

h = .

–асчет коэффициентов регрессии несколько осложн€етс€, если р€ды по исследуемым факторам сгруппированы, а св€зь криволинейна€.

≈сли зависимость между двум€ факторами выражаетс€ уравнением гиперболы

= a0 + ,

то система уравнений дл€ определени€ параметров a0 и a1 такова:

na0 + a1∑†= ∑y;

a0∑†+ a1∑†= ∑y.

ƒл€ определени€ параметров уравнени€ регрессии, выраженного степенной функцией , привод€т функцию к линейному виду: lg= lga0 + a1lgx, отсюда система уравнений дл€ определени€ параметров запишетс€:

n∙lga0 + a1∑lgx = ∑lgy;

lga0∑lgx + a1∑(lgx)2 = ∑lgy∙lgx.

«ависимость между трем€ и более факторами называетс€ множественной или многофакторной коррел€ционной зависимостью. Ћинейна€ св€зь между трем€ факторами выражаетс€ уравнением:

†= a0 + a1x + a2z,

а система нормальных уравнений дл€ определени€ неизвестных параметров a0, a1, a2 будет следующей:

na0 + a1∑x + a2∑z = ∑y;

a0∑x + a1∑x2 + a2∑zx = ∑yx;

a0∑z + a1∑xz + a2∑z2 = ∑yz.

“еснота св€зи между трем€ факторами измер€етс€ с помощью множественного (совокупного) коэффициента коррел€ции:

R = ,

где rij - парные коэффициенты коррел€ции между соответствующими факторами.

ƒл€ более углубленного анализа вычисл€ютс€ частные коэффициенты коррел€ции.

ƒисперсионный анализ св€зи. ѕри небольшом числе наблюдений исследовать вли€ние одного или нескольких факторных признаков на результативный можно, использу€ методы дисперсионного анализа. ƒисперсионный анализ проводитс€ расчетом дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой. ќбщую дисперсию называют дисперсией комплекса, межгрупповую - факторной, внутригрупповую - остаточной.

ƒисперсионный анализ заключаетс€ в сравнении факторной и остаточной дисперсий. ≈сли различие между ними значимо, то факторный признак, т.е. признак, положенный в основание группировки, оказывает существенное вли€ние на результативный. ѕри исследовании воздействи€ на результативный признак только одного факторного, т.е. однофакторного комплекса дисперсии вычисл€ютс€:

дисперси€ комплекса ;

факторна€ дисперси€ ;

остаточна€ дисперси€ ,

где n Ц 1, r Ц 1, n Ц r - соответствующие числа степеней свободы;

r - число уровней (групп).

Ќа основании дисперсий проводитс€ расчет критери€ ‘ишера Fp. ≈сли расчетное значение больше табличного, т.е. Fp > Fa, то существенность вли€ни€ факторного признака подтверждаетс€.

“ема 10. ¬ыборочное наблюдение

√лавными вопросами теории выборочного наблюдени€, требующими практического закреплени€ на основе решени€ задач и выполнени€ упражнений, €вл€ютс€:

- определение предела случайной ошибки репрезентативности дл€ различных типов выборочных характеристик с учетом особенностей отбора;

- определение объема выборки, обеспечивающего необходимую репрезентативность выборочной характеристики, с учетом особенностей отбора.

ќшибка репрезентативности, или разность между выборочной и генеральной характеристикой (средней, долей), возникающа€ в силу несплошного наблюдени€, в основе которого лежит случайный отбор, рассчитываетс€ как предел наиверо€тной ошибки. ¬ качестве уровн€ гарантийной веро€тности обычно беретс€ 0,954 или 0,997. “огда предел ошибки определ€етс€ величиной удвоенной или утроенной средней ошибки выборки: D = 2m при P = 0,954; D = 3m при P = 0,997, или в общем виде D = tm (t - коэффициент, св€занный с веро€тностью, гарантирующей результат).

¬еличина средней ошибки выборки различна дл€ отдельных разновидностей случайного отбора. ѕри наиболее простой системе - собственно-случайном повторном отборе - средн€€ ошибка определ€етс€ следующими формулами:

индивидуальный отбор:

m = †= ,

где σ2 - обща€ дисперси€ признака;

n - число отобранных единиц наблюдени€;

групповой (гнездовой, серийный) отбор:

m = †= ,

где δ2 - межгруппова€ дисперси€;

r - число отобранных групп (гнезд, серий) единиц наблюдени€.

ѕри практических расчетах ошибок репрезентативности необходимо учитывать следующее:

1. ¬место генеральной дисперсии используетс€ соответствующа€ выборочна€ дисперси€. “ак, вместо общей дисперсии доли в генеральной совокупности беретс€ обща€ дисперси€ частости:

†= w(1 Ц w) вместо †= pq.

2. ¬ случае бесповторного способа отбора (а также механического) следует иметь в виду поправки (K) к ошибке повторной выборки на бесповторность отбора:

K = †< 1 или K = < 1.

ќчевидно, что пользоватьс€ этой поправкой целесообразно лишь тогда, когда относительный объем выборки составл€ет заметную часть генеральной совокупности (не менее 10%, тогда K £ 0,95).

3. ѕри районированном отборе из типических групп единиц генеральной совокупности используетс€ средн€€ из частных (групповых) дисперсий. “ак, при индивидуальном отборе, пропорциональном размерам типических групп, имеем:

D = 2m = = †при P = 0,954,

где †- частна€ дисперси€ i-й группы;

ni - объем выборки в i-й группе.

ќпределение ошибок выборочных характеристик позвол€ет установить наиверо€тные границы нахождени€ соответствующих генеральных показателей:

дл€ средней: ,

где †- генеральна€ средн€€;

†- выборочна€ средн€€;

†- ошибка выборочной средней;

дл€ доли: p = w ± Dw,

где p - генеральна€ дол€;

w - выборочна€ дол€ (частость);

Dw - ошибка выборочной доли.

ѕример. — веро€тностью 0,954 нужно определить границы среднего веса пачки ча€ дл€ всей партии, поступившей в торговую сеть, если контрольна€ выборочна€ проверка дала следующие результаты (первые две графы табл. 10.1).

“аблица 10.1

–езультаты взвешивани€ ча€

¬ес, г (x)  оличество пачек (m) –асчетные графы
x¢m¢

(x¢)2

48 - 49 20 -1 2 -2 2
49 - 50 50 0 5 0 0
50 - 51 20 +1 2 2 2
51 - 52 10 +2 1 2 4
»того: 100 Ц 10 2 8

1. —редний вес пачки ча€ по выборке:

†= ´ K + x0 = †´ 1 + 49,5 = 49,7 г.

2. ¬ыборочна€ дисперси€ веса пачки ча€:

σ2 = = = 0,76.

3. —редн€€ ошибка выборочной средней:

= †= †= 0,087 г.

4. ѕредел дл€ ошибки с веро€тностью 0,954:

D = 2m = 0,174 г ї 0,2 г.

5. √раницы генеральной средней:

†= ± D = 49,7 ± 0,2 г.

“аким образом, с веро€тностью 0,954 можно утверждать, что вес пачки ча€ в среднем дл€ всей партии не более 49,9 г и не менее 49,5 г.

ќпределение объема выборки при заданной ее точности €вл€етс€ проблемой, обратной рассмотренной нами - определению ошибки выборки при данном ее объеме. ‘ормула объема выборки получаетс€ из соответствующей формулы предельной ошибки. “ак, получаем дл€ индивидуального бесповторного отбора:

n =;

группового бесповторного отбора:

r =.

ѕри решении задач на определение необходимого объема выборки следует иметь в виду, что вместо генеральной дисперсии определенного вида беретс€ ее оценка - примерное значение, полученное из того или иного источника. –ассмотрим следующий общий пример.

ѕример. Ќужно определить абсолютный и относительный объемы индивидуального отбора дл€ исследовани€ генеральной доли, чтобы ошибка частости с веро€тностью 0,954 не превышала 0,02, если выборка производитс€ из генеральной совокупности объема: а) 1000; б) 100000 единиц.

»спользу€ формулу n =, в которой полагаем t = 2 (гарантийна€ веро€тность равна 0,954), а pq = 0,25, имеем:

а) n = †= 714, или 71,4%;

б) n = †= 2439, или 2,44%.

“ема 11. «аконы распределени€

 онечной целью обработки информации методами математической статистика, если речь идет о больших выборках, €вл€етс€ получение закона распределени€ исследуемой случайной величины. Ёто св€зано с тем, что закон распределени€ €вл€етс€ фактически, тем аппаратом, который позвол€ет определить веро€тность по€влени€ (или, наоборот, непо€влени€) случайной величины в тот или иной период времени или веро€тность того, что случайна€ величина попадет в тот или иной интервал ее возможных значении. Ётот этап статистической обработки €вл€етс€ одним из наиболее важных, так как ошибка при выборе того или иного закона распределени€ приводит к ошибкам при дальнейшем решении практических задач.

≈сли проанализировать все этапы статистической обработки, то можно сделать вывод, что влекущими за собой наиболее существенные ошибки, а, следовательно, наиболее ответственными, €вл€ютс€ этапы, на которых решаютс€ следующие задачи:

1. ¬озможно ли объединение нескольких малых или средних выборок в одну.

2. ќтбрасывать или учитывать резко отличающиес€ результаты.

3. —праведливо ли сделанное предположение о законе распределени€ случайной величины.

–ассмотрим эти этапы более подробно.

1. “ак как дл€ установлени€ закона распределени€ необходимы большие выборки, то на практике часто встает вопрос об объединении нескольких выборок, кажда€ из которых мала дл€ решени€ поставленной задачи и получени€ одной общей выборки, удовлетвор€ющей предъ€вленным к ней требовани€м. ѕоэтому, что вообще свойственно дл€ статистической обработки, любое из неправильных решений (как положительное, так и отрицательное) по поводу объединени€ выборок приводит к нежелательным результатам, или к невозможности установить закон распределени€, если выборки не объедин€ютс€, или к неправильному выводу о характере закона распределени€.

ƒл€ решени€ этой задачи используют критерии, с помощью которых с разной формулировкой фактически даетс€ ответ на один и тот же вопрос: принадлежат или не принадлежат исследуемые выборки одной генеральной совокупности, то есть автоматически решаетс€ задача о возможности или невозможности их объединени€.  ак правило, все эти критерии основаны на сравнении выборочных характеристик (выборочных дисперсий или средних величин) между собой или с соответствующими генеральными характеристиками. ¬ большинстве случаев использование этих критериев предполагает нормальный или логарифмически-нормальный закон распределени€ дл€ каждой выборки. ѕри других же законах распределени€ эти критерии некорректны и их использование может привести к ошибочным результатам.

Ќаиболее используемыми €вл€ютс€ следующие критерии:

а) критерии, основанные на сравнении дисперсий: критерий , критерий ‘ишера (F = ), критерий ’артле€ (Fmax = ), критерий  очрена (Gmax = ), критерий Ѕартлета (χ2);

б) критерии, основанные на сравнени€х средних величин: критерий —тьюдента (t), критерий Z и другие.

ƒл€ всех критериев в качестве нулевой гипотезы (H0) выдвигаетс€ предположение о принадлежности выборки генеральной совокупности или об однородности выборок между собой.

2. ѕри наличии выборки, удовлетвор€ющей требовани€м относительно ее пригодности дл€ установлени€ закона распределени€ перед тем, как приступить к определению статистических характеристик, необходимо проверить, принадлежат ли к данной выборке ее члены, резко отличающиес€ от большинства данных, если таковые имеютс€. “ака€ проверка строго об€зательна, так как любое неверное решение в отношении резко отличающихс€ результатов приводит к искажению вида кривой закона распределени€ и к последующим ошибкам, о которых уже говорилось выше. ќписанна€ проверка также осуществл€етс€ с помощью соответствующих критериев: критери€ √руббса (дл€ малых выборок), критери€ »рвина и некоторых других. ¬ качестве нулевой гипотезы во всех случа€х принимаетс€ предположение о том, что резко выдел€ющиес€ результаты принадлежат данной выборке.

3. «аключительной и самой трудоемкой проверкой €вл€етс€ проверка гипотез о виде функции распределени€ или, что то же, о соответствии предполагаемого закона теоретического распределени€ эмпирическому. Ёта проверка осуществл€етс€ с помощью так называемых критериев согласи€. —уществуют критерии дл€ проверки соответстви€ как предполагаемому нормальному или логарифмически-нормальному закону распределени€, так и любому другому закону распределени€.

Ќаиболее используемыми при практических расчетах €вл€ютс€ следующие критерии:

а) критерий ѕирсона (χ2); он справедлив при больших объемах выборок и дл€ любых законов распределени€;

б) критерий  олмогорова-—мирнова (Du); этот критерий используетс€ дл€ проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределени€ любому теоретическому закону распределени€ с заранее известными параметрами, что накладывает ограничени€ на его использование. ¬ то же врем€ Du €вл€етс€ более мощным, чем критерий χ2;

в) критерий  рамера-ћизеса (w2); данный критерий используетс€ дл€ объемов выборок 50 £ n £ 200 и €вл€етс€ более мощным, чем χ2, однако, при его применении требуетс€ больший объем вычислений. ѕоэтому при n > 200 этот критерий целесообразно использовать только в тех случа€х, когда проверки гипотезы по другим критери€м не привод€т к безусловным результатам;

г) критерий Ўапиро-”илкса (W); он предназначен дл€ проверки гипотезы о нормальном или логарифмически нормальном законе распределени€ при ограниченном объеме выборки (n £ 50) и €вл€етс€ более мощным, чем другие критерии.

”крупненно пор€док проведени€ статистической обработки информации можно представить следующим образом: после решени€ вопроса об объеме выборки и принадлежности к ней резко отличающихс€ результатов, строитс€ гистограмма, рассчитываютс€ статистические характеристики исследуемой случайной величины, и устанавливаетс€ закон ее распределени€.

ѕри решении технических и экономических задач существует достаточно широкий круг законов распределени€, которым подчин€ютс€ те или иные процессы.   ним относ€тс€ законы ¬ейбулла, –еле€, экспоненциальный, гамма-распределени€, однако, самыми распространенными €вл€ютс€ нормальный (√аусса) и логарифмически-нормальный законы распределени€. ѕолучив математическое выражение закона распределени€, то есть соотношение, устанавливающее св€зь между возможными значени€ми случайной величины и соответствующими им веро€тност€ми, можно утверждать, что с веро€тностной точки зрени€, случайна€ величина описана полностью.

–аботу выполнил: Serk ћ√“” Ђ—танкинї 2003 год “ема 1. —татистическа€ сводка. √руппировка —татистическа€ сводка €вл€етс€ вторым этапом статистического исследовани€ после наблюдени€. ќна состоит в том, что первичные материалы, полученные

 

 

 

¬нимание! ѕредставленна€  урсова€ работа находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалась, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальна€  урсова€ работа по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

ѕохожие работы:

‘ормирование интереса к урокам математики
 ак писать математические тексты
ѕоверхности второго пор€дка
«олотое сечение
»сследование распределени€ температуры в тонком цилиндрическом стержне
ѕредмет и задачи статистики
“ранспортна€ задача линейного программировани€
—имметpи€ относительно окpужности
Ќовое объ€снение рел€тивистских €влений
—войства пространства с некоторыми компактифицированными измерени€ми

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru