Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»зучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных зан€ти€х по математике — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме ƒиплома

’ј ј—— »… √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌџ… ”Ќ»¬≈–—»“≈“ »ћ Ќ.‘.  ј“јЌќ¬ј

»Ќ—“»“”“ ≈—“≈—“¬≈ЌЌџ’ Ќј”  » ћј“≈ћј“» »

 ј‘≈ƒ–ј ћј“≈ћј“» » » ћѕћ

—ѕ≈÷»јЋ№Ќќ—“№ 010100 Ц ћј“≈ћј“» ј

»зучение элементов современной

алгебры, на примере подгрупп

симметрических групп, на

факультативных зан€ти€х по

математике

ƒипломна€ работа

—тудент-дипломник _________________________________________

Ќаучный руководитель ______________________________________

–ецензент _________________________________________________

Ђƒопустить к защитеї

«ав. кафедрой _________

Ђ___ї__________ 2000 г.

јбакан, 2000

ќ√Ћј¬Ћ≈Ќ»≈

¬ведение ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 04

√лава 1. ѕодгруппы симметрических групп ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 08

†† 1.1. ќсновные пон€ти€ и определени€ ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 09

†† 1.2. “еоремы о подгруппах ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 10

†† 1.3. «накопеременна€ группа ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 14

†† 1.4. “еорема Ћагранжа ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 15

†† 1.5. —ледстви€ из теоремы Ћагранжа ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 18

†† 1.6. «адачи ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 19

√лава 2. »спользование элементов современной алгебры на

†† факультативных зан€ти€х ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 29

†† 2.1. Ёлементы современной алгебры, как средство раз-

††††† вити€ абстрактного мышлени€ учащихс€ старших

††††† классов ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 29

††††† 2.1.1. ћышление и его развитие ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 29

††††† 2.1.2. ќсобенности формировани€ мышлени€ в старшем

†††††††† школьном возрасте ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 31

††††† 2.1.3. Ќеобходимость развити€ мышлени€ старшеклас-

†††††††† сников в процессе обучени€ ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 33

††††† 2.1.4. –азвитие абстрактного мышлени€ учащихс€

†††††††† старших классов средствами современной алгебры† 34

†† 2.2. »зучение элементов теории групп на факультатив-

††††† ных зан€ти€х по математике ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 37

††††† 2.2.1. –оль факультативов в процессе обучени€ ма-

†††††††† тематике ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 37

††††† 2.2.2. ’арактерные особенности факультативных за-

†††††††† н€тий по математике ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 39

††††† 2.2.3. Ёлементы теории групп на факультативных

†††††††† зан€ти€х ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 42

†††††††† 2.2.3.1. ÷елесообразность введени€ элементов

††††††††††† теории групп в программу факультативных

††††††††††† курсов ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 42

†††††††† 2.2.3.2. ѕрограмма и содержание зан€тий факуль-

††††††††††† тативного курса ЂЁлементы современной ал-

††††††††††† гебрыї ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 43

†† 2.3. ќрганизаци€ и результаты экспериментальной ра-

††††† боты по внедрению в школьное обучение факульта-

††††† тивного курса ЂЁлементы современной алгебрыї ЕЕЕЕЕ 53

«аключение ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 59

Ћитература ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 60

ѕриложени€ ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ 63

¬¬≈ƒ≈Ќ»≈

ћатематическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, €вл€етс€ важнейшим компонентом общего образовани€ и общей культуры современного человека.

¬ течение многих столетий математика €вл€етс€ неотъемлемым элементом системы общего образовани€. ќбъ€сн€етс€ это уникальностью роли учебного предмета Ђћатематикаї в формировании личности. ќбразовательный и развивающий потенциал математики огромен. ¬ современном обучении математика занимает весьма значительное место.

»зучение основ математики в современных услови€х становитс€ все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколени€. ¬ насто€щее врем€ внимание к школьному математическому образованию усиливаетс€ [9], [14].

—одержание школьного курса математики и методика его преподавани€ Ц извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. „ему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые посто€нно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. » это неизбежно, поскольку непрерывно пополн€ютс€ наши научные знани€ и подходы к объ€снению окружающих нас €влений. Ќесомненно, что содержание школьного преподавани€ должно измен€тьс€ с процессом науки, несколько отстава€ от него и дава€ возможность новым научным иде€м и концепци€м прин€ть приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. ѕериодическое обновление содержани€ школьного курса математики Ц необходимый элемент развити€ общего образовани€ [1], [4], [19], [20].

—овершенно €сно, что начальное и среднее математическое образование со своими неизменными программами и методами полностью оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, от ее приложений. —овременна€ школьна€ программа по математики сложилась в прошлом веке. ќна катастрофическим образом отстает от требований современной жизни.

Ѕурное развитие всех отраслей техники и св€занный с этим новый этап в развитии математики как науки начинает насто€тельно вли€ть на школу. Ќаступило врем€ серьезного пересмотра содержани€ школьного обучени€, причем начать следует с критического анализа материала программы сложившегос€ в насто€щее врем€ школьного курса математики. Ќужно отметить, что с точки зрени€ новых требований в школе наша действующа€ программа по математике содержит много такого, что не имеет серьезного теоретического и практического значени€. ¬ школе удел€етс€ слишком много внимани€ факторам и методам, не имеющим значени€ дл€ практической де€тельности в любой области [20].

ћатематика, действительно полезна€ в насто€щее врем€, - это современна€ математика. ќна имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам современных детей. ѕоэтому, особенно назрела необходимость внедрени€ в школьное обучение элементов современной математики.

Ќа наш взгл€д, наиболее целесообразным €вл€етс€ введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Ќачавшийс€ в нашем веке процесс алгебраизации математики не прекращаетс€, а это вызывает упорные попытки введени€ в школьное математическое образование основных алгебраических пон€тий. ≈стественно, что здесь на первый план выдвигаетс€ теори€ групп, во-первых, ввиду той фундаментальной роли, которую группы играют в современной математике, во-вторых, ввиду относительной простоты этого пон€ти€. ћатематическа€ глубина и необычайно широка€ сфера применени€ теории групп сочетаютс€ с простотой ее основных положений Ц пон€тий группы, целый р€д важных теорем можно сформулировать и доказать, облада€ начальными представлени€ми в области теории множеств. ѕоэтому теори€ групп как нельз€ лучше подходит дл€ того, чтобы показать школьникам образец современной математики [3], [7].

 роме того, изучение элементов теории групп полезно дл€ школьников, способствует их интеллектуальному росту, про€вл€ющемус€ в развитии и обогащении различных сторон их мышлени€, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихс€ интереса к математике, к науке.

¬ св€зи с этим проблема нашего исследовани€ заключаетс€ в разработке и апробации факультативного курса Ђэлементы современной алгебры дл€ учащихс€ старших классов, обоснование возможности и целесообразности внедрени€ элементов современной алгебры в школьное математическое образование.

÷ель исследовани€ Ц вы€вление возможностей введени€ элементов современной алгебры в программу факультативных курсов дл€ учащихс€ 9-10-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного учебного материала и вли€ние его на развитие абстрактного мышлени€ школьников.

ќбъект исследовани€ Ц элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.

ѕредмет исследовани€ Ц теори€ групп на факультативных зан€ти€х и вли€ние этой теории на развитие абстрактного мышлени€ школьников.

√ипотеза исследовани€ Ц введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики дл€ учащихс€ старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышлени€, если осуществл€етс€ систематическа€ и планомерна€ работа с учащимис€.

¬ соответствии с целью и гипотезой в ходе исследовани€ решались следующие задачи:

1) на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использовани€ элементов современной алгебры на факультативных зан€ти€х;

2) провести психолого-педагогический анализ развити€ абстрактного мышлени€ учащихс€ старших классов;

3) разработать в рамках факультативного курса ЂЁлементы современной алгебрыї зан€ти€ по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї, а также разработать программу небольшого факультативного курса ЂЁлементы теории групп. —имметрические группыї;

4) экспериментально проверить эффективность внедрени€ в программу факультативных курсов по математике элементов теории групп.

†ћетоды исследовани€: анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного материала дл€ использовани€ на факультативных зан€ти€х; осуществление педагогического эксперимента.

Ёкспериментальна€ база исследовани€ Ц национальна€ гимнази€ им. Ќ.‘.  атанова (г. јбакан, –еспублика ’акаси€).

–езультаты исследовани€ обсуждались на семинарах, доказывались на научно-практической конференции Ђ атановские чтени€ї в апреле 2000 года.

—труктура дипломной работы. –абота состоит из введени€, двух глав, заключени€, списка использованной литературы и приложений.

√Ћј¬ј 1. ѕќƒ√–”ѕѕџ —»ћћ≈“–»„≈— »’ √–”ѕѕ

¬ жизни современного общества очень важную роль играет математика. ¬ насто€щее врем€ математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики. ќсобенно велика роль современной математики.

ќдной из наиболее важных и быстро развивающихс€ областей современной математики €вл€етс€ абстрактна€ алгебра.

¬ центре внимани€ современной абстрактной математики не только такие алгебраические структуры, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, и их далеко идущие обобщени€, но и объекты новой природы [27].

ќдним из основных разделов современной алгебры €вл€етс€ теори€ групп. √руппы Ц это один из основных типов алгебраических структур.

ѕонадобилась работа нескольких поколений математиков, зан€вша€ в общей сложности около ста лет, прежде чем иде€ группы вы кристаллизировалась с ее сегодн€шней €сностью.

“еори€ групп начала оформл€тьс€ в качестве самосто€тельного раздела математики в конце XVIII века. ¬ течение первый дес€тилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимани€. Ќо затем, около 1830 года, благодар€ работам √алуа и јбел€ о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое вли€ние на развитие всей математики. — тех пор основные пон€ти€ теории групп стали детально исследоватьс€ [3].

¬ насто€щее врем€ теори€ групп €вл€етс€ одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применени€ как в самой математике, так и за ее пределами Ц в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других област€х математики и естествознани€.

ѕон€тие группы тесно св€зано с пон€тием подгруппы. —лово Ђподгруппаї означает Ђгруппа внутри группыї.

ѕон€тие подгруппы €вл€етс€ основным в теории групп. ¬се содержание теории св€зано в большей или меньшей степени с вопросами о наличии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами, о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех или иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгрупп в группе, о способах построени€ группы по ее подгруппам.  роме того, с помощью подгрупп можно описать внутреннюю структуру некоторых групп. ¬ыделение тех или иных специальных типов групп также св€зано преимущественно с пон€тием подгруппы. ѕоэтому подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории группы [3], [8].

1.1. ќ—Ќќ¬Ќџ≈ ѕќЌя“»я » ќѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»я

ќпределение: множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную пор€дка n!. Ёта группа называетс€ симметрической группой n-й степени и обозначаетс€ Sn.

ќпределение: подмножество Ќ множества Sn называетс€ подгруппой группы Sn, если оно €вл€етс€ группой относительно действи€ умножени€ перестановок.

“акие подмножества играют важную роль дл€ изучени€ строени€ группы Sn.

—имметрическа€ группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. ѕолностью описать все подгруппы группы Sn удаетс€ лишь дл€ небольших n, а дл€ n больших изучаютс€ лишь общие свойства таких подгрупп.

„асто подгруппы симметрической группы Sn называют просто группами перестановок. ¬ частности, само множество Sn также €вл€етс€ своей подгруппой, то есть группа Sn будет подгруппой самой себ€.  роме того, множество состо€щее лишь из одного единичного элемента, также €вл€етс€ подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E-1=E. “ака€ подгруппа называетс€ единичной. ƒл€ каждой другой подгруппы Ќ группы Sn выполн€етс€ неравенство: 1<|H|

≈динична€ подгруппа и вс€ группа называютс€ несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называютс€ собственными.

¬ основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.

1.2. “≈ќ–≈ћџ ќ ѕќƒ√–”ѕѕј’

ƒл€ каждого подмножества множества Sn, которое €вл€етс€ подгруппой, должны выполн€тьс€ все требовани€ определени€ группы. Ќо провер€ть все эти требовани€ не нужно, так как справедлива следующа€ теорема о подгруппах.

“еорема: подмножество Ќ группы Sn, которое содержит по меньшей мере одну перестановку, €вл€етс€ подгруппой группы Sn тогда и только тогда, когда:

1) вместе с каждыми двум€ элементами †в него входит их произведение

2) если

ƒоказательство.

Ќеобходимость.

ƒействительно, если Ќ Ц подгруппа группы Sn, то она замкнута относительно действи€ упражнени€ перестановок, которые принадлежат Ќ, то есть выполн€етс€ условие 1).  аждый элемент из Ќ имеет обратный, следовательно, выполн€етс€ условие 2).

ƒостаточность.

ѕусть дл€ множества Ќ перестановок выполн€ютс€ услови€ 1) и 2). ѕроверим, имеет ли множество Ќ все свойства группы. ”словие 1) означает, что множество Ќ замкнуто относительно действи€ умножени€ своих элементов следовательно, выполн€ютс€ первое требование определени€ группы. јссоциативность действи€ умножени€ перестановок Ќ имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Ќ) имеет такое свойство. “ождественна€ перестановка также должна принадлежать множеству Ќ. ƒействительно, Ќ содержит хоть одну перестановку, например Sn.

“еорема доказана.

ѕример 1.

ѕусть Ќ Ц множество перестановок

ѕроверим, €вл€етс€ ли Ќ подгруппой группы S4.

»меем:

—ледовательно, произведение каждых двух элементов множества Ќ €вл€етс€ элементов того же множества, то есть дл€ Ќ выполн€етс€ и условие 1) упом€нутой выше теоремы.

“аким образом, подмножество Ќ €вл€етс€ подгруппой группы S4.

ѕример 2.

ѕусть “ Ц множество перестановок

ѕроверим, €вл€етс€ ли “ подгруппой группы S4.

ќказываетс€, что множество “ не €вл€етс€ подгруппой группы S4, так как дл€ него не выполн€етс€ ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. ƒействительно,

—ледует отметить, что сформулированна€ выше теорема справедлива дл€ бесконечных групп. ¬ случае конечных групп проверка услови€ 2) €вл€етс€ излишней, то есть дл€ конечных групп справедлива следующа€ теорема о подгруппах.

“еорема: пусть †- группа, Ќ - ее† конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножени€. “огда Ќ Ц подгруппа группы G.

ƒоказательство.

ƒокажем замкнутость Ќ относительно существовани€ обратного элемента.

¬озьмем произвольный элемент †и

ѕусть †- все эти числа принадлежат Ќ (так как Ќ замкнуто относительно умножени€ по условию). “ак как множество Ќ конечно, то все эти числа различны быть не могут.

«начит, существуют †(в случае †доказательство проводитс€ аналогично). “огда †и

—ледовательно, †- обратный дл€ †получили, что G.

“еорема доказана.

Ќам известно, что симметрическа€ группа Sn €вл€етс€ конечной. ѕоэтому дл€ того чтобы подмножество Ќ группы Sn €вл€лось подгруппой группы Sn, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Ќ также принадлежало Ќ.

1.3. «Ќј ќѕ≈–≈ћ≈ЌЌјя √–”ѕѕј

ќсобенный интерес представл€ет множество An всех четный перестановок на множестве из n символов. ясно, что это подмножество симметрической группы Sn. ”тверждаетс€, что An €вл€етс€ подгруппой группы Sn. „тобы доказать это, проверим, что An удовлетвор€ет двум услови€м, характеризующим подгруппу:

1)   замкнутость.

≈сли р1 и р2 Ц перестановки из An, представимые в виде произведений n1 и n2 транспозиций соответственно, то их произведение †можно записать с помощью †транспозиций. ≈сли n1 и n2 Ц четные числа, то и n1+n2 четно, откуда можно заключить, что перестановка †четна€ и, следовательно, эта перестановка принадлежит An.

2)   обратимость.

ѕерестановка р имеет обратную р-1 (в группе Sn); р*р-1=≈ можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку ≈ Ц четна€ перестановка. «начит, если р Ц четна€ перестановка, то р-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы An есть обратный в An.

—ледовательно, дл€ подмножества An выполн€ютс€ два услови€ теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не провер€ть, так как Sn Ц конечна€ группа). ѕоэтому An €вл€етс€ подгруппой симметрической группы Sn. ѕодгруппа An группы Sn называетс€ знакопеременной группой.

“еорема: пор€док группы An равен

ƒоказательство.

ѕусть а Ц транспозици€ из симметрической группы n). ”множим каждый элемент группы Sn слева на а=(12). ¬ результате снова получим множество всех элементов из Sn и ни один из них не повтор€етс€ дважды. Ќо произведение любой четной перестановки из Sn и элемента (12) €вл€етс€ нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) €вл€етс€ четной перестановкой. ћножество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаютс€ одно на другое. Ёто возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. —ледовательно, пор€док группы An равен

“еорема доказана.

Ёта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

1.4. “≈ќ–≈ћј Ћј√–јЌ∆ј

ѕусть Ќ и G Ц группы перестановок, причЄм Ќ €вл€етс€ подгруппой G. ¬ теории групп существует теорема, доказанна€ Ћагранжем, устанавливающа€ св€зь между пор€дками групп Ќ и G. Ёта теорема очень часто примен€етс€ в теории групп.

“еорема Ћагранжа: если Ќ Ц подгруппа группы G, то ее пор€док €вл€етс€ делителем пор€дка G.

ƒоказательство.

ѕусть ≈, а1, а2, Е, аn-1 Ц все перестановки, содержащиес€ в группе G, †- все перестановки из Ќ (то есть G, то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что ЌG (Ќ Ц собственна€ подгруппа G). ¬ силу этого предложени€ существует перестановка †така€, что

†††††††††††††††††††††††††††††† (1)

¬се перестановки р€да (1) различны: если бы дл€ каких-то i, j имело место равенство i имело место включение †дл€ какого-то j. »з этого равенства имеем

≈сли перестановками группы Ќ и р€да (1) исчерпаны все перестановки из G, то |G|=2|H|, и все доказано. ¬ противном случае найдетс€ така€ перестановка †и †не содержитс€ в р€де (1). ќпределим дл€ нее р€д перестановок.

†††††††††††††††††††††††††††††† (2)

јналогично провер€етс€, что:

1)   все перестановки р€да (2) различны;

2)   они не содержатс€ в Ќ;

3)   ни одна из них не встречаетс€ среди перестановок р€да (1).

≈сли перестановками из подгруппы Ќ и р€дов (1) и (2) исчерпываютс€ все элементы группы G, то |G|=3|H|, и все доказано.

¬ противном случае продолжаем процесс выбора перестановок †и построени€ р€дов вида (1) и (2) дальше. “ак как группа G конечна€, то на каком-то, например, на k-м шаге все перестановки из G будут исчерпаны. »ными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

...,

...,

...,

...,

...,

...,

...,

...,

...,

при этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. ѕоскольку общее число элементов в таблице равно n (пор€док группы G), а число элементов в каждой строке равно m (пор€док группы Ќ), то имеем равенство m €вл€етс€ делителем n.

“еорема доказана.

„исло k называют индексом подгруппы Ќ в группе G и обозначают [G:H]. »з доказательства теоремы Ћагранжа мы получаем, что имеет место равенство |G|=|H|[G:H].

“ак как пор€док циклической подгруппы, порожденной перестановкой G Ц делитель |G|.

“еорема Ћагранжа позвол€ет существенно упростить решение задачи описани€ всех подгрупп данной группы. Ќапример, собственные подгруппы из симметрической группы S3 могут состо€ть из двух и трех перестановок (делители числа 3!=6), поэтому не нужно непосредственно провер€ть €вл€ютс€ ли подгруппами группы S3 подмножество, состо€щее из 4 или 5 перестановок. ј ведь эта проверка длинна€, так как есть †подмножество из S3, состо€щие из 4 или 5 элементов. “аким образом, даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Ћагранжа.

1.5. —Ћ≈ƒ—“¬»я »« “≈ќ–≈ћџ Ћј√–јЌ∆ј

—формулируем некоторые непосредственные следстви€ из теоремы Ћагранжа о пор€дках подгрупп.

“еорема: если пор€док группы G есть простое число, то:

1)   группа G не имеет собственных подгрупп;

2)   группа G €вл€етс€ циклической.

ƒоказательство.

”тверждение 1) следует непосредственно из теоремы Ћагранжа и определени€ простого числа.

ƒл€ доказательства утверждени€ 2) обозначим через †любой отличный от ≈ элемент группы G простого пор€дка.

≈сли пор€док †равен n, то †и n>1. ћножество n-1>0, составл€ет циклическую группу n-го пор€дка в группе G, так что Ќ Ц подгруппа данной группы G простого пор€дка. ѕо теореме Ћагранжа пор€док n этой подгруппы €вл€етс€ делителем числа р. “ак как n=p. Ќо Ќ Ц подгруппа группы G. —ледовательно, Ќ совпадает с группой G. Ёто доказывает утверждение 2).

“еорема доказана.

»з теоремы Ћагранжа следует только то, что если в группе G есть подгруппа Ќ, то пор€док группы G кратен пор€дку группы Ќ. Ќо дл€ нас остаетс€ открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: если пор€док группы G равен g, а h Ц делитель числа g, то об€зательно ли группа G имеет подгруппу пор€дка h? ƒл€ доказательства того факта, что это обратное утверждение не верно можно использовать знакопеременную группу ј4. Ёта группа имеет пор€док 12, но в ней нет подгрупп пор€дка 6. “аким образом, утверждение, обратное к теореме Ћагранжа, не верно.

ќднако некоторое достаточное условие дл€ того, чтобы группа G пор€дка g имела подгруппу пор€дка h, где h Ц делитель числа g, указываетс€ в следующей теореме —илова.

“еорема —илова: пусть G Ц группа пор€дка g и h Ц делитель числа g; если h=pn, где р Ц простое число, а n Ц положительное целое число, то G содержит подгруппу пор€дка h.

“еорема —илова существенно облегчает процесс нахождени€ подгрупп некоторой группы. “ак, например, пор€док группы ј4 равен 12; простыми делител€ми числа 12 €вл€ютс€ 2 и 3. ѕо теореме —илова мы можем утверждать, что знакопеременна€ группа ј4 содержит подгруппы пор€дка 2, 3 и 4=22, но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе пор€дка 6.

»сход€ из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Ћагранжа и непосредственные следстви€ из этой теоремы играют важную роль в теории групп. ќни очень часто примен€ютс€ как в самой теории групп, так и во всех ее приложени€х.

1.6. «јƒј„»

1. ќписать все подгруппы симметрической группы S3.

–ешение.

ѕор€док группы S3 равен 3!=6. из теоремы Ћагранжа следует, что собственные подгруппы из S3 могут состо€ть из двух или трех перестановок. —ледовательно, подмножества S3, состо€щие из четырех или п€ти перестановок, подгрупп не образуют.

1) ќпишем сначала подгруппы, которые состо€т из двух перестановок. ≈сли Ќ Ц така€ подгруппа, то в нее входит элемент ≈ и еще какой-то другой элемент

Ёлемент обратный к †не может совпадать с ≈, поэтому

“аким образом, существует не больше трех подгрупп второго пор€дка группы S3. эти подгруппы легко наход€тс€ с помощью таблицы  эли. Ёто будут такие подмножества: S3, так как дл€ каждого из них выполн€етс€ условие теоремы о подгруппах дл€ конечных групп.

ƒл€ подмножества ј:

ƒл€ подмножества ¬:

ƒл€ подмножества —:

2) “еперь опишем подгруппы, которые состо€т из трех перестановок. ≈сли †- така€ подгруппа, то перестановки †и †должны иметь пор€док 3. действительно, если одна из них, например -1. ѕусть †и †—ледовательно, получили противоречие, так как у нас †и †различны. «начит, †тоже будет иметь пор€док 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго пор€дка €вл€етс€ перестановка третьего пор€дка. Ќапример,

—ледовательно, произведение †не принадлежит G и G тогда не €вл€етс€ подгруппой.

“аким образом, перестановки †и †должны иметь пор€док 3, то есть

 ак видим, произведение каждых двух элементов множества G €вл€етс€ элементом из G, следовательно, выполн€етс€ условие теоремы о подгруппах дл€ конечных групп. «начит, подмножество G множества S3 €вл€етс€ подгруппой группы S3.

“аким образом, группа S3 имеет шесть разных подгрупп:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

–езультат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет пор€док n, то она имеет и n различных подгрупп. „тобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.

2. ќпишите все подгруппы симметрической группы S4.

–ешение: пор€док группы S4 равен 4!=12. ѕо теореме Ћагранжа, собственные подгруппы из S4 могут состо€ть из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. ѕо теореме —илова можно лишь утверждать, что группа S4 содержит подгруппы пор€дка 2, 3, 4=22, 8=23, но ничего не можем сказать о подгруппах пор€дка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп пор€дка 6 и 12.

1) ќпишем подгруппы, состо€щие из двух перестановок.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2) ќпишем подгруппы, состо€щие из трех перестановок.

10.

11.

12.

13.

3) ќпишем подгруппы, состо€щие из четырех перестановок.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

4) ќпишем подгруппы, состо€щие из шести перестановок.

21.

22.

23.

24.

5) ќпишем подгруппы, состо€щие из восьми перестановок.

25.

26.

27.

6) ќпишем подгруппы, состо€щие из двенадцати перестановок.

28.

7) ќпишем несобственные подгруппы группы S4.

29.

30.

¬се описанные выше подмножества действительно €вл€ютс€ подгруппами, так как дл€ каждого из них выполн€етс€ условие теоремы о подгруппах дл€ конечных групп.  роме того, в группе S4 имеютс€ подгруппы 6-го и 12-го пор€дка.

—ледовательно, симметрическа€ группа S4 имеет 30 разных подгрупп, а пор€док группы S4 равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно пор€дку этой группы, оказалось не верным.

3. ƒоказать, что подмножество †группы S4 €вл€етс€ коммуникативной подгруппой. —оставить таблицу умножени€ подгруппы Ќ.

–ешение.

 оммуникативной подгруппой называетс€ подгруппы с коммуникативной операцией.

ќпераци€ на множестве Ќ называетс€ коммуникативной, если дл€ любых двух элементов h1 и h2 из Ќ выполн€етс€ условие: h1*h2=h2*h1.

ѕерестановки †и †коммутируют, если

ѕусть

—ледовательно, произведение каждых двух элементов множества Ќ €вл€етс€ элементом того же множества, то есть подмножество Ќ группы S4 €вл€етс€ подгруппой группы S4, причем перестановки коммутируют. «начит, Ќ Ц коммуникативна€ подгруппа.

—оставим таблицу умножени€ подгруппы Ќ.

*

4. ќпишите все подгруппы S4, которые состо€т из трех перестановок. —колько их?

–ешение.

1) –ассмотрим подгруппы, состо€щие из трех перестановок второго пор€дка.

≈сли Ќ Ц така€ подгруппа, то она состоит из следующих элементов:

≈сли †- перестановка второго пор€дка, то

ѕусть ††и †должны быть различными. —ледовательно, †- перестановка второго пор€дка.

Ќо легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго пор€дка €вл€етс€ элемент третьего пор€дка. «начит, при таких предположени€х произведение †не принадлежит Ќ и Ќ не €вл€етс€ подгруппой.

—ледовательно, в группе S4 не существует подгрупп, состо€щих из трех перестановок второго пор€дка.

2) –ассмотрим подгруппы, состо€щие из трех перестановок третьего пор€дка.

ѕусть †- така€ подгруппа. ≈сли †- перестановка третьего пор€дка, то есть †различные, а †тоже третьего пор€дка. Ќепосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего пор€дка €вл€етс€ элемент третьего пор€дка, то есть произведение †принадлежит G и G €вл€етс€ подгруппой. ¬ нашем случае существует 4 подгруппы, состо€щие из трех перестановок третьего пор€дка:

1 -

2 -

3 -

4 -

3) –ассмотрим подгруппы, которые состо€т из трех перестановок четвертого пор€дка.

ѕусть †- така€ подгруппа. ≈сли †- перестановка четвертого пор€дка, то есть †различные. “огда получаетс€, что в подгруппе ћ должны содержатьс€ четыре перестановки: †не может быть четвертого пор€дка.

—ледовательно, симметрическа€ группа S4 содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.

5.  ака€ из подгрупп симметрической группы S3: †будет знакопеременной.

–ешение.

«накопеременна€ группа јn имеет пор€док † знакопеременна€ группа ј3 имеет пор€док G, так как ее пор€док равен 3. ѕроверим, €вл€ютс€ ли перестановки подгруппы G четными. ѕо определению, перестановка называетс€ четной, если она раскладываетс€ в произведение четного числа транспозиции.

(123)=(12)*(13), то есть (123) Ц четна€ перестановка

(132)=(13)*(12), то есть (132) Ц четна€ перестановка

—ледовательно, подгруппа G группы S3 €вл€етс€ знакопеременной.

”тверждение: если G Ц группа пор€дка 2n и Ќ Ц ее подгруппа пор€дка n, то Ќ будет нормальной подгруппой группы G.

”тверждение: знакопеременна€ группа јn €вл€етс€ нормальной подгруппой симметрической группы Sn.

6. ƒокажите, что группа ј4 не имеет подгрупп пор€дка 6.

ƒоказательство.

≈сли группа ј4 обладает подгруппой пор€дка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее пор€док равен половине пор€дка группы ј4. Ќо, так как люба€ нормальна€ подгруппа группы ј4 содержит только элементы пор€дка 2, то максимальный возможный пор€док подгруппы ј4 равен 4. —ледовательно, группа ј4 не имеет подгрупп пор€дка 6.

7. ƒокажите, что знакопеременна€ группа јn (a b c) длины 3.

ƒоказательство.

√руппа јn порождаетс€ произведени€ми пар транспозиций. ≈сли две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. ≈сли они имеют одну общую букву, как, например, (a b) и (a c), то (a b)*(a c)=(a b c). ≈сли они† не† имеют общих букв, то (a b)*(c d)=(a b)*(a c)*

*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). «начит, знакопеременна€ группа јn, порождаетс€ всеми циклами длины 3.

√Ћј¬ј 2. »—ѕќЋ№«ќ¬јЌ»≈ ЁЋ≈ћ≈Ќ“ќ¬ —ќ¬–≈ћ≈ЌЌќ… јЋ√≈Ѕ–џ

Ќј ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќџ’ «јЌя“»я’ ¬ Ў ќЋ≈

2.1. ЁЋ≈ћ≈Ќ“џ —ќ¬–≈ћ≈ЌЌќ… јЋ√≈Ѕ–џ,  ј  —–≈ƒ—“¬ќ –ј«¬»“»я

јЅ—“–ј “Ќќ√ќ ћџЎЋ≈Ќ»я ”„јў»’—я —“ј–Ў»’  Ћј——ќ¬

2.1.1. ћџЎЋ≈Ќ»≈ » ≈√ќ –ј«¬»“»≈

–азвитие мышлени€ школьников €вл€етс€ одной из главных задач обучени€, так как высока€ результативность обучени€ школьников достигаетс€ прежде всего тогда, когда про€вл€етс€ должна€ забота о развитии мышлени€ учащихс€ [24].

ћышление €вл€етс€ продуктом исторического развити€ общественной практики, особой теоретической формой человеческой де€тельности. — точки зрени€ психологии, мышление Ц это специально обусловленный, неразрывно св€занный с речью психический процесс поисков и открыти€ существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражени€ действительности в ходе ее анализа и синтеза [23].

 ритерий истинности мышлени€ Ц общественна€ практика. ќна служит также той основой, на которой стро€тс€ логические законы и правила. ѕоэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. –азвитое мышление тесно св€зано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли.

¬ задачи мышлени€ входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполн€ть функции друг друга в зависимости от обсто€тельств и времени.

–азвитие мышлени€ Ц это изменени€ его содержани€ и форм, которые образуютс€ в процессе познавательной де€тельности ребенка. ¬ психологии обычно рассматриваютс€ три вида мышлени€: 1) практически-действенное, 2) нагл€дно-образное и 3) словесно-логическое. —амым ранним (у ребенка до 3 лет) €вл€етс€ практически-действенное. ¬ 4-7 лет развиваетс€ нагл€дно-образное. ¬ первые годы обучени€ в школе происходит развитие словесно-логического (пон€тийного) мышлени€. ” школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышлени€ становитс€ особенно важным.

¬ процессе развити€ мышление предшествующий вид не отбрасываетс€ последующим.  аждый вид продолжает и дальше развиваетс€ и совершенствоватьс€.

“аким образом, развитие мышлени€ Ц это не проста€ смена видов и форм мышлени€, а их изменение, совершенствование в ходе усвоени€ все более абстрактной и обобщенной информации [23], [24].

–азвивать мышление Ц это значит:

1) развивать все виды и формы мышлени€ и стимулировать процесс перерастани€ их из одних в другие;

2) формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);

3) развивать умени€: выдел€ть существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные св€зи и отношени€ вещей и €влений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и провер€ть их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключени€; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и† обоснованно;

4) вырабатывать умени€ осуществл€ть перенос операций и приемов мышлени€ из одной области в другую; предвидеть развитие €влений и делать обоснованные выводы;

5) стимулировать процесс перехода от мышлени€, основанного на формальной логике, к мышлению, основанному на диалектической логике; совершенствовать умени€ и навыки по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и внеучебной познавательной де€тельности учащихс€.

”казанные компоненты тесно взаимосв€заны.

ќсобо подчеркиваетс€ значение мыслительных операций, которые лежат в основе любого из этих компонентов: формулиру€ и совершенству€ их у учащихс€, мы тем самым способствуем развитию их мышлени€ вообще.

“аким образом, под развитием мышлени€ учащихс€ в процессе обучени€ понимаетс€ формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышлени€, выработка умений и навыков по применению законов мышлени€ в познавательной и учебной де€тельности, а также умений осуществл€ть перенос приемов мыслительной де€тельности из одной области знаний в другие [23].

2.1.2. ќ—ќЅ≈ЌЌќ—“» ‘ќ–ћ»–ќ¬јЌ»я ћџЎЋ≈Ќ»я

¬ —“ј–Ў≈ћ Ў ќЋ№Ќќћ ¬ќ«–ј—“≈

¬ насто€щее врем€ особое внимание удел€етс€ развитию мышлени€ старшеклассников. ѕроизводительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитани€ предъ€вл€ют к учащимс€ серьезные требовани€. ” них вырабатываетс€ активна€ жизненна€ позици€, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаютс€ навыки трудовой и учебно-познавательной де€тельности. Ѕолее сложные содержание и методы обучени€ старшеклассников требуют от них и более высокого уровн€ самосто€тельности, активности, организованности, умений прин€ть на практике приемы и операции мышлени€. –езко возрастает потребность в самоконтроле и самовоспитании, в знани€х своих способностей и возможностей их реализации, развиваетс€ инициатива. ћышление становитс€ более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приемами умственной де€тельности моделируютс€ старые, освоенные на предыдущих ступен€х обучени€.

ќвладение высшими формами мышлени€ способствует выработке потребности в интеллектуальной де€тельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению примен€ть ее на практике.

ƒл€ старшеклассников важна значимость самого учени€, его задач, целей, содержани€ и методов. »зменение значимости учени€ оказывает решающее вли€ние на отношение ученика не только к учебе, но и к самому себе. —таршеклассник про€вл€ет углубленный интерес к самому себе, к своему мышлению. Ёто во многом способствует развитию таких качеств, как наблюдательность, избирательность, критичность. »змен€ютс€ и мотивы учени€, так как они приобретают дл€ старшеклассников важный жизненный смысл. ’арактерно также неуклонное возрастание сознательности, усиление роли обобщений и абстракций в мыслительной де€тельности: старшеклассники понимают общее значение конкретных фактов, понимают, что конкретный образ выступает не только как факт, вз€тый сам по себе, но и как выразитель общего. –ечь идет здесь о понимании св€зи между отдельными, особенным и общим, котора€ лежит в основе познавательной де€тельности человека.

¬ основе развивающихс€ способностей человека лежит активность и саморегул€ци€. ѕотребность в саморегул€ции, то есть в правлении и развитии личности, - важна€ особенность старшеклассников. ѕсихологи утверждают, что старшеклассникам доступно управление своими психическими процессами и действи€ми, поэтому они не только про€вл€ют активность в интеллектуальной сфере, анализируют те или иные €влени€, высказывают суждени€, но и сознательно формируют свое мировоззрение, дл€ чего требуетс€ достаточно высокий уровень развити€ мышлени€ [23].

2.1.3. Ќ≈ќЅ’ќƒ»ћќ—“№ –ј«¬»“»я ћџЎЋ≈Ќ»я

—“ј–Ў≈ Ћј——Ќ» ќ¬ ¬ ѕ–ќ÷≈——≈ ќЅ”„≈Ќ»я

¬ современной школе задача развити€ мышлени€ решаетс€ попутно с усвоением учащимс€ программного материала и не выдел€етс€ как самосто€тельна€. ƒидактические основы развити€ мышлени€ учащихс€ Ц это законы и закономерности процесса обучени€, в особенности закон единства обучени€ и развити€ и закон активности учащихс€ в обучении и воспитании. ќни наход€т отражение в р€де дидактических принципов, которые при благопри€тных услови€х способствуют управлению развитием мышлени€ учащихс€.

¬ процессе овладени€ знани€ми школьники усваивают определенные операции и приемы мыслительной де€тельности, но такой стихийный путь €вно недостаточен. Ќужно так организовать обучение, чтобы оно стимулировало самосто€тельное мышление, вызывало активную переработку новой информации, способствовало установлению св€зей между старым и новым материалом, направл€ло на специальное усвоение рациональных приемов умственной де€тельности. Ўкольники должны €сно осознавать мыслительные задачи, знать основные пути их решени€, уметь проводить поиски решени€ конкретной задачи. ƒл€ этого необходима специальна€ работа учител€ по формированию и совершенствованию умственной де€тельности учащихс€. ”чить учитьс€, учить правильно мыслить, самосто€тельно выполн€ть различные задани€ Ц вот в чем суть задач, сто€щих перед современной общеобразовательной школой. ј умение мыслить заключаетс€ прежде всего в правильном использовании мыслительных операций. ”читель любого предмета, формиру€ научное пон€тие, сравнивает между собой предметы, €влени€ и событи€, анализирует и синтезирует их, абстрагирует существенные признаки, классифицирует и обобщает; излагал учебный материал, рассуждает; доказывает, формулирует выводы. Ђѕрибавкаї в мышлении учащихс€ характеризуетс€ степенью самосто€тельности их в решении предполагаемых задач, в овладении основными материалами, операци€ми и примами мышлени€, в способности комбинировать знани€, про€вл€ющийс€ при выполнении трудных заданий.

≈сли обучение организовано системно, логично, целенаправленно, то оно обогащает детей чувственным опытом, развивает их речь, наблюдательность стимулирует любознательность, стремление к поискам и открыти€м. ќсобенно сильное воздействие оказывает де€тельность, в которой объедин€ютс€ учебные и трудовые, теоретические и практические задачи.

ѕедагогическое управление процессом развити€ мышлени€ школьников может достичь своей цели лишь тогда, когда общаетс€ единство рационально отобранного и дидактически обработанного содержани€, адекватных и хорошо отработанных мыслительных операций и действенных, специально значимых мотивов учебно-познавательной де€тельности учащихс€ при учете индивидуальных различий в их мышлении [23], [24].

ћышление старшеклассников (а значит, и умение пользоватьс€ мыслительными операци€ми) необходимо не только стимулировать, но и специально развивать на прот€жении всех лет обучени€ в школе.

2.1.4. –ј«¬»“»≈ јЅ—“–ј “Ќќ√ќ ћџЎЋ≈Ќ»я ”„јў»’—я

—“ј–Ў»’  Ћј——ќ¬ —–≈ƒ—“¬јћ» —ќ¬–≈ћ≈ЌЌќ… јЋ√≈Ѕ–џ

¬едущее значение в мышлении старшеклассников занимает абстрактное мышление.

јбстрактное мышление тесно св€зано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. јбстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаютс€ от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выдел€ют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

ѕоэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуетс€ умением мысленно отвлечьс€ от конкретного содержани€ изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

јбстрактное мышление можно подразделить на:

1)   аналитическое мышление;

2)   логическое мышление;

3)   пространственное мышление.

јналитическое мышление характеризуетс€ четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием как его содержани€, так и примен€емых операций. јналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышлени€; на отдельных этапах мышлени€ оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Ётот вид мышлени€ тесно св€зан с мыслительной операцией анализа.

Ћогическое мышление характеризуетс€ обычно умением выводить следстви€ из данных предпосылок, умением вычлен€ть частные случаи из некоторого общего положени€, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

ѕространственное мышление характеризуетс€ умением мысленно конструировать пространственные образцы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполн€ть над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами [18].

ќвладение абстрактными знани€ми приводит к изменению у учащихс€ старших классов самого течени€ мыслительного процесса. ћыслительна€ де€тельность отличаетс€ у них высоким уровнем обобщени€ и абстракции, учащиес€ стрем€тс€ к установлению причинно-следственных св€зей и других закономерностей между €влени€ми окружающего мира, про€вл€ют критичность мышлени€, умени€ аргументировать суждени€, более успешно осуществл€ть перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. ¬ ходе усвоени€ учебного материала старшеклассники стрем€тс€ самосто€тельно раскрывать отношени€ общего и конкретного, выдел€ть существенное, а затем формулировать определени€ научных пон€тий [23].

Ќа наш взгл€д, развитию абстрактного мышлени€ старшеклассников способствует изучение элементов современной алгебры. ќбучение современной алгебре стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. Ќапример, такое основное пон€тие современной алгебры, как группа, €вл€етс€ абстракцией второго пор€дка в отличие от пон€тий элементарной алгебры и геометрии, которые €вл€ютс€ абстракци€ми первого пор€дка [20], [22].

¬ведение элементов современной алгебры предъ€вл€ет большие требовани€ к абстрактному мышлению школьников. ѕри изучении современной алгебры пон€ти€ даютс€ в столь абстрактной и обобщенной форме, что дл€ учащихс€ представл€ет трудность умение видеть за этими общими и абстрактными пон€ти€ми все то множество конкретных образов, обобщением которых они €вл€ютс€.

 роме того, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп следует рассматривать на факультативных зан€ти€х, так как данный материал достаточно труден дл€ школьников. ’от€ здесь и не требуютс€ практически никакие предварительные знани€, но зато необходима чрезвычайно высока€ культура работы с даваемыми определени€ми, необходима, если можно так сказать, потребность в определени€х [11].

2.2. »«”„≈Ќ»≈ ЁЋ≈ћ≈Ќ“ќ¬ “≈ќ–»» √–”ѕѕ

Ќј ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќџ’ «јЌя“»я’ ѕќ ћј“≈ћј“» ≈

2.2.1. –ќЋ№ ‘ј ”Ћ№“ј“»¬ќ¬ ¬ ѕ–ќ÷≈——≈ ќЅ”„≈Ќ»я ћј“≈ћј“» ≈

‘акультативные зан€ти€ играют очень важную роль в процессе обучени€. ‘акультативы обеспечивают высокие результаты в обучении и развитии школьников.

Ёффективность учебного процесса, в ходе которого формируетс€ умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоени€ одинакового, об€зательного дл€ всех членов общества содержани€ образовани€ и всемерного удовлетворени€ и развити€ духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Ѕез факультативных зан€тий такой подход осуществить крайне трудно [26].

‘акультативы €вл€ютс€ одним из основных средств дифференциации обучени€ в услови€х всеобщего среднего об€зательного образовани€, они помогают решать задачи совершенствовани€ содержани€ и методов обучени€.

Ќаиболее перспективными €вл€ютс€ факультативные зан€ти€ по математике. ќсновна€ задача факультативных зан€тий по математике состоит в том, чтобы, учитыва€ интересы и склонности учащихс€, расширить и углубить знани€ программного материала, ознакомить их с некоторыми общими иде€ми современной математики, раскрыть приложени€ математики в практике.

 роме того, основной задачей на факультативе €вл€етс€ задача воспитани€. ¬ажно, чтобы на факультативных зан€ти€х была создана атмосфера, вывод€ща€ учащихс€ из привычных и в определенной степени Ђприевшихс€ї рамок типичного Ђшкол€рстваї. “аким образом, ценность факультативных зан€тий не только в обучении, но и в воспитательном воздействии [13].

√лавной целью факультативов по математики €вл€етс€ углубление и расширение знаний, развитие математического мышлени€, формирование активного познавательного интереса к предмету, привитие школьникам интереса и вкуса к самосто€тельным зан€ти€м математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества. ‘акультативные зан€ти€ содействуют профессиональной ориентации учащихс€ в области математики и ее приложений, облегча€ тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней [17].

¬ основе выбора учащимис€ факультативного курса по математике лежит в определенной степени устойчивый интерес к математике или ее приложени€м. Ќаличие такого интереса у учащихс€ позвол€ет в рамках факультативных зан€тий рассматривать разделы математики на достаточно высоком уровне. Ќаличие у учащихс€ серьезного интереса к математике Ц необходимое условие успешного проведени€ факультативных зан€тий.

” учащихс€, приступивших к изучению математики на факультативных зан€ти€х, несомненно, будут расти возможности интенсификации учени€ и, главное, трудоспособность в процессе зан€тий. »менно на факультативных зан€ти€х можно ставить вопрос об ускорении изучени€ материала за счет значительной самосто€тельности работы учащихс€, большего внимани€, удел€емого индивидуальному подходу к обучению.

‘акультативные зан€ти€ служат не только приобщению огромного числа учащихс€ к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучени€.

¬ажнейшее назначение факультативных зан€тий по математике Ц пробуждать и укрепл€ть интерес учащихс€ к науке, потребность и желание лучше знать материал [26].

‘акультативы по математике должны строитьс€ так, чтобы быть дл€ учащихс€ интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Ќеобходимо использовать естественную любознательность школьников дл€ формировани€ устойчивого интереса к своему предмету. «анимательность поможет учащимс€ освоить факультативный курс, содержащиес€ в нем идеи и методы математической науки, логику и приемы творческой де€тельности [18].

‘акультативные зан€ти€ играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического, образовани€. ќни позвол€ют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержани€, новых методов обучени€, в широких пределах варьировать объем и сложность изучаемого материала.

2.2.2. ’ј–ј “≈–Ќџ≈ ќ—ќЅ≈ЌЌќ—“» ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќџ’ «јЌя“»…

ѕќ ћј“≈ћј“» »

–азличают два вида факультативных зан€тий по математике:

1) изучение дополнительных глав и вопросов математики, цель которого состоит в расширении и углублении знаний учащихс€ по об€зательной дл€ всех программе, ознакомление с разделами, примыкающими к программным или раскрывающими приложени€ми математики;

2) небольшие специальные курсы, знаком€щие учащихс€ (в основном старших классов) с некоторыми област€ми современной математике [25].

‘акультативные зан€ти€, подобно зан€ти€м по изучению об€зательного курса, должны проводитьс€ на основе государственных программ. Ётими программами определ€ютс€ тематика математических факультативов и фиксируетс€ врем€, отведенное на рассмотрение той или иной темы. “ем самым определ€етс€ объем знаний и навыков, достигаемых учащимис€ при прохождении каждой темы.

¬месте с тем, сообразу€сь с собственными возможност€ми, возможност€ми своих учеников, учитель может выбрать дл€ факультативных зан€тий любой из рекомендованных ћинистерством ѕросвещени€ курсов. ѕрограммы предусматривают различные вариации содержани€ факультативных курсов. ѕоэтому каждый учитель может в какой-то степени варьировать содержание курса, не выход€ за рамки программ факультатива. —казанное выше в еще большей степени относитс€ к специальным курсам по математике, которые вообще предполагают последовательное изучение определенной тематики в течении длительного времени [26], [30].

‘акультативные зан€ти€ не €вл€ютс€ об€зательными дл€ учащихс€. »х посещают школьники, которые выбрали данный факультатив по своему желанию.

”словие необ€зательного выбора накладывает определенные требовани€ на систему факультативных зан€тий дикту€ свои ограничени€, относ€щиес€ как к† содержанию, так и к методике этих зан€тий.

¬о-первых, факультативные программы различных классов должны быть по возможности независимы друг от друга. “олько в старших классах, учащиес€ которых обладают уже сравнительно устойчивым сформировавшимс€ интересом к математике, возможна постановка специальных курсов, рассчитанных более чем на год. ѕри этом желательно, чтобы такие курсы носили прикладной характер, дава€ учащимс€ возможность профориентации в области математики и ее приложений.

¬о-вторых, содержание и методика проведени€ факультативных зан€тий должны привлекать учащихс€.

Ёто обеспечиваетс€ включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение. »зучение таких позвол€ет существенно повысить уровень математического развити€ учащихс€, что и €вл€етс€ главной задачей математических факультативов [30].

ƒл€ того, чтобы факультативные зан€ти€ по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учител€ или другие специалисты, способные вести зан€ти€ на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихс€, желающих изучать данный факультативный курс.

≈сли школа имеет классы с небольшой наполн€емостью, то группы учащихс€ дл€ факультативных зан€тий можно комплектовать по параллел€м или из учащихс€ смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы).

«апись учащихс€ на факультативные зан€ти€ производитс€ на добровольных началах в соответствии с их интересами. “ребовани€ к учащимс€, участвующим в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: об€зательное посещение зан€тий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учебе [17], [18].

”читель математики несет полную ответственность за качество факультативных зан€тий; факультативные зан€ти€ внос€т в расписание и оплачиваютс€ учителю.

ќсновными формами проведени€ факультативных зан€тий по математике €вл€ютс€ в насто€щее врем€ изложение узловых вопросов данного факультативного курса лекционным методом, семинары, дискуссии, решение задач, рефераты учащихс€ как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач и так далее [18].

‘акультативные зан€ти€ представл€ют собой одно из про€влений новой формы обучени€ математике Ц дифференцированного обучени€. ѕо существу факультативные зан€ти€ €вл€ютс€ наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучени€.

2.2.3. ЁЋ≈ћ≈Ќ“џ “≈ќ–»» √–”ѕѕ Ќј ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќџ’ «јЌя“»я’

2.2.3.1. ÷≈Ћ≈—ќќЅ–ј«Ќќ—“№ ¬¬≈ƒ≈Ќ»я ЁЋ≈ћ≈Ќ“ќ¬ “≈ќ–»»

√–”ѕѕ ¬ ѕ–ќ√–јћћ” ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќџ’  ”–—ќ¬

¬ насто€щее врем€ очень часто приходитс€ обсуждать вопрос: нужно ли вообще изучать элементы современной математики в курсе средней школы. ћы считаем, что не только нужно, но и совершенно необходимо в силу огромной практической и познавательной значимости элементов современной математики.

«накомство школьников с современной математикой целесообразно начать с изучени€ элементов теории групп, так как структура группы €вл€етс€ не только структурой, представл€ющей большой научный интерес, но и структурой, имеющей простые интерпретации на конечных множествах.   тому же структура группы часто встречаетс€ в школьном курсе математики.

ћожно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера математической структуры. Ќапример, существует большое число простых и конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам материале, причем многие из них €вл€ютс€ весьма нагл€дными.  роме того, аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно, посредством изучени€ одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. ћногие дедуктивные выводы из аксиом группы просты и из€щны.   тому же учащимс€, испытывающим определенные затруднени€ при чисто абстрактном исследовании, часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимис€ на известном и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой. ¬есьма небольшое число аксиом оказываетс€ достаточным дл€ рассмотрени€ разных теорем, сразу привод€щих к интересным результатам [16].

ѕри этом† имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми любопытными вопросами теории групп, а систематическа€ и планомерна€ работа по изучению структуры группы.

»сход€ из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что теори€ групп как нельз€ лучше подходит дл€ того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории.

2.2.3.2. ѕ–ќ√–јћћј » —ќƒ≈–∆јЌ»≈ «јЌя“»… ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќќ√ќ  ”–—ј ЂЁЋ≈ћ≈Ќ“џ —ќ¬–≈ћ≈ЌЌќ… јЋ√≈Ѕ–џї

¬ качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.

Ќами была разработана программа факультативного курса ЂЁлементы современной алгебрыї и проведена апробаци€ этого курса среди учащихс€ 9-10-х классов абаканской национальной гимназии им. Ќ.‘.  атанова. ћы ставили перед собой следующую задачу: познакомить школьников с элементами теории групп.

‘акультативный курс ЂЁлементы современной алгебрыї можно провести по следующему тематическому плану.

1) јлгебраические действи€. —войства алгебраических действий (4 часа).

2) ѕон€тие полугруппы. ѕримеры полугрупп (2 часа).

3) ѕодполугруппы.† »деалы полугрупп (2 часа).

4) ƒелимость элементов в полугруппе (2 часа).

5) –егул€рные элементы полугрупп. ѕон€тие инверсной полугруппы (2 часа).

6) √омоморфизм и изоморфизм полугрупп (2 часа).

7) —вободна€ полугруппа слов. ѕолугруппа преобразований (2 часа).

8) ѕон€тие группы. ѕримеры групп. √руппы симметрий. —вободна€ группа (6 часов).

9) ѕростейшие свойства групп. √руппа перестановок (симметрическа€ группа) (4 часа).

10)    ѕон€тие подгруппы. ѕримеры подгрупп. ѕодгруппы симметрических групп (4 часа).

11)    ќпредел€ющие соотношени€ в группах (2 часа).

12)    ѕорождающие множества групп. ÷иклическа€ группа (2 часа).

13)    √омоморфизм и изоморфизм (2 часа).

14)    —имметрические многочлены (4 часа).

¬ рамках данного факультативного курса мною проведены 2 зан€ти€ по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї.

«ан€тие 1.

“ема: Ђѕон€тие подгруппы. ѕримеры подгруппї.

÷ели:

-         познакомить учащихс€ с пон€тием подгруппы, рассмотреть критерий подгрупп, теорему о подгруппах дл€ конечных групп, разобрать примеры различных подгрупп;

-         продолжить развитие абстрактного мышлени€ учащихс€;

-         формировать у учащихс€ внимание, наблюдательность.

’од зан€ти€.

Ќа предыдущих зан€ти€х вы познакомились с пон€тием группы, а пон€тие группы тесно св€зано с таким пон€тием, как Ђподгруппаї. ѕодгруппы играют особую роль в развитии и применении теории групп. ѕоэтому сегодн€ на зан€тии вы познакомитесь с пон€тием Ђподгруппаї.

ƒл€ начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. »з предыдущих зан€тий вам известно, что множество целых чисел образует группу по сложению. ¬ыделим во множестве целых чисел два подмножества: подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. “еперь попробуем вы€снить, €вл€ютс€ ли выбранные нами подмножества группами по сложению. ƒл€ этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы (ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного элементов, наличие бинарной операции).

—начала рассмотрим подмножество четных целых чисел. —ложение €вл€етс€ бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два четных числа, то в результате снова получитс€ четное число. —ложение ассоциативно, нейтральным элементом €вл€етс€ нуль, у каждого элемента есть обратный (так как число, обратное четному числу, также четно). «начит, подмножество четных целых чисел €вл€етс€ группой по сложению.

“еперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. —ложение не €вл€етс€ бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получитс€ нечетное число. Ќапример, числа 3 и 5 €вл€ютс€ нечетными, а их сумма €вл€етс€ четным числом. —ледовательно, данное подмножество не €вл€етс€ группой.

“аким образом, в том случае, когда дл€ подмножества данного множества, €вл€ющегос€ группой, выполн€ютс€ все аксиомы группы, то говор€т, что это подмножество называетс€ подгруппой данной группы.

«апишем определение: подмножество группы называетс€ подгруппой этой группы, если оно само €вл€етс€ группой относительно операции, переделенной в группе.

—ледовательно, из рассмотренного нами примера следует, что подмножество четных чисел €вл€етс€ подгруппой группы целых чисел относительно сложени€. ј подмножество нечетных чисел не €вл€етс€ подгруппой группы целых чисел относительно сложени€.

Ќо дл€ того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не провер€ть все аксиомы группы, прин€то пользоватьс€ следующим критерием подгруппы.

“еорема: дл€ того, чтобы непустое подмножество Ќ группы было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то есть дл€ любых элементов h1, h2†и

2) множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему элемент, то есть дл€ любого элемента †и

ƒанна€ теорема справедлива дл€ бесконечных групп. ¬ случае конечных групп проверка 2) услови€ €вл€етс€ излишней, то есть дл€ конечных групп справедлива следующа€ теорема о подгруппах.

“еорема: пусть - группа, Ќ Ц конечное пустое подмножество G, замкнутое относительно операции Ђ*ї, тогда Ќ €вл€етс€ подгруппой группы G.

—ледует также отметить, что кажда€ группа имеет две особые подгруппы:

1) все группы содержат в качестве подгруппы множество, состо€щее только из одного нейтрального элемента;

2) люба€ группа содержит себ€ в качестве подгруппы.

ќбычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. “акие подгруппы называютс€ собственными, а две особые группы Ц несобственными.

ƒавайте выполним следующее задание:

I. ƒана группа действительных чисел, отличных от нул€ относительно умножени€, то есть . “ребуетс€ проверить, €вл€ютс€ ли подгруппами этой группы следующие множества:

1)   множество положительных действительных чисел;

2)   множество рациональных чисел, отличных от нул€.

ѕервый пункт данного задани€ давайте рассмотрим вместе, а второй пункт вы попробуете решить самосто€тельно.

“ак как группа действительных чисел, отличных от нул€ относительно умножени€ €вл€етс€ бесконечной группой, то дл€ отыскани€ подгрупп этой группы будем пользоватьс€ критерием подгрупп. Ќам надо проверить выполнимость двух условий критери€. ѕервое условие выполн€етс€, так как произведение двух положительных действительных чисел положительно и действительно (например, R+, *> €вл€етс€ подгруппой группы .

ѕопробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиес€ привод€т различные примеры подгрупп).

ƒалее выполним следующие задани€:

II. ѕокажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу группы целых чисел по сложению.

III. явл€етс€ ли множество, состо€щее из чисел 1 и Ц1 подгруппой группы .

¬ качестве домашнего задани€ запишите следующие упражнени€:

I. ѕоверьте, €вл€етс€ ли множество целых чисел подгруппой группы .

II. явл€етс€ ли множество целых чисел подгруппой группы .

«ан€тие 2.

“ема: Ђѕодгруппы симметрических группї.

÷ели:

-         познакомить учащихс€ с теоремой Ћагранжа и с теоремой —илова, с методом нахождени€ подгрупп симметрических групп;

-         продолжить развитие абстрактного мышлени€ школьников;

-         способствовать воспитанию у учащихс€ наблюдательности.

’од зан€ти€.

¬ы уже знакомы с симметрической группой Sn. ¬нутреннюю структуру симметрической группы Sn можно описать с помощью ее подгрупп. »зучение внутренней структуры симметрической группы позвол€ет установить ее многие свойства. ѕоэтому сегодн€ на зан€тии мы с вами будем рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимс€ с методом отыскани€ подгрупп.

ƒл€ начала следует отметить то, что симметрическа€ группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. ѕолностью описать все подгруппы группы Sn удаетс€ лишь дл€ небольших n, а дл€ больших n изучаютс€ общие свойства таких подгрупп.

Ќам известно, что симметрическа€ группа Sn конечна. ѕоэтому дл€ того, чтобы подмножество Ќ группы Sn €вл€лось подгруппой группы Sn, достаточно чтобы произведение каждых двух элементов из Ќ также принадлежало Ќ.

–ассмотрим следующий пример: пусть Ќ Ц множество перестановок

ѕроверим, €вл€етс€ ли Ќ подгруппой группы S4.

ѕроверим, выполн€етс€ ли дл€ данного множества условие теоремы о подгруппах дл€ конечных групп (замкнутость множества относительно операции умножени€). ќказываетс€, что данное условие не выполн€етс€, так как

—ледовательно, множество Ќ не €вл€етс€ подгруппой группы S4.

ƒл€ нахождени€ подгрупп некоторой группы удобно пользоватьс€ теоремой Ћагранжа, котора€ устанавливает св€зь между пор€дками групп и подгрупп.

“еорема Ћагранжа: если Ќ Ц подгруппа группы G, то ее пор€док €вл€етс€ делителем пор€дка G.

“еорема Ћагранжа позвол€ет существенно упростить решение задач, св€занных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

–ассмотрим, например, симметрическую группу S3, пор€док этой группы равен 3!=6. ѕо теореме Ћагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S3 могут состо€ть из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 €вл€ютс€ делител€ми числа 6. ѕоэтому нам не нужно провер€ть €вл€ютс€ ли подгруппами группы S3 подмножества, состо€щие из 4 или 5 перестановок.

ƒаже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Ћагранжа.

—ледует отметить, что утверждение, обратное к теореме Ћагранжа не верно. Ќапример, знакома€ вам знакопеременна€† группа ј4 имеет пор€док 12, но в ней нет подгрупп пор€дка 6.

 роме того, в теории групп существует теорема —илова, котора€ также облегчает процесс нахождени€ подгрупп некоторой группы.

“еорема —илова: пусть G Ц группа пор€дка g и h - делитель числа g; если h=pn, где р Ц простое число, а n Ц положительное целое число, то группа G содержит подгруппу пор€дка h.

–ассмотрим, например, знакопеременную группу A4, пор€док этой группы равен 12. ѕо теореме —илова мы можем точно утверждать, что группа ј4 содержит подгруппы пор€дка 2, 3 и 4, так как 2=21, 3=31, 4=22.

“еорема Ћагранжа и теорема —илова играют важную роль в теории групп. ƒанные теоремы позвол€ют существенно упростить решение задачи описани€ всех подгрупп симметрической группы Sn.

—ейчас € познакомлю вас с методом нахождени€ подгрупп симметрических групп. ƒл€ этого рассмотрим следующую задачу.

«адачи: опишите все подгруппы симметрической группы S3.

ћы знаем, что пор€док группы S3 равен 6. »з теоремы Ћагранжа следует, что подгруппы из S3 могут состо€ть из 2 или 3 перестановок, а по теореме —илова такие подгруппы точно существуют.

ќпишем сначала подгруппы, которые состо€т из 2 перестановок. ≈сли Ќ Ц така€ подгруппа, то в нее входит элемент ≈ и еще какой-то другой элемент

“ак как элемент обратный к †не может совпадать с ≈, то †- перестановка второго пор€дка.

ѕодгруппы легко находить с помощью таблицы  эли. »з таблицы умножени€ группы S3 (ѕриложение 1) видно, что подгруппами† группы S3 будут следующие подмножества:

1)

2)

3)

Ёто следует из того, что

ќпишем теперь подгруппы, состо€щие из 3 перестановки. ≈сли G Ц така€ подгруппа, то в нее входит элемент ≈ и два различных элемента †и

ѕерестановки †и †должны иметь пор€док 3, так как если одна из них, например †также будет иметь пор€док 2. но легко проверить, что произведением любых двух перестановок второго пор€дка €вл€етс€ перестановка третьего пор€дка. Ёто видно из таблицы умножени€ группы S3 (ѕриложение 1). “ак как, например, †и †должны иметь пор€док 3, то есть

»з таблицы  эли видно, что †и G €вл€етс€ элементом из G, то есть выполн€етс€ условие теоремы о подгруппах дл€ конечных групп. «начит, множество G группы S3 €вл€етс€ подгруппой симметрической группы S3.

“аким образом, мы получили, что группа S3 имеет 6 различных подгрупп:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

¬ы познакомились с методом нахождени€ подгрупп симметрической группы S3. Ётот же метод используетс€ дл€ отыскани€ подгрупп симметрической группы Sn.

¬ качестве домашнего задани€ запишите следующие упражнени€.

I.  акие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S4:

1)

2)

II. —уществует ли в произвольной конечной группе пор€дка 10 подгруппа пор€дка 5.

III. ќпишите все подгруппы группы S4, состо€щие из трех перестановок. —колько их?

ѕредставленные выше 2 зан€ти€ по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї €вл€ютс€ частью большого факультативного курса ЂЁлементы современной алгебрыї. „тобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс ЂЁлементы теории групп. —имметрические группыї дл€ учащихс€ 9-10-х классов.

ѕрограмма факультативного курса ЂЁлементы теории групп. —имметрические группыї.

1) ѕон€тие алгебраического действи€. ѕростейшие свойства действий (6 часов).

ƒать определение действи€, рассмотреть примеры действий,† свойства действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей  эли.

2)

–ассмотреть 2 определени€ группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп.

3)

¬вести пон€тие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножени€ перестановок: ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозици€ми, дать определени€ симметрической и знакопеременной групп.

4)

ѕознакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах дл€ конечных групп, теорему Ћагранжа и теорему —илова, познакомить с методом нахождени€ подгрупп симметрических групп.

5)

6)

2.3. ќ–√јЌ»«ј÷»я » –≈«”Ћ№“ј“џ Ё —ѕ≈–»ћ≈Ќ“јЋ№Ќќ… –јЅќ“џ

ѕќ ¬Ќ≈ƒ–≈Ќ»ё ¬ Ў ќЋ№Ќќ≈ ќЅ”„≈Ќ»≈ ‘ј ”Ћ№“ј“»¬Ќќ√ќ

 ”–—ј ЂЁЋ≈ћ≈Ќ“џ —ќ¬–≈ћ≈ЌЌќ… јЋ√≈Ѕ–џї

¬ данном параграфе будут рассмотрены общие положени€, организаци€ и результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

ћы исходим из понимани€ экспериментальной работы как специально организуемой, целенаправленной и контролируемой де€тельности группы студентов по апробированию разработанного факультативного курса в услови€х педагогического процесса школы.

Ќа организационном этапе были определены цель, задачи и методы исследовани€, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено условие внедрени€ факультативного курса в учебный процесс.

Ёкспериментальна€ работа в школе была определена следующим методологическими характеристиками:

“ема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на факультативных зан€ти€х по математике.

ќбъект Ц элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.

ѕредмет Ц элементы теории групп, на примере пон€ти€ подгруппы, на факультативных зан€ти€х по математике.

÷ель экспериментального исследовани€ обосновать целесообразность и возможность введени€ элементов современной алгебры в программу факультативных курсов.

√ипотеза эксперимента Ц введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики дл€ учащихс€ старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышлени€, если осуществл€етс€ систематическа€ и планомерна€ работа с учащимис€.

«адачи эксперимента:

1) Ёкспериментально проверить возможность введени€ разработанного факультативного курса в школьное обучение;

2) –азработать и апробировать факультативный курс ЂЁлементы современной алгебрыї;

3) ѕроанализировать уровень усвоени€ учащимис€ предложенного на факультативе учебного материала;

4) —делать выводы на основании экспериментальных данных.

Ёкспериментальна€ база Ц национальна€ гимнази€ им. Ќ.‘.  атанова (г. јбакан, –еспублика ’акаси€).

Ётапы эксперимента:

1)   подготовительный Ц до окт€бр€ 1999 года;

2)   формирующий эксперимент Ц с окт€бр€ 1999 года до феврал€ 2000 года;

3)   подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов Ц до апрел€ 2000 года.

ћетодика эксперимента: »зучение математической и методической литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных зан€тий, письменный опрос школьников, математическа€ обработка результатов эксперимента.

Ќа подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа факультативного курса ЂЁлементы современной алгебрыї, а также содержание зан€тий этого факультатива по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї.

÷ель формирующего эксперимента состо€ла в апробации разработанного нами факультативного курса, определении продолжительности и количества зан€тий, в вы€влении отношени€ учащихс€ к новому спецкурсу. «ан€ти€ факультатива проводились один раз неделю в течение 5 мес€цев, причем продолжительность одного зан€ти€ равн€лась академическому часу.

“ретий этап эксперимента заключалс€ в проведении среза по вы€влению у учащихс€ остаточных знаний программы факультатива.

ѕосле прослушивани€ школьниками всего факультативного курса, им была предложена дл€ выполнени€ итогова€ проверочна€ работа (ѕриложение 3). ƒанна€ работа состо€ла из 26 заданий, причем все задани€ были разбиты на 4 уровн€ усвоени€ зан€тий, требующих от учащихс€ различных мыслительных операций.

ѕервый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий, требующих воспроизведени€ знаний без существенных изменений: пон€ти€, правила, готовые выводы.

¬торой уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование знани€ми в стандартных услови€х, то есть по образцу, правилу, указани€м.

«адани€ третьего уровн€ (аналитико-синтетического) предусматривали наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. ƒл€ выполнени€ заданий такого уровн€ необходимы существенные преобразовани€ в структуре приобретенных школьниками знаний, умени€ в применении навыков логической обработки учебного материала (выделени€ главного, умени€ сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать).

ƒл€ выполнени€ заданий четвертого уровн€ (творческого) было необходимо умение примен€ть знани€ в значительно измененных услови€х. «адани€ на четвертый уровень усвоени€ этого задани€ исключительно творческого характера.

¬ рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною зан€тий, было предложено 3 задани€ первых трех уровней. Ёто были следующие задани€:

1) «адание первого уровн€.

ѕусть - группа, - группа, €вл€етс€ ли† подгруппой группы .

2) «адание второго уровн€.

ƒоказать, что подмножество †€вл€етс€ подгруппой группы S3.

3) «адание третьего уровн€.

ѕусть Ќ Ц множество перестановок S4.

–езультаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что учащиес€ справились с предложенными мною задани€ми, а значит, успешно усвоили учебный материал по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї.

“ак, с заданием первого уровн€ справились почти все учащиес€ (85%), хот€ наивысший балл получили лишь несколько школьников. Ёто св€зано с тем, что при выполнении данного задани€ учащиес€ давали лишь только правильный ответ, не объ€сн€€ и не обосновывал его. ’от€ встречались работы, в которых учащиес€ очень подробно объ€сн€ли свой ответ. ¬ основном, большинство школьников без особых затруднений выполн€ют задани€ первого уровн€.

— задание второго уровн€ справилось 69% учащихс€. —амой распространенной ошибкой при выполнении данного задани€ €вл€лось то, что учащиес€ не до конца провер€ли услови€ теоремы о подгруппах дл€ конечных групп. ќни не учитывали то, что нужно провер€ть принадлежность данному множеству элемента

ћожно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполн€ют задани€ такого уровн€. —нижение показателей по сравнению с первым уровнем обусловлено тем, что дл€ перехода от воспроизведени€ к применению знаний необходима соответствующа€ натренированность учащихс€ в применении знаний, чему не всегда удел€етс€ должное внимание. ћы же не смогли уделить этому внимание из-за отсутстви€ времени, необходимого дл€ тренировки учащихс€ в применении полученных знаний.

«адание третьего уровн€ выполнили 54% школьников, так как задани€ такого типа требуют уже более высокого уровн€ развити€ мышлени€, они представл€ют значительную трудность дл€ многих школьников.  ак правило, только треть учащихс€ из класса без особых затруднений выполн€ют подобные задани€.

Ќа рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной работы. ƒанный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех заданий.

“аким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный нами факультативный курс ЂЁлементы современной алгебрыї доступен пониманию школьников. —ледовательно, в ходе формирующего эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследовани€ о возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.

«ј Ћё„≈Ќ»≈

¬ современных услови€х развити€ общества особую актуальность приобрела проблема внедрени€ в школьное математическое образование элементов современной математики.

»зучение школьных программ и программ факультативных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. ƒаже программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов теории групп. ¬ св€зи с этим нами был разработан факультативный курс ЂЁлементы современной алгебрыї дл€ учащихс€ 9-10-х классов.

¬ процессе исследовани€ были вы€влены возможности введени€ элементов современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы целесообразность и доступность данного учебного материала.

¬ ходе исследовани€ были изучены основные пон€ти€ теории групп, решены задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество подгрупп некоторой группы не равно пор€дку этой группы. –азработано содержание зан€тий факультативного курса по теме: Ђѕон€тие подгруппы. ѕодгруппы симметрических группї.

Ќа основе изучени€ психолого-педагогической литературы была дана характеристика процесса развити€ мышлени€, сформулированы особенности формировани€ мышлени€ в старшем школьном возрасте, обосновано вли€ние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышлени€ старшеклассников.

–езультаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами факультативный курс пон€тен, доступен и успешно усваиваетс€ школьниками, а также позвол€ет подн€ть абстрактное мышление учащихс€ на новый, более высокий уровень развити€. ¬се это свидетельствует о том, что выдвинута€ нами гипотеза подтвердилась.

Ћ»“≈–ј“”–ј

1.    јносов ƒ.¬. ѕроблемы модернизации школьного курса математики//ћатематика в школе. Ц 2000. - є1. Ц с.2-4.

2.    Ѕел€ков ≈. ћатематика Ц царица наук?  ажетс€, этот предмет немного устарел//”чительска€ газета. Ц 1999. - є20.

3.    √россман »., ћагнус ¬. √руппы и их графы. Ц ћ.: ћир, 1971. Ц 246 с.

4.    √неденко Ѕ.¬. —татическое мышление и школьное математическое образование//ћатематика в школе. Ц 1999. - є6. Ц с.5-8.

5.    »сторическое введение в теорию √алуа/—ост. ћарков —.Ќ. Ц »ркутск: »√”, 1997. Ц 20 с.

6.     аргополов ћ.». ќсновы теории групп. Ц ћ.: Ќаука, 1982. Ц 288 с.

7.     алужнин Ћ.ј., —ущанский ¬.». ѕреобразовани€ и перестановки. Ц ћ.: Ќаука, 1979. Ц 112 с.

8.     урош ј.√. “еори€ групп. Ц ћ.: Ќаука, 1967. Ц 648 с.

9.     онцепци€ математического образовани€ в 12-летней школе//ћатематика (приложение к Ђ”чительской газетеї). Ц 2000. - є7. Ц с.1-5.

10.   уликов Ћ.я. —борник задач по алгебре и теории чисел: ”чебное пособие дл€ студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. Ц ћ.: ѕросвещение, 1993. Ц 288 с.

11.   арп ј.ѕ. ƒаю уроки математикиЕ:  нига дл€ учител€. Ц ћ.: ѕросвещение, 1992. Ц 191 с.

12.  Ћ€пин ≈.—., јйзенштат ј.я. ”пражнени€ по теории групп. Ц ћ.: Ќаука, 1967. Ц 304 с.

13.  ћонахов ¬.ћ. ѕроблемы дальнейшего развити€ факультативных зан€тий по математике//ћатематика в школе. Ц 1981. - є6. Ц с.8-10.

14.  ћетельский Ќ.¬. ƒидактика математики: ќбща€ методика и ее проблемы. Ц ћинск: »здательство Ѕ√”, 1982. Ц 256 с.

15.  ћетодическа€ разработка по современной алгебре к разделу ЂЁлементы теории групп и ее приложени€ї/—ост.  арижска€ ≈.¬., “олстова √.—. Ц Ћ., 1990. Ц 42 с.

16.  ћетодика преподавани€ математики в средней школе: „астные методики/—ост.  ал€гин ё.ћ. и др. Ц ћ.:† ѕросвещение, 1977. Ц 480 с.

17.  ћетодика преподавани€ математики в средней школе: ќбща€ методика/—ост. „еркасов –.—., —тол€р ≈.—. Ц ћ.: ѕросвещение, 1985. Ц 336 с.

18.  ћетодика преподавани€ математики в средней школе: ќбща€ методика/—ост. ќганес€н ¬.ѕ.,  ал€гин ё.ћ. Ц ћ.: ѕросвещение, 1980. Ц 368 с.

19.  ћетельский Ќ.¬. ѕути совершенствовани€ обучени€ математике: ѕроблемы современной методики математики. Ц ћинск: ”ниверситетское, 1989. Ц 160 с.

20.  Ќа пут€х обновлени€ школьного курса математики. —борник статей и материалов/—ост. ћаркушевич ј.». Ц ћ.: ѕросвещение, 1980. Ц 368 с.

21.  Ќовое в школьной математике//—ост. яглом ».ћ. Ц ћ.: «нание, 1972. Ц 199 с.

22.  ѕотоцкий ћ.¬. ќ педагогических основах обучени€ математике. Ц ћ.: ”чпедгиз, 1963. Ц 1999 с.

23.  ѕоспелов Ќ.Ќ., ѕоспелов ».Ќ. ‘омирование мыслительных операций у старшеклассников. Ц ћ.: ѕедагогика, 1989. Ц 152 с.

24.  ѕанамарчук ¬.‘. Ўкола учит мыслить. Ц ћ.: ѕросвещение, 1979. Ц 144 с.

25.  —тол€р ј.ј. ѕедагогика математики. Ц ћинск: ¬ысша€ школа, 1986. Ц 414 с.

26.  ‘ирсов ¬.¬., Ўварцбург —.». —осто€ние и перспективы факультативных зан€тий по математике. Ц ћ.: ѕросвещение, 1977. Ц 48 с.

27.  ‘рид Ё. Ёлементарное введение в абстрактную алгебру. ѕер. с венгерского ƒанилова ё.ј. Ц ћ.: ћи, 1979. Ц 260 с.

28.  ’олл ё.ј. “еори€ групп. Ц ћ.: »здательство иностранной литературы, 1962. Ц 468 с.

29.  ‘ридман Ћ.ћ. ѕсихолого-педагогические основы обучени€ математике в школе. Ц ћ.: ѕросвещение, 1983. Ц 160 с.

30.  Ўварцбург —.»., ‘ирсов ¬.¬. ќ характерных особенност€х факультативных зан€тий//ћатематика в школе. Ц 1972. - є1. Ц с.55-59.

ѕриложение 1

“аблица умножени€ симметрической группы S3

*

†††††††

†††††††

††††††

ѕриложение 2

»тогова€ проверочна€ работа по материалу

факультативного курса

ЂЁлементы теории групп. —имметрические группыї.

«адани€ первого уровн€

1. явл€етс€ ли операци€ сложени€ алгебраической операцией во множестве действительных чисел.

2.  акие из следующих преобразований €вл€ютс€ перестановками:

а) †††††††††† б) †††††††††† в)

3. ѕусть - группа и <{0}, +> - группа. ѕроверить, €вл€етс€ ли <{0}, +> подгруппой группы .

«адани€ второго уровн€

1. ¬ы€снить, €вл€етс€ ли действием в множествах R+ и N нахождение среднего арифметического.

2. ѕредставьте перестановку в виде произведени€ независимых циклов:

3. явл€етс€ ли подгруппой группы множество

4. —уществует ли в конечной группе пор€дка 8 подгруппа пор€дка 4.

«адние третьего уровн€

1. ѕроверить, €вл€етс€ ли множество рациональных чисел группой по сложению.

2. ѕусть Ќ Ц множество перестановок S5.

3. ƒана перестановка †и покажите, что множество †€вл€етс€ группой перестановок.

«адани€ четвертого уровн€

1. ѕриведите пример четырехэлементной группы.

ѕриложение 3

»тогова€ проверочна€ работа по материалу факультативного

курса ЂЁлементы современной алгебрыї.

«адани€ первого уровн€

1. «аданы преобразовани€ †укажите а)

2. явл€етс€ ли операци€ умножени€ алгебраической операцией на множестве действительных чисел.

3. ƒана подгруппа , в ней нашелс€ элемент Ц5 такой, что выполн€етс€ соотношение: 5+(-5)+5=5. явл€етс€ ли элемент 5 регул€рным в подгруппе .

4. X.

а) ††††††††† б)

в) †††††††††† г)

д) †††††††††† е)

ж)

5. ¬ подгруппе выполнено равенство b правым делителем элемента

6. ѕусть - группа, - группа. явл€етс€ ли подгруппой группы . ќбоснуйте ответ.

7.  акие из следующих преобразований €вл€ютс€ перестановками:

а) †††††††††† б)

в) ††††††† г)

«адани€ второго уровн€

1. ћножество

2. »з операций (+, -, *, /) укажите только те, которые €вл€ютс€ алгебраическими в каждом из числовых множеств (N, Z, Q, R).

3. ƒана полугруппа . ѕроверить, будет ли данна€ полугруппа регул€рной.

4. u, v, w Ц слова над алфавитом u*(w*v), (u*w)*v:

а) †††††††††††† б)

в) †††† †††††††† г)

5. Ќа множестве †заданы произведени€ u*v=E и w*u=E, u=x2x1Ќайдите слова v и w, удовлетвор€ющие произведени€м.

6. ƒано множество M, +>, где Ђ+ї операци€ сложени€ и , где Ђ*ї операци€ умножени€.

7. ƒоказать, что подмножество †€вл€етс€ подгруппой группы S3.

8. ƒействи€ в полугруппе †задано таблицей  эли:

a

b

c

a

a

b

c

b

a

b

c

c

a

b

c

¬ерно ли утверждение, что каждый элемент подгруппы делитс€ на каждый элемент из этой же полугруппы слева.

9. ќпределите, €вл€етс€ ли полугруппой множеств†† , если

10. –ешите уравнение:

«адани€ третьего уровн€

1. ¬с€ка€ ли регул€рна€ полугруппа €вл€етс€ инверсной. ќтвет обосновать.

2. ѕриведите пример полугруппы преобразований, состо€щей из трех элементов.

3.  ак вы думаете, будет ли свободна€ полугруппа свободной группой. ќбоснуйте ответ.

4. ѕусть Ќ Цмножество перестановок S4.

5. ƒействие в полугруппе †задано таблицей  эли:

*

0

1

0

0

1

1

0

1

„то можно сказать о делимости элементов в полугруппе.

7. ƒана перестановка u1=. Ќайдите †€вл€етс€ группой перестановок (по таблице  эли).

8. «адайте во множестве R операцию *, по которой числа 2 и 3 можно поставить в соответствие число m и проверить, €вл€етс€ ли полугруппой:

а) m=2†††††††††††† б) m=1†††††††††††† в) m=

«адание четвертого уровн€

1. ѕридумайте фигуру дл€ которой можно составить группу симметрий, имеющей 4 элемента.

’ј ј—— »… √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌџ… ”Ќ»¬≈–—»“≈“ »ћ Ќ.‘.  ј“јЌќ¬ј »Ќ—“»“”“ ≈—“≈—“¬≈ЌЌџ’ Ќј”  » ћј“≈ћј“» »  ј‘≈ƒ–ј ћј“≈ћј“» » » ћѕћ —ѕ≈÷»јЋ№Ќќ—“№ 010100 Ц ћј“≈ћј“» ј »зучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, н

 

 

 

¬нимание! ѕредставленный ƒиплом находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалс€, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальный ƒиплом по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

ѕохожие работы:

ћодернизаци€ электронной подписи Ёль-√амал€
»спользование дифференциальных уравнений в частных производных дл€ моделировани€ реальных процессов
ѕостроение графика функции различными методами (самосто€тельна€ работа учащихс€)
Ќекоторые “еоремы Ўтурма
ѕрименение алгоритма RSA дл€ шифровани€ потоков данных
—ингул€рное разложение в линейной задаче метода наименьших квадратов
—войства усредненной функции с сильной осцилл€цией
“ранспортна€ задача
ћетоды обучени€ математике в 10 -11 класах
«адача остовных деревьев в kЦсв€зном графе

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru