Ѕаза знаний студента. –еферат, курсова€, контрольна€, диплом на заказ

курсовые,контрольные,дипломы,рефераты

»зучение функций в курсе математики VII-VIII классов — ћатематика

ѕосмотреть видео по теме  урсовой работы

»зучение функций в курсе математики VII-VIII классов

 урсова€ работа по теории и методике обучени€ математике на тему

¬ыполнила студентка группы ћз-401 Ѕарейчева Ћ.¬.

‘едеральное агентство по образованию

“оль€ттинский государственный университет

 афедра алгебры и геометрии

Tоль€тти 2005 г.

¬ведение

ƒанна€ курсова€ работа посв€щена изучению функций в курсе математики VII-VIII классов. ¬ ней даЄтс€ исторический экскурс определени€ пон€ти€ функции, рассматриваютс€ различные подходы к введению пон€ти€ функции в школе. ќтдельно рассматриваютс€ общие вопросы методики введени€ пон€тий: независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента, функции, области определени€ функции. ѕривод€тс€ примеры.

ќсновна€ часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучени€ в VII-VIII классах школьного курса математики функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задани€ функций, сходными особенност€ми графиков, областей применени€. ќсвоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических дл€ неЄ, с общим представлением о функции. ќсобое внимание уделено методике изучени€ линейной, квадратичной и кубической функций и их графиков, а также рассматриваютс€ пон€ти€ обратной функции и функции вида y=√¯x.

ќпределение функции

Ќачина€ с XVII в. одним из важнейших пон€тий €вл€етс€ пон€тие функции. ќно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

»де€ функциональной зависимости восходит к древности, она содержитс€ уже в первых математически выраженных соотношени€х между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах дл€ нахождени€ площади и объема тех или иных фигур.

“е вавилонские ученые, которые 4-5 тыс€ч лет назад нашли дл€ площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга €вл€етс€ функцией от его радиуса. “аблицы квадратов и кубов чисел, также примен€вшиес€ вавилон€нами, представл€ют собой задани€ функции. †

ќднако €вное и вполне сознательное применение пон€ти€ функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в св€зи с проникновением в математику идеи переменных. ¬ У√еометрииФ ƒекарта и в работах ‘ерма, Ќьютона и Ћейбница пон€тие функции носило по существу интуитивный характер и было св€зано либо с геометрическими, либо с механическими представлени€ми: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное.

„еткого представлени€ пон€ти€ функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил ƒекарт, который систематически рассматривал в своей У√еометрииФ лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. ѕостепенно пон€тие функции стало отождествл€тьс€ таким образом с пон€тием аналитического выражени€ - формулы.

—лово Уфункци€Ф (от латинского functio - совершение, выполнение) Ћейбниц употребл€л с 1673 г. в смысле роли (величина, выполн€юща€ ту или иную функцию).  ак термин в нашем смысле выражение Уфункци€ от хФ стало употребл€тьс€ Ћейбницем и ». Ѕернулли; начина€ с 1698 г. Ћейбниц ввел также термины Упеременна€Ф и УконстантаФ (посто€нна€). ƒл€ обозначени€ произвольной функции от х »оганн Ѕернулли примен€л знак j х, называ€ j характеристикой функции, а также буквы х или e; Ћейбниц употребл€л х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Ёйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Ќар€ду с j Ёйлер предлагает пользоватьс€ и буквами F, Y и прочими. ƒаламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначени€м, отбрасыва€ эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).

явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Ћейбница, выдающимс€ швейцарским математиком »оганном Ѕернулли: У‘ункцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и посто€нныхФ.

Ћеонард Ёйлер во У¬ведении в анализ бесконечныхФ (1748) примыкает к определению своего учител€ ». Ѕернулли, несколько уточн€€ его. ќпределение Ћ. Ёйлера гласит: У‘ункци€ переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или посто€нных количествФ. “ак понимали функцию на прот€жении почти всего XVIII в. ƒаламбер, Ћагранж и другие видные математики. „то касаетс€ Ёйлера, то он не всегда придерживалс€ этого определени€; в его работах пон€тие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. ¬ некоторых своих произведени€х Ћ. Ёйлер придает более широкий смысл функции, понима€ ее как кривую, начертанную Усвободным влечением рукиФ. ¬ св€зи с таким взгл€дом Ћ. Ёйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его посто€нным соперником, крупным французским математиком ƒаламбером, возникла больша€ полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражени€ произвольной кривой и о том, какое из двух пон€тий (крива€ или формула) следует считать более широким. “ак возник знаменитый спор, св€занный с исследованием колебаний струны.

¬ Уƒифференциальном исчисленииФ, вышедшем в свет в 1755 г, Ћ. Ёйлер дает общее определение функции: У огда некоторые количества завис€т от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаютс€ изменению, то первые называютс€ функци€ми вторыхФ. УЁто наименование, - продолжает далее Ёйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определ€етс€ с помощью другихФ. Ќа основе этого определени€ Ёйлера французский математик —. ‘. Ћакруа в своем У“рактате по дифференциальному и интегральному исчислениюФ, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: У¬с€кое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называетс€ функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первомуФ.

 ак видно из этих определений, само пон€тие функции фактически отождествл€лось с аналитическим выражением. Ќовые шаги в развитии естествознани€ и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение пон€ти€ функции.

Ѕольшой вклад в решение спора Ёйлера, ƒаламбера, ƒ. Ѕернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик ∆ан Ѕатист ∆озеф ‘урье (1768-1830), занимавшийс€ в основном математической физикой. ¬ представленных им в ѕарижскую јкадемию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространени€ тепла в твердом теле ‘урье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражени€ми.

»з трудов ‘урье €вствовало, что люба€ крива€ независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражени€ и что имеютс€ также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. ¬ своем У урсе алгебраического анализаФ, опубликованном в 1821 г., французский математик ќ.  оши обосновал выводы ‘урье. “аким образом, на известном этапе развити€ физики и математики стало €сно, что приходитс€ пользоватьс€ и такими функци€ми, дл€ определени€ которых очень сложно или даже невозможно ограничитьс€ одним лишь аналитическим аппаратом. ѕоследний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение пон€ти€ функции.

¬ 1834 г. в работе Уќб исчезании тригонометрических строкФ Ќ. ». Ћобачевский, развива€ вышеупом€нутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: Уќбщее пон€тие требует, чтобы функцией от х называть число, которое даетс€ дл€ каждого х и вместе с х постепенно измен€етс€. «начение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставатьс€ неизвестной... ќбширный взгл€д теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в св€зи, принимать как бы данными вместеФ.

≈ще до Ћобачевского аналогична€ точка зрени€ на пон€тие функции была высказана чешским математиком Ѕ. Ѕольцано. ¬ 1837 г. немецкий математик ѕ. Ћежен-ƒирихле так сформулировал общее определение пон€ти€ функции: Уу есть функци€ переменной х (на отрезке a £ х £ b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словамиФ.

“аким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений пон€тие функции освободилось от уз аналитического выражени€, от единовласти€ математической формулы. √лавный упор в новом общем определении пон€ти€ функции делаетс€ на идею соответстви€.

¬о второй половине XIX в. после создани€ теории множеств в пон€тие функции, помимо идеи соответстви€, была включена и иде€ множества. “аким образом, в полном своем объеме общее определение пон€ти€ функции формулируетс€ следующим образом: если каждому элементу х множества ј поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества ¬, то говор€т, что на множестве ј задана функци€ у = f (х), или что множество ј отображено на множество ¬. ¬ первом случае элементы х множества ј называют значени€ми аргумента, а элементы у множества ¬ - значени€ми функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. ¬ современном смысле рассматривают функции, определенные дл€ множества значений х, которые, возможно, и не заполн€ют отрезка a £ x £ b, о котором говоритс€ в определении ƒирихле. ƒостаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. ќбщее пон€тие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. ѕри любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

ќбщее определение функций по ƒирихле сформировалось после длившихс€ целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. ƒальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Ќо уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнени€ среди части математиков. ≈ще важнее была критика физиков, натолкнувшихс€ на €влени€, потребовавшие более широкого взгл€да на функцию. Ќеобходимость дальнейшего расширени€ пон€ти€ функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги Уќсновы квантовой механикиФ ѕол€ ƒирака, крупнейшего английского физика, одного из основател€ квантовой механики. ƒирак ввел так называемую дельта-функцию, котора€ выходит далеко за рамки классического определени€ функции. ¬ св€зи с этим советский математик Ќ. ћ. √юнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столети€ работы, в которых неизвестными €вл€ютс€ не функции точки, а Уфункции областиФ, что лучше соответствует физической сущности €влений.

¬ общем виде пон€тие обобщенной функции было введено французом Ћораном Ўварцем. ¬ 1936 г. 28-летний советский математик и механик —ергей Ћьвович —оболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению р€да задач математической физики. ¬ажный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Ћ. Ўварца - ». ћ. √ельфанд, √. ≈. Ўилов и другие.

ѕрослежива€ исторический путь развити€ пон€ти€ функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюци€ еще далеко не закончена и, веро€тно, никогда не закончитс€, как никогда не закончитс€ и эволюци€ математики в целом. Ќовые открыти€ и запросы естествознани€ и других наук приведут к новым расширени€м пон€ти€ функции и других математических пон€тий. ћатематика - незавершенна€ наука, она развивалась на прот€жении тыс€челетий, развиваетс€ в нашу эпоху и будет развиватьс€ в дальнейшем.

–азличные подходы к определению пон€ти€ функции.

ќбоснование функциональной линии как ведущей дл€ школьного курса математики Ч одно из крупнейших достижений современной методики. ќднако реализаци€ этого положени€ может быть проведена многими различными пут€ми; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого пон€ти€ функции.

ƒл€ того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиес€ методические трактовки этого пон€ти€; первую мы назовем генетической, а вторую Ч логической.

√енетическа€ трактовка пон€ти€ функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в пон€тие функции до середины XIX в. Ќаиболее существенными пон€ти€ми, которые при этой трактовке вход€т в систему функциональных представлений, служат переменна€ величина, функциональна€ зависимость переменных величин, формула (выражающа€ одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

√енетическое развертывание пон€ти€ функции обладает р€дом достоинств. ¬ нем подчеркиваетс€ Ђдинамическийї характер пон€ти€ функциональной зависимости, легко вы€вл€етс€ модельный аспект пон€ти€ функции относительно изучени€ €влений природы. “ака€ трактовка естественно ув€зываетс€ с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаютс€ аналитически или таблично.

√енетическа€ трактовка пон€ти€ функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. ќдним из очень существенных ограничений €вл€етс€ то, что переменна€ при таком подходе всегда не€вно (или даже €вно) предполагаетс€ пробегающей непрерывный р€д числовых значений. ѕоэтому в значительной степени пон€тие св€зываетс€ только с числовыми функци€ми одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). ¬ обучении приходитс€, использу€ и развива€ функциональные представлени€, посто€нно выходить за пределы его первоначального описани€.

Ћогическа€ трактовка пон€ти€ функции исходит из положени€ о том, что строить обучение функциональным представлени€м следует на основе методического анализа пон€ти€ функции в рамках пон€ти€ алгебраической системы. ‘ункци€ при таком подходе выступает в виде отношени€ специального вида между двум€ множествами, удовлетвор€ющего условию функциональности. Ќачальным этапом изучени€ пон€ти€ функции становитс€ вывод его из пон€ти€ отношени€.

–еализаци€ логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать пон€тие функции при помощи разнообразных средств; €зык школьной математики при этом обогащаетс€. ѕомимо формул и таблиц, здесь наход€т свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказываетс€ возможным рассматривать как функцию. ќбобщенность возникающего пон€ти€ и вытекающие отсюда возможности установлени€ разнообразных св€зей в обучении математике Ч основные достоинства такой трактовки.

ќднако выработанное на этом пути общее пон€тие оказываетс€ в дальнейшем св€занным главным образом с числовыми функци€ми одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируетс€ на генетической основе.

“аким образом, если генетический подход оказываетс€ недостаточным дл€ формировани€ функции как обобщенного пон€ти€, то логический обнаруживает определенную избыточность. ќтметим, что различи€ в трактовках функции про€вл€ютс€ с наибольшей резкостью при введении этого пон€ти€. ¬ дальнейшем изучении функциональной линии различи€ постепенно стираютс€, поскольку изучаетс€ в курсах алгебры и начал анализа не само пон€тие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложени€ в задачах естествознани€ и общественного производства.

¬ современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был прин€т генетический подход к пон€тию функции. ќдновременно учитываетс€ все ценное, что можно извлечь из логического подхода. »сход€ из этого при формировании пон€тий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучени€ строитс€ так, чтобы внимание учащихс€ сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлени€х, св€занных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействи€ при развертывании учебного материала. »ными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов пон€ти€ функции и установлена св€зь между ними. ¬ эту систему вход€т такие компоненты:

- представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

- представление о функции как о соответствии;

- построение и использование графиков функций, исследование функций;

- вычисление значений функций, определенных различными

способами.

¬ процессе обучени€ алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к пон€тию функции, но акцент может быть сделан на одном из них.  ак только что мы отметили, функциональный компонент €вл€етс€ основой введени€ и изучени€ пон€ти€ функции. Ќа этой основе при организации работы над определением ввод€тс€ и другие компоненты, про€вл€ющиес€ в различных способах задани€ функциональной зависимости и ее графического представлени€.

–ассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относ€щемс€ к формированию прикладных умений и навыков.

ѕример 1. — мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно та€л, когда он раста€л весь, температура воды стала повышатьс€, пока не сравн€лась с температурой в комнате. Ќа рисунке изображен график зависимости температуры от времени.

ќтветьте на вопросы: а)  акова исходна€ температура льда? б) «а какое врем€ температура льда повысилась до 0 ∞—? в)  ака€ температура в комнате? г) ”кажите область, на которой определена функци€, промежутки ее возрастани€, промежуток, на котором она посто€нна.

¬ этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. ѕроцесс с самого начала представлен как функциональна€ зависимость. ¬ вопросах требуетс€ уточнить характер этой зависимости (вопрос г)), вы€снить соответствующие значени€ функции и аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).

ѕон€тие функции, в системе формировани€ которого должны присутствовать такие задани€, сразу выступает в курсе математики как определЄнна€ математическа€ модель, что и €вл€етс€ мотивировкой дл€ его углублЄнного изучени€.

ћетодика введени€ пон€тий: функции, аргумента, области определени€.

Ќе смотр€ на чрезвычайно большой объем, широту и сложность пон€ти€ функции, его простейший вариант даетс€ уже в средних классах школы. Ёто пон€тие в дальнейшем играет важную роль, €вл€€сь базовым пон€тием в изучении алгебры и начал анализа. Ќачина€ с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. –ассматриваютс€ различные классы функций: начина€ с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. ¬ более старших классах ввод€тс€ тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. ¬се эти функции рассматриваютс€ только как функции одной переменной, причем сами переменные не выход€т за рамки множества вещественных чисел.

¬ насто€щее врем€, на волне педагогического поиска, стало по€вл€тьс€ множество экспериментальных учебников дл€ использовани€ в школе. Ќар€ду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихс€ изучени€ функций. „асто нарушаетс€ логический пор€док следовани€ изучаемых разделов, допускаютс€ ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощаетс€, примитивизируетс€ или наоборот, чрезмерно перегружаетс€ терминами и символикой.

¬ведение пон€ти€ функции Ч длительный процесс, завершающийс€ формированием представлений о всех компонентах этого пон€ти€ в их взаимной св€зи и о роли, играемой им в математике и в ее приложени€х. Ётот процесс ведетс€ по трем основным направлени€м:

- упор€дочение имеющихс€ представлений о функции, развертывание системы пон€тий, характерных дл€ функциональной линии (способы задани€ и общие свойства функций, графическое

истолкование области определени€, области значений, возрастани€ и т. д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счет включени€ в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

ѕервое из этих направлений про€вл€етс€ в курсе школьной алгебры ранее остальных.

¬ реализации этого направлени€ значительное место отводитс€ усвоению важного представлени€, вход€щего в пон€тие функции,Ч однозначности соответстви€ аргумента и определенного по нему значени€ функции. ƒл€ рассмотрени€ этого вопроса привлекаютс€ различные способы задани€ функции.

„аще других в математике и ее приложени€х примен€етс€ задание функции формулой. ¬се другие способы играют подчиненную роль. »менно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении удел€етс€ тем функци€м и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражени€. ќднако при введении пон€ти€ сопоставление разных способов задани€ функции выполн€ет важную роль. ¬о-первых, оно св€зано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат дл€ удобного в определенных обсто€тельствах представлени€ функции, имеющей аналитическую форму записи. ¬о-вторых, оно важно дл€ усвоени€ всего многообрази€ аспектов пон€ти€ функции. ‘ормула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты пон€ти€ функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

»спользование перевода задани€ функции из одной формы представлени€ в другую Ч необходимый методический прием при введении пон€ти€ функции.

–еализаци€ этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. ≈сли ограничитьс€ основными способами представлени€ функции Ч формулой, графиком, таблицей, то получитс€ 6 типов упражнений, при которых форма представлени€ мен€етс€, и 3 Ч при которых она остаетс€ такой же. ѕриведем примеры заданий первого типа Ч изменени€ формы представлени€:

а) »зобразить график функции у = 4х+1 на промежутке [0; 2].

б) ѕроверить, насколько точна таблица квадратов чисел, вз€в несколько значений дл€ аргумента и провед€ расчет: x=1,35; 2,44; 9,4; 7; 6,25.

в) Ќа рисунке изображены точки на координатной плоскости, выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.

ѕостроить график зависимости давлени€ от времени в промежутке 12≤t≤18, соединив эти точки плавной линией.

ћы рассмотрим методику работы с этими задани€ми только на этапе первоначального ознакомлени€ с пон€тием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. Ќа рассмотренном этапе учащиес€ еще не знают общего вида графика линейной функции (задание а)). ѕоэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам. ”читель может обратить внимание на то, что по точкам нельз€ построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на пр€мой; оказываетс€, что это замечание верно. “аким образом, можно установить св€зи с дальнейшим изучением материала. —пособ построени€ графика функции по точкам иллюстрируетс€ заданием в); пользу€сь конкретным содержанием задани€, учитель может отметить, что предлагаемые учащимис€ графики могут отличатьс€ от действительного положени€, но что на практике этим приемом часто приходитс€ пользоватьс€ (интерпол€ци€). ¬ задании б) можно отметить св€зь функциональных представлений с числовой системой Ч с пон€ти€ми точного и приближенного числового значени€. — их сопоставлением посто€нно приходитс€ сталкиватьс€ при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

¬ насто€щее врем€ в изучении пон€ти€ функции в школе преобладающими €вл€ютс€ два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. —ложившись исторически, они наиболее полно отвечают цел€м и задачам образовани€, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.

¬от как, примерно, реализуетс€ индуктивный подход к изучению пон€ти€ функции в 7 классе:

УЌа практике мы часто встречаемс€ с зависимост€ми между различными величинами. Ќапример, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем пр€моугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

¬ дальнейшем мы будем изучать зависимость между двум€ величинами.

–ассмотрим примеры.Ф

ƒалее следуют примеры призванные нагл€дно продемонстрировать только что изложенный материал.

ѕример 2. ѕлощадь квадрата зависит от длины его стороны. ѕусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.

ƒл€ каждого значени€ переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

“ак,

если a = 3, то S = 32 = 9;

если a = 15, то S = 152 = 225;

если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.

«ависимость переменной S от переменной a выражаетс€ формулой

S = a2

(по смыслу задачи a > 0).

«атем даетс€ первое определение зависимой и независимой переменных:

Уѕеременную a, значени€ которой выбираютс€ произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значени€ которой определ€ютс€ выбранными значени€ми a, - зависимой переменнойФ.

ѕ р и м е р 3. Ќа рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток.

— помощью этого графика дл€ каждого момента времени t (в часах), где 0 £ t £ 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах ÷ельси€). Ќапример,

если t = 6, то p = -2;

если t = 12, то p = 2;

если t = 17, то p = 3;

«десь t €вл€етс€ независимой переменной, а p - зависимой переменной.

ѕример 4. —тоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относитс€ станци€. Ёта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующа€ стоимость проезда в рубл€х):

ѕо этой таблице дл€ каждого значени€ n, где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m. “ак,

если n = 2, то m = 1.5;

если n = 6, то m = 4 ;

если n = 9, то m = 8.5;

¬ этом случае n €вл€етс€ независимой переменной, а m - зависимой переменной.Ф

ќбилие примеров, призванных проиллюстрировать пон€тие функции, объ€сн€етс€ тем фактом, что провод€ аналогии между различными примерами, учащиес€ интуитивно нащупывают суть этого пон€ти€, стро€т догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. ¬торой не менее важной причиной €вл€етс€ то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. ¬ первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем это таблица. Ёто не случайность, разбира€ примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задани€ функций. » когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задани€ функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что дл€ них он не будет абсолютно новым - они уже сталкивались с этим ранее. †

ƒалее даетс€ само определение функции, ввод€тс€ термины аргумент и значение функции.

У¬ рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. “акую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Ќезависимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говор€т, что она €вл€етс€ функцией от этого аргумента. “ак, площадь квадрата €вл€етс€ функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с посто€нной скоростью, €вл€етс€ функцией от времени движени€. «начени€ зависимой переменной называют значени€ми функции.

¬се значени€ которые принимает независима€ переменна€, образуют область определени€ функции.Ф

“ак на практике реализуетс€ индуктивный подход к изучению функций в школе. јльтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хот€ и примен€етс€ реже, имеет целый р€д положительных аспектов, которые и стали причиной его применени€ в школе. ƒл€ этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопон€тного при первом прочтении, и дальнейша€ углубленна€ проработка всех примеров, терминов и определений. “акой подход к изучению функций и не только их позвол€ет учащимс€ самосто€тельно попытатьс€ проследить логические св€зи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной де€тельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. ¬от как выгл€дит изложение той же темы Уѕон€тие функцииФ в соответствии с дедуктивным подходом:

1. «ависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимост€ми.

2. «ависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. ѕри этом используют запись у = f (х).

3. ѕеременную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. √овор€т, что у €вл€етс€ функцией от х.

4. «начение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

5. ¬се значени€, которые принимает независима€ переменна€, образуют область определени€ функции; все значени€, которые принимает зависима€ переменна€, образуют множество значений функции.

6. ƒл€ функции f прин€ты обозначени€: D ( f ) -область определени€ функции, E ( f ) - множество значений функции, f (х0) - значение функции в точке х0.

7. ≈сли D ( f ) Ì R и E ( f ) Ì R, то функцию называют числовой.

8. Ёлементы множества D ( f ) также называют значени€ми аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) - значени€ми функции.

9. ≈сли функци€ задана формулой и область определени€ функции не указана, то считают, что область определени€ состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

10. √рафиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значени€м аргумента, а ординаты - соответствующим значени€м функции.

«атем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихс€. “щательно рассматриваютс€ все определени€, прорешиваютс€ примеры - идет усвоение нового материала.

ћетодика изучени€ пр€мой и обратной пропорциональной зависимости

¬ведение пон€тий пр€мой и обратной пропорциональной зависимости €вл€етс€ важным шагом на пути к введению пон€ти€ функциональной зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций. »спользу€ на практике индуктивный подход и знани€ о пропорции, полученные учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию пон€тий пр€мой и обратной пропорциональной зависимости.

Ќапример:

Ђ„лены пропорции обладают свойством, которое называют основным свойством пропорции. ¬о вс€кой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть если a/b=c/d , то a Ј d = b Ј c . Ёто свойство примен€етс€ при нахождении неизвестного члена пропорции.

ѕусть a/x = c/d , то x = a Ј d/c .

ѕосмотрите, как можно использовать знани€ математики в русском €зыке!

»менительный падеж - кто? что?

–одительный падеж - кого? чего?

ƒательный падеж - кому? X ?

Ќедостающий вопрос дательного падежа - чему?

¬ окружающем нас мире большое множество пропорций или отношений. ќни дел€тс€ на две большие группы:

пр€мо пропорциональные и обратно пропорциональные.

ѕр€мо пропорциональные :

1. ƒлина пути, пройденна€ равномерно движущимс€ телом, и врем€, затраченное на этот путь.

2. ƒлина окружности и ее радиус.

3. ƒлина сторон пр€моугольника и его периметр (площадь).

ќбратно пропорциональные :

1. –адиус колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути.

2. —корость движени€ и врем€ в пути.

ѕропорциональность - така€ зависимость между величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой величины.

ѕр€ма€ и обратна€ пропорциональные зависимости выражаютс€ формулами: y = a Ј x и y = a/x , (x отличен от нул€), где x и y - переменные величины, а - коэффициент пропорциональности, который и показывает, во сколько раз происход€т изменени€. а - действительное число отличное от нул€. Ёти зависимости можно изобразить графически. ї

¬ качестве закреплени€ пон€тий пр€мой и обратной пропорциональной зависимости преподаватель может дать несколько заданий:

1) ќпределить, €вл€етс€ ли пр€мой пропорциональной, обратной пропорциональной или не €вл€етс€ пропорциональной зависимость между величинами:

а) путем, пройденным автомашиной с посто€нной скоростью, и временем ее движени€;

б) скоростью движени€ и временем, если длина пути 120 км;

в) количеством машин и их грузоподъемностью;

г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его количеством;

д) объемом пр€моугольного параллелепипеда и высотой, если площадь его основани€ 15 дм2 ;

е) числом рабочих, выполн€ющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу и временем выполнени€ работы;

ж) площадью квадрата и длиной его стороны;

з) ростом ребенка и его возрастом.

2) «адача на пр€мо пропорциональную зависимость:

–ассто€ние между городами ј и ¬ на карте равно 5,6 см, а на местности 420 км.

 акое рассто€ние между городами — и ƒ на местности, если на этой же карте рассто€ние между ними 3,6 см?

3) «адача на обратную пропорциональную зависимость:

28 рабочих могут выполнить строительные работы за 17 дней.

—колько нужно рабочих, чтобы выполнит те же работы за 14 дней, если производительность труда останетс€ неизменной?

ћетодика изучени€ линейной, квадратной и кубической функции в VII классе.

Ѕольшинство изучаемых в школьной математике функций образует классы, обладающие общностью аналитического способа задани€ функции из него, сходными особенност€ми графиков, областей применени€. ќсвоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических дл€ неЄ, с общим представлением о функции непосредственно, без выделени€ промежуточных звеньев. ќднако длительность периода независимого рассмотрени€ каждой функции незначительна; в курсе алгебры вслед за введением пон€ти€ о функции сразу рассматриваетс€ первый класс Ц линейные функции. ƒл€ функций, вход€щих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нЄм выдел€ютс€ новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере Ђтипичнойї функции этого класса.

“ипичный и одновременно важнейший дл€ математики класс функций Ч линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрени€ изучени€ характерных дл€ этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

ѕервоначальное представление о линейной функции выдел€етс€ из рассмотрени€ задачи, обычно св€занной с равномерным пр€молинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. –ассмотрим второй из этих источников. ќсновна€ мысль, которую мы попытаемс€ обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно вз€той линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

ƒл€ этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале изучени€ темы приема построени€ графиков линейной функции.

ѕервый способ. »спользование Ђзагущени€ї точек на графике. ѕредполагаетс€ следующа€ последовательность действий по этому приему:

а) нанесение нескольких точек;

б) наблюдение Ч все построенные точки расположены на одной пр€мой; проведение этой пр€мой;

в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисл€ем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость Ч она принадлежит построенной пр€мой. ќтсюда делаетс€ вывод о графике данной линейной функции.

Ётот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции Ч пр€ма€, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. ќднако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. ѕоэтому общее свойство будет при этом формироватьс€ на основе изолированных примеров.

¬торой способ. ѕо двум точкам. Ётот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. ¬ы€влени€ новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточиваетс€ на конкретной функции из класса. «аметим, что в обучении происходит последовательна€ смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают примен€ть второй Ч он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна пр€ма€.

ƒл€ того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую дл€ учащихс€ познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Ёта задача возникает сразу же вслед за введением пон€ти€ функции. Ќаиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров измен€етс€, а другой остаетс€ посто€нным. ѕростейша€ система, реализующа€ этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением св€зей между ними.

ѕример 5. ѕостройте графики функций:

у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.

ќсновна€ часть работы начинаетс€ после построени€ графиков. »х нужно сравнить, обраща€ внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. ќпишем, например, методику вы€снени€ геометрического смысла коэффициентов при переменной.

—ледует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и дл€ графиков (в) и (г).  роме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). — другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле дл€ первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. ћожно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин Ђугловой коэффициентї и привести несколько закрепл€ющих упражнений.

«начительные трудности представл€ет случай отрицательных значений углового коэффициента; дл€ него требуетс€ отдельна€ работа, построенна€ аналогичным образом.

ѕриведЄм пример закрепл€ющего упражнени€: на одном и том же чертеже изображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2.

ѕостроить на этом же чертеже графики функций у = 3хЧ1;

у = 3/4х Ч 1; объ€снить построение.

≈сли параметры, определ€ющие класс функций, имеют €сный геометрический смысл, то описанный прием изучени€ дает достаточно полное представление об этом классе. ќднако в школьном курсе алгебры рассматриваютс€ и такие классы, при изучении которых оказываетс€ необходимым использовать и другие приемы.

Ќапример, к изучению класса квадратичных функций привлекаетс€ прием, основанный на преобразовании выражени€, задающего функцию, к виду а (х Ч b)2 + с, использовании геометрических преобразований дл€ построени€ графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положени€ Ч графика функции у=ах2, а≠0.

ќстановимс€ на этом классе функций подробнее.  вадратична€ функци€ вводитс€ и изучаетс€ в тесной св€зи с квадратными уравнени€ми и неравенствами.

ѕервой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучени€ собственного класса, рассматриваетс€ функци€ у=х2. —войства этой функции во многом отличаютс€ от рассмотренного ранее случа€ линейных функций. ѕрежде всего, эта функци€ немонотонна; только на этом этапе у учащихс€ по€вл€етс€ пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определени€. „тобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимс€ следующее задание: функци€ задана формулой у=х2 на промежутке -2≤х≤3. Ќайти множество значений этой функции. ѕеренос€ свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиес€ часто делают ошибку, привод€ ответ: промежуток 4≤x≤9. Ёта ошибка дл€ своего устранени€ требует рассмотрени€ графика функции у=х2.

ƒругое отличие состоит в том, что характер изменени€ значений функции у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других Ч медленнее. Ёта особенность вы€вл€етс€ при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один Ч в крупном масштабе на промежутке,. -1≤x≤1, другойЧв мелком масштабе на промежутке, например, -3≤х≤3. ѕостроение можно вести описанным выше методом загущени€. ¬ажно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функци€ у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.

Ќаиболее существенное применение, эта функци€ имеет при рассмотрении пон€ти€ иррационального числа. ѕервый пример иррационального числа (-√2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объ€снить его св€зь с графическим методом решени€ уравнени€ х2=2.

»зучение класса квадратичных функций начинаетс€ с изучени€ функций вида у=ах2; при этом вы€сн€етс€ геометрический смысл коэффициента а. ƒалее вводитс€ более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. » здесь также коэффициент с получает €сную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо €вно использу€ пон€тие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

ѕример 6. «адан график функции у=х2. ѕостроить на этом чертеже график функции у=х2+1.

«аметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваютс€, конечно, конкретные значени€) значени€ функции у=х2+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2. ѕоэтому дл€ построени€ соответствующей точки на графике второй функции достаточно подн€ть на 1 точку графика первой функции с абсциссой ’о. —ледовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно подн€ть на 1 график первой.

Ёто рассуждение хорошо усваиваетс€ учащимис€, целесообразно применить его и при изучении класса линейных функций. ¬ дальнейшем при обобщении свойств графиков его можно сформулировать так: Ђ„тобы построить график функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординатї.

ѕосле этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Ќо здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет дл€ квадратичной функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. »менно поэтому приходитс€ идти обходным путем, следу€ тем же преобразовани€м, которые производились при выводе формулы решени€ квадратного уравнени€, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2. ќбъ€снени€ при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида у=x2+с, однако усваиваетс€ предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуетс€ достаточное количество упражнений дл€ закреплени€. ѕосле таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происход€т без принципиальных затруднений.

ќтметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель Ч дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указани€ точного значени€ величин, св€занных с рассматриваемым вопросом. Ётот прием можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. ѕриведем два примера, св€занные с изучением квадратичных функций.

ѕример 7. Ќа рисунке изображены графики функций у=х2 и у= Ч0,5х2.  ак относительна них пройдет график функции y=0,5х2; -2х2; «х2? Ёто задание не предполагает Ђточногої построени€ искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.

ѕример 8. Ќа рисунке изображен график функции у=х2+1, Ч2<х<2. ѕользу€сь этим чертежом, изобразить от руки график функции у=х2+ 0,3. ѕроверить правильность сделанного эскиза: вычислить значени€ функции у = х2 при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика.  аким преобразованием можно перевести график функции

у=х2-1 в график функции у=х2?

÷ель задани€ Ч согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу. √рафик функции у = x2 + 0,3 симметричен относительно оси ординат, значит, рисунок не должен быть скошенным. ≈го симметричность подчеркиваетс€ симметричным расположением Ђпробныхї значений аргумента. ѕоложение точек на чертеже должно выправить распространенную неточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные от руки ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должны быть. ѕоэтому пробные точки (их ординаты вычисл€ютс€ по условию, а не ищутс€ по чертежу) попадают в полосу между изображенными лини€ми. “о, что графики сближаютс€ по мере удалени€ от начала координат, требует по€снений, которые можно сделать при обсуждении.

  изучению класса кубических функций привлекаетс€ прием, аналогичный изучению квадратичных функций, основанный на использовании геометрических преобразований дл€ построени€ графика произвольной кубической функции из кубической параболы стандартного положени€ Ч графика функции у=ах³, а≠0.

 ак и в случае с квадратичной функцией у=х² видим , что характер изменени€ значений функции у=х³ неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других Ч медленнее. Ёта особенность вы€вл€етс€ при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один Ч в крупном масштабе на промежутке,. -1≤x≤1, другойЧв мелком масштабе на промежутке, например, -2≤х≤2. ѕостроение можно вести описанным выше методом загущени€. ¬ажно отметить свойство кубической параболы - симметричность еЄ графика относительно начала координат.

ƒалее вводитс€ более широкий класс функций, имеющий вид у=ах3+с. » здесь также коэффициент с получает €сную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо €вно использу€ пон€тие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

ѕример 9. «адан график функции у=х³. ѕостроить на этом чертеже график функции у=х³-2.

«десь также можно поступить по аналогии с рассмотренными примерами при рассмотрении квадратичной функции.

ƒалее необходимо подвести учащихс€ к основным свойствам функции y=x3:

ќбласть определени€ - вс€ числова€ пр€ма€;

y=x3 -нечетна€ функци€;

‘ункци€ возрастает на всей числовой пр€мой.

ћетодика введени€ пон€ти€ обратной функции и функции вида y=√¯х в VIII классе

ѕон€тие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходитс€ вводить их посредством €вного определени€. –оль обратной функции велика. »спользование обратной функции необходимо дл€ введени€ большого количества классов основных элементарных функций: корн€ k-й степени, логарифмической , обратных тригонометрических функций. ѕри изучении обратной функции вы€сн€етс€ зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции Ц это необходимо дл€ того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.

ѕреподаватель может подвести учащихс€ к пон€тию обратной функции, поставив новую дл€ учащихс€ познавательную задачу. Ќа основе усвоенного учениками важного представлени€, вход€щего в пон€тие функции,Ч однозначности соответстви€ аргумента и определенного по нему значени€ функции провести следующее рассуждение:

Ђ аждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. ќднако в некоторых случа€х соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство, которое каждому допустимому значению переменной величины y ставит в соответствие вполне определЄнное значение переменной величины x.ї ƒалее следует по€снение данного сопоставлени€ на примере.

ѕример 10. –авенство y=2x-1 каждому значению y ставит в соответствии следующее значение x: x=(y+1)/2. например при у=1 х=1; при у=2 х=1,5; при у=3 х=2 и так далее. ѕоэтому можно сказать что равенство y=2x-1 определ€ет х как некоторую функцию переменной величины у. ¬ €вном виде эта функци€ записываетс€ таким образом: : x=(y+1)/2.

Ђ≈сли в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:

y=f(x), и х=φ(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х Ц в роли функции. ѕереписав в привычном виде мы получим у=φ(х).

ќпределенна€ таким образом функци€ у=φ(х) называетс€ обратной по отношению к функции y=f(x).

≈сли функци€ y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке ’ и областью ее значений €вл€етс€ промежуток Y, то у нее существует обратна€ функци€, причем обратна€ функци€ определена и возрастает(убывает) на Y.

“аким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно пр€мой y=x.ї

ћетодика введени€ пон€ти€ функции вида y=√¯х основана на на аналогичном примере:

ѕример 11. ѕусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь S cм².  аждому, значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. «ависимость площади квадрата от его стороны выражаетс€ формулой S=a², где a>0. Ќаоборот, дл€ каждого значени€ площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. «ависимость стороны квадрата от eго площади выражаетс€ формулой a=√¯S ‘ормулами S=a², где a>0, a=√¯S задаютс€ функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной €вл€етс€ сторона квадрата a, а во втором Ч площадь S.

≈сли в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:

у=х² , где х>0, и у=√¯х.

ѕостроим график известной учащимс€ функции у=х² и предложить им составить таблицу значений функции у=√¯х.

0 0,5 1 2 3 4 5 6
0 0,7 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4

ѕо точкам таблицы построить график функции у=√¯х и затем предложить сформулировать некоторые свойства функции.

ѕодвести учащихс€ к пон€тию симметричности графиков относительно

пр€мой у=х.

ƒл€ закреплени€ темы найти по графику значени€ аргумента по функции и наоборот.

ѕример 12. ѕользу€сь графиком найдите:

а) значение √¯х при х=0,5; 5,5; 8,4;

б) значение х, которому соответствует √¯х =1,2; 1,7; 2,5.

«аключение

–ассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучени€ этого пон€ти€. ќни лишь €вл€ютс€ основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентиру€сь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучени€, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучени€ математике в школе.

—писок литературы

Ћ€щенко ≈.». »зучение функций в курсе математики восьмилетней школы. ћинск, 1970 г.

јлгебра: учебник дл€ 7 класса общеобразовательных учреждений.\ под ред. —.ј. “ел€ковского Ц 5-е издание Ц ћ.ѕросвещение,1997.

јлгебра: учебник дл€ 8 класса общеобразовательных учреждений.\ под ред. —.ј. “ел€ковского Ц 2-е издание Ц ћ.ѕросвещение,1991.

¬иленкин Ќ.я. и др. —овременные основы школьного курса математики. Ц ћ.ѕросвещение,1980.

Ѕлох ј.я., √усев ¬.ј. и др. ћетодика преподавани€ математики в средней школе. Ц ћ.ѕросвещение,1987.

5.  рамор ¬. —. ѕовтор€ем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, ћосква, ѕросвещение, 1990 г.

6. –ыбников  .ј. ¬озникновение и развитие математической науки, ћосква, ѕросвещение, 1987 г.

»зучение функций в курсе математики VII-VIII классов  урсова€ работа по теории и методике обучени€ математике на тему ¬ыполнила студентка группы ћз-401 Ѕарейчева Ћ.¬. ‘едеральное агентство по образованию “оль€ттинский государственный ун

 

 

 

¬нимание! ѕредставленна€  урсова€ работа находитс€ в открытом доступе в сети »нтернет, и уже неоднократно сдавалась, возможно, даже в твоем учебном заведении.
—оветуем не рисковать. ”знай, сколько стоит абсолютно уникальна€  урсова€ работа по твоей теме:

Ќовости образовани€ и науки

«аказать уникальную работу

—вои сданные студенческие работы

присылайте нам на e-mail

Client@Stud-Baza.ru