База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индивидуальная работа по математической статистике

 

Тема: «Критерий w² фон Мизеса»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:                                                   студент гр. 8216-2  Безбородов Вячеслав

 

Проверила:                                                                       Лысенко Елена Анатольевна

 

 

 

 

 

 

 

 

Запорожье

2009

 

 

Критерий w² Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H₀: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q – известное значение параметра (скалярного или векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик критерия согласия w ² не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят, что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.

            При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X:

1.              Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

2.              Из совокупности отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x₁ £ x₂ £ … £ x_n.

3.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия w² Мизеса. 

4.              В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

где G(S|H₀) – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H₀. Если P{S>S^*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H₀ отвергается.

Можно вычисленное значение статистики S^* сравнить с критическим значением S_a , определяемым из условия

Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает в критическую область, т. е. при S^*> S_a .

 

Нулевая гипотеза

         В критериях типа w² расстояние между гипотетическим и истинным рас­пределениями рассматривают в квадратичной метрике.

         Проверяемая гипотеза H₀ имеет вид

                          

при альтернативной гипотезе

,                         

где E[^.]  - оператор математического ожидания,  y(t) - заданная на отрезке 0£t£1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t²y(t) интегрируемы на отрезке 0£t£1. Статистику крите­рия  выражают соотношением

,       

где

,    .

        

 

 

 

Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова

 При выборе y(t) º1 для критерия w² Мизеса получают статистику вида (статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)

,                       

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией рас­пределения a1(S), имеющей вид

,                           

Алгоритм

1.       Значение статистики Крамера-Мизеса-Смирнова S^* вычисляется по формуле

_.

2.       Значение вероятности P{S>S^*}=1-a1(S^*) вычисляется по функции распределения a1(S)

,

 

или берется из таблицы 1 приложения.

3.       Критические значения критерия S_a при заданном a могут быть взяты из таблицы 2.

4.       Гипотеза H₀ не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*

P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a .

Пример 1.

Гипотеза Н₀: рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим распределении.

1.    Дано распределение детей по росту: 133, 125, 120, 145, 151,  114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).

Рост, см	F(x;Θ)	S*
114	0,09375	1,596169
120	0,098684
125	0,102796
133	0,109375
139	0,114309
139	0,114309
145	0,119243
150	0,123355
151	0,124178

2.    a1(S*)≈ 0,999 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.

Гипотезу Н_о опровергаем, выборка не находится в согласии с теоретическим распределением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

Гипотеза Н₀: Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически согласовано.

1.    Имеются данные о количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «Seward Fisheries» на Аляске:

1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.

Вес, млн кг	F(x;Θ)	Сумма	S*
0,6	0,117647	0,000311	0,71288
0,8	0,156863	0,020488
1	0,196078	0,092368
1,2	0,235294	0,215952
1,5	0,294118	0,367093

 

2.    a1(S*)= 0, 99036 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,01 a1(S)= 0,7434.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<0,71288}=1-0, 99036 0,00964<0,01.

Гипотезу Н_о опровергаем, количество рыбы на Аляске теоретически не согласовано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.

Гипотеза Н₀: Средний балл студента Иванова И.И.  за последние 5 сессий согласован с теоретическим распределением.

1.    Средние баллы за каждую из 5 последних сессий такие:

4; 4,2; 4; 4,3; 4.

Оценка	F(x;Θ)	Сумма	S*
4	0,195122	0,012497	0,594398
4,2	0,204878	0,002036
4	0,195122	0,049082
4,3	0,209756	0,13956
4	0,195122	0,30789

 

2.    a1(S*)= 0, 98314 (из таблицы 1)

3.    На уровне значимости α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)= 0,3473.

4.    Подтверждение гипотезы находим по формуле: P{S>S^*}=1-a1(S^*)>a

P{S<0,594398}=1-0, 98314 0,01686<0,1.

Гипотезу Н_о, оценки студента теоретически не согласованы.

 

 

 

 

Таблица 1

Функция распределения статистики w 2 Мизеса a1(S) при проверке простой гипотезы
S	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,00000	00001	00300	02568	06685	12372	18602	24844	30815	36386
0,1	0,41513	46196	50457	54329	57846	61042	63951	66600	69019	71229
0,2	0,73253	75109	76814	78383	79829	81163	82396	83536	84593	85573
0,3	0,86483	87329	88115	88848	89531	90167	90762	91317	91836	92321
0,4	0,92775	93201	93599	93972	94323	94651	94960	95249	95521	95777
0,5	0,96017	96242	96455	96655	96843	97020	97186	97343	97491	97630
0,6	0,97762	97886	98002	98112	98216	98314	98406	98493	98575	98653
0,7	0,98726	98795	98861	98922	98981	99036	99088	99137	99183	99227
0,8	0,99268	99308	99345	99380	99413	99444	99474	99502	99528	99553
0,9	0,99577	99599	99621	99641	99660	99678	99695	99711	99726	99740
1,0	0,99754	99764	99776	99787	99799	99812	99820	99828	99837	99847
1,1	0,99856	99862	99869	99876	99883	99890	99895	99900	99905	99910
1,2	0,99916	99919	99923	99927	99931	99935	99938	99941	99944	99947
1,3	0,99950	99953	99955	99957	99959	99962	99964	99965	99967	99969
1,4	0,99971	99972	99973	99975	99976	99978	99978	99979	99980	99980

Таблица 2

Процентные точки распределения статистики w 2 Мизеса при проверке простой гипотезы
Функция распределения	Верхние процентные точки
	0,15	0,1	0,05	0,025	0,01
a1(S)	0,2841	0,3473	0,4614	0,5806	0,7434

 

Министерство образования и науки Украины Запорожский национальный университет Индивидуальная работа по математической статистике Тема: &laquo;Критерий w2 фон Мизеса&raquo; Выполнил: студент гр. 8216-2

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу