База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова

для краевых задач.

www.vinogradov-alexei.narod.ru

Автор нового метода: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).

Метод придуман вечером 17 марта 2006 года. Метод ещё не обсчитан на компьютерах, но имеет чёткое обоснование и может быть полезен для тех, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого метода (сам я заниматься программированием не имею возможности).

1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено так, чтобы было понятно выпускникам вузов).

В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:

Y(x)’=A(x)·Y(x) + F(x),

где Y(x) - вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ - вектор-столбец производных искомых функций, A(x) - квадратная матрица коэффициентов, F(x) – вектор внешних воздействий на систему.

Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:

Y(x)’=A(x)·Y(x),

но метод справедлив и для неоднородной системы.

Условия на левом крае записываются в виде:

L·Y(0) = L,

где Y(0) - вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.

Аналогично записываются условия на правом крае:

R·Y(1) = R,

где Y(1) - вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.

В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(х¬0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)

Y(x)=K(х¬0)·Y(0),

где K(х¬0)=exp(Ax)

при условии, что матрица A=constant.

При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:

Y(x)=K(х¬0)·Y(0),

где K(х¬0)=K(х4¬x3) · K(х3¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0),

где K(хj¬xi)=exp(A(xi)x),

то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.

 2. Новый метод Алексея Юрьевича Виноградова – метод «дополнительных краевых условий».

Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:

M·Y(0) = M.

В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор M правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что задача решена, то есть задача сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:

                                                                        | L  |             | L  |

                                                                        |----| ·Y(0) = |----|

                                                                        | M |             | M |,

то есть вектор Y(0) находиться из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков L и M.

Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:

N·Y(1) = N,

где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно-независимых параметров на правом крае, а вектор N неизвестен.

Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:

                                                                        | R  |             | R  |

                                                                        |----| ·Y(1) = |----|

                                                                        | N  |             | N  |,

Запишем Y(1)=K(1¬0)·Y(0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:

                                                                        | R  |                           | R  |

                                                                        |----| · K(1¬0)·Y(0) = |----|

                                                                        | N  |                           | N  |.

Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу

                                                                                   | L  |-1    | L  |

                                                                       Y(0) =  |----|     · |----|

                                                                                   | M |        | M |

и подставим в предыдущую формулу:

                                                  | R  |                    | L  |-1    | L  |          | R  |

                                                  |----| · K(1¬0) ·   |----|     · |----|   =    |----|

                                                  | N  |                    | M |        | M |         | N  |.

Таким образом мы получили систему уравнений вида

                                                                                         | L  |         | R  |

                                                                                   B · |----|   =    |----|

                                                                                         | M |         | N  |,

где матрица B известна, а векторы M и N неизвестны.

Разобьём матрицу B на естественные для нашего случая 4 блока B11, B12, B21 и B22 и получим:

                                                   |   B11  |    B12  |    | L  |         | R  |

                                                   |------------------|  · |----|   =    |----|

                                                   |   B21  |    B22  |    | M |         | N  |,

откуда можем записать, что

B11· L + B12 · M = R,

B21· L + B22 · M = N.

Следовательно, искомый вектор M вычисляется по формуле

       M =  (B12)обратная · ( R - B11· L).

А искомый вектор N вычисляется по формуле

N = B21· L + B22 · M.

3. Про «жесткие» краевые задачи.

При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных уравнений они иногда оказываются «жёсткими».

Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала.

Для решения таких краевых задач с «жёсткими» дифференциальными уравнениями обычно применяют специальные приёмы-методы.

«Жёсткие» краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова. Познакомиться с «методом переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке www.AlexeiVinogradov.narod.ru.

С тем как решаются проблемы метода С.К.Годунова можно посмотреть на страничке www.VinogradovAlexei.narod.ru.

4. Применение метода «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для «жестких» краевых задач.

Вы можете сами придумать, как применить ортонормирование к изложенному методу. Могу предложить идею построчного ортонормирования по аналогии с моим методом, изложенным на страничке www.AlexeiVinogradov.narod.ru.

Эта идея построчного ортонормирования выливается в данном случае в одностороннюю прогонку.

Запишем

                                                  | R  |                    | L  |-1    | L  |          | R  |

                                                  |----| · K(1¬0) ·   |----|     · |----|   =    |----|

                                                  | N  |                    | M |        | M |         | N  |

в виде

                      | R  |                                                           | L  |-1    | L  |          | R  |

                      |----| · K(1¬x2) · K(х2¬x1) · K(х1¬0) ·   |----|     · |----|   =    |----|

                      | N  |                                                           | M |        | M |         | N  |

или в виде

                                                            | R  |                                          | R  |

                                                            |----| · K(1¬x2) · вектор   =    |----|

                                                            | N  |                                          | N  |

или

D · вектор  = D

- это система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей D коэффициентов и вектором правой части D может быть подвержена построчному ортонормированию, которое не затронет вектор.

После построчного ортонормирования получим

Dорто · вектор  = Dорто,

где неизвестную часть N вектора D ортонормированию подвергать не нужно (так как численно невозможно, а возможно только формульно из-за первоначальной неизвестности значения этого вектора).

Далее запишем

Dорто · K(х2¬x1) · другой_вектор  = Dорто

или

другая_матрица_D · другой_вектор  = Dорто.

Эту систему линейных алгебраических уравнений также подвергаем построчному ортонормированию и получаем:

другая_матрица_Dорто · другой_вектор  = D2орто.

И так далее переносимся ортонормированием до конца пока не подвергнем ортонормированию все матрицы Коши K(хj¬xi).

В результате прогонки получаем

                                                                               | L  |         | Rорто                    |

                       ортонормированная_матрица  · |----|   =    |------------------------|

                                                                               | M |         | N_неизвестный  |

Где искомый вектор M вычисляется по формуле

       M =  (B12орто)обратная · ( Rорто - B11орто· L).

5. Про диссертации.

На основании исследований метода С.К.Годунова сделано множество кандидатских и докторских диссертаций. Частично этим занимался и Алексей Юрьевич Виноградов – www.VinogradovAlexei.narod.ru.

На основании исследования метода «переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова www.AlexeiVinogradov.narod.ru сделано две диссертации и делается третья.

На основании этого изложенного здесь совершенно нового метода тоже можно делать диссертации и защищаться.

Алексей Юрьевич Виноградов

19 марта 2006

J

Пишите комментарии к методу на адрес

AlexeiVinogradov@yandex.ru