курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2 – 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).
Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5
0-1 2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f (x)>0
f (x) > 0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов положительных чисел
|
loga a=1 |
|
|
m loga b =loga bm |
|
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
|
loga f (x) < loga g(x) |
Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.
При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
|
Если a > 1, то Loga f(x) < loga g(x) ó 0 < f(x) < g(x) |
log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0<x<2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
|
cosf(x)=0ó f(x)=п +пn, n c Z 2 |
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn, n с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п +пn<2п, п <пn<2п п
222, п < пn < 3п 1 < n < 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x) |
|
|
(xm) = mxm-1 |
|
|
C=0 |
|
f(x)=(3x2-18x+7) =3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
|
f(x)=0 |
6x-18=0, x=3 c [-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f(x)=3x2-18x+7,
f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,
f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
Ответ: min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx
Решение.
Найдем область определения D(f) функции f(x):
D(f)=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:
|
| f(x)dx=F(x)+C |
Используя свойства неопределенного интеграла
|
|(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx |
|
|
|af(x) dx=a|f(x)dx |
|
и таблицу неопределённых интегралов
|
xm+1 | xmdx=m+1 + C, где m= -1 |
|
|
|sinx dx= -cosx + C |
|
получим:
F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.
x1+1 x2
Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.
Федеральное агентство по образованию Среднего профессионального образования «Профессиональный лицей №15» Кафедра: Станочник (металлообработка) Контрольная работа по курсу: «Математика» на те
Определение интегралов
Решение дифференциальных уравнений
Апарат мереж Петрі та його використання під час моделювання інтелектуальніх мереж (ІМ)
Численное интегрирование функций
Уравнения, содержащие параметр
Решение задач по высшей математике
Теория вероятностей
Теория вероятностей
Теорія і практика обчислення визначників
Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.