Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого является объединением конечного числа многоугольников.

В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник является выпуклым[1], если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок. На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники.

Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, также принадлежащем поверхности многогранника.

Стороны граней называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями этого многогранника.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины выходит одинаковое число рёбер.

Грани

Вершины

Рёбра

Тетраэдр

4

4

6

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Додекаэдр

12

20

30

Икосаэдр

20

12

30

Призма n-угольная

2n

3n

n+2

Пирамида n-угольная

n+1

2n

n+1

Теорема Эйлера.

Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение:

Г+В – Р=2

Принцип Кавальери:

Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны.

Определение. Призма – многогранник, составленный из двух равных многоугольников A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы (A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n).

Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми гранями (A_nA₁B₁B_n)

Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми рёбрами (A₁B₁; A₂B₂ … A_nB_n)

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (h).

Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания и боковое ребро призмы.

Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной плоскости с поверхностью призмы.

Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам.

В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные многоугольники.

В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота равна диметру окружности, вписанной в основание.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех её боковых граней.

S_бок=Р_п*/g/, где Р_п – периметр перпендикулярного сечения, /g/ - длина бокового ребра

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех её граней

S_полн=S_бок+2S_осн

Объём призмы. Объёмом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.

Доп. справка: в геометрии принято:

·         За единицу объёма принимают объём куба с ребром единичной длины.

·         Равные тела имеют равные объёмы

·         Объём объединения нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел равен сумме их объёмов

·         Если одно тело содержит другое, то объём первого тела не меньше объёма второго

V=S_осн*h

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

S_бок=P_осн*h

Частным случаем призмы является параллелепипед – призма, основанием которой служат параллелограммы.

Основные свойства параллелепипеда:

1.     Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.

2.     Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

3.     сумма квадратов всех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер.

4.     квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то параллелепипед называется прямоугольным. В нём все диагонали равны между собой.

Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то параллелепипед является прямым.

Куб также является частным случаем призмы.

Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

Объём параллелепипеда

V=S*h

Объём прямоугольного параллелепипеда

V=abc

Объём куба

V =a³

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

d²=a²+b²+c², где d – диагональ, a,b,c – рёбра

Определение. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A₁A₂…A_n, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.

Этот n – угольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды.

Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A₂PA₃, …, A_nPA₁)

Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды (P).

Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми рёбрами (PA₁, PA₂, …, PA_n)

Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды (РН).

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг другу.

Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).

Некоторые свойства правильной пирамиды:

·         Все боковые рёбра равны между собой

·         Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники

·         Все двугранные углы при основании равны

·         Все плоские углы при вершине равны

·         Все плоские при основании равны

·         Апофемы боковых граней одинаковы по длине

·         В любую правильную пирамиду можно вписать сферу

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

S_полн=S_бок+S_осн

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых граней.

Площадь боковой грани

S_бок.гр.=1/2*m*/g/, где m – апофема, /g/ - основание грани

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

S_бок=1/2 * (P_осн* m), где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания.

Объём пирамиды.

V=(1/3)*S_осн*h

Определение. Усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, …, A_nA₁B₁B_n.

Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n).

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, …, A_nB_n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды (СН).

Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Усечённую пирамиду с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначают так: A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций называются апофемами (КК₁)

Свойства усечённой пирамиды:

1.     Боковые рёбра и высота пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки

2.     В сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании

3.     Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площади оснований.

Площадь поверхности усечённой пирамиды

S=(1/2)*m*(P+P₁), где m – апофема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

S_бок=1/2*(Р_в+Р_н)* m, где m – апофема, Р_в, Р_н – периметр верхнего и нижнего оснований

Объём усечённой пирамиды:

V=(1/3)*h*(S₁+√S₁S₂+S₂), где S₁, S₂ – площади оснований.

Площадь боковой грани

S_бок.гр.=1/2*m*(g+g₁), где m – апофема, g, g₁ – основания боковой грани

Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание пирамиды.

Тетраэдр является частным случаем пирамиды.

Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: DABC

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.

Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами.

Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами тетраэдра.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями.

Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней.

Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным.

Свойства равногранного тетраэдра:

1. описанный параллелепипед равногранного тетраэдра – прямоугольный
2. развёртка тетраэдра, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник
3. у него имеются три оси симметрии
4. все трёхгранные углы равны
5. все медианы (тетраэдра) равны
6. все высоты (тетраэдра) равны
7. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают
8. радиусы описанных окружностей граней равны
9. периметры граней равны
10. площади граней равны

Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра, называется прямоугольным

Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»:

S₂=S²₁+S²₂+S²₃

Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников, называется правильным.

Объём правильного тетраэдра.

V=(a³*√2)/12

Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре

R=(a*√6)/4

Высота правильного тетраэдра

H=(a*√6)/3

Площадь поверхности правильного тетраэдра

S=a²*√3

Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра

r = (a*√6)/12