Министерство Образования Российской Федерации

 

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

 

 

 

 

Выпускная квалификационная работа

 

 «Редуцированные полукольца»

                                 Работу выполнил студент

   математического факультета

  

\Подпись\ ____________

                                           Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

                           .                                                                  

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

                                                     

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

                                                                            «___»________________

Декан факультета _______________.

                                                                            «___»________________

 

Киров, 2003.

План.

1.   Введение.

2.   Основные понятия, леммы и предложения.

3.   Доказательство основной теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

  1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1.   (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2.   (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3.   умножение дистрибутивно относительно сложения:

                   a(b + c) = ab + ac,  (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c Î S;

4.   0a = 0 = a0 для любого aÎ S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

         В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1.   S слабо риккартово;

2.   " a, bÎS  (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);

3.   все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4.   все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S  и MÎ Max S;

5.   каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6.   " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

         2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

         Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b¢, c Î S выполняется

                   abc = ab¢c Û acb = acb¢.

            Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

         Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

                          baba = bab¢a  и   b¢aba = b¢ab¢a,

откуда             

                           baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе   

                                (ba)+ (b¢a)= bab¢a + b¢aba.

В силу редуцированности  ba = b¢a, т.е.

                                     ab = ab¢ Þ ba = b¢a.                                       (1)

         Аналогично доказывается  ba = b¢a Þ ab = ab¢.

         Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac   и         acb = acb¢. Значит, имеем:

                  ab = ab¢ Þ acb = acb¢, ba = b¢a Þ bca = b¢ca.                (2)

         Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

         abc = ab¢c Þ acbc = acb¢c Þ acbac = acb¢ac Þ acbacb = acb¢acb  и          

acbacb¢ = acb¢acb¢ Þ (acb)+ (acb¢)= acb¢acb + acbacb¢ Þ acb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

         Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 Þ a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n > 2, то c= 0 для k Î N с условием n £ 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

         Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+	a    b    1
a b 1	a    b    1  b    b    b  1    b    1

·	a    b    1
a b 1	a    a    a  b    b    b  a    b    1

                                                    

         Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ¹ ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.                              

                                  

         Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB Í P влечёт A Í P  или  B Í P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

         Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a Î P  или  b Î P для "a, b Î S.

         Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P. Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b Ï P влечёт ab Ï P.

         Доказательство: Пусть P  первичен и элементы a, b Ï P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t Î aSb не принадлежит P, поскольку t =  для некоторых   u,v,wÎ S, то хотя бы для одного i Î {1,…,k} a vb Ï P, ибо в противном случае каждое слагаемое  uavbw лежит в P,   и   следовательно, t Î P.

         Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A  P. Тогда найдётся a Î A \ P. Предположим, что B  P. Получим, что некоторый элемент b Î B \ P  и по условию asb Ï P для подходящего s ÎS. Но тогда и  AB  P, и следовательно, P - первичный идеал.

         Утверждение для коммутативного случая очевидно.

 

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT  и для любых a, b Î T найдётся такой s ÎS, что asb Î T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где   n Î N  и  a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения.              0 Ï T, 1Î T и для "a,aÎ T     $с = 1ÎS : aсa= aÎ T. Таким образом, T является m-системой.

Легко увидеть, что  если   P – первичный  идеал, то   S \ P      является m-системой. И хотя дополнение до  m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m-система, а J - произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих  J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P Ê J, P Ç T = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb Í P для некоторых a, b Ï P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T.  Пусть  m Î (P + SaS) Ç T,   r Î (P + SbS) Ç T   и   msr Î T для некоторого sÎS. Но, с другой стороны,

                   msr Î (P + SaS) × (P + SbS) Í P +SaSbS Í P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb Î P неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M Í A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

          Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a Î S множество

Ann aS = {t Î S: ("s Î S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS  является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s Î S: as = 0} - правый идеал и Ann aS Í Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество                                   Op = {s Î S: ($tÏP) sSt = 0} = {s Î S: Ann sS  P} называется O-компонентой идеала P.

         Лемма 1. Op   является идеалом  для любого первичного идеала P.

         Доказательство: Пусть a, b Î Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u Ï P. В силу первичности P   tsu Ï P для подходящего s Î S. Для любого v Î S

                            (a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as Î Op,       и Op - идеал.

         Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.

Тогда OM  Í Op Í P.

         Доказательство: Пусть a Î OM, тогда aSt = 0 для некоторого t Ï M. Поскольку t Ï P, то a Î Op, и значит, OM Í Op. Для любого s Î S   0 = ast Î P. Поскольку P первичен, то a Î P или t Î P, отсюда a Î P, и следовательно,    Op  Í P.

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:

P Ç P¢  не содержит первичных идеалов Þ Op P¢.

Доказательство:  Предположим, что Op Í P¢.   Полагая  A = S \ P    и     B = S \ P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A È B. Покажем, что AB Ç Op = Æ.  В  самом деле,  если                 s Î AB Ç Op, то sb = 0 для некоторого b Î A, т.е. {0} Î AB. Поскольку s является произведением элементов из A È B, то в силу первичности идеалов P и P¢  и  свойства симметрических полуколец   uv = 0  для  подходящих         u Î B, v Î A. Откуда u Î Op  P¢ - противоречие.

Таким образом,  AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op.   А так как   A È B Í AB, то P Ç P¢ Ê Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P¢.

         Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, если Op Í P¢ , то пересечение P и P¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {s Î S: "xÎS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, b Î S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.

Для произвольного идеала A обозначим  - пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b Î S выполняется

                                       = (a, b).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S  полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS  для всех a Î S.

         Доказательство:  При a = 1   rad S =  = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

         Пусть S - полупервичное  полукольцо и  b Î. Для каждого     первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b Î P, во втором случае a Î Op Í P.   Тогда                      aSb  rad S = 0,   откуда     b Î Ann aS. Следовательно, Í Ann aS. Другое включение справедливо всегда.

         Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным. 

         Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

         Доказательство: Пусть c Ï(a, b) для a, b Î S. Тогда ac ¹ bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc ¹ acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac¹ bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично   ac¹ bc,  и  следовательно,       ac¹ bc. По индукции ac ¹ bc. Значит, T = {1, c, c,…} - m-система, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом  c Î S \ P.   Значит,  c Ï, откуда      Í (a, b). Другое включение справедливо всегда.

Получили  = (a, b) Þ по определению 12  S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

                   D(A) = {P Î Spec S: A  P}.

Множество D({0}) = {P Î Spec S: {0}P} = Æ, а Spec S = D(S).

D(A) Ç D(B) = { P Î Spec S: A  P  Ù B  P} = { P Î Spec S : AB  P} = D(AB).

         Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).

         Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

                       = {P Î Spec S: Ann A Í P}.

     Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P Î D(A), т.е. A  P, то Ann A Í P, т.е. P Î Y. Откуда Í Y, ибо Y замкнуто.

     Обратно, пусть P Ï. Тогда P  лежит в некоторой окрестности D(B), где B - некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

     D(A) Ç D(B) = Æ, тогда AB Í rad S = 0, т.е. B Í Ann A.

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно,        P Ï Y . Получили Y Í .

     Лемма 5. Пусть P - первичный идеал  редуцированного полукольца S. Тогда P = Op Û P - минимальный первичный идеал.

     Доказательство: Пусть P = Op ,  P ¢Î Spec S  и  P ¢ Í P.    Тогда              Op Í OP¢ Í P ¢. Поэтому P ¢= P, и  P минимален.

    Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a ÎP \ Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a}               $с = 1ÎS : aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если aÎ Op , n Î N, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a Î Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P Ç P ¢,что противоречит минимальности P. Значит, P Í Op. Также  Op Í P (Лемма 2). Тогда P = Op.

          Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

     Доказательство: В самом деле, если a, b Î S \ P, то asb Ï P для подходящего  s Î S, откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

     Определение 14. S – слабо риккартово Û "a Î S "b Î Ann aS     

                                         Ann aS + Ann b = S

          Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём          a = 0Î N. Тогда  Ann aS  =  N. В результате получим, что Ann aS + Ann b =  N. Теперь возьмём a Î N  \ {0}. Тогда  Ann aS  =  {0}, а  Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

         3. Доказательство основной теоремы.

    Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1.   S слабо риккартово;

2.   " a, bÎS  (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);

3.   все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4.   все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S  и MÎ Max S;

5.   каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6.   " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

 

Доказательство:  Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

         1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Î Spec S и ab ÎOp при a, b Î S.

         Тогда $ сÎS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s Î S.

Возьмём s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (по определению Ann aS). Но         Ann aS Í Ann a . Тогда bc ÎAnn a. По условию 1)  S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a ÎS,  bc Î Ann aS.

$ e ÎAnn aS,  f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏOp Þ Ann aS Í P (по определению Ann aS) Þ e ÎP.

Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P - первичный идеал Þ P - собственный Þ 1ÏP.

         f ÎAnn bc Þ bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Þ bScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP , а P - первичный идеал) Þ b Î Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Î Spec S, вполне первичны.

         3)Þ4). По условию 3 все идеалы Op , где  P Î Spec S, первичны. Но              M Î Max S – является первичным идеалом (предложение  4), т.е. M Î Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM ,  где          M Î Spec S  и M Î Max S, первичны.

         Пусть P Í M. Тогда OM   Í Op (лемма 2).

Если a Î Op , т.е. ab = 0 при  некотором  b ÎS \ P и s = 1ÎS, то a ÎOM , ибо       b ÏOM   Í P, а  ab = 0 ÎOM  и  OM  псевдопрост (доказано выше). Значит и         Op Í OM  . Тогда Op = OM .

         4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S и P Í M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P Í M Þ Op = OM . Также Op Í P (Лемма 2). Докажем, что  OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P.   Пусть в P лежит  Q - минимальный первичный идеал полукольца S.   Но    Q Í M Þ OM  Í OQ Í Q. По условию 4) данной теоремы  OM   = OQ.  . Так как     Q – минимальный первичный идеал Þ OQ  = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что  Op = OM  =Q.

         Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢ - произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢  = OM (по условию 4)). Также OP¢  = P ¢ .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP¢ = P ¢ . Единственность доказана.

         Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

         5)Þ6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹ S для некоторых a, b ÎS.

Тогда Ann a + Ann b Í M для подходящего M Î Max S. 

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM  Í P (Лемма 2). Предположим, что    $a Î P \ OM .     Степени    элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a}   $с = 1ÎS: aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если aÎ OM, n Î N, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎOM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w Î S \ P и q, w Î S \ P ¢. Тогда $s Î S: qsw Ï P Þ  qsw Ï P Ç P ¢ Þ   P Ç P ¢ -первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит         P Í OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aÎOM  или  b ÎOM. Откуда по определению нуль-компонент Ann a M Ú Ann bM    Þ           Ann a + Ann b  M Þ противоречие Þ Ann a + Ann b = S.

         6)Þ1). Возьмём "a, b ÎS: ab = 0 Þ  b Î Ann aS.

         Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.                 

         2)Û6). Пусть a, b Î S и ab = 0. D(a) Ç D(b) = {PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} = { PÎSpec S: ab Ï P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) Ç D(b) ={PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} ={PÎSpec S: ab Ï P}=D(ab) =Æ Þ ab = 0, так как D(x) = Æ Û x = 0.

         Таким образом, ab = 0 Û D(a) Ç D(b) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

  = {SÎSpec S: Ann aÍP Ù Ann bÍP} = Æ.

Тогда Ann a + Ann b  M для " M Î Max S Í Spec S Þ Ann a + Ann b = S.

         В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Þ Ann aM Ú Ann bM для подходящего M Î Max S Í Spec S.

 Тогда   = {S Î Spec S: Ann a ÍP Ù Ann b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

 Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0  и  a + b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b ÎA. Так как  условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него.  Тогда   Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a  и      k ÎAnn b.

         c Î Ann a Þ ac = 0 (по определению аннулятора).

         k Î Ann b Þ bk = 0.

 a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×k ÎA.

         Получили a ÎA, что и нужно было доказать.

 

Литература.

1.               Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2.               В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.

 

 

Министерство Образования Российской Федерации Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа  «Редуцированные полукольца»                                 Работу вып

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу