База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/< так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/< из непрерывности ф-ии g(x) в т а  >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/<. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/< => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.

#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B]  x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b]  мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал  то оно справедливо для +  ф-ция  - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В  х0=(y0)=b Возьмём 

#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; lim_h0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h lim_h0h=0; 3)f(x)=xⁿ, nN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций  по индукции xⁿ=x^n-1x; 4)f(x)=a0xⁿ+a1x^n-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xⁿ+a1x^n-1+…+an)/(b0x^m+b1x^m-1+..+b^m)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма xR, |sinx|<=|x| Рассмотрим еденичную окружность.(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0<=x<=/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки  |BB’|<=BAB’ ; |BB’|=2Rsinx; BAB’{дуг}=2Rx  2Rsinx<=2rx; sinx<=x ; Если -/2<=x<0 то |sinx|=-sinx=sin(-x)<=-x=|x| ; 0<-x<=/2 Если |x|>/2  |sinx|<=1</2<|x| {док} что sinx- непрерывна. |f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|<=2|sinh/2| lim_h0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)<=2|h/2| |h|0; 8)f(x)=a^{x –}непр на всей числ пр,a>=0 f=(a^x+h-a^x)=a^x(a^h-1) lim_h0a^x(a^h-1)=0; 9)f(x)=log_ax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.

#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп  сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim_(n)an=0 док-во если ряд an сх то  lim_(n)S_n=S=lim_(n)S_(n-1) тогда lim_(n)an = lim_(n)(Sn-S_(n-1)) = lim_(n)Sn-lim_(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an   >0  n такое что при n>n и р Z p>=0 вып неравенство /аn+a_n+1+a_n+2+a_n+p/<; {} (n=1..)1/n( в степ )  >1 сход <1 расход; n^<=n Пусть <=1  1/n^+1/(n+1)^+…+1/(2n-1)^>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2  для =1/2 при  n  p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+a_n+p|>  ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S_2k=1+1/2^+(1/3^+1/4^)+(1/5^+1/6^+1/7^+1/8^)+…+(1/(2^k-1+1)^+,,,+1/(2^k)^); 1/(n+1)^+1/(n+2)^+…+1/(2n)^>1/n^+1/n^+1/n^=n/n^=1/n^-1=1/n^<1+1/2^+1/2^/(1-1/2^)  {S_2k} –ограничена сверху т.к. n k |n<2^k  Sn2k ряд сход.

#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ^+_n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть _k=m+1^+ak-остаток ряда. Обозначим А_n=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда (1,+)an A’_s=a_m+1+…+a_m+s –s-ая частная сумма _k=m+1^+ak, тогда A’_s=A_m+s-A_m т.к. lim_naAn  lim_S+Am+S lim_S+A’_S=lim_s+A_m+S-A_m  _k=m+1^+ak cx-cя; Пусть _k=m+1^+ak сх-ся ; A_m+S=A_S’+A_m; n=m+s  An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. lim_s+A’_Slim_n+A’n=m  lim_n+A=lim_n+A_n-n+A_m  _n=1^+an ряд сх. {Следствие} Если ряд (1,+)an сх-ся и n=(k=n+1,+)ak lim_n+_n=0 {Док} Пусть An=(1,n)ak, A=lim_n+An  A=An+_n_n=A-A1  lim_n+_n=A-lim_n+A_n=0 {Т} Если ряды (n=1,+)an и (n=1,+)bn сх-ся и -число, то (n=1,+)(an+bn) сх-ся и (n=1,+)an сх-ся {Д} Пусть Аn=(k=1,n)ak, Bn=_k=1ⁿbk; A=lim_n+An, B=lim_n+Bn; lim_n+(An+Bn)=A+B, lim_n+An=A Т.к. A_n+B_n=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда (n=1,+)(an+bn) и An=a1+…+an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и  no такое что при n>no аn  M>0 такое что Bn (k=no+1..)ak сх-ся =>(k=1..)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n) an/bn =k то; 1).0<=k<+ из сход bn следует сходимость an; 2).0 =1  no такое что при n>no an/bn an<(n+1)bn n>no => из сх bn следует сходимость an => aк сходится 0<к<=+ =к/2 (к<+) и =1 к=+  no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+) an/bn>1; k=+ => при n>no аn>(k/2)bn (k<+) => из расход bn =>аn расх =>ак а>bn (k=+)  Утв.

#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an <=q<1 (n=1,2,3…) => ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)<=a1q…q=a1q^n-1 q<1 т.к. (n=1,+)q^n-1 cх-ся как бесконечная => (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: lim_n+a_n+1/a_n=k; 1)k<1 ряд сх; 2)k>1 ряд расх. {Док-во} k<1 >0 |k+<1 n0 | n>n0 a_n+1/a_nn₌₁^+an сх-ся. Пусть k>1; k<+ >0 | k->1  n0 | при n>n0 an+1/an>k->1  _n=1^+an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд an>0 кор n-ой степ(аn)<=q<1 ряд сх-ся если кор n-ой степ(аn)>1 ряд расход {cледствие} пусть  lim(кор n-ой степ(аn))=k; k<1 – ряд сх к>1 – ряд расход

#18 {O} Знакопеременными рядами называют _n=1^+(-1)^n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд (-1)^n-1 сn cn>0; 1)C(n+1)<=C(n) n=1,2,3; 2)Lim(n)(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S_2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S; Из вышесказанного следует lim(n)Sn=lim(n)S2k = lim(k)S2k+1=S {Док-ть самим}

{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю

#19 Ряд _n=1^an –наз абс сход если сход ряд |an|. Если an – cх а |an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд _n=1^+an -абс сх  _n=1^+|аn| -сх-ся  по критерию Коши >0 n_| при n>n_ и pZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+a_n+1+…+a_n+p|<=|an|+…+|a_n+p|<  по критерию Коши  _n=1^+an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если _n=1^+an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды _n=1^+an и _n=1^+bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда _n=1^+an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; lim_n+|an-1|/|an|=k; при k<1 ряд е_n=1^+Ґan- сход при k<1 ряд е_n=1^+Ґan-сх при k>1 ряд е_n=1^+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еⁿ|an|; k=lim_n+ ⁿ|an|; при k<1 ряд е_n=1^+Ґan-сх при k>1 ряд е_n=1^+Ґan- расх.

#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для >0  n_ | при n>n_ вып |zn-z0|< ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=lim_nzn >0 n_ | при n>n_ =|z_n-z₀|< Т.к. |z_n-z0|=((xn-x0)+(yn-y0)) |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0|  при n>n_ вып. нер-во |xn-x0|<=|zn-z0|< ; |yn-y0|<=|zn-z0|<  по опр. lim_nXn=x0 а lim_nyn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=+i Необх. и достаточно чтобы сход ряды (n=1,+)xn и (n=1,+)уn и имели своими суммами числа  и  - соответственно Sn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)yk и если ряд (n=1,+)zn –сх то lim_n+zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn  т.к. (n=1,+)zn –сх  (n=1,+)xn сх и (n=1,+)уn –сх  lim_n+xn=lim_n+yn=0 lim_n+zn=lim_n+xn+ilim_n+yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть (n=1,+)zn –абс сход  (n=1,+)|zn| -сх  Т.к. |xn|<=(xn+yn)=|zn|, |yn|<=|zn| (zn=xn+iyn)  по признаку сравнения (n=1,+)|xn| -cх и (n=1,+)|yn| -сх  (n=1,+)xn –сх и (n=1,+)уn-сх  (n=1,+)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть (n=1,+)|xn| и (n=1,+)|уn| сх |zn=(xn+yn)<= (yn+2|xn||yn|+yn) <= (|xn|+|yn|)=|xn|+|yn| то по признаку сравнения (n=1,+)|zn| - cх-ся.

#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние 0; f'(x0)=lim_x0(f(x0+x)-f(x0))/x {O} A=const Вырожение Ах –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение х обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть y=f(x0+x)-f(x0) т.к.  lim_x0y/x=f’(x0) y/x=f’(x0)+(x), где (x) 0 при х0  y=f’(x0)x+(x), где (х)0 при х0  y=f’(x0)x+(x)x lim_x0y=0  в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение у=f(x0+x)-f(x0), x0+xU(x0) можно представить в виде у=Ах+о(х), х0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0  y =f(x0+x)-f(x0)= Ax+o(x), x0; lim_x0y/x= lim_x0(A+o(x)/x)=A; т.о. в т. х0 f’(x0)=lim_x0y/x=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 f’(x0)=lim_x0y/xy/x=f’(x0)+(x), lim_x0(x)=0  y=f’(x0)x +(x)x y=f’(x0)x+o(x), x0  ф-ция f- дифференцируема в т. х0

№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+x(a,b), y0=f(x0), y0+y=f(x0+x) M0(x0,y0) M(x0+x,y0+y){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(x)(x-x0), k(x)=y/x; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) у0 при х0 |M0M|=(x+y)0 при х0 В этом случае говорят что MM0 {О} Если  lim_x0k(x)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(x)(x-x0) получается из ур-ния k(x)=y/x при х0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x, то k0=lim_x0k(x)= lim_x0y/x=f’(x0)  уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tg; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(x)(x-x0)  касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали

#23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V

№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y₀ ; y=(x)  дифф. в точке х₀ .   y0=(x0) тогда сложная ф-ия z=f((x))- дифф. в точке х₀ и справедлива формула: z’_x=z’_yy’_x=f’(y)’(x) ; dz/dx=dz/dy  dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y₀ z=f’(y0)y+(y); Т.к. y=(x)- дифф. в точке х₀ y=’(x0)x+(x); z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y); Т.к y=(x) - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке  (x0y0). (x)=f’(x0)(x)+(y); lim_x0/x; lim_x0(x)/x= lim_x0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]= lim_x0(y)/x= lim_x0(y)/y lim_x0y/x=’(x0); (f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x), где lim_x0(x)/x=0 (f((x)))’_x=z’_x=f’(y0)’(x0)

#25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f^-1(x)=(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’()0, равная '(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. xx0yy0x0 y0 y/x=1/y/x ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда lim_x0y=0x0y0 f’(x0)=lim_x0y/x= lim_y01/y/x=1/lim_y0x/y=1/’(y0) ; f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0)

#26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]^v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x); y’=u^v(v’lnu+vu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const y=c-c=0lim_x0y/x(C)’=0 ; 2) y=sinx y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (a^x)’=a^xlna 5)(arcsinx)’=1/1-x 6)(arccosx)’=-1/(1-x) 7) (arctgx)’=1/(1+x) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x^)’=x^-1

#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f^(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dⁿf(x)=d(d^n-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx; dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ ;f⁽ⁿ⁾=dⁿy/dxⁿ ) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹ u^(n-1)v' +C_n² u^(n-2)v'' + … +C¹_n u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ =_k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где C_n^k =n!/k!(n-k)! , 0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = _k=0ⁿC^k_n u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.

#28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’_t(t0)/x’_t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’_t(t0)t’_x(x0); t’_x(x0)=1/x’_t(t0) Ф(э(х0)=y’_t(t0)/x’_t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’_x|x=0=(y’t/x’)’ _x|_x=x0=(y’_t/x’_t|_t|_t=t0t’_x|_x=x0=y’’_tt(t0)x’_t(t0)-y’_t(t0)x_tt’’(t0)/(x’_t(t0))

#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет про­изводную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По оп­ределению производной имеем f’(c)=lim_x(f(c+x)-f(c))/x ;Так как у нас f(c)>=f (x) xU(с), то для достаточно малых x> 0 ;(f(c+x)-f(c))/x откуда в пределе при x0 получим, что f’(с)<=0. Если же x<0, то (f(c+x)-f(c))/x>=0 поэтому, переходя к пределу при x0 в этом нера­венстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.

#30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непре­рывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c(a, b) производная f'(c)=0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1 [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2[а, b], в кото­рой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозна­чим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометри­ческий смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в кото­рой параллельна оси х.

#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а<с tg=k=(f(b)-f(a))/(b-a)  существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b) и F(a)=0=F(b)  по теореме Ролля  с(a,b) | F’(c)=0  f^’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0

#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут упот­ребляться и другие подстановки, также рационализиру­ющие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рацио­нализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рацио­нализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).

#46 {O}Разбиением [a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,i удовлетворяющее условию x0=a(f,1,…,i)=_I=1^if(I)x; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред  ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается _a^bf(x)dx Если  E >0 _E=(E)>0 | при любом разбиении  мелкости ||<_E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…,i | _I=1^if(i)x-I |  ||0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение  отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[x_j0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек  {ⁿ_jo}>0 | lim_nf(ⁿ_jo)= Рассмотрим сумму _=_I=1^if(I)xi=f(io)xjo +_I=1^if()xi=f(jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim_(f,1,…,₀ⁿ,..,i)=lim(f(jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | _(f,1,…,_jo⁽ⁿ⁾,…,_i)>m Отсюда , что интегральная сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что  I=lim_||0_E>0 _E>0 | , ||<_E и любой выбор точек i выполняется нер-во |_-I||=|_-I+I|<|_-I|+|I| E можно выбрать точки 1,..,_i такие, что |_|>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.

#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению _а^a f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред _b^af(x)dx=-_a^bf(x)dx {Св-во1} _a^bdx=b-a действительно ф-ция f(x)1 на [a,b] по этому при любом разбиении  и любом выборе (.) i f(i)=1_=_i=1^if(i)xi=_i=1^ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-a  lim_||0_=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: _a^b(f(x)+g(x))dx= _a^bf(x)dx+ _a^bg(x)dx {док} Пусть ={xi} i=i i=o i[xi-1,xi] ,тогда _E(f+g)=_i=1^i(f(i)+g(i)xi=^i_i=1f(i)xi+^i_i=1g(i)xi=_(f)+_(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то lim_||0_(f)=_a^bf(x)dx; lim_||0_(g)=_a^bg(x)dx ; lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство _a^b(f(x)+g(x))dx=lim_||0_(f+g)=_a^bf(x)dx+_a^bg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа  ф-ция f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство _aт^bf(x)dx=_aт^bf(x)dx {Св-во 4} Пусть aaт^bf(x)dx=_aт^сf(x)dx+_ст^bf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] [a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ( M>0 |  x[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и х[a,b] f(x)0 тогда _aт^bf(x)dx0

#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) m<=f(x)<=M, для х[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ  | mM и _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] mf(x)M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим m_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dx при g(x)0; m_aт^bg(x)dx_aт^bf(x)g(x)dxM_aт^bg(x)dx при g(x)0; Если _aт^bg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : _aт^bf(x)g(x)dx=0  рав-во _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx выполнено при любом ; Пусть _aт^bg(x)dx0  при g(x)0 _aт^bg(x)dx>0, а при g(x)0 _aт^bg(x)dx<0; Разделим нер-ва на _aт^bg(x)dx в обоих случаях получим : m_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dxM; Пологая =_aт^bf(x)g(x)dx/_aт^bg(x)dx  получаем утверждение теоремы _aт^bf(x)g(x)dx=_aт^bg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует [a,b] такое, что _aт^bf(x)g(x)dx=f()_aт^bg(x)dx

#49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]тогда она интегрируема на отр[a,x] при axb по св-ву опред   F(x)= _aт^xf(t)dt, x[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x[a,b] x+x[a,b] Рассмотрим приращение: F=F(x+x)-F(x)= _aт^x+xf(t)dt-_aт^xf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b]  C>0. |f(x)|С x[a,b]|F|=|_xт^x+xf(t)dt|С| _xт^x+xdt|=С|x| lim_x0F=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 [a,b]  F(x)= _aт^xf(t)dt дифференцируема в (.) х0[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+x[a,b] F=F(x0+x)-F(x0)= _aт^x+xf(t)dt- _aт^x0f(t)dt= _aт^x0f(t)dt+ _x0т^x+xf(t)dt- _aт^x0f(t)dt= _xт^x0+xf(t)dt |F/t-f(x0)|=|1/x|, _x0т^x0+xf(t)dt-f(x0)/x=|1/x  _x0т^x0+x (F(t)-f(x0))dt|1/|x|| _x0т^x0+xf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0  _>0 |при|x-x0|<_E|f(x)f(x0)|Et из промежутка от х0 до х0+х выполняется нер-во |t-x0||x|+ |F(t)-f(x)| _x0т^x0+x(f(t)-f(x0))dt<1/|x|E _xт^x0+xdt|=E  lim_x0F/x=f(x0)F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница _aт^bf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|_а^b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных.  (1) {Док-во} F(x)= _aт^xf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b]  F(x)=Ф(х)+С; _aт^xf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то _aт^аf(t)dt=0  0=Ф(а)+С С=-Ф(а) _aт^xf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

#51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) ()=a ,()=b ;4)t[;] (t)[a,b]; Тогда _aт^bf(x)dx = _aт^bf((t))’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[,] определена сложная ф-ция f((t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F((t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f((t))’(t) на [,] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве _aт^bj(x)dx = _aт^bj((t))’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках  оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : _aт^bf(x)dx =F(b)-F(a); _aт^bf((t))’(t)dt =F(())-F(())=F(b)-F(a)= _aт^bf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|_a^b= _aт^b (u(x)v’(x)+u’(x)v(x))dx= _aт^bu(x)v’(x)dx+ _aт^bu’(x)v(x)dx откуда  _aт^bu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu(x)v’(x)dx

#52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-_A B-_B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d0 _A и _B  к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)0 x[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть ={xi}_i=0^i=i-произвольное разбиение отр [a,b]; g_i={(x,y), x[xi-1,xi], 0ymi=inff(x)} G_i={(x,y), x[xi-1,xi], 0yMi=supf(x)}; S_g=_i=1^imixi; S_G=_i=1^iMixi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim_||0(S_g-S_G)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр.  по критерию итегрируемости lim_||0S_G= lim_||0S_g=S= _aт^bf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(), где f() – непрерывна на [,] и f()0 [,] {} Пусь -произвольное разбиение g_i={(,r), [i-1,i], 0rmi=inff()} G_i={(,r), [i-1,i], 0rMi=supf()} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[,] то она интегрируема на этом отрезке Площадь сектора g_i=mi/2 и G_i=Mi/2; S_g=1/2_i=1^imi S_G=1/2_i=1^iMi по критерии итегрируемости  lim_||0S_G= lim_||0S_g=S=1/2 _т^f()d P-квадрируема и S_p=1/2 _т^f()d.

#53 Пусть y=f(x) определна на [a,+) и интегрмруем на  [a;b]  несобственный интеграл по промежутку [a,+) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел _a^+f(x)dx=lim_{b+ a}^bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл _a^+f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с[a,+)  _a^bf(x)dx= _a^cf(x)dx+ _c^bf(x)dx {Т} По св-ву пределов _a^+f(x)dx cущ  когда сущ lim_{b+ a}^bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=_b’^b’’f(x)dx  теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел _a^bf(x)dx= lim_{a+0 a}^bf(x)dx. Если указанный предел конечен то  называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} _a^сf(x)dx и _с^bf(x)dx при aa^bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<a^bf(x)dx= lim_b-0 F()-F(a)=F(x)|^b_a _a^bf(x)dx  lim_b-0 F() {Д} Пусть a<a^bf(x)dx=F()-F(a)  по св-ву пределов _a^bf(x)dx= lim_b-0 F()-F(A){2} _aт^bf1(x)dx и _aт^bf2(x)dx -сходятся, то _aт^b (f1(x)+ _aт^bf2(x))dx= _aт^bf1(x)dx+ _aт^bf2(x)dx {До} Пусть a<a^ (f1(x+f2(x))dx= _a^ f1(x)dx+_a^ f2(x)dx т.к. по усл. теор lim_b-0a^ f1(x)dx и lim_b-0a^ f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства  переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x[a,b] b _aт^bf(x)dx, _aт^bg(x)dx – сход , то _aт^bf(x)dx<= _aт^bg(x)dx {Д} a< _a^f(x)dx<= _a^g(x)dx переходя в данном нер-ве к lim_b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b)  _aт^bu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|^b_a- _aт^bu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<a^u(x)v’(x)dx = y(x)v(x)|_a^ - _a^u’(x)v(x)dx  по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [,) и возрастает на этом промежутке, причём для <=t< a<=(t)t_b-0(t) тогда имеет место : _aт^bf(x)dx= _т^f((t))’(t)dt {Д} Пусть [,) т.к. ф-ция непр на [,) то она отрораж. отр [,] на [a,()]  по теореме о замене переменной в опред  получ утв.