Московский Государственный Авиационный Институт

(Технический университет)

Кафедра 704

Информационно-управляющие комплексы

Êóðñîâàÿ ðàáîòà

Òåìà: “Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ÑÀД

Âûïîëíèë: ñò. ãð. 07-403

Êîðíèëîâ Ä.Ì.

Ðóêîâîäèòåëü: Êóäðÿøîâ Ñ. Â.

Ìîñêâà 1998ã.

1.    

Ïðèâîä ãèáêîãî ñîïëà ðàêåòû-íîñèòåëÿ:

Äàííûå:

Ïàðàìåòðû âîçäåéñòâèé íà âõîäàõ ñèñòåìû  çàäàíû â âèäå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé:

ãäå:

l=1.2

Óñèëèòåëüíîå çâåíî:

K_p=13 1/c

Ïàðàìåòðû ïåðâîé íåëèíåéíîñòè:

S=0.5;

K₁=2.5

K₂=1.9

Ïàðàìåòðû âòîðîé íåëèíåéíîñòè:

S=27 °/c

Ïàðàìåòðû òðåòüåé íåëèíåéíîñòè:

S=3 °

1.   

2.   

3.   

Содержание

 TOC o "1-3" 1. Задание............................................................................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673334   PAGEREF _Toc409673334 1

2. Теоретическая часть............................................................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673335   PAGEREF _Toc409673335 1

2.1 Случайные процессы и их математическое описание........................................................ GOTOBUTTON _Toc409673336   PAGEREF _Toc409673336 1

2.2 Прохождение стационарного процесса через линейную динамическую систему GOTOBUTTON _Toc409673337   PAGEREF _Toc409673337 1

2.3 Формирующий фильтр............................................................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673338   PAGEREF _Toc409673338 1

2.4 Априорный статистический анализ.............................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673339   PAGEREF _Toc409673339 1

2.5 Статистическая линеаризация......................................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673340   PAGEREF _Toc409673340 1

3. Реализация.................................................................................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673341   PAGEREF _Toc409673341 1

3.1 Система дифференциальных уравнений...................................................................................... GOTOBUTTON _Toc409673342   PAGEREF _Toc409673342 1

3.2 Расчет системы в нелинейной форме............................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673343   PAGEREF _Toc409673343 1

3.3 Расчет линеаризованной системы................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673344   PAGEREF _Toc409673344 1

4. Заключение.................................................................................................................................................. GOTOBUTTON _Toc409673346   PAGEREF _Toc409673346 1

5. Список литературы................................................................................................................................ GOTOBUTTON _Toc409673347   PAGEREF _Toc409673347 1

2.      Теоретическая часть

1    

Ïóñòü t ïðèíàäëåæèò T (äîïóñòèìîìó ìíîæåñòâó). Åñëè t ïðîáåãàåò íåïðåðûâíûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå T, òî x(t) ïðèíÿòî íàçûâàòü ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì.

Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t=t^* âîçíèêàåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x(t^*) êîòîðóþ ïðèíÿòî íàçûâàòü çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.

Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé k=1,2,...,n. Äåéñòâèòåëüíî âåëè÷èíà

ðàâíà âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî

Ïîýòîìó ÷åì áîëüøå n, òåì áîëåå ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïîâåäåíèè x(t) â èíòåðåñóþùåì íàñ èíòåðâàëå âðåìåíè ìû ðàñïîëàãàåì. Ïðàêòè÷åñêè îãðàíè÷èâàþòñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ëèáî èíûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ (ãëàâíûì îáðàçîì ìîìåíòîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ äàííûìè ïëîòíîñòÿìè.

Ïðèìåðîì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåìîãî îäíîìåðíîé è äâóìåðíîé ïëîòíîñòÿìè, ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Çàâèñèìîñòü ìåæäó çíà÷åíèÿì x(t_i) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé, òàê êàê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ëèøü íà ñîñåäíèå çíà÷åíèÿ x(t_i-1) è x(t_i). Íàëè÷èå ïîäîáíîé çàâèñèìîñòè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ x(t_i) â èíòåðâàëå [x_i, x_i+dx_i] â ìîìåíò âðåìåíè t=t_i ÿâëÿåòñÿ óñëîâíîé è çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè t_i-1.Çàâèñèìîñòü x(t_i) îò áîëåå ðàííèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t₁, t₂,
t_i-2, (ò. å. îò áîëåå ãëóáîêîé ïðåäûñòîðèè ïðîöåññà) îòñóòñòâóåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà óñëîâíàÿ (èëè ïåðåõîäíàÿ) ïëîòíîñòü:

Îòñþäà:

Òàêèì îáðàçîì, íà÷àëüíàÿ áåçóñëîâíàÿ îäíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü è ñîâîêóïíîñòü óñëîâíûõ (ïåðåõîäíûõ) ïëîòíîñòåé ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

Àáñîëþòíî ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ïðèíÿòî íàçûâàòü òàêîé ïðîöåññ, ëþáûå äâà çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè èìååò ñëåäóþùèé âèä:

Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè âñå åãî ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé íå çàâèñÿò îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, ò. å. èíâàðèàíòíû ê âðåìåííîìó ñäâèãó t:

Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî îäíîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà âîîáùå íå çàâèñèò îò âðåìåíè.

Ãàóññîâñêèé ïðîöåññ -ýòî òàêîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñêîëü óãîäíî ìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè êîòîðîãî ãàóññîâñêàÿ.

n-ðàçìåðíîñòü âåêòîðà X,

K_x-ìàòðèöà êîâàðèàöèè

m_x-ìàòåìàòè÷åñêîå îæèëàíèå.

Ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì è ìàðêîâñêèì.

Ê íàèáîëåå âàæíûì ìîìåíòíûì õàðàêòåðèñòèêàì ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îòíîñÿòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

õàðàêòåðèçóåò ñðåäíåå òå÷åíèå ïðîöåññà x(t) ïî âðåìåíè.

Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

ãäå ;ýòà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíåå ïðîèçâåäåíèå öåíòðèðîâàííûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â ìîìåíòû âðåìåíè t è t+t. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ëèíåéíîé ñâÿçè (êîððåëÿöèè) ìåæäó çíà÷åíèÿìè ïðîöåññà, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà âðåìÿ t. Ïðè t=0, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà äèñïåðñèè.

Ïîíÿòèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî è äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè ñâÿçè äâóõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ x(t) è y(t).  ýòîì ñëó÷àå îíà íàçûâàåòñÿ âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé:

 òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ îïèñàíèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ÷àñòîòíîé îáëàñòè èëè, ïî èíîìó, ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.

Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè:

Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ åñòü ÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåìàÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.

Ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå:

Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà n(t) (ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì) òèïà áåëîãî øóìà, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä:

ãäå d(t)-äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, à N -èíòåíñèâíîñòü øóìà.

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýòîãî ïðîöåññà áóäåò:

÷òî ìîæåò áûòü ïðèíÿòî â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ áåëîãî øóìà. Âûðàæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìîùíîñòü ïàðöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà n(t) äëÿ ëþáûõ ÷àñòîò îäíà è òà æå. Ïîýòîìó áåëûé øóì ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå èíòåíñèâíûì âèäîì ïîìåõè.

2    

Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íà åå âõîä ïîñòóïàåò ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x(t), íà âûõîäå èìååò ìåñòî ïðîöåññ y(t). Òåîðåòè÷åñêè âûõîäíîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ y(t) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì òîëüêî ïîñëå çàòóõàíèÿ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â ñèñòåìå, òî åñòü ïðè
t®¥. Îäíàêî, â èíæåíåðíûõ ïðèëîæåíèÿõ ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ñèñòåìå çàêàí÷èâàåòñÿ çà âðåìÿ, îïðåäåëÿåìîå â ñîîòâåòñòâèå ñ ïðàâèëàìè òåîðèè óïðàâëåíèÿ.

Èíûìè ñëîâàìè ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïðîöåññ y(t) ñòàöèîíàðíûì ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè çàòóõàíèÿ.

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ïðîöåññà èìååò âèä:

Äèñïåðñèÿ âûõîäíîãî ïðîöåññà:

Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ âûõîäíîãî ïðîöåññà:

3    

Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå áåëûé øóì èìååò ïîñòîÿííóþ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü âî âñåì äèàïàçîíå ÷àñòîò.

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âñåõ ôèçè÷åñêè ñóùåñòâóþùèõ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ ÷àñòîòû:

Ïðè÷åì ñòåïåíü ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå âûøå ñòåïåíè ïîëèíîìà â ÷èñëèòåëå. Òàêèå ôóíêöèè äîïóñêàþò ôàêòîðèçàöèþ:

,

ãäå ôîðìèðóþùåì ôèëüòðîì ñîîòâåòñòâóþùèì ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè  íåêîåãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.

4    

Ïîä àïðèîðíûì ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëèçîì (èëè àíàëèçîì òî÷íîñòè) ïîíèìàåòñÿ îïðåäåëåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê (ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, äèñïåðñèé, ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé, ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è ò. ï.) êîîðäèíàò óïðàâëÿåìîãî äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà ïî èçâåñòíîìó åãî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ è ñòàòèñòè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.

Ïóñòü ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà èìåþò âèä:

 

ãäå x(t)-âåêòîð ñîñòîÿíèÿ (ôàçîâûé âåêòîð), ðàçìåðíîñòè nx1,

A(t)-ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, ðàçìåðíîñòè nxn.

B(t)- ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ,áåëûõ øóìîâ, ðàçìåðíîñòè nxm.

n-âåêòîð áåëûõ øóìîâ, ðàçìåðíîñòè mx1.

Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è ìàòðèöû êîâàðèàöèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

Ðàçìåðíîñòü ìàòðèöû êîâàðèàöèè nxn.

N-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé  áåëûõ øóìîâ.

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1)-(3) ðåøàþòñÿ îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëÿåì âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïåðåä íà÷àëîì èíòåãðèðîâàíèÿ, äîëæíû áûòü èçâåñòíû àïðèîðíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, âåêòîðà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è ìàòðèöû êîâàðèàöèé â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.

5    

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé èç ïóíêòà 2.4 íåîáõîäèìû ëèíåéíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ìîãóò ñîäåðæàòü (è ÷àùå âñåãî ñîäåðæàò)  íåëèíåéíûå ýëåìåíòû, è óðàâíåíèå äëÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé ïðèíèìàåò âèä:

 ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè, êîãäà íåëèíåéíûé ýëåìåíò çàìåíÿåòñÿ ëèíåéíûì â íåêîòîðîì ñìûñëå ýêâèâàëåíòíûì.

Ïóñòü íåëèíåéíûé ýëåìåíò èìååò ñëåäóþùèé âèä:

Ââåäåì

ëèíåéíûé ýëåìåíò ñëåäóþùåãî âèäà:

,

Íåîáõîäèìî ÷òîáû âåëè÷èíà íà âûõîäå ëèíåéíîãî ýëåìåíòà áûëà ýêâèâàëåíòíà, â íåêîòîðîì ñìûñëå, âåëè÷èíå íà âûõîäå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà.

Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà:

1.                 :

M{z}=M{h}

D{z}=D{h}

:

2.                 :

M{z}=M{h}

D{h-z}®min

Êîýôôèöèåíò b âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

3.     Реализация

Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è áûëî íàïèñàíî  ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå ñ ïîìîùüþ ñðåäû Microsoft Visual C++ 4.0 äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé, ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ â äâóõ ïðîãðàììàõ, äëÿ ðàñ÷åòà íåëèíåéíîé ñèñòåìû è ëèíåàðèçîâàííîé.

1    

Äëÿ òîãî ÷òîáû ââåñòè â ñèñòåìó ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ ñ òðåáóåìûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè âîñïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèåì ôîðìèðóþùåãî ôèëüòðà, äèíàìè÷åñêîãî çâåíà íà âõîä êîòîðîãî ïîñòóïàåò áåëûé øóì, à íà âûõîäå ïðîöåññ ñ òðåáóåìûìè ïàðàìåòðàìè. 

Èòàê, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òðåáóåìîãî ïðîöåññà èìååò âèä:

Ñîãëàñíî ôîðìóëå ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôîðìèðóþùåãî ôèëüòðà èìååò âèä:

 

Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàõîâàíèé ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ôîðìèðóþùèõ ôèëüòðîâ äâóõ âõîäîâ.

Òðåòüåé ôàçîâîé êîîðäèíàòîé áóäåò x, çíà÷åíèå íà âõîäå â òðåòüþ íåëèíåéíîñòü. Åãî óðàâíåíèå èìååò âèä:

Ýòè óðàâíåíèÿ è ñîñòàâÿò ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:

2    

Äëÿ ðàñ÷åòà äàííîé ñèñòåìû â íåëèíåéíîì âèäå áûëà ðàçðàáîòàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîãðàììà êîòîðàÿ èíòåãðèðîâàëà ñèñòåìó óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.

Äëÿ ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, òî åñòü çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè, â äàííîì ñëó÷àå îíè íóëåâûå.

Ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòû áûëè çàïèñàíû â ôàéë, è çàòåì ïîñòðîåíû. Ãðàôèêè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

Ðèñóíîê 1.

3    

Äëÿ ðàñ÷åòà ñèñòåìû â ëèíåàðèçîâàííûì âèäå ïî ôîðìóëàì, íåîáõîäèìî ëèíåàðèçîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò. å. çàìåíèòü òðè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòà ëèíåéíûìè êàê ýòî ïîêàçàíî â 2.5. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè íàì íåîáõîäèìî çíàòü ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå â íåëèíåéíîñòü (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ). Ïàðàìåòð âõîäà â òðåòüþ íåëèíåéíîñòü èìååòñÿ â âåêòîðå ñîñòîÿíèé. Ïîýòîìó åãî äèñïåðñèÿ ïðèñóòñòâóåò â ìàòðèöå êîâàðèàöèè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ äèñïåðñèé íà âõîäå â ïåðâóþ è âòîðóþ íåëèíåéíîñòè ïðîèçâåäåì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ. Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì ÷òîáû âõîäîì ñèñòåìû îñòàâàëñÿ îäèí èç âõîäîâ â íàøó ñèñòåìó, à âûõîäîì âõîä â íåëèíåéíîñòü (äâà âõîäà ðàññìàòðèâàþòñÿ îòäåëüíî, à çàòåì èõ äèñïåðñèè ñêëàäûâàþòñÿ).

Èòàê, ïîñ÷èòàåì äèñïåðñèè îò âîçäåéñòâèé a è h, íà âõîäàõ ïåðâîé è âòîðîé íåëèíåéíîñòè:

Íàçîâåì ñèãíàë íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü õ, âî âòîðóþ y òîãäà óðàâíåíèå ñâÿçûâàþùèå x è a áóäóò èìåòü âèä:

Çäåñü  êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé íåëèíåéíîñòåé, äàëåå:

Ñëåäîâàòåëüíî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü âèä:

Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íà âõîäå a èìååò âèä:

Òîãäà äèñïåðñèÿ íà âõîäå ïåðâîé íåëèíåéíîñòè áóäåò èìåòü âèä:

 òåîðèè èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàëû âèäà:

ãäå:

 àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå èìåþò âèä:

ãäå

Ðàññìîòðèì îòäåëüíî çíàìåíàòåëü íàøåãî èíòåãðàëà, ïðèâåäåííûé ê âèäó:

Òîãäà:

Îòñþäà ñëåäóåò:

Îòêóäà:

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì îñòàëüíûå äèñïåðñèè:

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèÿ íà âõîäå â ïåðâóþ íåëèíåéíîñòü èìååò âèä:

Íà âõîäå âòîðîé íåëèíåéíîñòè:

Äàëåå íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ñàìèõ êîýôôèöèåíòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè, âîñïîëüçîâàâøèñü âûâåäåííûìè ðàíüøå ñîîòíîøåíèÿìè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñå èíòåãðàëû â ýòèõ ôîðìóëàõ áóäóò èìåòü îäèí èç òðåõ, íèæå ïåðå÷èñëåííûõ, âèäîâ:

Ýòè èíòåãðàëû, ñ÷èòàþòñÿ â ÷èñëåííîì âèäå è ïîëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè îøèáîê è ãàóññîâñêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. Îíè ðåàëèçîâàíû â ïðîãðàììå â âèäå ôóíêöèé, òîãäà êîýôôèöèåíòû ñòàòèñòè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè äëÿ ïåðâîãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà áóäóò èìåòü âèä:

K0=k2*J1(0,-s,m,D,-1)+l1*J0(0,-s,m,D,-1)+

k1*J1(-s,s,m,D,0)+k2*J1(s,0,m,D,1)+l2*J0(s,0,m,D,1);

K1=(k2*J2(0,-s,m,D,-1)+l1*J1(0,-s,m,D,-1)+k1*J1(-s,s,m,D,0)+

k2*J2(s,0,m,D,1)+l2*J1(s,0,m,D,1)-m*K0)/D;

Äëÿ âòîðîãî:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;

Äëÿ òðåòüåãî:

K0=-s*J0(0,-s,m,D,-1)+J1(-s,s,m,D,0)+s*J0(s,0,m,D,1);

K1=(-s*J1(0,-s,m,D,-1)+J2(-s,s,m,D,0)+s*J1(s,0,m,D,1)+

s*m*J0(0,-s,m,D,-1)-m*J1(-s,s,m,D,0)-s*m*J0(s,0,m,D,1))/D;

Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà äîëæíà èìåòü âèä:

Âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèÿìè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ìàòðèöû ìîæíî çàïèñàòü:

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòðèöà A íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ, â çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ ëèíåàðèçàöèè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå çàâèñÿò îò äèñïåðñèé íà âõîäå. Ñëåäîâàòåëüíî íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ íàøåé ñèñòåìû ìû äîëæíû èíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèé K:

Ðåàëèçóÿ âñå âûøåñêàçàííîå ïîëó÷èì ãðàôèê èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû:

Ðèñóíîê 2.

Ýâîëþöèÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèè ïî âõîäíûì âîçäåéñòâèÿì èìååò âèä:

Ðèñóíîê 3

Äèñïåðñèÿ âûõîäíîé êîîðäèíàòû:

Ðèñóíîê 4

4.    

Êàê âèäíî èç ðèñóíêîâ 1 è 2 ñòàòèñòè÷åñêàÿ ëèíåàðèçàöèÿ ïðîâåäåíà ïðàâèëüíî. Ïîâåäåíèå ñèñòåìû â íåëèíåéíîé è ëèíåàðèçîâàííîé ôîðìå ïðèìåðíî îäèíàêîâî. Èç ðèñóíêîâ 3 è 4 ñëåäóåò, ÷òî äèñïåðñèè ñõîäÿòñÿ, ò. å. ÷åðåç íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ñèñòåìå çàêàí÷èâàþòñÿ è íà âûõîäå ñèñòåìû èìååòñÿ ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

5.     Список литературы

1.       

2.       

3.       

4.       

5.       

Московский Государственный Авиационный Институт (Технический университет) Кафедра 704 Информационно-управляющие комплексы Êóðñîâàÿ ðàáîòà

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу